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24.2.2 直线和圆的位置关系（第二课时） 分层作业
基础训练
1．如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD、CD、OA，若
∠ADC=30°，则∠ABO的度数为（ ）
A．25° B．20° C．30° D．35°
【详解】解： 为圆 的切线，
，即 ，
，
，
．
故选：C．
2．平面内，⊙ 的半径为 ，点 到圆心 的距离为 ，过点 可作⊙ 的切线条数（ ）
A． 条 B． 条 C． 条 D．无数条
【详解】 ⊙ 的半径为 ，点 到圆心 的距离为 ，
,
点 与⊙ 的位置关系是：点 在⊙ 的内部，
过点 可以作⊙ 的 条切线．
故选：A．
3．如图， 是⊙O的直径， 交⊙O于点 ， 于点 ，下列说法不正确的是（
）
A．若 ，则 是⊙O的切线 B．若 ，则 是⊙O的切线C．若 ，则 是⊙O的切线 D．若 是⊙O的切线，则
【详解】解：当AB=AC时，如图：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∴CD=BD，
∵AO=BO，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线，所以B选项正确；
当DE是⊙O的切线时，如图：连接AD，
∵DE是⊙O的切线，
∴DE⊥OD，
∵DE⊥AC，
∴OD∥AC，
∴OD是△ABC的中位线，
∴CD∥BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∴AD是线段BC的垂直平分线，∴AB=AC，所以D选项正确；
当CD=BD时，又AO=BO，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线，所以C选项正确．
若 ，没有理由证明DE是⊙O的切线，所以A选项错误．
故选：A．
4．已知⊙O 的半径为 5，直线 EF 经过⊙O 上一点 P（点 E，F 在点 P 的两旁），下列条件能判定直
线 EF 与⊙O 相切的是（ ）
A．OP＝5 B．OE＝OF
C．O 到直线 EF 的距离是 4 D．OP⊥EF
【详解】∵点 P 在⊙O 上，∴只需要 OP⊥EF 即可， 故选D．
5．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相
切的是( )
A．点(0，3) B．点(1，3) C．点(6，0) D．点(6，1)
【详解】∵过格点A，B，C作一圆弧，
∴由垂径定理可得圆心为：O'(2,0)，如图所示，由切线性质可知当O'B⊥BF时，BF与圆相切，
当△BO'D≌△BFA时，∠O'BF=∠FBA+∠O'BA=∠O'BD+∠O'BA=90°，
此时O'B⊥BF，BF与圆相切，AF=O'D=1，AB=BD=2，
∴F坐标为（1,3），
同理可得F'（5,1），
所以满足条件的F点的坐标为：(5,1)或(1,3)，
故选B.
6．如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∠ABC＝25°，OC的延长线交PA于点P，则∠P的度
数是( )
A．25° B．35° C．40° D．50°
【详解】 ，∠ABC＝25°，
，
AB是⊙O的直径，
，
．
故选C．
7．如图，在平面直角坐标系中，点 在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形 的顶点
C，与BC相交于点D，若⊙P的半径为5，点 的坐标是 ，则点D的坐标是（ ）A． B． C． D．
【详解】设切点分别为G，E，连接PG，PE，PC，PD，并延长EP交BC与F，则PG=PE=PC=5，四边形
OBFE是矩形．
∵OA=8，
∴CF=8-5=3，
∴PF=4，
∴OB=EF=5+4=9．
∵PF过圆心，
∴DF=CF=3，
∴BD=8-3-3=2，
∴D(9，2)．
故选A．
8．如图，在 中， 切 于点 ，连接 交 于点 ，过点 作 交 于点 ，连接
．若 ，则 为（ ）A． B． C． D．
【详解】如下图，连接 ，
∵ 切 于点 ，
∴ ，
在 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
故选：B．
9．如图， 内接于 ，过A点作直线 ，当 （ ）时，直线 与 相切．
A． B． C． D．
【详解】解：当 时，直线 与 相切．
