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专题01 二次函数的图象和性质
常考题型·精准突破
题型1 根据二次函数的定义求参数（重）
题型2 二次函数的图象和性质（高频）
题型3 利用二次函数的增减性比较大小（高频）
题型4 已知二次函数上对称的两点求对称轴（重）
题型5 求二次函数在某区域的最值问题（难）
题型6 画二次函数的图象（重）
题型7 二次函数的图象和性质综合问题（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 根据二次函数的定义求参数
1．（25-26 九年级上·福建龙岩·期末）若
(
)
2
3
1
a
y
a
x
x
=
+
+
−是二次函数，则a 的值为______．
2．（25-26 九年级上·河南南阳·期末）已知二次函数
(
)
2
2
2
3
4
y
m
x
x
m
=
+
+
+
−
的常数项为零，则m 的值为
_____．
3．（25-26 九年级上·安徽安庆·期末）若函数
(
)
2 3
2
2
2
a
a
y
a
x
+
+
=
+
−
是关于x 的二次函数，则a 的值为_____．
◆题型2 二次函数的图象和性质
4．（25-26 九年级上·山东滨州·期末）关于抛物线
2
6
7
y
x
x
= −
+
+ ，下列说法正确的是( )
A．开口向上
B．对称轴是直线
3
x = −
C．与y 轴的交点坐标是(
)
0,7
D．顶点坐标是(
)
3,2
5．（24-25 九年级上·宁夏银川·期末）对于二次函数
2
2
8
3
y
x
x
=
+
−，下列说法错误的是（ ）
A．图象开口向上
B．对称轴是直线
2
x = −
C．当0
2
x
时，y 的最大值为21
D．将图象向右平移3 个单位长度，再向上平移1 个单位长度后的顶点坐标为(
)
1, 12
−
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6．（25-26 九年级上·陕西铜川·期末）已知一个二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的自变量x 与函数值y 的几组对应值
如下表：
x
…
2
−
0
1
3
…
y
…
5
−
3
4
0
…
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向上
B．图象的对称轴为直线
1
x = −
C．当
1
2
x
时，y 的值随x 值的增大而增大
D．此函数有最小值4
◆题型3 利用二次函数的增减性比较大小
7．（25-26 八年级下·辽宁盘锦·期末）若点(
)
1
6,
A
y
−
，
(
)
2
2,
B
y
−
，
(
)
3
2,
C
y
在二次函数
2
2
4
y
x
x
m
=
−
+
的图
象上，则
1y ，
2y ，
3y 的大小关系是__________．（按从小到大表示）
8．（25-26 八年级下·北京·期末）点
(
)
1
1
,
A x y
，
(
)
2
2
,
B x
y
在二次函数
2
4
2
y
x
x
=
−
+
的图象上，若
1
1
2
x
，
2
3
4
x
．则
1y 与
2y 的大小关系是
1y ______
2y ．（填“＞”、“＜”或“＝”）
9．（25-26 九年级上·浙江绍兴·期末）已知点(
) (
) (
)
1
2
2,
,
2,
, 2
6,
b
y
b
c
b
y
−
+
+
都在二次函数
2
1
2
y
x
bx
c
=
−
+ 的
图象上，则
1y ___
2y （填，，= ）
◆题型4 已知二次函数上对称的两点求对称轴
10．（2026·广东广州·一模）已知抛物线
2
y
x
bx
c
=
+
+ 经过点(
)
3,0
−
和(
)
1,0 ，则该抛物线的对称轴为直线x =
________．
11．（2026·浙江绍兴·二模）已知二次函数
2
4
y
x
x
c
=
−
+ （c 为常数），若其图像上有两点
(
)
2,
A m
n
−
，
(
)
2,
B m
n
+
，则m 的值是________．
12．
（25-26 八年级下·浙江杭州·期末）已知二次函数
2
1
y
x
bx
b
=
−
+ + 的图象经过点(
)
1,
A
n
−
和点(
)
3,
B m
n
−
，
当
1
2
x =
时函数取得最小值，则m 的值为_______
◆题型5 求二次函数在某区域的最值问题
13．
（25-26 八年级下·辽宁盘锦·期末）对于二次函数
2
2
5
= −
+
y
x
，当2
1
x
−
时，y 的取值范围是__________．
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14．（2026·广东佛山·三模）二次函数
2
2
2
1
=
−
+
−
y
x
mx
m
中，当1
5
x
时y 有最小值3，则实数m 的值为
________．
15．（2026·安徽合肥·三模）已知二次函数：
2
4
3
y
ax
ax
a
=
−
+
．
