文档文本内容
3.2 代数式的值
课标要点
1.了解代数式的值的概念，会把具体数代入代数式进行计算.
2.感受代数式求值是一个转换过程或某种算法，锻炼学生的计算能力和解题能力.
3.能运用公式列出几何图形问题中的代数式，并把具体数代入求值.
4.掌握代数式在几何问题中的运用，发展学生的几何直观感知能力与计算能力.
学习重难点
重点：
1.读懂文字语句，理清语句运算顺序，精准把文字描述转化为规范代数式。
2.牢记并严格执行代数式书写标准，规避数字、乘除、括号相关书写错误。
3.熟练提取几何、经济、行程类实际问题里的显性数量关系，正确列式。
难点：
1.代入负数、分数时容易漏加括号，导致符号、计算出错。
2.分不清运算先后顺序，混合运算计算步骤混乱。
3.根据实际场景判断字母合理取值，结合求值分析实际问题。
4.观察字母数值变化，推导代数式结果的变化规律。
第三章
代数式的值
知识点
代数式的值
◆1、代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．
（1）一般地，代数式的值不是固定不变的，是随着代数式中字母取值的变化而变化的．
（2）代数式与代数式的值是两个不同的概念，代数式表述的是问题的一般规律，而代数式的值是这个规
律下的特殊情形，
（3）当代数式表示实际问题的数量关系时，字母的取值除了需满足使代数式本身有意义外，还要保证具
有实际意义，如a 表示学生的人数，则a 只能取正整数．
◆2、代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
随学随练
1.（2026·海南省直辖县级单位·二模）当𝑥= 1时，代数式3𝑥−2的值为（ ）
A．5
B．0
C．1
D．−3
2．（2026·广东佛山·三模）若𝑎2−3𝑎−1 = 0，则2𝑎2−6𝑎−4的值为（ ）
A．−6
B．−2
C．6
D．2
3．当𝑎= 3，𝑏= −
2
3时，求下列代数式的值．
(1)2𝑎𝑏；
(2)𝑎2 + 𝑏2．
知识点
代数式求值的方法与步骤
第一步：代入：用数值代替代数式里的字母，简称为“代入”．
第二步：计算：按照代数式指明的运算，计算出结果，简称为“计算”．
随学随练
1．如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成，第1 个图案中有5 个圆片，第2 个图案中
有8 个圆片，第3 个图案中有11 个圆片，第4 个图案中有14 个圆片，……，依此规律，第2026 个图案中
有（ ）
A．2026 个圆片
B．4054 个圆片
C．6080 个圆片
D．10130 个圆片
2．如图用代数式表示图中阴影部分的面积，并计算当𝑥= 4m时，阴影部分的面积（π 取3.14）．
3．某中学八年级（1）班5 名老师决定带领本班x 名学生去迁西景忠山旅游参观．该景区每张门票的票价
为40 元，现有A、B 两种购票方案可供选择：方案A：教师全价，学生半价；方案B：不分教师与学生，
全部六折优惠．
(1)请用含x 的代数式分别表示：A 方案所需的费用为______元，B 方案所需的费用为_____元
(2)当学生人数𝑥= 50时，且只选择其中一种方案购票，请通过计算说明选择哪种方案更为优惠．
题型一 直接代入求代数式的值
▌例1 当𝑎= 3，𝑏= 1时，代数式
2𝑎−𝑏
2 的值是（ ）
A．3
B．
5
2
C．2
D．1
▌对点练1-1 （25-26 七年级上·新疆和田·期中）若𝑥= −2，𝑦= 1，则代数式2𝑥+ 3𝑦+ 2的值为（ ）．
A．9
B．3
C．1
D．−1
▌对点练1-2 （24-25 七年级上·海南·期中）求下列代数式的值：
(1)当𝑥= 4,𝑦= −3时，求𝑥2 + 𝑦2的值；
(2)当𝑎= −
1
2,𝑏=
2
5时，求4𝑎2 +
3
2𝑏的值．
▌对点练1-3（24-25 七年级上·新疆喀什·期中）根据下列𝑎，𝑏的值，分别求代数式𝑎2 + 𝑏2与(𝑎+ 𝑏)2的值．
(1)𝑎= 3，𝑏= −2；
(2)𝑎= −3，𝑏= 2．
解题贴士
用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算，所得的结果即所求.
