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分层作业
30.1.2 圆的切线
目 录
A 组 巩固过关
题型01 切线的判定
题型02 切线的性质
题型03 切线的性质与判定的综合
题型04 切线长定理的应用
题型05 与切线有关的作图问题
B 组 能力进阶
C 组 思维拔高
拓展 链接中考
切线的判定
1．（25-26 九年级下·全国·课后作业）如图，AB 是
O
的直径，
B
CAD
=
．求证：AC 是
O
的切线．
【答案】证明： ∵AB 是
O
的直径，
题型01
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∴
90
ADB
=
，
∴
90
B
BAD
+
=
，
∵
B
CAD
=
，
∴
90
CAD
BAD
+
=
，
∴AC
AB
⊥
，
又OA是
O
的半径，
∴AC 是
O
的切线．
【分析】先证明
90
ADB
=
，可得
90
B
BAD
+
=
，结合
B
CAD
=
，进一步证明即可．
【详解】略
2．如图，AB 为
O
的直径，C 为
O
上一点，D 为BC 的中点．过点D 作直线AC 的垂线，垂足为E，连
接OD ．
(1)求证：
A
DOB
=
；
(2) DE 与
O
有怎样的位置关系？请说明理由．
【答案】(1)证明：连接OC ，
D
为BC 的中点，
∴
CD
BD
=
，
1
2
BOD
BOC
=
，
1
2
BAC
BOC
=
，
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A
DOB
=
；
(2)解：DE 与
O
相切，理由如下：
A
DOB
=
，
∴AE
OD
，
∴
180
ODE
E
+
=
，
DE
AE
⊥
，
∴
90
E
=
，
∴
90
ODE
=
，
OD
DE
⊥
，
又∵OD 是半径，
DE
与
O
相切．
【分析】（1）连接OC ，由D 为BC 的中点，得到
CD
BD
=
，根据圆周角定理即可得到结论；
（2）根据平行线的判定定理得到AE
OD
，根据平行线的性质得到OD
DE
⊥
于是得到结论．
【详解】（1）略
（2）略
3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，AB 为
O
的直径，C 、D 为
O
上的两点，
BAC
DAC
=
，过
点C 作直线EF
AD
⊥
，交AD的延长线于点E ．
(1)求证：EF 是
O
的切线；
(2)若
10
OA=
，
6
CE =
，求AD的长．
【答案】(1)证明：连接OC ，则OC
OA
=
，
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∴
OAC
OCA
=
，
∵
BAC
DAC
=
，
∴
OCA
DAC
=
，
∴
//
OC AE，
∵EF
AD
⊥
，
∴EF
OC
⊥
，
又∵OC 为
O
的半径，
∴EF 是
O
的切线；
(2)16
【分析】（1）连接OC ，等边对等角结合等量代换得到
OCA
DAC
=
，进而得到
//
OC AE ，得到
EF
OC
⊥
，即可得证；
（2）连接BD，易得四边形CEDH 为矩形，进而得到
6
DH
CE
=
=
，垂径定理得到
2
12
BD
DH
=
=
，勾股
定理求出AD的长即可.
【详解】（1）略
（2）解：连接BD，
∵AB 为
O
的直径，
∴
90
ADB
BDE
=
=
，
∵EF
AD
⊥
，交AD的延长线于点E ，EF
OC
⊥
，
∴四边形CEDH 为矩形，
∴
6
DH
CE
=
=
，OC
BD
⊥
，
∴
2
12
BD
DH
=
=
，
∵
10
OA=
，
∴
20
AB =
，
∴
2
2
16
AD
AB
BD
=
−
=
．
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切线的性质
4．如图，AB 为
O
的切线，OB 交
O
于点D ，C 为
O
上一点，若
42
ABO
=
，则
ACD
的度数为
（ ）
A．48
B．24
C．36
D．72
【答案】B
【分析】连接OA，根据切线的性质得到
90
OAB
=
，利用直角三角形两锐角互余求出
AOB
，再根据圆
周角定理求解即可．
【详解】解：连接OA，
∵AB 为⊙O的切线，
∴OA
AB
⊥
，
∴
90
OAB
=
，
∵
42
ABO
=
，
∴
90
42
48
AOB
=
−
=
，
∵
ACD
与
AOB
分别是AD 所对的圆周角和圆心角，
∴
1
1
48
24
2
2
ACD
AOB
=
=
=
．
5．（2026·吉林松原·模拟预测）如图，AB 是
O
的直径，过
O
上一点C 作
O
的切线，所作切线与BA的
延长线交于点P ，
20
B
=
，则
P
=（ ）
题型02
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A．20
B．25
C．40
D．50
【答案】D
【分析】连接CO，根据圆周角定理可得
40
COA
=
，根据切线的性质可得
90
PCO
=
，进而求得
P
的
度数．
【详解】解：如图，连接CO，
∵
20
B
=
，
∴
40
COA
=
，
∵PC 是
O
的切线，
∴
90
PCO
=
∴
90
50
P
COA
−
=
=
6．（2026·广西玉林·模拟预测）如图为古代劳动人民发明的“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定
长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机
构”．小军受“石磨”的启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆” AP ，BP的连
接点P 在
O
上，当点P 在
O
上转动时，带动点A，B 分别在射线OM ，ON 上滑动，OM
ON
⊥
．如图
2，当AP 与
O
相切时，点B 恰好落在
O
上．请就图2 的情形解答下列问题：
(1)若
10
PBO
=
，求
PAO
的度数．
(2)若线段AO 与
O
交于点C，
3
AC =
，
5
AP =
，求
O
的半径．
【答案】(1)20(2) 8
3
【分析】（1）连接OP ，标记点D ，由切线的性质可得
90
PAO
AOP
+
=
，由题意可得
90
POD
AOP
+
=
，从而得出
POD
PAO
=
，再由圆周角定理计算即可得出结果；
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（2）设
O
的半径为r ，则
3
OA
r
= + ，再结合勾股定理计算即可得出结果．
【详解】（1）解：如图，连接OP ，标记点D ，
∵AP 与
O
相切，
∴OP
PA
⊥
，
∴
90
PAO
AOP
+
=
，
∵OM
ON
⊥
，
∴
90
POD
AOP
+
=
，
∴
POD
PAO
=
，
∵
10
PBO
=
，
∴由圆周角定理可得
2
20
POD
PBO
=
=
，
∴
20
PAO
POD
=
=
∠
；
（2）解：设
O
的半径为r ，则
3
OA
r
= + ，
由勾股定理得
2
2
2
AP
OP
OA
+
=
，
∴
(
)
2
2
2
5
3
r
r
+
=
+
，
解得
8
3
r =
，
∴
O
的半径为8
3 ．
切线的性质与判定的综合
7．（25-26 九年级上·福建莆田·期末）如图，在四边形ABCD中，AB
CD
，AD
AB
⊥
，以D 为圆心，AD
为半径的弧恰好与BC 相切，切点为E ，若
1,
3
AB
CD
=
=
，求半径AD的长是（ ）
题型03
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A．2
B．3
C．5
D．5
【答案】C
【分析】本题主要考查切线的判定与性质、切线长定理、等腰三角形的判定、勾股定理，熟练掌握切线的
判定与性质和切线长定理是解题的关键．
连接DB、DE ，根据切线的判定可证AB 是
D
的切线，再根据切线长定理可得
1
AB
BE
=
= ，
ABD
EBD
=
，由切线的性质可得DE
BC
⊥
，再由平行线的性质与等腰三角形的判定可得
3
DC
BC
=
= ，可得
2
EC =
，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：连接DB、DE ，
∵AD
AB
⊥
，AD是
D
的半径，
∴AB 是
D
的切线，
∵BC 是
D
的切线，
∴
1
AB
BE
=
= ，
ABD
EBD
=
，DE
BC
⊥
，
∵AB
CD
∥
，
∴
ABD
BDC
=
，
∴
EBD
BDC
=
，
∴
3
DC
BC
=
= ，
∴
3 1
2
EC
BC
BE
=
−
= −=
，
在Rt
DEC
△
中，
2
2
3
2
5
DE =
−
=
，
∴
5
AD
DE
=
=
，
故选：C．
8．（25-26 九年级上·河南信阳·期末）如图，四边形ABCD内接于
O
，BD是
O
的直径，过点A 作
O
的切线AE ，交CD的延长线于点E，且AE
CD
⊥
．
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(1)求证：DA平分
BDE
；
(2)已知
4cm
AE =
，
O
的半径为5cm，求CD的长．
【答案】(1)见解析
(2)6cm
【分析】（1）连接OA，利用等腰三角形的性质，平行线的判定和性质证明即可；
（2）过点O 作OF
CD
⊥
，垂足为点F，根据矩形的判定和性质，垂径定理，勾股定理解答即可．
【详解】（1）证明：连接OA，
∵OA
OD
=
，
∴
ODA
OAD
=
，
∵AE 是
O
的切线，
∴OA
AE
⊥
，
∵AE
CD
⊥
，
∴EC
OA
∥
，
∴
OAD
EDA
=
，
∴
ODA
EDA
=
，
∴DA平分
BDE
；
（2）解：过点O 作OF
CD
⊥
，垂足为点F，
∵
90
=
=
=
OAE
AED
OFD
，
∴四边形AOFE 是矩形，
∴
4cm
OF
AE
=
=
，
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又∵OF
CD
⊥
，
O
的半径为5cm．
在Rt ODF
中，
2
2
5cm
OD
OF
DF
=
+
=
，
1
3cm
2
DF
CD
=
=
，
即
6cm
CD =
．
9．（25-26 九年级上·河南周口·期末）如图，
O
是ABC
的外接圆，点D 在BO的延长线上，且
1
2
DAE
AOC
=
，BD交AC 于点E ．
(1)求证：AD是
O
的切线；
(2)若AB
AC
=
，DA
OA
=
，则
BAC
= _________°．
【答案】(1)
证明：
OA
OC
=
，
180
2
AOC
OAC
−
=
，
1
2
DAE
AOC
=
，
180
90
2
2
AOC
AOC
OAD
OAC
DAE
−
=
+
=
+
=
，
OA
是半径，
AD是
O
的切线；
(2) 45
【分析】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质．
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（1）根据OA
OC
