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专题02 三角形中的倒角模型之A 字、8 字、燕尾模型的三类
综合题型
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、三角形中的倒角模型之“A”字模型
题型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型
题型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移
- 题型特征：图形呈A 形、X 形（8 字）或燕尾（飞镖）结构，已知部分角度求关联角或角间和差关系。
- 解题方法：A 字模型用三角形内角和180°或外角性质；8 字模型利用对顶角相等及两三角形内角和转化；
燕尾模型利用外角等于不相邻两内角和，建立角与角的和差关系。
- 易错提醒：混淆8 字模型中内角与外角的对应关系；燕尾模型中找不准外角的两个不相邻内角；辅助线
添加不恰当导致关系链断裂。
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、三角形中的倒角模型之“A”字模型
典例1．（25-26 八年级上·云南红河·期中）【问题呈现】
小明在学习了有关三角形内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题：
如图①，1
与
2
分别为
ABC
的两个外角，求证：1
2
180
A
+=
+．
【推理证明】
目 录
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(1)补全证明过程．
证明：
1
与
2
分别为
ABC
的两个外角，
1
A
=
+_____，
2
A
=+ _____
1
2
+=_____
3
4
180
A
++
=
，
1
2
180
A
+=
+．
(2)如图②，在
ABC
纸片中剪去
AED
△
，得到四边形BCDE ．若1 130
=
，则
2
A
−的大小为_____度．
(3)如图③，在
ABC
中，BP
CP
，
分别为外角
DBC
，ECB
的平分线，写出
P
与
A
之间的数量关系，
并说明理由．
【答案】(1)
4
，
3
，
4
3
A
A
+++．
(2)50
(3)
1
90
2
P
A
=
−
，理由见解析
【分析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形外角性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关
知识是解答的关键．
（1）由三角形外角性质得1
，
2
，再求1
与
2
的和，最后由三角形内角和定理问题即可得证；
（2）由1
2
180
A
+=
+进行变形为
2
180
1
A
−=
−即可解答；
（3）由角平分线的定义得
PBC
、
PCB
∠
，再由三角形内角和定理得出
(
)
1
180
2
P
DBC
BCE
=
−
+
，
然后把
180
DBC
BCE
A
+
=
+代入求解即可．
【详解】（1）证明：
1
与
2
分别为
ABC
的两个外角，
1
4
A
=
+，
2
3
A
= +，
1
2
4
3
A
A
+= +++
3
4
180
A
++
=
，
1
2
180
A
+=
+．
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故答案为：
4
，
3
，
4
3
A
A
+++．
（2）解：∵1
2
180
A
+=
+，1 130
=
，
∴
2
180
1 180
130
50
A
−=
−=
−
=
．
故答案为：50．
（3）解：
1
90
2
P
A
=
−
，理由如下：
∵BP
CP
，
分别为外角
DBC
，
ECB
的平分线，
∴
1
2
PBC
DBC
=
，
1
2
PCB
BCE
=
，
∴
(
)
(
)
1
180
180
2
P
PBC
PCB
DBC
BCE
=
−
+
=
−
+
，
∵
180
DBC
BCE
A
+
=
+，
∴
(
)
1
1
180
180
90
2
2
P
A
A
=
−
+
=
−
．
题型模版
1.特征：形如“A”的图形（两条斜边被平行线截断），求角间关系，常涉及内外角结合。
2.方法：利用平行线性质与三角形内角和定理，建立顶角与底角之间的代数关系，通过方程或消元求解。
变式1-1．（24-25 八年级上·江西吉安·期中）如图，在ABC
中，沿虚线剪去
C
，若1
2
250
+=
，则
C
的度数为 ______．
【答案】70
【分析】由平角的定义得到1
2
360
CDE
CED
+
++
=
，结合1
2
250
+=
，求出
110
CDE
CED
+
=
，
再根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：如图，
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∵1
180
CDE
+
=
，
2
180
CED
+
=
，
∴1
2
360
CDE
CED
+
++
=
，
∵1
2
250
+=
，
∴
110
CDE
CED
+
=
，
∵
180
CDE
CED
C
+
+
=
，
∴
70
C
=
．
变式1-2．（2025 八年级上·全国·专题练习）探索归纳：
(1)如图1，已知
ABC
为直角三角形，
90
A
=
，若沿图中虚线剪去
A
，则1
2
+=________；
(2)如图2 ，已知
ABC
中，
60
A
=
，剪去
A
后形成四边形，则1
2
+=________；
(3)如图2 ，根据上面的求解过程，猜想1
2
+与
A
的数量关系，并证明；
(4)若
A
没有剪掉，而是把它折成如图3的形状，请猜想1
2
+与
A
的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)270
(2)240
(3) 1
2
180
A
+=
+．证明见解析
(4) 1
2
2 BAC
+=
．理由见解析
【分析】本题主要考查了折叠的性质及三角形的内角和外角之间的关系：三角形的外角等于与它不相邻的
两个内角和、三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180”这一隐含的条件．
(1)利用三角形的外角定理及直角三角形的性质求解；
( 2 )利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解；
(3)根据(1)、( 2 )中思路即可求解；
( 4 )根据折叠对应角相等，得到
AFE
PFE
=
，
AEF
LPEF
=
，进而求出1 180
2 AFE
=
−
，
2
180
2 AEF
=
−
最后利用
180
AFE
AEF
A
+
=
−即可求解．
【详解】（1）解：如图所示：
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1
90
,
2
90
A
EFA
EFA
A
AEF
AEF
= +
=
+
= +
=
+
∴
(
) (
)
1
2
90
90
180
EFA
AEF
EFA
AEF
+ =
+
+
+
=
+
+
∵ABC
为直角三角形，
90
A
=
∴
180
90
EFA
AEF
A
+
=
−=
，
∴1
2
180
90
270
+=
+
=
，
故答案为：270；
（2）如图所示：
在AEF
中，由外角性质可知：
1
,
2
A
EFA
A
AEF
= +
= +
；
∵
60
A
=
∴
(
) (
)
(
)
1
2
A
EFA
A
AEF
A
EFA
AEF
A
+ = +
+ +
= +
+
+
180
60
=
+
240
=
故答案为：240
（3）解：由(1)、(2 )中思路，由三角形外角性质可知：
1
A
EFA
= +
，
2
A
AEF
= +
；
∴
(
) (
)
1
2
A
EFA
A
AEF
+ = +