理由如下：作AF交圆O于F点，连接BF．
∵∠F，∠C是同弧AB所对的角，
∴∠C＝∠F，
∵∠BAE＝∠C，
∴∠BAE＝∠F，
∵AF为直径，
∴∠ABF＝90°，
∴在三角形ABF中，∠F+∠BAF＝90°，
∵∠F＝∠BAE，
∴∠BAE+∠BAF＝90°，
∴FA⊥DE，
∴直线DE与⊙O相切．
故选：C
．
10．如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于
度时，AC才能成为⊙O的切线．
【详解】解：∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°，
∴ ，
∵当OA⊥AC即∠OAC=90°时，AC才能成为⊙O的切线，
∴当∠CAB的度数等于60°，即OA⊥AC时，AC才能成为⊙O的切线．
故答案为：60．
11．在下图中， 是 的直径，要使得直线 是 的切线，需要添加的一个条件是 ．（写一个条件即可）
【详解】解：添加条件：∠ABT=∠ATB=45°，
∵∠ABT=∠ATB=45°，
∴∠BAT=90°，
又∵AB是圆O的直径，
∴AT是圆O的切线，
故答案为：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）．
12．如图，木工用角尺的短边紧靠⊙ 于点A，长边与⊙ 相切于点B，角尺的直角顶点为C，已知
，则⊙ 的半径为 ．
【详解】解：连接OB、OA，过点A作AD⊥OB，垂足为D，如图所示：∵CB与 相切于点B，
∴ ，
∴ ，
∴四边形ACBD为矩形，
∴ ， ，
设圆的半径为rcm，在Rt△AOD中，根据勾股定理可得： ，
即r2＝（r−6）2＋82，
解得： ，
即 的半径为 ．
故答案为： ．
13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，若
∠P=40°，则∠ADC= ．
详解】解：连接OC，如图所示，由题意可得， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴ ，
∴ ，
故答案为：115°．
14．如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画圆，交AC于点D， 于点F，连接OF，且 ．
（1）求证：DF是 的切线；
（2）求线段OF的长度．
【详解】（1）证明：连接OD∵ 是等边三角形
∴
∵
∴ 是等边三角形
∴
∴OD//AB
∵
∴
∴
∴DF是 的切线；
（2）∵OD//AB，
∴OD为 的中位线
∴
∵ ，
∴
∴
由勾股定理，得：
∴在 中， ．
15．如图，以AB为直径作 ，在 上取一点C，延长AB至点D，连接DC， ，过点A
作 交DC的延长线于点E．
(1)求证：CD是 的切线；
(2)若 ， ，求AE的长．
【详解】（1）证明：连接OC，如图，∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，即∠BCO＋∠ACO＝90°，
∵OC＝OA，
∴∠ACO＝∠CAD，
又∵∠DCB＝∠CAD，
∴∠ACO＝∠DCB，
∴∠DCB＋∠BCO＝90°，即∠DCO＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠DCO＝90°，OC＝OB，
∴OC2＋CD2＝OD2，
∴OB2＋42＝（OB＋2）2，
∴OB＝3，
∴AB＝6，AD＝8，
∵AE⊥AD，AB是⊙O的直径，
∴AE是⊙O的切线，
∵CD是⊙O的切线，
∴AE＝CE，
∵在Rt△ADE中，AD2＋AE2＝DE2，
∴82＋AE2＝（4＋AE）2，
∴AE＝6．
16．如图，已知 AB、AC 分别为⊙O 的直径和弦，D 为弧 BC 的中点，DE⊥AC 于 E，DE=6，AC=16．(1)求证：DE 是⊙O 的切线；
(2)求直径AB的长．
【详解】（1）证明：如图，连接OD，BC；
∵AB为⊙O的直径，
∴BC⊥AC，
∵DE⊥AC，
∴BC DE；
∵D为弧BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线．
（2）设BC与DO交于点F，
由（1）可得四边形CFDE为矩形；
∴CF=DE=6，
∵OD⊥BC，
∴BC=2CF=12，
在Rt△ABC中，
AB= =20．能力提升
1．如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于E，连接AD，则下列结论：①AD⊥BC；
