文档文本内容
3.2 代数式的值
课标要点
1.了解代数式的值的概念，会把具体数代入代数式进行计算.
2.感受代数式求值是一个转换过程或某种算法，锻炼学生的计算能力和解题能力.
3.能运用公式列出几何图形问题中的代数式，并把具体数代入求值.
4.掌握代数式在几何问题中的运用，发展学生的几何直观感知能力与计算能力.
学习重难点
重点：
1.读懂文字语句，理清语句运算顺序，精准把文字描述转化为规范代数式。
2.牢记并严格执行代数式书写标准，规避数字、乘除、括号相关书写错误。
3.熟练提取几何、经济、行程类实际问题里的显性数量关系，正确列式。
难点：
1.代入负数、分数时容易漏加括号，导致符号、计算出错。
2.分不清运算先后顺序，混合运算计算步骤混乱。
3.根据实际场景判断字母合理取值，结合求值分析实际问题。
4.观察字母数值变化，推导代数式结果的变化规律。
第三章
代数式的值
知识点
代数式的值
◆1、代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．
（1）一般地，代数式的值不是固定不变的，是随着代数式中字母取值的变化而变化的．
（2）代数式与代数式的值是两个不同的概念，代数式表述的是问题的一般规律，而代数式的值是这个规
律下的特殊情形，
（3）当代数式表示实际问题的数量关系时，字母的取值除了需满足使代数式本身有意义外，还要保证具
有实际意义，如a 表示学生的人数，则a 只能取正整数．
◆2、代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
随学随练
1.（2026·海南省直辖县级单位·二模）当𝑥= 1时，代数式3𝑥−2的值为（ ）
A．5
B．0
C．1
D．−3
【答案】C
【分析】将给定的𝑥的值代入代数式，按照有理数运算法则计算即可得到结果．
【详解】解：把𝑥= 1代入3𝑥−2，得3 × 1−2 = 1， 即代数式的值为1．
2．（2026·广东佛山·三模）若𝑎2−3𝑎−1 = 0，则2𝑎2−6𝑎−4的值为（ ）
A．−6
B．−2
C．6
D．2
【答案】B
【分析】先根据已知等式得到𝑎2−3𝑎的值，再将所求代数式变形后代入计算即可.
【详解】解：∵𝑎2−3𝑎−1 = 0，
∴𝑎2−3𝑎= 1，
∴2a2−6a−4 = 2(a2−3a)−4 = 2 × 1−4 = −2.
3．当𝑎= 3，𝑏= −
2
3时，求下列代数式的值．
(1)2𝑎𝑏；
(2)𝑎2 + 𝑏2．
【答案】(1)−4
(2)
85
9
【分析】此题主要考查了代数式求值，正确代入已知数据计算是解题关键．
（1）直接把a，b 的值代入求出答案；
（2）直接把a，b 的值代入求出答案．
【详解】（1）解：∵𝑎= 3，𝑏= −
2
3，
∴2𝑎𝑏= 2 × 3 × −
2
3 = −4；
（2）解：∵𝑎= 3，𝑏= −
2
3，
∴a2 + b2 = 32 + −2
3
2
= 9 + 4
9 =
85
9 ．
知识点
代数式求值的方法与步骤
第一步：代入：用数值代替代数式里的字母，简称为“代入”．
第二步：计算：按照代数式指明的运算，计算出结果，简称为“计算”．
随学随练
1．如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成，第1 个图案中有5 个圆片，第2 个图案中
有8 个圆片，第3 个图案中有11 个圆片，第4 个图案中有14 个圆片，……，依此规律，第2026 个图案中
有（ ）
A．2026 个圆片
B．4054 个圆片
C．6080 个圆片
D．10130 个圆片
【答案】C
【分析】本题主要考查了图形规律的探索，熟练掌握图形规律的探索方法是解题的关键．先观察图案中圆
片数量的变化，归纳出第𝑛个图案圆片的数量，再代入𝑛= 2026计算即可．
【详解】解：第1 个图案：5 = 3 × 1 + 2，
第2 个图案：8 = 3 × 2 + 2，
第3 个图案：11 = 3 × 3 + 2，
第4 个图案：14 = 3 × 4 + 2，
∴ 第𝑛个图案圆片数量为：3𝑛+ 2，
当𝑛= 2026时，3 × 2026 + 2 = 6078 + 2 = 6080，
故选：C．
2．如图用代数式表示图中阴影部分的面积，并计算当𝑥= 4m时，阴影部分的面积（π 取3.14）．
【答案】
4−𝜋
4 𝑥2，3.44m2
【分析】本题考查了代数式，掌握圆和正方形的面积公式是解题的关键．
根据图形可知，阴影部分的面积为正方形的面积减去圆的面积，即可求解．
【详解】解：阴影部分的面积为𝑥2−𝜋
1
2 𝑥
2
= 𝑥2−
1
4𝜋𝑥2 =
4−𝜋
4 𝑥2，
当𝑥= 4m，面积为
4−𝜋
4 𝑥2 =
4−3.14
4
× 42 = 3.44m2．
3．某中学八年级（1）班5 名老师决定带领本班x 名学生去迁西景忠山旅游参观．该景区每张门票的票价
为40 元，现有A、B 两种购票方案可供选择：方案A：教师全价，学生半价；方案B：不分教师与学生，
全部六折优惠．
(1)请用含x 的代数式分别表示：A 方案所需的费用为______元，B 方案所需的费用为_____元
(2)当学生人数𝑥= 50时，且只选择其中一种方案购票，请通过计算说明选择哪种方案更为优惠．
【答案】(1)A方案：(20𝑥+ 200)，B方案：(24𝑥+ 120)
(2)选择A方案更为优惠
【分析】（1）根据两种方案分别列代数式即可；
（2）将𝑥= 50分别代入计算即可；
【详解】（1）解：由题意得：A 方案所需的费用为40 × 5 + 40𝑥× 50% = (20𝑥+ 200)元，
B 方案所需的费用为60% × 40(𝑥+ 5) = (24𝑥+ 120)元；
（2）解：当学生人数𝑥= 50时，
A 方案所需的费用为20𝑥+ 200 = 20 × 50 + 200 = 1200元，
B 方案所需的费用为24 × 50 + 120 = 1320元
1320 > 1200；
∴选择A方案更为优惠．
题型一 直接代入求代数式的值
▌例1 当𝑎= 3，𝑏= 1时，代数式
2𝑎−𝑏
2 的值是（ ）
A．3
B．
5
2
C．2
D．1
【答案】B
【分析】本题考查了代数式求值，准确计算是解题的关键．将𝑎= 3，𝑏= 1代入代数式计算即可．
【详解】解：∵𝑎= 3，𝑏= 1，
∴
2𝑎−𝑏
2
=
2×3−1
2
=
5
2．
故选：B．
▌对点练1-1 （25-26 七年级上·新疆和田·期中）若𝑥= −2，𝑦= 1，则代数式2𝑥+ 3𝑦+ 2的值为（ ）．
A．9
B．3
C．1
D．−1
【答案】C
【分析】本题主要考查已知字母的值代入式子求值，解决此题的关键是正确的计算；直接代入给定的 x 和
y 的值进行计算．
【详解】解：∵𝑥= −2，𝑦= 1，
解题贴士
用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算，所得的结果即所求.