+ +
(
)
A
EFA
AEF
A
= +
+
+
180
A
=
+，
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∴1
2
+与
A
的关系是：1
2
180
A
+=
+，
故答案为：1
2
180
A
+=
+；
（4）1
2
2 A
+= ．
理由：连接AP ．
∵EFP
是由EFA
折叠得到的，
∴
AFE
PFE
=
，
AEF
PEF
=
，
∴1 180
2 AFE
=
−
，
2
180
2 AEF
=
−
，
∴
(
) (
)
(
)
1
2
180
2
180
2
360
2
AFE
AEF
AFE
AEF
+ =
−
+
−
=
−
+
，
又∵
180
AFE
AEF
A
+
=
−，
∴
(
)
1
2
360
2 180
2
A
A
+ =
−
−
= ，
∴1
2
+与
A
的关系为：1
2
2 A
+= ．
变式1-3．（25-26 八年级上·广西柳州·期中）实验与探究
某数学小组的同学发现，折纸中蕴含着许多数学问题．现有一张三角形纸片ABC ，点M，N 分别是边AC ，
BC 上的点，若沿直线MN 折叠
ABC
，点C 的对应点为点D ．
(1)若如图1所示，点D恰好在BC 边上，则1
与
ACB
的数量关系是______；
(2)若如图2 所示，点D在
ABC
内部，
35
ACB
=
，求1
2
+的度数；
(3)若如图3所示，点D在
ABC
外部，则1
，
2
和
ACB
之间有怎样的数量关系？请证明．
【答案】(1)
1
2
ACB
=
∠
∠
(2)70
(3)
2
1
2 ACB
−=
，证明见解析
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、折叠的性质、等边对等角、三角形外角的性质，添加恰当辅
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助线构造三角形是解题的关键．
（1）由折叠的性质可得
MDN
ACB
=
，再由三角形外角的性质可得出数量关系．
（2）连接CD，由折叠的性质可得
MDC
ACD
=
、
NDC
NCD
=
，再由三角形外角的性质可得出
1
2 ACD
=
、
2
2 BCD
=
，进行相加即可求解．
（3）连接CD，由折叠的性质可得
MDC
MCD
=
、
NDC
NCD
=
，再由三角形外角的性质可得出
1
2 MCD
=
、
2
2 NCD
=
，进行相减即可证明其数量关系．
【详解】（1）解：∵点D 恰好在BC 上，
∴C，D，N 三点在一条直线上，
∴1
MDN
ACB
=
+
，
由折叠可知，MD
MC
=
，
MDN
ACB
=
，
∴
1
2
ACB
=
∠
∠
，
故答案为：
1
2
ACB
=
∠
∠
．
（2）连接CD，如下图所示：
由折叠可知，MD
MC
=
，
MDC
ACD
=
，
又∵1
MDC
ACD
=
+
，
∴1
2 ACD
=
，
同理可得，
2
2 BCD
=
，
又∵
ACD
BCD
ACB
+
=
，
∴
(
)
1
2
2
2
2
2
ACD
BCD
ACD
BCD
ACB
+ =
+
=
+
=
，
∵
35
ACB
=
，
∴1
2
2 35
70
+=
=
．
（3）
2
1
2 ACB
−=
．
证明：连接CD，如下图所示：
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由折叠可知，MD
MC
=
，
∴
MDC
MCD
=
，
又∵1
MDC
MCD
=
+
，
∴1
2 MCD
=
，
同理可得，
2
2 NCD
=
，
又∵
NCD
MCD
ACB
−
=
，
∴
(
)
2
1
2
2
2
2
NCD
MCD
NCD
MCD
ACB
−=
−
=
−
=
，
∴
2
1
2 ACB
−=
．
题型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型
典例2．（25-26 七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，AD，BC 相交于点O，连接AB ，CD．
(1)求证：
A
B
C
D
+=
+
．
(2)若
57
A
=
，
35
B
=
，
60
C
=
，求
D
的度数．
【答案】(1)证明：∵
180 ,
180
A
B
AOB
C
D
COD
+ +
=
+
+
=
，
∴
180
,
180
A
B
AOB
C
D
COD
+
=
−
+
=
−
，
∵
AOB
COD
=
，
∴
A
B
C
D
+=
+
；
(2)32
【分析】（1）根据三角形内角和定理可得
180
,
180
A
B
AOB
C
D
COD
+
=
−
+
=
−
，再由对顶角相
等，即可求证；
（2）由（1）中的结论解答即可．
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【详解】（1）略
（2）解：由（1）得：
A
B
C
D
+=
+
，
∵
57
A
=
，
35
B
=
，
60
C
=
，
∴57
35
60
D
+
=
+
，
∴
32
D
=
．
题型模版
1.特征：形如“8”的图形（两条线段交叉），有一对对顶角，求角间关系或线段比例。
2.方法：利用对顶角相等与三角形内角和定理建立等式；若含平行线，则结合内错角/同位角推导角关系。
变式2-1．（25-26 八年级上·安徽安庆·期中）（1）生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1 所示的图形
我们称之为“和谐8 字形”，则
,
,
A
B
C
，
D
之间的数量关系_____．
（2）在图2 中
DAB
和
BCD
的平分线AP 和CP 相交于P 点，交叉形成了多个“和谐8 字形”，若
42
D
=
，
38
B
=
，那么
P
的度数是_____．
【答案】
A
D
C
B
+
= + 40
【分析】（1）根据三角形的内角和得到
180
(
),
180
(
)
=
−+
=
−+
AOD
A
D
COB
B
C ，由对顶角相等
即可得到结论；
（2）根据题意可得
42
38
OAD
OCB
+
+
=
，得到
4
OCB
OAD
−
=
，根据角平分线得到
1
1
1
,
3
2
2
=
=
OAD
OCB，再根据1
3
D
P
+
= +得到
1
1
3
(
)
2
= +
−=
−
+
P
D
OAD
OCB
D ，即可得到答案．
【详解】解：（1）
180
(
),
180
(
)
=
−+
=
−+
AOD
A
D
COB
B
C
而
AOD
BOC
=
，
A
D
C
B
+
= +；
（2）
42
D
=
，
38
B
=
，
42
38
OAD
OCB
+
=
+
，
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4
OCB
OAD
−
= ，
DAB
和
BCD
的平分线AP 和CP 相交于P 点，
1
1
1
,
3
2
2
=
=
OAD
OCB ，
1
3
D
P
+
= +
，
1
1
1
3
(
)
( 4 )
42
40
2
2
= +
−=
−
+
=
−+
=
P
D
OAD
OCB
D
．
变式2-2．（25-26 七年级下·山东菏泽·阶段检测）如图①，已知线段AB ，CD相交于点O，连接AC ，BD，
我们把形如这样的图形称为“8 字型”．
(1)试说明：
A
C
B
D
+
= +
；
(2)如图②，若
CAO
和
BDO
的平分线AP 和DP相交于点P，与CD，AB 相交于点M ，N ．若
100
B
=
，
120
C
=
，求
P
的度数．
【答案】(1)证明：∵
180
A
AOC
C
+
+
=
，
180
B
BOD
D
+
+
=
，
BOD
AOC
=
，
∴
A
C
B
D
+
= +
；
(2)110
【分析】（1）利用三角形内角和即可得答案；
（2）根据角平分线的定义得到
CAP
BAP
=
，BDP
CDP
=
，再由“8 字型”得到
CAP
C
CDP
P
