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第三章 代数式（单元重点综合测试）
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．代数式a表示的数一定是（ ）
A．正数 B．负数 C．正数或负数 D．以上全部不对
【答案】D
【分析】本题考查正数和负数，根据字母可以表示任何数即可求得答案．
【详解】解：字母可以表示任何数，则a可以表示正数或0或负数，
故选：D．
2．下列式子，符合代数式书写格式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了代数式．代数式的书写要求：①在代数式中出现的乘号，通常简写成“ ”或者省略
不写；②数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面，当系数为1或 时，1省略不写；③在代数式中出
现的除法运算，一般按照分数的写法来写，带分数要化为假分数；④多项式后边有单位时，多项式要加括
号；由此判断即可．
【详解】解：A、 符合代数式书写格式，故此选项符合题意；
B、 的系数应该为假分数，故此选项不符合题意；
C、数字7应该在字母 的前面，乘号省略，故此选项不符合题意；
D、 应该写成分式的形式 ，故此选项不符合题意；
故选：A．
3．代数式 的正确含义是（ ）
A．5乘y减5 B．y的5倍减去5
C．y与5的差的5倍 D．5与y的积减去5【答案】C
【分析】本题考查了代数式表示的意义，根据代数式的表示意义，即可求解，掌握代数式的表示是解题的
关键．
【详解】解：根据题意， 表示的意义是y与5的差的5倍，
只有C符合题意，
故选：C ．
4．若 ，则 的值为（ ）
A．9 B．5 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性，得出 ，求出x和y的值，
即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
故选：B．
5．下列式子中：①0；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ ．属于代数式的有
（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】B
【分析】本题考查的是代数式的判断．代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示
数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．根据代数式的定义逐一判断即可．
【详解】解：①0是代数式；
② 是代数式；
③ 不是代数式；
④ 是代数式；
⑤ 是代数式；⑥ 是代数式；
⑦ 不是代数式；
⑧ 不是代数式．
代数式有5个，
故选：B．
6．按照如图所示的程序计算，若开始输入的值为 ，则最后输出的结果可能是（ ）
A． B． C． D．12
【答案】B
【分析】本题考查有理数的运算及代数式求值．根据题意列式计算，直至结果小于 输出结果即可．
【详解】解：若开始输入的值为 ，
则 ，返回继续运算；
，输出结果；
故选：B．
7．在 ， ，0， ， ，14， ， 这些数中，正有理数有m个，非负整数有n个，分数有k
个，则 的值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．5
【答案】D
【分析】本题考查的是有理数，熟知有理数的分类是解题的关键．先求出m，n，k的值，再进行计算即可．
【详解】解：∵ ， ，14是正有理数，共3个；
0，14是非负整数，共2个；
， ， ， 是分数，共4个，
∴ ， ， ，
∴ ．
故选：D．8．如果代数式 的值为1，那么代数式 的值等于（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
【答案】B
【分析】本题主要考查了代数式求值，利用整体代入的思想求解是解题的关键．先根据题意得到
，再由 进行求解即可．
【详解】解： ，
，
，
将 代入得：原式 ，
故选：B．
9．由于受禽流感影响，某市2月份鸡的价格比1月份下降 ，3月份比2月份下降 ，已知1月份鸡的
价格为24元/千克，设3月份鸡的价格为m元/千克，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了列代数式．首先求出二月份鸡的价格，再根据三月份比二月份下降 ，即可求
出三月份鸡的价格．
【详解】解：∵2月份鸡的价格比1月份下降 ，1月份鸡的价格为24元/千克，
∴2月份鸡的价格为 元，
∵3月份比2月份下降 ，
∴3月份鸡的价格为 元，
即 ．
故选：D10．如图，将第1个图中的正方形剪开得到第2个图，第2个图中共有4个正方形；将第2个图中一个正
方形剪开得到第3个图，第3个图中共有7个正方形；将第3个图中一个正方形剪开得到第4个图，第4个
图中共有10个正方形……如此下去，则第2024个图中共有正方形的个数为（ ）