②∠EDA＝∠B；③OA＝ AC；④DE是⊙O的切线，正确的个数是（ ）
A．1 个 B．2个 C．3 个 D．4个
【详解】解：∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，故结论①正确；
连接OD，如图，
∵点D是BC的中点，AD⊥BC，
∴AC＝AB，
∴∠C＝∠B，
∵OD＝OB，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，OD∥AC，
∴∠ODE＝∠CED，
∴ED是圆O的切线，故结论④正确；
又OB＝OD，
∴∠ODB＝∠B，∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠EDA＋∠ADO＝90°，∠BDO＋∠ADO＝90°，
∴∠EDA＝∠BDO，
∴∠EDA＝∠B，故结论②正确；
由D为BC中点，且AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，
∴AC＝AB，
∵OA＝ AB，
∴OA＝ AC，故结论③正确；
则正确结论的个数为4个．
故选：D．
2．如图，已知⊙P的半径是1，圆心P在抛物线 上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐
标为 ．
【详解】解：设点P（x，y）， ，
∵⊙P与x轴相切
∴|y|＝1
∴y＝±1
①当y＝1时， ，
解得：x＝3，x＝－1
1 2
∴点P（3，1），（－1，1）
②当y＝－1时， ，解得：x＝1
∴点P（1，－1）
故答案为（3，1）或（－1，1）或（1，－1）
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D是AB的中点，以CD为直径作⊙O，⊙O分
别与AC，BC交于点E，F，过点F作⊙O的切线FG，交AB于点G，则FG的长为 ．
【详解】如图，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AB=10，
∴点D是AB中点，
∴CD=BD= AB=5，
连接DF，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CFD=90°，
∴BF=CF= BC=4，
∴DF= =3，
连接OF，
∵OC=OD，CF=BF，
∴OF∥AB，
∴∠OFC=∠B，
∵FG是⊙O的切线，∴∠OFG=90°，
∴∠OFC+∠BFG=90°，
∴∠BFG+∠B=90°，
∴FG⊥AB，
∴S = DF×BF= BD×FG，
△BDF
∴FG= ，
故答案为 .
4．如图，在△ABC中，AC=2，BC=4，点O在BC上，以OB为半径的圆与AC相切于点A，D是BC边上
的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为 ．
【详解】解：连接OA，
①当D点与O点重合时，∠CAD为90°，
设圆的半径=r，
∴OA=r，OC=4-r，
∵AC=2，
在Rt△AOC中，根据勾股定理可得：r2+4=（4-r）2，
解得：r= ，
即AD=AO= ；
②当∠ADC=90°时，过点A作AD⊥BC于点D，∵ AO•AC= OC•AD，
∴AD= ，
∵AO= ，AC=2，OC=4-r= ，
∴AD= ，
综上所述，AD的长为 或 ，
故答案为： 或 ．
拔高拓展
1．如图，以AB为直径的 上有一动点C， 的切线CD交AB的延长线于点D，过点B作 交
于点M，连接AM，OM，BC．
(1)求证：
(2)若 ，填空：
①当AM＝ 时，四边形OCBM为菱形；
②连接MD，过点O作 于点N，若 ，则ON＝ ．
【详解】（1）证明：∵AB是 的直径，
，，
∵CD是 的切线，
，
，
又 ，
，
，
；
（2）解：①若四边形OCBM为菱形，
则OM=OA=MB =5，
∵AB是⊙O的直径，
∴ ，
∵OA=OB，
∴AB=2OA=10，
∴
当 时，四边形OCBM为菱形；
故答案为： ；
②如图所示：
∵ ，OB=5，
∴ ，
∵CD是 的切线，
∴ ，
∵OC=OB=5，∴ ，
∴△ODC是等腰直角三角形，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∵OM=OB，
∴ ，
∴ ，△OBM是等腰直角三角形，
在直角△ODM中，根据勾股定理可得 ，
根据△ODM的面积可得ON⋅DM=OM⋅OD，
，
故答案为： ．
