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专题02 一次函数的应用
（题型突破·举一反三）
题型01 一次函数与一元一次方程的关系
题型02 一次函数与方案选择问题
题型03 一次函数与最大利润问题
题型04 一次函数与行程问题
题型05 一次函数中的面积问题
题型06 一次函数中的三角形存在性问题
▌题型01 一次函数与一元一次方程的关系
（1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=0
（2）一次函数为：y=kx+b 的形式；当y=0 时，一次函数x 的值就是一元一次方程的解；
y=0 时x 的值，即一次函数与x 轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解.
【典例1】（25-26 八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，直线y
kx
b
=
+
分别与x 的负半轴和y 的正半轴交于点A
和点B，若
3
OB =
，
5
AB =
，则关于x 的方程
0
kx
b
+
=
的解为 ．
【答案】
4
x = −
【分析】本题考查一次函数的图象，一次函数与一元一次方程的关系，勾股定理，先根据勾股定理求出
4
OA =
，
根据直线y
kx
b
=
+
与x 轴的交点的横坐标，即为关于x 的方程
0
kx
b
+
=
的解，然后数形结合求解作答即可．
【详解】解：∵
3
OB =
，
5
AB =
，
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∴
2
2
4
OA
AB
OB
=
−
=
，
∴
(
)
4 0
A −，，
∴方程
0
kx
b
+
=
的解是一次函数y
kx
b
=
+
与x 轴的交点的横坐标，
∴关于x 的方程
0
kx
b
+
=
的解为
4
x = −．
故答案为：
4
x = −．
【变式1-1】（25-26 八年级上·重庆·期中）如图，直线
1
y
ax
=
+ 与直线
3
y
mx
=
+ 交于点(
)
0.3,1.7
P −
，则根
据图象可得关于x 的方程
3
1
mx
ax
+ =
+ 的解是 ．
【答案】
0.3
x = −
【分析】本题主要考查了函数解析式与图象的关系，根据图象解出方程，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，∵直线
1
y
ax
=
+ 与直线
3
y
mx
=
+ 交于点
(
)
0.3,1.7
P −
，
∴根据图象可得关于x 的方程
3
1
mx
ax
+ =
+ 的解是：
0.3
x = −
，
故答案为：
0.3
x = −
．
【变式1-2】（25-26 八年级上·贵州贵阳·期中）一次函𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏（a，b 是常数）的图象如图所示，则方程
𝑎𝑥+ 𝑏= 4的解是（ ）
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A．𝑥= 1
B．𝑥= −1
C．𝑥= 2
D．𝑥= 0
【答案】B
【分析】直接根据函数图象与y 轴的交点进行解答即可．
【详解】解：∵一次函数𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏的图象与y 轴的交点为(−1,4)，
∴方程𝑎𝑥+ 𝑏= 4的解是𝑥= −1．
故选：B．
【变式1-3】（25-26 八年级上·四川宜宾·期中）如图，直线𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏(𝑎≠0)与x 轴交点的横坐标为1，则
关于x 的方程𝑎𝑥+ 𝑏= 0的解为（ ）．
A．1
B．−1
C．2
D．−2
【答案】A
【分析】根据一次函数与x 轴交点的横坐标即为其相应一元一次方程的解，结合图象即可解答．
【详解】解：∵直线𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏(𝑎≠0)与x 轴交点的横坐标为1，
∴关于x 的方程𝑎𝑥+ 𝑏= 0的解为𝑥= 1．
故选A．
【变式1-4】（25-26 八年级上·天津·期中）已知方程𝑎𝑥+ 𝑏= 0的解为𝑥= −
3
2，则一次函数𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏的图
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象与𝑥轴交点的坐标为( )
A．(3,0)
B．(−
2
3 , 0)
C．(−2,0)
D．(−
3
2 , 0)
【答案】D
【分析】关于𝑥的一元一次方程𝑎𝑥+ 𝑏= 0的根是𝑥= −
3
2，即𝑥= −
3
2时，函数值为0，所以直线过点( −
3
2 , 0)，
于是得到一次函数𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏的图象与𝑥轴交点的坐标．
【详解】解：方程𝑎𝑥+ 𝑏= 0的解为𝑥= −
3
2，则一次函数𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏的图象与𝑥轴交点的坐标为(−
3
2 , 0)，
故选：D．
【变式1-5】如图是一次函数y＝ax+b 的图象，则关于x 的方程ax+b＝1 的解为（ ）
A．0
B．2
C．4
D．6
【答案】C
【分析】一次函数y＝kx+b 的图象上纵坐标为1 的点的横坐标即为方程ax+b＝1 的解，据此求解即可．
【详解】解：∵点（4，1）在一次函数y＝ax+b 的图象上，
∴关于x 的方程kx+b＝1 的解是x＝4．
故选C．
【变式1-6】一次函数𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏（𝑎，𝑏是常数，且𝑎≠0），若𝑎+ 𝑏−2 = 0，则这个一次函数的图象必经
过的点是（ ）
A．(1, −2)
B．(2,−3)
C．(−1,−2)
D．(1,2)
【答案】D
【分析】本题主要考查一次函数与一元一次方程的关系．根据𝑎+ 𝑏−2 = 0，可求𝑎+ 𝑏= 2，根据一次函数
与方程的关系可知当𝑥= 1时，𝑦= 2，即可得到定点坐标．
【详解】解：∵𝑎+ 𝑏−2 = 0，
