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1 / 40 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题02 三角形的内角与外角 常考题型·精准突破 题型1 三角形内角和定理的证明（重） 题型2 与平行线有关的三角形内角和问题（重） 题型3 与角平分线有关的三角形内角和问题（高频） 题型4 与三角形折叠中的角度问题（难） 题型5 三角形内角和定理的应用（重） 题型6 三角形的外角的定义与性质（高频） 题型7 三角形内角和与外角和综合问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 三角形内角和定理的证明 1．（25-26 七年级下·广东佛山·期末）学习完七年级下册第86 页“三角形内角和定理”后，小华发现：不通过 撕、拼的方法，而是在ABC 的顶点A处，通过尺规作图添加适当辅助线，也可说明 180 A B C ++ = (1)请在图中用尺规作图作出所需辅助线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)根据所作辅助线，完成下面的证明过程． 如图，在ABC 中，过点A作直线MN BC ∥ ， 根据_____________________________ 得到 B = _________， C = _________， 根据平角定义，_________ BAC + +_________ = _________， 因此， 180 B BAC C + + = ，即 180 A B C ++ = ． 【答案】(1)如图所示，直线MN 即为所求 2 / 40 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)如图，在ABC 中，过点A作直线MN BC ∥ ， 根据两直线平行，内错角相等， 得到 B MAB = ， C NAC = ， 根据平角定义， 180 MAB BAC NAC + + = ． 因此， 180 B BAC C + + = ，即 180 A B C ++ = 【分析】（1）根据作一个角等于已知角，作出辅助线即可； （2）利用平行线的性质及平角的定义可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 2．（25-26 八年级下·宁夏银川·期末）问题解决 问 题 三角形内角和为什么等于180 问 题 提 出 如图1，通过裁剪，将三角形纸片的三个角拼成一个平角，从而验证猜想：然而实 验会存在误差．不符合数学的严谨性．是否可以通过逻辑推理来说明三角形内角和 等于180呢？ 思 路 启 迪 从逻辑推理的角度思考：有什么方法（知识点）使角可以"移动"、组成一个平角呢？ 尝 试 思 考 请过三角形的顶点A 添加辅助线．使角“移动”到合适位置．便于说明三角形内角和 等于180．要求如下： 1．用两种不同的方法对图2、图3 添加辅助线；2．用简短、专业的数学语言对添 加辅助线的操作进行描述． 3 / 40 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 逻 辑 说 理 在上述图形中，选择其中一种方法，说明三角形内角和等于180的理由． 触 类 旁 通 小华同学通过思考，发现在ABC 边AB 上任意取一点P （不与点A、B 重合）．如 图4，添加合适的辅助线，也能说明“三角形内角和定理”． (1)完成“尝试思考”中的操作与描述； 方法一：如图2，延长BA至点D ，过点A作___________、利用平行线的性质得到 B DAE C EAC = = 、 即可求解． 方法二：如图3，过点A作DE BC ∥ ，利用平行线的性质得到___________． 再利用平角定义和等量代换可得结论：_________． (2)写出“逻辑说理”中的说理过程：选择图___________，证明过程如下： (3)写出“触类旁通”中的说理过程．（在图4 画出图形，写出证明过程） 【答案】(1) AE BC ∥ ． 1 3 B C = = 、 ，ABC 内角和为180． (2)选择图2，证明过程如下： 4 / 40 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵AE BC ∥ ， ∴ B DAE = ， C EAC = ， 又∵ 180 BAC DAE EAC + + = ， ∴ 180 BAC B C ++ = ， 即ABC 内角和为180； 选择图3，证明过程如下： ∵DE BC ∥ ， ∴ 1 B = ， 3 = C ， 又∵1 2 3 180 ++= ， ∴ 180 B BAC C + + = ， 即ABC 内角和为180； (3)证明：过点P 作PD BC ∥ 交AC 于点D ，过点P 作PE AC ∥ 交BC 于点E ， ∵PE AC ∥ ， ∴ 1 A =， 3 C = ， ∵PD BC ∥ ， ∴ 2 B =， 3 4 = ， ∴ 4 C = ∵1 2 4 180 ++= ， ∴ 180 A B C ++ = 即ABC 内角和为180． 【分析】（1）方法一：过点A 作AE BC ∥ ，利用平行线的性质得到 B DAE = ， C EAC = 即可求解． 方法二：过点A 作DE BC ∥ ，利用平行线的性质得到 B BAD = ， C CAE = ，再利用平角定义和等量 代换可得结论； （2）根据平行线的性质进行证明即可； （3）过点P 作PD BC ∥ 交AC 于点D ，过点P 作PE AC ∥ 交BC 于点E ，由两直线平行，同位角相等，内 错角相等易证 180 A B C ++ = ． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 3．（25-26 七年级下·河南郑州·期末）【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角 5 / 40 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 形内角和为180，现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． (1)如图1，过ABC 的顶点A作BC 的平行线ED，请你证明三角形的内角和为180． 证明：∵BC ED ∥ ， ∴ EAB B =， DAC =______（依据是：______） ∵ 180 EAB BAC DAC + + = （平角的定义） ∴______ ______ 180 BAC + + = （等量代换） 即三角形的内角和为180． 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用】 (2)我国一直提倡“绿色环保、低碳生活”，健康骑行越来越受到老百姓的喜欢．自行车的示意图如图2 ，其中 // AB CD ，请你求 AEC ， EAB ， ECD 这三个角的关系； 【学以致用】 (3)如图3是超市购物车，图4 是其侧面示意图，已知 // AB CD ，FD CD ⊥ ，测量得知 70 ABE = ， 90 BEF = ， 则 DFE =______． 【答案】(1) C ；两直线平行，内错角相等； B ； C (2) EAB ECD AEC + = (3)110 【分析】（1）根据平行线的性质，补全证明过程即可； （2）由平行线的判定和性质，可得 EAB AEH = ，ECD HEC = ，等量代换即可得 AEC ，EAB ，ECD 这三个角的关系； （3）作EN AB ∥ ，MF CD ∥ ，由平行线的性质可得 70 BEN = ， 20 FEN = ，据此计算即可求解． 【详解】（1）略 （2）解： EAB ECD AEC + = ， 过点E 作EH AB ， 6 / 40 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵ // AB CD ， ∴EH CD ∥ （平行于同一直线的两条直线平行）， ∴ EAB AEH = ， ECD HEC = （两直线平行，内错角相等）， ∴ EAB ECD AEH CEH + = + （等量代换） 即 EAB ECD AEC + = ； （3）解：如图，作EN AB ∥ ，则 B BEN A E = ， ∵ 70 ABE = ， ∴ 70 BEN = ， ∵ 90 BEF = ， ∴ 90 20 NEF BEN = − = ， 作MF CD ∥ ，则 180 MFD D + = ， ∵AB CD ，EN AB ∥ ，MF CD ∥ ， ∴EN MF ∥ ， ∴ 20 EFM NEF = = ， ∴ 90 20 110 DFE = + = ． ◆题型2 与平行线有关的三角形内角和问题 4． （25-26 七年级下·山东济南·期中）如图，四边形ABCD中，点G 是BC 上一点，过点G 作 , GE AB GF CD ∥ ∥ ， 若 123 A D + = ，则 EGF = °． 