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第 07 讲 代数式 （6 个知识点+7 种题型+过关检测）
知识点1．代数式
代数式：代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数
或者一个字母也是代数式．例如：ax+2b，﹣13，2b3，a+2等．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号
的不是代数式．
注意：①不包括等于号（＝）、不等号（≠、≤、≥、＜、＞、≮、≯）、约等号≈．
1
学科网（北京）股份有限公司②可以有绝对值．例如：|x|，|﹣2.25|等．
知识点2．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如
“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，
只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级
运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时
要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形
式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的
适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
知识点3．代数式求值
（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．
（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
题型简单总结以下三种：
①已知条件不化简，所给代数式化简；
②已知条件化简，所给代数式不化简；
③已知条件和所给代数式都要化简．
知识点4．整式
（1）概念：单项式和多项式统称为整式．
2
学科网（北京）股份有限公司他们都有次数，但是多项式没有系数，多项式的每一项是一个单项式，含有字母的项都有系数．
（2）规律方法总结：
①对整式概念的认识，凡分母中含有字母的代数式都不属于整式，在整式范围内用“+”或“﹣”将单项式连起来的
就是多项式，不含“+”或“﹣”的整式绝对不是多项式，而单项式注重一个“积”字．
②对于“数”或“形”的排列规律问题，用先从开始的几个简单特例入手，对比、分析其中保持不变的部分及发展
变化的部分，以及变化的规律，尤其变化时与序数几的关系，归纳出一般性的结论．
知识点5．单项式
（1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．
用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义．
（2）单项式的系数、次数
单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有
系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式．
知识点6．多项式
（1）几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高
的项的次数叫做多项式的次数．
（2）多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个
多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式．
题型一、代数式的概念及意义
1．（七年级上·江苏盐城·期中）如果 苹果的售价为 元．则代数式 表示的实际意义是 ．
【答案】 苹果的售价
【知识点】代数式表示的实际意义
【分析】本题考查代数式的意义，能够读懂题意是解题关键．
3
学科网（北京）股份有限公司根据题意可知每千克苹果的价格是 元，因此可由 知其实际意义为 苹果的售价．
【详解】∵ 苹果的售价为 元，
∴每千克苹果的价格是 元，
又∵ ，
∴代数式 表示的实际意义是 苹果的售价．
故答案为： 苹果的售价．
2．（2024七年级上·全国·专题练习）下列式子中：①0；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧
．属于代数式的有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】B
【知识点】代数式的概念
【分析】本题考查的是代数式的判断．代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连
接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．根据代数式的定义逐一判断即可．
