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分层作业
30.1.2 圆的切线
目 录
A 组 巩固过关
题型01 切线的判定
题型02 切线的性质
题型03 切线的性质与判定的综合
题型04 切线长定理的应用
题型05 与切线有关的作图问题
B 组 能力进阶
C 组 思维拔高
拓展 链接中考
切线的判定
1．（25-26 九年级下·全国·课后作业）如图，AB 是
O
的直径，
B
CAD
=
．求证：AC 是
O
的切线．
2．如图，AB 为
O
的直径，C 为
O
上一点，D 为BC 的中点．过点D 作直线AC 的垂线，垂足为E，连
题型01
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接OD ．
(1)求证：
A
DOB
=
；
(2) DE 与
O
有怎样的位置关系？请说明理由．
3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，AB 为
O
的直径，C 、D 为
O
上的两点，
BAC
DAC
=
，过
点C 作直线EF
AD
⊥
，交AD的延长线于点E ．
(1)求证：EF 是
O
的切线；
(2)若
10
OA=
，
6
CE =
，求AD的长．
切线的性质
4．如图，AB 为
O
的切线，OB 交
O
于点D ，C 为
O
上一点，若
42
ABO
=
，则
ACD
的度数为
（ ）
A．48
B．24
C．36
D．72
5．（2026·吉林松原·模拟预测）如图，AB 是
O
的直径，过
O
上一点C 作
O
的切线，所作切线与BA的
延长线交于点P ，
20
B
=
，则
P
=（ ）
题型02
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A．20
B．25
C．40
D．50
6．（2026·广西玉林·模拟预测）如图为古代劳动人民发明的“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定
长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机
构”．小军受“石磨”的启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆” AP ，BP的连
接点P 在
O
上，当点P 在
O
上转动时，带动点A，B 分别在射线OM ，ON 上滑动，OM
ON
⊥
．如图
2，当AP 与
O
相切时，点B 恰好落在
O
上．请就图2 的情形解答下列问题：
(1)若
10
PBO
=
，求
PAO
的度数．
(2)若线段AO 与
O
交于点C，
3
AC =
，
5
AP =
，求
O
的半径．
切线的性质与判定的综合
7．（25-26 九年级上·福建莆田·期末）如图，在四边形ABCD中，AB
CD
，AD
AB
⊥
，以D 为圆心，AD
为半径的弧恰好与BC 相切，切点为E ，若
1,
3
AB
CD
=
=
，求半径AD的长是（ ）
A．2
B．3
C．5
D．5
8．（25-26 九年级上·河南信阳·期末）如图，四边形ABCD内接于
O
，BD是
O
的直径，过点A 作
O
的切线AE ，交CD的延长线于点E，且AE
CD
⊥
．
题型03
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(1)求证：DA平分
BDE
；
(2)已知
4cm
AE =
，
O
的半径为5cm，求CD的长．
9．（25-26 九年级上·河南周口·期末）如图，
O
是ABC
的外接圆，点D 在BO的延长线上，且
1
2
DAE
AOC
=
，BD交AC 于点E ．
(1)求证：AD是
O
的切线；
(2)若AB
AC
=
，DA
OA
=
，则
BAC
= _________°．
切线长定理的应用
10．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，PA，PB是
O
的切线，A，B 为切点，连结OP ，OP 长为2 ，
120
APB
=
，则
O
的半径为（ ）．
A．1
B．2
C．3
D．2 3
11．（2026·广东肇庆·三模）如图，PA，PB是
O
的两条切线，A，B 是切点，C 是AB 上一点，过点C 画
O
的切线，分别交PA，PB于点D，E，
12cm
PA =
，则PDE
的周长是________cm．
题型04
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12．已知，如图，AB 是
O
的直径，直线DC ，DA分别切
O
于点C ，点A，连接BC ，OD ．
(1)求证：BC
OD
∥
；
(2)若
35
ODC
=
，
12
AB =
，求出BC 的长．
13．如图，PA，PB与
O
相切，切点分别为A，B ，CD与
O
相切于点E ，分别交PA，PB于点D ，
C ．已知PA，PB的长是关于x 的一元二次方程