【答案】57 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等． 首先根据平行线的性质得到 GEF A = ， GFE D = ，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵GE AB ，GF CD ∥ ， 7 / 40 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ GEF A = ， GFE D = ， ∵ 123 A D + = ， ∴ 123 GEF GFE A D + = + = ， ∴ ( ) 180 180 123 57 EGF GEF GFE = − + = − = ． 故答案为：57． 5．（25-26 七年级下·重庆秀山·期末）如图，在三角形ABC 中，CD平分 ACB 交AB 于点D ，过点D 作 DE BC ∥ 交AC 于点E，DG 平分 BDE 交BC 于点G ，点F 为线段CG 上一点．若 30 DCE = ，则 EDC = ；若 DFC DEC = ， A = ，则 GDC = ． 【答案】 30 2 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理． 根据题意得 ACD BCD = ，得到 1 2 B EDC BCD AC = = ，得出 1 2 GDC EDC EDB + = ，继而得到 2 180 GDC ACB B + += ，得到 2 GDC = ，即可得到答案． 【详解】解：CD平分 ACB ， ACD BCD = ， ∵DE BC ∥ ， 1 30 2 EDC BCD DCE ACB = = = = ， 180 B BDE + = ， DG 平分 BDE ， 1 2 EDG EDB = ， 1 2 GDC EDC EDB + = ， 1 2 180 2 GDC ACB B + + = ， 即2 180 GDC ACB B + += ， 180 A B ACB ++ = ， A = ， 180 B ACB + = − ， ( ) 2 180 180 GDC + − = ， 2 GDC = ， 8 / 40 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 GDC = ， 故答案为：30，2 ． 6．（25-26 七年级下·河北廊坊·月考）已知：如图，BF 平分 ABD ，DE 平分 BDC 交BF 于点E ，BF 交CD 于点 , 1 3 F = ． (1)请说明AB CD ∥ 的理由； (2)若 2 25 = ，求 3 的度数； (3)若 140 ABD = ，求证：DE BF ⊥ ． 【答案】(1)见解析； (2)65 (3)见解析 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理的运用，掌握以上知识，数形 结合分析是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到 1 ABF = ，等量代换得到 3 ABF = ，由内错角相等，两直线平行即可求 解； （2）根据角平分线的定义得到 2 2 50 BDF = = ，由三角形内角和定理即可求解； （3）根据两直线平行，同旁内角互补得到 180 ABD BDC + = ，结合角平分线的定义得到 1 1 90 2 2 ABD BDC + = ，1 2 90 += ，由此即可求解． 【详解】（1）解： BF 平分 ABD ， 1 ABF =． 1 3 = ， 3 ABF =， AB CD ∥ ： （2）解： DE 平分 BDC ， 2 25 = ， 2 2 50 BDF = = ， 1 3 180 , 1 3 BDF + + = = ， ( ) 1 3 180 65 2 BDF = − = ； 9 / 40 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （3）证明：由( ) 1 得AB CD ∥ ， 180 ABD BDC + = 1 1 90 2 2 ABD BDC + = ， BF 平分 ABD DE , 平分 BDC ， 1 2 90 += ， 90 BED = ， DE BF ⊥ ． ◆题型3 与角平分线有关的三角形内角和问题 7．（25-26 八年级上·全国·假期作业）如图，在△ABC 中，点O是 ABC 内部 ABC 的平分线上一点，连接 OC ，点P 是 BOC 、 OCB 平分线的交点，若 100 P = ，则 ABC 的度数为 °． 【答案】40 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线，掌握相关知识是解题的关键．先求出 POC PCO + 的度数，进一步得到 BOC BCO + 的度数，据此得到 OBC 的度数，最后根据角平分线的定义即可解决问 题． 【详解】解：由题知， ∵点P 是 BOC 、 OCB 平分线的交点， ∴ 2 BOC POC = ∠ ∠ ， 2 BCO PCO = ， ∴ ( ) 2 BOC BCO POC PCO + = + ． ∵ 100 P = ， ∴ 80 POC PCO + = ， ∴ 2 80 160 BOC BCO + = = ． ∵ 180 OBC BOC BCO + + = ， ∴ 20 OBC = ． ∵点O是 ABC 内部 ABC 的平分线上一点， ∴ 2 40 ABC OBC = = ． 故答案为：40 8．（25-26 八年级上·四川广元·期中）如图，已知 ABC 中， 40 B = ，与 BAC ， ACB 相邻的外角的角 10 / 40 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 平分线交于点D，则 D 的度数为 ． 【答案】70/70 度 【分析】本题考查了三角形外角的性质与角平分线的定义，解题的关键是利用三角形内角和及外角和的关 系，结合角平分线表示出相关角的度数． 先根据三角形外角的性质，用 B 表示出 BAC 与 ACB 的外角和；再结合角平分线的定义，求出 D 所 在三角形的内角和，进而得出 D 的度数． 【详解】解：在 ABC 中， 40 B = ， 故 180 40 140 BAC ACB + = − = ∴ (180 ) (180 ) 360 140 220 MAC NCA BAC ACB + = − + − − = = ， ∵AD CD 、 是外角平分线， 1 1 , 2 2 DAC MAC DCA NCA = = ， ∴ ( ) 1 1 220 110 2 2 DAC DCA MAC NCA + = + = = ， 故 ( ) 180 180 110 70 D DAC DCA = − + = − = ． 故答案为：70． 9．（25-26 八年级上·山东日照·期中）如图， DAB 和 BCD 的平分线AP 和CP 相交于P 点，交叉形成了多 个“和谐8 字形”，若 42 D = ， 38 B = ，那么 P 的度数是 ． 【答案】40/40 度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解 题的关键． 利用三角形的内角和定理表示出 AOD 与 BOC ，再根据对顶角相等可得 AOD BOC = ，从而可得 DAO D B BCO + = + ，代入数据可得： 4 OCB OAD − = ，根据角平分线定义，得出 1 1 2 OAD = ， 1 3 2 OCB = ，然后利用“8 字形”的关系式结合角平分线列式整理即可得解． 【详解】解：∵ 180 DAO D AOD + + = ， 180 BCO B BOC ++ = ， 又∵ AOD BOC = ， 11 / 40 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ DAO D B BCO + = + ， ∵ 42 D = ， 38 B = ， ∴ 42 38 OAD OCB + + = ， ∴ 4 OCB OAD − = ， ∵AP 、CP 分别是 DAB 和 BCD 的角平分线， ∴ 1 1 2 OAD = ， 1 3 2 OCB = ， 又∵1 3 D P + = +， ∴ ( ) ( ) 1 1 1 3 4 42 40 2 2 P D OAD OCB D = + −= − + = −+ = ； 故答案为：40． ◆题型4 与三角形折叠中的角度问题 10．（25-26 八年级上·山西朔州·期中）如图，在 ABC 中， ABC 、 ACB 的平分线交于点P，将 ABC 沿 DE 折叠使得点A 与点P 重合，若 76 BDP CEP + = ，则 BPC 的度数是 ． 【答案】109 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，找出角度之间的数量关系是解题 关键．