∴2𝑥+ 3𝑦+ 2
= 2 × (−2) + 3 × 1 + 2
= −4 + 3 + 2
= (−4 + 3) + 2
= −1 + 2 = 1
故选：C．
▌对点练1-2 （24-25 七年级上·海南·期中）求下列代数式的值：
(1)当𝑥= 4,𝑦= −3时，求𝑥2 + 𝑦2的值；
(2)当𝑎= −
1
2,𝑏=
2
5时，求4𝑎2 +
3
2𝑏的值．
【答案】(1)25
(2)
8
5
【分析】本题考查了求代数式的值．
（1）将各字母的值代入即可求出答案．
（2）将各字母的值代入即可求出答案．
【详解】（1）解：当𝑥= 4,𝑦= −3时，
𝑥2 + 𝑦2 = 42 + (−3)2 = 16 + 9 = 25；
（2）解：当𝑎= −
1
2,𝑏=
2
5，
4𝑎2 +
3
2𝑏= 4 × −
1
2
2
+
3
2 ×
2
5 = 1 +
3
5 =
8
5．
▌对点练1-3（24-25 七年级上·新疆喀什·期中）根据下列𝑎，𝑏的值，分别求代数式𝑎2 + 𝑏2与(𝑎+ 𝑏)2的值．
(1)𝑎= 3，𝑏= −2；
(2)𝑎= −3，𝑏= 2．
【答案】(1)𝑎2 + 𝑏2 = 13，(𝑎+ 𝑏)2 = 1
(2)𝑎2 + 𝑏2 = 13，(𝑎+ 𝑏)2 = 1
【分析】本题主要考查了代数式求值，直接把𝑎，𝑏的值代入𝑎2 + 𝑏2和(𝑎+ 𝑏)2中计算求解即可得到答案．
【详解】（1）解：当𝑎= 3，𝑏= −2时，
𝑎2 + 𝑏2 = 32 + (−2)2 = 9 + 4 = 13，(𝑎+ 𝑏)2 = [3 +(−2)]2 = 12 = 1；
（2）解：当𝑎= −3，𝑏= 2时，
𝑎2 + 𝑏2 = (−3)2 + 22 = 9 + 4 = 13，(𝑎+ 𝑏)2 = (−3 + 2)2 = (−1)2 = 1．
题型二 整体代入求代数式的值
▌例2（25-26 七年级下·安徽六安·期末）若2𝑥−𝑦−1 = 0，则代数式3𝑘𝑦−6𝑘𝑥+ 3𝑘的值为（ ）
A．0
B．1
C．−1
D．不确定，与k 值大小有关
【答案】A
【分析】本题运用整体代入法求解代数式的值，先对所求代数式提取公因式变形，再结合已知条件整体代
入计算即可．
【详解】解：∵2𝑥−𝑦−1 = 0，
∴2𝑥−𝑦= 1，
对所求代数式变形得：3𝑘𝑦−6𝑘𝑥+ 3𝑘= −3𝑘(2𝑥−𝑦) +3𝑘，
将2𝑥−𝑦= 1代入得：原式= −3𝑘× 1 + 3𝑘= −3𝑘+ 3𝑘= 0，因此代数式的值为0．
▌对点练2-1 当𝑥= 2时，代数式𝑎𝑥3 +𝑏𝑥+ 1的值为6，当𝑥= −2时，这个代数式的值是（ ）
A．4
B．6
C．−4
D．−6
【答案】C
【分析】本题运用整体代入法求解，先根据𝑥= 2时代数式的值求出8𝑎+ 2𝑏的值，再利用奇次幂的符号性质，
将𝑥= −2代入后代数式变形，整体代入计算即可．
【详解】解：∵当𝑥= 2时，代数式𝑎𝑥3 +𝑏𝑥+ 1的值为6，
∴把𝑥= 2代入得 𝑎⋅23 +𝑏⋅2 + 1 = 6，
整理得：8𝑎+ 2𝑏= 5，
当𝑥= −2时，代入代数式得：
𝑎⋅(−2)3 + 𝑏⋅(−2) + 1
= −8𝑎−2𝑏+ 1
= −(8𝑎+ 2𝑏) + 1
= −5 + 1
= −4，
解题贴士
“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化,把所给的条件当做整体代入所
求的式子即可，有时要对式子进行变形．
即当x = −2时，这个代数式的值是−4．
▌对点练2-2 （24-25 七年级上·甘肃兰州·期中）【教材呈现】下题是某版七年级上册数学教材的一道练习
题目内容．
C 组17．代数式：𝑥2 +𝑥+ 3的值为9．则代数式2𝑥2 +2𝑥−3的值为
．
【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下∶
由题意得𝑥2 +𝑥+ 3 = 9，则有𝑥2 +𝑥= 6．
2𝑥2 +2𝑥−3 = 2(𝑥2 + 𝑥)−3 = 2 × 6−3 = 9．
所以代数式2𝑥2 +2𝑥−3的值为9．
【方法运用】
(1)若−𝑥2 = 𝑥+ 2，则𝑥2 +𝑥+ 3=
．
(2)若代数式𝑥2 +𝑥+ 1的值为15，求代数式−2𝑥2−2𝑥+ 3的值．
【答案】(1)1
(2)−25
【分析】本题考查代数式求值，利用整体代入的思想是解题关键．
（1）由原等式可得出𝑥2 +𝑥= −2，整体代入𝑥2 +𝑥+ 3中求值即可；
（2）由原等式可得出𝑥2 +𝑥= 14，将所求式子变形为−2(𝑥2 + 𝑥) +3，再整体代入求值即可．
【详解】（1）解：由−𝑥2 = 𝑥+ 2得：𝑥2 +𝑥= −2，
则𝑥2 +𝑥+ 3 = (𝑥2 + 𝑥) +3 = −2 + 3 = 1；
（2）解：由𝑥2 +𝑥+ 1 = 15得：𝑥2 +𝑥= 14，
则−2𝑥2−2𝑥+ 3 = −2(𝑥2 + 𝑥) +3 = −2 × 14 + 3 = −25；
▌对点练2-3（24-25 七年级上·北京·期中）同学遇到这样一道题：“如果代数式5𝑎+ 3𝑏的值为−4，那么代数
式2(𝑎+ 𝑏) +4(2𝑎+ 𝑏)的值是多少？”这个问题中a 和b 的值不能单独求出来，于是他想到了把5𝑎+ 3𝑏作为
一个整体求解，得到如下的解题过程：
原式= 2𝑎+ 2𝑏+ 8𝑎+ 4𝑏= 10𝑎+ 6𝑏= 2(5𝑎+ 3𝑏) = 2 × (−4) = −8．
整体思想是中学数学解题的一种重要思想方法，请仿照上面的解题方法，完成下面的问题：
(1)已知𝑎2 +𝑎= 2，则3𝑎2 +3𝑎+ 2020＝；
(2)已知2𝑎−𝑏= −3，求5(𝑎−𝑏)−9𝑎+ 7𝑏+ 5的值；
(3)已知𝑎2 +2𝑎𝑏= −5，𝑎𝑏−2𝑏2 = −3，求2𝑎2 +𝑎𝑏+ 6𝑏2的值．
【答案】(1)2026
(2)11
(3)−1
【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值．将所给代数式进行适当变形，利用整体思想代入是解
题关键．
（1）根据3𝑎2 +3𝑎+ 2020 = 3(𝑎2 + 𝑎) +2020即可求解；
（2）将5(𝑎−𝑏)−9𝑎+ 7𝑏+ 5化简可得−4𝑎+ 2𝑏+ 5，根据−4𝑎+ 2𝑏+ 5 = −2(2𝑎−𝑏) +5即可求解；
（3）根据2𝑎2 +𝑎𝑏+ 6𝑏2 = 2(𝑎2 + 2𝑎𝑏)−3(𝑎𝑏−2𝑏2)即可求解．
【详解】（1）解：（1）3𝑎2 +3𝑎+ 2020 = 3(𝑎2 + 𝑎) +2020，
∵𝑎2 +𝑎= 2，
∴原式= 2 × 3 + 2020 = 2026，
故答案为：2026；
（2）5(𝑎−𝑏)−9𝑎+ 7𝑏+ 5
= 5𝑎−5𝑏−9𝑎+ 7𝑏+ 5
= −4𝑎+ 2𝑏+ 5
= −2(2𝑎−𝑏) +5，
∵2𝑎−𝑏= −3，