题型二 整体代入求代数式的值
▌例2（25-26 七年级下·安徽六安·期末）若2𝑥−𝑦−1 = 0，则代数式3𝑘𝑦−6𝑘𝑥+ 3𝑘的值为（ ）
A．0
B．1
C．−1
D．不确定，与k 值大小有关
▌对点练2-1 当𝑥= 2时，代数式𝑎𝑥3 +𝑏𝑥+ 1的值为6，当𝑥= −2时，这个代数式的值是（ ）
A．4
B．6
C．−4
D．−6
▌对点练2-2 （24-25 七年级上·甘肃兰州·期中）【教材呈现】下题是某版七年级上册数学教材的一道练习
题目内容．
C 组17．代数式：𝑥2 +𝑥+ 3的值为9．则代数式2𝑥2 +2𝑥−3的值为
．
【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下∶
由题意得𝑥2 +𝑥+ 3 = 9，则有𝑥2 +𝑥= 6．
2𝑥2 +2𝑥−3 = 2(𝑥2 + 𝑥)−3 = 2 × 6−3 = 9．
所以代数式2𝑥2 +2𝑥−3的值为9．
【方法运用】
(1)若−𝑥2 = 𝑥+ 2，则𝑥2 +𝑥+ 3=
．
(2)若代数式𝑥2 +𝑥+ 1的值为15，求代数式−2𝑥2−2𝑥+ 3的值．
解题贴士
“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化,把所给的条件当做整体代入所
求的式子即可，有时要对式子进行变形．
▌对点练2-3（24-25 七年级上·北京·期中）同学遇到这样一道题：“如果代数式5𝑎+ 3𝑏的值为−4，那么代数
式2(𝑎+ 𝑏) +4(2𝑎+ 𝑏)的值是多少？”这个问题中a 和b 的值不能单独求出来，于是他想到了把5𝑎+ 3𝑏作为
一个整体求解，得到如下的解题过程：
原式= 2𝑎+ 2𝑏+ 8𝑎+ 4𝑏= 10𝑎+ 6𝑏= 2(5𝑎+ 3𝑏) = 2 × (−4) = −8．
整体思想是中学数学解题的一种重要思想方法，请仿照上面的解题方法，完成下面的问题：
(1)已知𝑎2 +𝑎= 2，则3𝑎2 +3𝑎+ 2020＝；
(2)已知2𝑎−𝑏= −3，求5(𝑎−𝑏)−9𝑎+ 7𝑏+ 5的值；
(3)已知𝑎2 +2𝑎𝑏= −5，𝑎𝑏−2𝑏2 = −3，求2𝑎2 +𝑎𝑏+ 6𝑏2的值．
题型三 根据程序图求代数式的值
▌例3 按图中的程序运算，如果第一次输入𝑥的值是8，则第2025 次输出的结果是（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
▌对点练3-1（25-26 七年级上·湖南长沙·期末）数学活动课上，小奕利用电脑的𝐴𝐼技术设计了如图的程序．
解题贴士
计算程序图的转换步骤，实质上是指明了运算的顺序，根据程序图中的运算顺序，代入求值即可，要注
意对结果的准确性．
(1)按照上面的程序计算，请你写出最终输出的结果；（结果需要化简）
(2)若输入𝑎的数值为−1，则输出的结果是多少？
▌对点练3-2（25-26 七年级上·陕西渭南·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中
的“更相减损术”．如图是一个数值运算程序．
(1)用含𝑥的代数式表示输出的结果；（结果化为最简）
(2)当输入𝑥的值为−6时，求输出的值．
▌对点练3-3（25-26 七年级上·陕西西安·期末）如图一个“数值转换机”的示意图．
(1)输出的结果为_____；（用含𝑥的代数式表示）
(2)当输入𝑥= −
1
5时，求输出的值．
题型四 根据表格求代数式的值
▌例4 填写下表，并观察下列两个代数式的值的变化情况．
n
1
2
3
4
5
6
7
8
−8𝑛+ 5
−𝑛2
（1）随着n 的值逐渐变大，两个代数式的值如何变化？
（2）估计一下，哪个代数式的值先小于−100？
▌对点练4-1 填写下表，并观察下列两个代数式的值的变化情况.
m
1
2
3
4
5
6
7
6𝑚+ 8
2𝑚2 + 1
（1）随着m 值的逐渐变大，两个代数式的值如何变化？
（2）估计一下，随着m 值的逐渐变大，哪个代数式的值先超过200？
▌对点练4-2 观察下列表格中两个代数式及其相应的值，回答问题：
x
…
-2
-1
0
1
2
…
−2𝑥+ 5
…
9
7
5
3
𝑎
…
2𝑥−7
…
-11
-9
-7
-5
𝑏
…
解题贴士
本题考查了求代数式的值，解答本题首先要对表格中的数据准确计算，其次要根据所给的代数式的特点，
采取适当的方法，解答问题.