∴𝑎+ 𝑏= 2．
∴在𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏中，当𝑥= 1时，𝑦= 2，
∴一次函数经过(1,2)点，
故选：D．
【变式1-7】如图，已知直线𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏，则方程𝑎𝑥+ 𝑏= 1的解𝑥=（ ）
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A．2
B．−1
C．4
D．0
【答案】C
【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的知识，理解两者的关系是解题的关键．
观察图象可得出点(4,1)在函数的图象上满足函数关系式，结合一次函数与一元一次方程之间的关系可得到方
程的解．
【详解】根据图象知，当𝑦= 1时，𝑥= 4
即𝑎𝑥+ 𝑏= 1时，𝑥= 4
∴方程𝑎𝑥+ 𝑏= 1的解时𝑥= 4
故选：C
【变式1-8】直线𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘≠0)经过点(2,0)，则一次方程𝑘𝑥−𝑏= 0一个解为 ．
【答案】𝑥= −2
【分析】本题主要考查了一次函数与一次方程的关系，先求解𝑏= −2𝑘，再解方程𝑘𝑥−𝑏= 0即可．
【详解】解：由图知：直线𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏经过点(2,0)，
即2𝑘+ 𝑏= 0；
∴𝑏= −2𝑘，
∵𝑘𝑥−𝑏= 0，
∴𝑥=
𝑏
𝑘=
−2𝑘
𝑘= −2，
故答案为：𝑥= −2．
【变式1-9】已知一次函数𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏（𝑎, 𝑏是常数），x 与y 的部分对应值如下表：
x
−3
−2
−1
0
1
2
y
−4
−2
0
2
4
6
则关于x 的方程𝑎𝑥+ 𝑏= 0的解为 ．
【答案】𝑥= −1
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，方程𝑎𝑥+ 𝑏= 0的解为𝑦= 0时函数𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏的x的值，
根据图表即可得出此方程的解．
【详解】解：根据图表可得：当𝑥= −1时，𝑦= 0，即𝑥= −1时，𝑎𝑥+ 𝑏= 0，
因而方程𝑎𝑥+ 𝑏= 0的解是𝑥= −1．
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故答案为：𝑥= −1．
【变式1-10】如图，一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏与𝑦= 𝑥+ 2的图象相交于点𝑃(𝑚, 4)，则关于x 的方程𝑘𝑥+ 𝑏= 4的
解是 ．
【答案】𝑥= 2
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，先利用𝑦= 𝑥+ 2求出交点𝑃的坐标，然后根据一次函数图象
的交点坐标进行判断．数形结合是解题的关键．
【详解】解：把𝑃(𝑚, 4)代入𝑦= 𝑥+ 2得𝑚+ 2 = 4，解得𝑚= 2，
∴一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏与𝑦= 𝑥+ 2的图象的交点𝑃为(2,4)，
∴关于𝑥的方程𝑘𝑥+ 𝑏= 4的解是𝑥= 2．
故答案为：𝑥= 2．
【变式1-11】下表是一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏中𝑥与𝑦的几组对应值，则方程𝑘𝑥+ 𝑏= 1的解为（ ）
𝑥
…
−2
−1
0
1
2
…
𝑦
…
−5
1
7
13
19
…
A．𝑥= −1
B．𝑥= 1
C．𝑥= 7
D．𝑥= 13
【答案】A
【分析】本题考查了用一次函数与方程的关系，掌握一次函数与方程的关系是关键．根据当𝑥= −1时，𝑦= 1，
从而可得答案．
【详解】解：由表格信息可得：当𝑥= −1时，𝑦= 1，
∴𝑘𝑥+ 𝑏= 1的解为𝑥= −1，
故选A
▌题型02 一次函数与方案选择问题
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1、选择方案是指某一问题中，符合条件的方案有多种，一般要利用数学知识经 过分析、猜想、判断筛选出
最佳方案的过程，此类问题往往要求所设计的问题中出现路程最短、运费最少、效率最高等词语，解题时常
常与函数、不等式、几何知识联系在一起.
2、在实际问题中，运用一次函数选择最佳方案的一般步骤为：
①从数学的角度分析实际问题，建立函数模型(往往有两个及两个以上模型);
②列出关系式，在自变量取不同值时比较对应函数值的大小关系；
③结合实际需求，选择最佳方案.
3、一次函数可以解决生产实践、日常生活中的很多实际问题：
①应用一次函数和一元一次方程可以解决行程、面积等实际问题；
②应用一次函数和一元一次不等式(组)可以解决生产安排、分工、运输等实际问题
③应用一次函数和二元一次方程组可以解决实际问题中评估、方案选择、决策等问题.
【典例2】（25-26 八年级上·河南郑州·期中）4 月23 日是“世界读书日”，某书店在这一天举行了购书优惠活
动，有两种优惠方案可以选择：
方案一：享受当天购书按标价总额8 折的普通优惠；
方案二：50 元购买一张“书香城市纪念卡”，当天凭卡购书，享受标价总额在普通优惠的基础上再打7.5折的
优惠．
设小明当天购书标价总额为x(𝑥> 50)元，方案一应付𝑦1元，方案二应付𝑦2元．
(1)当𝑥= 150时，请通过计算说明选择哪种购书方案更划算；
(2)直接写出𝑦1, 𝑦2与x 的函数关系式；
(3)小明如何选择购书方案才更划算？
【答案】(1)小明用方案一购书更划算；计算见解析；
(2)𝑦1 = 0.5𝑥, 𝑦2 = 0.6𝑥+ 50；
(3)见解析．
【分析】（1）当𝑥= 150时，根据方案一和方案二计算出实际花费，然后比较即可；
（2）根据题意给出的等量关系即可求出答案；
（3）根据y 关于x 的函数解析式，求出两种方案所需费用相同时的书本数量，从而可判断哪家书店省钱．
【详解】（1）解：当𝑥= 150时，
方案一：150 × 0.8 = 120（元），
方案二：50 + 150 × 0.8 × 0.75 = 50 + 90 = 140（元），