由折叠的性质可知，ADE PDE = ，AED PED = ，则 ( ) 360 2 BDP CEP ADE AED + = − + ， 从而得出 142 ADE AED + = ，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可知， ADE PDE = ， AED PED = ， 180 BDP PDE ADE + + = ， 180 CEP PED AED + + = ， ( ) 180 180 360 2 BDP CEP PDE ADE PED AED ADE AED + = − − + − − = − + ， 76 BDP CEP + = ， ( ) 360 2 76 ADE AED − + = ， 142 ADE AED + = ， ( ) 180 38 A ADE AED = − + = ， 180 142 ABC ACB A + = −= ， ABC 、 ACB 的平分线交于点P， 12 / 40 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 2 CBP ABC = ， 1 2 BCP ACB = ， ( ) 1 71 2 CBP BCP ABC ACB + = + = ， ( ) 180 109 BPC CBP BCP = − + = ， 故答案为：109． 11．（2026 七年级下·全国·专题练习）如图，有一张三角形纸片ABC， 30 B = ， 50 C = ，D 是AB 边上 的固定点（ 1 2 BD AB ）．E 为BC 上一点，将纸片沿DE 折叠（DE 为折痕），使点B 落在点F 处，EF 与三角 形ABC 的一边平行．此时 BED 的度数为 ． 【答案】75或25或115 【分析】此题考查的是翻折变换和平行线的性质，掌握其性质是解决此题的关键． 分三种情况：①当BD EF 时，②当AC EF 时， 50 C BEF = = ，③当AC EF 时， 50 C CEF = = ， 根据折叠性质、平行线的性质即可解决问题． 【详解】解：分三种情况讨论： ①如图①，当BD EF ∥ 时， 由折叠可知， 30 B F = = ， BED DEF = ． ∵BD EF ∥ ， ∴ 30 B CEF = = ， ∴ 180 30 150 BEF = − = ， ∴ 1 1 150 75 2 2 BED DEF BEF = = = = ； ②如图②，当AC EF ，且点F 在BC 上面时， 50 C BEF = = ， 13 / 40 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 1 1 50 25 2 2 BED FED BEF = = = = ； ③如图③，当AC EF ，且点F 在BC 下面时， 50 C CEF = = ， ∴ 180 180 (180 ) BGD EGF CEF F = − = − − − 50 30 80 CEF F CEF B = + = + + = = ， ∴ 180 80 30 70 BDG = − − = ， ∴ 1 1 70 35 2 2 BDE BDG = = = ， ∴ 180 180 30 35 115 BED B BDE = −− = − − = ． 综上所述， BED 的度数为75或25或115． 故答案为：75或25或115． 12．（2025 八年级上·全国·专题练习）如图，在折纸活动中，小明制作了一张三角形纸片ABC，点D，E 分 别在边AB，AC 上．将 ABC 沿着DE 所在直线折叠并压平，使点A 与点N 重合． (1)若 35 , 60 B C = = ，求 A 的度数． (2)若 70 A = ，求1 2 +的度数． 【答案】(1)85 (2)140 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，平角的意义，渗透整体思想，掌握三角形的 内角和180是解决问题的关键． （1）直接利用三角形的内角和求得答案即可； （2）根据三角形的内角和等于180求出 ADE AED + ，再根据翻折变换的性质可得． NDE ADE NED AED = = ， ，然后利用平角等于180列式计算即可得解． 【详解】（1）解： 35 60 B C = = ， ， 180 180 35 60 85 A B C = −− = − − = ． （2）解： 70 A = ， 14 / 40 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 180 70 110 ADE AED + = − = ． 由题意，得 NDE ADE NED AED = = ， ， ( ) ( ) 1 2 180 180 360 2 110 140 NDE ADE NED AED + = − + + − + = − = ． ◆题型5 三角形内角和定理的应用 13．（25-26 八年级上·辽宁朝阳·期末）如图，将一副分别含30，45角的直角三角板叠放在一起，30角的 顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M．如果 115 ADF = ，那么 BMD 为 度． 【答案】100 【分析】本题考查三角形的内角和定理，根据平角的定义，求出 BDM 的度数，再根据三角形的内角和定 理，进行求解即可． 【详解】解：由题意， 30 EDF = ， 45 B = ， ∵ 115 ADF = ， ∴ 180 35 BDE ADF EDF = − − = ， ∴ 180 100 BMD BDE B = − −= ； 故答案为：100． 14．（25-26 八年级上·广西崇左·月考）赤道式日晷是中国古代最经典和传统的计时仪器，由底座、晷面、晷 针三部分组成，其中底座面与日晷所处地地球半径垂直： 如图2，日晷所处纬度为39.8，若太阳光（平行光）与日晷底座夹角为60，则太阳光和该晷面所夹锐角 角度为 ． 【答案】9.8 【分析】本题主要考查三角形内角和、对顶角、平行线的性质及垂线的定义，熟练掌握三角形内角和、对 顶角、平行线的性质及垂线的定义是解题的关键；设晷面OA与太阳光MC 交于点A，延长FC 交AO 于E， 日晷底座为DC ，点N 在OA的延长线上，由题意易得 180 140.2 AEC = − = ， 90 ECD DCF = = ， 15 / 40 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 然后根据三角形内角和及对顶角相等可进行求解． 【详解】解：如图2，晷面OA与太阳光MC 交于点A，延长FC 交AO 于E，日晷底座为DC ，点N 在OA的 延长线上， 由题意得： 60 , 39.8 ACD = = ， ∵晷面与赤道平行， ∴ 180 140.2 AEC = − = ， ∵日晷底座与日晷所处地地球半径垂直， ∴ 90 ECD DCF = = ， ∴ 30 ACE ECD ACD = − = ， ∴ 180 9.8 EAC AEC ACE = − − = ， ∴ 9.8 MAN EAC = = ， 即太阳光与该晷面所夹锐角角度为9.8， 故答案为：9.8． 15．（24-25 七年级下·湖北襄阳·月考）如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点O 并垂直于反射面的 直线ON 叫做法线，入射光线与法线的夹角i 叫做入射角，反射光线与法线的夹角r 叫做反射角，反射角 ．．．r = 入射角 ．．．i，这就是光的反射定律．一束光线m 射到平面镜PQ 上，被PQ 反射后的光线为n，则入射光线m、 反射光线n 与平面镜PQ 所夹的锐角为1 和 2 ． (1)①实验证明，1 2 = ，请你用数学知识 ．．．．解释这一结论成立的原因：_____________．利用这个规律人们 制作了潜望镜． 16 / 40 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ②图2 是潜望镜工作原理示意图，AB 、CD是平行放置的两面平面镜．已知光线沿直线m 进入潜望镜，最 后沿直线n 射出，求证：m n ∥． (2)显然，改变两面平面镜AB 、CD之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m 与反射光线n 之间的位 置关系会随之改变． 如图3，一束光线m 射到平面镜AB 上，被AB 反射到平面镜CD上，又被CD反射．若被CD反射出的光线 n 和光线m 平行，且1 48 = ，则 6 =______°， ABC = ______°． (3)请你猜想：图3 中，当两平面镜AB 、CD的夹角 ABC = ______°时，可以使任何入射光线m 经过平面镜 AB 、CD的两次反射后，与反射光线n 平行． 