2
1
0
x
mx
m
−
+
−=
的两个根．
(1)求m 的值；
(2)求PCD
的周长．
14．如图，AB 是半圆O 的直径，AC
AB
⊥
，CD切半圆于点D，BF
AB
⊥
，交AD的延长线于F，交CD
的延长于点E．
(1)求证：BE
EF
=
；
(2)若
6
AC =
，
4
BE = ，求点C 到AD的距离CG ．
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与切线有关的作图问题
15．（25-26 九年级上·甘肃张掖·阶段检测）要求用无刻度的直尺和圆规，过圆外一点P 作已知圆的切
线．两同学提供了如下作图方案（图1 和图2）．
方案Ⅰ
①连接OP ，作OP
的垂直平分线交OP 于点D ；
②以点D 为圆心，DP为半径，作圆D 交
圆O于点A，连接PA．
方案Ⅱ
①以P 为圆心，
OP 为半径画弧；
②以点O为圆心，OP 为半径画弧，与①
中的弧交于点D ，连接OD 交圆O于点
A，连接PA．
对于方案I 和II，说法正确的是（ ）
A．I 可行，II 不可行
B．I 不可行，II 可行
C．I，II 都可行
D．I，II 都不可行
16．（25-26 九年级下·江苏南京·开学考试）如图，已知
O
及点P ，利用直尺和圆规过点P 作
O
的切线．
(1)如图①，点P 在
O
外．
(2)如图②，点P 在
O
外．
（要求：不写作法，保留作图痕迹）
17．（25-26 九年级上·河北保定·期中）综合与实践
【情境】数学兴趣小组在学习《圆》这一章时确定的研究主题是过圆外一点作圆的切线的尺规作图方法．
【模型】经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
题型05
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【操作】博学小组通过讨论给出了如下解决方案：
已知：
O
及圆外一点P ，如图1．
求作：过点P 作
O
的一条切线．
作法：①连接OP ；
②作OP 的________，交OP 于点A；
③以点A为圆心，OA长为半径作
A
，交
O
于点B ；
④作直线PB．
直线PB即为所求作的一条切线．
（1）博学小组给出的方案中空缺的内容为__________________．
（2）请你根据博学小组的作图方案说明图1 中的直线PB符合要求的理由．
【类比】善思小组通过思考给出了如下解决方案：
已知：
O
及圆外一点P ，如图2．
求作：过点P 作
O
的一条切线．
作法：①连接OP ，交
O
于点C ；
②过点C 作OP 的垂线n ；
③以点O为圆心，OP 长为半径作弧，交直线n 于点D ；
④连接OD 交
O
于点B ；
⑤作直线PB．
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直线PB即为所求作的一条切线．
（3）善思小组的作图方案可行吗？若可行，请你写出证明过程；若不可行，请说明理由．
【拓展】（4）关于“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图，请你再给出一种作法．（保留作图痕迹，简要说明
作图步骤）
18．（2026·河南平顶山·三模）如图，A 是
O
外一点，连接AO 并延长，交
O
于点B ，AC 与
O
相切于
点C ，D是BC 上一点，连接CD，BD ．若
40
A =
∠
，则
BDC
的度数为（ ）
A．100
B．115
C．120
D．130
19．如图，E 为Rt
ABC
△
的直角边BC 上一点，以CE 为半径的半圆与斜边AB 相切于点D．已知
6
AD =
，
4
BD =
，则
E
的半径的长为（ ）
A．3.5
B．3
C．2.5
D．2
20．（2026·河南平顶山·三模）如图，在平面直角坐标系中，点
(
)
0,2
A
，点B 在x 轴正半轴上，过点A，B
的
P
与x 轴相切于点B，与y 轴交于另一点C（在点A 上方），连接
,
,
BA BC BP ．若BC 平分
ABP
，则点
B 的坐标为（ ）
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A．(
)
2,0
B．(
)
2 2,0
C．(
)
2 3,0
D．(
)
3,0
21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，
P
的半径为2，点P 的坐标为(
)
0,3 ，若将
P
沿y 轴向下平移，
使得
P
与x 轴相切，则
P
向下平移的距离为（ ）
A．1
B．5
C．3
D．1 或5
22．（25-26 九年级上·江苏淮安·期中）尺规作图：
(1)如图，点Q 在直线AB 上，点C 在直线AB 外，作
O
经过Q ，C 两点且与AB 相切．
(2)已知⊙O．求作一点P ，过点P 作出
O
的两条切线分别为PA，PB点为A，B ．且使
45
APB
=
．
23．（2026·广东东莞·三模）如图，在ABC
中，
.