【详解】解：①0是代数式；
② 是代数式；
③ 不是代数式；
④ 是代数式；
⑤ 是代数式；
⑥ 是代数式；
⑦ 不是代数式；
⑧ 不是代数式．
代数式有5个，
4
学科网（北京）股份有限公司故选：B．
3．（2024七年级上·河北·专题练习）指出下列各代数式的意义：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4)
【答案】(1)a的2倍与3的和；
(2)a与3的和的x倍；
(3)c与a，b的积的商；
(4)x与x，y两数的差的商
【知识点】代数式表示的实际意义
【分析】本题主要考查代数式的意义，熟练掌握代数式的概念是解题的关键．根据代数式的实际意义可直接进行求解．
【详解】（1）解： 表示的意义为a的2倍与3的和；
（2） 表示的意义为a与3的和的x倍；
（3） 表示的意义为c与a，b的积的商；
（4） 表示的意义为x与x，y两数的差的商．
题型二、单项式的系数、次数
4．（24-25七年级上·全国·单元测试）单项式 的次数是 ．
【答案】8
【知识点】单项式的系数、次数
【分析】本题考查单项式的次数的概念，单项式的次数就是所有的字母指数和，根据求出即可．
5
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：单项式 的次数是 ，
故答案为：8．
5．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）下列关于单项式 的说法正确的是（ ）
A．系数是 ，次数是4 B．系数是 ，次数是3
C．系数是 ，次数是4 D．系数是 ，次数是3
【答案】A
【知识点】单项式的系数、次数
【分析】本题考查了单项式有关的概念：数与字母的积叫做单项式，其中的数字因数叫做单项式的系数，单项式中所
有字母指数的和叫做单项式的次数；根据单项式相关概念判断即可．
【详解】解：单项式 的系数是 ，次数是4，故A正确；
故选：A．
6．（2024七年级上·全国·专题练习）若 是关于x，y的五次单项式且系数为最小的正整数，试求m，n的
值．
【答案】 ；
【知识点】单项式的系数、次数
【分析】本题主要考查的是单项式的概念，掌握单项中的数字因数叫单项式的系数，各字母指数和叫单项式的系数是
解题的关键．
根据单项式的次数和系数的定义可知 ，求得m、n的值即可．
【详解】解： 是关于 ， 的五次单项式，且系数为1，
， ．
解得： ， ．
题型三、单项式规律题
6
学科网（北京）股份有限公司7．（23-24七年级上·河北唐山·阶段练习）一组按规律排列的式子 ， ， ， ，…按照上述规律，它的第n
个式子（ 且n为整数）是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】单项式规律题
【分析】此题考查了单项式的变化规律，先根据分子、分母的变化得出规律，再根据分式符号的变化得出规律是解题
的关键．
【详解】解：观察知，分母按1，3，5，7，．．．．．．排列，则第n个式子分母为 ；
分子按 ， ， ， ，．．．．．排列，则第n个式子分子为 ；
奇数个式子的符号为正，偶数个式子的符号为负，则第n个式子的符号为 ，
所以第n个式子为：
故选D．
8．（2024七年级上·全国·专题练习）观察下列单项式： ， ， ， ， ，…，根据这个规律，第10个
式子应为 ．
【答案】
【知识点】单项式规律题
【分析】本题考查数字规律问题，系数按照1， ，9， ，25， 进行变化，指数按照1，2，3，4，5进
行变化，所以按这个规律即可写出第10个式子，需要注意观察数字的变化规律．
【详解】解：系数按照1， ，9， ，25， 进行变化，指数按照1，2，3，4，5进行变化，
第10个式子应为 ，
故答案为： ．
7
学科网（北京）股份有限公司9．（24-25七年级上·全国·单元测试）观察下列关于 的单项式： ， ， ， ，
(1)直接写出第 个单项式：___________；
(2)第 个单项式的系数和次数分别是多少？
(3)系数的绝对值为 的单项式的次数是多少？
【答案】(1)
(2)系数是 ，次数是
(3)
【知识点】单项式规律题
【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的单项式，探索出单项式的一般规律是解题的关键．
（1）根据所给的式子，直接写出即可；
（2）通过观察可得第 个单项式为 ，当 时，即可求解；
（3）由题意可得 ，求出 ，再由（2）的规律求解即可．
【详解】（1）解：第5个单项式为 ，
故答案为： ；
（2）解： ， ， ， ，
第 个单项式为 ，
第20个单项式为 ，
第20个单项式的系数是 ，次数是41；
（3）解： 系数的绝对值为2025，
∴
，
次数为 ．
8
学科网（北京）股份有限公司题型四、多项式的判断
10．（24-25七年级上·全国·课后作业）可以看作几个单项式的 的代数式叫作多项式．
【答案】和
【知识点】多项式的判断
【分析】本题考查多项式的概念，熟知多项式概念即可解题．