【答案】(1)①等角的余角相等；②见解析 (2)96，90 (3)90，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是 解题关键． （1）①由垂直得到 90 NOP NOQ = = ，则 1 2 90 i r += += ，即可由等角的余角相等得到1 2 = ； ②先根据平行线的性质可得 2 3 = ，从而可得 5 6 = ，再根据平行线的判定即可得证； （2）先求出 5 84 = ，再根据平行线的性质可得 6 96 = ，从而可得 3 4 42 = = ，然后根据三角形的内 角和定理求解即可得； （3）先根据平行线的性质可得 5 6 180 += ，从而可得1 2 3 4 180 +++= ，据此可得 2 3 90 + = ∠ ∠ ， 然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】（1）解：①∵NO PQ ⊥ ， ∴ 90 NOP NOQ = = ， ∵ i r = ， 1 2 90 i r += += ∴1 2 = （等角的余角相等）， 故答案为：等角的余角相等； ②证明：∵AB CD ∥ ， 2 3 = ， 1 2 = ， 3= 4 ， 1 2 3 4 = = = ， 180 1 2 180 3 4 −−= −−，即 5 6 = ， ∴m n ∥． （2）解：由题意得，1 2 48 = = ， 3= 4 ， 5 180 1 2 84 = −−= ， ∵m n ∥， 6 180 5 96 = −= ， 17 / 40 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( ) 1 3 4 180 6 42 2 = = − = ， 180 2 3 180 48 42 90 ABC = −−= − − = ， 故答案为：96，90． （3）解：当 90 ABC = 时，可以使任何入射光线m 经过平面镜AB 、CD的两次反射后，与反射光线n 平 行，理由如下： 由题意可知，1 2 = ， 3= 4 ， ∵m n ∥， 5 6 180 + = ， 1 5 2 3 6 4 360 +++++= ， ∴1 2 3 4 180 +++= ， 2 2 2 3 180 + = ，即 2 3 90 + = ∠ ∠ ， ( ) 180 2 3 90 ABC = −+ = ， 故答案为：90． ◆题型6 三角形的外角的定义与性质 16．（25-26 七年级上·河南周口·期末）如图，点D 在线段BC 的延长线上，CE 平分 ACD ，若 60 A = ， AB CE ∥ ，则 B 的度数是 ． 【答案】60/60 度 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质． 由平行线的性质得 60 ACE A = = ，由角平分线的定义得 2 120 ACD ACE = = ，然后利用三角形外角的 性质求解即可． 【详解】解：∵ 60 A = ，AB CE ∥ ， ∴ 60 ACE A = = ， ∵CE 平分 ACD ， ∴ 2 120 ACD ACE = = ， ∵ ACD 是 ABC 的外角， ∴ 120 60 60 B ACD A −= − = = ． 故答案为：60． 18 / 40 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 17．（25-26 八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图， ABC ADE △ ≌△ ，BC 的延长线交DA于F ，交DE 于G ， 若 25 D = ， 105 E = ， 20 DAC = ，则 DGB = 度． 【答案】70/70 度 【分析】本题考查全等三角形的性质、三角形的内角和定理，灵活运用三角形内角和定理是解题的关键． 根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：∵ABC ADE ≌ ， ∴ 105 ACB E = = ， ∴ 180 105 75 ACF = − = ， 在ACF 和DGF 中， D DGB DAC ACF + = + ， 即25 20 75 DGB + = + ， 解得 70 DGB = ． 故答案为：70． 18．（25-26 八年级上·山西吕梁·期中）如图， DBC 与 ECB 是 ABC 的外角， 1 OBC DBC n = ， 1 OCB ECB n = ，若 A = ，则 O = ．（用含n 、的式子表示） 【答案】 ( ) 180 1 n n − − 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，根据三角形外角的性质可得 ( ) 360 DBC ECB ABC ACB + = − + ，结合三角形内角和定理可得 180 DBC ECB + = + ，再求出 180 OBC OCB n + + = ，则由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵ DBC 与 ECB 是 ABC 的外角， ∴ 180 , 180 DBC ABC ECB ACB = − = − ， ∴ ( ) 360 DBC ECB ABC ACB + = − + ， ∵ 180 ACB A ABC ++ = ， A = ， 19 / 40 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 180 ABC ACB + = − ， ∴ ( ) 360 180 180 DBC ECB + = − − = + ， ∵ 1 OBC DBC n = ， 1 OCB ECB n = ， ∴ ( ) 1 1 1 180 OBC OCB DBC ECB DBC ECB n n n n + + = + = + = ， ∴ ( ) ( ) 180 1 180 n O OBC OCB n − − = − + = ， 故答案为： ( ) 180 1 n n − − ． ◆题型7 三角形内角和与外角和综合问题 19． （25-26 八年级上·河北衡水·期中）在 ABC 中，D 是BC 边上的一点，1 2 = ，3= 4 ， 75 BAC = ． (1)求 DAC 的度数； (2)若BC a = ，DC b = ，试用a、b 表示 ADC △ 的周长． 【答案】(1)40 (2) 2a b − 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，等角对等边，掌握三角形内角和定理 是解题的关键． （1）利用外角性质用 2 表示出 3 ，由三角形内角和定理得出 2 的度数，由此得出结论． （2）先求出BD AD a b = = −，利用等角对等边求出AC AD a b = = − ，即可求出 ADC △ 的周长． 【详解】（1）∵1 2 = ， ∴ 3 4 2 2 = = ， ∵ 2 4 180 BAC ++ = ， ∴3 2 75 180 + = ， ∴ 2 35 = ， ∴ 1 35 = ． ∴ 1 75 35 40 DAC BAC = −= − = ； （2）∵1 2 = ， ∴AD BD = ， ∵BC a = ，DC b = ， 20 / 40 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴BD AD a b = = −， ∵ 3 4 = ， ∴AC AD a b = = − ， ∴ ADC △ 的周长为： 2 a b a b b a b −+ −+ = −． 20．（25-26 八年级上·江西上饶·月考）如图1，点A，B 分别在射线OM ，ON 上运动（不与点O重合），AC ， BC 分别是 BAO 和 ABO 的平分线，延长BC 交OM 于点G ． (1)若 60 O = ，求 ACG 的度数； (2)如图2，若 72 O = ，过点C 作CF OA ∥ 交AB 于点F ，求 BGO 与 ACF 的数量关系． 【答案】(1) 60 ACG = (2) 54 BGO ACF − = 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形外角的性质和内角和定理，熟练应用三角形 外角性质是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到 60 ABC BAC + = ，再根据三角形的外角性质求出 ACG 的度数； （2）根据角平分线的定义得到 108 ABC BAC + = ，再根据三角形的外角性质求出 54 ACG = ，根据平 行线的性质得到ACF CAG ，进而得到 54 BGO ACF − = ． 