AC
BC
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(1)实践与操作：点O在线段BC 上，以O为圆心作
O
，
O
恰好过A，C 两点，并与线段BC 交于另一点
D ；小东在作图时，不小心擦掉了圆心以及部分圆弧，如图所示．请你用尺规作图：作出点O与点D ，并
补全
O
．
(2)在（1）的条件下，若2
90
C
B
+=
．求证：直线AB 是
O
的切线．
24．（25-26 九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，四边形ABCD是正方形，以点A 为圆心，AB 为半径画
弧，交以CD为直径的半圆于点E，连接AE 并延长，交BC 于点F．
(1)求证：EF
CF
=
．
(2)若
4
AB =
，求CF ．
25．如图，在ABC
中，
B
C
=
，点D 是边BC 的中点，点O 是边AB 上的点，以O 为圆心，OA为半
径的
O
交
,
,
AB BC AD 于点F，E，G，且点E 是弧GF 的中点，连接OE ．
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(1)求证：BC 是
O
的切线；
(2)若
4,
2
BE
BF
=
=
，求
O
的半径．
26．（25-26 九年级下·河南商丘·阶段检测）如图，已知四边形ABCD中，
90
DAB
ABC
=
=
，以AB 为
直径作
O
与边CD相切于点E．
(1)如图1，连接BE，求证：
2
ADC
CBE
=
；
(2)如图2，连接OD ，OC 交
O
于点M，若
2
OM
CM
=
=
，求CD的长．
27．《测圆海镜》卷中记载：“假令有圆城一所，不知周径．或问甲、乙二人同立于巽地，乙西行四十八步
而止，甲北行九十步，望乙与城参相直，问径几何．”意思是：如图，ABC
是直角三角形，
90
ACB
=
，已知
48
AC =
步，
90
BC
步，AB 与
O
☉
相切于点D，CE ，CF 分别与
O
☉
相切于点E，
F，求
O
☉
的半径．根据题意，
O
☉
的半径是（ ）
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A．100 步
B．120 步
C．140 步
D．160 步
28．如图，在ABC
中，
A
30
=
，
45
B
=
，
7 2cm
AB =
，点O以2
/
cm s 的速度在ABC
边上沿
A
B
C
A
→
→
→
的方向运动．以O为圆心作半径为2cm的圆，运动过程中
O
与ABC
三边所在直线首
次相切和第三次相切的时间间隔为__________秒．
29．如图，直线l 与x 轴、y 轴分别相交于点A、B，已知B（0，3 ），
30
BAO
=
，点P 的坐标为
(1,0) ，
P
与y 轴相切于点O，若将
P
沿x 轴向左移动，当
P
与该直线相交时，横坐标为整数的点P 的
坐标______．
30．如图，已知AB 是
O
的直径，CD与
O
相切于点C，过点B 作BE
DC
⊥
，交DC 延长线于点E．
(1)求证：BC 是
ABE
的平分线；
(2)若
8
DC =
，
O
的半径
6
OA =
，求CE 的长．
31．（25-26 九年级上·江苏盐城·期末）科学家阿基米德曾说：“假如给我一个支点，我可以撬起整个地
球！”这运用的是杠杆原理．如图1，
O
表示地球，点P 是支点．
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(1)请用无刻度的直尺和圆规在图1 中作出撬起地球的杠杆（直线l ），使其经过点P，且与
O
相切于点
D．（标明字母，保留作图痕迹，不写作法）
(2)如图2，连接OP 交
O
于点B，延长PO交
O
于点A，C 为AB 下方的
O
上一点，且
30
AOC
=
，
在图1 的条件下，若D 为BC 的中点，求
OPD
的度数．
32．如图，AB 是
O
的直径，OC 是
O
的半径，OC
AB
⊥
，点E 为AB 上方圆周上一点，连接OE ，
CE ，CE 交AB 于点D ．
(1)请用无刻度的直尺和圆规在射线BA上取点F ，使得FD
FE
=
（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)在（1）的条件下，求证：EF 是
O
的切线．
(3)在（1）的条件下，若
4
OC =
，
1
OD = ，求EF 的长．
33．如图，在平面直角坐标系中，
M
与y 轴相切于点A，与x 轴交于B、C 两点，D 为BC 的中点，反比
例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象经过圆心
(
)
3,2
M
和点
(
)
,1
N a
，与
M
交于左上方的点Q．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求点D 的坐标；
(3)P 为反比例函数图象QN 上一点（包括端点），当
ABP
ABM
S
S
△
△
时，直接写出点P 的横坐标m 的取值范
围．
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34．（25-26 九年级上·山东日照·期中）如图，在以点O 为圆心的两个同心圆中，AB 经过圆心O，且与小
圆相交于A，与大圆相交于点B，小圆的切线AC 与大圆相交于D，OC 平分
ACB