=
，可得
180
2
AOC
OAC
−
=
，再计算
DAO
即可；
（2）根据直角三角形的性质可得
45
AOD
=
，则
1
22.5
2
ABO
AOD
=
=
，再通过证明AOB
AOC
≌
，
可得
2
BAC
BAO
=
即可解答．
【详解】（1）略
（2）解：根据（1）可得
90
OAD
=
，
DA
OA
=
，
45
AOD
=
，
1
22.5
2
ABO
AOD
=
=
，
,
,
AB
AC OB
OB OA
OA
=
=
=
，
(
)
SSS
AOB
AOC
△
≌△
，
BAO
CAO
=
，
2
45
BAC
ABO
=
=
，
故答案为：45．
切线长定理的应用
10．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，PA，PB是
O
的切线，A，B 为切点，连结OP ，OP 长为2 ，
120
APB
=
，则
O
的半径为（ ）．
A．1
B．2
C．3
D．2 3
【答案】C
【分析】由切线的性质可得PA
PB
=
，
90
OAP
OBP
=
=
，进而可证明
(
)
OAP
OBP SSS
≌
，则
1
∠
∠
∠
60
2
OPA
OPB
APB
=
=
=
，使用三角函数计算出OA的值即可．
【详解】解：∵PA，PB是
O
的切线，
∴PA
PB
=
，
90
OAP
OBP
=
=
，
在OAP
和
OBP
△
中，
题型04
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OA
OB
OP
OP
PA
PB
=
=
=
，
∴
(
)
OAP
OBP SSS
≌
，
∴
1
∠
∠
∠
60
2
OPA
OPB
APB
=
=
=
，
在Rt OAP
中，
sin∠
2 sin 60
3
OA
OP
OPA
=
=
=
．
11．（2026·广东肇庆·三模）如图，PA，PB是
O
的两条切线，A，B 是切点，C 是AB 上一点，过点C 画
O
的切线，分别交PA，PB于点D，E，
12cm
PA =
，则PDE
的周长是________cm．
【答案】24
【详解】解：
PA
和PB是
O
的两条切线，
12
PA
PB
=
=
，
同理可得：DA
DC
=
，EB
EC
=
，
PDE
△
的周长
PD
DE
PE
=
+
+
PD
DC
EC
PE
=
+
+
+
PD
DA EB
PE
=
+
+
+
(
)
m
24 c
PA
PB
=
+
=
．
12．已知，如图，AB 是
O
的直径，直线DC ，DA分别切
O
于点C ，点A，连接BC ，OD ．
(1)求证：BC
OD
∥
；
(2)若
35
ODC
=
，
12
AB =
，求出BC 的长．
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【答案】(1)证明：连接OC ，
直线DC ，DA分别切
O
于点C ，
CD
AD
=
，
在ADO
与CDO
中，
CD
AD
OC
OA
OD
OD
=
=
=
，
(
)
SSS
ADO
CDO
≌
，
AOD
COD
=
，
1
2
AOD
AOC
=
，
1
2
B
AOC
=
，
B
AOD
=
，
∴BC
OD
∥
；
(2) BC 的长
7
3
=
．
【分析】（1）连接OC ，根据切线长定理可知CD
AD
=
，证明
(
)
SSS
ADO
CDO
≌
△
△
，可知
1
2
AOD
AOC
=
，根据圆周角定理得到
1
2
B
AOC
=
，即可证明BC
OD
∥
；
（2）根据全等三角形的性质得到
2
70
ADC
CDO
=
=
，可知
110
AOC
=
，进而得到
70
BOC
=
，根
据弧长公式计算即可．
【详解】（1）略；
（2）解：∵ADO
CDO
≌
，
∴
2
70
ADC
CDO
=
=
180
110
AOC
ADC
=
−
=
，
70
BOC
=
，
12
AB =
，
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6
OB
=
，
BC
的长
70 π 6
7 π
180
3
=
=
．
13．如图，PA，PB与
O
相切，切点分别为A，B ，CD与
O
相切于点E ，分别交PA，PB于点D ，
C ．已知PA，PB的长是关于x 的一元二次方程
2
1
0
x
mx
m
−
+
−=
的两个根．
(1)求m 的值；
(2)求PCD
的周长．
【答案】(1)
2
m =
(2)2
【分析】（1）根据切线的性质得到PA
PB
=
，得到方程
2
1
0
x
mx
m
−
+
−=
有两个相等的实数根，根据一元
二次方程根的判别式列式计算即可；
（2）根据切线长定理得到DA
DE
=
，CE
CB
=
，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】（1）解：∵PA，PB与
O
相切，
∴PA
PB
=
，
∵PA，PB的长是关于x 的一元二次方程
2
1
0
x
mx
m
−
+
−=
的两个根，
∴方程
2
1
0
x
mx
m
−
+
−=
有两个相等的实数根，
∴
(
)
(
)
2
4 1
1
0
m
m
−
−
−
=
=
，
整理得：
2
4
4
0
m
m
−
+
=
，
解得：
1
2
2
m
m
=
=
，
则m 的值为2；
（2）解：当
2
m =
时，原方程为
2
2
1
0
x
x
−
+ =
，
解得：
1
2
1
x
x
=
= ，即
1
PA
PB
=
= ，
∵PA，PB与
O
相切，CD与
O
相切，
∴DA
DE
=
，CE
CB
=
，
∴PCD
的周长
2
PD
DE
PC
EC
PD
DA
PC
CB
PA
PB
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
=
．
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14．如图，AB 是半圆O 的直径，AC
AB
⊥
，CD切半圆于点D，BF
AB
⊥
，交AD的延长线于F，交CD
的延长于点E．
(1)求证：BE
EF
=
；
(2)若
6
AC =
，
4
BE = ，求点C 到AD的距离CG ．
【答案】(1)见解析
(2)点C 到AD的距离CG 为6 15
5
【分析】本题主要考查了圆的性质，切线的定义与性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质，等腰三
角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）利用切线长定理可证明DE
BE
=
，CA
CD
=
，从而可得
CAD
CDA
=
，
FDE
F
=，则
DE
EF
=
，即可证得BE
EF
=
；
（2）连接BD，由BF
CA
，可得
CDA
EDF
△
∽△
，则
4
2
6
3
DF
EF
AD
AC
=
=
=
，设
2
DF
x
=
，
3
AD
x
=
，则
5
AF
x
=
，由AB 是半圆O 的直径，可得ABD
和BDF
都直角三角形，利用公共直角边BD，可得
2
2
2
2
2
AB
AD
BD
BF
DF
−
=
=
−
，可得
2
2
5
64
AB
x
=
+
，再由Rt ABF
可得
2
2
25
64
AB
x
=
−
，可求得AB ，
AF ，再证明CAG
AFB
∽
即可求解．
【详解】（1）解：∵BF
AB
⊥
， AC
AB
⊥
，AB 是半圆O 的直径，
∴FB是
O
的切线，CA 是
O
的切线，BF
CA
，
∵CD是
O
的切线，
∴DE
BE
=
， CA
CD
=
，
∴
CAD
CDA
=
，
∵BF
CA
，
∴
CAD
F
=
，
∴
CDA
F
=
，
∵
CDA
FDE
=
，
∴
FDE
F
=
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∴DE
EF
=
，
∴BE
EF
=
．
（2）解：如图，连接BD，
由（1）可知
4
EF
BE
=
=
，则
8
BF
BE
EF
=
+
=
，
∵BF
CA
，
∴
CDA
EDF
△
∽△
，
∴
4
2
6
3
DF
EF
AD
AC
=
=
=
，
设
2
DF
x
=
，
3
AD
x
=
，则
5
AF
x
=
，
∵AB 是半圆O 的直径，
∴
90
BDF
ADB
=
=
，
∴
2
2
2
2
2
AB
AD
BD
BF
DF
−
=
=
−
，即
(
)
(
)
2
2
2
2
3
8
2
AB
x
x
−
=
−
，
∴
2
2
5
64
AB
x
=
+
，
在Rt ABF
中，
(
)
2
2
2
2
2
2
5
8
25
64
AB
AF
BF
x
x
=
−
=
−
=
−
，
∴
2
2
5
64
25
64
x
x
+
=
−
，
解得
2
6.4
x =
，即
4 10
5
x =
，
∴
2
5 6.4
64
96
AB =
+
=
，即
4 6
AB =
，
4 10
5
4 10
5
AF =
=
，
∵CG
AD
⊥
，BF
AB
⊥
，
∴
90
CGA
ABF
=
=
，
∵
CAG
F
=
∴CAG
AFB
∽
，
∴CG
CA
AB
AF
=
，即
6
4 6
4 10
CG =
，
∴
6 15
5
CG =
．
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与切线有关的作图问题
15．（25-26 九年级上·甘肃张掖·阶段检测）要求用无刻度的直尺和圆规，过圆外一点P 作已知圆的切
线．两同学提供了如下作图方案（图1 和图2）．
方案Ⅰ
①连接OP ，作OP
的垂直平分线交OP 于点D ；
②以点D 为圆心，DP为半径，作圆D 交
圆O于点A，连接PA．
方案Ⅱ
①以P 为圆心，
OP 为半径画弧；
②以点O为圆心，OP 为半径画弧，与①
中的弧交于点D ，连接OD 交圆O于点
A，连接PA．
对于方案I 和II，说法正确的是（ ）
A．I 可行，II 不可行
B．I 不可行，II 可行
C．I，II 都可行
D．I，II 都不可行
【答案】A
【分析】本题考查了作圆的切线，直径所对的圆周角是直角；根据作图方法以及切线的判定，判断两个作
图方法，即可求解．
【详解】解：对于方案I，如图，连接OA，
∵PO是直径，
∴
90
PAO
=
∴OA
PA
⊥
，
又∵OA是半径，
∴PA是
O
的切线；故I 正确；
对于方案II，
题型05
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根据作图可得PO
PD
OD
=
=
，则POD
是等边三角形，
而OA
AD
=
不一定成立，故PA
OA
⊥
不一定成立，
∴PA不一定是
O
的切线，故方案II，不可行
故选：A．
16．（25-26 九年级下·江苏南京·开学考试）如图，已知
O
及点P ，利用直尺和圆规过点P 作
O
的切线．
(1)如图①，点P 在
O
外．
(2)如图②，点P 在
O
外．
（要求：不写作法，保留作图痕迹）
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
【分析】（1）过点P 作直线l
OP
⊥
，则直线l 为
O
的切线；
（2）连接OP ，作OP 的垂直平分线得到OP 的中点O，再以O为圆心，OO为半径作圆交
O
于A、B
两点，则直线PA、PB为
O