【详解】解：根据多项式的概念可知：可以看作几个单项式的和的代数式叫作多项式．
故答案为：和．
11．（24-25七年级上·全国·单元测试）下列说法中正确的是（ ）
A．0不是单项式
B． 一定小于0
C．最大的负有理数是
D． 是二次三项式
【答案】D
【知识点】有理数大小比较、单项式的判断、多项式的判断
【分析】本题主要考查有理数，单项式，多项式的相关概念，根据相关概念逐一判断即可，熟知有理数，单项式，多
项式的相关概念是解题的关键．
【详解】解：A、0是单项式，故A不符合题意；
B、 可能等于0，选项错误，故B不符合题意；
C、 是有理数，而且比 大，故最大的负有理数不是 ，故C不符合题意；
D、 是二次三项式，故D符合题意，
故选：D．
12．（23-24七年级上·北京西城·期中）定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“7倍
系数多项式”，称这个多项式的各项系数之和为“7倍系数和”．
例如：多项式 的系数和为 ，所以多项式 是“7倍系数多项式”，它的“7倍系数
9
学科网（北京）股份有限公司和”为28．
请根据这个定义解答下列问题：
(1)在下列多项式中，属于“7倍系数多项式”的是 ；（在横线上填写序号）
① ；② ；③ ．
(2)若多项式 是关于x、y的“7倍系数多项式”（其中m，n均为整数），则多项式 也是关于x、y的
“7倍系数多项式”吗?若是，请说明理由；若不是，请举出反例．
【答案】(1)①③
(2)是，理由见详解
【知识点】多项式的判断、多项式的项、项数或次数
【分析】本题考查了多项式的新定义，
（1）分别算一下这三个多项式各系数之和是否为7的整数陪，即可求出答案；
（2）根据题意可知， 是7的整数倍，推出 ，根据要求推一下 是否是7的整数倍即可．
【详解】（1）解：（1）①因为 ， 是整式，所以这个多项式是“7倍系数多项式”；
②因为 ， 不是整数，所以这个多项式不是“7倍系数多项式”；
③因为 ，2是整数，所以这个多项式不是“7倍系数多项式；
故答案选：①③；
（2）是，理由如下：
多项式 是关于 ， 的“7倍系数多项式”，
是7的整数倍，
设 为整数，且 ，
则 ，
多项式 的系数之和为： ，
，
10
学科网（北京）股份有限公司，
为7的倍数，即 为7的倍数，
当多项式 是关于 ， 的“7倍系数多项式”，多项式 也是关于 ， 的“7倍系数多项式”．
题型五、整式的判断
13．（23-24七年级上·全国·单元测试）观察下列各式： ， ， ， ， ， ，其中整式有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C
【知识点】整式的判断
【分析】本题主要考查了整式的判断，根据定义逐项判断即可．单项式和多项式统称为整式．
【详解】 是单项式， 是多项式，
所以，整式有 ，一共有5个．
故选：C．
14．（24-25七年级上·全国·课后作业）在式子 中，整式共有 个．
【答案】4
【知识点】整式的判断
【分析】本题考查整式的概念，根据单项式和多项式统称整式逐个判断即可．
【详解】解：在式子 中， ， ， ， 是整式，共4个，
故答案为：4．
15．（22-23七年级上·山东滨州·期末）简答题：在人教版七年级上册第二章《整式的加减》中，我们主要研究了整式
的加法和减法，请类比数的运算，你认为我们在以后的学习中还会研究整式的什么运算？并举例说明（只列式,至少举
出三个）。
【答案】将会研究整式的乘法、除法、乘方；举例见解析
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学科网（北京）股份有限公司【知识点】整式的判断
【分析】根据类比数的运算推断即可得出结论．
【详解】将会研究整式的乘法、除法、乘方；举例 （根据答案酌情给分）．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的运算法则是解答本题的关键．
题型六、数字类规律探索
16．（24-25七年级上·河南新乡·阶段练习）已知整数 ，满足下列条件：
，…，依次类推，则 的值为（ ）
A．2024 B． C． D．1012
【答案】C
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题考查了数字的变化规律；根据条件求出前几个数的值，再分 是奇数时，结果等于 ； 是偶数时，
结果等于 ；然后把n的值代入进行计算即可得解．
【详解】解：由题意可得，
，
，
，
，
，
……，
当 ， 是奇数时，结果等于 ； 是偶数时，结果等于 ；
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司故选：C．
17．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）找规律： ， ， ， ，…则第15个数是 ．
【答案】