．
(1)证明：直线BC 是小圆的切线；
(2)试证明：AC
AD
BC
+
=
；
(3)若
8cm
AB =
，
10cm
BC =
，求大圆与小圆形成的圆环的面积．
35．（1）如图，已知
, ,
,
A B C D 是
O
上的四个点，
,
AB
BC DB
=
交AC 于点E ，连接
,
CD AD ．求证：DB
平分
ADC
；
（2）如图，PA与
O
相切于点
,
A PB 与
O
相切于点,
90 ,
4
B
APB
AP
=
=
．求
O
的半径．
36．阅读理解：对于题目“已知
O
及圆外一点P，如何过点P 作出
O
的切线？”甲乙的作法如图：
甲的作法连接OP ，作OP 的垂直平分
乙的作法连接PO并延长，交
O
于B，C 两
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线交OP 于点G，以点G 为圆心，OG
长为半径画弧交
O
于M，作直线
PM ．直线PM 即为所求．
点，分别以P，O 为圆心，PO，BC 长为半径
作弧，两弧交于点D，连接OD ，交
O
于点
M，作直线PM ．直线PM 即为所求．
(1)下列说法正确的是（ ）
A．甲和乙的作法都正确 B．甲和乙的作法都错误
C．甲的作法正确，乙的作法错误 D．乙的作法正确，甲的作法错误
(2)请以甲的作图为例，直线PM 若是
O
的切线，请给与证明；若不是请说明理由．
(3)如图，AB 是
O
的直径，且
6
AB = ，点P 为
O
外一点，作出
,
PA PC 分别切
O
于点A、C 两点．BC
与AP 的延长线交于点D．
①当PC = ______时，四边形AOCP是正方形．
②当CDP
为等边三角形时，直接写出PC 的长．
37．如图1，
O
是ABC
的外接圆，AB 为直径，点P 是
O
外一点，且
=
=
PA
PC
2AB，连接PO交
O
于点E ，交AC 于点D ，延长PO交
O
于点F ，连接AE ．
(1)证明：
AF
CF
=
；
(2)若tan
2
AEF
=
，证明：PA是
O
的切线；
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(3)在（2）的条件下，连接PB交
O
于点G ，连接DG ，若
O
的半径为3，求DG 的长．
38．（25-26 九年级上·江苏盐城·期末）借助运动的视角看图形变化是非常重要的数学眼光
已知
45
A
=
，点D ，E 在AC 上，
8
DE =
，点P 在AB 上，连接PD，PE，作PDE
的外接圆
O
．
(1)当
6
AD =
时，
①如图1，若PE是
O
的直径，则
O
的半径为 ；
②如图2 ，若
12 2
AP =
，求
O
的半径．
(2)当
8
AD = 时，如图3，若
O
与AB 相切于点P ，用直尺和圆规作出点P 的位置．（要求：不写作法，保
留作图痕迹，写出必要的文字说明）
(3)设AD
m
=
，对于每一个m 的值，
O
的半径随着点P 的位置的变化而变化，直接写出
O
的半径的最小
值及对应的m 的取值范围（可用含m 的式子表示）．
39．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，已知ABC
中，
3
AB =
，
5
AC =
，
7
BC =
，点P 在BC 边上运动，
连接AP ．当ABP
和
APC
△
的内切圆半径相等时，设BP
t
= ，则AP =________（用含t 的代数式表示）．
40．（2026·广东·中考真题）如图，直线AB 经过
O
上的点C ，且AC
BC
=
，
40
OAB
=
，
100
AOB
=
．求证：直线AB 是
O
的切线．
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41．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，AB 是
O
的直径，弦CD
AB
⊥
，垂足为H ．E 为BD上一点，连
接AE 交CD于点F ，EF 的垂直平分线交CD的延长线于点G ，连接GE ．
(1)若
O
的半径为3，
2
AH =
，求CD的长；
(2)求证：EG 是
O
的切线．
42．（2026·山东德州·中考真题）如图，在
O
中，点A为
O
上一点，点D 是AC 的中点，BC 是
O
的直
径．过点A作
O
的切线交BC 的延长线于点E ，连接OD 并延长交AE 于点F ，连接CF ．
(1)求证：CF 与
O
相切；
(2)若
1 2
AF EF =
∶
∶
，
2
CF =
，求阴影部分的面积．
43．（2026·湖北·中考真题）如图，在ABC
中，AC
BC
=
，以BC 为直径的
O
交AB 于点D ，弦
DF
BC
⊥
，垂足为E ．
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(1)求证：AD
BD
=
；
(2)若
10
AB =
，
8
DF =
，求
O
的半径．
44．（2026·湖南·中考真题）如图，在等腰OAB
中，OA
OB
=
．在OA上取一点E ，以O为圆心，OE 的长
为半径画弧，交OB 于点F ；分别以E ，F 为圆心，大于1
2 EF 的长为半径画弧，在
AOB
内两弧交于点
P ；作射线OP 交AB 于点C ；以O为圆心，OC 的长为半径作
O
．
(1)求证：AB 与⊙O相切；
(2)已知
10
OA=
，
12
AB =
，求⊙O的半径．