【初步感知】
（1）根据表中信息可知：𝑎= ______；𝑏= ______；
【归纳规律】
（2）表中−2𝑥+ 5的值的变化规律是：𝑥的值每增加1，−2𝑥+ 5的值就都减少2．类似地，2𝑥−7的值的变
化规律是：______；
【问题解决】
（3）请从A，B 两题中任选一题作答．我选择______题．
A．根据表格反映的变化规律，当𝑥______时，−2𝑥+ 5的值大于2𝑥−7的值．
B．请直接写出一个含𝑥的代数式，要求𝑥的值每增加1，代数式的值就都减小5，且当𝑥= 0时，代数式的值
为-7．
▌对点练4-3（23-24 七年级上·江苏盐城·期中）观察下列表格中两个代数式及其相应的值，回答问题：
x
…
−2
−1
0
1
2
…
2𝑥−7
…
−11 −9
−7
a
−3
…
3𝑥+ 2
…
−4
−1
2
5
8
…
−2𝑥+ 5
…
9
7
5
3
1
…
−3𝑥−1
…
b
2
−1
−4
−7
…
【初步感知】
（1）根据表中信息可知， 𝑎= ，𝑏= ；
【归纳规律】
（2）表中3𝑥+ 2的值的变化规律是：x 的值每增加1，3𝑥+ 2的值就都增加3；−2𝑥+ 5的值的变化规律是；
x 的值每增加1，−2𝑥+ 5的值就都减少2．类似地，2𝑥−7的值的变化规律是：x 的值每增加1，2𝑥−7的值
就都 ；−3𝑥−1的值的变化规律是：x 的值每增加1，−3𝑥−1的值就都 ．
【问题解决】
（3）若关于x 的代数式𝑚𝑥+ 𝑛，当x 的值每增加1，𝑚𝑥+ 𝑛的值就都增加5，且当𝑥= 3时，𝑚𝑥+ 𝑛的值为
8，求这个含x 的代数式．
题型五 列代数式求图形面积的值
▌例5 （25-26 七年级上·全国·期中）如图，公园有一个“T”型空地（即阴影部分，单位：米）．
(1)用含x，y 的代数式表示空地的面积；（结果要进行化简）
(2)公园管理部门计划对空地铺设草坪．已知每平方米草坪的费用为150 元，若x，y 满足(𝑥−1)2 + |𝑦−5|
= 0，求铺设草坪的总费用．
▌对点练5-1 某小区的长方形空地的平面图如图所示（图中长度单位：m），现该小区管理者要在此空地上
修建两个半圆形花圃（半径为b），其余部分进行硬化．
(1)求硬化部分的面积（用含𝑎、𝑏的代数式表示）；
解题贴士
先根据几何图形的面积计算公式用代数式表示出来，然后再根据给出字母的数值代入求值即可，有时要
用到割补法求图形的面积.
(2)当𝑎= 10，𝑏= 4时，求硬化部分的面积（结果保留π）．
▌对点练5-2 （24-25 七年级上·全国·期中）如图，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长为a．
(1)根据图中数据，用含a，b 的代数式表示阴影部分的面积S；
(2)当𝑎= 6，𝑏= 2时，求阴影部分的面积．
▌对点练5-3（24-25 七年级上·黑龙江鹤岗·期中）如图，长方形的长为𝑎，宽为𝑏．现以长方形的四个顶点为
圆心，宽的一半为半径在四个角上分别画出四分之一圆．
(1)用含𝑎，𝑏的代数式表示图中阴影部分的面积；
(2)当𝑎= 10cm，𝑏= 4cm时，求图中阴影部分的面积．（π取3）
题型六 代数式在规律探索中的运用
▌例6
（25-26 七年级上·湖南郴州·期中）如图，是用两种类型的黑色箭头摆成的有规律图形，则第50 个
图形中，黑色箭头▲的个数为（ ）
A．72
B．73
C．75
D．76
▌对点练6-1 58．（2026·陕西渭南·二模）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物．如图是这类物质前
三种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1 个图形中有4 个氢原子，第2
个图形中有6 个氢原子，第3 个图形中有8 个氢原子，…，依此规律，第5 个图形中有________________个
氢原子．
▌对点练6-2 （24-25 八年级上·浙江宁波·期末）如图，每个图形都是由若干个棋子围成的正方形图案，图
案每条边（包括两个端点）上都有𝑛(𝑛≥2)个棋子，设每个图案棋子的总数为𝑆．当𝑆= 2024时，𝑛的值为
（ ）
解题贴士
用代数式表示规律时用到特殊到一般的思想，先探究出规律再利用规律解决问题．
A．504
B．505
C．506
D．507
▌对点练6-3（25-26 七年级上·安徽安庆·期中）如图，是一幅平面镶嵌图案，它由相同的黑色正方形和白色
等边三角形排列而成，观察图案：第1 个图案有1 个正方形，4 个等边三角形；第2 个图案有2 个正方形，
7 个等边三角形；第3 个图案有3 个正方形，10 个等边三角形，以此类推……
(1)第𝑛个图案有______个正方形，______个等边三角形；
(2)现有2025 个等边三角形，如按此规律镶嵌图案，要求等边三角形剩余最少，则需要正方形多少个？
题型七 代数式在实际问题中求值
▌例7 运动时的心跳速率通常与人的年龄有关，如果用a 表示一个人的年龄,用b 表示正常情况下这个人在
运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数，那么b=0.8(220﹣a).