+
=
+，
BAP
P
BDP
B
+=
+，两等式相减得到
C
P
P
B
−= −，即
(
)
1
2
P
C
B
=
+
，最后把
120
C
=
，
100
B
=
代入计算即可．
【详解】（1）略
（2）解：以M 为交点“8 字型”中，有
P
CDP
C
CAP
+
=
+
，
以N 为交点“8 字型”中，有
P
BAP
B
BDP
+
=
+
,
∴2 P
BAP
CDP
B
C
CAP
BDP
+
+
=++
+
，
∵AP
DP
、
分别平分
CAB
和
BDC
，
∴
BAP
CAP
=
，
CDP
BDP
=
，
∴2 P
B
C
= +
，
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∵
100
120
B
C
=
=
，
，
∴
(
)
(
)
1
1 100
120
110
2
2
P
B
C
=
+
=
+
=
．
变式2-3．
（2026 七年级下·上海·专题练习）如图1 的图形我们把它称为“8 字形”，显然有
A
B
C
D
+=
+
；
新定义：在图1 中，我们把AB ，CD，BC ，AD叫做“8 字形”的边，
A
，
B
，
C
，
D
叫做“8 字形”
的内角，“8 字形”的一边与其相邻边的延长线组成的角叫做外角．例如，图2 中，
BAD
，
BCD
为“8 字
形”的内角，图3 中，
BCE
，
FAD
为“8 字形”的外角．
(1)在图2 中，
BAD
的平分线和
BCD
的平分线相交于点P，若
36
B
=
，
16
D
=
，求
P
的度数．
(2)在图3 中，
BCE
的平分线和
FAD
的平分线所在直线相交于点P，猜想
P
与
B
、
D
的关系，并说
明理由．
(3)在图4 中，
BCE
的平分线和
FAD
的平分线相交于点P，猜想
P
与
B
、
D
的关系，并说明理由．
(4)在图5 中，
BCE
的平分线和
BAD
的平分线相交于点P，用
B
、
D
来表示出
P
，直接写出结论，
无需说明理由．
【答案】(1)26
(2)
2
B
D
P
+
=
，理由见解析
(3)
(
)
1
180
2
APC
ABC
ADC
=
−
+
，理由见解析
(4)
(
)
1
90
2
P
B
D
=
+
+
【分析】（1）设
BAP
PAD
x
=
= ，
BCP
PCD
y
=
=
，
x
ABC
y
P
x
P
y
ADC
+
=
+
+
=
+
解方程即可得到答案；
（2）由“8”字三角形得
B
BAO
D
BCD
+
=
+
∠
∠
∠
∠
①，
P
PAB
BAO
D
BCP
BCD
+
+
=
+
+
②，
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−
②
①，得
P
PAB
B
BCP
+
−=
，整理后可得结论；
（3）连接PB，PD根据
180
APB
PBA
PAB
+
+
=
∠
，
180
PCB
PBC
BPC
+
+
=
∠
得到
360
APC
ABC
PCB
PAB
+
+
+
=
∠
同理得到：
360
APC
ADC
PCD
PAD
+
+
+
=
∠
，再根据
=180
PCE
PCD
+
，
=180
PAB
PAF
+
∠
∠
，
FAP
PAO
=
，
PCE
PCB
=
，即可求解；
（4）根据直线AP 平分
BAD
，CP 平分
BCD
的外角
BCE
，得到
1
= 2
PAB
PAD
BAD
=
∠
，
1
= 2
PCB
PCE
PCD
=
∠
从而可以得到
(
)
180
2
PAB
PCB
D
B
−
+
+
=
，再
根据
P
PAD
PCD
D
+
=
+
，
BAD
B
BCD
D
+ =
+
得到
=
P
B
PAD
PCB
PAB
PCB
−
+
=
+
∠
∠
∠
即可求解．
【详解】（1）解：
AP
，CP 分别平分
BAD
，
BCD
，
∴
BAP
PAD
=
，
设
BAP
PAD
x
=
= ，
BCP
PCD
=
，
则有
x
ABC
y
P
x
P
y
ADC
+
=
+
+
=
+
，
ABC
P
P
ADC
−= −
，
(
)
(
)
1
1 36
16
26
2
2
P
ABC
ADC
=
+
=
+
=
．
（2）解：∵
BCE
的平分线和
FAD
的平分线所在直线相交于点P ，
∴
,
FAG
DAG
ECP
BCP
=
=
，
∵
B
BAO
D
BCD
+
=
+
∠
∠
∠
∠
，①
∴
180
2
180
2
B
FAG
D
BCP
+
−
=
+
−
，
∴2
2
FAG
BCP
B
D
−
= −
，
∴2
2
PAB
BCP
B
D
−
= −
，
∵
P
PAB
BAO
D
BCP
BCD
+
+
=
+
+
，②
−
②
①，得
P
PAB
B
BCP
+
−=
，
∴
PAB
BCP
B
P
−
= −，
∴(
)
2
B
P
B
D
−
= −
，
∴
2
B
D
P
+
=
．
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（3）解：连接PB
PD
，
直线AP 平分
BAD
的外角
FAD
，CP 平分
BCD
的外角
BCE
，
FAP
PAO
=
，
PCE
PCB
=
，
∵
180
APB
PBA
PAB
+
+
=
∠
，
180
PCB
PBC
BPC
+
+
=
∠
，
∴
360
APC
ABC
PCB
PAB
+
+
+
=
∠
，
同理得到：
360
APC
ADC
PCD
PAD
+
+
+
=
∠
，
∴2
720
APC
ABC
ADC
PCB
PAB
PCD
PAD
+
+
+
+
+
+
=
∠
∠
，
∴2
720
APC
ABC
ADC
PCE
PAB
PCD
PAF
+
+
+
+
+
+
=
∠
∠
，
∵
=180
PCE
PCD
+
，
=180
PAB
PAF
+
∠
∠
，
∴2
360
APC
ABC
ADC
+
+
=
，
∴
(
)
1
180
2
APC
ABC
ADC
=
−
+
．
（4）解：直线AP 平分
BAD
，CP 平分
BCD
的外角
BCE
，
1
= 2
PAB
PAD
BAD
=
∠
，
1
= 2
PCB
PCE
BCE
=
，
∴2
180
2
PAB
B
PCB
D
+=
−
+
，
∴
(
)
180
2
PAB
PCB
D
B
−
+
+
=
，
∵
P
PAD
PCD
D
BAD
B
BCD
D
+
=
+
+=
+
，
，
∴
=
P
PAD
BAD
B
PCD
BCD
+
−
−
−
∠
∠
∠
∠
∠
，
,
P
PAB
B
PCB
−
−
=
∴
P
B
PAB
PCB
−
=
+
∠
，
∴
(
)
180
2
P
B
D
B
−
−
+
= ，
即
(
)
1
90
2
P
B
D
=
+
+
．
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题型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型
典例3．（24-25 七年级下·上海青浦·期中）如图1 所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们把这
样的图形叫做“规形图”．
(1)观察“规形图”，试探究
BDC
与
A
B
C
、
、
之间的关系，并说明理由；
(2)请你直接利用以上结论，解决问题：
①如图2，小叶把一块三角尺XYZ 放置在ABC
上，使三角尺的两条直角边XY
XZ
、
恰好经过点B、C，若
36
A
=
，直接写出
ABX
ACX
＋
的结果；
②如图3，DC 平分
ADB
，EC 平分
AEB
，若
40
A =
∠
，
130
DBE
=
，求
DCE
的度数．
【答案】(1)解：
BDC
BAC
B
C
=
++
，理由是：
过点A、D 作射线AF ，
∵
,
FDC
DAC
C
BDF
B
BAD
=
+
= +
，
∴
FDC
BDF
DAC
BAD
C
B
+
=
+
++，
即
BDC
BAC
B
C
=
++
；
(2)①54；②85