∴原式= −2 × (−3) +5
= 11；
（3）∵2𝑎2 +𝑎𝑏+ 6𝑏2 = 2(𝑎2 + 2𝑎𝑏)−3(𝑎𝑏−2𝑏2)，
∵𝑎2 +2𝑎𝑏= −5，𝑎𝑏−2𝑏2 = −3，
∴2𝑎2 +𝑎𝑏+ 6𝑏2 = 2 × (−5)−3 × (−3) = −1，
故答案为：−1．
题型三 根据程序图求代数式的值
▌例3 按图中的程序运算，如果第一次输入𝑥的值是8，则第2025 次输出的结果是（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
【答案】C
【分析】本题考查了流程图的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
找出流程图运算的周期，即可解答．
【详解】解：由题意可得：第一次：
8
2 = 4，
第二次：
4
2 = 2，
第三次：
2
2 = 1，
第四次：1 + 7 = 8，
∴每四次进行一个循环，周期为4，
∵2025 ÷ 4 = 506余1，
∴第2025 次输出的结果是4，
故选：C．
▌对点练3-1（25-26 七年级上·湖南长沙·期末）数学活动课上，小奕利用电脑的𝐴𝐼技术设计了如图的程序．
(1)按照上面的程序计算，请你写出最终输出的结果；（结果需要化简）
(2)若输入𝑎的数值为−1，则输出的结果是多少？
【答案】(1)𝑎3 +6𝑎2；
(2)5
【分析】本题主要考查了整式的运算以及代数式求值，熟练掌握整式的运算法则(如完全平方公式、乘法分
配律等)和代入求值的方法是解题的关键．
（1）首先根据程序图的顺序，对输入的𝑎按照“加3、平方、减9、乘𝑎”的步骤列出代数式，然后对其进行化
简；
（2）把𝑎= −1代入（1）中化简后的代数式，通过计算得出结果．
【详解】（1）解：根据题意得：[(𝑎+ 3)2−9] × 𝑎
= (𝑎2 + 6𝑎+ 9−9) × 𝑎
= (𝑎2 + 6𝑎) × 𝑎
解题贴士
计算程序图的转换步骤，实质上是指明了运算的顺序，根据程序图中的运算顺序，代入求值即可，要注
意对结果的准确性．
= 𝑎3 +6𝑎2；
（2）解：当𝑎= −1时，
原式= (−1)3 +6 × (−1)2
= −1 + 6 × 1
= 5．
▌对点练3-2（25-26 七年级上·陕西渭南·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中
的“更相减损术”．如图是一个数值运算程序．
(1)用含𝑥的代数式表示输出的结果；（结果化为最简）
(2)当输入𝑥的值为−6时，求输出的值．
【答案】(1)5𝑥−5
(2)输出的值为−35
【分析】本题考查程序框图与代数式求值：
（1）根据程序框图，列出代数式即可；
（2）把𝑥= −6代入（1）中的代数式进行求解即可．
【详解】（1）解： 4𝑥−(3−𝑥) + (−2)
= 4𝑥−3 + 𝑥−2
= 5𝑥−5．
所以用含𝑥的代数式表示输出的结果为5𝑥−5．
（2）解：当输入𝑥的值为−6时，输出的值为−6 × 5−5 = −35．
▌对点练3-3（25-26 七年级上·陕西西安·期末）如图一个“数值转换机”的示意图．
(1)输出的结果为_____；（用含𝑥的代数式表示）
(2)当输入𝑥= −
1
5时，求输出的值．
【答案】(1)2𝑥−3
(2)−
17
5
【分析】本题考查了列代数式，已知字母的值，求代数式的值，程序流程图与代数式求值等知识点，解题
关键是掌握上述知识点并能熟练运用．
（1）根据程序流程图的顺序列代数式即可；
（2）把𝑥= −
1
5代入（1）中所求代数式计算，即可得答案．
【详解】（1）解：∵输入𝑥，
∴输出的结果为(4𝑥−6) ÷ 2 =
1
2(4𝑥−6) = 2𝑥−3．
故答案为2𝑥−3
（2）解：当𝑥= −
1
5时，2𝑥−3 = 2 × (−
1
5)−3 = −
17
5 ．
∴求输出的值为−
17
5 ．
题型四 根据表格求代数式的值
▌例4 填写下表，并观察下列两个代数式的值的变化情况．
n
1
2
3
4
5
6
7
8
−8𝑛+ 5
−𝑛2
（1）随着n 的值逐渐变大，两个代数式的值如何变化？
（2）估计一下，哪个代数式的值先小于−100？
【答案】表见解析；（1）都逐渐减小；（2）−𝑛2的值先小于−100．
【分析】（1）逐个求值，将结果准确计算，观察表格数据即可．
（2）将𝑛= 10代入−8𝑛+ 5和−𝑛2中进行比较即可．
【详解】解：
n
1
2
3
4
5
6
7
8
−8𝑛+ 5
−3，
−11
−19
−27
−35
−43
−51
−59
−𝑛2
−1
−4
−9
−16
−25
−36
−49
−64
（1）随着n 的值逐渐变大，代数式−8𝑛+ 5和−𝑛2的值都逐渐减小；
（2）当𝑛= 10时，−8𝑛+ 5 = −75，而当𝑛= 10时，−𝑛2 = −100，所以−𝑛2的值先小于−100．
【点睛】本题考查了求代数式的值，解题的关键是准确计算．
▌对点练4-1 填写下表，并观察下列两个代数式的值的变化情况.
m
1
2
3
4
5
6
7
6𝑚+ 8
2𝑚2 + 1
（1）随着m 值的逐渐变大，两个代数式的值如何变化？
（2）估计一下，随着m 值的逐渐变大，哪个代数式的值先超过200？
【答案】表中第一排依次填：14，20，26，32，38，44，50；表中第二排依次填：3，9，19，33，51，
73，99；（1）随着m 值的逐渐变大，两个代数式的值逐渐变大；（2）2𝑚2 +1的值先超过200.
【分析】填表：逐个求值，将结果准确计算即可．
（1）随着m 的值逐渐变大，5n 逐渐变大，所以6m+8 也逐渐变大；2𝑚2 +1也逐渐变大．
（2）当m=32 时，6m+8=200，而当m=10 时，2m2+1=201，所以2𝑚2 +1的值先超过200．
【详解】表中第一排依次填：14，20，26，32，38，44，50；表中第二排依次填：3，9，19，33，51，
73，99；
（1）随着m 值的逐渐变大，两个代数式的值逐渐变大；
（2）当m=32 时，6m+8=200，而当m=10 时，2m2+1=201，所以2𝑚2 +1的值先超过200．
【点睛】本题考查了求代数式的值，解答本题首先要准确计算，其次要根据所给的代数式的特点，采取适
当的方法，解答问题．
▌对点练4-2 观察下列表格中两个代数式及其相应的值，回答问题：
x
…
-2
-1
0
1
2
…
−2𝑥+ 5
…
9
7
5
3
𝑎
…
2𝑥−7
…
-11
-9
-7
-5
𝑏
…
【初步感知】
（1）根据表中信息可知：𝑎= ______；𝑏= ______；
【归纳规律】
解题贴士
本题考查了求代数式的值，解答本题首先要对表格中的数据准确计算，其次要根据所给的代数式的特点，
采取适当的方法，解答问题.
