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1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题02 三角形的内角与外角 常考题型·精准突破 题型1 三角形内角和定理的证明（重） 题型2 与平行线有关的三角形内角和问题（重） 题型3 与角平分线有关的三角形内角和问题（高频） 题型4 与三角形折叠中的角度问题（难） 题型5 三角形内角和定理的应用（重） 题型6 三角形的外角的定义与性质（高频） 题型7 三角形内角和与外角和综合问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 三角形内角和定理的证明 1． 【答案】(1)如图所示，直线MN 即为所求 (2)如图，在ABC 中，过点A作直线MN BC ∥ ， 根据两直线平行，内错角相等， 得到 B MAB = ， C NAC = ， 根据平角定义， 180 MAB BAC NAC + + = ． 因此， 180 B BAC C + + = ，即 180 A B C ++ = 2． 【答案】(1) AE BC ∥ ． 1 3 B C = = 、 ，ABC 内角和为180． (2)选择图2，证明过程如下： ∵AE BC ∥ ， 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ B DAE = ， C EAC = ， 又∵ 180 BAC DAE EAC + + = ， ∴ 180 BAC B C ++ = ， 即ABC 内角和为180； 选择图3，证明过程如下： ∵DE BC ∥ ， ∴ 1 B = ， 3 = C ， 又∵1 2 3 180 ++= ， ∴ 180 B BAC C + + = ， 即ABC 内角和为180； (3)证明：过点P 作PD BC ∥ 交AC 于点D ，过点P 作PE AC ∥ 交BC 于点E ， ∵PE AC ∥ ， ∴ 1 A =， 3 C = ， ∵PD BC ∥ ， ∴ 2 B = ， 3 4 = ， ∴ 4 C = ∵1 2 4 180 ++= ， ∴ 180 A B C ++ = 即ABC 内角和为180． 3． 【答案】(1) C ；两直线平行，内错角相等； B ； C （2）解： EAB ECD AEC + = ， 过点E 作EH AB ， ∵ // AB CD ， 3 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴EH CD ∥ （平行于同一直线的两条直线平行）， ∴ EAB AEH = ， ECD HEC = （两直线平行，内错角相等）， ∴ EAB ECD AEH CEH + = + （等量代换） 即 EAB ECD AEC + = ； （3）解：如图，作EN AB ∥ ，则 B BEN A E = ， ∵ 70 ABE = ， ∴ 70 BEN = ， ∵ 90 BEF = ， ∴ 90 20 NEF BEN = − = ， 作MF CD ∥ ，则 180 MFD D + = ， ∵AB CD ，EN AB ∥ ，MF CD ∥ ， ∴EN MF ∥ ， ∴ 20 EFM NEF = = ， ∴ 90 20 110 DFE = + = ． ◆题型2 与平行线有关的三角形内角和问题 4．57 5． 30 2 6． 【答案】 【详解】（1）解： BF 平分 ABD ， 1 ABF =． 1 3 = ， 3 ABF =， AB CD ∥ ： （2）解： DE 平分 BDC ， 2 25 = ， 2 2 50 BDF = = ， 1 3 180 , 1 3 BDF + + = = ， 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( ) 1 3 180 65 2 BDF = − = ； （3）证明：由( ) 1 得AB CD ∥ ， 180 ABD BDC + = 1 1 90 2 2 ABD BDC + = ， BF 平分 ABD DE , 平分 BDC ， 1 2 90 += ， 90 BED = ， DE BF ⊥ ． ◆题型3 与角平分线有关的三角形内角和问题 7．40 8．70/70 度 9．40/40 度 ◆题型4 与三角形折叠中的角度问题 10．109 11．75或25或115 12． 【答案】 【详解】（1）解： 35 60 B C = = ， ， 180 180 35 60 85 A B C = −− = − − = ． （2）解： 70 A = ， 180 70 110 ADE AED + = − = ． 