∵120 < 140，
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∴小明用方案一购书更划算；
（2）解：由题意得：方案一：𝑦1 = 0.8𝑥；
方案二：𝑦2 = 50 + 0.8 × 0.75𝑥= 0.6𝑥+ 50；
∴𝑦1与x 的函数关系式为𝑦1 = 0.8𝑥；𝑦2与x 的函数关系式为𝑦2 = 0.6𝑥+ 50；
（3）解：当𝑦1 > 𝑦2时，即0.8𝑥> 0.6𝑥+ 50，
解得𝑥> 250；
当𝑦1 < 𝑦2时，即0.8𝑥< 0.6𝑥+ 50，
解得𝑥< 250；
当𝑦1 = 𝑦2时，即0.8𝑥= 0.6𝑥+ 50，
解得𝑥= 250．
∴当𝑥< 250时，方案一更划算，当𝑥> 250时，方案二更划算，当𝑥= 250时，方案一和方案二一样划算．
【变式2-1】（25-26 八年级上·新疆吐鲁番·期末）A、B 两个蔬菜基地要向C、D 两城市运送蔬菜，已知A
基地有蔬菜200 吨，B 基地有蔬菜300 吨，C 城市需要蔬菜240 吨，D 城市需要蔬菜260 吨．从A 基地运往
C、D 两城市的费用分别为每吨20 元和每吨25 元，从B 基地运往C、D 两城市的费用分别为每吨15 元和每
吨18 元，设从B 基地运往C 城市的蔬菜为x 吨，A、B 两个蔬菜基地的总运费为w 元．
(1)求w 与x 之间的函数解析式，并写出x 的取值范围；
(2)写出总运费最小时的运送方案，并求出此时的总运费．
【答案】(1)𝑤= 2𝑥+ 9200(40 ≤𝑥≤240)
(2)总运费最小为9280 元，此时A 往C 运200 吨，不往D 运，B 往C 运40 吨，往D 运260 吨
【分析】（1）根据调运总费用等于四种调运单价乘以对应的吨数的积的和，得w 与x 的函数关系；
（2）根据一次函数的性质解答即可．
【详解】（1）设从B 基地运往C 城市的蔬菜为x 吨，则从B 基地运往D 城市的蔬菜为(300 −𝑥)吨，从A
基地运往C 城市的蔬菜为(240 −𝑥)吨，从A 基地运往D 城市的蔬菜为200 −(240 −𝑥) = (𝑥−40)吨，
由题意可得，𝑤= 20(240 −𝑥) + 25(𝑥−40) + 15𝑥+ 18(300 −𝑥) = 2𝑥+ 9200
∵{
240 −𝑥≥0
𝑥−40 ≥0
300 −𝑥≥0
𝑥≥0
解得40 ≤𝑥≤240；
（2）∵𝑤= 2𝑥+ 9200随x 增大而增大，且40 ≤𝑥≤240
∴当𝑥= 40时，总运费最小为9280 元，此时A 往C 运200 吨，不往D 运，B 往C 运40 吨，往D 运260 吨．
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【变式2-2】（25-26 八年级上·河南南阳·期末）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动
方案如下．
方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；
方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．
设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为𝑦1（元），且𝑦1 = 𝑘1𝑥+ 𝑏；按照方案二所需费用为𝑦2（元），
且𝑦2 = 𝑘2𝑥．其函数图象如图所示．
(1)求k1和b 的值，并说明它们的实际意义；
(2)求打折前的每次健身费用和𝑘2的值；
(3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身7 次，应选择哪种方案所需费用更少？请说明理由．
【答案】(1)k1的实际意义是：打六折后的每次健身费用为15 元．b 的实际意义是：每张学生暑期专享卡的
价格为30 元
(2)打折前的每次健身费用为25（元），𝑘2 = 20
(3)选择方案一所需费用更少．理由见解析
【分析】(1)直接根据函数的图象结合实际意义进行解答；
(2)根据方案一打折后每次健身费用是15 元，因为是打六折，故可求打折前的费用；然后根据方案二再打八
折即可求得k2 ；
(3)根据（1）（2）即可得到𝑦1 = 𝑘1𝑥+ 𝑏，𝑦2 = 𝑘2𝑥，当𝑦1 = 𝑦2时，解得：𝑥= 6．即可得到答案．
【详解】（1）解：𝑦1 = 𝑘1𝑥＋𝑏的图象过点(0，30)和点(10，180)，
∴{
30 = 𝑏,
180 = 10𝑘1 + 𝑏.
∴{𝑘1 = 15,
𝑏= 30.
．
k1的实际意义是：打六折后的每次健身费用为15 元．
b 的实际意义是：每张学生暑期专享卡的价格为30 元．
（2）打折前的每次健身费用为15 ÷ 0.6 = 25（元）
𝑘2 = 25 × 0.8 = 20．
（3）选择方案一所需费用更少．理由如下：
由（1）知𝑘1 = 15，𝑏= 30，
∴𝑦1 = 15𝑥+ 30．
由（2）知𝑘2 = 20，
∴𝑦2 = 20𝑥．
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当𝑦1 = 𝑦2时，15𝑥+ 30 = 20𝑥，解得：𝑥= 6．
结合函数图象可知，小华暑期前往该俱乐部健身7 次，选择方案一所需费用更少．
【变式2-3】（25-26 八年级上·江苏南通·期末）长沙某城建公司共有50 台渣土运输车，其中甲型20 台，乙
型30 台．现将这些渣土运输车全部配往长株潭城际轻轨建设的两工地，其中30 台派往A 地，20 台派往B
地．两工地与城建公司商定的每天的租赁价格如下：
甲型渣土车租金
乙型渣土车租金
A 地
1800 元/台
1600 元/台
B 地
1600 元/台
1200 元/台
(1)设派往A 地x 台甲型渣土运输车，该城建公司这50 台渣土车一天获得的租金为y（元），请求出y 与x
的函数解析式．
(2)若该城建公司这50 台渣土运输车一天的租金总额不低于79600 元，说明有多少种分派方案，并将各种方
案写出．
(3)在（2）条件下，选择哪种方案该城建公司一天获得租金最多？最多租金是多少？请说明理由．
【答案】(1)𝑦= −200𝑥+ 80000（0 ≤𝑥≤20）；
(2)3 种方案，具体见解析；
(3)派往A 地乙车30 台；派往B 地甲车20 台．租金最高为80000 元．
【分析】（1）利用甲车共有20 台，A 地共有30 台车，得出甲乙发往A、B 两地的车辆数量，再根据价格算
出一天租金即可；
（2）利用租金限制列出不等式得到发往A 地的甲车数量范围，得到发车方案；