的切线；
【详解】（1）如图，直线l 为所作．
（2）如图，PA、PB为所作．
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17．（25-26 九年级上·河北保定·期中）综合与实践
【情境】数学兴趣小组在学习《圆》这一章时确定的研究主题是过圆外一点作圆的切线的尺规作图方法．
【模型】经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
【操作】博学小组通过讨论给出了如下解决方案：
已知：
O
及圆外一点P ，如图1．
求作：过点P 作
O
的一条切线．
作法：①连接OP ；
②作OP 的________，交OP 于点A；
③以点A为圆心，OA长为半径作
A
，交
O
于点B ；
④作直线PB．
直线PB即为所求作的一条切线．
（1）博学小组给出的方案中空缺的内容为__________________．
（2）请你根据博学小组的作图方案说明图1 中的直线PB符合要求的理由．
【类比】善思小组通过思考给出了如下解决方案：
已知：
O
及圆外一点P ，如图2．
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求作：过点P 作
O
的一条切线．
作法：①连接OP ，交
O
于点C ；
②过点C 作OP 的垂线n ；
③以点O为圆心，OP 长为半径作弧，交直线n 于点D ；
④连接OD 交
O
于点B ；
⑤作直线PB．
直线PB即为所求作的一条切线．
（3）善思小组的作图方案可行吗？若可行，请你写出证明过程；若不可行，请说明理由．
【拓展】（4）关于“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图，请你再给出一种作法．（保留作图痕迹，简要说明
作图步骤）
【答案】（1）垂直平分线；（2）见解析；（3）可行，证明见解析；（4）见解析
【分析】本题主要考查了圆的切线的判定、圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等
知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．
（1）根据作图步骤即可得到解答；
（2）由作图可知OP 为
A
的直径，则
OBP
，得到PB
OB
⊥
．由OB 是
O
的半径即可证明直线PB为
O
的切线；
（3）由作图知CD
OP
⊥
于点C ，OP
OD
=
，OB
OC
=
，再证明
OBP
OCD
≌
△
△
可得PB
OB
⊥
，进而证明
结论；
（4）如图：连接OP ，交
O
于点A，作直径AC ；以点O为圆心， AC 长为半径作弧；以点P 为圆心，
OP 长为半径作弧，两弧相交于点D ，连接OD ，交
O
于点B ，作直线PB．
直线PB即为所求作的一条切线．
【详解】解：（1）垂直平分线．
（2）理由：如图1，连接OB ．
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OP
为
A
的直径，
90
OBP
=
，
PB
OB
⊥
．
OB
是
O
的半径，
直线PB是
O
的切线．
（3）可行．
证明：由作图知CD
OP
⊥
于点C ，OP
OD
=
，OB
OC
=
，
90
OCD
=
．
又
DOC
POB
=
，
(
)
SAS
OBP
OCD
≌
，
90
OBP
OCD
=
=
，即PB
OB
⊥
．
OB
是
O
的半径，
直线PB是
O
的切线．
（4）如图2，
①连接OP ，交
O
于点A，作直径AC ；
②以点O为圆心， AC 长为半径作弧；
③以点P 为圆心，OP 长为半径作弧，两弧相交于点D ，连接OD ，交
O
于点B ，作直线PB．
直线PB即为所求作的一条切线．
证明：由作图过程可得：
,
OD
AC OP
PD
=
=
，
∴BD
OD OB
OB
=
−
=
，
∴PB
OB
⊥
，
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∴直线PB为
O
的一条切线．
18．（2026·河南平顶山·三模）如图，A 是
O
外一点，连接AO 并延长，交
O
于点B ，AC 与
O
相切于
点C ，D是BC 上一点，连接CD，BD ．若
40
A =
∠
，则
BDC
的度数为（ ）
A．100
B．115
C．120
D．130
【答案】B
【分析】如图，连接OC ，利用切线的性质求解
90
ACO
=
，可得
50
AOC
=
，进一步利用圆周角定理可
得答案．
【详解】解：如图，连接OC ，
∵AC 与
O
相切于点C ，
∴
90
ACO
=
，
∵
40
A =
∠
，
∴
50
AOC
=
，
∴
50
180
230
AOC
AOB
+
=
+
=
，
∴
(
)
1
1
230
115
2
2
BDC
AOC
AOB
=
+
=
=
．
19．如图，E 为Rt
ABC
△
的直角边BC 上一点，以CE 为半径的半圆与斜边AB 相切于点D．已知
6
AD =
，
4
BD =
，则
E
的半径的长为（ ）
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A．3.5
B．3
C．2.5
D．2
【答案】B
【分析】连接ED，AE ，设
E
的半径的长为r，证明
(
)
Rt
Rt
HL
ACE
ADE
≌
得到
6
AC
AD
=
=
，由勾股
定理求出BC 长，由勾股定理列出关于r 的方程，即可求解．
【详解】解：连接ED，AE ，设
E
的半径的长为r，
∵AD与半圆相切于D，
∴ED
AB
⊥
，
∴
90
ADE
ACE
=
=
，
∵AE
AE
=
，EC
ED
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
ACE
ADE
≌
，
∴
6
AC
AD
=
=
，
∵
4 6 10
=
+
= + =
AB
AD
BD
，
∴
2
2
8
BC
AB
AC
=
−
= ，
在Rt
EDB
△
中，
∵
2
2
2
EB
ED
BD
=
+
，
∴(
)
2
2
2
8
4
r
r
−
=
+
，
∴
3
r = ，
∴
E
的半径的长为3．
20．（2026·河南平顶山·三模）如图，在平面直角坐标系中，点
(
)
0,2
A
，点B 在x 轴正半轴上，过点A，B
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的
P
与x 轴相切于点B，与y 轴交于另一点C（在点A 上方），连接
,
,
BA BC BP ．若BC 平分
ABP
，则点
B 的坐标为（ ）
A．(
)
2,0
B．(
)
2 2,0
C．(
)
2 3,0
D．(
)
3,0
【答案】C
【分析】延长BP交
P
于点D，求出
30
OBA
=
．根据含30角的直角三角形的性质得到OB ，即可得到答
案．
【详解】解：延长BP交
P
于点D，如图1，则BD是直径．
∵
P
与x 轴相切于点B，
∴BD
x
⊥
轴，即
90
OBD
=
，
∴BD
y
∥
轴，
∴
CBD
ACB
=
．
∵BC 平分
ABP
，
∴
ABC
CBD
=
，
∴
CBD
ACB
ABC
=
=
，
∴
CD
AB
AC
=
=
，
∴AD所对的圆心角的度数为2 180
120
3
=
，
∴
1 120
60
2
ABD
=
=
，
∴
30
OBA
=
，
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∵点
(
)
0,2
A
，
∴
2
OA =
，
∴
2
2
2
4,
2 3
AB
OA
OB
AB
OA
=
=
=
−
=
，
∴点B 的坐标为(
)
2 3,0 ．
21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，
P
的半径为2，点P 的坐标为(
)
0,3 ，若将
P
沿y 轴向下平移，
使得
P
与x 轴相切，则
P
向下平移的距离为（ ）
A．1
B．5
C．3
D．1 或5
【答案】D
【分析】分圆P 在x 轴的上方与x 轴相切和圆P 在x 轴的下方与x 轴相切两种情况分别求解即可．
【详解】解：当圆P 在x 轴的上方与x 轴相切时，平移的距离为3 2
1
−
= ，
当圆P 在x 轴的下方与x 轴相切时，平移的距离为3 2
5
+
= ，
综上所述，
P
向下平移的距离为1 或5．
故选：D．
【点睛】本题考查了相切的定义、平移变换等知识点，注意分类讨论是解答本题的关键．
22．（25-26 九年级上·江苏淮安·期中）尺规作图：
(1)如图，点Q 在直线AB 上，点C 在直线AB 外，作
O
经过Q ，C 两点且与AB 相切．
(2)已知⊙O．求作一点P ，过点P 作出
O
的两条切线分别为PA，PB点为A，B ．且使
45
APB
=
．
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【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题考查尺规作图，解题的关键在于掌握垂直平分线和角平分线的作法，结合题意作图；
（1）所求圆经过点Q 和C ，且与直线AB 相切于Q ，关键在于意识到：圆心必须在QC 的垂直平分线上；
同时，圆心必须在过点Q 且垂直于AB 的直线上（因为切点与圆心的连线垂直于切线）因此圆心是这两条
直线的交点．
（2）圆心O与切点A
B
、的连线垂直切线，所以
APB
与圆心角
AOB
互补，已知
45
APB
=
，则
135
AOB
=
，利用垂直构造90，利用角平分线构造45，即可构造
135
AOB
=
，再作过点A
B
、的切
线相交于点P 即可．
【详解】（1）
作图步骤如下：
①以点Q 为圆心任意画圆，与直线AB 相交于LM ，分别以点L ，点M 为圆心，大于1
2 LM 为半径画弧，
交于点K ，点L ，连接KL，则KL垂直平分LM ，KL所在直线为直线l （圆心O在此线上）；
②连接CQ ，分别以点C ，点Q 为圆心，大于1
2 CQ 为半径画弧，交于点G ，点F ，连接GF ，GF 所在直
线为直线m ；
③直线l 与m 的交点O即为所求圆心；
④以O为圆心，OQ 为半径作圆．
故圆O为符合题意的圆．
（2）
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作图步骤如下：
①先作直径CD，分别以点C ，点D 为圆心，大于1
2 CD 画弧，交点分别为点L ，K ，连接LK 与圆O相交
于EB，则EB垂直平分CD；
②以点E ，D 为圆心，大于1
2 ED 为为半径画弧，交于点H ，连接OH 与圆O交于点A，则OA平分
EOD
，使得
45
AOD
=
；
③以点A为圆心，OA为半径作圆，延长OA，与圆A交于点G ，以点G ，点O为圆心，大于1
2OG 为半径
画弧，交于点M ，点N ，连接MN ，MN 所在的直线即为圆O切线，切点为A；以点K 为圆心，OK 为半
径作圆，延长OK ，与圆K 交于点F ，以点F ，点O为圆心，大于1
2OF 为半径画弧，交于点Q ，点L ，连
接QL ，QL 所在直线即为圆O切线，切点为B ；两切线交于点P ，则
135
BOA
=
，
45
APB
=
．
故所作切线PA，PB所成
45
APB
=
．
23．（2026·广东东莞·三模）如图，在ABC
中，
.
