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学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 29.1.2 过三点的圆(第2 课时 反证法) （导学案） （1）能用自己的语言描述反证法的基本思想，知道反证法是一种间接证明方法.能准确说出反证法的四个 基本步骤，并能在具体证明中按步骤规范书写. （2)能用反证法证明“经过同一直线上的三个点不能作圆”，并能解释每一步的逻辑依据. (3)在证明过程中，体会“正难则反”的思维策略，感受数学证明的严谨性和逻辑力量，发展理性思维. 重点:反证法的基本步骤及其在“共线三点不能作圆”证明中的运用. 难点:对“推出矛盾”中“矛盾”的理解——矛盾可以是与已知条件矛盾、与定义矛盾、与公理定理矛盾， 也可以是与假设自身矛盾.在证明“共线三点不能作圆”时，如何从“假设能作圆”出发，通过垂直平分线 的性质和平行线的判定推出矛盾.从直观理解到逻辑表达的转化——能用规范的几何语言书写反证法证明 过程. 第一环节 自主学习 温故知新： 情境创设：“路边苦李”的故事：王戎七岁时，和小朋友看到路边李树上结满了果子，小朋友们争先恐后 去摘，王戎却一动不动.有人问他为什么不去摘，王戎说：“树在路边，却结了这么多果子，这李子一定是 苦的.”摘来一尝，果然苦涩难咽. 追问：王戎是怎么判断李子是苦的？他没有直接尝，而是用了怎样的推理？ 假设：李子是甜的. 推论：如果李子是甜的，那么早就被人摘光了，树上不会有这么多李子. 矛盾：树上结满了李子，与“早被人摘光”矛盾. 结论：李子不是甜的，是苦的. 揭示课题：这种“先假设结论不成立，通过推理推出矛盾，从而证明结论成立”的方法，叫做反证法.今天 我们就要学习这种方法，并用它来证明上一节课的一个重要结论. 【学法指导】 新知自研：自研课本第118-119页的内容 【学法指导】自研课本P118-119 页内容 (一)过共线三点能否作圆 活动：在学案上画三个在同一直线上的点A、B、C。尝试过这三点作圆，能作出来吗？ 学生尝试后发现：作不出来. 追问1：为什么作不出来？用刚才的思路分析： 过A、B的圆心在AB的垂直平分线l₁上；过B、C的圆心在BC的垂直平分线l₂上；因为A、B、C在同一直线上， l₁和l₂是什么关系？（l₁⊥AB，l₂⊥BC，因为AB和BC在同一直线上，所以l₁∥l₂） 追问2：平行线有没有交点？（没有） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 没有交点意味着什么？（找不到同时满足条件的圆心） 追问3：既然找不到圆心，能作出圆吗？（不能） 怎样用本开始的思路证明上面的结论呢？ 已知：A、B、C是直线l上的三个点.求证：经过A、B、C三点不能作圆. 分析：第1步——假设：假设经过A、B、C三点可以作圆，设圆心为O。 第2步——推理： ∵ 点O到圆上各点的距离相等（圆的定义）， ∴ OA = OB（在⊙O上），OB = OC（在⊙O上）. 又 ∵ 到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上， ∴ 点O在线段AB的垂直平分线上（∵ OA = OB）， 且点O在线段BC的垂直平分线上（∵ OB = OC）. 第3步——矛盾： ∵ A、B、C三点在同一直线上， ∴ AB和BC在同一条直线上. 过同一直线上的两条线段AB和BC的垂直平分线互相平行（垂直于同一直线的两条直线互相平行），因此它 们没有交点. 但点O既要在线段AB的垂直平分线上，又要在线段BC的垂直平分线上，即点O是两条垂直平分线的交点—— 这与“平行线没有交点”矛盾. 第4步——结论：假设不成立，即经过同一直线上的三个点不能作圆. 证明：假设经过A、B、C三点可以作圆，设其圆心为O. ∵ A、B在⊙O上， ∴ OA = OB. ∴ 点O在线段AB的垂直平分线上. 同理，∵ B、C在⊙O上，∴ OB = OC. ∴ 点O在线段BC的垂直平分线上. ∴ 点O是线段AB的垂直平分线与线段BC的垂直平分线的交点. 又 ∵ A、B、C三点在同一直线上， ∴ 线段AB与BC在同一条直线上. ∴ 线段AB的垂直平分线与线段BC的垂直平分线互相平行. ∴ 它们没有交点. 这与“点O是两条垂直平分线的交点”相矛盾. ∴ 假设不成立. ∴ 经过同一直线上的三个点不能作圆. 追问：这个结论与上一节课的定理有什么关系？（上一节课说“不在同一直线上的三个点确定一个圆”， 隐含了“共线三个点不能作圆”这一反面情况,两者合在一起，才构成对三点与圆的完整认识.） （二）反证法的概念与步骤 追问1：上面证明“经过同一条直线上的三个点不能作圆” 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 的方法与我们以前学过的证明有什么不同？ 它不是直接去证明它不是直接去证明命题的结论，而是先提出与结论相反的假设（即假设经过同一条直线 上的三个点可以作一个圆），再推导出和定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果，然后由矛盾断定 所作假设不正确，从而得到原命题成立. 归纳反证法概念：先假设命题的结论不成立，然后经过推理得出矛盾，从而证明命题的结论一定成立，这 样的证明方法叫做反证法. 