（3）根据函数y 随x 增大的变化情况及x 的范围求出最多租金和其方案即可．
【详解】（1）∵甲车发A 地x 台，
∴甲车发B 地(20 −𝑥)，乙车发A 地(30 −𝑥)台，乙车发B 地x 台，
𝑦= 1800𝑥+ 1600(20 −𝑥) + 1600(30 −𝑥) + 1200𝑥，
∴𝑦= −200𝑥+ 80000（0 ≤𝑥≤20）；
（2）由题意得：−200𝑥+ 80000 ≥79600，
解得𝑥≤2，
𝑥= 0或1 或2，
故有如下三种方案，
第一种：派往A 地的甲车0 台，乙车30 台；派往B 地的甲车20 台，乙车0 台；
第二种：派往A 地的甲车1 台，乙车29 台；派往B 地的甲车19 台，乙车1 台；
第三种：派往A 地的甲车2 台，乙车28 台；派往B 地的甲车18 台，乙车2 台．
（3）∵𝑦= −200𝑥+ 80000（0 ≤𝑥≤20），
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∴y 随x 的增大而减小，
∴x 取最小值0 时，租金最多为80000 元，
此时方案为：派往A 地乙车30 台；派往B 地甲车20 台．
【变式2-4】（25-26 八年级上·河南周口·期末）某家用电器厂生产一种电饭煲和一种电热水壶，电饭煲每个
定价200 元，电热水壶每个定价60 元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供以下两种优惠方案：
方案一：每买一个电饭煲就赠送一个电热水壶；
方案二：电饭煲和电热水壶都按定价的80%付款．
某厨具店计划购进80 个电饭煲和x 个电热水壶(
)
80
x
．设选择方案一需付款
1y 元，选择方案二需付款
2y 元．
(1)分别写出
1y ，
2y 关于x 的函数表达式．
(2)当
200
x =
时．
①请通过计算说明该厨具店选择上面哪种方案更省钱．
②若两种优惠方案可以同时使用（使用方案一优惠过的商品不能再使用方案二优惠，使用方案二优惠过的
商品不能再使用方案一优惠），请你设计出更省钱的购买方案，并计算出该方案所需费用．
【答案】(1)
1
60
11200
y
x
=
+
，
2
48
12800
y
x
=
+
(2)①该厨具店选择方案二更省钱；②先按方案一购买80 个电饭煲，再按方案二购买120 个电热水壶．该
方案所需费用为21760 元
【分析】本题考查了用代数式表示和一次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意正确列出
函数表达式．
（1）根据题目所给的两个方案，分别列出代数表达式即可；
（2）①将
200
x =
分别代入（1）中得出的两个函数表达式，即可解答；②先按方案一购买80 个电饭煲，
再按方案二购买120 个电热水壶最省钱，计算即可．
【详解】（1）解：根据题意可得：
(
)
1
200 80
60
80
60
11200
y
x
x
=
+
−
=
+
，
2
200 80% 80
60 80%
48
12800
y
x
x
=
+
=
+
．
（2）解：①当
200
x =
时，
1
60 200 11200
23200
y =
+
=
，
2
48 200 12800
22400
y =
+
=
．
∵23200
22400
，
∴该厨具店选择方案二更省钱．
②更省钱的购买方案：
先按方案一购买80 个电饭煲，再按方案二购买120 个电热水壶．
该方案所需费用为200 80 120 80% 60
21760
+
=
（元）．
【变式2-5】（25-26 八年级上·陕西宝鸡·期末）“生活即教育，行为即课程”．某校将劳动教育融入立德树人
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全过程．学校给每个班划分一块地供学生“种菜”，某班现要购买肥料对该地施肥，该班班长与农资店店主商
量后，店主给出了两种购买方案（如表），且都送货上门．
方案
运费
肥料价格
方案一
12 元
3 元/kg
方案二
0 元
3.6 元/kg
若该班购买x 千克肥料，按方案一购买的付款总金额为
1y 元，按方案二购买的付款总金额为
2y 元．
(1)请分别写出
1
2
,
y y 与x 之间的函数关系式；
(2)若该班计划用180 元钱购买肥料，请问该班选择哪种购买方案购买的肥料较多？
【答案】(1)
1
3
12
y
x
=
+
，
2
3.6
y
x
=
(2)方案一
【分析】本题考查一次函数的应用，列出正确的函数关系式是解答的关键．
（1）根据两种销售方案表示出销售总价即可；
（2）用不同的购买方法，分别计算所用金额，比较得出答案．
【详解】（1）解：
1y 与x 之间的函数关系式为
1
3
12
y
x
=
+
，
2y 与x 之间的函数关系式为
2
3.6
y
x
=
．
（2）解：当
1
180
y =
时，3
12
180
x+
=
，解得
56
x =
，
当
2
180
y =
时，3.6
180
x =
，解得
50
x =
，
56
50
，
该班选择方案一购买的肥料较多．
【变式2-6】（25-26 八年级上·安徽淮北·期末）某企业计划购进一批智能机器人，总价在20 万元以上，商
家推出两种分期付款购买机器人的活动：①首付款满20 万元，减2 万元；②首付款满15 万元，分期交付
的余款可享受八折优惠．
(1)该企业选中的智能机器人的总价为x 万元，采取哪种付款方式比较省钱？请说明理由；
(2)已知购买智能机器人的总价低于50 万元，除首付款之外，该企业分期付款的能力是每月2 万元．若不考
虑其他因素，为早日结清余款，该企业该怎样选择？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)采取第①种方式可早日结清余款，理由见解析
【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确理解题意列出关系式是关键．
（1）先根据题意表示出第①种，第②种应实付款，再分类讨论即可；
（2）分别表示出所购智能机器人的总价x（万元）与结清余款所需的月数之间的函数关系式，相减即可求
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解．
【详解】（1）解：第①种应实付款
1
2
y
x
=
−，
第②种应实付款
(
)
2
0.8
15
15
0.8
3
y
x
x
=
−
+
=
+
，
(
) (
)
1
2
2
0.8
3
0.2x 5