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知，这一列数的分子是从1开始的连续的奇数，分母是序号的平
方，其中第奇数个的符号为负，第偶数个的符号为正，据此规律求解即可．
【详解】解：第1个数为 ，
第2个数为 ，
第3个数为 ，
第4个数为 ，
……，
以此类推可知，这一列数的分子是从1开始的连续的奇数，分母是序号的平方，其中第奇数个的符号为负，第偶数个
的符号为正，
∴第15个数是 ，
故答案为： ．
18．（24-25七年级上·湖北武汉·开学考试）若对于任意数a，b均满足 ．
(1)计算： ；
(2)正方形 与正方形 的边长均为正整数，则它们的面积之差是否可能是2020，若存在，请列出所有
的可能性；若不存在，请说明理由．
13
学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)
(2)存在，两正方形的边长分别为106、96或504、506
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题考查了数字类规律的探究．
（1）套用 ，再约分化简即可求解；
（2）套用 ，计算即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解： ；
；
所以存在两正方形的边长分别为106、96或504、506．
题型七、图形类规律探索
19．（24-25七年级上·辽宁大连·阶段练习）观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第2024个图案中的“ ”
的个数是（ ）
A．6075 B．6074 C．6073 D．6072
【答案】C
【知识点】图形类规律探索
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了图形的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键．
根据题意可推导一般性规律为：第 个图案中“ ”的个数是 ，然后计算求解即可．
【详解】
解：由题意知，第1个图案中“ ”的个数是4，
第2个图案中“ ”的个数是 ，
第3个图案中“ ”的个数是 ，
第4个图案中“ ”的个数是 ，
……
∴可推导一般性规律为：第 个图案中“ ”的个数是 ，
当 时， ，
故选：C．
20．（24-25七年级上·辽宁大连·阶段练习）如图所示的图案是我国古代窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的
剪纸，则第6个图中所贴剪纸“○”的个数为 ．
【答案】20
【知识点】图形类规律探索
【分析】观察图形发现，后一个图形比前一个图形多3个剪纸“○”，然后写出第n个图形的剪纸“○”的表达式，
再把 代入表达式进行计算即可得解．
本题是对图形变化规律的考查，属于常考题型，观察出后一个图形比前一个图形多3个剪纸“○”是解题的关键．
【详解】解：第1个图形有5个剪纸“○”，
第2个图形有8个剪纸“○”，
15
学科网（北京）股份有限公司第3个图形有11个剪纸“○”，
……，
依此类推，第n个图形有 个剪纸“○”，
当 时， ，
故答案为：20．
21．（24-25七年级上·全国·课后作业）在数学活动中，小明在边长为1的正方形中设计了如图①所示的图形．
(1)根据这个图形，可以直接写出 ______；
(2)请你在图②中再设计一个能表示 的图形．
【答案】(1)
(2)见解析
【知识点】含乘方的有理数混合运算、数字类规律探索、图形类规律探索
【分析】本题主要考查了根据图形面积计算式子的值，解题的关键是要结合图形分析计算其面积和的方法是总面积减
去剩下的面积．
（1）根据图形分析，用“面积法”解题；即面积为 ，可看作用正方形的面积减去第n个矩形
的面积，为 ；
（2）仿照（1）依次将四边形的面积平分即可．
【详解】（1）解：该式子可以看作大正方形去除最后一块三角形的区域面积之和，大正方形面积为1，最后一块三角
16
学科网（北京）股份有限公司形的面积为 ；
∴ ．
（2）解：只要保证每次划分后的区域面积是上次的一半即可，可以划分为两个三角形，也可以划分为两个长方形等．
如图所示：（答案不唯一）
一、单选题
1．在下列各整式中，次数为5的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】单项式的系数、次数、多项式的项、项数或次数
【分析】本题考查单项式与多项式中次数的概念．单项式的次数指所有字母指数的和，多项式中的次数指每项次数中
的最高次，分别计算每个选项的次数即可．
【详解】A项次数为 ；
B项次数为2；
C项次数为3；
D项次数为 ．
故选：D．
2．单项式 的系数是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B．3 C． D．1
【答案】A
【知识点】单项式的系数、次数
【分析】根据单项式的系数为字母前面的数字，包括符号，进行作答即可．
