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专题01 应用二次函数的图象和性质解决字母参数问题
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型1、根据给定区间判断函数的增减性
题型2、对称点函数值大小比较
题型3、由函数值范围反求参数取值范围
题型4、抛物线过定点、恒在某一侧等恒成立问题
题型5、二次函数最值背景下的字母参数问题
题型6、二次函数临界点问题
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
应用二次函数的图象和性质解决字母参数问题，核心在于把“图象特征”转化为“关于参数的不等式
（组）”．要紧紧抓住开口方向、对称轴、给定区间的单调性、最值、判别式以及特殊点函数值等关键
量，建立参数所满足的条件；解题中必须注意分类讨论与临界状态的分析，所有结果均需回代检验．
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型1、根据给定区间判断函数的增减性
典例1 （25-26 九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数
(
)
2
2
y
a x
c
=
−
+
，当
1
x
x
=
时，函数值为
1y ；当
2
x
x
=
时，函数值为
2y ，若
1
2
2
2
x
x
−
−
，则下列关系式正确的是（ ）
A．
1
2
0
y
y
+
B．
1
2
0
y
y
−
C．(
)
1
2
0
a y
y
−
D．(
)
1
2
0
a y
y
−
题型模版
目 录
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1.特征：题目给定自变量的某一区间，要求根据二次函数在该区间上的增减性，确定开口方向、对称轴或相
关字母参数的取值范围．
2.方法：先由解析式求出对称轴，再结合开口方向判断区间与对称轴的位置关系：开口向上时，区间在对
称轴右侧递增、左侧递减；开口向下相反．必要时利用临界状态列不等式，并回代检验．
变式1-1 已知二次函数
2
2
y
x
=
的图象上有两点
(
)
1
1
,
M x y
，
(
)
2
2
,
N x
y
，设
1
2
S
y
y
=
+
，若
1
2
0
x x
，
1
2
2
x
x
+
=
，则下列结论正确的是（ ）
A．S 有最大值，也有最小值
B．S 有最小值，但没有最大值
C．S 有最大值，但没有最小值
D．S 没有最小值，也没有最大值
变式1-2 （25-26 九年级下·浙江温州·期中）已知抛物线
(
)
2
2
1
1
1
8
0
2
2
L
y
x
mx
m
m
−
−
=
+
+
：
．
(1)求抛物线
1L 的顶点坐标（用含m 的代数式表示）；
(2)将抛物线向右平移6 个单位长度得到新的抛物线
2L ，两抛物线交于点A．
①求点A的纵坐标．
②若点
(
)
1
1
,
P x y
，
(
)
2
2
,
Q x
y
分别在抛物线
1L ，
2L 上，若
2
1
8
x
x
−
= ，
1
3
m
x
m
−
，求
2
1
y
y
−
的取值范围．
变式1-3 已知二次函数
(
)
(
)
2
2
y
x
m
x
m
=
−
−
−
，m 为实数．
(1)若
1
m = ，求该函数图象的对称轴．
(2)当
2
3
m
x
+
时，函数y 的最大值与最小值之差为8，求m 的值．
(3)若点
(
)
1
1
,
A x y
，
(
)
2
2
,
B x
y
，且
1
2
x
x
，
1
2
4
6
x
x
m
+
=
−，试比较
1y 与
2y 大小．
题型2、对称点函数值大小比较
典例2 （25-26 九年级上·浙江丽水·期末）已知二次函数
(
)
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
的图象过(
)
1
5,
A
y
−
，
(
)
2
2,
B
y
−
，
(
)
3
1,
C
y
，
(
)
4
4,
D
y
四点，以下推断：①若
2
3
y
y
，则
1
4
y
y
；②若
2
1
y
y
，则
3
4
y
y
；③若
1
3
y
y
，则
2
4
y
y
．以上推断正确的个数是（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
题型模版
1.特征：给出抛物线上若干对称点或对称关系的点，要求比较这些点对应的函数值大小，进而求参数范围或
判断结论正误．
