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上海七上数学压轴题解题技巧
及核心几何模型
整式及其整式加减............................................................................................2
题型一、多项式系数、指数中字母求值............................................................................................................2
题型二、已知同类项求指数中参数或代数式的值............................................................................................2
题型三、整式加减混合运算................................................................................................................................2
题型四、整式加减运算中先化简再求值............................................................................................................2
题型五、带有字母的绝对值化简问题................................................................................................................3
题型六、整式的加减运算中错解复原问题........................................................................................................3
题型七、整式加减与字母取值无关类题型........................................................................................................3
因式分解..........................................................................................................4
1. 因式分解的意义..............................................................................................................................................4
2. 公因式.............................................................................................................................................................. 5
1. 提取公因式法.................................................................................................................................................. 5
2. 公式法的定义.................................................................................................................................................. 5
3. 因式分解的平方差公式..................................................................................................................................6
4. 因式分解的完全平方公式..............................................................................................................................6
5. 十字相乘法...................................................................................................................................................... 6
6. 分组分解法...................................................................................................................................................... 7
几何模型之——将军饮马之线段和最小值........................................................ 7
模型提炼................................................................................................................................................................ 8
模型拓展................................................................................................................................................................ 8
几何模型之——将军饮马之双线段差最大值.....................................................9
模型提炼................................................................................................................................................................ 9
几何模型之——图形翻折模型..........................................................................9
模型提炼................................................................................................................................................................ 9
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整式及其整式加减
一元二次方程含参数问题是初中数学核心重难点，所有题型均围绕方程定义、根的存在性、根的数量与特征、
两根关系四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是一元二次方程二次项系数不为0，二是实数根问题必须验证
判别式Δ≥0
题型一、多项式系数、指数中字母求值
题型模版
1.特征：题干给出多项式次数、项数、常数项、最高次项系数相关限定条件，式子含有待求字母，需要算出字母取
值。
2.方法：根据多项式定义，最高次所有字母指数相加为多项式次数，结合系数条件列等式求解字母；求出结果后代
回原式核对次数、系数是否符合题干要求。
题型二、已知同类项求指数中参数或代数式的值
题型模版
1.特征：题目告知两个单项式为同类项，单项式指数带有字母，先求字母参数，再代入含字母的代数式计算最终数
值。
2.方法：依据同类项定义，相同字母的指数分别对应相等，列出方程组解出字母；把字母数值代入目标代数式化简
计算，计算完成后反向验证单项式确实为同类项。
题型三、整式加减混合运算
题型模版
1.特征：给出多个多项式相加、相减的混合算式，式子带有多重括号、负号，只要求化简整式，无代入求值步骤。
2.方法：先去括号，括号前是负号时括号内每一项都要变号；再找准同类项，合并同类项时只对系数加减，字母和
指数保持不变，最后按降幂顺序整理结果。
题型四、整式加减运算中先化简再求值
题型模版
1.特征：给出带括号的整式加减式子，同时给出式子中字母对应的数值，要求先化简整式，再把数字代入算出最终
结果。
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2.方法：先去括号、合并同类项，将原式化为最简整式；再把字母数值整体代入，负数、分数代入时添加括号，分
步计算避免符号出错，核对计算结果。
题型五、带有字母的绝对值化简问题
题型模版
1.特征：结合整式加减给出字母取值范围、数轴位置，式子里含有绝对值，需要去掉绝对值符号化简整式。
2.方法：根据已知条件判断绝对值内部代数式正负，正数直接去绝对值，负数去绝对值后整体变号；化简后再合并
同类项，全程注意符号变化，不要漏变项。
题型六、整式的加减运算中错解复原问题
题型模版
1.特征：做题人看错运算符号、漏看括号，采用错误式子算出错误结果，已知错误算式与错解，求解原式或正确计
算答案。
2.方法：先用错误计算过程和错误结果反推未知整式；再用正确运算符号列出标准算式，重新化简计算，对比正误
过程检查符号、括号处理是否存在疏漏。
题型七、整式加减与字母取值无关类题型
题型模版
1.特征：整式化简后含有多个字母，题干说明式子的值与某个字母取值无关，根据条件求解式子中的参数。
2.方法：先完整去括号、合并同类项，整理出目标字母的同类项；与字母无关则该字母所有项的系数等于0，列方
程求出参数，代回验证该项系数确实为0。
整式的乘除
【清单01】幂运算
1．幂运算：幂是乘方运算的结果，
m
a 表示m 个a 相乘，其中a 叫做幂的底数，m 叫做幂的指数．
2．运算规则：
（1）同底数的幂相乘，底数不变，指数相加：
m
n
m n
a
a
a
．
（2）同底数的幂相除，底数不变，指数相减：
m
n
m n
a
a
a
．
（3）幂的乘方，底数不变，指数相乘：(
)
m
n
mn
a
a
．
（4）积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘：(
)n
n
n
ab
a b
．
（5）任何一个非零数的零次方都是1：
(
)
≠
a
a
．
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【清单02】整式的乘法
单项式×单项式：系数相乘，字母相乘．
(
)
xy
xy
x y
单项式×整式：乘法分配律．
(
)
m a
b
c
ma
mb
mc
整式×整式：乘法分配律．
(
)(
)
m
n a
b
ma
mb
na
nb
【清单03】整式的除法
单项式÷单项式：系数相除，字母相除．
xy
xy
y
（
）
整式÷单项式：除法性质．
(
)
a
b
c
m
a
m
b
m
c
m
【清单04】乘法公式
1．平方差公式：
2
2
(
)(
)
a
b
a
b a
b
；
语言描述：两数之和与两数之差的乘积，等于它们的平方差。
2．完全平方公式：
2
2
2
(
)
2
a
b
a
ab
b
2
2
2
(
)
2
a
b
a
ab
b
即：
2
2
2
(
)
2
a
b
a
ab
b
；
语言描述：两数之和（之差）的平方，等于它们的平方和加上（减去）它们乘积的2 倍．
因式分解
1. 因式分解的意义
把一个多项式化为几个整式的______________的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个
多项式分解因式.