（1）若该二次函数的图像开口向上，当1
4
x
时，y 的最大值是9，则a 的值为________；
（2）若对于该抛物线上的两点
(
)
1
1
,
M x y
，
(
)
2
2
,
N x
y
，当
1
3
t
x
t
−
，
2
4
x
时，均满足
1
2
y
y
，则t 的取
值范围是________．
◆题型6 画二次函数的图象
16．（25-26 八年级下·北京·期末）已知二次函数
2
2
2
y
x
x
−
=
+
+
．
(1)先补全表格，则m = ______．然后在平面直角坐标系xOy 中用“列表、描点、连线”的方法画出该二次函数
的图象：
x
…
1
−
0
1
2
3
…
2
2
2
y
x
x
−
=
+
+
…
1
−
2
m
2
1
−
…
(2)根据表格图象可知，当1
2
x
−
时，y 的取值范围是______．
(3)点
(
)
1
3,
A
y
和
(
)
2
,
B n y
都在此函数的图象上，且点A 与点B 不重合，若
1
2
y
y
，结合函数图象，直接写出
n 的取值范围．
17．（25-26 八年级下·北京·期末）已知：二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ ，y 与x 的一些对应值如表：
x
…
1
−
0
1
2
4
…
2
ax
bx
c
+
+
…
m
3
n
1
−
3
…
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(1)根据表格中的数据，确定二次函数解析式为 ；
(2)表格中空白处的值m = ，n = ；
(3)用五点作图法，在给定坐标系里画出二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的图象，并回答：顶点坐标为 ，对称轴方
程为 ；
(4)当0
x
t
时，1
3
y
−
，则t 的取值范围为 ．
18．（2026·山东聊城·模拟预测）已知二次函数
2
y
x
bx
c
=
+
+ 的图象经过点(
)
4,3
−
、(
)
3,0
−
(1)求b 、c 的值；
(2)画出该函数的图象；
(3)若x
m
时，y 随x 的增大而增大，则m 的最小值为______；
(4)该函数图象向上平移______个单位长度后，所得函数的图象与x 轴只有一个公共点．
x
…..
4
−
3
−
2
−
1
−
0
…..
y
…..
3
0
1
−
0
3
…..
◆题型7 二次函数的图象和性质综合问题
19．（25-26 九年级下·全国·课后作业）已知抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 经过三点：( 1, 1),(0, 2),(1,1)
−−
−
．
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(1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式
(2)写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标．
(3)这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？
20．（2026·四川攀枝花·中考真题）已知二次函数
2
3
4
4
y
x
ax
=
−
+ ，其中a 为常数．
(1)若
3
2
a =
，求此函数图象的顶点坐标；
(2)当1
4
x
时，y 随x 的增大而减小；当8
12
x
时，y 随x 的增大而增大，求a 的取值范围．
21．（2026·浙江丽水·模拟预测）已知直线l 交抛物线
2
4
3
y
ax
ax
=
−
−（常数
0
a
）于点(
)
,8
s
a ，(
)
,8
t
a ，s
t
．
(1)求抛物线的对称轴．
(2)当抛物线最高点到直线l 的距离为9 时，
①求t 的值；
②若点
(
)
1
1
,
P x y
，
(
)
2
2
,
Q x
y
是b
x
t
范围内抛物线上的两点，且
2
b
，
1
2
x
x
．当
1
2
y
y
−
取得最大值时，
记点P 向右平移3 个单位后的点为P，求线段P Q
的中点的坐标．
综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．（25-26 九年级上·江苏盐城·期末）若函数
1
2
m
y
x
x
−
=
−
+
是二次函数，那么m 的值为 （ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
2．（2026·西藏拉萨·模拟预测）对于抛物线
(
)
2
2
1
3
y
x
=
−
+ ，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的顶点坐标为(
)
1,3
C．抛物线的对称轴为直线
1
x = −
D．当
1
x 时，y 随x 的增大而减小
3．（2026·江苏苏州·三模）已知(
) (
) (
)
1
2
3
1,
, 2,