【分析】（1）作射线AF ，根据三角形的外角的性质可得结论：
BDC
BAC
B
C
=
++
；
（2）①先根据三角尺可知：
90
X
=
，根据（1）的结论可得：
90
A
ABX
ACX
BXC
+
+
=
=
，从而
得结论；
②先根据（1）的结论可得：
ADB
AEB
+
的度数，由角平分线可得：
(
)
1
45
2
ADC
AEC
ADB
AEB
+
=
+
=
，从而得结论．
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【详解】（1）略；
（2）解：∵
90
BXC
=
，
由（1）知：
90
A
ABX
ACX
BXC
+
+
=
=
，
∵
36
A
=
，
∴
54
ABX
ACX
+
=
；
②∵
40 ,
130
A
DBE
=
=
，
∴
130
40
90
ADB
AEB
+
=
−
=
，
∵DC 平分
,
ADB EC
平分
AEB
，
∴
1
1
,
2
2
ADC
ADB
AEC
AEB
=
=
，
∴
(
)
1
45
2
ADC
AEC
ADB
AEB
+
=
+
=
，
∴
40
45
85
DCE
A
ADC
AEC
= +
+
=
+
=
．
题型模版
1.特征：图形似燕尾（公共顶点引出三条射线），涉及多个三角形内角与公共角的和差关系。
2.方法：利用三角形内角和定理及公共角相等，逐层建立角与角的代数关系，通过等式叠加或相减消元求解。
变式3-1．（25-26 七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，
ABE
、
ACE
的角平分线BF
CF
、
交于点F ，
已知
130 ,
30
BEC
BAC
=
=
，则
BFC
= ___________
【答案】80
【分析】连接BC ，根据三角形内角和为180，在
BEC
和ABC
中得出
50
EBC
ECB
+
=
，
150
ABC
ACB
+
=
，即可求出
ABE
ACE
+
，结合BF
CF
、
是
ABE
、
ACE
的角平分线，求出
50
FBE
FCE
+
=
，在
BFC
中，再根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：如图，连接BC ，
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在
BEC
中，
180
,
130
EBC
ECB
BEC
BEC
BEC
−
+
+
=
=
，
∴
180
180
130
50
EBC
ECB
BEC
−
−
+
=
=
=
，
在ABC
中，
180 ,
30
ABC
ACB
BAC
BAC
+
+
=
=
，
∴
180
180
30
150
ABC
ACB
BAC
−
−
+
=
=
=
，
又∵
ABC
ABE
EBC
=
+
，
ACB
ACE
ECB
=
+
，
∴
ABE
ACE
+
(
) (
)
ABC
EBC
ACB
ECB
−
−
=
+
(
) (
)
ABC
ACB
EBC
ECB
=
+
−
+
150
50
100
−
=
=
，
∵BF
CF
、
是
ABE
、
ACE
的角平分线，
∴
1
1
,
2
2
EBF
ABE
ECF
ACE
=
=
，
∴
(
)
1
50
2
FBE
FCE
ABE
ACE
+
=
+
=
，
∴在
BFC
中：
(
) (
)
50
50
100
FBC
FCB
FBE
FCE
EBC
ECB
+
=
+
+
+
=
+
=
，
∴
(
)
180
180
100
80
BFC
FBC
FCB
−
−
=
+
=
=
．
变式3-2．（25-26 七年级下·河南洛阳·期末）【模型认识】如图1，该图形长得像一个飞镖，故曰“飞镖”模型．
【初步探索】
(1)如图1，已知1
40
=
，
2
25
=
，
3
33
=
，求
4
的度数．
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【归纳结论】
(2) 1
、
2
、
3
和
4
的数量关系是________．
【深入探究】
(3)如图2 ，若
5
46
=
，
6
96
=
，
1
2
= 且
3
4
= ，直接写出
7
的度数．
【答案】(1)98
(2)
4
1
2
3
= ++
(3)146
【分析】
（1）连接AC 并延长到点E，由三角形外角的性质可得
2
BCE
BAE
=
+
∠
∠
∠
，
3
DCE
DAE
=
+
∠
∠
∠
，
则可推出
4
1
2
3
= ++，据此代入求解即可；
（2）由（1）可得答案；
（3）由（1）得
6
1
3
5
=
+
+
∠
∠
∠
∠，
7
2
4
6
= ++，求出1
3
+的度数，则可得到
2
4
+的度数，
据此可得答案．
【详解】（1）解：如图1 所示，连接AC 并延长到点E，
∴
2
BCE
BAE
=
+
∠
∠
∠
，
3
DCE
DAE
=
+
∠
∠
∠
，
∴
4
2
3
1
2
3
BCE
DCE
BAE
DAE
=
+
=
+
+
+
=
+
+
∠
∠
∠
∠
∠
∠
∠
∠
∠
∠，
∵1
40
=
，
2
25
=
，
3
33
=
，
∴
4
98
=
；
（2）解；由（1）可得
4
1
2
3
= ++；
（3）解：由（1）得
6
1
3
5
=
+
+
∠
∠
∠
∠，
7
2
4
6
= ++，
∵
5
46
=
，
6
96
=
，
∴
1
3
50
+
=
∠
∠
，
∵
1
2
= 且
3
4
= ，
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∴
2
4
1
3
50
+=
+
=
∠
∠
，
∴
7
2
4
6
50
96
146
= ++=
+
=
．
变式3-3．（24-25 七年级下·山西长治·期末）综合与探究．
问题背景：已知如图1，凹四边形ABDC ．
初探：
(1)试探究
BDC
与
A
，
B
，
C
之间的数量关系，并说明理由；
应用
(2)请你直接利用以上结论，解决下面问题．
如图2，把一块三角尺EFG 放置在ABC
上，使三角尺的两条直角边EG ，FG 恰好经过点B ，C ，若
38
A
=
，
则
ABG
ACG
+
=______；
拓展
(3)如图3，DC 平分
ADB
，EC 平分
AEB
，若
70
DAE
=
，
120
DBE
=
，求
DCE
的度数．
【答案】(1)
BDC
BAC
B
C
=
++
，理由见解析
(2)52
(3)95．
【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质以及角平分线，掌握三角形内角和定理，三角形
外角的性质以及角平分线的定义是正确解答的关键．
（1）连接AD并延长至点M ，由三角形外角的定义及性质计算即可得出结果；
（2）由（1）得
BGC
ABG
ACG
A
=
+
+，结合
38
A
=
，
90
BGC
=
，计算即可得出结果；
（3）根据角平分线的定义以及（1）、（2）的结论进行计算即可．
【详解】（1）解：
BDC
BAC
B
C
=
++
，理由如下：
如图：连接AD并延长至点M ，
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则
BDM
BAD
B
=
+ ，
CDM
CAD
C
=
+，
∵
BAC
CAD
BAD
=
+
，
BDC
BDM
CDM
=
+
，
∴
BDC
BAC
B
C
=
++
（2）解：由（1）得：
BGC
ABG
ACG
A
=
+
+，
∵
38
A
=
，
90
BGC
=
，
∴
52
ABG
ACG
BGC
A
+
=
−=
；
（3）解：由（1）可得：
DCE
A
ADC
AEC
=+
+
，
DBE
A
ADB
AEB
=+
+
，
∵DC 平分
ADB
，EC 平分
AEB
，
∴
1
2
ADC
BDC
ADB
=
=
，
1
2
AEC
BEC
AEB
=
=
，
∵
70
DAE
=
，
120
DBE
=
，
∴
50
ADB
AEB
+
=
，
∴
25
ADC
AEC
+
=
，
∴
95