追问2：基本步骤（以“路边苦李”为例对应说明）： 1. 假设：假设命题的结论不成立（假设李子是甜的）. 2. 推理：从假设出发，结合已知条件进行推理（如果甜→早被人摘光）. 3. 矛盾：推出矛盾（与“树上结满”矛盾）. 4. 结论：由矛盾判定假设不成立，从而肯定结论成立（李子是苦的）. 反证法四步：假设 → 推理 → 矛盾 → 结论. 追问3：反证法与我们以前学过的证明方法有什么不同？ 以前：从已知条件直接推出结论.（直接证明） 反证法：先假设结论不成立，推出矛盾，从而间接确认结论成立（间接证明） （三）反证法的适用情境 讨论交流：什么情况下适合用反证法？ 师生共同归纳： 1. 结论以否定形式出现：如“不能”“不是”“不存在”等.直接证明“不能”往往无从下手，反证法通 过假设“能”来推出矛盾，更为自然. 2. 结论的反面情况较少：结论的反面只有一种情形时，反证法比较简洁.若反面情况有多种，则需要逐一 反驳，较为繁琐. 3. 直接证明困难时：从已知条件难以直接推出结论，但假设结论以否定形式出现：如“不能”“不是”“不 存在”等。直接证明“不能”往往无从下手，反证法通过假设“能”来推出矛盾，更为自然. 结论的反面情况较少：结论的反面只有一种情形时，反证法比较简洁.若反面情况有多种，则需要逐一反驳， 较为繁琐.直接证明困难时：从已知条件难以直接推出结论，但假设结论不成立时推理方向明确. 举例说明：“共线三点不能作圆”——结论是“不能”，适合反证法.“平行线不相交”——结论是否定形 式，适合反证法.“在一个三角形中，至少有一个角大于等于60°”——结论的否定是“三个角都小于60°”， 反面情况单一，也适合反证法. 应用举例：“两直线平行，同位角相等”由“两直线平行”直接推导较困难，可以采用反证法. 如图，我们要证明：如果AB//CD，那么∠1=∠2.假设∠1+∠2，过点O作直线A'B'，使∠EOB'=∠2.根据“同 位角相等，两直线平行”，可得A'B'//CD.这样，过点O就有两条直线AB，A'B'都平行于CD，这与基本事实 “过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾.这说明假设∠1≠∠2不正确，从而∠1=∠2. 【自研自探】 自研课本P118-119 页内容 典型例题 例1.利用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是钝角． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【分析】假设三角形的三个内角 A B C 、 、 中有两个钝角，不妨设 90 A ，∠B＞90°，与三角形内角 和为180相矛盾，由此即可证明． 【详解】证明：假设三角形的三个内角 A B C 、 、 中有两个钝角，不妨设∠A＞90°，∠B＞90°， ∴ 180 A B C + + ，这与三角形内角和为180相矛盾， ∴ 90 A ，∠B＞90°不成立， ∴一个三角形中不能有两个角是钝角． 第二环节 合作探究 1.讨论共线的三点能画圆吗？ 2.讨论什么是反证法？反证法的基本步骤. 3.讨论反证法的适用情境. 拓展提升： 1．如图，已知ABC 中， 60 A = ， (1)用尺规作ABC 的外接圆O； (2)若 O 的半径为4，求扇形BOC 的面积． 【详解】（1）解：如图所示， O 即为所求； （2）解：如图所示，连接BO CO 、 ， ∵ 60 A = ， ∴ 2 120 BOC A = = ， ∴ 2 120 4 16 360 3 BOC S = = 扇形 ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 课本课堂练习P119. 1．（2026.经开校考）证明：在三角形中，至少有一个内角大于或等于60． 【详解】证明：要证明在三角形中，至少有一个内角大于或等于60， 那么假设在一个三角形中没有一个角大于或等于60°，即都小于60； 那么，这个三角形的三个内角之和就会小于180； 这与定理“三角形的三个内角之和等于180”相矛盾，原命题正确． 2.（2026.聊城统考）已知：a∥b，b∥c.求证：a∥c. 【详解】证明：假设a与c不平行，则a与c相交，设交点为P. ∵ a∥b，∴ 过点P有一条直线a与b平行。 又 ∵ c∥b，∴ 过点P还有一条直线c与b平行。 这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾. ∴ 假设不成立，即a∥c. 知识技能：反证法——先假设结论不成立，推出矛盾，从而证明结论成立的间接证明方法.四个步骤：假设 → 推理 → 矛盾 → 结论（缺一不可）.用反证法证明了“经过同一直线上的三个点不能作圆”. 思想方法：正难则反：当直接证明困难时，转向证明结论的反面不成立，从而间接肯定结论.转化思想：将 “证明结论成立”转化为“证明结论不成立会导致矛盾”.逻辑推理：反证法的核心是逻辑的严谨性——每 一步推理都必须有依据. 易错提醒：假设错误：假设必须是“结论的反面”，不能把结论的某种特殊情况作为假设.矛盾不明确：推 理的最后一定要明确指出“与XX矛盾”，不能含糊带过.推理跳步：从假设到矛盾，每一步推理都要有依据， 不能凭空想象.适用范围：并非所有命题都适合用反证法，直接证明简便时应优先使用直接证明.