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2.方法：利用二次函数的对称性，将各点转化到对称轴同侧，结合开口方向与点到对称轴的距离远近比较
函数值；注意分类讨论开口向上与开口向下两种情形．
变式2-1 （25-26 九年级上·浙江·期末）抛物线
2
(
0)
y
ax
bx
c a
=
+
+
的顶点为
( 1,2)
D −
，与x 轴的一个交点
A在点( 3,0)
−
和( 2,0)
−
之间，其部分图象如图，则以下结论：①
0
abc
；②若方程
2
0
ax
bx
c
m
+
+
−
=
没
有实数根，则
2
m
；③3
2
0
b
c
+
；④图象上有两点
(
)
1
1
,
P x y
和
(
)
2
2
,
Q x
y
，若
1
2
x
x
且
1
2
2
x
x
−
+
，则一
定有
1
2
y
y
.正确的是（ ）
A．①②
B．③④
C．①③
D．②③
变式2-2 （25-26 九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知点(
)
1,
x m ，(
)
2,
x n ，(
)
3,
x
p 均在二次函数
2
2
y
ax
ax
c
=
+
+
图象上，若n
c
a
= −
，则下列选项不成立的是（ ）
A．若
0
a
且
m
p，则
1
2
3
2
x
x
x
x
−
−
B．若
0
a
且m
p
，则
1
2
3
2
x
x
x
x
−
−
C．若
1
2
3
2
x
x
x
x
−
=
−
，则m
p
=
D．若
1
2
3
2
x
x
x
x
−
−
，则|
| |
|
m
n
p
n
−
−
变式2-3 （25-26 九年级上·浙江杭州·阶段检测）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线
2
5
y
ax
bx
=
+
−过
点
(
)
(
)
1,0
2, 9
A
B
−
−
、
两点．
(1)求抛物线解析式；
(2)若抛物线
2
5
2
y
ax
bx
mx
=
+
−−
过点(
)
1
1,
m
y
−
、(
)
2
3,
m
y
+
，试比较
1y 与
2y 的大小，并说明理由；
(3)若将抛物线
2
5
y
ax
bx
=
+
−平移得到新抛物线
2
5
y
ax
bx
n
=
+
−+
，当2
3
x
−
时，新抛物线与直线
1
y =
有且只有一个公共点，求出n 的取值范围．
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题型3、由函数值范围反求参数取值范围
典例3 （25-26 九年级上·浙江温州·期中）已知：二次函数
2
2
2
1
y
x
mx
m
= −
+
−
+ （m 为常数）.
(1)求证：函数图象与x 轴有两个交点.
(2)若函数图象经过点(
)
1
3, y
−
，(
)
2
,n y
，
①当
4
n
m
=
时，
1
2
y
y
=
，求函数表达式.
②当
2
5
m
n
m
+
+ 时，都有
1
2
y
y
，请直接写出m 的取值范围.
题型模版
1.特征：已知函数值（或函数值的范围），要求反求自变量取值范围或字母参数范围，常与最值、区间端点
值结合．
2.方法：把函数值条件转化为关于自变量或参数的方程、不等式，结合二次函数最值、单调性与区间位置
建立参数不等式组，注意临界状态并回代检验．
变式3-1 （24-25 九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数
(
)
2
4
3
y
x x
m
m
= −
+
+
+ （m 是实数）．
(1)求函数顶点坐标（用含m 的代数式表示）；
(2)若
2
m
−
，且函数顶点在x 轴上，当
3
t
x
t
−
时，函数最大值为4
−，求t 的值；
(3)对于该二次函数图象上的两点(
)
,
A a p ，
(
)
3,
B
q ，当
(
)
4
8
4
a
m
m
+
−
时，始终有p
q
成立．求m 的
取值范围．
变式3-2 （24-25 九年级上·浙江杭州·阶段检测）在平面直角坐标系中，设二次函数
2
2
2
=
+
+
+
y
x
mx
m
（m 是常数）．
(1)若函数图象经过点(
)
2,11 ，求函数图象的顶点坐标．
(2)若函数图象经过点(
)
1, p
−
，(
)
1,q ，求证：
12
pq
．
(3)已知函数图象经过点(
)
1
3, y
−
，(
)
2
1,
m
y
−
+
，(
)
3
,n y
．若对于任意的3
5
n
，都有
1
3
2
y
y
y
成立，求
m 的取值范围．
变式3-3 （2025·浙江·三模）已知二次函数
2
2
3
3
y
x
x
m
m
=
-
-
+
（
0
m
的实数）