（1）正常情况下，在运动时，一个15 岁的少年所能承受的每分钟心跳的最高次数是多少?
（2）一个45 岁的人运动时,10 秒钟心跳的次数为22，他有危险吗?
解题贴士
代数式在生活中的应用主要是根据实际问题列出用字母表示数量关系的式子，然后根据题中所给的数据
求出所列式子的值，从而解决这个实际问题.
▌对点练7-1 某公园的门票价格如下：成人20 元，学生10 元，满40 人可以购买团体票（8 折），设一个
旅游团共有x 人(𝑥> 40)，其中学生有y 人．
(1)用含x，y 的整式表示该旅游团购买团体票应付的门票费．
(2)如果该旅游团有46 个成人，12 个学生，那么他们购买团体票需付的门票费是多少？
▌对点练7-2 中国联通在某地的资费标准为包月 186 元时，超出部分国内拨打 0.36 元/ 分，由于业务多，
小明的爸爸打电话已超出了包月费．
下表是超出部分国内拨打的收费标准：
时间/分
1
2
3
4
5
…
电话费/
元
0.36
0.72
1.08
1.44
1.8
…
(1)如果用x 表示超出时间，y 表示超出部分的电话费，那么y 与x 的表达式是 ；
(2)如果打电话超出 25 分钟，需付总电话费多少？
▌对点练7-3 某商店出售乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每只定价50 元，乒乓球每个定价2 元．商家为促销
商品，向客户提供两种优惠方案：①买1 只乒乓球拍送5 个乒乓球；②乒乓球拍和乒乓球都按照定价的九
折优惠．现在某客户要到该商店购买乒乓球拍20 只，乒乓球 x 个（ x>100 ）．
(1)若该客户按优惠方案①购买需付款 元．（用含 x 的代数式表示）；
(2)若该客户按优惠方案②购买需付款 元．（用含 x 的代数式表示）；
(3)若 x = 800 ，请你设计一个最优惠的购买方案，使得该客户花费最少，并计算需付的费用．
基础通关
1．（25-26 七年级上·湖南衡阳·期中）定义新运算：𝑎⊗𝑏= 3𝑎−𝑏2，则(−1) ⊗2的值为（ ）
A．−1
B．1
C．−7
D．7
2．方程|𝑥−𝑦| + |2−𝑦| = 0，且𝑚= (2𝑥)2−𝑦2，则𝑚的值为（ ）
A．11
B．12
C．13
D．14
3．（24-25 七年级上·全国·单元复习）学习情境·程序框图如图，程序框图的算法思路源于我国古代数学名
著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，如果输入的值𝑥= −2，则输出的值为（ ）
A．−7
B．−5
C．−3
D．5
4．（25-26 七年级上·湖南岳阳·期末）当𝑥= 2时，代数式𝑝𝑥3 +𝑞𝑥+ 1的值等于13，那么当𝑥= −2时，代
数式𝑝𝑥3 +𝑞𝑥+ 1的值为（ ）
A．−13
B．−11
C．11
D．13
5．（25-26 七年级上·陕西汉中·期末）如图，下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，
x 的值为（ ）
A．175
B．170
C．80
D．62
6．（25-26 七年级下·湖南衡阳·期中）已知3𝑎−2𝑏= 2，则5−9𝑎+ 6𝑏的值为_____．
素养提升
7．（25-26 七年级上·山东日照·期末）已知m，n 为常数，整式𝑚𝑥+ 𝑛的值随x 的取值不同而不同，下表是
当x 取不同值时整式𝑚𝑥+ 𝑛的值，则𝑚𝑛的值为______．
x
⋯
−2
−1
0
1
2
⋯
𝑚𝑥+ 𝑛
⋯
−4
−1
2
5
8
⋯
8．（25-26 九年级下·河南驻马店·期中）定义一个新运算𝑓(𝑎,𝑏) =
𝑎+ 𝑏(𝑎< 𝑏)
𝑎−𝑏(𝑎> 𝑏)
，若𝑎2 = 9，𝑏= 2，则𝑓(𝑎,𝑏)