y
y
x
x
−
=
−
−
+
=
−，
令0.2
5
0
x−=
，解得
25
x =
当智能机器人的总价20
25
x
万元时，采取第①种方式较省钱；
当智能机器人的总价
25
x =
万元时，两种方式一样；
当智能机器人的总价
25
x
万元时，采取第②种方式较省钱．
（2）该企业采取第①种优惠方式所购智能机器人的总价x（万元）与结清余款所需的月数
1n 之间的关系为：
1
20
2
2
x
n
−
−
=
，即
1
0.5
11
n
x
=
−
该企业采取第②种优惠方式所购智能机器人的总价x（万元）与结清余款所需的月数
2n 之间的关系为：
(
)
2
0.8
15
2
x
n
−
=
，即
2
0.4
6
n
x
=
−
(
) (
)
1
2
0.5
11
0.4
6
0.1
5
n
n
x
x
x
−
=
−
−
−
=
−
因为
50
x
，所以
1
2
n
n
∴采取第①种方式可早日结清余款．
【变式2-7】（25-26 八年级上·陕西渭南·期末）古人常说：“读书可以启智，读书可以明理，读书可以医愚”，
读书不但可以让人增长智慧，开拓视野，而且还能让人明事理，知荣辱．某校为营造书香校园，计划购进x
个某品牌书架，已知该品牌书架的单价为200 元/ 个，经过与厂家协商，厂家给出两种优惠方案：
方案一：所有书架均按原价的八折销售；
方案二：若一次购买不超过10个，则每个书架按原价的九折销售；若一次购买超过10个，则前10个打九折，
超过的部分每个书架的价格在九折的基础上再降低30元．
(1)分别求方案一实际付款金额
1y （元）和方案二实际付款金额
2y （元）与x 之间的函数关系式；
(2)当
20
x
时，请分别求出两种方案的实际付款金额，并判断选择哪种方案对学校来说更省钱．
【答案】(1)
1
200 0.8
160
y
x
x
=
=
，
(
)
(
)
2
180
0
10
150
300
10
x
x
y
x
x
=
+
；
(2)选择方案一更省钱．
【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键；
（1）根据题意分别列出两种方案的函数关系式即可；
（2 ）将
20
x
分别代入（1）中两种方案的函数关系式，计算比较即可．
【详解】（1）解：由题意可得：
1
200 0.8
160
y
x
x
=
=
，
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当0
10
x
时，
2
200 0.9
180
y
x
x
=
=
，
当
10
x
时，
(
) (
)
2
10 200 0.9
10
200 0.9
30
150
300
y
x
x
=
+
−
−
=
+
，
∴
1
200 0.8
160
y
x
x
=
=
，
(
)
(
)
2
180
0
10
150
300
10
x
x
y
x
x
=
+
；
（2）解：当
20
x
时，
1
160 20
3200
y =
=
（元），
2
150 20
300
3300
y =
+
=
（元），
∴3200
3300
，
∴选择方案一更省钱．
▌题型03 一次函数与最大利润问题
对于一些实际问题，根据题目背景，可以得到自变量的取之范围，再结合一次函数的增减性，可以得到在限
定范围内的最大值。
【典例3】（25-26 八年级上·黑龙江绥化·期末）动画片《喜羊羊与灰太狼》正在热播中．某企业获得了生产
羊公仔和狼公仔的专利．为了满足市场需求，该企业现在开始生产羊和狼两种类别的公仔，每天共生产450
只；两种公仔成本和售价如下表所示，设每天生产羊公仔x 只，共获利y 元．
(1)求出y 与x 之间的函数关系式；
(2)如果该企业每天投入成本不超过10000 元，那么每天要获利最多，应生产羊公仔和狼公仔各多少只？
类别
成本（元/只）
售价（元/只）
羊公仔
20
23
狼公仔
30
35
【答案】(1)
2
2250
y
x
= −
+
(2)应生产羊公仔350 ，狼公仔100 只
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据
题意找出数量关系，
（1）设每天生产羊公仔x 只，则每天生产狼公仔(
)
450
x
−
只，根据总利润=羊公仔利润+狼公仔利润，即可
得出函数关系式；
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（2）根据题意，列出不等式，求出x 的取值范围，再结合一次函数的增减性，即可解答．
【详解】（1）解：设每天生产羊公仔x 只，则每天生产狼公仔(
)
450
x
−
只，
根据题意可得：
(
)
(
)(
)
23 10
35
30
450
2
2250
y
x
x
x
=
−
+
−
−
= −
+
，
即y 与x 之间的函数关系式为：
2
2250
y
x
= −
+
；
（2）解：根据题意可得：
(
)
20
30 450
10000
x
x
+
−
，
解得：
350
x
，
∵
2
2250
y
x
= −
+
，
2
0
k = −
，
∴y 随x 的增大而减小，
∴当
350
x =
时，y 有最大值，
∴450
450 350
100
x
−
=
−
=
（只），
答：应生产羊公仔350 ，狼公仔100 只．
【变式3-1】（25-26 八年级上·宁夏银川·期末）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果
进行销售．通过市场调研发现：购进6 千克甲种水果和10 千克乙种水果共需110 元；乙种水果每千克的进
价比甲种水果多3 元．
(1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？
(2)已知甲、乙两种水果的售价分别为7 元/千克和11 元/千克，若水果店购进这两种水果共200 千克，其中
甲种水果的重量不低于乙种水果的3 倍．则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】(1)甲种水果的进价为5 元/kg ，乙种水果进价为8 元/kg
(2)水果店应购进甲水果150kg ，购进乙水果50kg 才能获得最大利润，最大利润是450 元
【分析】（1）设甲种水果的进价为x 元/kg ，则乙种水果进价为(
)
3
x +
元/kg ，列方程
(
)
6
10
3
110
x
x
+
+
=
解答即可．
（2）设购进甲水果m kg ，则乙水果(
)
200
kg
m
−
，利润为y 元.