DCE
A
ADC
AEC
= +
+
=
．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
一、单选题
1．（2026 年北京市门头沟区部分学校中考二模九年级数学试卷）如图，AB 和CD交于点O，AC
AB
⊥
于点
A，连接BD．若
40
B
=
，
75
D
=
，则
C
的度数是（ ）
A．25
B．30
C．35
D．40
【答案】A
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【分析】先由三角形内角和定理求出
BOD
的度数，再由对顶角相等可得
AOC
的度数，然后根据垂直的
定义得到
90
A
=
，最后根据余角的性质求解即可．
【详解】解：在
BOD
△
中，
180
180
40
75
65
BOD
B
D
=
−−
=
−
−
=
，
65
AOC
BOD
=
=
，
AC
AB
⊥
，
90
A
=
，
90
25
C
AOC
=
−
=
．
2．（25-26 七年级上·山东烟台·期中）如图，
B
C
+
与1
2
+的数量关系正确的是 （ ）
A．
1
2
B
C
+
+
B．
1
2
B
C
+
+
C．
1
2
B
C
+
= +
D．
1
2
360
B
C
+++=
【答案】C
【分析】根据三角形内角和定理得
1
2
180
A
++=
，
180
A
B
C
++
=
，即可得到结论
1
2
B
C
+= +
．
【详解】解：∵
1
2
180
A
++=
，
180
A
B
C
++
=
，
∴1
2
B
C
+= +
．
3．
（2026·广东深圳·二模）如图，从家用双面人字梯抽象出的四边形ABCD中，
35
ADC
DAB
DCB
=
=
=
，
则
ABC
的大小为（ ）
A．70
B．90
C．105
D．140
【答案】C
【分析】作射线OB ，根据三角形外角的性质进行计算即可．
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【详解】解：如图，作射线OB ，
∵
ABE
ADB
A
=
+，
CBE
CDB
C
=
+
，而
35
ADC
DAB
DCB
=
=
=
，
∴
ABC
ABE
CBE
=
+
ADB
A
CDB
C
=
++
+
ADC
A
C
=
++
35
3
=
105
=
．
二、填空题
4．
（25-26 八年级上·全国·期末）如图，把ABC
沿DE 折叠，当点A落在四边形BCED 内部时，则
A
与1
，
2
之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律：_____．
【答案】
1
2
2
A
+
=
【分析】由折叠的性质可得
AED
A ED
ADE
A DE
=
=
∠
∠
，∠
∠
，由平角的定义可推出
2
2
1
2
360
AED
ADE
+
+
+
=
∠
∠
∠
∠
，由三角形内角和定理可得
180
AED
ADE
A
+
+=
，据此可得
2
1
2
A
=+，即
1
2
2
A
+
=
．
【详解】解：由折叠的性质可得
AED
A ED
ADE
A DE
=
=
∠
∠
，∠
∠
，
∵
1 180
2
180
AED
A ED
ADE
A DE
+
+
=
+
+
=
∠
∠
∠
，∠
∠
∠
，
∴
1
2
360
AED
A ED
ADE
A DE
+
+
+
+
+
=
∠
∠
∠
∠
∠
∠
，
∴2
2
1
2
360
AED
ADE
+
+
+
=
∠
∠
∠
∠
，
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∵
180
AED
ADE
A
+
+=
，
∴2
2
2
360
AED
ADE
A
+
+ =
，
∴2
1
2
A
=+，即
1
2
2
A
+
=
．
5．（25-26 八年级上·河北保定·期末）某无人机机翼的框架结构示意图中的部分数据如图所示，小明说：“这
四个数据中有一个标错了．”经测量
,
,
A
B
BCD
所标数据正确，则图中
D
所标数据应改为___________
度．
【答案】25
【分析】本题考查了三角形外角的性质，关键是辅助线的作法；延长DC 交AB 于点E 即可．
【详解】解：延长DC 交AB 于点E ，
∵
40 ,
155
B
DCB
=
=
，
∴
155
40
115
BCE
DCB
B
=
−=
−
=
，
∵
90
A
=
，
∴
115
90
25
D
DEB
A
=
−=
−
=
，
故答案为：25 ．
6．（25-26 八年级上·浙江绍兴·期末）如图，数学活动课上，小李同学分别延长ABC
和DEF
的边，边AC 、
DF 的延长线交于点H ，边BC 、EF 的延长线交于点G ，测得
126
G
=
，
84
H
=
，则
A
B
D
E
+++
的值为______．
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【答案】210
【分析】本题考查三角形外角的性质，掌握求三角形外角的方法是解题的关键．
连接GH ，根据“三角形的外角等于与之不相邻的两个内角之和”，计算即可求解．
【详解】解：如图，连接GH ，
由图可知，
126
CGH
HGF
CGF
+
=
=
，
84
CHG
GHF
CHF
+
=
=
，
A
B
ACG
CGH
CHG
+=
=
+
，
D
E
GFD
HCF
GHF
+=
=
+
，
126
84
210
A
B
D
E
CGH
CHG
HCF
GHF
++
+=
+
+
+
=
+
=
．
故答案为：210．
三、解答题
7．（25-26 七年级下·全国·课后作业）如图，ABC
是一张纸片，把
C
沿DE 折叠，使点C 落在点C的位
置．
(1)当
45
C
=
时，求1
2
+的度数．
(2)若
C
=
，请直接写出1
2
+的度数．（用含的代数式表示）
【答案】(1)90
(2)
2
【分析】本题主要考查折叠的性质与三角形内角和定理，掌握“折叠前后对应角相等、三角形内角和为180”
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是解题的关键．
（1）根据折叠性质，CDE
CDE
，故
45
C
C
=
=
，
CED
CED
=
，
CDE
C DE
=
；
（2）根据（1）以及折叠的性质，代入求解即可．
【详解】（1）解：∵点C 沿DE 折叠落在点C，
∴CDE
CDE
，
在
CDE
△
中，
180
135
CED
CDE
C
+
=
−
=
，
1 180
2 CED
=
−
，
2
180
2 CDE
=
−
，
∴
(
)
1
2
360
2
360
2 135
90
CED
CDE
+ =
−
+
=
−
=
．
（2）解：由（1）可得：
(
)
1
2
360
2
CED
CDE
+ =
−
+
，
∵
C
=
，
∴
C
=
，
∴
180
CED
CDE
+
=
−
，
∴
(
)
1
2
360
2 180
2
+ =
−
−
=
．
8．（24-25 七年级下·甘肃天水·期末）【模型建立】（1）如图①，凹四边形ABOC ．因为酷似燕尾，所以称
之为“燕尾型”求证：
BOC
A
B
C
= ++
；
【模型应用】
（2）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示，
38
A
=
，
12
D
=
，
64
ABC
=
，
46
BCD
=
，
求椅面和椅背的夹角
AED
∠
的度数；
【模型迁移】（3）如图③，
100
ABC
=
，
130
DEF
=
，求
A
C
D
F
+
+
+的度数．
【答案】（1）
证明：连接OA，并延长，如图①所示：
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∵
BOM
是ABO
的外角，
∴
BOM
BAO
B
=
+①，
∵
COM
是AOC
的外角，
∴
COM
CAO
C
=
+②，
①+ ②，得：
BOM
COM
BAO
B
CAO
C
+
=
++
+
，
即
.