【详解】（1）解： 60 O = ， 120 ABO BAO + = ， AC ，BC 分别是 BAO 和 ABO 的平分线， 1 2 BAC OAC BAO = = ， 1 2 ABC OBC ABO = = ， ( ) 1 60 2 ABC BAC ABO BAO + = + = ， 60 ACG ABC BAC = + = ． （2） 72 O = ， 108 ABO BAO + = ， AC ，BC 分别是 BAO 和 ABO 的平分线， 1 2 BAC OAC BAO = = ， 1 2 ABC OBC ABO = = ， 21 / 40 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( ) 1 54 2 ABC BAC ABO BAO + = + = ， 54 ACG ABC BAC = + = ， CF OA ∥ ， ACF CAG ， 54 BGO ACF BGO CAG ACG − = − = = ， 故 BGO 与 ACF 的数量关系为 54 BGO ACF − = ． 21．（25-26 八年级上·全国·期末）如图， ABC 中， ABC 的角平分线与外角 ACD 的平分线交于 1A ． (1)如图1，若 70 A = ，则 1A = ． (2)如图2 ，四边形ABCD中，ABC 的角平分线及外角 DCE 的角平分线相交于点F ，若 230 A D + = ， 求 F 的度数． (3)如图3， ABC 中， ABC 的角平分线与外角 ACD 的角平分线交于 1A ，若E 为BA延长线上一动点， 连接EC ， AEC 与 ACE 的角平分线交于点Q ，当E 滑动时有下面两个结论： 1 Q A + ① 的值为定值； 1 Q A − ② 的值为定值； 其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值． 【答案】(1)35 (2)25 (3)正确的结论是①，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义： （1）根据角平分线的定义得到 1 1 1 1 2 2 A BC ABC ACD ACD = = ， ，再由三角形外角的性质得到 ( ) 1 1 2 A ACD ABC = − ， 70 ACD ABC BAC − = = ，由此即可得到结论； （2）根据角平分线的定义 1 1 2 2 FBC ABC FCE DCE = = ， ，根据三角形外角的性质得到 ( ) 1 2 F DCE ABC = − ，利用四边形内角和定理得到 130 ABC BCD + = ，则 50 DCE ABC − = ，由 此即可求出 25 F = ； 22 / 40 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （3）同理可得 1 1 2 A BAC = ， 1 1 2 2 QEC AEC QCE ACE = = ， ，利用三角形内角和定理得到 ( ) 1 180 2 Q AEC ACE = − + ，再由三角形外角的性质得到 BAC AEC ACE = + ，即可得到 1 180 2 Q BAC = − ，由此即可得到结论． 【详解】（1）解：∵ 1 BA 平分 1 ABC CA ， 平分 ACD ， ∴ 1 1 1 1 2 2 A BC ABC ACD ACD = = ， ， ∵ 1 1 1 A ACD ABC = − ， ∴ ( ) 1 1 1 1 2 2 2 A ACD ABC ACD ABC = − = − ， ∵ 70 BAC = ， ∴ 70 ACD ABC BAC − = = ， ∴ 1 1 70 35 2 A = = ， 故答案为：35； （2）解：∵BF 平分 ABC CF ， 平分 DCE ， ∴ 1 1 2 2 FBC ABC FCE DCE = = ， ， ∴ ( ) 1 2 F FCE FBC DCE ABC = − = − ， ∵ 230 A D + = ， ∴ ( ) 360 130 ABC BCD A D + = −+ = ， ∴ ( ) 180 130 ABC DCE + − = ， ∴ 50 DCE ABC − = ， ∴ ( ) 1 25 2 F DCE ABC = − = ； （3）解：正确的结论是①，理由如下： 同（1）可得 1 1 2 A BAC = ， ∵EQ 平分 AEC CQ ， 平分 ACE ， ∴ 1 1 2 2 QEC AEC QCE ACE = = ， ， ∵ ( ) 180 Q QEC QCE = − + ， ∴ ( ) 1 180 2 Q AEC ACE = − + ， 23 / 40 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵ BAC AEC ACE = + ， ∴ 1 180 2 Q BAC = − ， ∵ 1 1 2 A BAC = ， ∴ 1 1 1 180 180 2 2 Q A BAC BAC + = − + = ， ∴ 1 Q A + 的值为定值，①正确，其值是180． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26 八年级下·广东佛山·期中）在Rt ABC 中， 90 , 54 C B = = ，则 A 的度数是（ ） A．56 B．46 C．36 D．26 【答案】C 【分析】利用直角三角形两锐角互余的性质即可计算求解． 【详解】解：∵在Rt ABC 中， 90 C = ∴直角三角形两锐角和为90，即 90 A B + = 又∵ 54 B = ∴ 90 54 36 A = − = ． 2．（25-26 七年级下·河南洛阳·期末）如图，在ABC 中， 100 A = ， 1 2 = ， 3 4 = ．则 1 4 + 的值 为（ ） A．45 B．60 C．50 D．40 【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理求出 ABC ACB + 的度数，再根据角平分线的定义得出 24 / 40 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 1 4 ( ) 2 ABC ACB + = + ，最后代入计算即可． 【详解】解：在ABC 中， 100 A = ， 180 180 100 80 ABC ACB A + = − = − = ， 1 2 = ， 3 4 = ， 1 1 2 ABC = ， 1 4 2 ACB = ， 1 1 1 1 4 ( ) 2 2 2 ABC ACB ABC ACB + = + = + ， 1 1 4 80 40 2 + = = ． 3．（25-26 七年级下·江西吉安·期末）空竹在中国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹 的玩法和制作方法．小洛在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图， AB CD ， 87 CDE = ， 35 DEB = ，则 ABE 的度数为（ ） A．58 B．87 C．121 D．122 【答案】D 【分析】根据平行线性质和三角形的外角性质计算即可． 【详解】解：延长AB 交DE 于点F ，如图， ∵AB CD ， ∴AF CD ∥ ， ∴ 87 CDE AFE = = ， ∵ 35 DEB = ， ∴ = ABE AFE DEB + ， ∴ 87 35 122 ABE = + = ． 4．（25-26 七年级下·北京·期末）如图所示是地球截面图，其中AB ，EF 分别表示南回归线和北回归线，CD 25 / 40 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 表示赤道，点P 表示某市的位置，现已知地球南回归线的纬度是23（ 23 BOD ＝ ），该市的纬度是北纬37 （ 37 POD ＝ ），而冬至正午时，太阳光直射南回归线（光线MB 的延长线经过地心O），则该市冬至正午 时，太阳光线与地面水平线PQ 的夹角的度数是（ ） A．23 B．29 C．30 D．36 【答案】C 【分析】设PQ 与OB 交于点K ，先计算 POB 的度数，再利用三角形内角和定理及平行线的性质求解． 【详解】解：设PQ 与OB 交于点K ， ∵ 23 BOD = ， 37 POD = ， ∴ 60 POB POD BOD = + = ， ∵PQ 为地面水平线， ∴OP PQ ⊥ ，即 90 OPK = ， 在OPK 中， 180 30 OKP OPK POB = − − = ， ∵太阳光线平行，即PN OB ， ∴ 30 OKP = = ． 故选：C． 5．（25-26 七年级下·浙江衢州·期末）如图，在三角形纸片ABC 中， 20 B = ， 60 C = ，点D 在AB 上且 1 2 BD AB ．若在BC 上找一点E ，将纸片沿DE 折叠，点B 落在点F 处，EF 恰好与三角形ABC 的一边平行， 则满足所有平行条件的 BDE 度数为（ ） A．40或80 B．50或130 26 / 40 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 C．50或80或130 D．40或80或130 【答案】D 【分析】分AC EF 时和AB EF ∥ 时两种情况，再结合平行线的性质，折叠的性质，三角形内角和性质， 列式计算即可． 