A．2024 B．2022 C．6069 D．6070
【答案】D
【分析】本题主要考查图形规律，由前4个图形总结得到第n的图形的规律，即可得到第2024个图形含有
的正方形数量．
【详解】解：第1个图中有正方形1个，
第2个图中有正方形 个，
第3个图中有正方形 个，
第4个图中有正方形 个，
所以第n个图中有正方形 个．
当 时，图中有 个正方形．
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．列式表示a与b的和的平方与a与b的平方和的差 ．
【答案】
【分析】本题考查了列代数式，找出a，b之间的关系，列出关系式是解题的关键．
要明确给出文字语言中的运算关系，和的平方，先和后平方， 平方和，先平方后和．
【详解】解∶ ∵用代数式表示表示a与b的和的平方是 ，a与b的平方和是： ．
∴表示a与b的和的平方与a与b的平方和的差为： ．
故答案为： ．
12．在下列各式：① ；② ：③ ；④ ；⑤ ，⑥ 中，代数式的有个．
【答案】4
【分析】本题考查了代数式的定义，根据代数式即用运算符号把数或字母连起来的式子，逐项判断即可，
熟练掌握代数式的定义是解此题的关键．
【详解】解：① 是整式，是代数式；
② ，是等式，不是整式，不是代数式；
③ 是整式，是代数式；
④ 是不等式，不是整式，不是代数式；
⑤ 是分式，不是整式，是代数式；
⑥ 是整式，是代数式；
综上所述，代数式有①③⑤⑥，
故答案为：4．
13．已知 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查偶次方、绝对值的非负性，理解绝对值、偶次方的非负性是正确解答的前提，求出 、
的值是解决问题的关键．根据偶次方，绝对值的非负性求出 、 的值，再代入计算即可．
【详解】解： ，而 ， ，
， ，
解得 ， ，
，
故答案为： ．
14．若 ，则代数式 的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了代数式求值，整体代入是解题的关键．将 变形为 ，然后
将 代入求解即可．
【详解】解：∵ ，∴ ，
则 ，
故答案为： ．
15．定义一种对正整数 的“ ”运算：①当 为奇数时， ；②当 为偶数时， （其
中 是使 为奇数的正整数），两种运算交替重复进行，例如：取 ，则
，其中第1次 ，第2次 ， ，若
，则第 次“ ”运算的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的混合运算和数字的规律探究．解题的关键在于理解新定义中的运算法则，掌
握有理数混合运算的计算方法．
根据题意，写出前几次的运算结果，可推导规律，通过计算得出从第2次开始，结果就只有1、4两个数循
环出现，进而观察规律即可得结论．
【详解】解：由题意知，当 时，第1次， ，
第2次， ，
第3次， ，
第4次， ，
第5次， ，
……
∴从第2次开始，每两次运算为一个循环，结果分别为1，4，
∴第 次“ ”运算的结果是4，
故答案为：4．
16．若 ， 且 ，则 ．
【答案】 或 /−8或−2【分析】本题考查了绝对值的意义，求代数式的值，先根据绝对值的意义得出 ， ，再结合
得出 ， 或 ， ，分别计算即可得出答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， 或 ， ，
当 ， 时， ，
当 ， 时， ，
综上所述， 或 ，
故答案为： 或 ．
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
17．说出下列代数式的意义：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)a的5倍与b的差
(2)a与b的平方和的相反数
【分析】本题考查了代数式，体验了数学的现实意义，数学是为现实服务的．说出代数式的意义，实际上
就是把代数式用语言叙述出来．叙述时，要求既要表明运算的顺序，又要说出运算的最终结果．
（1）把代数式 用语言叙述出来即可；
（2）把代数式 用语言叙述出来即可．
【详解】（1）解：a的5倍与b的差；
（2）解：a与b的平方和的相反数．
18．列代数式
(1)比a与b的积的2倍小5的数；
(2)x，y两数的平方和减去它们积的2倍；
(3)某商店新进一批商品，每件商品的进价为a元，若要获利20%，则每件商品的零售价应为多少元？【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先表示a与b的积的2倍，再进一步的表示差即可；
（2）先表示x，y两数的平方和为 ，再表示减去它们积的2倍即可；
（3）由零售价等于进价加上利润，再表示即可．
【详解】（1）解：比a与b的积的2倍小5的数表示为： ：
（2）x，y两数的平方和减去它们积的2倍表示为： ；
（3）每件商品的零售价应为 元
【点睛】本题考查的是列代数式，理解题意，理清楚数量关系与运算顺序是解本题的关键．
19．如图，是一个“数值转换机”的示意图.