(
)
(
)(
)
7
5
11 8
200
600
y
m
m
m
=
−
+
−
−
= −
+
，
利用一次函数的性质解答即可．
本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的性质的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
【详解】（1）设甲种水果的进价为x 元/kg ，则乙种水果进价为(
)
3
x +
元/kg
(
)
6
10
3
110
x
x
+
+
=
5
x =
5 3
8
+ = （元）
答：甲种水果的进价为5 元/kg ，乙种水果进价为8 元/kg .
（2）设购进甲水果m kg ，则乙水果(
)
200
kg
m
−
，利润为y 元.
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(
)
(
)(
)
7
5
11 8
200
600
y
m
m
m
=
−
+
−
−
= −
+
∵
(
)
3 200
m
m
−
，
∴
600 3
m
m
−
，
∴4
600
m
，
∴
150
m
，
又∵1<0
−
，
∴y 随m 的增大而减小.
∴当
150
m =
时，y 最大，最大值为450 元.
【变式3-2】（25-26 八年级上·陕西咸阳·期末）“读万卷书，行万里路”，最美的风景在路上．为了让同学们
在实践中增长见识、提高学习兴趣、陶冶情操，某中学组织八年级师生共600 人开展研学活动，现有甲、乙
两种客车，它们的载客量和租金如表所示：
甲型客车
乙型客车
载客量（人辆）
45
60
租金（元/辆）
800
1200
倘若甲、乙两种客车都需要租用，每位师生都有座位且座位没有剩余，设租x 辆甲型客车，租车总费用为y
元．
(1)求y 与x 之间的函数关系式；
(2)请你设计一种租车方案，要求费用最省．
【答案】(1)
100
12000
y
x
= −
+
(2)租用甲种客车12 辆，乙种客车1 辆，费用最省
【分析】本题考查了一次函数的应用，综合性强，解决问题的关键在于找到x 的取值范围，才能确定方案．本
题较为灵活，计算量略微有些大，考查了学生的推理能力、计算能力．
（1）设租用甲种客车x 辆，则乙种客车是600
45
60
x
−
辆，利用公式：总租金= 甲的总租金+ 乙的总租金，即可
列出y 与x 之间的函数关系式；
（2）求出x 的取值范围，再根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）依题意得：
600
45
800
1200
100
12000
60
x
y
x
x
−
=
+
= −
+
（x 为整数）
（2）依题意得：
600
45
0
x
−
，
解之，得
40
3
x
，
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x
为整数，且600
45
3
10
60
4
x
x
−
=
−
为整数，
100
12000
y
x
= −
+
中，100
0
−
，y 随x 的增大而减小，
x
的值为12 时，y 有最小值，为100 12 12000 10800
−
+
=
，此时600
45
1
60
x
−
= ，
租用甲种客车12 辆，乙种客车1 辆，费用最省．
【变式3-3】（25-26 八年级上·河南南阳·期末）为扎实推进“百县千镇万村高质量发展工程”，某镇已将区域
内特色农产品：水晶梨和鹰嘴桃发展成品牌农业，形成“专业合作+基地+农户”产销一条龙服务的产业经营模
式，促进农民增收．甲商场从该镇购买500 斤水晶梨和300 斤鹰嘴桃共用了4300 元，已知水晶梨的单价比
鹰嘴桃的单价少1 元．
(1)水晶梨和鹰嘴桃的单价分别是多少元？
(2)若该商场一次性购买这两种水果1200 斤，并且在一天内分别以水晶梨每斤8 元，鹰嘴桃每斤10 元的价格
全部售出，经市场调查发现商场每天最多能售出鹰嘴桃600 斤，若商场购买鹰嘴桃的数量为n 斤，总利润为
w 元，求w 关于n 的函数关系式，并求出购买的鹰嘴桃为多少斤时，商场的利润最大，最大利润为多少元．
【答案】(1)水晶梨和鹰嘴桃的单价分别是5 元，6 元
(2)
(
)
3600
600
w
n
n
=
+
；购买的鹰嘴桃为600 斤时，商场的利润最大，登大利润为4200 元
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一次函数的实际应用：
（1）设鹰嘴桃的单价为x 元，则水晶梨的单价为(
)
1
x −
元，根据购买500 斤水晶梨和300 斤鹰嘴桃共用了
4300 元列出方程求解即可；
（2）根据题意可得购买水晶梨的数量为(
)
1200
n
−
斤，则可求出
3600
w
n
=
+
，据此利用一次函数的性质求
解即可．
【详解】（1）解：设鹰嘴桃的单价为x 元，则水晶梨的单价为(
)
1
x −
元，
依题意，得
(
)
500
1
300
4300
x
x
−
+
=
，
解得
6
x =
，则6 1
5
−= （元），
答：水晶梨和鹰嘴桃的单价分别是5 元，6 元；
（2）解：∵商场购买鹰嘴桃的数量为n 斤，
购买水晶梨的数量为(
)
1200
n
−
斤，
依题意，得
(
)(
)
(
)
8
5 1200
10
6
3600
w
n
n
n
=
−
−
+
−
=
+
，
∵1
0
，
∴w 随着n 的增大而增大，
经市场调查发现商场每天最多能售出鹰嘴桃600 斤，
600
n
，
∴当
600
n =
时．w 有最大值，最大值为
600 3600
4200
w =
+
=
，
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购买的鹰嘴桃为600 斤时，商场的利润最大，登大利润为4200 元．