AC
BC
(1)实践与操作：点O在线段BC 上，以O为圆心作
O
，
O
恰好过A，C 两点，并与线段BC 交于另一点
D ；小东在作图时，不小心擦掉了圆心以及部分圆弧，如图所示．请你用尺规作图：作出点O与点D ，并
补全
O
．
(2)在（1）的条件下，若2
90
C
B
+=
．求证：直线AB 是
O
的切线．
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【答案】(1)
(2)证明：如下图所示，连接OA，
则
2
AOB
C
=
，
2
90
C
B
+=
，
90
AOB
B
+=
，
90
OAB
=
，
OA
AB
⊥
，
OA
为
O
的半径，
直线AB 是
O
的切线．
【分析】（1）作线段AC 的垂直平分线交BC 于点O，以点O为圆心，OA为半径画圆，与BC 交于点D ，
则点O，点D与
O
为所求；
（2）连接OA，利用圆周角定理得到
2
AOB
C
=
，则可证明
90
OAB
=
，再利用圆的切线的判定定理
解答即可．
【详解】（1）略
（2）略
24．（25-26 九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，四边形ABCD是正方形，以点A 为圆心，AB 为半径画
弧，交以CD为直径的半圆于点E，连接AE 并延长，交BC 于点F．
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(1)求证：EF
CF
=
．
(2)若
4
AB =
，求CF ．
【答案】(1)见解析；
(2)1；
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理等知识
点，解决此题的关键合理的作出辅助线；
（1）先根据全等三角形的判定定理得到三角形全等，根据切线的判定定理判定切线，进而可以得到答
案；
（2）设出未知数，根据正方形的性质用未知数表示出对应边的长度，运用勾股定理进而可以得到答案；
【详解】（1）解：如图，设CD的中点为O，连接AO ，OE ，
在正方形ABCD中，
90
ADO
=
由题可知：OD
OE AD
AE
=
=
,
，
又∵AO
AO
=
，
∴
(
)
SSS
ADO
AEO
≌
∴
90
OEA
ADO
?
?
? ，
又∵OE 是半径，
∴AE 是
O
的切线，
又∵BC 是
O
的切线，
∴EF
CF
=
；
（2）解：在正方形ABCD中，
4
AB =
，
∴
4
CB
AE
AB
=
=
= ，
90
ABC
=
，
设CF 为x ，则EF
x
=
，
∴
4
,
4
AF
AE
EF
x BF
BC
CF
x
=
+
=
+
=
-
=
-
，
在Rt ABF
中，
2
2
2
AB
BF
AF
+
=
即
(
)
(
)
2
2
16
4
4
x
x
+
−
=
+
，
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解得：
1
x = ，
∴CF 的长为1．
25．如图，在ABC
中，
B
C
=
，点D 是边BC 的中点，点O 是边AB 上的点，以O 为圆心，OA为半
径的
O
交
,
,
AB BC AD 于点F，E，G，且点E 是弧GF 的中点，连接OE ．
(1)求证：BC 是
O
的切线；
(2)若
4,
2
BE
BF
=
=
，求
O
的半径．
【答案】(1)证明：连接GF 交OE 于点M，
∵
B
C
=
，
∴AB
AC
=
，
又∵点D 是BC 的中点，
∴AD
BC
⊥
，
∵AF 是
O
的直径，
∴
90
AGF
DGF
=
=
，
∵点E 是弧GF 的中点，
∴GF
OE
⊥
，
∴
90
GME
=
，
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∴四边形GMED是矩形，
∴
90
MED
=
，
∴OE
BC
⊥
，
∴BC 是
O
的切线；
(2)3
【分析】（1）连接GF 交OE 于点M，由等腰三角形的性质得出AD
BC
⊥
，由圆周角定理及垂径定理得出
90
DGM
GME
=
=
，得出四边形GMED是矩形，即可得证；
（2）设OE
OF
x
=
=
，则
2
OB
x
=
+
，由勾股定理可求出答案．
【详解】（1）略
（2）解：设OE
OF
x
=
=
，则
2
OB
x
=
+
，
∵
90
OEB
=
，
∴
2
2
2
OE
BE
OB
+
=
，
∴
(
)
2
2
2
4
2
x
x
+
=
+
，
解得
3
x = ，
∴
O
的半径为3．
26．（25-26 九年级下·河南商丘·阶段检测）如图，已知四边形ABCD中，
90
DAB
ABC
=
=
，以AB 为
直径作
O
与边CD相切于点E．
(1)如图1，连接BE，求证：
2
ADC
CBE
=
；
(2)如图2，连接OD ，OC 交
O
于点M，若
2
OM
CM
=
=
，求CD的长．
【答案】(1)见解析
(2) 8 3
3
【分析】（1）根据已知条件得到BC 是的切线，根据切线的性质得到
180
,
2
C
CE
CB
CBE
CEB
−
=
=
=
，然后结合
180
ADC
C
=
−
，即可得到结论．
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（2）连接BM ，证明三角形OBM 是等边三角形，再推出
60 ,
30
ODE
OCD
=
=
，从而解直角三角形得
到CD长即可．
【详解】（1）证明：∵
90
DAB
ABC
=
=
且点B 在
O
上，
∴BC 是
O
的切线，且AD
BC
，
又∵
O
与边CD相切，
∴CB
CE
=
，
∴
180
2
C
CBE
CEB
−
=
=
，
又
180
ADC
C
=
−
，
∴
1
2
CBE
ADC
=
，
即
2
ADC
CBE
=
．
（2）解：如图，连接BM ，
∵
2
OM
MC
=
=
，
90
OBC
=
，
∴
2
BM
OM
MC
OB
=
=
=
=
，
∴OBM
是等边三角形，
∴
60
BOC
=
，
∴
30
BCO
=
，
连接OE ，
∵
,
,
OB
OE OC
OC BC
CE
=
=
=
，
∴
(
)
OBC
OEC SSS
≌
，
∴
30
ECO
BCO
=
=
，
∴
60
BCD
=
，
∵AD
BC
，
∴
180
60
120
ADC
=
−
=
，
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∵
,
,
OA
OE OD
OD AD
DE
=
=
=
，
∴
(
)
OAD
OED SSS
≌
，
∴
60
ODA
ODE
=
=
，
∴OCD
是含有60角的直角三角形，
∴
4
8 3
cos
cos30
3
OC
CD
OCD
=
=
=
．
27．《测圆海镜》卷中记载：“假令有圆城一所，不知周径．或问甲、乙二人同立于巽地，乙西行四十八步
而止，甲北行九十步，望乙与城参相直，问径几何．”意思是：如图，ABC
是直角三角形，
90
ACB
=
，已知
48
AC =
步，
90
BC
步，AB 与
O
☉
相切于点D，CE ，CF 分别与
O
☉
相切于点E，
F，求
O
☉
的半径．根据题意，
O
☉
的半径是（ ）
A．100 步
B．120 步
C．140 步
D．160 步
【答案】B
【分析】此题考查了切线的性质，正方形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构
建方程解决问题．
如图所示，连接
,
,
OD OE OF ，证明四边形OECF 是正方形，设OE
OF
EC
FC
r
=
=
=
= 步，根据切线长定
理，得到
(
90)
BD
BF
r
=
=
−
步，
(
48)
AD
AE
r
=
=
−
步，利用勾股定理求出
2
2
102
AB
AC
BC
=
+
=
，然后
构建方程求解即可．
【详解】解：如图所示，连接OD ，OE ，OF ．
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∵CF ，CE 是
O
☉
的切线，
∴OF
CF
⊥
，OE
CE
⊥
．
∴
90
OFC
OEC
=
=
．
∵
90
ACB
=
，
∴四边形OECF 是矩形．
∵OE
OF
=
，
∴四边形OECF 是正方形．
设OE
OF
EC
FC
r
=
=
=
= 步，则
(
)
90
BF
FC
BC
r
=
−
=
−
步，
(
)
48
AE
EC
AC
r
=
−
=
−
步，
∵AB ，AE ，BF 是
O
☉
的切线，
∴
(
)
90
BD
BF
r
=
=
−
步，
(
)
48
AD
AE
r
=
=
−
步．
∵
2
2
102
AB
AC
BC
=
+
=
步，
∴
102
AB
AD
BD
=
+
=
步．
∴
48
90
102
r
r
−
+ −
=
．
∴
120
r =
．
故选：B．
28．如图，在ABC
中，
A
30
=
，
45
B
=
，
7 2cm
AB =
，点O以2
/
cm s 的速度在ABC
边上沿
A
B
C
A
→
→
→
的方向运动．以O为圆心作半径为2cm的圆，运动过程中
O
与ABC
三边所在直线首
次相切和第三次相切的时间间隔为__________秒．
【答案】5 2
1
2
+
【分析】要求第一次相切和第三次相切的时间间隔，题目已知速度，那么就要求第一次相切圆心运动的距
离与第三次相切圆心运动的距离之差，根据公式：时间=路程÷速度即可求解．
【详解】解：第一次相切如图①，
∵
1
2
O P
cm
=
，
1
O P
AC
⊥
，
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∴
1
1
2
2 2
sin
sin30
O P
O A
cm
A
=
=
=
，
即第一次相切圆心运动的距离为2 2cm．
第二次相切如图②，
2
2
O P
cm
=
，
2
O P
BC
⊥
，
第三次相切如图③，
∵
3
2
O P
cm
=
，
3
O P
AB
⊥
，
∴
3
3
2
2
sin
sin 45
O P
O B
cm
B
=
=
=
，
第三次相切圆心运动的距离为
3
7 2
2
AB
O B
+
=
+
，
∴第一次相切圆心运动的距离与第三次相切圆心运动的距离之差为：7 2
2
2 2
5 2
2
+ −
=
+
，
∴
5 2
2
5 2
1
2
2
s
t
v
+
=
=
=
+ ，
故答案为：5 2
1
2
+ ．
【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值以及求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离，解题的关键是
求出第一次相切圆心运动的距离与第三次相切圆心运动的距离之差．
29．如图，直线l 与x 轴、y 轴分别相交于点A、B，已知B（0，3 ），
30
BAO
=
，点P 的坐标为
(1,0) ，
P
与y 轴相切于点O，若将
P
沿x 轴向左移动，当
P
与该直线相交时，横坐标为整数的点P 的
坐标______．
【答案】（-2,0）（-3,0）（-4,0）