（2）表中−2𝑥+ 5的值的变化规律是：𝑥的值每增加1，−2𝑥+ 5的值就都减少2．类似地，2𝑥−7的值的变
化规律是：______；
【问题解决】
（3）请从A，B 两题中任选一题作答．我选择______题．
A．根据表格反映的变化规律，当𝑥______时，−2𝑥+ 5的值大于2𝑥−7的值．
B．请直接写出一个含𝑥的代数式，要求𝑥的值每增加1，代数式的值就都减小5，且当𝑥= 0时，代数式的值
为-7．
【答案】（1）1；-3；（2）x 的值每增加1，2x-7 的值就增加2；（3）A：＜3；B：-5x-7
【分析】（1）直接将x=2 代入代数式计算可得；
（2）类似-2x+5 的变化规律可得2x-7 的变化规律；
（3）A：令-2x+5=2x-7，解得x 的值，再结合表格中数据变化可得；B：设代数式为mx+n，根据变化规律
得到m，再将数值代入得到n，可得结果．
【详解】解：（1）当x=2 时，a=-2×2+5=1；
当x=2 时，b=2×2-7=-3；
（2）x 的值每增加1，2x-7 的值就增加2；
（3）A：当-2x+5=2x-7 时，
解得：x=3，
∵随着x 的增加，2x-7 增大，-2x+5 减小；
反之，随着x 的减小，2x-7 减小，-2x+5 增大；
∴当x＜3 时，-2x+5＞2x-7；
B：设代数式为mx+n，根据规律可知：
当x 的值每增加1，代数式的值减少5 时，x 的系数m=-5，
又∵当x=0 时，代数式的值为-7，
即-5×0+n=-7，解得：n=-7，
故代数式为-5x-7．
【点睛】本题考查了代数式的有关问题，属于规律性问题和一元一次方程的应用，认真理解题意，利用代
数式的有关知识解决问题．
▌对点练4-3（23-24 七年级上·江苏盐城·期中）观察下列表格中两个代数式及其相应的值，回答问题：
x
…
−2
−1
0
1
2
…
2𝑥−7
…
−11 −9
−7
a
−3
…
3𝑥+ 2
…
−4
−1
2
5
8
…
−2𝑥+ 5
…
9
7
5
3
1
…
−3𝑥−1
…
b
2
−1
−4
−7
…
【初步感知】
（1）根据表中信息可知， 𝑎= ，𝑏= ；
【归纳规律】
（2）表中3𝑥+ 2的值的变化规律是：x 的值每增加1，3𝑥+ 2的值就都增加3；−2𝑥+ 5的值的变化规律是；
x 的值每增加1，−2𝑥+ 5的值就都减少2．类似地，2𝑥−7的值的变化规律是：x 的值每增加1，2𝑥−7的值
就都 ；−3𝑥−1的值的变化规律是：x 的值每增加1，−3𝑥−1的值就都 ．
【问题解决】
（3）若关于x 的代数式𝑚𝑥+ 𝑛，当x 的值每增加1，𝑚𝑥+ 𝑛的值就都增加5，且当𝑥= 3时，𝑚𝑥+ 𝑛的值为
8，求这个含x 的代数式．
【答案】（1）−5、5；（2）增加2、减少3；（3）5𝑥−7
【分析】本题主要考查了列代数式和求代数式的值，有理数的混合运算，解一元一次方程．准确计算是解
题的关键．
（1）分别将𝑥= 1，𝑥= −2代入两个代数式．计算可得a、b 的值即可；
（2）结合所给例子并观察表格数字的变化情况即可得出结论；
（3）选根据（2）中的规律即可求解．
【详解】解：（1）根据表中信息可知，
𝑎= 2 × 1−7 = −5，𝑏= −3 × (−2)−1 = 5，
故答案为：−5，5；
（2）观察表格可以看出，
2𝑥−7的值的变化规律是：x 的值每增加1，2𝑥−7的值就都增加2；
−3𝑥−1的值的变化规律是：x 的值每增加1，−3𝑥−1的值就都减少3．
故答案为：增加2，减少3；
（3）根据（2）中的规律可知，当x 的值每增加1，𝑚𝑥+ 𝑛的值就都都增加5，x 的系数𝑚= 5，
又因为𝑥= 3时，𝑚𝑥+ 𝑛的值为8，
∴5 × 3 + 𝑛= 8，解得𝑛= −7，
故这个含x 的代数式为：5𝑥−7．
题型五 列代数式求图形面积的值
▌例5 （25-26 七年级上·全国·期中）如图，公园有一个“T”型空地（即阴影部分，单位：米）．
(1)用含x，y 的代数式表示空地的面积；（结果要进行化简）
(2)公园管理部门计划对空地铺设草坪．已知每平方米草坪的费用为150 元，若x，y 满足(𝑥−1)2 + |𝑦−5|
= 0，求铺设草坪的总费用．
【答案】(1)(6𝑥+ 6𝑦+ 2𝑥𝑦)平方米
(2)铺设草坪的总费用是6900 元
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，代数式求值，
（1）求出两个长方形的面积和可得答案；
（2）先根据平方和绝对值的非负性求出x，y，再将数值代入（1），然后求出总费用即可．
【详解】（1）解：空地面积是3(𝑦+ 2𝑥+ 𝑦) +2𝑥𝑦
= 3𝑦+ 6𝑥+ 3𝑦+ 2𝑥𝑦
= (6𝑥+ 6𝑦+ 2𝑥𝑦)平方米；
（2）解：因为(𝑥−1)2 + |𝑦−5| = 0，
所以𝑥−1 = 0，𝑦−5 = 0，
解得𝑥= 1，𝑦= 5，
6𝑥+ 6𝑦+ 2𝑥𝑦= 6 × 1 + 6 × 5 + 2 × 1 × 5 = 46(平方米)，
所以铺设草坪的总费用是46 × 150 = 6900(元).
答：铺设草坪的总费用是6900 元．
解题贴士
先根据几何图形的面积计算公式用代数式表示出来，然后再根据给出字母的数值代入求值即可，有时要
用到割补法求图形的面积.