BOC
BAC
B
C
=
++
；
（2）120；（3）230
【分析】本题考查三角形的外角性质及三角形内角和定理，
（1）连接OA，并延长，如图①所示：根据三角形外角的性质即可得到结论；
（2）根据三角形内角和定理即可得到结论；
（3）连接AD，如图③所示：根据三角形外角的性质和三角形内角和定理即可得到结论．
掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
【详解】（1）略
（2）解：如图，设AB 交CD于点O，
∵
64
ABC
=
，
46
BCD
=
，
∴
180
180
64
46
70
BOC
ABC
BCD
=
−
−
=
−
−
=
，
∴
70
AOD
BOC
=
=
，
∵
38
A
=
，
12
D
=
，
由（1）知：
70
38
12
120
AED
AOD
A
D
=
++
=
+
+
=
，
∴椅面和椅背的夹角
AED
∠
的度数为120；
（3）连接AD，如图③所示：
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∵
100
ABC
=
，
130
DEF
=
，
由（1）知：
130
F
FAD
EDA
DEF
+
+
=
=
③，
100
BAD
ADC
C
ABC
+
+
=
=
④，
③+④，得：
130
100
230
F
FAD
EDA
BAD
ADC
C
DEF
ABC
+
+
+
+
+
=
+
=
+
=
，
∴
230
FAB
C
CDE
F
++
+
=
，
即
A
C
D
F
+
+
+的度数为230．
9．（25-26 八年级上·河北保定·期中）【问题背景】
研究了三角形内角和定理及其推论后，我们可以把飞镖抽象成图1 的形状，我们把这个图形
形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系．
【解决问题】
（1）如图1，探究
(
)
180
ABC
ABC
与
A
，
D
，
C
三个角之间的等量关系．
小明得出的结论是
ABC
A
D
C
= +
+
，他的证明过程如下：
证明：连接DB，并延长到点P．
……
请你将小明的证明过程补充完整．
【类比探究】
（2）如图2，
90
A
C
E
++=
，
150
B
D
+
=
，求
AFE
的度数．
【拓展延伸】
（3）如图3，AM
EN
∥
，
150
B
D
+
=
，
50
C
E
+
=
，则
MAB
的度数为______．
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【答案】（1）见解析；（2）60；（3）100．
【分析】本题考查三角形的外角性质及其应用、平行线的性质，解答的关键是利用转化的思想方法解决问
题．
（1）连接DB，并延长至点E ，利用三角形的外角求解即可；
（2）连接CF ，利用（1）中结论可得
B
A
AFC
BCF
= +
+
，D
E
EFC
DCF
= +
+
，结合已知可
求解；
（3）在直线EN 上取一点P ，连接AP ，利用（2）中结论可得1
3
100
+=
，再利用平行线的性质可得
2
3
= ，进而得到1
2 100
+=
°即可求解．
【详解】解：（1）
ABC
A
D
C
= +
+
．
证明：如图，连接DB，并延长至点E ，
∵
=
A
ADB
ABE
+
，
C
CDB
CBE
+
=
，
∵
ABC
ABE
CBE
=
+
，
∴
ABC
A
ADB
CDB
C
= +
+
+
，
∴
ABC
A
ADC
C
= +
+
；
（2）如图，连接CF ，
由（1）可知
B
A
AFC
BCF
= +
+
，
D
E
EFC
DCF
= +
+
，
∵
150
B
D
+
=
，
90
A
BCD
E
+
+
=
，
∴150
A
AFC
BCF
E
EFC
DCF
= +
+
++
+
，
∴150
90
90
AFC
EFC
AFE
=
+
+
=
+
，
∴
60
AFE
=
；
（3）如图，在直线EN 上取一点P ，连接AP ，
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由（2）可知
150
1
3
B
D
C
E
+
=
= ++
＋
，
∵
50
C
E
+
=
，
∴
1
3
100
+=
，
∵AM
EN
∥
，
∴
2
3
= ，
∴1
2 100
+=
°，
∴
100
MAB
=
．
故答案为：100．
10．（25-26 七年级下·江苏苏州·期中）如图1，已知线段AB 、CD相交于点O，连接AC 、BD，则我们把
形如这样的图形称为“8 字型”．
(1)由图1 可知：
A
+ ______
B
D
= +；
(2)如图2，若
CAB
和
BDC
的平分线AP 和DP相交于点P，与CD、AB 分别相交于点M、N．
①以线段AC 为边的“8 字型”有______个，以点O为交点的“8 字型”有______个；
②若
100
B
=
，
120
C
=
，求
P
的度数；
③若角平分线中角的关系改为“
CAB
n CAP
=
，CDB
n CDP
=
”，试探究
P
与
B
、C
之间存在的数
量关系（用含n 的等式来表示），并证明理由．
(3)如图3，在四边形ABCD中，AD
BC
，AB
CD
，若点E 是AB 延长线上的一点，DE 交CB 于点F，分
别作
FDC
、
ABC
的角平分线，两条角平分线交于点G，直线GB 交CD于点M，若
110
DFC
=
，则
DGB
=______．
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【答案】(1)
C
(2)①3，4；
②110；
③
(
)
1
n P
B
n
C
= +
−
，理由如下：
由（1）可知，
CAB
C
B
CDB
+
= +
，
∵
CAB
n CAP
=
，
CDB
n CDP
=
，
∴n CAP
C
B
n CDP
+
= +
，
(
)
1
BAP
n
CAP
=
−
，
(
)
1
BDP
n
CDP
=
−
，
∴
(
)
1
CDP
CAP
C
B
n
−
=
−
，
由（2）②可知，2 P
BAP
CDP
B
C
CAP
BDP
+
+
=++
+
，
∴
(
)
(
)
2
1
1
P
n
CAP
CDP
B
C
CAP
n
CDP
+
−
+
= +
+
+
−
，
∴
(
)
(
)
2
2
2
P
B
C
n
CDP
n
CAP
= +
+
−
−
−
(
)(
)
2
B
C
n
CDP
CAP
= +
+
−
−
(
)
2
n
B
C
C
B
n
−
= +
+
−
，
∴
(
)
1
n P
B
n
C
= +
−
．
(3)125
【分析】（1）根据对顶角相等可得
AOC
BOD
=
，再根据三角形的内角和定理求解即可得；
（2）①根据“8 字型”的定义即可得；
②根据“8 字型”的定义可得
P
CDP
C
CAP
+
=
+
，
P
BAP
B
BDP
+
=
+
，从而可得
2 P
BAP
CDP
B
C
CAP
BDP
+
+
=++
+
，再根据角平分线的定义可得
BAP
CAP