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【分析】先分别求得
P
与直线l 相切时点P 的坐标，然后再判断
P
与直线l 相交时点P 的横坐标x 的取
值范围，即可求得坐标为整数的点P 的坐标．
【详解】如图，
P
与
P
分别切AB 于D、E．
由
(0, 3)
B
，
30
BAO
=
，易得
3
OA = ，则A 点坐标为( 3,0)
−
．
连接P D
、P E
，则PD
AB
⊥
、P E
AB
⊥
，则在Rt
ADP
△
中，
2
2
AP
DP
=
=
，
同理可得，
2
AP=
，则P的横坐标为3 2
1
−+
= −，P的横坐标为1 4
5
−−
= −，
当
P
与直线l 相交时，点P 的横坐标x 的取值范围为5
1
x
−
−，
横坐标为整数的点P 的坐标为( 2,0)
−
、( 3,0)
−
、( 4,0)
−
．
故答案为：(-2，0)、(-3，0)、(-4，0)．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，分别求得
P
与直线l 相切时点P 的坐标是解题的关键．
30．如图，已知AB 是
O
的直径，CD与
O
相切于点C，过点B 作BE
DC
⊥
，交DC 延长线于点E．
(1)求证：BC 是
ABE
的平分线；
(2)若
8
DC =
，
O
的半径
6
OA =
，求CE 的长．
【答案】(1)证明：∵CD与
O
相切于点C，
∴OC
DC
⊥
，
∵BE
DC
⊥
，
∴BE
OC
∥
，
∴
EBC
OCB
=
，
∵OC
OB
=
，
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∴
OCB
OBC
=
，
∴
EBC
OBC
=
，
即BC 是
ABE
的平分线；
(2)4.8
【分析】（1）根据切线的性质得出OC
DE
⊥
，求出BE
OC
∥
，求出
EBC
OCB
=
，
OCB
OBC
=
，求
出
EBC
OBC
=
，根据角平分线的定义得出即可；
（2）过C 作CM
BD
⊥
于M，根据勾股定理求出OD ，根据三角形的面积求出CM ，根据角平分线的性质
得出CE
CM
=
，再求出答案即可．
【详解】（1）略
（2）解：如图所示，过点C 作CM
BD
⊥
于M，
∵BC 是
ABE
的平分线，BE
CE
⊥
，
∴CE
CM
=
，
∵CD与
O
相切于点C，
∴OC
DC
⊥
，
∴
90
OCD
=
，
∵
8
DC =
，
6
OC
OA
=
=
，
∴
2
2
2
2
8
6
10
OD
DC
OC
=
+
=
+
=
，
∵
1
1
2
2
DCO
S
CD OC
OD CM
=
=
△
，
∴8 6
10 CM
=
，
解得
4.8
CM =
，
又∵BC 是
ABE
的平分线，且
,
CM
AB CE
BE
⊥
⊥
，
即
4.8
CE
CM
=
=
．
31．（25-26 九年级上·江苏盐城·期末）科学家阿基米德曾说：“假如给我一个支点，我可以撬起整个地
球！”这运用的是杠杆原理．如图1，
O
表示地球，点P 是支点．
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(1)请用无刻度的直尺和圆规在图1 中作出撬起地球的杠杆（直线l ），使其经过点P，且与
O
相切于点
D．（标明字母，保留作图痕迹，不写作法）
(2)如图2，连接OP 交
O
于点B，延长PO交
O
于点A，C 为AB 下方的
O
上一点，且
30
AOC
=
，
在图1 的条件下，若D 为BC 的中点，求
OPD
的度数．
【答案】(1)见解析
(2)15
【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，切线的性质与判定，作垂线，掌握以上知识是解题的关键；
（1）连接OP ，以OP 的中点为圆心1
2 OP 为半径作弧，交
O
于点D ，作直线PD，即可求解．
（2）根据垂径定理的推论可得CB
OD
⊥
，根据切线的性质可得OD
PD
⊥
，则得出BC
PD
，根据平行线
的性质，即可求解．
【详解】（1）解：如图（1），连接OP ，先作OP 的垂直平分线，
再以OP 的中点为圆心，1
2 OP 为半径作弧，交
O
于点D ，
90
ODP
=
（直径所对圆周角为90），
即OD
PD
⊥
，
直线l 即为所求作的直线；
（2）解：如图，
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∵PD是
O
的切线，
∴OD
PD
⊥
，
∵D 是BC 的中点，
∴CB
OD
⊥
，
∴BC
PD
，
∴
OPD
ABC
=
，
又
1
15
2
ABC
AOC
=
=
，
15
OPD
ABC
=
=
．
32．如图，AB 是
O
的直径，OC 是
O
的半径，OC
AB
⊥
，点E 为AB 上方圆周上一点，连接OE ，
CE ，CE 交AB 于点D ．
(1)请用无刻度的直尺和圆规在射线BA上取点F ，使得FD
FE
=
（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)在（1）的条件下，求证：EF 是
O
的切线．
(3)在（1）的条件下，若
4
OC =
，
1
OD = ，求EF 的长．
【答案】(1)
(2)证明：∵DF
FE
=
，
∴
FDE
FED
=
．
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∵
ODC
FDE
=
，
∴
ODC
FED
=
．
∵OC
OE
=
，
∴
C
OEC
=
．
∵OC
AB
⊥
，
∴
90
COD
=
．
在Rt COD
中，
90
ODC
C
+
=
，
∴
90
OEC
FED
+
=
，即
90
OEF
=
，
∴OE
EF
⊥
．
∵OE 为
O
的半径，
∴EF 是
O
的切线．
(3)7.5
【分析】（1）根据题意作DE 的垂直平分线交BA于点F ；
（2）根据DF
FE
=
得出
FDE
FED
=
，根据对顶角相等可得
ODC
FED
=
，则
ODC
FED
=
，根据
OC
OE
=
，得出
C
OEC
=
，由
90
ODC
C
+
=
可得
90
OEC
FED
+
=
即
90
OEF
=
，即可得证；
（3）设EF
x
=
，则
1
OF
OD
DF
x
=
+
=
+ ，由（2）可知
90
OEF
=
，且
4
OE
OC
=
=
，在Rt
OEF
△
中，
根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：设EF
x
=
．
∵FD
FE
=
，
∴DF
x
=
．
∵
1
OD = ，
∴
1
OF
OD
DF
x
=
+
=
+ ，
由（2）可知
90
OEF
=
，且
4
OE
OC
=
=
，
∴在Rt
OEF
△
中，由勾股定理，得
2
2
2
OE
EF
OF
+
=
，
∴
(
)
2
2
2
4
1
x
x
+
=
+
，解得
7.5
x =
，
∴EF 的长为7.5．
33．如图，在平面直角坐标系中，
M
与y 轴相切于点A，与x 轴交于B、C 两点，D 为BC 的中点，反比
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例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象经过圆心
(
)
3,2
M
和点
(
)
,1
N a
，与
M
交于左上方的点Q．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求点D 的坐标；
(3)P 为反比例函数图象QN 上一点（包括端点），当
ABP
ABM
S
S
△
△
时，直接写出点P 的横坐标m 的取值范
围．
【答案】(1)
(
)
6
0
y
x
x
=
(2)
(
)
3, 1
D
−
(3)3
6
m
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）连接AM 、DM ，DM 交x 轴于F．根据圆的切线的性质和垂径定理可得AM
y
⊥
轴，MD
x
⊥
轴，
再结合点M 的坐标，得出
3
AM
MD
=
= ，
1
DF = ，即可得解；
（3）先求出
(
)
6,1
N
，由ABP
和ABM
同底AB 可知，AB 边上的高越大，面积越大，过反比例函数图象
QN 上的点分别作AB 的平行线，观察图象，即可得出点P 的横坐标m 的取值范围．
【详解】（1）解：∵反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象经过点
(
)
3,2
M
，
∴2
3
k
=
，解得
6
k =
．
∴反比例函数的表达式为
(
)
6
0
y
x
x
=
；
（2）解：如图，连接AM 、DM ，DM 交x 轴于F．
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∵
M
与y 轴相切于点A，D 为BC 的中点，
∴AM
y
⊥
轴，MD
x
⊥
轴，
∵
(
)
3,2
M
，
∴
3
AM
MD
=
= ，
2
MF = ，
∴
1
DF
MD MF
=
−
= ，
∴
(
)
3, 1
D
−
．
（3）解：反比例函数
6
y
x
=
的图象经过点
(
)
,1
N a
，
6
1
a
=
，解得：
6
a =
(
)
6,1
N
，
ABP
和ABM
是同底三角形，
底AB 上的高越大，面积越大，
ABP
ABM
S
S
△
△
，
点P 到AB 的距离大于点M 到AB 的距离，
如图，过反比例函数图象QN 上的点分别作AB 的平行线，
观察可知，当点P 在点M 右侧时，点P 到AB 的距离大于点M 到AB 的距离，
(
)
3,2
M
，
(
)
6,1
N
，
点P 的横坐标m 的取值范围为3
6
m
．
34．（25-26 九年级上·山东日照·期中）如图，在以点O 为圆心的两个同心圆中，AB 经过圆心O，且与小
圆相交于A，与大圆相交于点B，小圆的切线AC 与大圆相交于D，OC 平分
ACB
．
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(1)证明：直线BC 是小圆的切线；
(2)试证明：AC
AD
BC
+
=
；
(3)若
8cm
AB =
，
10cm
BC =
，求大圆与小圆形成的圆环的面积．
【答案】(1)见详解；
(2)见详解；
(3)
2
16 cm
．
【分析】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定等知识点，熟练掌握切线的判定、全等三角形的判定
方法是解题的关键．
（1）只要证明OE 垂直BC 即可得出BC 是小圆的切线；
（2）利用全等三角形的判定得出
OAD
OEB
△
≌△
，从而得出EB
AD
=
，从而得到CE
EB
BC
+
=
，从而证
明AC
AD
BC
+
=
；
（3）根据大圆的面积减去小圆的面积即可得到圆环的面积．
【详解】（1）解：连接OD ，过O 作OE
BC
⊥
，垂足为E，
AC
是小圆的切线，AB 经过圆心O，
OA
AC
⊥
，
CO
平分
ACB
，OE
BC
⊥
，
ACO
OCE
\ ?