(1)输出的结果用代数式表示为________；
(2)计算当输入 时，输出的值．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】此题考查了代数式求值，列代数式．根据示意图正确列出代数式是解题的关键．首先根据“数值
转换机”的示意图，逐步列出代数式并化简，最后表示输出结果的代数式，然后代入求值．
【详解】（1）解：根据“数值转换机”的示意图可知输出结果为： ，
即 ，
故答案为： ；
（2）将 代入 中得：
，当输入 时，输出的值为 ．
20．如图，在一个底为 ，高为 的三角形铁皮上剪去一个半径为 的半圆．
(1)用含a，h，r的代数式表示剩下铁皮（阴影部分）的面积；
(2)求当 ， ， 时剩下的铁皮面积（ 取3）．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了列代数式，已知字母的值求代数式的值，正确理解图形面积的计算方法列得代数式是
解题的关键．
（1）先用代数式表示图中各个部分的面积，再根据各个部分面积之间的关系得出结果；
（2）把 ， ， 代入（1）中的代数式计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）当 ， ， ， 时，
．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．如图，小云同学在电脑中设置了一个有理数的运算程序：输入数“ ”加“★”键再输入“ ”，就可以得到运算 ．
(1)按此程序计算 的值为______．
(2)小华同学运用小云设置的这个程序时，屏幕显示：“该操作无法进行”，你能说出小华在什么地方出错
了吗？
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据定义新运算的运算法则即可求解；
（2）当 ， 没有意义，由此即可求解．
【详解】（1）解： ，
故答案为： ．
（2）解：在 中，若小华输入的 ，导致 没有意义，则该操作无法进行．
【点睛】本题主要考查含有乘方的有理数的运算，理解定义新运算的运算法则，掌握含有乘方的有利的运
算法则是解题的关键．注意，当 ， 没有意义，
22．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的等边三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第
2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…照此规律摆下去：
(1)照此规律，摆成第5个图案需要_____________个三角形；
(2)照此规律，摆成第n个图案需要_____________个三角形（用含n的代数式表示）；(3)照此规律，摆成第2021个图案需要几个三角形？
【答案】(1)16
(2)
(3)
【分析】本题考查了规律型：图形的变化类以及列代数式，根据各图案所需三角形个数的变化，找出变化
规律“ ”是解题的关键．
（1）根据前4个图案所需三角形的个数，可得出每个图案所需三角形的个数比前一个图形多3个，再结合
的值即可求出 的值；
（2）由（1）的结论“每个图案所需三角形的个数比前一个图形多3个”，可得出
；
（3）代入 即可求出结论．
【详解】（1）解：设摆成第n（n为正整数）个图案需要 个三角形．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：16；
（2）解：由（1）可知： ．
故答案为： ；
（3）解：当 时， ，
∴摆成第2021个图案需要 个三角形．
23．赋值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答
案的一种方法．例如：
已知： ，则：（1）取 时，直接可以得到 ；（2）取 时，可得到 ；（3）取 时，可以得到 ．
（4）把（2），（3）的结论相加，就可以得到 ，结合（1） 的结论，从而得出
．请类比上例，解决下面的问题：
已知 ，
求：
(1) 的值；
(2) 的值；
(3) 的值．
【答案】(1)4
(2)8
(3)0
【分析】本题主要考查代数式求值问题，合理理解题意，整体思想求解是解题的关键．
（1）观察等式可发现只要令 ，即可求出 的值；
（2）观察等式可发现只要令 即可求出 的值．
（3）令 即可求出等式①，令 即可求出等式②，两个式子相加即可求出来．
【详解】（1）解：当 时， ；
（2）解：当 时，可得 ；
（3）解：当 时，可得 ①，
由（2）得 ②；
得： ，，
．
五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24．定义：若一对有理数 满足 ，则称 为“完美有理数对”，如：有理数对 满
足 ，则称 为“完美有理数对”．
(1)数对 中是“完美有理数对”的是______；
(2)某学习小组发现：如果 为“完美有理数对”，那么 也为“完美有理数对”．请判断该结论
是否正确，并说明理由；
(3)若一对有理数 为“完美有理数对”，求 的值．
【答案】(1)
(2)该结论正确，理由见解析
(3)2020
【分析】本题主要考查了新定义，有理数的四则混合计算，代数式求值等等，正确理解新定义是解题的关
键．
（1）根据“完美有理数对”的定义计算并判断即可；
（2）根据“完美有理数对”的定义得到 ，再计算出 ，
，由此即可得到结论；
（3）根据“完美有理数对”的定义得到 ，再由 进行求解即
可．
【详解】（1）解： ，∴ ，
∴数对 不是“完美有理数对”；
，
∴ ，
∴数对 是“完美有理数对”；
故答案为： ；
（2）解：该结论正确，理由如下：
∵数对 为“完美有理数对”，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴数对 也为“完美有理数对”；
（3）解：∵数对 为“完美有理数对”，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
25．运用整体思想在代数式求值中经常会有用到．
例如：已知 ，则代数式 ．请你根据以上材料解答以下问题：
(1)若 ，则 ______；
(2)已知 ， ，则 ______；
(3)当 ， 时，代数式 的值为8，
则当 ， 时，求代数式 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了代数式求值：
（1）根据整体思想代入计算即可求解；
（2）先把原式变形为 ，再整体代入到所求代数式中即可；
（3）根据已知可得 ，再整体代入到所求代数式中即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ；
故答案为：
（2）解：∵ ， ，
∴ ；
故答案为：17
（3）解：∵当 ， 时，代数式 的值为8，
∴ ，
∴ ，
∴当 ， 时， ．