【详解】解：单项式 的系数是 ；
故选A．
【点睛】本题考查单项式的系数．熟练掌握单项式的系数为字母前面的数字，包括符号，是解题的关键．
3．下面各式中，符合书写要求的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】代数式书写方法
【分析】本题主要考查了代数式的书写．根据代数式的书写要求，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、应该是 ，故本选项不符合题意；
B、应该是 ，故本选项不符合题意；
C、应该是 ，故本选项不符合题意；
D、 ，书写正确，故本选项符合题意；
故选：D
4．下列式子：0， ， ， ， 中，单项式的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】单项式的判断
【分析】本题主要考查了单项式的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，
单独的一个数或一个字母也是单项式．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：在式子0， ， ， ， 中，单项式有0， ， ，共3个，
故选：B．
5．观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第2023个图案中的“ ”的个数是（ ）
A．6074 B．6072 C．6070 D．6068
【答案】C
【知识点】图形类规律探索
【分析】
根据题意可得第n个图案中的“ ”的个数为 个，即可求解．
【详解】
解：∵第1个图案中的“ ”的个数 （个），
第2个图案中的“ ”的个数 （个），
第3个图案中的“ ”的个数 （个），
…，
第2023个图案中的“ ”的个数 （个），
故选：C．
【点睛】本题考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出规律．
6．观察一列单项式： ， ， ， ， ，⋯，则第n个单项式是（ ）
A． B．
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学科网（北京）股份有限公司C． D．
【答案】C
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题主要考查了整式的混合运算，探索数与式的规律，用代数式表示数值变化规律，掌握整式的运算是解题
的关键．
先观察得到奇数项系数为正，偶数项系数为负，进而可以用 或 来表示，其中n为大于1的正整数，再结
合题意即可求解．
【详解】解：观察可知，奇数项系数为正，偶数项系数为负，
可以用 或 来表示符号，其中 为大于1的正整数，
数字系数（不含正负）为： ， ，
第 个单项式的数字系数（不含正反）为： ，
指数是从1开始的连续奇数，
第 个单项式的指数为： ，
∴第 个单项式为： 或 ，
故答案为：C．
7．观察下面倒“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为（ ）
A．2020 B．2021 C．4040 D．4039
【答案】D
【知识点】数字类规律探索
【分析】由图形可得1=2×1-1，3=2×2-1，5=2×3-1……；由此规律可得a=2n-1，进而问题可求解．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：由图可得：
1=2×1-1，3=2×2-1，5=2×3-1……；
∴该列数的规律为a=2n-1，
∵n=2020，
∴a=2×2020-1=4039；
故选D．
【点睛】本题主要考查数字规律，关键是根据图形得到数字之间的基本规律，然后求解即可．
8．观察下列等式：71=7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，76＝117649…由此可判断7100的个位数字是( )
A．7 B．9 C．3 D．1
【答案】D
【知识点】数字类规律探索
【分析】根据已知算式可得个位上的数字每4个一循环的规律，进而可得答案．
【详解】∵71=7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，76＝117649…，
∴个位上的数字每4个一循环，
∵100÷4=25，
∴7100的个位数字与74的个位数字相同，
∴7100的个位数字是1，
故选：D．
【点睛】本题考查数字变化类，能根据已知算式得出规律是解此题的关键．
9．正方形 在数轴上的位置如图所示，点A，D对应的数分别为0和1，若正方形 绕着顶点沿顺时针方向
在数轴上连续翻转，翻转1次后，点C所对应的数为2，则翻转2023次后，数轴上表示2023的点是（ ）
A．点C B．点D C．点A D．点B
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学科网（北京）股份有限公司【答案】D