▌对点练5-1 某小区的长方形空地的平面图如图所示（图中长度单位：m），现该小区管理者要在此空地上
修建两个半圆形花圃（半径为b），其余部分进行硬化．
(1)求硬化部分的面积（用含𝑎、𝑏的代数式表示）；
(2)当𝑎= 10，𝑏= 4时，求硬化部分的面积（结果保留π）．
【答案】(1)(2𝑎𝑏−𝜋𝑏2)m2
(2)(80−16𝜋)m2
【分析】本题主要考查了用代数式表示，代数式求值，
对于（1），根据长方形的面积减去圆的面积得出代数式；
对于（2），将数值代入计算得出答案．
【详解】（1）解：硬化部分的面积= 𝑎× 2𝑏−𝜋× 𝑏2 = 2𝑎𝑏−𝜋𝑏2(m2)；
（2）解：当𝑎= 10,𝑏= 4时，
原式= 2 × 10 × 4−𝜋× 42
= 80−16𝜋(m2)，
答：硬化部分的面积为(80−16𝜋)m2．
▌对点练5-2 （24-25 七年级上·全国·期中）如图，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长为a．
(1)根据图中数据，用含a，b 的代数式表示阴影部分的面积S；
(2)当𝑎= 6，𝑏= 2时，求阴影部分的面积．
【答案】(1)𝑆=
1
2𝑎2−2𝑏
(2)14
【分析】本题考查了列代数式，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）观察图形，阴影部分的面积等于正方形的面积减去两个直角三角形的面积，据此进行列式化简，即可
作答．
（2）理解题意，把𝑎= 6，𝑏= 2分别代入𝑆=
1
2𝑎2−2𝑏进行计算，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，阴影部分的面积𝑆= 𝑎× 𝑎−
1
2 × 𝑎× 𝑎−
1
2 × 4 × 𝑏=
1
2𝑎2−2𝑏；
（2）解：由（1）得𝑆=
1
2𝑎2−2𝑏，
∵𝑎= 6，𝑏= 2，
∴S = 1
2 × 62−2 × 2 = 18−4 = 14．
▌对点练5-3（24-25 七年级上·黑龙江鹤岗·期中）如图，长方形的长为𝑎，宽为𝑏．现以长方形的四个顶点为
圆心，宽的一半为半径在四个角上分别画出四分之一圆．
(1)用含𝑎，𝑏的代数式表示图中阴影部分的面积；
(2)当𝑎= 10cm，𝑏= 4cm时，求图中阴影部分的面积．（π取3）
【答案】(1)𝑎𝑏−
π
4𝑏2
(2)28cm2
【分析】（1）长方形的面积减去四个
1
4圆的面积即可求解，四个
1
4圆的面积的和是一个整圆的面积；
（2）把𝑎，𝑏的值代入求解即可．
【详解】（1）解：根据题意知，阴影部分的面积为𝑎𝑏−4 ×
1
4 × π ⋅
𝑏
2
2
= 𝑎𝑏−
π
4𝑏2；
（2）解：当𝑎= 10cm，𝑏= 4cm时，
阴影部分的面积为10 × 4−
3
4 × 42 = 40−12 = 28cm2．
题型六 代数式在规律探索中的运用
▌例6
（25-26 七年级上·湖南郴州·期中）如图，是用两种类型的黑色箭头摆成的有规律图形，则第50 个
图形中，黑色箭头▲的个数为（ ）
A．72
B．73
C．75
D．76
【答案】D
【分析】本题考查了图形类规律探索，观察图形，得出规律第𝑛（𝑛为偶数）个图形中黑色箭头▲的个数为
3𝑛
2 +1，由此计算即可得解，正确得出规律是解此题的关键．
【详解】解：由图象可得：
第1 个图形中黑色箭头▲的个数为1，
第2 个图形中黑色箭头▲的个数为
2×3
2 +1 = 4，
第3 个图形中黑色箭头▲的个数为4，
第4 个图形中黑色箭头▲的个数为
4×3
2 +1 = 7，
第5 个图形中黑色箭头▲的个数为7，
第6 个图形中黑色箭头▲的个数为
6×3
2 +1 = 10，
…，
故第𝑛（𝑛为偶数）个图形中黑色箭头▲的个数为
3𝑛
2 +1；
故第50 个图形中，黑色箭头▲的个数为
3×50
2
+1 = 76，
故选：D．
▌对点练6-1 58．（2026·陕西渭南·二模）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物．如图是这类物质前
三种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1 个图形中有4 个氢原子，第2
个图形中有6 个氢原子，第3 个图形中有8 个氢原子，…，依此规律，第5 个图形中有________________个
氢原子．
解题贴士
用代数式表示规律时用到特殊到一般的思想，先探究出规律再利用规律解决问题．
【答案】12
【分析】观察前三个图形中氢原子的个数，发现后一个图形比前一个图形多2 个氢原子，归纳出第n 个图
形中氢原子个数的代数式，将𝑛= 5代入计算即可．
【详解】解：根据题意，第1 个图形中有4 = 2 × 1 + 2个氢原子，
第2 个图形中有6 = 2 × 2 + 2个氢原子，
第3 个图形中有8 = 2 × 3 + 2个氢原子，
⋯⋯
由此规律可得，第n 个图形中有(2𝑛+ 2)个氢原子，
当𝑛= 5时，氢原子的个数为2 × 5 + 2 = 12．
▌对点练6-2 （24-25 八年级上·浙江宁波·期末）如图，每个图形都是由若干个棋子围成的正方形图案，图
案每条边（包括两个端点）上都有𝑛(𝑛≥2)个棋子，设每个图案棋子的总数为𝑆．当𝑆= 2024时，𝑛的值为
（ ）
A．504
B．505
C．506
D．507
【答案】D
【分析】本题主要考查了图形规律探索，结合题意确定图形变化规律是解题关键．结合题意，可知当每条
边上是𝑛个时，则总数𝑆= 4𝑛−4(𝑛≥2)，然后求解即可．
【详解】解：根据题意，第一个图形中，每条边上是2 个，总数是2 × 4−4 = 4 × 1，
第二个图形中，每条边上是3 个，总数是3 × 4−4 = 4 × 2，
第三个图形中，每条边上是4 个，总数是4 × 4−4 = 4 × 3，
……
所以，每条边上是𝑛个时，则总数𝑆= 4(𝑛−1) = 4𝑛−4(𝑛≥2)，
当𝑆= 2024，可有2024 = 4𝑛−4，
解得𝑛= 507．
故选：D．
▌对点练6-3（25-26 七年级上·安徽安庆·期中）如图，是一幅平面镶嵌图案，它由相同的黑色正方形和白色
等边三角形排列而成，观察图案：第1 个图案有1 个正方形，4 个等边三角形；第2 个图案有2 个正方形，
7 个等边三角形；第3 个图案有3 个正方形，10 个等边三角形，以此类推……
(1)第𝑛个图案有______个正方形，______个等边三角形；
(2)现有2025 个等边三角形，如按此规律镶嵌图案，要求等边三角形剩余最少，则需要正方形多少个？
【答案】(1)𝑛，3𝑛+ 1
(2)674
【分析】本题考查图形中的数字规律，由题中图形与数字的对应关系找准规律是解决问题的关键．
（1）根据前面几个图形中正方形与三角形个数的变化规律即可得到答案；
（2）由（1）中规律，可得3𝑛+ 1 = 2025，解出满足条件的正整数𝑛即可得到答案．
【详解】（1）解：第1 个图案有1 个正方形，4 个等边三角形；
第2 个图案有2 个正方形，7 个等边三角形；
第3 个图案有3 个正方形，10 个等边三角形；
以此类推……
第𝑛个图案有𝑛个正方形，3𝑛+ 1个等边三角形；
故答案为：𝑛，3𝑛+ 1；
（2）解：由（1）中规律，可得3𝑛+ 1 ≤2025，
当𝑛= 674时，余下2个等边三角形，
答：要求等边三角形剩余最少，则需要正方形674个．
题型七 代数式在实际问题中求值
▌例7 运动时的心跳速率通常与人的年龄有关，如果用a 表示一个人的年龄,用b 表示正常情况下这个人在
运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数，那么b=0.8(220﹣a).
（1）正常情况下，在运动时，一个15 岁的少年所能承受的每分钟心跳的最高次数是多少?
（2）一个45 岁的人运动时,10 秒钟心跳的次数为22，他有危险吗?
【分析】（1）直接把a=15 代入b=0.8（220﹣a）计算即可；
（2）先把a=45 代入b=0.8（220﹣a）计算得到这个人在运动所能承受的每分钟心跳的最高次数为140 次；
而每10 秒心跳的次数是22 次，即每分种心跳的次数是132 次，即可判断他没有危险．
【详解】解：（1）当a=15 时，b=0.8（220﹣a）=0.8×（220﹣15）=0.8×205=164（次），
在运动时一个15 岁的少年所能承受的每分钟心跳的最高次数是164 次；
（2）因为10 秒钟心跳次数为22 次，
所以1 分钟心跳次数为22×6=132（次），
当a=45 时，b=0.8（220﹣a）=0.8×（220﹣45）=140＞132，
所以这个人没有危险．
【点睛】本题考查了代数式求值和列代数式：把符合条件的字母的值代入代数式进行计算，然后根据计算
的结果解决实际问题．
▌对点练7-1 某公园的门票价格如下：成人20 元，学生10 元，满40 人可以购买团体票（8 折），设一个
旅游团共有x 人(𝑥> 40)，其中学生有y 人．
(1)用含x，y 的整式表示该旅游团购买团体票应付的门票费．
(2)如果该旅游团有46 个成人，12 个学生，那么他们购买团体票需付的门票费是多少？
【答案】(1)(16𝑥−8𝑦)元
(2)他们购买团体票需付的门票费是832 元
【分析】（1）根据（学生总门票费+成人总门票费）× 80%得出代数式；
（2）代入相关数据求解，即可得出答案．
【详解】（1）解：成人门票费为20(𝑥−𝑦)元，学生门票费为10𝑦元，
所以旅游团应付的总费用为[20(𝑥−𝑦) + 10𝑦] × 80% = (16𝑥−8𝑦)元；
（2）解：旅游团有46 个成人，12 个学生，
所以16𝑥−8𝑦= 16 × (46 + 12)−8 × 12 = 832（元）．
答：他们购买团体票需付的门票费是832 元．
▌对点练7-2 中国联通在某地的资费标准为包月 186 元时，超出部分国内拨打 0.36 元/ 分，由于业务多，
解题贴士
代数式在生活中的应用主要是根据实际问题列出用字母表示数量关系的式子，然后根据题中所给的数据
求出所列式子的值，从而解决这个实际问题.