注意：
(1) 因式分解与整式乘法是互逆的等式变形，可以用整式的乘法来检验因式分解结果的正确性；
(2) 因式分解是恒等变形，因式分解的对象是多项式，单项式不需要因式分解；
(3) 因式分解的结果必须是乘积形式，这个乘积中可以有单项式，也可以有多项式，但必须是整式，且每个因
式的次数都不高于原来多项式的次数；
(4) 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.
解题技巧
判断一个式子的变形是不是因式分解的方法判断一个式子由左边到右边的变形是不是因式分解的关键是看这
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个变形是不是把一个多项式化成了几个整式的积的形式,并且用整式的乘法验证右边的式子是否等于左边的式
子,符合以上条件则是因式分解.
2. 公因式
（1）定义
一个多项式中______________都含有的因式叫做这个多项式的______________.
（2）确定公因式的一般步骤
①定符号：如果多项式的第一项系数是负数，通常提出“- ”号，使括号内第一项的系数成为正数；
②定系数：当各项系数都是整数时，取它们的最大公约数为公因式的系数；
③定字母：(或多项式)及其指数,取多项式各项都含有的相同字母(或多项式),其指数取最低次.
上述步骤不是绝对的，当第一项是正数时步骤(1)可省略.
1. 提取公因式法
（1）提取公因式法
如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把该公因式提取出来作为多项式的一个因式，提出公因
式后的式子放在括号里，作为另一个因式.这种分解因
式的方法叫做______________.
（2）提取公因式法的一般步骤
①确定各项的公因式；
②提出这个公因式并确定另一个因式；
③把多项式写成因式积的形式.
（3）提取公因式法的依据
提取公因式法，它的实质是乘法对加法的分配律的逆用
【注意要点】
1.若多项式第一项的系数是负数，则应先提出“﹣”号，提出“﹣”号后，括号里的每一项都要变号
2.提取公因式法因式分解，先在各项中将公因式分解出来，避免遗漏某些项
3.如果某项全部提出，括号里对应的项是1
4.多项式各项的公因式要注意提尽，即公因式为最大公因式
5.提取公因式后，注意运用整式乘法来检验是否正确
2. 公式法的定义
逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做______________.
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3. 因式分解的平方差公式
（1）定义
由平方差公式反过来可得
2
2
(
)(
).
a
b
a
b a
b
＝
这个公式叫做因式分解的______________.
语言叙述：如果一个多项式能写成两个数的平方差的形式，那么就可以运用平方差公式把它因式分解，
它等于这两个数的和与这两个数的差的积.
（2）特点
①等号左边是二项式，两项都是平方的形式，且符号相反；
②等号右边是两个数的和与这两个数的差的积.
4. 因式分解的完全平方公式
(1)定义
由乘法公式中完全平方公式
2
2
2
(
)
2
a
b
a
ab
b
＝
,
2
2
2
(
)
2
a
b
a
ab
b
＝
反过来可得
2
2
2
2
(
)
a
ab
b
a
b
,
2
2
2
2
(
)
a
ab
b
a
b
.
这两个公式叫做因式分解的______________
语言叙述：如果一个多项式能写成两个数的平方和，加上(或减去)这两个数的积的两倍，那么就可以
运用完全平方公式把它分解因式，它等于这两个数的和
(或差)的平方.
（2）特征
①等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数(或两个式子)的平方，这两项的符号相同，中间一
项是这两个数(或两个式子)乘积的2 倍，符号正负均可.
②等号右边是两个数(或两个式子)的和(或差)的平方
5. 十字相乘法
（1）定义
一般地，
2
2
(
)
(
)(
)
x
px
q
x
a
b x
ab
x
a x
b
可以用十字交叉线表示:
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做______________.