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题考查了数字类变化规律，先根据翻转1次后，点C所对应的数为2，翻转2次后，点B所对应的数为3，
翻转3次后，点A所对应的数为4，翻转4次后，点D所对应的数为5，翻转5次后，点C所对应的数为6， ，得出
每转动4次一循环，据此作答即可．
【详解】由题意得，翻转1次后，点C所对应的数为2，翻转2次后，点B所对应的数为3，翻转3次后，点A所对应
的数为4，翻转4次后，点D所对应的数为5，翻转5次后，点C所对应的数为6，
∴每转动4次一循环，
∵ ，
∴翻转2023次后，点A所对应的数为2024，
∴数轴上表示2023的点是点B，
故选：D．
10．如图所示的是一组有规律的图案，它们都是由边长为1的正方形和三角形组成的，其中正方形涂有阴影．依此规
律，第 个图案中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】图形类规律探索
【分析】本题考查了图形规律题，旨在考查学生的抽象概括能力．
【详解】解：由图可知：第 个图案中阴影部分的面积为： ；
第 个图案中阴影部分的面积为： ；
第 个图案中阴影部分的面积为： ；
依此类推，
22
学科网（北京）股份有限公司第 个图案中阴影部分的面积为： ；
故选：D
二、填空题
11．单项式 的系数是 ．
【答案】
【知识点】单项式的系数、次数
【分析】根据单项式的系数的概念求解．
【详解】解：单项式 的系数是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了单项式系数的概念，单项式的系数是指单项式中的数字因数．
12．把多项式 按 的升幂排列为 ．
【答案】
【知识点】将多项式按某个字母升幂（降幂）排列
【分析】多项式中每一项的次数都是该项所有字母的指数和，求出每项次数后升幂排列即可．
【详解】多项式 的各项为 ， ， ， ，
按 的升幂排列为： ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查多项式的项的次数，能够熟练根据定义求出每项次数是解题关键．
13．单项式 的次数是 ．
【答案】6
【知识点】单项式的系数、次数
【分析】直接利用一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，得出答案即可．
23
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：单项式- 的次数是：3+2+1=6．
故答案为：6．
【点睛】此题主要考查了单项式的次数定义，正确把握单项式的次数确定方法是解题关键．
14．将多项式 按字母x的降幂排列为 ．
【答案】
【知识点】将多项式按某个字母升幂（降幂）排列
【分析】先分清各项，然后按降幂排列的定义解答．
【详解】解：多项式 的各项是 ， ， ， ，
按x降幂排列为 ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查的多项式的次数排列，掌握降幂排即从x的最高次幂排到最低次幂是解题的关键．
15．有一组单项式： ， ， ， ，……则第2023个单项式是 ．
【答案】
【知识点】单项式规律题
【分析】本题考查了单项式规律探究；分别从符号、分子、分母三个方面找出规律，奇数个的符号为正，分子为 开
始指数依次递增，分母为从1开始的整数，据此，即可求解．
【详解】解： ， ， ， ，……则第2023个单项式是 ，
故答案为： ．
16．若 ， ， ， ，…，则 ．
24
学科网（北京）股份有限公司【答案】
【知识点】数字类规律探索
【分析】根据已知所给等式依次进行计算即可发现规律，每3个结果一次循环，进而可求结果．
【详解】解：∵ ，
，
，
，
...，
发现规律：每3个结果一次循环，
2020÷3=673…1．
则n = ，
2020
故答案为： ．
【点睛】本题考查了规律型-数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律，总结规律，应用规律．
17．研究算式，找出规律：
请你将找出的规律用含正整数 的公式表示出来 ．
【答案】
25
学科网（北京）股份有限公司【知识点】数字类规律探索
【分析】本题考查了数字的变化规律，分析每个算式中相邻数字之间的联系即可，解题的关键是发现其中的变化规律，
找出规律．
【详解】解： ；
；
；
；
∴ ，
故答案为： ．
18．对于实数 ，规定 ，例如 ， ，那么计算
的结果是 ；
【答案】
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的数字得到 ；
根据已知的规定，分别计算出f (1)， ， ， ， 的结果，总结出其规律为 ，
再求所求的式子的值即可．
【详解】 ，
， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ，