【详解】解：当AC EF 时，如图，则 60 FEG C = = ， 由折叠性质得： BED DEF = ， ( ) ( ) 1 1 180 180 60 120 2 2 BED GEF = + = + = ， 则 180 180 20 120 40 BDE B BED = −− = − − = 当AB EF ∥ 时，如图，则 20 FEC B = = ， 由折叠性质得： 20 B F = = ， BED DEF = ， ∴ ( ) 1 180 20 80 2 DEF = − = ∵AB EF ∥ ∴ 80 BDE DEF = = 当AC EF 时，如图，则 60 FEB C = = ， 1 1 30 2 2 BED BEF C = = = ， ∴ 180 180 20 30 130 BDE B BED = −− = − − = 综上， BDE 的度数为40或80或130 二、填空题 6．（25-26 七年级下·重庆·期末）如图，在ABC 中， 50 A = ，点D 在BC 的延长线上， 95 ACD = ，则 B = _____． 27 / 40 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】45 【分析】利用三角形外角性质直接算出答案． 【详解】解： 50 95 A ACD = = ， ， 95 50 45 B ACD A = −= − = ． 7．（25-26 七年级下·四川宜宾·期末）如果一个三角形的两个内角与满足2 90 + = ，那么我们称这样 的三角形为“倍角三角形”．如图，在三角形纸片ABC 中， 110 A = ∠ ， B C = ，将纸片沿着DE 折叠，使 得点C 落在AB 边上的点F 处．若BEF 和ADF 都是“倍角三角形”，则 BEF 的度数为___________． 【答案】20 【分析】根据三角形内角和定理求出 35 B C = = ，由折叠的性质得到 35 DFE C = = ∠ ∠ ，则可推出 145 BFE AFD + = ∠ ∠ ；当ADF 是“倍角三角形”时，只存在 2 90 AFD ADF + = ∠ ∠ 或2 90 AFD ADF + = 这两种情况，据此根据 70 AFD ADF + = ∠ ∠ ，求出 AFD 的度数，进而求出 BFE 的度数，进一步求出 BEF 的度数，再验证BEF 是否为“倍角三角形”即可得到答案． 【详解】解：∵ 110 A = ∠ ， B C = ， 180 A B C ++ = ， ∴ 35 B C = = ， 由折叠的性质可得 35 DFE C = = ∠ ∠ ， ∴ 180 145 BFE AFD DFE + = − = ∠ ∠ ∠ ； 在ADF 中， 110 90 A = ， ∴当ADF 是“倍角三角形”时，只存在 2 90 AFD ADF + = ∠ ∠ 或2 90 AFD ADF + = 这两种情况， 当 2 90 AFD ADF + = ∠ ∠ 时， ∵ 180 70 AFD ADF A + = − = ∠ ∠ ∠ ， ∴ 20 ADF = ， ∴ 50 AFD = ， ∴ 95 BFE = ， ∴ 180 50 BEF B BFE = − − = ∠ ∠ ∠ ， ∵ 2 135 B BEF + = ∠ ∠ ，2 120 B BEF + = ， 28 / 40 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴此时BEF 不是“倍角三角形”，不符合题意； 当2 90 AFD ADF + = 时， ∵ 180 70 AFD ADF A + = − = ∠ ∠ ∠ ， ∴ 20 AFD = ∠ ， ∴ 125 BFE = ， ∴ 180 20 BEF B BFE = −− = ， ∵2 90 B BEF + = ， ∴此时BEF 是“倍角三角形”，符合题意； 综上所述， 20 BEF = ． 8．（25-26 七年级下·江西鹰潭·期末）如图，在ABC 中， 80 A = ， 60 ACB = ，点D 为边BC 延长线上 一点，BF 平分 ABC ，点E 为直线BF 上一点．若直线AE 垂直于ABC 的一边，则 AEB 的度数为________． 【答案】110或70或10 【分析】根据三角形内角和定理求出 40 ABC = ，根据角平分线的定义得到 20 ABF CBF = = ，分三 种情况根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵ 80 BAC = ， 60 ACB = ， ∴ 180 80 60 40 ABC = − − = ， ∵BF 平分 ABC ， ∴ 20 ABF CBF = = ， 当AE BC ⊥ 时，如图，延长AE 交BC 于点G， 可知 90 AGB = ， ∴ 180 50 BAG ABG AGB = − − = ， ∴ 180 110 AB AE E B E BA = − − = ； 当AE AB ⊥ 时，如图， 29 / 40 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 可知 90 BAE = ， ∴ 180 70 AEB ABE BAE = − − = ∠ ∠ ∠ ； 当AE AC ⊥ 时，如图， 可知 90 CAE = ， ∴ 90 10 BAE BAC = − = ， ∵ 180 20 160 ABE = − = ， ∴ 180 10 AEB BAE ABE = − − = ； 综上所述， AEB 的度数为110或70或10． 9．（25-26 七年级下·江苏无锡·期末）定义：有两个内角的差为90的三角形叫作“反直角三角形”，在ABC 中， 40 B C = = ，点P 为直线BC 上一点，若ABP 为“反直角三角形”，则 PAC 的度数为__________． 【答案】15或30或75或90 【分析】求出 100 BAC = ，分三种情况进行解答即可． 【详解】解：∵在ABC 中， 40 B C = = ， ∴ 180 100 BAC B C = −− = ， 当点P 为线段BC 上一点， 40 ABP = ，设 BAP x = ， APB y = ，则 40 180 x y + + = ， ∴ 140 x y + = ， 根据定义分情况讨论： ①若 90 APB B − = ，则 130 , 180 40 130 10 y x = = − − = ， ∴ 100 10 90 PAC BAC BAP = − = − = ，符合题意； ②若 90 BAP B − = ，则 130 100 x = ，不符合点P 在线段BC 上的条件，舍去； ③若 90 APB BAP − = ，则 90 y x = + ， 代入 140 x y + = 得到2 50 x = ， 解得 25 x = ， ∴ 100 25 75 PAC = − = ，符合题意； ④若 90 BAP APB − = ，则 90 x y = + ， 代入 140 x y + = 得到 90 140 y y + + = ，解得 25 y = ，不符合题意； 30 / 40 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 当点P 在线段BC 的延长线上，即点P 在点C 右侧时， 40 , 100 ABP BAP BAC PAC = = + ，同理可 得， 140 x y + = ，其中设 BAP x = ， APB y = ，分情况讨论： ①若 90 BAP B − = ，则 130 , x = ∴ 130 100 30 PAC BAP BAC = − = − = ，符合题意； ②若 90 BAP APB − = ，则 90 , x y = + 代入 140 x y + = 得到2 50 y = ，解得 25 y = ， 115 x = ， ∴ 115 100 15 PAC = − = ，符合题意； ③其余情况均得到负角度或 100 BAP ，不合题意，舍去， 当点P 在线段CB 的延长线上，即点P 在点B 左侧时， 180 40 140 ABP = − = ， ∴其余两个内角和为180 140 40 − = ，最大内角为140， 若140 90 x − = ，解得， 50 40 x = ，不可能存在，其余情况内角差不可能达到90，故此情况无符合条 件的解， 综上， PAC 的度数为15或30或75或90． 10．（25-26 七年级下·天津河东·期末）如图1 光线照射到镜面会产生反射现象，当光线从PO入射到平面镜 上时沿OQ 反射出去，其中经过入射点O且垂直于反射面的直线ON 称为法线，根据光线反射规律可以得到 AOP BOQ = ． （I）若 40 NOQ = ，则 AOP =________度； （II）如图2，OA，OB 为两面有一定夹角的平面镜，当光线PC 平行于镜面OB 入射时，在点C 、D 、E 处 经过三次平面镜反射后沿EQ 射出，若 36 AEQ = ， AOB =________度． 