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专题14.2 解题技巧专题：巧用幂的运算法则之三大题型
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目录
【典型例题】..................................................................................................................................................1
【题型一 逆用幂的相关公式求值】................................................................................................................1
【题型二 先化为同底数，再灵活运用幂的公式计算】................................................................................4
【题型三 利用幂的运算比较大小】................................................................................................................8
【典型例题】
【题型一 逆用幂的相关公式求值】
例题：（2023春·浙江·七年级校联考期中）已知 则 = ．
【答案】18
【分析】根据 进行求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴
故答案为：18．
【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算和幂的乘方的逆运算，熟知
是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·湖南娄底·七年级统考阶段练习）若 ， ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】根据同底数幂的运算法则及幂的乘方的运算法则即可解答．【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查了同底数幂的运算法则，幂的乘方的运算法则，掌握同底数幂的运算法则是解题的关键．
2．（2023春·江苏盐城·七年级校联考期中）计算
【答案】
【分析】根据同底数幂乘法的逆运算和积的乘方的逆运算法则把原式变形为 ，据此
求解即可．
【详解】解：
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算和积的乘方的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
3．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知 ， ，分别求值：(用 、 表示)
(1) ；(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）逆用同底数幂的乘法进行计算即可求解；
（2）逆用幂的乘方与同底数幂的乘法进行计算即可求解．
【详解】（1）∵ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了幂的乘方与同底数幂的乘法，掌握幂的乘方与同底数幂的乘法运算法则是解题的关键．
4．（2023秋·八年级课时练习）（1）已知 ， ，求 的值；
（2）已知 ， ，求 的值．
【答案】（1）320；（2）5400．
【分析】（1）根据同底数幂的除法法则计算即可；
（2）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则计算即可．
【详解】解：（1）∵ ， ，
∴
；
（2）∵ ， ，
∴．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法逆用以及幂的乘方与积的乘方的逆用，熟记幂的运算法则是解答
本题的关键．
5．（2023春·江苏扬州·七年级校考阶段练习）已知： ，
(1)求 的值；
(2)求 的值．
【答案】(1)6
(2)108
【分析】（1）将 代入 计算可得；
（2）将 代入 计算可得．
【详解】（1）当 时，
；
（2）当 时，
．
【点睛】本题考查的是幂的乘方与积的乘方法则，熟知幂的乘方法则是底数不变，指数相乘；积的乘方法则是把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘是解答此题的关键．
6．（2023秋·八年级课时练习）（1）已知 ， ，用 ， 表示 的值；
（2）已知 ， ，求 的值．
【答案】（1）
（2）5．
【分析】（1）根据幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，逆用法则可得 ．再将
， ，代入，即可解决此题．
（2）先根据幂的乘方得到 ，再将 ， 代入，即可解决此题．
【详解】解：（1） ， ，
.
（2） ， ，
原式 .
【点睛】本题主要考查幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方与积的乘方、同底数幂
的乘法法则是解决本题的关键．
【题型二 先化为同底数，再灵活运用幂的公式计算】
例题：（2023春·江苏常州·七年级常州市第二十四中学校考阶段练习）若 ，求 的值．
【答案】5
【分析】先根据幂的乘方法则变为以3为底的幂，再根据同底数幂的乘法计算，进而列出关于x的方程求
解即可．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，以及解一元一次方程，熟练掌握幂的运算法则是解答本
题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·江苏·七年级专题练习）已知 为正整数，且 ，求 的值．
【答案】
【分析】根据同底数幂的乘法和幂的乘方，即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，解决本题的关键是转化为同底数幂的乘法．
2．（2023春·福建漳州·七年级统考期中）计算：
(1)已知 ，求 的值；
(2)已知n为正整数，且 ，求 的值．
【答案】(1)8；
(2)0．
【分析】（1）先根据幂的乘方变形，再根据同底数幂的乘法进行计算，最后代入求出即可；
（2）先根据幂的乘方法则将原式化为 的幂的形式，然后代入进行计算即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