(1)二次函数图象的对称轴是______．
(2)当
2
m =
时，
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①若将平面内一点
(
)
1,
A
n 向右平移3a 个单位，则与抛物线上的点B 重合；向左平移2a 个单位，则与抛物
线上的点C 重合，求n 的值．
②如果点
(
)
,
P x y 在抛物线上，且到y 轴的距离小于等于2 ，那么我们称点P 是y 轴的“亲密点”，求所有
“亲密点”的y 的取值范围．
(3)对于二次函数图象上的两点
(
)
1
1
,
P x y
，
(
)
2
2
,
Q x
y
，当
1
1
2
1
t
x
t
−
+ ，
2
2
x −时，均满足
1
2
6
y
y
−，
直接写出t 的取值范围．
题型4、抛物线过定点、恒在某一侧等恒成立问题
典例4 定义
, ,
a b c 为函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的特征数，下面给出的特征数为
2 ,1
, 1
m
m
m
−
−−
时，关于函数
的一些结论，其中不正确的是（ ）
A．当
3
m
−
=
时，函数的最大值为8
3
B．当
3
m
−
=
时，函数图像的顶点到直线
1
y
x−
=
的距离为5 2
3
C．函数图像恒过两个定点(
)
1,0 和
1 3
,
2 2
−
D．当
0
m
时，函数在
1
4
x
时，y 随x 的增大而增大
题型模版
1.特征：抛物线经过定点、恒在某一侧或恒满足某种不等关系，要求确定参数满足的条件．
2.方法：先找定点（令参数系数为零），再研究图象相对于定直线或定点的位置关系；恒成立问题常转化为
最值或判别式问题，注意参数的任意性处理．
变式4-1 已知二次函数
2
12
y
x
bx
=
+
−
的图像经过点(
)
3,9
−
．
(1)求该函数图像的顶点坐标．
(2)若点
(
)
1
,
M m y
，
(
)
2
4,
N
y
在该函数图像上，且
1
2
y
y
，求m 的取值范围．
(3)将该函数图像向上平移t（
0
t
）个单位长度，所得图像与x 轴相交于点A，B（点A 在点B 的左侧），
原点O 在点A，B 之间．当
5
OB
OA
=
时，求t 的值．
变式4-2 （24-25 八年级下·浙江宁波·期末）已知抛物线
2
3
y
ax
bx
=
+
+ （a ，b 为常数）经过点
(
)
1,4
A
，
(
)
2, 5
B −
−
．
(1)求抛物线的函数表达式；
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(2)当x
p
=
时，
0
y
，当x
q
=
时，
0
y
，且p ，(
)
q p
q
为两个连续偶数，求p
q
+ 的值；
(3)该抛物线
2
3
y
ax
bx
=
+
+ 与直线
4
y
kx
k
=
−
+
（k 为常数且
0
k ）相交于
(
)
1
1
,
C x y
，
(
)
2
2
,
D x
y
两点，且C
在D 的左侧．若在
1
2
x
x
x
范围内，x 的取值恰好有3 个整数值，求k 的取值范围．
变式4-3 已知二次函数
(
)
2
7
6
y
x
a
x
=
+
−
+
，反比例函数
a
y
x
=
(1)当
2
a =
时，求这两个函数图象的交点坐标；
(2)若这两个函数的图象的交点不止一个，且交点横、纵坐标都是整数，求符合条件的正整数a 的值；
(3)若这两个函数的所有交点在直线
1
2
x =
的右侧，求a 的取值范围．
题型5、二次函数最值背景下的字母参数问题
典例5 已知二次函数
2
y
x
bx
c
= −
+
+ 的图象经过点(
)
2,3 ，对称轴为直线
1
x = ．
(1)求该二次函数的表达式，并写出顶点坐标．
(2)若将该二次函数的图象沿x 轴平移，问平移几个单位能使图象经过原点．
(3)当
2
2
1
m
x
m
+
+ 时，二次函数
2
y
x
bx
c
= −
+
+ 的最大值与最小值的差为1，求m 的值．
题型模版
1.特征：以二次函数在闭区间上的最大值、最小值为背景，讨论区间端点、对称轴与参数之间的关系．
2.方法：根据开口方向与对称轴相对区间的位置分情况讨论，分别求出区间端点函数值与顶点函数值，再
按要求的最大值、最小值建立方程或不等式求解．
变式5-1 已知二次函数
2
1
2
4
y
x
bx
= −
+
+ （b 为常数）的图象经过点(
)
8, 6
−
．
(1)求二次函数的表达式．
(2)作点
(
)
0,
A
t 关于直线x
t
= 对称的点B ，若点B 恰好落在
2
1
2
4
y
x
bx
= −
+
+ 的图象上，求t 的值．
(3)当
2
m
x
m
−
时，二次函数