【答案】 50 48 【分析】（I）利用互余关系求出 BOQ 的度数，即可得出结果； （II）设 AOB x = ，根据反射规律，平行线的性质，三角形的内角和定理推出 36 180 AOB OCD ODC x x x + + = + + + = ，进行求解即可. 【详解】解：（I）由题意，ON AB ⊥ ， ∴ 90 BON = ， ∴ 90 90 40 50 AOP BOQ NOQ = = − = − = ； （II）设 AOB x = ， ∵PC OB ， ∴ ACP AOB x = = ， 31 / 40 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵ 36 OED AEQ = = ， ∴ 180 144 ODE AOB OED x = − − = − ， ∴ 180 36 ODC EDB ODE x = = − = + ， ∵ OCD ECP x = = ， ∴ 36 180 AOB OCD ODC x x x + + = + + + = ， 解得 48 x = ， 即 48 AOB = . 三、解答题 11．（25-26 八年级下·辽宁沈阳·期中）课堂上，为了证明“三角形的内角和是180”，四名同学给出了如图所 示四种作辅助线的方法． ①过点C 作 EF AB ∥ ②延长AC 到点 F，过点C 作 CE AB ∥ ③过AB 上一点D 作DE BC ∥ ， DF AC ∥ ④过点C 作 CD AB ⊥ 于点D 回答下列问题： (1)能证明“三角形内角和是180”的方法是__________（请填写序号）； (2)在（1）的方法中，请任选其中一种方法进行证明． 【答案】(1)①②③ (2)证明见解析 【分析】运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可 得答案． 【详解】（1）解：能证明“三角形内角和是180”的方法是①②③； （2）解：①∵EF AB ∥ ， ∴ ECA A = ， FCB B = ， ∵ 180 ECA ACB FCB + + = ， ∴ 180 A B ACB ++ = ， 故①能证明“三角形内角和是180”； ②∵CE AB ∥ ， ∴ FCE A = ， ECB B = ， 32 / 40 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵ 180 FCE ECB ACB + + = ， ∴ 180 A B ACB ++ = ， 故②能证明“三角形内角和是180”； ③∵DE BC ∥ ，DF AC ∥ ， ∴ ADE B = ， BDF A = ， C AED = ， AED EDF = ， ∴ C EDF = ， ∵ 180 ADE EDF BDF + + = ， ∴ 180 A B C ++ = ， 故③能证明“三角形内角和是180”； ④∵CD AB ⊥ ， ∴ 90 CDB CDA = = ， 故④不能证明“三角形内角和是180”． 12．（25-26 七年级下·辽宁大连·期末）ABC 是锐角三角形，点D 在线段AC 上，ED BC 交AB 于点E，点 F 在线段AB 上（点F 不与点A，E，B 重合），连接DF ，过点F 作FG FD ⊥ 交射线CB 于点G（点G 不与 点B 重合） (1)如图1，当点F 在线段BE上时， 100 B BFG + = ，求 EDF 的度数； (2)当点F 在线段AE 上时，请在备用图中探究下列问题： ①直接写出 EDF 与 BGF 之间满足的数量关系 ； ②若 EDF 与 BGF 的角平分线所在直线相交于点P，请画出符合条件的图形，并尝试求出 DPG 的度数． 【答案】(1)10 (2)① 90 BGF EDF − = 或 90 BGF EDF + = ；②45或135． 【分析】（1）过点F 作FH ED ∥ ，交AC 于H，根据三角形内角和定理，平行线的性质求解即可； （2）①分两种情况，画出图形利用平行线的性质，以及三角形的外角的性质求解即可； ②分两种情况，画出图形，分别根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：过点F 作FH ED ∥ ，交AC 于H， 33 / 40 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵ 100 B BFG + = ， ∴ 180 100 80 BGF = − = ， , , FH ED ED BC ∴FH BC ， ∴ 80 GFH BGF = = ， ∵FG FD ⊥ ， ∴ 90 DFG = ， ∴ 10 DFH DFG GFH = − = ， ∵FH ED ∥ ， ∴ 10 EDF DFH = = ； （2）解：①情况1：当点G 在线段BC 上时，结论： 90 BGF EDF − = ． 理由：设DE 交FG 于J， ∵DE BC ∥ ， ∴ BGF FJE = ， ∵ FJE DFJ EDF = + ， 90 DFG DFJ = = ， ∴ 90 BGF EDF − = ． 情况2：当点G 在CB 的延长线上时， 90 BGF EDF + = ， 延长DE 交GF 于K， ∵DE BC ∥ ， 34 / 40 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ BGF DKF = ， ∵ 90 DFK DFG = = ， KDF EDF = ， ∴ 90 DKF KDF + = ， ∴ 90 BGF EDF + = ； ②情况1：点G 在线段BC 上时，作PR BC ∥ ， ∵DE BC ∥ ， ∴PR DE ， ∵ EDF 与 BGF 的角平分线所在直线相交于点P， ∴ 1 2 DPR EDP EDF = = ， 1 2 RPG BGP BGF = = ， ∴ ( ) 1 45 2 DPG RPG DPR BGF EDF = − = − = ； 情况2：当点G 在CB 的延长线上时，延长FD，BC 交于点Q， ∵DE BC ∥ ， ∴ EDF Q = ， PKD CGP = ， 在Rt GFQ △ 中， 90 DFG FGB Q = + = ， ∵ EDF 与 BGF 的角平分线所在直线相交于点P， ∴ 1 2 EDP EDF = ， 1 2 BGP BGF = ， ∴ ( ) 1 45 2 EDP BGP EDF BGF + = + = ， PKD 中， ( ) 180 180 45 135 DPG PKD KDP = − + = − = ． 综上， DPG 的度数为45或135． 13．（25-26 七年级下·河北石家庄·期末）如图，ACE 是ABC 的一个外角，BD为 ABC 的平分线，CD在 ACE 的内部，与BD交于点D ， 2 A D = ． 35 / 40 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)判断CD是否平分 ACE ，并说明理由； (2)如图2， ACB 的平分线CO交BD于点O， 48 D = ，求 DOC 的度数． 【答案】(1)解：CD平分 ACE ，理由如下： ∵ ACE 是ABC 的一个外角， ∴ ACE ABC A = +， ∵ DCE 是BCD 的一个外角， ∴ DCE CBD D = + ， ∵BD为 ABC 的平分线， ∴ 1 2 CBD ABC = ， ∵ 2 A D = ，即 1 2 D A = ， ∴ 1 1 2 2 DCE ABC A = + ∴ 1 2 DCE ACE = ， ∴CD平分 ACE (2)42 【分析】（1）利用三角形外角和定理可得 ACE ABC A = +，DCE BCD D = + ，结合BD为 ABC 的 平分线， 2 A D = ，进而证得CD平分 ACE ； （2）由CD平分 ACE ，CO平分 ACB ，可证得 90 OCD = ，利用三角形内角和定理即可解得 DOC 的 度数． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，CD平分 ACE ，即 1 2 ACD ACE = ， ∵CO平分 ACB ，即 1 2 ACO ACB = ， 又∵ 180 ACE ACB + = ， ∴ ( ) 1 1 180 90 2 2 ACO ACD ACE ACB + = + = = ， 在OCD 中， 48 D = ， ∴ 90 90 48 42 DOC D = − = − = ． 36 / 40 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 14．（25-26 七年级下·山东聊城·期末）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三 个内角的数量关系”进行了探究： (1)如图1，在ABC 中， ABC 与 ACB 的平分线交于点P ， 62 A = ，则 BPC = ______． (2)如图2，ABC 的内角， ACB 的平分线与ABC 的外角， ABD 的平分线交于点E ，其中 58 A = ，求 BEC 的度数； (3)如图3，CBM 、BCN 为ABC 的外角，CBM 、BCN 的平分线交于点Q ，其中 A = ．