=
，
CDP
BDP
=
，
从而可得2 P
B
C
= +
，由此即可得；
③先求出n CAP
C
B
n CDP
+
= +
，
(
)
1
BAP
n
CAP
=
−
，
(
)
1
BDP
n
CDP
=
−
，从而可得
(
)
1
CDP
CAP
C
B
n
−
=
−
，再根据2 P
BAP
CDP
B
C
CAP
BDP
+
+
=++
+
计算即可得；
（3）根据平行线的性质求出
ABC
ADC
=
，设
(
)
2
0
FDC
x x
=
，则
110
2
ABC
ADC
x
=
=
+
，再根
据角平分线的定义可得
55
ABM
x
=
+
，GDM
x
=
，然后根据平行线的性质可得
125
DMG
x
=
−
，最后
根据三角形的外角性质求解即可得．
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【详解】（1）解：
180
A
C
AOC
B
D
BOD
++
= +
+
=
，
AOC
BOD
=
，
A
C
B
D
+
=
+
∠
∠
∠
∠
，
故答案为：
C
．
（2）解：①线段CD AP
,
相交于点M ，连接
,
AC DP ，这是一个“8 字型”，
线段
,
CD AB 相交于点O，连接
,
AC DB ，这是一个“8 字型”，
线段
,
CD AN 相交于点O，连接
,
AC DN ，这是一个“8 字型”，
线段
,
AB DM 相交于点O，连接
,
AM BD ，这是一个“8 字型”，
线段
,
AN DM 相交于点O，连接
,
AM DN ，这是一个“8 字型”，
故答案为：3，4；
②以M 为交点“8 字型”中，有
P
CDP
C
CAP
+
=
+
，
以N 为交点“8 字型”中，有
P
BAP
B
BDP
+
=
+
，
∴2 P
BAP
CDP
B
C
CAP
BDP
+
+
=++
+
，
∵
,
AP DP 分别平分
CAB
和
BDC
，
∴
BAP
CAP
=
，
CDP
BDP
=
，
∴2 P
B
C
= +
，
∵
100
B
=
，
120
C
=
，
∴
(
)
(
)
1
1
100
120
110
2
2
P
B
C
=
+
=
+
=
；
③ 略
（3）解：
AD
BC
，
110
DFC
=
，
110
ADF
DFC
=
=
，
180
ADC
C
+
=
，
AB
CD
∥
，
180
ABC
C
+
=
，
ABC
ADC
=
，
设
(
)
2
0
FDC
x x
=
，
110
2
ABC
ADC
x
=
=
+
，
DG
是
FDC
的角平分线，BM 是
ABC
的角平分线，
1
2
GDM
FDC
x
=
=
，
1
55
2
ABM
ABC
x
=
=
+
，
又
AB
CD
∥
，
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180
125
DMG
ABM
x
=
−
=
−
，
125
DGB
GDM
DMG
=
+
=
，
故答案为：125．
11．（25-26 八年级上·辽宁丹东·期末）【数学模型】
“8 字型”是初中数学“图形与几何”中的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．如图1，
,
AD BC
交于O点，根据“三角形内角和是180”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①
DOC
AOB
=
（对
顶角相等）；②
D
C
A
B
+
= +．
【提出问题】分别作出
BAD
和
BCD
的平分线，两条角平分线交于点E ，如图2，
E
与
D
，
B
之间
是否存在某种数量关系呢？
【解决问题】为了解决上面的问题，我们从特例开始探究．已知
BAD
的平分线与
BCD
的平分线交于点E ．
(1)如图2，
30
D
=
，
50
B =
∠
，则
E
的度数是多少呢？
易证
1
3
D
E
+=+，
4
2
B
E
+ =
+
请你完成后续的推理过程：
1
4
D
B
+ +
+ =______
CE
，AE 分别是
BCD
，
BAD
的平分线
1
2
=，
3=
4
2 E
= ______
又
30
D
=
，
50
B =
∠
E
=______度．
(2)在总结前面问题的基础上，借助图2，直接写出
E
与
D
，
B
之间的数量关系是： ______．
【类比应用】
(3)如图3，
BAD
的平分线AE 与
BCD
的平分线CE 交于点E ．
已知：
D
=
，
B
=
，(
)
则
E
=______．（用、表示）
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【答案】(1) 2
3
2
E
++，
B
D
+
，40
(2)
(
)
1
2
E
D
B
=
+
(3)
(
)
1
2
E
=
−
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识点，掌握角平分
线的性质和等量代换是解题的关键．
（1）由题意易得
1
3
D
E
+=+，
4
2
B
E
+ =
+ ，然后再两式相加后，再根据角平分线的定义进行化
简，最后将
30
D
=
、
50
B =
∠
代入计算即可；
（2）利用（1）的相关结论即可解答；
（3）如图3，延长BC 交AD于点F，由三角形外角的性质，可得
BCD
B
BAD
D
= +
+
，又由角平分
线的性质可得
1
1
2
2
ECD
ECB
BCD
EAD
EAB
BAD
=
=
=
=
，
，再代入
E
B
EAB
ECB
= +
−
进行
化简可得
(
)
1
2
E
B
D
=
−
,最后将
D
=
、
B
=
代入即可解答．
【详解】（1）解：如图2，∵
1
3
D
E
+=+，
2
4
E
B
+=+，
∴
1
4
2
3
2
D
B
E
+++= ++，
∵EC 平分
ECB
，AE 平分
BAD
，
∴1
2
3
4
=
=
，
，
∴2 E
B
D
=+，
30
D
=
，
50
B =
∠
∴
(
)
(
)
1
1 30
50
40
2
2
E
D
B
=
+
=
+
=
故答案为：2
3
2
E
++，
B
D
+
，40 ；
（2）解：由（1）可得2 E
B
D
=+，即
(
)
1
2
E
D
B
=
+
故答案为
(
)
1
2
E
D
B
=
+
；
（3）解：如图3，延长BC 交AD于F，
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∵
BFD
B
BAD
=
+
∠
∠
∠
，
∴
BCD
BFD
D
B
BAD
D
=
+
=+
+，
∵CE 平分
BCD
，AE 平分
BAD
,
∴
1
1
2
2
ECD
ECB
BCD
EAD
EAB
BAD
=
=
=
=
，
，
∵
E
ECB
B
EAB
+
= +
，
∴
1
2
E
B
EAB
ECB
B
BAE
BCD
= +
−
= +
−
(
)
(
)
1
1
2
2
B
BAE
B
BAD
D
B
D
= +
−
+
+
=
−
，
∵
D
=
，
B
=
，
∴
(