小明的爸爸打电话已超出了包月费．
下表是超出部分国内拨打的收费标准：
时间/分
1
2
3
4
5
…
电话费/
元
0.36
0.72
1.08
1.44
1.8
…
(1)如果用x 表示超出时间，y 表示超出部分的电话费，那么y 与x 的表达式是 ；
(2)如果打电话超出 25 分钟，需付总电话费多少？
【答案】(1)𝑦= 0.36𝑥
(2)需付 195 元电话费
【分析】（1）根据超出部分国内拨打0.36元/分即可得；
（2）求出当𝑥= 25时，超出部分的电话费𝑦的值，再加上包月费186 元即可得总电话费．
【详解】（1）解：因为超出部分国内拨打0.36元/分，
所以𝑦= 0.36𝑥．
（2）解：当𝑥= 25时，𝑦= 0.36 × 25 = 9，
则需付的电话费为186 + 9 = 195 （元），
答：需付195 元电话费．
▌对点练7-3 某商店出售乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每只定价50 元，乒乓球每个定价2 元．商家为促销
商品，向客户提供两种优惠方案：①买1 只乒乓球拍送5 个乒乓球；②乒乓球拍和乒乓球都按照定价的九
折优惠．现在某客户要到该商店购买乒乓球拍20 只，乒乓球 x 个（ x>100 ）．
(1)若该客户按优惠方案①购买需付款 元．（用含 x 的代数式表示）；
(2)若该客户按优惠方案②购买需付款 元．（用含 x 的代数式表示）；
(3)若 x = 800 ，请你设计一个最优惠的购买方案，使得该客户花费最少，并计算需付的费用．
【答案】(1)(2𝑥+ 800)
(2)(1.8𝑥+ 900)
(3)按方案①买20 只球拍（送100 个球），剩余700 个球按方案②买，费用2260元
【分析】本题主要考查了代数式求值，准确列式计算是解题的关键．
（1）根据题意确定出相应的关系式即可；
（2）根据题意确定出相应的关系式即可；
（3）两种方案结合求出所求即可；
【详解】（1）解：解： 50 × 20 + 2 × (𝑥−20 × 5) = (2𝑥+ 800)元；
故答案为：(2𝑥+ 800)
（2）(50 × 20 + 2𝑥) × 90% = (1.8𝑥+ 900)元，
故答案为：(1.8𝑥+ 900)
（3）第一种：若按照方案①购买，花费2 × 800 + 800 = 2400元；
第二种：若按照方案②购买，花费1.8 × 800 + 900 = 2340元；
第三种：先按优惠方案①购买20 个乒乓球拍送100 个乒乓球，再按优惠方案②购买700 个乒乓球，此时
需付款：50 × 20 + 700 × 2 × 90% = 2260（元）．
所以，按照第三种方案购买最优惠．
基础通关
1．（25-26 七年级上·湖南衡阳·期中）定义新运算：𝑎⊗𝑏= 3𝑎−𝑏2，则(−1) ⊗2的值为（ ）
A．−1
B．1
C．−7
D．7
【答案】C
【分析】按照题目给出的运算规则，代入对应数值计算即可得到结果．
【详解】解：∵新运算规则为𝑎⊗𝑏= 3𝑎−𝑏2，
∴求(−1) ⊗2时，对应𝑎= −1，𝑏= 2，
代入计算得：
3 × (−1)−22 = −3−4 = −7，
∴结果为−7．
2．方程|𝑥−𝑦| + |2−𝑦| = 0，且𝑚= (2𝑥)2−𝑦2，则𝑚的值为（ ）
A．11
B．12
C．13
D．14
【答案】B
【分析】利用绝对值的非负性，即多个非负数的和为0 时，每个非负数都为0，先求出𝑥、𝑦的值，再代入式
子计算𝑚即可．
【详解】解：∵|𝑥−𝑦| + |2−𝑦| = 0，|𝑥−𝑦| ≥0，|2−𝑦| ≥0，
∴𝑥−𝑦= 0，2−𝑦= 0，
∴𝑥= 2，𝑦= 2，
∴𝑚= (2𝑥)2−𝑦2
= (2 × 2)2−22
= 16−4
= 12．
3．（24-25 七年级上·全国·单元复习）学习情境·程序框图如图，程序框图的算法思路源于我国古代数学名
著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，如果输入的值𝑥= −2，则输出的值为（ ）
A．−7
B．−5
C．−3
D．5
【答案】D
【分析】本题考查了代数式求值：把满足条件的字母的值代入代数式进行计算得到对应的代数式的值．由
于𝑥= −2是负数，则把𝑥= −2代入𝑥2 +1中计算即可．
【详解】解：当𝑥= −2时，𝑥2 +1 = (−2)2 +1 = 5．
故选：D．
4．（25-26 七年级上·湖南岳阳·期末）当𝑥= 2时，代数式𝑝𝑥3 +𝑞𝑥+ 1的值等于13，那么当𝑥= −2时，代
数式𝑝𝑥3 +𝑞𝑥+ 1的值为（ ）
A．−13
B．−11
C．11
D．13
【答案】B
【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求
解．
先将𝑥= 2代入代数式求出8𝑝+ 2𝑞的值，再利用整体代入法求𝑥= −2时代数式的值．
【详解】解：∵当𝑥= 2时，𝑝𝑥3 +𝑞𝑥+ 1 = 13，
∴8𝑝+ 2𝑞+ 1 = 13，
∴8𝑝+ 2𝑞= 12，
∵当𝑥= −2时，
𝑝𝑥3 +𝑞𝑥+ 1 = −8𝑝−2𝑞+ 1 = −(8𝑝+ 2𝑞) +1，
∴将8𝑝+ 2𝑞= 12代入得，
原式= −12 + 1 = −11，
故选：B．
5．（25-26 七年级上·陕西汉中·期末）如图，下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，
x 的值为（ ）
A．175
B．170
C．80
D．62
【答案】B
【分析】本题主要考查了用代数式表示数字变化规律，先观察数字变化特点可知左上角的数字是序号数，
左下角的数字比左上角的数字大1，右上角的数字是左下角数字的2 倍，右下角的数字是左下角与右上角数
字的乘积，再加上左上角的数字，然后根据规律求出a，b，即可得出x 的值．
【详解】解：根据题意得𝑏=
18
2 = 9，𝑎= 𝑏−1 = 8，
所以𝑥= 9 × 18 + 8 = 170．
故选：B．
6．（25-26 七年级下·湖南衡阳·期中）已知3𝑎−2𝑏= 2，则5−9𝑎+ 6𝑏的值为_____．
【答案】−1
【分析】将已知等式变形后代入计算即可求出值．
【详解】解：∵3𝑎−2𝑏= 2，
∴5−9a + 6b = 5−3(3a−2b) = 5−3 × 2 = −1．
素养提升
7．（25-26 七年级上·山东日照·期末）已知m，n 为常数，整式𝑚𝑥+ 𝑛的值随x 的取值不同而不同，下表是
当x 取不同值时整式𝑚𝑥+ 𝑛的值，则𝑚𝑛的值为______．
x
⋯
−2
−1
0
1
2
⋯
𝑚𝑥+ 𝑛
⋯
−4
−1
2
5
8
⋯
【答案】6
【分析】本题考查了求代数式的值，解二元一次方程组．根据表格数据，选取𝑥= 0和𝑥= 1时的对应值，代