求 BQC = _________（用表示）； 【答案】(1)121 (2)29 (3) 1 90 2 − 【分析】（1）根据三角形内角和定理，可得 118 ABC ACB + = ，再根据角平分线的定义，可得 ( ) 1 59 2 PBC PCB ABC ACB + = + = ，最后根据三角形内角和定理，即可求解； （2）根据三角形的外角的性质，可得 58 ABD ACB − = ，再根据角平分线的定义，可得 ( ) 1 29 2 EBD ECB ABD ACB − = − = ，即可求解； （3）根据外角的性质和三角形内角和定理，易得 180 CBM BCN + = + ，再根据角平分线的定义和三 角形内角和定理，即可得到 1 90 2 BQC = − ． 【详解】（1）解： 62 A = ， 180 180 62 118 ABC ACB A + = −= − = ， ABC 与 ACB 的平分线交于点P ， 1 2 PBC ABC = ， 1 2 PCB ACB = ， ( ) 1 1 118 59 2 2 PBC PCB ABC ACB + = + = = ， ( ) 180 180 59 121 BPC PBC PCB = − + = − = ； 37 / 40 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （2）解： 58 A = ， ABD A ACB = + ，即 58 ABD ACB − = ， ACB 的平分线与 ABD 的平分线交于点E ， 1 2 ECB ACB = ， 1 2 EBD ABD = ， ( ) 1 1 1 29 2 2 2 EBD ECB ABD ACB ABD ACB − = − = − = ， 29 BEC EBD ECB = − = ； （3）解： CBM A ACB = + ， BCN A ABC = + ， A = ， 180 CBM BCN A ACB A ABC + = + ++ = + ， CBM 、 BCN 的平分线交于点Q ， 1 2 CBQ CBM = ， 1 2 BCQ BCN = ， ( ) ( ) 1 180 180 2 BQC CBQ BCQ CBM BCN = − + = − + ( ) 1 1 180 180 90 2 2 = − + = − ． 15． （25-26 七年级下·湖南衡阳·期末）我们定义：在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4 倍， 则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为105 60 15 , , 的三角形是“和谐三角形”．如图①， 60 MON = ，点A 在边OM 上，过点A 作AB OM ⊥ 交ON 于点B，以A 为端点作射线AD，交线段OB 于 点C（点C 不与O，B 重合） (1) ABO ∠ 的度数为_______，AOB _________（填“是”或“不是”）“和谐三角形”． (2)若 84 ACB = ，试说明：AOC 是“和谐三角形”． (3)如图②，点D 在ABC 的边AB 上，连结DC ，作 ADC 的平分线交AC 于点E，在DC 上取点F，使 180 EFC BDC + = ，∠DEF B = ．若BCD 是“和谐三角形”，直接写出 B 的度数． 【答案】(1)30，不是 (2) ACB 是AOC 的一个外角， ACB O OAC = + ， 又 60 O = ， 84 ACB = 24 OAC = ， ∵ 180 84 96 ACO = − = ， 38 / 40 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4 ACO OAC = ， AOC 是“和谐三角形”； (3) 30 B = 或 80 B = 【分析】（1）根据AB OM ⊥ ，得到 90 OAB = ，求得 90 30 ABO MON = − = ，得到 3 OAB ABO = ， 所以AOB 不是“和谐三角形”； （2）因为 ACB 是AOC 的一个外角，得到 ACB O OAC = + ，求出 24 OAC = ， 96 ACO = ，所以 4 ACO OAC = ，所以得到AOC 是“和谐三角形”； （3）由 180 EFC BDC + = ， 180 ADC BDC + = ，得到 EFC ADC = ，可以证明AD EF ∥ ，得到 DEF ADE = ，而 DEF B =，得到 B ADE = ，由DE BC ∥ ，得到 CDE BCD = ，根据△BCD是 “和谐三角形”，即可求解． 【详解】（1）解： AB OM ⊥ ， 90 OAB = ， 90 30 ABO MON = − = ， ∴ABO 的三个内角度数为90 ,60 ,30 不满足任意一个角的度数是另一个角的度数的4 倍， AOB 不是“和谐三角形”； （2）略 （3）解： 180 EFC BDC + = ， 180 ADC BDC + = ， EFC ADC = ， AD EF ∥ ， DEF ADE = ∴ ， 而 DEF B =， B ADE = ， DE BC ∥ ， CDE BCD = ， DE 平分 ADC ， ADE CDE = ， B BCD = ， BCD 是“和谐三角形”， 4 BDC B = 或 4 B BDC = ， 180 BDC BCD B + += ∴4 180 B B B ++= 或1 180 4 B B B ++= 30 B = 或 80 B = ． 16．（25-26 七年级下·山东日照·期末）操作与探究 39 / 40 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【知识发现】汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献．书中记载“取大镜高悬， 置水盆于其下，则见四邻矣”是古人利用光的反射定律改变光路的方法． 如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内，法线垂直于平面镜（即KO l ⊥），反 射光线OB 、入射光线AO 分别位于法线两侧，反射角等于入射角（即 3 4 = ）． (1)【观察图形】试判断1 和 2 的数量关系，并说明理由； (2)【结论应用】如图2，直线MN PQ ，点A在直线MN 上，点C 在直线PQ 上，光线AC 被PQ 反射后再 次被MN 反射，入射光线AC 经过两次反射的光线为BD，其中点B 在直线MN 上．利用（1）中发现的结论， 试探究BD与AC 的位置关系，并说明理由； (3)【深度探究】如图3，将支架平面镜CD（可调节角度）放置在水平地面MN 上，激光笔在点A处发出的 光束AE 经过镜面CD反射后与天花板PQ 形成的点记为F ，光束AE 与水平天花板PQ 所成的锐角为30， 支架平面镜与地面的夹角 DCM = （20 70 ）．若 20 = ，求反射光束EF 与天花板所形成的角 AFE 的度数． 【答案】(1) 1 2 = ，理由如下： ∵KO l ⊥， ∴1 3 2 4 90 += += ， ∵ 3 4 = ， ∴ 1 2 = ． (2) BD AC ，理由如下： 40 / 40 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 由（1）的结论可知， QCA DCB = ， ABC MBD = ， ∵MN PQ ， ∴ DCB ABC = ， MBD BDC = ， ∴ QCA DCB ABC MBD BDC = = = = ， ∴BD AC ． (3)70 【分析】（1）利用等角的余角相等即可证明 1 2 = ； （2）由反射原理可得 QCA DCB = ， ABC MBD = ，结合MN PQ 可得 QCA DCB ABC MBD BDC = = = = ，因此BD AC ； （3）延长AE 交MN 于点H ，由PQ MN ∥ 可得∠ ∠ 30 AHC EAF = = ，进而得到 50 AEC = ．由反射原 理可得∠ ∠ 50 AEC DEF = = ，则 80 AEF = ，结合三角形内角和定理可得 70 AFE = ． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，延长AE 交MN 于点H ， 由题意可知，PQ MN ∥ ， ∴∠ ∠ 30 AHC EAF = = ， ∵ 20 DCM = ， ∴∠ 180 ∠ ∠ 130 CEH AHC DCM = − − = ， ∴∠ 180 ∠ 50 AEC CEH = − = ， 由光的反射原理可得，∠ ∠ 50 AEC DEF = = ， ∴∠ 180 ∠ ∠ 80 AEF AEC DEF = − − = ， ∴∠ 180 ∠ ∠ 70 AFE AEF EAF = − − = ．