（2）用十字相乘法分解的多项式的特征
①必须是一个______________次______________项式;
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②二次三项式的系数为1 时，常数项能分解成两个因数a 和b 的积，且这两个因数的和a+b 正好等于
多项式乘以多项式(
)(
)
x
a x
b
=
2
(
)
x
a
b x
ab
注意:
公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，是多项式时，要把它看作一个整体.
（3）用十字相乘法分解因式的符号规律
①当二次项系数为正数且常数项是“+”号时，常数项分解的两个因数的符号与一次项系数的符号相
同;
②当二次项系数为正数且常数项是“-”号时，常数项分解的两个因数异号，若一次项是“+”的，则
正因数绝对值大;若一次项是“-”的，则负因数的绝对值大;
③当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，再分解常数项.
6. 分组分解法
（1）分组分解法
如果分解因式的多项式各项既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的结
合成为一组,利用分组可以进行多项式的局部分解然后,综合起来,再从总体上用捉取公因式法和公式
法或十字相乘法继续进行分解,直到分解出最后结果，这种分解因式的方法叫做______________.
（2）分组原则
①分组后能直接提取公因式,多见四项多项式.
②分组后能直接运用公式法,多见四项多项式______________分组.
③分组后能直接用十字相乘法，多见四项多项式______________分组.
几何模型之——将军饮马之线段和最小值
将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区
分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主。
在解决几何最值问题主要依据是：
①两点之间，线段最短；
②垂线段最短
涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“两点之间线段最短”、“三角形三边关系”等。
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模型提炼
条件：A，B 为定点，m 为定直线，P 为直线m 上的一个动点，求AP+BP 的最小值。
模型（1）点A、B 在直线m 两侧：
模型（2）点A、B 在直线同侧：
模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP 的最小值即为：线段AB 的长度。
模型（2）：如图（2），作点A 关于定直线m 的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP 的最小值即为：
线段A’B 的长度。
模型（1）点A、B 在直线m 两侧：
模型（2）点A、B 在直线同侧：
图（1）
图（2）
模型拓展
条件：如图，A 为定点，在直线m、n 上分别找两点P、Q，使三角形APQ 的周长（AP+PQ+QA）最小。
证明：如上图，作点A 分别关于定直线m、n 的对称点A’、A’’,连结A’B,
根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’，
再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA 的最小值即为：线段A’A’’的长度。
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几何模型之——将军饮马之双线段差最大值
模型提炼
条件：A，B 为定点，m 为定直线，P 为直线l 上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。
模型（1）：点A、B 在直线m 同侧：
模型（2）：点A、B 在直线m 异侧：
模型（1）：如图（1），延长AB 交直线m 于点P，当A、B、P 不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，
当A、B、P 共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB 的长度。
模型（2）：如图（2），作点B 作关于直线m 的对称点B’，连接AB’交直线m 于点P，此时PB=PB’。
当A、B、P 不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’，
当A、B、P 共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。
图（1）
图（2）
几何模型之——图形翻折模型
翻折问题属于图形变换中的实际问题，也是近些年初中各类考试卷出题老师青睐的题型。
在解决翻折问题时，我们应充分利用折叠前后角相等的性质，并结合三角形内角和定理来构建等量关系。即使
题目条件有限，我们也可以通过尝试写出一系列等量关系来逐步接近答案。
模型提炼
条件：点O，E 分别是长方形纸片ABCD 边AB ，AD 上的点，沿OE ，OC 翻折，点A 落在点A处，点B 落在点B
处．
结论：如图1，当点B恰好落在线段OA上时，则
COE
=90°；
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如图2，当点B落在
EOA
的内部时，若
A OB
=，则
COE
=90°- 1
2
；
如图3，当点A，B落在
COE
的内部且点B在
A OE
外部时，若
A OB
=，则
COE
=90°+ 1
2
．
证明：如图1，由折叠的性质，得到
AOE
A OE
，
BOC
B OC
，
180
AOE
A OE
BOC
B OC
，
90
A OE
B OC
90
COE
A OE
B OC
；
如图2，由折叠的性质，得到
AOE
A OE
，
BOC
B OC
，
180
AOE
EOB
BOA
AOC
BOC
，
180
AOE
EOB
BOA
AOC
BOC
，
2
2
2
180
EOB
BOA
AOC
BOA
，
COE
=90°- 1
2
，
如图3，由折叠的性质，得到
AOE
A OE
，
BOC
B OC
，
180
AOE
EOA
BOA
BOC
BOC
，
180
AOE
EOA
BOA
BOC
BOC
，
2
2
2
180
EOA
BOA
BOC
BOA
，
COE
=90°+ 1
2
，
条件：如图，将
ABC
沿折痕AD 折叠，使点B 落在AC 边上的点E 处，若
,
,
BC
a AC
b AB
c
，
结论：CDE
的周长=b-c+a。
证明：由折叠可得AE
AB
c
，DE
DB
，∴CE
AC
AE
b
c
，
∴
CDE
C
CE
CD
DE
CE
CD
DB
CE
CB
b
c
a
．