原式
．（2）∵ ，
∴
．
【点睛】本题考查了幂的乘方及其逆运算，同底数幂的乘法．运用整体代入法是解题的关键．
3．（2023春·江苏扬州·七年级校联考期中）根据题意，解答下列各题：
(1)已知 ， ，求 的值；
(2)如果 ，求 的值；
【答案】(1)20
(2)2
【分析】（1）根据幂的乘方及同底数幂的乘法运算的逆用，进行运算，即可求解；
（2）根据同底数幂的乘法运算的逆用，即可求解．
【详解】（1）解： ， ，
（2）解：
，
，
，
．【点睛】本题考查了幂的乘方及同底数幂的乘法运算的逆用，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关
键．
4．（2023春·江苏盐城·七年级景山中学校考阶段练习）计算：
(1)已知 ，求 的值；
(2)若 为正整数，且 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)20
【分析】（1）已知等式左边利用同底数幂的乘法及幂的乘方变形，得到关于 的一元一次方程，即可求出
的值；
（2）首先计算积的乘方可得 ，再根据幂的乘方进行变形，把底数变为 ，然后代入求值即可．
【详解】（1）解： ，
，
，
解得： ；
（2）解：
，
当 时，原式 ．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方和积的乘方以及同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5．（2023春·江苏·七年级期中）求值：
(1)已知 ，求 的值．
(2)已知 ， ，求 的值．
(3)已知 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)(3)
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则分别计算得出答案．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ， ，
∴ ；
（3）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算．正确掌握相关运算法则是解题的关键．
【题型三 利用幂的运算比较大小】
例题：（2023春·江苏无锡·七年级无锡市太湖格致中学校考阶段练习）比较下列各题中幂的大小：
(1)比较 ， ， ， 这4个数的大小关系；
(2)已知 ， ， ，比较a、b、c的大小关系；
(3)已知 ， ，比较P，Q的大小关系；
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ．
【分析】（1）根据幂的乘方的逆用进行转换得 、 、 ， ，比较即可；
（2）根据幂的乘方的逆用进行转换得 、 、 ，比较即可；（3）依据积的乘方公式及同底数的幂的除法化简可得 即可得结果．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
，
；
（2） ，
，
，
，
，
；
（3）
．
【点睛】此题考查了幂的乘方的逆用，积的乘方以及同底数幂的除法；解题的关键是利用相关公式将底数
或指数统一．
【变式训练】
1．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期中）已知 ，则 的大小关系是 ．
（用“＜”连接）
【答案】
【分析】根据幂的乘方法则变为同底数的幂比较即可.【详解】解： ，
，
，
∵a、b、c的底数相同，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方法则是解答本题的关键．幂的乘方底数不变，指数
相乘.
2．（2023春·江苏·七年级期中）阅读：已知正整数 显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同
指数，不同底数的两个幂 和 ，当 时，则有 ，根据上述材料，回答下列问题．
(1)比较大小：520 420（填写＞、＜或＝）．
(2)比较 与 的大小（写出具体过程）．
(3)已知 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)603979776
【分析】（1）根据同指数，不同底数的两个幂 和 ，当 时，则有 ，即可进行解答；
（2）将根据幂的乘方的逆运算，将 与 转化为同指数的幂，再比较大小即可；
（3）根据同底数幂乘法的逆运算，将 转化为 ，再根据积的乘方的逆运算，整理为含有
和 的形式，进行计算即可．
【详解】（1）解：
，
故答案为： ．
（2）（3）
．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方的运算法则和逆运算，解题的关键是熟练掌握幂的乘方和积
的乘方的运算法则及其逆运算法则．
3．（2023春·广东茂名·七年级校联考阶段练习）阅读下列材料：下面是底数大于1的数比较大小的两种方
法．
①比较 ， 的大小；当 时， ， 当同底数相同时，指数越大值越大；
②比较 和 的大小， ， ， ， ．可以将其先化为同指
数，再比较大小， 指数相同时，底数越大值越大；
根据上述材料，回答下列问题．
(1)比较大小 ____________ （填写>、<或=）；
(2)已知 ， ， ，试比较 、 、 的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据幂的乘方的逆运算进行化简比较即可；
（2）根据题目中的方法，变化成指数相同时，比较底数即可．【详解】（1）解： ，
；
故答案为： ；
（2） ，
．
，
，
，
．
【点睛】题目主要考查幂的乘方的逆运算及有理数的乘方运算，熟练掌握幂的乘方的逆运算是解题关键．
4．（2023春·江苏盐城·七年级校联考阶段练习）阅读下面的材料：
材料一：比较 和 的大小
解：因为 ，且 ，所以 ，即 ，
小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小，
材料二：比较 和 的大小．
解：因为 ，且 ，所以 ，即 ，
小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小
解决下列问题：
(1)比较 、 、 的大小：
(2)比较 、 、 的大小：
(3)比较 与 的大小．
【答案】(1)
(2)(3)
【分析】（1）根据 ， ， ，再比较底数的大小即可；
（2）根据 ， ， ，再比较指数的大小即可；
（3）根据 ， ，再由 ，即可得出结论．
【详解】（1）解： ， ， ，
，
，
；
（2） ， ， ，
，
，
；
（3） ， ，
，
．
【点睛】本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法．