= ______．
9．（25-26 七年级上·湖南常德·期末）如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1 个
图有4 个三角形，第2 个图有7 个三角形，第3 个图有10个三角形，……，按照此规律排列下去，第______
个图形有2665个三角形．
10．（25-26 七年级上·湖北黄冈·期中）当𝑎= −
1
2，𝑏= 3时，求下列代数式的值：
(1)𝑎−𝑏；
(2)𝑎2−2𝑎𝑏+ 𝑏2．
11．请根据如图所示的聊天记录解答下列问题．
(1)求a、b，c 的值；
(2)求8−𝑎+ 𝑏−𝑐的值．
12．一种商品每件成本为a 元，商场在成本的基础上增加20%作为售价出售，现搞活动促销，按原售价的
八折出售．设售出m 件该商品时，总利润为w 元．
（1）用含a、m 的式子表示该商品的总利润w；
（2）若a＝100，m＝3，则该商品的总利润w 是多少元？
迁移创新
13．（25-26 七年级上·甘肃天水·期末）如图是一个数值转换机示意图．
(1)用含x，y 的代数式表示输出的结果；
(2)当𝑥= −2，𝑦= −6时，求输出的结果．
14．（23-24 七年级上·湖南长沙·期中）用火柴棒按下列方式搭建三角形：
(1)填表：
三角形个数
1
2
3
4
…
火柴棒根数
…
(2)当三角形的个数为n 时，火柴棒的根数为多少？
(3)当𝑛= 1008时，火柴棒的根数是多少？
15．某种窗户由上下两部分组成，其上部是用木条围成的半圆形，且半圆形内部由三根等长的木条分隔，
下部是用木条围成的边长相等的四个小正方形，木条的宽度和厚度不计．已知下部每个小正方形的边长为a
米．
(1)用含a 的代数式分别表示窗户的面积和所用木条的总长度；
(2)若𝑎= 1米，窗户上安装的是玻璃，玻璃25 元/平方米，木条20 元/米，求制作这个窗户需要的总钱数（𝜋
值取3，计算结果精确到个位）．
16．（25-26 七年级上·全国·课后作业）（教材变式）填写下表，并观察两个代数式值的变化情况．
x
…
−3
−2
−1
0
1
2
3
…
2𝑥+ 1
…
…
−𝑥2 + 4
…
…
(1)随着x 的值由小变大，两个代数式的值如何变化？
(2)−𝑥2 +4的值有最大值吗？有最小值吗？
17．某校举办“诗歌颂祖国”活动，需要定制一批奖品颁发给表现突出的同学，每份奖品包含纪念徽章与纪念
品各一个，现有两家供应商可以提供纪念徽章设计、制作和纪念品制作业务，报价如下：
纪念徽章设计
费
纪念徽章制作
费
纪念品费用
甲供应
商
300 元
3 元/个
18 元/个
乙供应
商
免设计费
4.5 元/个
不超过100 个时，20 元/个；超过100 个时，则超出部分打
八折
设需要定制x 份奖品．
(1)如果选择乙供应商，当x 不超过100 时，应付总费用为多少元？当x 超过100 时，应付总费用多少元？
（用含x 的式子表示，结果需化简）
(2)如果需要定制50 份奖品，请你通过计算说明选择哪家供应商比较省钱？
18．（25-26 七年级下·山东青岛·期中）【规律探索】
如图，观察上述各图形，我们会发现：
图1 空白部分小正方形的个数是22−12 = 2 + 1，
图2 空白部分小正方形的个数是32−22 = 3 + 2，
图3 空白部分小正方形的个数是42−32 = 4 + 3；
(1)像这样继续排列下去，请写出第8 幅图对应的算式：________．
(2)请再写出第𝑛幅图对应的算式：________（用含有字母𝑛的算式表示，其中𝑛为正整数）．
(3)【问题解决】20262−20252 + 20242−20232 + 20222−20212 + ⋅⋅⋅+ 22−12 = ________．