入整式𝑚𝑥+ 𝑛中，解方程组求m 和n 的值，再计算𝑚𝑛．
【详解】解：由表格可知，当𝑥= 0时，𝑚𝑥+ 𝑛= 2，即𝑚× 0 + 𝑛= 2，
解得𝑛= 2；
当𝑥= 1时，𝑚𝑥+ 𝑛= 5，即𝑚× 1 + 𝑛= 5，
代入𝑛= 2，得𝑚+ 2 = 5，
解得𝑚= 3．
因此𝑚𝑛= 3 × 2 = 6．
故答案为：6．
8．（25-26 九年级下·河南驻马店·期中）定义一个新运算𝑓(𝑎,𝑏) =
𝑎+ 𝑏(𝑎< 𝑏)
𝑎−𝑏(𝑎> 𝑏)
，若𝑎2 = 9，𝑏= 2，则𝑓(𝑎,𝑏)
= ______．
【答案】1 或−1
【分析】先根据𝑎2 = 9可得𝑎= 3或−3，再根据题意进行分类讨论即可求解．
【详解】解：∵𝑎2 = 9，
∴ 𝑎= 3或−3，
∵𝑏= 2，
∴①当𝑎= 3，𝑏= 2时，
𝑓(𝑎,𝑏) = 𝑎−𝑏= 3−2 = 1；
②当𝑎= −3，𝑏= 2时，
𝑓(𝑎,𝑏) = 𝑎+ 𝑏= −3 + 2 = −1；
综上所述：𝑓(𝑎,𝑏) = 1或−1，
9．（25-26 七年级上·湖南常德·期末）如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1 个
图有4 个三角形，第2 个图有7 个三角形，第3 个图有10个三角形，……，按照此规律排列下去，第______
个图形有2665个三角形．
【答案】888
【分析】本题考查了图形类规律探究，根据已有图形概括出相应的规律是解题的关键．
观察已有图形，可以得到第n 个图有(1 + 3𝑛)个三角形，令1 + 3𝑛= 2665，即可求解．
【详解】解：根据图形可知，第1 个图有1 + 3 = 4个三角形，
第2 个图有1 + 3 × 2 = 7个三角形，
第3 个图有1 + 3 × 3 = 10个三角形，
则第n 个图有(1 + 3𝑛)个三角形，
令1 + 3𝑛= 2665，解得𝑛= 888，
∴第888个图有2665个三角形．
故答案为：888．
10．（25-26 七年级上·湖北黄冈·期中）当𝑎= −
1
2，𝑏= 3时，求下列代数式的值：
(1)𝑎−𝑏；
(2)𝑎2−2𝑎𝑏+ 𝑏2．
【答案】(1)−3
1
2
(2)12
1
4
【分析】本题主要考查代数式的值．把𝑎= −
1
2，𝑏= 3分别代入两个式子，再进行有理数混合运算即可求解．
【详解】（1）解：当𝑎= −
1
2，𝑏= 3时，
𝑎−𝑏= −
1
2−3 = −3
1
2；
（2）解：当𝑎= −
1
2，𝑏= 3时，
𝑎2−2𝑎𝑏+ 𝑏2
= −
1
2
2
−2 × −
1
2 × 3 + 32
= 1
4 + 3 + 9
= 12
1
4．
11．请根据如图所示的聊天记录解答下列问题．
(1)求a、b，c 的值；
(2)求8−𝑎+ 𝑏−𝑐的值．
【答案】(1)𝑎= −3，𝑏= −6，𝑐= −2
(2)7
【分析】本题考查了相反数的定义，求一个数的绝对值，已知字母的值求代数式的值等知识，解题关键是
掌握上述知识点并能运用求解．
（1）根据相反数的定义求得𝑎，利用绝对值的意义求得𝑏，进一步即可求得𝑐；
（2）将三个字母的值代入代数式求值．
【详解】（1）解：∵𝑎的相反数是3，𝑏< 𝑎，且b 的绝对值是6，
∴𝑎= −3，𝑏= −6，
∵c 与b 的和是−8，
∴𝑐+ 𝑏= −8，
∴𝑐+ (−6) = −8，
∴𝑐= −2；
（2）当𝑎= −3，𝑏= −6，𝑐= −2时，
8−𝑎+ 𝑏−𝑐
= 8−(−3) + (−6)−(−2)
= 8 + 3−6 + 2
= 7．
12．一种商品每件成本为a 元，商场在成本的基础上增加20%作为售价出售，现搞活动促销，按原售价的
八折出售．设售出m 件该商品时，总利润为w 元．
（1）用含a、m 的式子表示该商品的总利润w；
（2）若a＝100，m＝3，则该商品的总利润w 是多少元？
【答案】（1）﹣0.04ma．（2）共亏损12 元．
【分析】（1）根据商品每件成本为a 元，商场在成本的基础上增加20%作为售价出售，计算出售价为
（1+20%）a，再根据按原售价的八折出售，计算出实际售价，最终算出利润，
（2）根据（1）的结果，将a＝100，m＝3 代入计算即可得出答案．
【详解】解：（1）现售价为（1+20%）×80%a＝0.96a，
总利润w＝m（0.96a﹣a）＝﹣0.04ma．
（2）由题意可得w＝﹣0.04×3×100＝﹣12（元），
故该商品的总利润w 是﹣12 元，即共亏损12 元．
【点睛】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
迁移创新
13．（25-26 七年级上·甘肃天水·期末）如图是一个数值转换机示意图．
(1)用含x，y 的代数式表示输出的结果；
(2)当𝑥= −2，𝑦= −6时，求输出的结果．
【答案】(1)
1
2(𝑥2 + 3𝑦)
(2)−7
【分析】本题考查了列代数式，已知字母的值，求代数式的值，程序流程图与代数式求值等知识点，解题
关键是掌握上述知识点并能熟练运用．
（1）根据数值转换机写出代数式即可；
（2）将𝑥= −2，𝑦= −6代入（1）中的代数式，计算后得出结果．
【详解】（1）解：用含x，y 的代数式表示输出的结果为
1
2(𝑥2 + 3𝑦)；
（2）解：当𝑥= −2，𝑦= −6时，
原式=
1
2 × [(−2)2 + 3 ×(−6)]
= 1
2 × (4−18)
= 1
2 × (−14)
= −7．
14．（23-24 七年级上·湖南长沙·期中）用火柴棒按下列方式搭建三角形：
(1)填表：
三角形个数
1
2
3
4
…
火柴棒根数
…
(2)当三角形的个数为n 时，火柴棒的根数为多少？
(3)当𝑛= 1008时，火柴棒的根数是多少？
【答案】(1)见解析
(2)1 + 2𝑛
(3)当𝑛= 1008时，火柴棒的根数是2017
【分析】本题考查了图形的变化规律，解题的关键是仔细观察图形，总结出变化的一般规律．
（1）根据图形完成表格即可；
（2）根据表格中的数据，总结出变化一般规律：依次增加2 根火柴棒，即可解答；
（3）把𝑛= 1008代入（1）中得出的代数式，即可解答．
【详解】（1）解：完成表格如下：
三角形个数
1
2
3
4
…
火柴棒根数
3
5
7
9
…
（2）解：1 个三角形：3 = 1 + 2，
2 个三角形：5 = 1 + 2 × 2，
3 个三角形：7 = 1 + 2 × 3，
4 个三角形：9 = 1 + 2 × 4，
……
n 个三角形：1 + 2𝑛，
∴当三角形的个数为n 时，火柴棒的根数为1 + 2𝑛；
（3）解：当𝑛= 1008时，1 + 2𝑛= 1 + 2 × 1008 = 2017．
∴当𝑛= 1008时，火柴棒的根数是2017．
15．某种窗户由上下两部分组成，其上部是用木条围成的半圆形，且半圆形内部由三根等长的木条分隔，