【变式3-4】（25-26 八年级上·福建泉州·期末）某公司有𝐴型产品40 件，𝐵型产品60 件，分配给甲、乙两
个商店销售，其中70 件给甲店，30 件给乙店，且全部售出，两种产品的利润如表所示：
𝐴型产品利
润
𝐵型产品利
润
甲店
200 元/件
170 元/件
乙店
160 元/件
150 元/件
(1)设分配给甲店𝐴型产品𝑥件，这家公司卖出这100 件产品的总利润为𝑊（元），求𝑊关于𝑥的函数关系式，
并直接写出𝑥的取值范围．
(2)为了促销，公司决定仅对甲店𝐴型产品让利销售，每件让利𝑎(𝑎> 0)元，但让利后𝐴型产品每件的利润仍
高于甲店𝐵型产品每件的利润，其它利润不变，问该公司如何设计分配方案，可使得总利润最大？
【答案】(1)𝑊= 20𝑥+ 16800(10 ≤𝑥≤40)
(2)当0 < 𝑎< 20时，分配给甲店𝐴型产品40 件，则分配给甲店的𝐵型产品为30 件，分配给乙店的𝐴型产品0
件，𝐵型产品为30 件，有最大利润；当20 < 𝑎< 30时，分配给甲店𝐴型产品10 件，则分配给甲店的𝐵型产
品为60 件，分配给乙店的𝐴型产品30 件，𝐵型产品为0 件，有最大利润；当𝑎= 20时，总利润与分配方案
无关，总利润是16800 元
【分析】（1）表示出分配给甲店的B 型产品为(70 −𝑥)件，分配给乙店的A 型产品(40 −𝑥)件，B 型产品为
30 −(40 −𝑥) = (𝑥−10)件，然后根据图表数据表示出利润W 整理即可得解，再根据分配给各店的产品数
量是非负数列出不等式组求解即可得到x 的取值范围；
（2）根据只有分配给甲店的A 型产品让利，列出利润的关系式，再分a 的取值范围，根据一次函数的增减
性确定总利润最大值时的情况．
【详解】（1）解：设分配给甲店𝐴型产品𝑥件，则分配给甲店的𝐵型产品为(70 −𝑥)件，
分配给乙店的𝐴型产品(40 −𝑥)件，𝐵型产品为30 −(40 −𝑥) = (𝑥−10)件，
根据题意得，𝑊= 200𝑥+ 170(70 −𝑥) + 160(40 −𝑥) + 150(𝑥−10) = 20𝑥+ 16800，
根据运送数量都是非负数得，{
𝑥≥0
70 −𝑥≥0
40 −𝑥≥0
𝑥−10 ≥0
，解得10 ≤𝑥≤40，
所以，𝑊关于𝑥的函数关系式为，𝑊= 20𝑥+ 16800(10 ≤𝑥≤40)；
（2）𝑊= (200 −𝑎)𝑥+ 170(70 −𝑥) + 160(40 −𝑥) + 150(𝑥−10) = (20 −𝑎)𝑥+ 16800，
∵让利后𝐴型产品每件的利润仍高于甲店𝐵型产品每件的利润，∴200 −𝑎> 170，
解得𝑎< 30，
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①0 < 𝑎< 20时，20 −𝑎> 0，𝑊随𝑥的增大而增大，𝑥= 40时，𝑊有最大值，
此时，分配给甲店𝐴型产品40 件，则分配给甲店的𝐵型产品为30 件，
分配给乙店的𝐴型产品0 件，𝐵型产品为30 件；
②20 < 𝑎< 30时，20 −𝑎< 0，𝑊随𝑥的增大而减小，𝑥= 10时，𝑊有最大值，
此时，分配给甲店𝐴型产品10 件，则分配给甲店的𝐵型产品为60 件，
分配给乙店的𝐴型产品30 件，𝐵型产品为0 件．
③𝑎= 20时，总利润与分配方案无关，总利润是16800 元．
【变式3-5】（25-26 八年级上·河南洛阳·期末）俄乌战争仍在继续，人们对各种军用装备倍感兴趣，某商家
购进坦克模型（记作A）和导弹（记作B）两种模型，若购进A 种模型10 件，B 种模型5 件，需要1000 元；
若购进A 种模型4 件，B 种模型3 件，需要550 元．
(1)求购进A，B 两种模型每件分别需多少元？
(2)若销售每件A 种模型可获利润20 元．每件B 种模型可获利润30 元．商店用1 万元购进模型，且购进A
种模型的数量不超过B 种模型数量的8 倍，设总盈利为W 元，购买B 种模型b 件，请求出W 关于b 的函数
关系式，并求出当b 为何值时，销售利润最大，并求出最大值．
【答案】(1)A、B 两种模型每件分别需要25 元，150 元
(2)𝑤= 8000 −90𝑏，购进A 模型226 件，B 模型29 件利润最大为5390 元
【分析】（1）设购进A，B 两种模型每件分别需要x 元，y 元，列方程组求解即可．
（2）设购买A 种模型a 件，购买B 种模型b 件，由题意列出方程组，求出b 的范围，再列出W 与b 的函数
关系式，求最值即可．
【详解】（1）设购进A、B 两种模型每件分别需要x 元，y 元，由题意得：
{10𝑥+ 5𝑦= 1000
4𝑥+ 3𝑦= 550
解得{ 𝑥= 25
𝑦= 150
答：A、B 两种模型每件分别需要25 元，150 元．
（2）设购买A 种模型a 件，B 种模型b 件，
{25𝑎+ 150𝑏= 10000
𝑎≤8𝑏
，
解得𝑏≥
200
7
则购买A 种模型为
10000−150𝑏
25
件，即(400 −6𝑏)件，
则𝑤= 20 × (400 −6𝑏) + 30𝑏，即𝑤= 8000 −90𝑏
∵−90 < 0，
∴当b 取最小值时总利润最大，由（2）得𝑏≥
200
7 ，b 为整数，
∴当𝑏= 29时，𝑤= 8000 −90 × 29 = 5390，
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∴购进A 模型226 件，B 模型29 件利润最大为5390 元
【变式3-6】（25-26 八年级上·陕西咸阳·期末）为稳步推进乡村建设，某地推广魔芋种植并邀请相关农业技
术人员来指导当地居民种植．小林家种植魔芋，并利用魔芋开发出A，B 两种产品，其售价和成本如表所示：
商品
A 产品
B 产品
成本（元／袋）
8
15
售价（元／袋）
12
20
(1)已知第一季度A，B 两种产品共销售2000袋，获利9200元．求小林家第一季度销售A 产品多少袋；