)
1
2
E
=
−
．
故答案为
(
)
1
2
E
=
−
．
12．（25-26 八年级上·全国·单元复习）阅读材料，回答下列问题：
【材料提出】
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“八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．
【探索研究】
探索一：如图1，在八字型中，探索
A
、
B
、
C
、
D
之间的数量关系为 ___________；
探索二：如图2，若
36
B
=
，
14
D
=
，求
P
的度数为 ___________；
探索三：如图3，CP 、AG 分别平分
BCE
、
FAD
，AG 反向延长线交CP 于点P ，则
P
、B
、D
之
间的数量关系为 ___________．
【模型应用】
应用一：如图4，延长BM 、CN ，交于点A，在四边形MNCB 中，设
M
=
，
N
=
，
180
+
，四
边形的内角
MBC
与外角
NCD
的角平分线BP，CP 相交于点P ，则
A
=___________（用含有和的
代数式表示），
P
=___________．（用含有和的代数式表示）
应用二：如图5，在四边形MNCB 中，设
M
=
，N
=
，
180
+
，四边形的内角
MBC
与外角
NCD
的角平分线所在的直线相交于点P ，
P
=___________．（用含有和的代数式表示）
【拓展延伸】
拓展一：如图6，若设
C
x
=
，
B
y
=
，
1
3
CAP
CAB
=
，
1
3
CDP
CDB
=
，试问
P
与
C
、
B
之间
的数量关系为 ___________．（用x 、y 表示
)
P
拓展二：如图7，AP 平分
BAD
，CP 平分
BCD
的邻补角
BCE
，猜想
P
与
B
、
D
的关系，直接写
出结论 ___________．
【答案】探索一：
A
B
C
D
+=
+
，探索二：25；探索三：
2
B
D
P
+
=
；应用一：
180
+
−
，
180
2
+
−
；应用二：180
2
−
−
；拓展一：
2
3
x
y
P
+
=
；拓展二：2
180
P
B
D
−
−
=
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，角平分线定义，熟练掌握三角形内角和定理是
解题关键．
探索一：根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解；
探索二：根据角平分线的定义可得
BAP
DAP
=
，BCP
DCP
=
，结合（1）的结论可得2 P
B
D
=+
，
再代入计算可求解；
探索三：运用探索一和探索二的结论即可求得答案；
应用一：如图4，延长BM ，CN ，交于点A，利用三角形内角和定理可得
180
A
=
+
−
，再运用角平分
线定义及三角形外角性质即可求得答案；
应用二：如图5，延长MB 、NC ，交于点A，设T 是CB 的延长线上一点，R 是BC 延长线上一点，利用应
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用一的结论即可求得答案；
拓展一：运用探索一的结论可得：
P
PAB
B
PDB
+
=+
，
P
CDP
C
CAP
+
=
+
，
B
CDB
C
CAB
+
=
+
，再结合已知条件即可求得答案；
拓展二：运用探索一的结论及角平分线定义即可求得答案．
【详解】探索一：如图1，
180
AOB
A
B
COD
C
D
++=
+
+
=
，
AOB
COD
=
，
A
B
C
D
+
=
+ ，
故答案为
A
B
C
D
+=
+
；
探索二：如图2，
AP
、CP 分别平分
BAD
、
BCD
，
1
2
=，
3
4
= ，
由（1）可得：1
3
B
P
+= +，
2
4
P
D
+=+
，
B
P
P
D
−
=
−
，
即2 P
B
D
=+
，
36
B
=
，
14
D
=
，
25
P
=
，
故答案为25；
探索三：由①
2 1
2 3
D
B
+ = + ，
由②2
2 3
2
2 1
B
P
+ = + ，
①+ ②得：
2
2 1 2 3
2 3
2
2 1
D
B
B
P
+ + + = + + +
2
2
D
B
P
B
+
=
+ ．
2
B
D
P
+
=
．
故答案为：
2
B
D
P
+
=
．
应用一：如图4，由题意知延长BM 、CN ，交于点A，
M
=
，
N
=
，
180
+
，
180
AMN
=
−
，
180
ANM
=
−
，
(
)
(
)
180
180
180
180
180
A
AMN
ANM
=
−
+
=
−
−
+
−
=
+
−
；
BP
、CP 分别平分
ABC
、
ACB
，
1
2
PBC
ABC
=
，
1
2
PCD
ACD
=
，
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PCD
P
PBC
= +
，
(
)
1
1
180
2
2
2
P
RFPCD PCD
PBC
ACD
ABC
A
+
−
=
−
=
−
=
=
，
故答案为：
180
+
−
，
180
2
+
−
；
应用二：如图5，延长MB 、NC ，交于点，设T 是CB 的延长线上一点，R 是BC 延长线上一点，
M
=
，
N
=
，
180
+
，
180
A
=
−
−
，
BP
平分
MBC
，CP 平分
NCR
，
BP
平分
ABT
，CP 平分
ACB
，
由应用一得：
1
180
2
2
P
A
−
−
=
=
，
故答案为：180
2
−
−
；
拓展一：如图6，由探索一可得：
,
P
PAB
B
PDB
P
CDP
C
CAP
+
= +
+
=
+
，
B
CDB
C
CAB
+
=
+
，
C
x
=
，
B
y
=
，
1
3
CAP
CAB
=
，
1
3
CDP
CDB
=
，
CDB
CAB
C
B
x
y
−
=
−
=
−
，
2
3
PAB
CAB
=
，
2
3
PDB
CDB
=
，
2
2
3
3
P
CAB
B
CDB
+
= +
，
1
1
3
3
P
CDB
C
CAB
+
=
+
，
(
)
(
)
1
1
4
2
2
3
3
3
x
y
P
C
B
CDB
CAB
x
y
x
y
+
=
++
−
=
+
+
−
=
，
2
3
x
y
P
+
=
，
故答案为：
2
3
x
y
P
+
=
；
拓展二：如图7，
AP
平分
BAD
，CP 平分
BCD
的邻补角
BCE
，
1
2
PAD
BAD
=
，
1
90
2
PCD
BCD
=
+
，
由探索一得：①
B
BAD
D
BCD
+
=
+
，②
P
PAD
D
PCD
+
=
+
，
②2
得：③2
2
180
P
BAD
D
BCD
+
=
+
+
，
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③- ①，得：2
180
P
B
D
−
=
+
，
2
180
P
B
D
−−
=
，
故答案为：2
180
P
B
D
−
−
=
．