2
1
2
4
y
x
bx
= −
+
+ 的最大值与最小值的和为k ，求k 的取值范围．
变式5-2 已知二次函数
2
2
y
x
bx
c
=
−
+ 的图象经过点(
)
2,
A
n
−
，
(
)
4,
B
n ．
(1)求b 的值．
(2)若函数图象与x 轴的两个交点间的距离为4，求该二次函数的表达式．
(3)设函数图象顶点到直线AB 的距离为k，若当
4
3
m
x
m
+
时，二次函数
2
2
y
x
bx
c
=
−
+
的最大值与最
小值之差为k，求m 的值．
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变式5-3 已知二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ （a，b，c 为常数）的图象与y 轴交于点(
)
0, 1
−
，且过点(
)
2, 1
−
．
(1)求a 与b 的关系式．
(2)若
0
a
，当1
4
x
−
时，函数y 的最大值与最小值之差为9，求a 的值．
(3)在（2）的条件下，若点
(
)
,
M t m ，点
(
)
1,
N t
n
+
两点在该函数图象上，且9
n
m
−
，求t 的取值范围．
题型6、二次函数临界点问题
典例6 如图，在平面直角坐标系中，A，B 两点的坐标分别为(
)
1,1 ，(
)
4,1 ．若二次函数
(
)
2
2
y
x
b
b
−
−
=
+
的图象与线段AB 有交点，则该抛物线与y 轴交点的纵坐标n 的取值范围是（ ）．
A．2
6
n
−
B．2
10
n
−
C．
5
9
2
n
−
D．
9
10
4
n
−
题型模版
1.特征：二次函数图象与线段、射线或某区域有交点、无交点或恰好一个交点，要求参数的临界取值．
2.方法：借助数形结合，确定边界位置（如端点在抛物线上、相切等），求出临界值后再结合图象变化趋势
判断参数范围，注意端点是否取等．
变式6-1 直线l 过点(
)
0 5
，且与y 轴垂直，若二次函数
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
3
2
y
x
a
x
a
x
a
a
a
=
−
+
−
+
−
−
+
（其中x 是
自变量）的图象与直线l 有两个不同的交点，且其对称轴在y 轴右侧，则a 的取值范围是（ ）
A．
5
a
B．
0
a
C．0
5
a
D．0
5
a
变式6-2 已知二次函数
(
)
2
4
1
0
y
ax
ax
a
=
−
−
(1)小顾同学说：当
1
x = 和
3
x = 时，函数值相等．你认为小顾同学的说法正确吗？请说明理由．
(2)点
(
)
,
P m n 为抛物线上一点，小庐同学发现：当1
5
m
时，n 的最大值为6，根据小庐同学的发现，求
出此时a 的值．
(3)当
0
a
，0
x
k
时，4
1
1
a
y
−
−
−，求k 的取值范围．
变式6-3 （25-26 八年级下·浙江宁波·期末）定义：若一个点的纵坐标与横坐标之差是横坐标的2 倍，则称
这个点为“友好点”，如：
(
)
1,3
A
，
(
)
2, 6
B −
−
，
(
)
0,0
C
等都是“友好点”．已知二次函数
2
y
x
x
c
= −
−+
（c 为
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常数）．
(1)若该函数经过点(
)
1, 6
−
，求该函数表达式，并求出该图象上的“友好点”坐标；
(2)在（1）的条件下，当
2
t
x
t
+
时，函数的最小值为6
−，求t 的值；
(3)在3
1
x
−
的范围内，若二次函数
2
y
x
x
c
= −
−+
的图象上至少存在一个“友好点”，结合图象，求出c 的
取值范围．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
25．已知：
(
)
2
1
1 0
4
2
2
m
a
a
a
=
−
−
，
(
)
4 1
4
n
b
b
=
，
2
m
n
+
=
，则下列说法中正确的是 （ ）
A．n 有最大值4，最小值1
B．n 有最大值3，最小值
3
2
−
C．n 有最大值3，最小值1
D．n 有最大值3，最小值5
2
26．已知直线
3
y
x
= −−
与抛物线
2
(
)
4
=
−
−
y
x
m
对称轴左侧部分的图象有且只有一个交点，则m 的取值范围
是（ ）
A．
5
4
m
B．
5
4
m
或
7
4
m =
C．
1
m
D．
1
m 或
5
4
m =
27．（25-26 九年级上·湖北武汉·期中）关于二次函数
(
)
2
4
5
0
y
ax
ax
a
=
−
−
的四个结论：