由题意，得 NDE ADE NED AED = = ， ， ( ) ( ) 1 2 180 180 360 2 110 140 NDE ADE NED AED + = − + + − + = − = ． ◆题型5 三角形内角和定理的应用 13．100 14．9.8 15． 【答案】 【详解】（1）解：①∵NO PQ ⊥ ， 5 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 90 NOP NOQ = = ， ∵ i r = ， 1 2 90 i r += += ∴1 2 = （等角的余角相等）， 故答案为：等角的余角相等； ②证明：∵AB CD ∥ ， 2 3 = ， 1 2 = ， 3= 4 ， 1 2 3 4 = = = ， 180 1 2 180 3 4 −−= −−，即 5 6 = ， ∴m n ∥． （2）解：由题意得，1 2 48 = = ， 3= 4 ， 5 180 1 2 84 = −−= ， ∵m n ∥， 6 180 5 96 = −= ， ( ) 1 3 4 180 6 42 2 = = − = ， 180 2 3 180 48 42 90 ABC = −−= − − = ， 故答案为：96，90． （3）解：当 90 ABC = 时，可以使任何入射光线m 经过平面镜AB 、CD的两次反射后，与反射光线n 平 行，理由如下： 由题意可知，1 2 = ， 3= 4 ， ∵m n ∥， 5 6 180 + = ， 1 5 2 3 6 4 360 +++++= ， ∴1 2 3 4 180 +++= ， 2 2 2 3 180 + = ，即 2 3 90 + = ∠ ∠ ， ( ) 180 2 3 90 ABC = −+ = ， 故答案为：90． ◆题型6 三角形的外角的定义与性质 16．60/60 度 17．70/70 度 18． ( ) 180 1 n n − − 6 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ◆题型7 三角形内角和与外角和综合问题 19． 【答案】（1）∵1 2 = ， ∴ 3 4 2 2 = = ， ∵ 2 4 180 BAC ++ = ， ∴3 2 75 180 + = ， ∴ 2 35 = ， ∴ 1 35 = ． ∴ 1 75 35 40 DAC BAC = −= − = ； （2）∵1 2 = ， ∴AD BD = ， ∵BC a = ，DC b = ， ∴BD AD a b = = −， ∵ 3 4 = ， ∴AC AD a b = = − ， ∴ ADC △ 的周长为： 2 a b a b b a b −+ −+ = −． 20． 【答案】（1）解： 60 O = ， 120 ABO BAO + = ， AC ，BC 分别是 BAO 和 ABO 的平分线， 1 2 BAC OAC BAO = = ， 1 2 ABC OBC ABO = = ， ( ) 1 60 2 ABC BAC ABO BAO + = + = ， 60 ACG ABC BAC = + = ． （2） 72 O = ， 108 ABO BAO + = ， AC ，BC 分别是 BAO 和 ABO 的平分线， 1 2 BAC OAC BAO = = ， 1 2 ABC OBC ABO = = ， ( ) 1 54 2 ABC BAC ABO BAO + = + = ， 54 ACG ABC BAC = + = ， CF OA ∥ ， ACF CAG ， 7 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 54 BGO ACF BGO CAG ACG − = − = = ， 故 BGO 与 ACF 的数量关系为 54 BGO ACF − = ． 21． 【答案】（1）解：∵ 1 BA 平分 1 ABC CA ， 平分 ACD ， ∴ 1 1 1 1 2 2 A BC ABC ACD ACD = = ， ， ∵ 1 1 1 A ACD ABC = − ， ∴ ( ) 1 1 1 1 2 2 2 A ACD ABC ACD ABC = − = − ， ∵ 70 BAC = ， ∴ 70 ACD ABC BAC − = = ， ∴ 1 1 70 35 2 A = = ， 故答案为：35； （2）解：∵BF 平分 ABC CF ， 平分 DCE ， ∴ 1 1 2 2 FBC ABC FCE DCE = = ， ， ∴ ( ) 1 2 F FCE FBC DCE ABC = − = − ， ∵ 230 A D + = ， ∴ ( ) 360 130 ABC BCD A D + = −+ = ， ∴ ( ) 180 130 ABC DCE + − = ， ∴ 50 DCE ABC − = ， ∴ ( ) 1 25 2 F DCE ABC = − = ； （3）解：正确的结论是①，理由如下： 同（1）可得 1 1 2 A BAC = ， ∵EQ 平分 AEC CQ ， 平分 ACE ， ∴ 1 1 2 2 QEC AEC QCE ACE = = ， ， ∵ ( ) 180 Q QEC QCE = − + ， ∴ ( ) 1 180 2 Q AEC ACE = − + ， ∵ BAC AEC ACE = + ， ∴ 1 180 2 Q BAC = − ， 8 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵ 1 1 2 A BAC = ， ∴ 1 1 1 180 180 2 2 Q A BAC BAC + = − + = ， ∴ 1 Q A + 的值为定值，①正确，其值是180． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．C 2．D 3．D 4．C 5．D 二、填空题 6．45 7．20 8．110或70或10 9．15或30或75或90 10． 50 48 三、解答题 11． 【答案】（1）解：能证明“三角形内角和是180”的方法是①②③； （2）解：①∵EF AB ∥ ， ∴ ECA A = ， FCB B = ， ∵ 180 ECA ACB FCB + + = ， ∴ 180 A B ACB ++ = ， 故①能证明“三角形内角和是180”； ②∵CE AB ∥ ， ∴ FCE A = ， ECB B = ， ∵ 180 FCE ECB ACB + + = ， ∴ 180 A B ACB ++ = ， 故②能证明“三角形内角和是180”； ③∵DE BC ∥ ，DF AC ∥ ， 9 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ADE B = ， BDF A = ， C AED = ， AED EDF = ， ∴ C EDF = ， ∵ 180 ADE EDF BDF + + = ， ∴ 180 A B C ++ = ， 故③能证明“三角形内角和是180”； ④∵CD AB ⊥ ， ∴ 90 CDB CDA = = ， 故④不能证明“三角形内角和是180”． 12． 【答案】（1）解：过点F 作FH ED ∥ ，交AC 于H， ∵ 100 B BFG + = ， ∴ 180 100 80 BGF = − = ， , , FH ED ED BC ∴FH BC ， ∴ 80 GFH BGF = = ， ∵FG FD ⊥ ， ∴ 90 DFG = ， ∴ 10 DFH DFG GFH = − = ， ∵FH ED ∥ ， ∴ 10 EDF DFH = = ； （2）解：①情况1：当点G 在线段BC 上时，结论： 90 BGF EDF − = ． 理由：设DE 交FG 于J， ∵DE BC ∥ ， ∴ BGF FJE = ， 10 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵ FJE DFJ EDF = + ， 90 DFG DFJ = = ， ∴ 90 BGF EDF − = ． 情况2：当点G 在CB 的延长线上时， 90 BGF EDF + = ， 延长DE 交GF 于K， ∵DE BC ∥ ， ∴ BGF DKF = ， ∵ 90 DFK DFG = = ， KDF EDF = ， ∴ 90 DKF KDF + = ， ∴ 90 BGF EDF + = ； ②情况1：点G 在线段BC 上时，作PR BC ∥ ， ∵DE BC ∥ ， ∴PR DE ， ∵ EDF 与 BGF 的角平分线所在直线相交于点P， ∴ 1 2 DPR EDP EDF = = ， 1 2 RPG BGP BGF = = ， ∴ ( ) 1 45 2 DPG RPG DPR BGF EDF = − = − = ； 情况2：当点G 在CB 的延长线上时，延长FD，BC 交于点Q， ∵DE BC ∥ ， ∴ EDF Q = ， PKD CGP = ， 11 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 在Rt GFQ △ 中， 90 DFG FGB Q = + = ， ∵ EDF 与 BGF 的角平分线所在直线相交于点P， ∴ 1 2 EDP EDF = ， 1 2 BGP BGF = ， ∴ ( ) 1 45 2 EDP BGP EDF BGF + = + = ， PKD 中， ( ) 180 180 45 135 DPG PKD KDP = − + = − = ． 综上， DPG 的度数为45或135． 13． 