26
学科网（北京）股份有限公司．
三、解答题
19．若关于x的多项式 不含二次项和一次项，求m、n的值．
【答案】
【知识点】多项式的项、项数或次数
【分析】本题考查了多项式不含问题，不含哪一项，则哪一项的系数为0．根据多项式不含二次项和一次项，则二次
项和一次项系数为0列式求解即可．
【详解】解：∵关于x的多项式 不含二次项和一次项，
∴ ，
∴ ．
20．如图，这是一列用若干根火柴棒提成的由正方形组成的图案．
(1)填写下表：
正方形个数 1 2 3 4 5 6
火柴棒根数 4 7 10 13
(2)某同学用若干根火柴棒按同样的方式摆图案，摆完了第1个后，摆第2个，接着摆第3个，第4个，…，当他摆完
第20个图案时剩下了19根火柴棒，若要摆完第21个图案，则要添加多少根火柴棒？
【答案】(1)见解析
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学科网（北京）股份有限公司(2)45
【知识点】图形类规律探索
【分析】本题考查了图形的变化类问题，主要考查了学生通过特例分析从而归纳得出规律，根据规律解决问题的能力．
（1）根据第①个图案所用的火柴数，每个图案比前一个图案增加1个正方形，火柴棒的根数相应地增加3，
（2）根据已知图案所用的火柴根数，找出规律即可求解第 个图案需要火柴棒的根数．
【详解】（1）
正方形个数 1 2 3 4 5 6
1
火柴棒根数 4 7 10 16 19
3
（2）按同样的方式摆放，从第2个图案开始，每个图案比前一个图案增加1个正方形，火柴棒的根数相应地增加3，
所以摆成第 个图案需要火柴棒的根数为 ．
所以摆成第21个图案需要火柴棒的根数为 ，
则要添加火柴棒的根数为 ．
21．甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购物超
出200元，超出部分按原价的八折优惠；在乙超市累计购物超出100元，超出部分按原价的八五折优惠．已知某顾客
累计购物 元．
(1)请用含x的代数式分别表示该顾客在两家超市购物所付的费用；
(2)当该顾客累计购物300元时在哪个超市购物合算？
【答案】(1)在甲家超市购物所付的费用 元；在乙家超市购物所付的费用 元
(2)在乙家超市购物合算
【知识点】用代数式表示式、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】此题考查列代数式与代数式求值，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关
系列出代数式，再求解．
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学科网（北京）股份有限公司（1）根据超市的销售方式可列式表示在甲超市购物所付的费用和在乙超市购物所付的费用；
（2）把 代入（1）中的代数式求得数值，进一步比较得出答案即可．
【详解】（1）解：在甲家超市购物所付的费用： 元，
在乙家超市购物所付的费用： 元；
（2）在甲家超市购物所付的费用： （元），
在乙家超市购物所付的费用： （元），
，
所以在乙家超市购物合算．
22．观察下列等式：
；
；
…
（1）根据上述各式反映的规律填空，使下列式子满足以上规律：
① ___；
②____2—____2 ；
（2）设这类等式左边第一个两位数的十位数字为a，个位数字为b，a、b均为大于0而小于等于9的整数，且 ，
请用a、b写出表示一般规律的式子，并证明所得式子．
【答案】（1）①（62﹣32），②83，38；（2） ，见解析
【知识点】数字类规律探索
【分析】（1）根据观察得出规律，进而解答即可；
（2）通过观察可知，得出新两位数，进而即可得解 ．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：（1）∵212-122=99×（22-12）；
312-132=99×（32-12）；
522-252=99×（52-22）；
742-472=99×（72-42）；…
∴①632-362=99×（62-32）；
故答案为：（62﹣32）；
②832-382=99×（82-32）；
故答案为： 83；38．
（2）设这类等式左边第一个两位数的十位数字为a，个位数字为b，
则（10a+b）2-（10b+a）2=（10a+b+10b+a）（10a+b-10b-a）=99×（a2-b2）．
【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，得出运算规律解决问题．
23．我国个人所得税征收2019年1月1日起的实施标准：个人月收入在5000元以下不征收税；超过5000元部分按表
征税．
全月纳税所得额（超出5000元部分） 税率
不超过3000元部分
超过3000元至12000元部分
超过12000元至25000元部分
… …
(1)王老师四月份的月收入是6100元，他应缴纳多少元所得税？