?
，OAC
OEC
?
?
，OC
OC
=
，
(
)
ACO
ECO AAS
≌
，
OE
OA
=
，
OE
是小圆的半径，
BC
是小圆的切线；
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（2）
AC
切小圆于点A，BC 切小圆于点E，
OA
OE
=
，OD
OB
=
，
90
OAD
OEB
=
=
，
OAD
OEB
\ △
≌△
，
EB
AD
=
，
∵ACO
ECO
≌
，
∴AC
CE
=
，
CE
EB
BC
+
=
，
BC
AC
AD
=
+
；
（3）
90
BAC
=
，
8cm
AB =
，
10cm
BC =
，
2
2
2
2
10
8
6
AC
BC
AB
=
−
=
−
= ，
BC
AC
AD
=
+
，
4
AD
BC
AC
=
−
=
，
又
2
2
2
OD
OA
AD
−
=
，
圆环的面积为：
(
)
(
)
2
2
2
2
4
16
cm
S
OD
OA
p
p
p
p
=
-
=
=
（
）．
35．（1）如图，已知
, ,
,
A B C D 是
O
上的四个点，
,
AB
BC DB
=
交AC 于点E ，连接
,
CD AD ．求证：DB
平分
ADC
；
（2）如图，PA与
O
相切于点
,
A PB 与
O
相切于点,
90 ,
4
B
APB
AP
=
=
．求
O
的半径．
【答案】（1）见解析；
（2）4 ．
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【分析】（1）等弦对等弧，进而证明角相等，可证DB平分
ADC
；
（2）通过切线的性质得到
90
OAP
OBP
=
=
，再结合
90
APB
OA
OB
=
=
，
，可证明四边形OAPB为正
方形，即可求出
O
的半径．
【详解】解：（1）证明：
AB
BC
=
，
AB
BC
=
，
BDC
ADB
=
，
DB
平分
ADC
．
（2）
PA
与
O
相切于点
,
A PB 与
O
相切于点B ，
90
OAP
OBP
=
=
．
90 ,
,
APB
OA
OB
=
=
四边形OAPB为正方形，
4
AO
AP
=
=
，即
O
的半径为4．
【点睛】该题考查圆周角定理、切线的性质、正方形的判定，解题的关键是掌握圆周角定理、正方形的判
定．
36．阅读理解：对于题目“已知
O
及圆外一点P，如何过点P 作出
O
的切线？”甲乙的作法如图：
甲的作法连接OP ，作OP 的垂直平分
线交OP 于点G，以点G 为圆心，OG
长为半径画弧交
O
于M，作直线
PM ．直线PM 即为所求．
乙的作法连接PO并延长，交
O
于B，C 两
点，分别以P，O 为圆心，PO，BC 长为半径
作弧，两弧交于点D，连接OD ，交
O
于点
M，作直线PM ．直线PM 即为所求．
(1)下列说法正确的是（ ）
A．甲和乙的作法都正确 B．甲和乙的作法都错误
C．甲的作法正确，乙的作法错误 D．乙的作法正确，甲的作法错误
(2)请以甲的作图为例，直线PM 若是
O
的切线，请给与证明；若不是请说明理由．
(3)如图，AB 是
O
的直径，且
6
AB = ，点P 为
O
外一点，作出
,
PA PC 分别切
O
于点A、C 两点．BC
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与AP 的延长线交于点D．
①当PC = ______时，四边形AOCP是正方形．
②当CDP
为等边三角形时，直接写出PC 的长．
【答案】(1)A
(2)证明见解析
(3)①3②
3
PC =
【分析】（1）根据甲乙的作法判断
90
PMO
=
即可得出结论．
（2）对于甲的作法，连接OM ，利用基本作图得到AB 垂直平分OP ，则OG
GP
=
，再根据圆周角定理得
到
90
PMO
=
，然后根据切线的判定方法得到PM 为
O
的切线，于是可判断甲的作法正确；对于乙的作
法：利用基本作图得到PD
PO
=
，OD
BC
=
，由于
1
2
OM
BC
=
，所以OM
DM
=
，则根据等腰三角形的性质
得到PM
OD
⊥
，然后根据切线的判定方法得到PM 为
O
的切线，于是可判断乙的作法正确．
（3）①当
3
PC = 时，利用切线长定理，先证明四边形AOCP是菱形，再根据有一个角是直角的菱形是正
方形即可得证；
②连接OP ，易得OPC
是含30 度角的直角三角形，进行求解即可．
【详解】（1）解：甲和乙的作法都正确，
故选：A．
证明见小问（2）；
（2）解：对于甲的作法：
连接OM
由作法得AB 垂直平分OP ，
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∴OG
GP
=
，
∴点M 为以OP 为直径的圆与
O
的交点，
∴
90
PMO
=
，
∴OM
PM
⊥
，
∴PM 为
O
的切线，所以甲的作法正确；
对于乙的作法：
由作法得PD
PO
=
，OD
BC
=
，
∵
1
2
OM
BC
=
，
∴OM
DM
=
，
∴PM
OD
⊥
，
∴PM 为
O
的切线，所以乙的作法正确；
（3）①当
3
PC = 时，四边形AOCP是正方形，证明如下：
∵
,
PA PC 分别切
O
于点A、C 两点，
∴
3
PA
PC
=
= ，OA
PA
⊥
，
∴
90
OAP
=
，
∵AB 是
O
的直径，且
6
AB = ，
∴
3
OA
OC
PA
PC
=
=
=
=
，
∴四边形AOCP是菱形，
∵
90
OAP
=
，
∴四边形AOCP是正方形；
②连接OP ，
∵CPD
为等边三角形，
∴
60
CPD
=
，
∴
120
APC
=
，
∵
,
PA PC 为切线，
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∴
90
OCP
=
，OP 平分
APC
，
∴
60
OPC
=
，
∴
30
COP
=
，
∴
2
,
3
3
OP
PC OC
PC
=
=
=
，
∴
3
PC =
．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图、线段垂直平分线的性质和切线的判定和性质，正方形的判定，圆周角
定理，切线长定理，等边三角形的性质，熟练掌握相关性质，是解题的关键．
37．如图1，
O
是ABC
的外接圆，AB 为直径，点P 是
O
外一点，且
=
=
PA
PC
2AB，连接PO交
O
于点E ，交AC 于点D ，延长PO交
O
于点F ，连接AE ．
(1)证明：
AF
CF
=
；
(2)若tan
2
AEF
=
，证明：PA是
O
的切线；
(3)在（2）的条件下，连接PB交
O
于点G ，连接DG ，若
O
的半径为3，求DG 的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
4
3
3
DG =
【分析】（1）根据垂直平分线的逆定理得PO为线段AC 的垂直平分线，再根据垂径定理证明
CF
AF
=
；
（2）设DE
m
=
，根据tan
2
AEF
=
得
2
AD
m
=
，设
O
的半径OA
OE
r
=
=
得OD
r
m
= −
，在Rt ADO
中，根据
2
2
2
OD
AD
OA
+
=
得
3
2
r
m
=
，进而得
2
3 2
PA
AB
m
=
=
，在Rt PDA
中，由勾股定理计算
2
2
4
PD
PA
AD
m
=
−
=
，进而得
(
)
2
2
2
81
4
PO
PD
OD
m
=
+
=
，
2
2
18
PA
m
=
，
2
2
9
4
OA
m
=
，易得
2
2
2
PA
AO
PO
+
=
，从而OA
PA
⊥
，进而证明PA是
O
的切线；
（3）过点B 作BM
PF
⊥
于点M ，过点G 作GH
PF
⊥
于点H ，连接OG ，AG ，由
3
r = 得
6
AB =
，
6 2
PA=
、
2 2
AD =
、
1
OD = ，进而得
2
2
6 3
PB
PA
AB
=
+
=
，易得PGA
PAB
∽
，进而由
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PG
PA
PA
PB
=
得
4 3
PG =
，由四边形CDMB是矩形得
2 2
BM
CD
AD
=
=
=
，由GH
BM
得GH
PG
BM
PB
=
，计算
得
4
2
3
GH =
，在Rt OGH
中，由勾股定理得
2
2
7
3
OH
OG
GH
=
−
=
，得
4
3
DH
OH
OD
=
−
=
，在
Rt DHG
中，根据勾股定理计算
2
2
4
3
3
DG
DH
GH
=
+
=
．
【详解】（1）证明：如图，连接OC ，
PA
PC
=
，OA
OC
=
，
PO
为线段AC 的垂直平分线，
AC
EF
⊥
，
又
EF
是
O
的直径，
CF
AF
\
=
；
（2）证明：在Rt ADE
中，
tan
2
AEF
=
，
2
AD
DE
=
，
设DE
m
=
，则
2
AD
m
=
，设
O
的半径OA
OE
r
=
=
，则OD
r
m
= −
在Rt ADO
中，
2
2
2
OD
AD
OA
+
=
，
(
)
(
)
2
2
2
2
r
m
m
r
−
+
=
，
解得
3
2
r
m
=
，
又
3
2
2
2
3 2
2
PA
AB
m
m
=
=
=
，
在Rt PDA
中，
(
)
(
)
2
2
2
2
3 2
2
4
PD
PA
AD
m
m
m
=
−
=
−
=
，
(
)
2
2
2
2
1
81