【答案】(1)解：CD平分 ACE ，理由如下： ∵ ACE 是ABC 的一个外角， ∴ ACE ABC A = +， ∵ DCE 是BCD 的一个外角， ∴ DCE CBD D = + ， ∵BD为 ABC 的平分线， ∴ 1 2 CBD ABC = ， ∵ 2 A D = ，即 1 2 D A = ， ∴ 1 1 2 2 DCE ABC A = + ∴ 1 2 DCE ACE = ， ∴CD平分 ACE （2）解：由（1）可知，CD平分 ACE ，即 1 2 ACD ACE = ， ∵CO平分 ACB ，即 1 2 ACO ACB = ， 又∵ 180 ACE ACB + = ， ∴ ( ) 1 1 180 90 2 2 ACO ACD ACE ACB + = + = = ， 在OCD 中， 48 D = ， ∴ 90 90 48 42 DOC D = − = − = ． 14． 【答案】（1）解： 62 A = ， 180 180 62 118 ABC ACB A + = −= − = ， ABC 与 ACB 的平分线交于点P ， 12 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 2 PBC ABC = ， 1 2 PCB ACB = ， ( ) 1 1 118 59 2 2 PBC PCB ABC ACB + = + = = ， ( ) 180 180 59 121 BPC PBC PCB = − + = − = ； （2）解： 58 A = ， ABD A ACB = + ，即 58 ABD ACB − = ， ACB 的平分线与 ABD 的平分线交于点E ， 1 2 ECB ACB = ， 1 2 EBD ABD = ， ( ) 1 1 1 29 2 2 2 EBD ECB ABD ACB ABD ACB − = − = − = ， 29 BEC EBD ECB = − = ； （3）解： CBM A ACB = + ， BCN A ABC = + ， A = ， 180 CBM BCN A ACB A ABC + = + ++ = + ， CBM 、 BCN 的平分线交于点Q ， 1 2 CBQ CBM = ， 1 2 BCQ BCN = ， ( ) ( ) 1 180 180 2 BQC CBQ BCQ CBM BCN = − + = − + ( ) 1 1 180 180 90 2 2 = − + = − ． 15． 【答案】（1）解： AB OM ⊥ ， 90 OAB = ， 90 30 ABO MON = − = ， ∴ABO 的三个内角度数为90 ,60 ,30 不满足任意一个角的度数是另一个角的度数的4 倍， AOB 不是“和谐三角形”； (2) ACB 是AOC 的一个外角， ACB O OAC = + ， 又 60 O = ， 84 ACB = 24 OAC = ， ∵ 180 84 96 ACO = − = ， 4 ACO OAC = ， AOC 是“和谐三角形”； （3）解： 180 EFC BDC + = ， 180 ADC BDC + = ， EFC ADC = ， 13 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 AD EF ∥ ， DEF ADE = ∴ ， 而 DEF B =， B ADE = ， DE BC ∥ ， CDE BCD = ， DE 平分 ADC ， ADE CDE = ， B BCD = ， BCD 是“和谐三角形”， 4 BDC B = 或 4 B BDC = ， 180 BDC BCD B + += ∴4 180 B B B ++= 或1 180 4 B B B ++= 30 B = 或 80 B = ． 16． 【答案】(1) 1 2 = ，理由如下： ∵KO l ⊥， ∴1 3 2 4 90 += += ， ∵ 3 4 = ， ∴ 1 2 = ． (2) BD AC ，理由如下： 由（1）的结论可知， QCA DCB = ， ABC MBD = ， ∵MN PQ ， ∴ DCB ABC = ， MBD BDC = ， ∴ QCA DCB ABC MBD BDC = = = = ， ∴BD AC ． （3）解：如图，延长AE 交MN 于点H ， 由题意可知，PQ MN ∥ ， ∴∠ ∠ 30 AHC EAF = = ， 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵ 20 DCM = ， ∴∠ 180 ∠ ∠ 130 CEH AHC DCM = − − = ， ∴∠ 180 ∠ 50 AEC CEH = − = ， 由光的反射原理可得，∠ ∠ 50 AEC DEF = = ， ∴∠ 180 ∠ ∠ 80 AEF AEC DEF = − − = ， ∴∠ 180 ∠ ∠ 70 AFE AEF EAF = − − = ．