, 4,
y
y
y
−
是抛物线
2
4
y
x
x
m
= −
+
+
上的点，则
1y 、
2y 、
3y 的大
小关系为（ ）
A．
1
2
3
y
y
y
B．
2
3
1
y
y
y
C．
1
3
2
y
y
y
D．
3
1
2
y
y
y
4．（2026·陕西西安·模拟预测）已知二次函数
2
3
y
ax
bx
a
=
+
−
，图象向右平移3个单位长度后经过原点，且
当5
0
x
−
时，y 的最大值为2 ，则a 的值为（ ）
A．
1
3
−
B．2
3 C．
1
3
−
或1 D．
1
2
−
或1
6
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5．（25-26 九年级下·陕西宝鸡·期中）二次函数
(
)
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
中x，y 的部分对应值如下表所示：
x
…
2
−
1
−
0
1
2
3
…
y
…
4
1
−
4
−
5
−
4
−
1
−
…
关于它的图象和性质，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象开口向下
B．对称轴是直线
2
x =
C．当
2
x
时，y 随x 的增大而增大
D．图象与x 轴的交点坐标为(
)
3,0
−
和(
)
5,0
二、填空题
6．
（25-26 八年级下·黑龙江大庆·期末）如果函数
(
)
2 7
3
4
1
k
y
k
x
x
−
=
−
+
+ 是关于x 的二次函数，则k =_______．
7．
（25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知二次函数
2
4
5
y
x
x
=
+
+ ，当3
0
x
−
时，y的取值范围为________．
8．（25-26 九年级上·江苏盐城·期中）当抛物线
2
1
3
4
y
x
bx
=
+
−（b 为常数），经过点
(
)
(
)
4,
,
6,
M
m
N
m
−
时．抛
物线的顶点坐标为________．
9．
（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知抛物线
2
2
2
=
−
+
−
y
x
tx
t
t ，点
(
)
1
1
,
P x y
在抛物线上，其中
1
1
2
t
x
t
−
+
．若
1y 的最小值是2
−，则
1y 的最大值是______．
10．（2026·黑龙江大庆·二模）已知二次函数
2
2
1
y
mx
mx
=
+
+ （
0
m
）在2
2
x
−
时有最小值4
−，则m
等于______________．
三、解答题
11．（25-26 九年级上·广西崇左·期末）已知函数
(
)
2 2
2
m
y
m
x
−
=
+
（m 为常数），求当m 为何值时：
(1)y 是x 的一次函数？
(2)y 是x 的二次函数？并求出此时纵坐标为64 的点的横坐标．
12．（25-26 八年级下·山东济南·期末）如图，抛物线
2
4
y
x
= −
+
与x 轴交于A、B 两点，直线l 与抛物线交于
A、C 两点，其中C 的横坐标为1．
(1)求直线l 的表达式；
(2)点P 是线段AC 上的一个动点（点P 与点A、C 不重合），过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点E，求PE
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的最大值．
13．（25-26 九年级上·河南周口·期末）已知二次函数
2
2
4
y
x
x−
=
−
．
(1)求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
(2)补全下表，并在如图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象．
x
1
−
0
1
2
3
y
1
−
4
−
____
4
−
____
(3)已知当
1
t
x
t
−
时，该二次函数
2
2
4
y
x
x−
=
−
的最大值与最小值的差为3，请直接写出t 的值．
14．（2026·山东德州·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线
2
4
3
y
x
x
a
=
−
+
（a 为常数）．此抛物线与y 轴
交于点A，过点A作y 轴的垂线与此抛物线交于点B ，点A与点B 不重合．
(1)抛物线的对称轴为直线x =_____；
(2)当抛物线经过坐标原点时，
①求此抛物线所对应的二次函数表达式；
②当
2
m
x
m
+
（m 为常数）时，y 的最小值为3
−，求m 的值；
(3)在（2）的条件下，将该二次函数
2
4
3
y
x
x
a
=
−
+
的图象沿着x 轴的正方向平移(
)
0
k k
个单位长度得到新
的二次函数图象，当3
5
x
时，新的二次函数有最小值，最小值为5，求平移后新的二次函数的表达式．