(2)在企业担任中层领导的张叔叔四月份缴纳了290元的个人所得税，张叔叔四月份税前收入是多少元？
【答案】(1)王老师应缴纳33元所得税
(2)张叔叔四月份税前收入是10000元
【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、用代数式表示式
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题主要考查从统计图表中获取信息、有理数混合运算的应用等知识点，根据个税税率与超出不征税范围列
出相应代数式成为解题的关键．
（1）根据纳税的规定，对照表格乘相应的税率即可解答；
（2）根据张叔叔四月份缴纳的个人所得税以及各段最高交税金额，判断张叔叔个税税率，根据张叔叔所交个税，计
算其超出部分的工资，然后加上5000元即可．
【详解】（1）解： （元），
，
（元）
答：王老师应缴纳33元所得税．
（2）解： （元）；
元），
，
张叔叔应交的税率为 ，
，
张叔叔的收入为： （元）．
答：张叔叔四月份税前收入是10000元．
24．七年级新学期，两摞规格相同准备发放的数学课本整齐地叠放在课桌面上，小英对其高度进行了测量，请根据图
中所给出的数据信息，解答下列问题：
(1)每本数学课本的厚度是 cm；
(2)若课本数为 （本），整齐叠放在桌面上的数学课本顶部距离地面的高度的整式为 （用含 的整式表示）；
31
学科网（北京）股份有限公司(3)现课桌面上有48本此规格的数学课本，整齐叠放成一摞，若从中取出13本，求余下的数学课本距离地面的高度．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、用代数式表示式、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题主要考查列代数式，代数式求值，弄清高度就是数学课本的高度与讲台的高度之和是解题关键．
（1）根据题意列式计算即可；
（2）根据一本课本的厚度，课本距离地面的高度就是讲台的高度加上课本的高度；
（3）叠放桌上课本的数学课本数是 ，即为x值，代入即可求得代数式的值．
【详解】（1）解：一本课本的高度 ．
故答案为：0.5．
（2）解：讲台高度为： ，
∴整齐叠放在桌面上的数学课本距离地面的高度为 ．
故答案为：
（3）解：当 时，
原式
答：余下的数学课本距离地面的高度 ．
25．2024年1月日历排列如图所示，用“X”形的方式任意框五个数．
32
学科网（北京）股份有限公司(1)若框住的5个数中，正中间的一个数为10，则这5个数的和为________；
(2)用式子表示“X”形框内五个数的和．
(3)“X”形框能否框住这样的5个数，使得它们的和等于120?若能，求出正中间的数；若不能，请说明理由．
【答案】(1)50
(2)
(3)不存在，理由见详解
【知识点】数字类规律探索
【分析】主要考查规律型：数字的变化类，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律
上总结出一般性的规律．
（1）根据图示进行计算便可得结果；
（2）设“X”形框内中间一个数为 ，其余四个数分别为 ，再求和即可；
（3）根据（2）中的代数式，结合题意列出 的方程，根据方程有无解进行解答便可．
【详解】（1）解： ，
故答案为：50；
（2）解：设“X”形框内中间一个数为 ，其余四个数分别为 ，
则这五个数的和为 ；
（3）解：不存在，理由如下：
，
33
学科网（北京）股份有限公司解得： ，
则 ，此数不存在，
故不存在5个数的和等于120．
26．观察下列图形，发现图形中“·”的排列规律：
第1个图形：______
第2个图形：
第3个图形：
第4个图形：
……
根据你所发现的规律，解答下列问题．
（1）在题中横线上补画出第1个图形；
（2）把第1个图形中“·”的个数记为 ，第2个图形中“·”的个数记为 ，第3个图形中“·”的个数记为 ，…，第
个图形中“·”的个数记为 （其中 为正整数）．
①直接写出：第5个图形中“·”的个数 ______；
②计算： ______， ______， ______；
34
学科网（北京）股份有限公司③由②中的计算结果猜想 ______；（用含有 的式子表示）
④模仿②中的方法，猜想 ，的结果（用含有 的式子表示），并写出猜想过程．
【答案】（1）见解析；（2）①21；②3，4，5；③ ；④ ，过程见解析
【知识点】数字类规律探索、图形类规律探索
【分析】（1）根据第二个，第三个，第四个图形的结构可得第一个图形；
（2）①由前面图形的结构特征可得： 从而可得答案；②直接计算 即可得到
答案；③由②中的计算描述能体现规律的等式，再总结归纳即可；④先描述出 ， ，
， ，再总结归纳即可.
【详解】解：（1）根据题意：第一个图形为：
（2）①
②
③
归纳出：
④
，
．
，
……
35
学科网（北京）股份有限公司归纳可得： ．
【点睛】本题考查的是图形与数字的规律探究，掌握从具体到一般的推导方法是解题的关键.
36
学科网（北京）股份有限公司