4
2
4
PO
PD
OD
m
m
m
=
+
=
+
=
，
(
)
2
2
2
3 2
18
PA
m
m
=
=
，
2
2
2
3
9
2
4
OA
m
m
=
=
，
2
2
2
PA
AO
PO
+
=
，
90
OAP
=
，即OA
PA
⊥
，
又
OA
是
O
的半径，
PA
是
O
的切线；
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（3）解：如图，过点B 作BM
PF
⊥
于点M ，过点G 作GH
PF
⊥
于点H ，连接OG ，AG ，
90
CDM
BMD
BCD
=
=
=
，
O
的半径
3
r = ，
2
6
AB
r
=
=
，
2
6 2
PA
AB
=
=
，
由（2）知
3
2
r
m
=
，
2
m
=
，
2
2 2
AD
m
=
=
，
1
OD
r
m
= −
= ，
由（2）得AB
PA
⊥
，
(
)
2
2
2
2
6 2
6
6 3
PB
PA
AB
=
+
=
+
=
，
90
AGB
PAB
=
=
，
APG
APB
=
，
PGA
PAB
∽
，
PG
PA
PA
PB
=
，
(
)
2
2
6 2
4 3
6 3
PA
PG
PB
=
=
=
，
90
CDM
BMD
BCD
=
=
=
，
四边形CDMB是矩形，
2 2
BM
CD
AD
=
=
=
，
GH
BM
∥
，
GH
PG
BM
PB
=
，
2 2
4 3
4
2
3
6 3
BM PG
GH
PB
=
=
=
，
在Rt OGH
中，
2
2
2
2
4
7
3
2
3
3
OH
OG
GH
=
−
=
−
=
，
7
4
1
3
3
DH
OH
OD
=
−
=
−=
，
在Rt DHG
中，
2
2
2
2
4
4
4
2
3
3
3
3
DG
DH
GH
=
+
=
+
=
．
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38．（25-26 九年级上·江苏盐城·期末）借助运动的视角看图形变化是非常重要的数学眼光
已知
45
A
=
，点D ，E 在AC 上，
8
DE =
，点P 在AB 上，连接PD，PE，作PDE
的外接圆
O
．
(1)当
6
AD =
时，
①如图1，若PE是
O
的直径，则
O
的半径为 ；
②如图2 ，若
12 2
AP =
，求
O
的半径．
(2)当
8
AD = 时，如图3，若
O
与AB 相切于点P ，用直尺和圆规作出点P 的位置．（要求：不写作法，保
留作图痕迹，写出必要的文字说明）
(3)设AD
m
=
，对于每一个m 的值，
O
的半径随着点P 的位置的变化而变化，直接写出
O
的半径的最小
值及对应的m 的取值范围（可用含m 的式子表示）．
【答案】(1)①5；②185
2
(2)作图见解析
(3)当0
4 2
4
m
−
时， 最小值
4
r =
；当
4 2
4
m
−时，最小值
(
)
2
2
4
8
r
m
m
m
=
+
−
+
【分析】（1）①由圆周角定理得
90
PDE
=
，进而可得ADP
是等腰直角三角形，即得
6
AD
PD
=
=
，再
利用勾股定理求出PE即可求解；②过点O
P
、作AC 的垂线，垂足分别为G
F
、
，过点O作OH
PF
⊥
，垂
足为H ，连接OP
OD
、
，由等腰直角三角形的性质可得
12
PF
AF
=
=
，即得
6
DF
AF
AD
=
−
=
，
2
EF
DE
DF
−
=
= ，由垂径定理得
4
DG
EG
=
=
，再根据矩形的性质得
2
OH
GF
DF
DG
=
=
−
=
，
HF
OG
=
，设HF
OG
x
=
=
，则
12
PH
x
=
−，利用勾股定理可得
2
2
2
2
OG
DG
OH
PH
+
=
+
，即得
11
2
x =
，
再求出OD 即可求解；
（2 ）作AE 的垂直平分线交AB 于点P ，由
8
AD
DE
=
= 可知APE
是等腰直角三角形，即可得PDE
是
等腰直角三角形，故
O
与AB 相切于点P ，点P 即为所求；
（3）当以DE 为直径的圆与AB 相切时，可得
4 2
4
m =
−，再分0
4 2
4
m
−
和
4 2
4
m
−两种情况解
答即可求解．
【详解】（1）解：①∵PE是
O
的直径，
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∴
90
PDE
=
，
∴
90
ADP
=
，
∵
45
A
=
，
∴ADP
是等腰直角三角形，
∴
6
AD
PD
=
=
，
∵
8
DE =
，
∴
2
2
2
2
6
8
10
PE
PD
DE
=
+
=
+
=
，
∵PE是
O
的直径，
∴
O
的半径为5，
故答案为：5；
②如图，过点O
P
、作AC 的垂线，垂足分别为G
F
、
，过点O作OH
PF
⊥
，垂足为H ，连接OP
OD
、
，
∵PF
AF
⊥
，
12 2
AP =
，
45
BAC
=
，
∴
12
PF
AF
=
=
，
∴
12 6
6
DF
AF
AD
=
−
=
−
=
，
∴
8 6
2
EF
DE
DF
=
−
= −=
，
∵OG
DE
⊥
，
∴
4
DG
EG
=
=
，
∵
90
OGF
GFH
OHF
=
=
=
，
∴四边形OGFH 为矩形，
∴
6
4
2
OH
GF
DF
DG
=
=
−
= −
=
，HF
OG
=
，
设HF
OG
x
=
=
，则
12
PH
x
=
−，
在Rt
ODG
△
和Rt OHP
中，由勾股定理得
2
2
2
OD
OG
DG
=
+
，
2
2
2
OP
OH
PH
=
+
，
∵OD
OP
=
，
∴
2
2
2
2
OG
DG
OH
PH
+
=
+
，
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即
(
)
2
2
2
2
4
2
12
x
x
+
=
+
−
，
解得
11
2
x =
，
∴
2
2
2
2
11
185
4
2
2
OD
OG
DG
=
+
=
+
=
，
∴
O
的半径为185
2
；
（2）解：如图所示，点P 即为所求；
（3）解：如图，以DE 为直径的圆与AB 相切时，
1
4
2
OP
OD
DE
=
=
=
，OP
AP
⊥
， 即
90
APO
=
，
∵
45
BAC
=
，
∴
2
4 2
OA
OP
=
=
，
∴
4 2
4
AD
OA OD
=
−
=
−，
即
4 2
4
m =
−，
当0
4 2
4
m
−时，
4
r =
；
当
4 2
4
m
−时，可知当
O
与AB 相切时，半径最小，如图，过点O作OG
DE
⊥
于G ，GO 的延长线交
AB 于点F ，连接OP
OD
、
，则OP
AB
⊥
，
∴
90
OGD
OPF
=
=
，
1
4
2
DG
EG
DE
=
=
=
，
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∵
45
BAC
=
，
∴
45
PFO
=
，
∴OPF
是等腰直角三角形，
4
FG
AG
m
=
=
+
，
设OP
OD
r
=
= ，则
2
2
OF
OP
r
=
=
，
∴
4
2
OG
m
r
=
+ −
，
在Rt
OGD
△
中，
2
2
2
OG
DG
OD
+
=
，
∴(
)
2
2
2
4
2
4
m
r
r
+
−
+
=
，
解得
(
)
2
2
4
8
r
m
m
m
=
+
−
+
；
综上，当0
4 2
4
m
−
时， 最小值
4
r =
；当
4 2
4
m
−时，最小值
(
)
2
2
4
8
r
m
m
m
=
+
−
+
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，垂径定理，切线的性质，勾股定理，矩
形的判定和性质等，正确作出辅助线是解题的关键．
39．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，已知ABC
中，
3
AB =
，
5
AC =
，
7
BC =
，点P 在BC 边上运动，
连接AP ．当ABP
和
APC
△
的内切圆半径相等时，设BP
t
= ，则AP =________（用含t 的代数式表示）．
【答案】21 8
2
7
t
t
−
−
【分析】设左边圆的圆心为O，过点O分别作OD
AB
⊥
，OE
BP
⊥
，OF
AP
⊥
，垂足分别为点
,
,
D E F ，则
可设AP
x
=
，OD
OE
OF
r
=
=
=
，根据
ABP
BOP
AOP
AOB
S
S
S
S
=
+
+
，得到
(
)
1
3
2
ABP
S
t
x
r
=
+
+
△
，同理可得
(
)
1 12
2
ACP
S
t
x r
=
−+
△
，则
(
)
(
)
1
3
3
2
1
12
12
2
ABP
ACP
t
x
r
S
t
x
S
t
x
t
x r
+
+
+
+
=
=
−+
−+
△
△
，而
7
ABP
ACP
S
BP
t
S
CP
t
=
=
−
△
△
，即可得到
3
12
7
t
x
t
t
x
t
+
+
=
−+
−，即可求解．
【详解】解：设左边圆的圆心为O，过点O分别作OD
AB
⊥
，OE
BP
⊥
，OF
AP
⊥
，垂足分别为点
,
,
D E F ，
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∵
O
为ABP
的内切圆，
∴OD
OE
OF
=
=
设AP
x
=
，OD
OE
OF
r
=
=
=
∵
ABP