下部是用木条围成的边长相等的四个小正方形，木条的宽度和厚度不计．已知下部每个小正方形的边长为a
米．
(1)用含a 的代数式分别表示窗户的面积和所用木条的总长度；
(2)若𝑎= 1米，窗户上安装的是玻璃，玻璃25 元/平方米，木条20 元/米，求制作这个窗户需要的总钱数（𝜋
值取3，计算结果精确到个位）．
【答案】(1)窗户的面积为（4a2 +
1
2πa2）米2，总长度（15+π）a（米）
(2)498（元）
【分析】（1）窗户的面积包括一个正方形面积一个半圆面积，相加即可．材料总长度就是求图形中线段的
总长度，将所有线段长度相加即可；
（2）将a＝1 代入25（4a2 +
1
2πa2）+20（15+π）a 计算可得．
【详解】（1）S＝2a×2a +
1
2πa2＝4a2 +
1
2πa2
即窗户的面积为（4a2 +
1
2πa2）米2．
15a+πa＝（15+π）a（米）
即制作这种窗户所需材料的总长度（15+π）a（米）．
（2）a＝1 时，25（4a2 +
1
2πa2）+20（15+π）a
≈25×（4×1 +
1
2 × 3×1）+20×（15+3）×1
＝137.5+360
＝497.5
≈498（元），即制作这扇窗户需要498 元．
【点睛】本题考查了根据实际情况列代数式，一方面要掌握面积和周长的计算公式，另一方面要做好计算
准确，不遗漏．
16．（25-26 七年级上·全国·课后作业）（教材变式）填写下表，并观察两个代数式值的变化情况．
x
…
−3
−2
−1
0
1
2
3
…
2𝑥+ 1
…
…
−𝑥2 + 4
…
…
(1)随着x 的值由小变大，两个代数式的值如何变化？
(2)−𝑥2 +4的值有最大值吗？有最小值吗？
【答案】(1)填表如下：
x
…
−3
−2
−1
0
1
2
3
…
2𝑥+ 1
…
−5
−3
−1
1
3
5
7
…
−𝑥2 + 4
…
−5
0
3
4
3
0
−5
…
2𝑥+ 1的值随着x 的增大而增大；−𝑥2 +4的值在𝑥= 0时最大，当𝑥< 0时，代数式的值随x 的增大而增大，
当𝑥> 0时，代数式的值随x 的增大而减小．
(2)−𝑥2 +4的值有最大值，没有最小值．
【分析】把x 的值分别代入两个代数式中计算，填写到表格中，根据数据回答问题．
【详解】（1）填表如下：
x
…
−3
−2
−1
0
1
2
3
…
2𝑥+ 1
…
−5
−3
−1
1
3
5
7
…
−𝑥2 + 4
…
−5
0
3
4
3
0
−5
…
2𝑥+ 1的值随着x 的增大而增大；−𝑥2 +4的值在𝑥= 0时最大，当𝑥< 0时，代数式的值随x 的增大而增大，
当𝑥> 0时，代数式的值随x 的增大而减小．
（2）−𝑥2 +4的值有最大值，没有最小值．
【点睛】本题考查了代数式求值及寻找规律，掌握通过代入具体值计算代数式的值，观察值的变化趋势，
读懂题意是解题的关键．
17．某校举办“诗歌颂祖国”活动，需要定制一批奖品颁发给表现突出的同学，每份奖品包含纪念徽章与纪念
品各一个，现有两家供应商可以提供纪念徽章设计、制作和纪念品制作业务，报价如下：
纪念徽章设计
费
纪念徽章制作
费
纪念品费用
甲供应
商
300 元
3 元/个
18 元/个
乙供应
商
免设计费
4.5 元/个
不超过100 个时，20 元/个；超过100 个时，则超出部分打
八折
设需要定制x 份奖品．
(1)如果选择乙供应商，当x 不超过100 时，应付总费用为多少元？当x 超过100 时，应付总费用多少元？
（用含x 的式子表示，结果需化简）
(2)如果需要定制50 份奖品，请你通过计算说明选择哪家供应商比较省钱？
【答案】(1)24.5𝑥元；20.5𝑥+ 400元
(2)选择乙供应商比较省钱
【分析】本题考查代数式的实际应用，关键是要读懂题意，弄清其中的数量关系．
（1）分别计算纪念徽章制作费和纪念品费用，然后把两者费用相加，对于纪念品费用，按照𝑥≤100和
𝑥> 100两种情况分别计算；
（2）根据（1）的结论及题目给出方案，分别计算50 份奖品时两家供应商的费用，然后通过比较选择便宜
的一家即可．
【详解】（1）解：如果选择乙供应商，当𝑥≤100时，应付总费用为：(4.5 + 20)𝑥= 24.5𝑥（元）．
当𝑥> 100时，应付总费用为：4.5𝑥+ 100 × 20 + (𝑥−100) × 20 × 0.8 = 20.5𝑥+ 400（元）．
（2）解：当需要定制50 份奖品时，
如果选择甲供应商，应付总费用为300 + (3 + 18) × 50 = 1350（元），
如果选择乙供应商，应付总费用为24.5 × 50 = 1225（元），
因为1225 < 1350，所以定制50 份奖品时，选择乙供应商比较省钱．
18．（25-26 七年级下·山东青岛·期中）【规律探索】
如图，观察上述各图形，我们会发现：
图1 空白部分小正方形的个数是22−12 = 2 + 1，
图2 空白部分小正方形的个数是32−22 = 3 + 2，
图3 空白部分小正方形的个数是42−32 = 4 + 3；
(1)像这样继续排列下去，请写出第8 幅图对应的算式：________．
(2)请再写出第𝑛幅图对应的算式：________（用含有字母𝑛的算式表示，其中𝑛为正整数）．
(3)【问题解决】20262−20252 + 20242−20232 + 20222−20212 + ⋅⋅⋅+ 22−12 = ________．
【答案】(1)92−82 = 9 + 8
(2)(𝑛+ 1)2−𝑛2 = 𝑛+ 1 + 𝑛
(3)2053351
【分析】（1）观察可得空白部分小正方形的个数等于最大的正方形的面积减去阴影部分的正方形的面积，
据此规律求解即可；
（2）根据（1）可得答案；
（3）把所求式子按照（2）结论将原式分组，转化为连续整数的和，再进行计算．
【详解】（1）解：图1 空白部分小正方形的个数是22−12 = 2 + 1，
图2 空白部分小正方形的个数是32−22 = 3 + 2，
图3 空白部分小正方形的个数是42−32 = 4 + 3；
……，
以此类推可知，图n 空白部分小正方形的个数是(𝑛+ 1)2−𝑛2 = (𝑛+ 1) +𝑛，
∴第8 幅图对应的算式为92−82 = 9 + 8；
（2）解：由（1）可得第𝑛幅图对应的算式为(𝑛+ 1)2−𝑛2 = 𝑛+ 1 + 𝑛；
（3）解：20262−20252 + 20242−20232 + 20222−20212 + ⋅⋅⋅+ 22−12
= (2026 + 2025) + (2024 + 2023) + (2022 + 2021) + ⋯+ (2 + 1)
= 2026 + 2025 + 2024 + 2023 + 2022 + 2021 + ⋯+ 2 + 1
= 2026 × (2026 + 1)
2
= 2053351．