①对任意实数m，取
1
2
x
m
=
+
及
2
2
x
m
=
−
，对应的函数值总相等；
②若3
4
x
，对应的y 的整数值有4 个，则
4
1
3
a
−
−
或
4
1
3
a
；
③若抛物线开口向下，且与x 轴交于不同两点A，B，满足
6
AB
，则
5
4
a −
；
④若
(
)
1
1
,
M x y
，
(
)
2
2
,
N x
y
是抛物线上两点，若
1
2
x
x
，
1
2
4
x
x
+
，则
1
2
y
y
．
其中正确的结论有__________．（填序号）
28．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知二次函数
(
)
2
3
0
y
ax
bx
a
=
+
−
的对称轴为直线x
t
= ．
(1)若抛物线
(
)
2
3
0
y
ax
bx
a
=
+
−
经过点
(
)
4, 3
A −
−
．
①求t 的值．
②若抛物线与y 轴交于点B ，将抛物线沿直线AB 翻折，得到的新抛物线的顶点到x 轴的距离为1，求a 的
值．
(2)对于抛物线上的任意两点(
)
1
1
,
x
y
，(
)
2
2
,
x
y
，对于
1
2
3
x
，
2
3
4
x
都有
1
2
y
y
，求t 的取值范围．
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29．（25-26 九年级上·浙江金华·期中）已知二次函数
2
2
3
y
ax
x
=
−
+ ．
(1)若它的图像过点(
)
1,2 ，求此二次函数解析式．
(2)当
2
x
时，y 随x 的增大而增大，求a 的范围．
(3)如果
(
)
1,
A m
p
−
，
1 ,
2
B
q
，
(
)
3,
C m
p
+
都在这个二次函数上，且
3
p
q
，求a 的范围．
30．我们约定：一元二次方程
(
)
2
0
0
ax
bx
c
a
+
+
=
与一元二次方程
(
)
2
0
0
cx
bx
a
c
+
+
=
互为“轮转对称方
程”．二次函数
(
)
2
1
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
与二次函数
(
)
2
2
0
y
cx
bx
a c
=
+
+
互为“轮转对称函数”．
(1)直接写出
2
3
2
1
0
x
x
-
-
=
的“轮转对称方程”，并解出这个“轮转对称方程”；
(2)对于任意非零实数m，n，点(
)
,
P m t 与点
(
)(
)
,
Q n t
m
n
始终在关于x 的函数
2
1y
x
mx n
=
+
+ 的图象上运
动，函数
2y 与
1y 互为“轮转对称函数”．
①求函数
2y 的图象的对称轴；
②函数
2y 的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；
(3)若关于x 的二次函数
2
1y
ax
bx
c
=
+
+
的图象经过平面直角坐标系中三个象限，
0
a
c
+
且c
a
≥，其“轮转
对称函数”的图象与x 轴交于A、B 两点，顶点为点D，与y 轴交于点C，点M 是AB 的中点，点O 是坐标
原点．已知
1
1
2
2
MD
OA
OB
OC
−
=
，试求：
2
2
2
2
b
a
c
−
的最大值．
31．已知抛物线
2
2
y
x
bx
c
= −
+
+ （b ，c 为常数）经过点
(
)
1, 1
A −
−
．
(1)若抛物线经过点
(
)
2,5
B
，
①求抛物线的函数表达式．
②若抛物线上的点
(
)
,
M t m 在直线AB 上方，且
1
2
t
时，求m 的取值范围．
(2)若关于x 的一元二次方程
2
2
3
x
bx
c
−
+
+
=
有解，且解都为非负实数，求b 的最大值和最小值．
32．已知二次函数
(
)
2
1
2
y
mx
m
x
m
=
+
−
+
−
(
)
0
m
，下列结论：
①当
2
m =
时，二次函数图象经过原点；
②当
0
m
时，二次函数有最小值；
③当
1
m 时，二次函数的对称轴在y 轴右侧；
④当
0
m
，
1
2
x
−
时，y 随x 的增大而减小，则正确结论有______（填序号即可）．
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33．（25-26 九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，已知二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的图象与x 轴交于
(
)
2,0
A −
，
(
)
6,0
B