BOP
AOP
AOB
S
S
S
S
=
+
+
∵
3
AB = ，BP
t
= ，
5
AC =
，
7
BC =
，
∴
7
PC
t
−
=
∴
(
)
(
)
1
1
1
1
1
3
2
2
2
2
2
ABP
S
BP r
AP r
AB r
BP
AP
AB r
t
x
r
=
+
+
=
+
+
=
+
+
△
，
∵ABP
和
APC
△
的内切圆半径相等
∴同理可得，
(
)
(
)
(
)
1
1
1
5
7
12
2
2
2
ACP
S
AC
PC
AP r
t
x r
t
x r
=
+
+
=
+ −+
=
−+
△
∴
(
)
(
)
1
3
3
2
1
12
12
2
ABP
ACP
t
x
r
S
t
x
S
t
x
t
x r
+
+
+
+
=
=
−+
−+
△
△
又∵
7
ABP
ACP
S
BP
t
S
CP
t
=
=
−
△
△
∴
3
12
7
t
x
t
t
x
t
+
+
=
−+
−
解得
21 8
2
7
t
x
t
−
=
−
，即
21 8
2
7
t
A
t
P
−
=
−
．
40．（2026·广东·中考真题）如图，直线AB 经过
O
上的点C ，且AC
BC
=
，
40
OAB
=
，
100
AOB
=
．求证：直线AB 是
O
的切线．
【答案】证明：连接OC
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∵
100
AOB
=
，
40
OAB
=
∴
180
40
OBA
AOB
OAB
=
−
−
=
∴
OAB
OBA
=
∠
∠
∴OA
OB
=
∵AC
BC
=
∴OC
AB
⊥
∵点C 在
O
上，
∴OC 为半径，
∴直线AB 是
O
的切线．
【分析】连接OC ，先由三角形内角和定理求出
OBA
的度数，再证明OAB
为等腰三角形，则由三线合
一得到OC
AB
⊥
，即可证明．
【详解】略
41．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，AB 是
O
的直径，弦CD
AB
⊥
，垂足为H ．E 为BD上一点，连
接AE 交CD于点F ，EF 的垂直平分线交CD的延长线于点G ，连接GE ．
(1)若
O
的半径为3，
2
AH =
，求CD的长；
(2)求证：EG 是
O
的切线．
【答案】(1)4 2 ；
(2)证明：连接OE ，
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∵点G 在EF 的垂直平分线上，
∴GE
GF
=
，
∴
GEF
GFE
=
，
∵
GFE
AFH
=
，
∴
GEF
AFH
=
，
∵CD
AB
⊥
，
∴
90
AHF
=
，
∴
90
A
AFH
+
=
，
∵OA
OE
=
，
∴
A
OEA
=
，
∴
90
OEA
GEF
+
=
，
∴
90
OEG
=
，
∴OE
EG
⊥
，
∵OE 是
O
半径，
∴EG 是
O
的切线。
【分析】（1）连接OC ，先求出OH 长度，利用垂径定理得
1
2
CH
DH
CD
=
=
，再在Rt OCH
中由勾股定理
算出CH ，进而求出CD；
（2）连接OE ，由垂直平分线性质得GE
GF
=
，等边对等角得
GEF
GFE
=
，结合CD
AB
⊥
推出
90
A
AFH
+
=
，再利用OA
OE
=
得
A
OEA
=
，等量代换证明
90
OEG
=
，依据切线判定定理证EG
为切线。
【详解】（1）解：连接OC ，
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∵
O
半径为3，
∴
3
OC
OA
=
= ，
∵
2
AH =
，
∴
3 2
1
OH
OA
AH
=
−
= −
= ，
∵CD
AB
⊥
，AB 为直径，
∴
90
OHC
=
，
2
CD
CH
=
，
在Rt OCH
中，
2
2
2
2
3
1
2 2
CH
OC
OH
=
−
=
−
=
，
∴
2 2 2
4 2
CD =
=
；
（2）略
42．（2026·山东德州·中考真题）如图，在
O
中，点A为
O
上一点，点D 是AC 的中点，BC 是
O
的直
径．过点A作
O
的切线交BC 的延长线于点E ，连接OD 并延长交AE 于点F ，连接CF ．
(1)求证：CF 与
O
相切；
(2)若
1 2
AF EF =
∶
∶
，
2
CF =
，求阴影部分的面积．
【答案】(1)证明：连接OA，
BC
是
O
直径，点C 在
O
上，
D
是AC 的中点，
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AOF
COF
=
，
在
AOF
△
和COF
中，
OA
OC
AOF
COF
OF
OF
=
=
=
，
(
)
, ,
AOF
COF S A S
≌
，
90
OCF
OAF
=
=
，
OC
FC
⊥
，
OC
是
O
的半径，
CF 与
O
相切．
(2)4 3
2
−
【分析】（1）连接OA，通过AOF
COF
≌
证OC
FC
⊥
，再结合点C 在
O
上，即可得证；
（2）阴影部分的面积为
OCFA
OCA
S
S
−
四边形
扇形
，通过线段转化即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：
AF
CF
，
是
O
的切线，
AF
CF
＝
，
12
2
AF
EF
CF
：
＝：，
＝ ，
2
4
AF
EF
＝，
＝ ，
90
FCE
＝
，
2
1
sin
4
2
FC
E
EF
=
=
=
，
30
E
＝
，
90
60
CFE
E
=
−
＝
，
180
60
2
CFE
OFC
OFA
−
=
＝
＝
，
90
30
FOC
OFC
=
−
＝
，
2
4
OF
FC
＝
＝ ，
由勾股定理得，
2 3
OC＝
，
1
2 3 2 2 3
2
FOC
S
＝
＝
，
2
4 3
OFC
OCFA
S
S
四边形
＝
＝
，
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(
)
2
60 π 2 3
2
360
OAC
S
扇形
＝
＝
，
阴影部分的面积为
4 3
2
OCFA
OCA
S
S
−
−
四边形
扇形
＝
．
43．（2026·湖北·中考真题）如图，在ABC
中，AC
BC
=
，以BC 为直径的
O
交AB 于点D ，弦
DF
BC
⊥
，垂足为E ．
(1)求证：AD
BD
=
；
(2)若
10
AB =
，
8
DF =
，求
O
的半径．
【答案】(1)证明：如图，连接CD，
BC
为
O
的直径，
90
CDB
=
，
又AC
BC
=
，
AD
BD
=
；
(2) 25
6
【分析】（1）利用等腰三角形三线合一证明即可；
（2）由（1）得出BD的长，利用垂径定理求出DE 的长，在Rt
DEB
△
中利用勾股定理求出BE的长，设
O
的半径为r ，则OD
r
= ，
3
OE
r
= −，在Rt
DOE
△
中利用勾股定理即可求出r ．
【详解】（1）略；
（2）解：如图，连接OD ，
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弦DF
BC
⊥
，BC 为直径，
8
DF =
，
1
4
2
DE
DF
=
=
，
AD
BD
=
，
10
AB =
，
1
5
2
BD
AB
=
=
，
在Rt
DEB
△
中，
2
2
2
2
5
4
3
BE
BD
DE
=
−
=
−
=
，
设
O
的半径为r ，则OD
r
= ，
3
OE
r
= −，
在Rt
DOE
△
中，
2
2
2
OD
DE
OE
=
+
，
(
)
2
2
2
4
3
r
r
=
+
−
，化简得6
25
r =
，解得
25
6
r =
，
O
的半径为25
6 ．
44．（2026·湖南·中考真题）如图，在等腰OAB
中，OA
OB
=
．在OA上取一点E ，以O为圆心，OE 的长
为半径画弧，交OB 于点F ；分别以E ，F 为圆心，大于1
2 EF 的长为半径画弧，在
AOB
内两弧交于点
P ；作射线OP 交AB 于点C ；以O为圆心，OC 的长为半径作
O
．
(1)求证：AB 与⊙O相切；
(2)已知
10
OA=
，
12
AB =
，求⊙O的半径．
【答案】(1)证明：由尺规作图的作法可知，射线OP 是
AOB
的角平分线，
∵OA
OB
=
，
∴OAB
是等腰三角形，
∴OC
AB
⊥
，
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又∵OC 是
O
的半径，且点C 在AB 上，
∴AB 与
O
相切；
(2)
O
的半径为8
【分析】（1）由尺规作图作法可知，射线OP 平分
AOB
；又OA
OB
=
，OAB
为等腰三角形，根据等腰三
角形“三线合一”性质，可得OC
AB
⊥
．因OC 是
O
的半径，且点C 在直线AB 上，即可证AB 与
O
相切；
（2）由OA
OB
=
、OC
AB
⊥
，根据三线合一可知OC 是底边AB 的中线，则可得
6
AC =
．在Rt
OAC
△
中，
运用勾股定理即可求出
O
的半径．
【详解】（1）略
（2）解：∵OAB
是等腰三角形，且OC
AB
⊥
，
∴OC 是底边AB 的中线，
∴
1
1 12
6
2
2
AC
AB
=
=
=
，
在Rt
OAC
△
中，
2
2
2
2
10
6
8
OC
OA
AC
−
=
=
−
=
，
∴
O
的半径为8．