两点，与y 轴的交点为
(
)
0,3
C
．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若抛物线上有一点
(
)
4,
E
m ，将线段AE 沿着y 轴向上平移，使平移后的线段A E
与该抛物线恒有公共
点，设点A的纵坐标为n ，求n 的取值范围；
(3)当
4
q
x
q
+
时，二次函数的最大值是4 ，最小值是t ，求t 的取值范围．
34．已知二次函数
2
2
4
y
ax
ax
a
=
−
+
−（
0
a
），其函数图象顶点为P．
(1)记与y 轴交点为A，求直线PA的函数表达式（含a 的代数式表示）．
(2)若将点P 向上平移4 个单位，向右平移2 个单位，还是在该函数图象上．
①求a 的值．
②当
2
m
x
m
−
时，该函数的最大值与最小值的差为2m ，求m 的值．
35．如图，二次函数
2
1
2
y
x
x
=
−
，
2
2
2
y
ax
x
=
−
（a 为常数，且
0
a
）的图象在同一平面直角坐标系中，
且
2
2
2
y
ax
x
=
−
的图象过点(
)
4,0 ．
(1)求a 的值．
(2)与x 轴平行的直线l 与
1y 的图象交于A，B 两点，记点A，B 的横坐标分别是
A
x ，
B
x ，且
3
A
B
x
x
−
=
，
当
B
A
x
x
x
时，求
2y 的函数值的取值范围．
(3)已知点(
)
,
m n ，(
)
,
m
k n
+
（其中
1
m ，
0
k ）分别在
1y ，
2y 图象上，求k 的最小值．
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36．已知抛物线
(
)
2
0
y
x
bx
c b
=
+
+
与x 轴交点的坐标分别为(
)
1,0
x
，(
)
2,0
x
，且
1
2
x
x
．
(1)若抛物线
(
)
2
1
1
0
y
x
bx
c
b
=
+
+
+
与x 轴交点的坐标分别为(
)
3,0
x
，(
)
4,0
x
，且
3
4
x
x
．试判断下列每组
数据的大小（填写、= 或）：
①
1
2
x
x
+
________
3
4
x
x
+
；②
1
3
x
x
−
________
2
4
x
x
−
；③
2
3
x
x
+
________
1
4
x
x
+
．
(2)若
1
1
x = ，
2
2
3
x
，求b 的取值范围；
(3)当0
1
x
时，
(
)
2
0
y
x
bx
c b
=
+
+
最大值与最小值的差为9
16 ，求b 的值．
37．在平面直角坐标系中，将过点(
)
2, 1
−
的抛物线
2
1
1
:
4
C
y
x
bx
= −
+
（b 为常数）向右平移m 个单位
（
0
m
），再向上平移n 个单位（
0
n
）得到新的抛物线
2
C ，其顶点为E．
(1)求点E 的坐标；（用含m，n 的式子表示）
(2)若抛物线
2
C 与坐标轴有且只有两个公共点，求满足条件的点E 的纵坐标；
(3)当
1
n = 时，抛物线
2
C 与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交于点D，且当0
2
x
时，对抛物线
1
C 上的任意
一点P，在抛物线
2
C 上总存在一点Q，使得点P，Q 的纵坐标相等，探究下列问题：
①求m 的取值范围；
②若存在一点F，满足DF
AF
BF
=
=
，求点F 的纵坐标的取值范围．
38．（24-25 九年级上·浙江杭州·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线
2
2
2
2
y
x
mx
m
m
=
+
+
−
的顶点为
A．
(1)求顶点A的坐标（用含有字母m 的代数式表示）
(2)若点
(
)
2,
B
B
y
，
(
)
5,
C
C
y
在抛物线上，且
B
C
y
y
，求m 的取值范围．
(3)当1
3
x
时，函数y 的最小值等于6，求m 的值．
39．（25-26 九年级上·浙江温州·阶段检测）已知二次函数
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 的图象经过点(
)
1,8
P
，且对称轴为
直线
2
x =
．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)将该二次函数的图象左右平移后，所得新图象经过原点，请写出平移的方式；
(3)当
2
t
x
t
+
时，二次函数
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 的最大值与最小值的差为m，且
2
m
，求实数t 的取值范
围．