(2)根据之前的销售情况，估计第二季度还能由上表中的价格销售两种产品共3600袋，其中A 产品的销售量
不高于1000袋．假设第二季度，销售A 产品为a 袋，销售这两种产品获得总利润为w 元，求出w 与a 之间
的函数关系式，并求出第二季度，小林家销售这两种产品至少获得总利润多少元．
【答案】(1)800
(2)𝑤= −𝑎+ 18000，17000元
【分析】（1）设第一季度销售A 产品x 袋，则销售B 产品(2000 −𝑥)袋，根据获利9200元列出方程，解方
程即可；
（2）小林家第二季度A 种产品的销售量为a 袋，则B 种产品销售量为(3600 −𝑎)袋，根据利润列出一次函
数解析式，再根据一次函数的性质求出最小值即可得到答案．
【详解】（1）解：设第一季度销售A 产品x 袋，则销售B 产品(2000 −𝑥)袋，
由题意得：(12 −8)𝑥+ (20 −15)(2000 −𝑥) = 9200，
解得：𝑥= 800，
∴小林家第一季度销售A 产品800袋；
（2）小林家第二季度A 种产品的销售量为a 袋，则B 种产品销售量为(3600 −𝑎)袋，
由题意得𝑤= (12 −8)𝑎+ (20 −15)(3600 −𝑎)，
∴w 与a 之间的函数关系式𝑤= −𝑎+ 18000，
∵−1 < 0，
∴w 随a 的增大而减小，
由题意知，𝑎≤1000，
∴当𝑎= 1000时，𝑤
最小= −1000 + 18000 = 17000，
∴小林家销售这两种产品至少获得总利润17000元．
【变式3-7】（25-26 八年级上·重庆·期末）某商业集团新进了40 台空调机，60 台电冰箱，计划调配给下属
的甲、乙两个连锁店销售，其中70 台给甲连锁店，30 台给乙连锁店．两个连锁店销售这两种电器每台的利
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润（元）如下表：
空调机
电冰箱
甲连锁店
200
170
乙连锁店
160
150
设集团调配给甲连锁店𝑥台空调机，集团卖出这100 台电器的总利润为𝑦（元）．
(1)求𝑦关于𝑥的函数关系式，并求出𝑥的取值范围；
(2)为了促销，集团决定仅对甲连锁店的空调机每台让利𝑎元销售，其它的销售利润不变，并且让利后每台空
调机的利润仍然高于甲连锁店销售的每台电冰箱的利润，问该集团应该如何设计调配的方法，使总利润达到
最大？最大利润为多少？
【答案】(1)𝑦= 20𝑥+ 16800(10 ≤𝑥≤40)
(2)①当0＜𝑎＜20时，调配给甲连锁店空调机40 台，电冰箱30 台，乙连锁店空调机0 台，电冰箱30 台；
最大利润为（17600 −40𝑎）元；当𝑎 = 20时，10 ≤≤40内的所有方法利润相同，最大利润为16800元；当
20＜𝑎＜30时，调配给甲连锁店空调机10 台，电冰箱60 台，乙连锁店空调机30 台，电冰箱0 台，最大利
润为（17000 −10𝑎）元
【分析】（1）根据总利润=甲连锁店空调机利润+甲连锁店电冰箱利润+乙连锁店空调机利润+乙连锁店电冰
箱利润即可求解；
（2）根据题意可重新列出总利润与𝑥的关系，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意知：调配给甲连锁店电冰箱(70 −𝑥)台，调配给乙连锁店空调机(40 −𝑥)台，电
冰箱(𝑥−10)台，
则𝑦 = 200𝑥+ 170(70 −𝑥) + 160(40 −𝑥) + 150(𝑥−10)，
即𝑦 = 20𝑥+ 16800．
∵{
𝑥≥0
70 −𝑥≥0
40 −𝑥≥0
𝑥−10 ≥0
∴10 ≤𝑥≤40，
∴𝑦 = 20𝑥+ 16800(10 ≤𝑥≤40)；
（2）解：按题意知：𝑦= (200 −𝑎)𝑥+ 170(70 −𝑥) + 160(40 −𝑥) + 150(𝑥−10)，
即𝑦= (20 −𝑎)𝑥+ 16800，
∵200 −𝑎> 170，
∴𝑎< 30．
①当0＜𝑎＜20时，𝑥= 40，即调配给甲连锁店空调机40 台，电冰箱30 台，乙连锁店空调机0 台，电冰箱
30 台；最大利润为(17600 −40𝑎)元．
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②当𝑎 = 20时，𝑥的取值在10≤𝑥≤40 内的所有方法利润相同；最大利润为16800 元．
③当20＜𝑎＜30时，𝑥= 10，即调配给甲连锁店空调机10 台，电冰箱60 台，乙连锁店空调机30 台，电冰
箱0 台；最大利润为(17000 −10𝑎)元．
【变式3-8】（25-26 八年级上·贵州黔东南·期末）2022 年世界杯期间，某商店购进A、B 两种品牌的足球进
行销售．销售5 个A 品牌和10 个B 品牌足球的利润和为700 元，销售10 个A 品牌和5 个B 品牌足球的利
润和为800 元．
(1)每个A 品牌和B 品牌足球的销售利润分别是多少元？
(2)商店计划购进两种品牌足球共100 个，设购进A 品牌足球x 个，两种品牌的足球全部销售完共获利y 元．
①求y 与x 之间的函数关系式；
②若购进A 品牌足球的个数不超过B 品牌足球个数的4 倍，应怎样进货销售利润最大，最大利润为多少？
【答案】(1)每个A 品牌足球的销售利润为60 元、每个B 品牌足球的销售利润为40 元
(2)①𝑦= 20𝑥+ 4000②应购进A 品牌足球80个，B 品牌足球20个，销售利润最大，为5600元
【分析】（1）设每个A 品牌和B 品牌足球的销售利润分别为m 元、n 元，根据题“销售5 个A 品牌和10个B
品牌足球的利润和为700元，销售10个A 品牌和5 个B 品牌足球的利润和为800元”得方程组，解方程组即得；
（2）①由题意、根据“总利润等于销售A 品牌和B 品牌所得利润之和”可得函数关系式；②由已知条件可得
关于x 的不等式，从而得出x 的取值范围，再根据一次函数的增减性，即可求出最大利润．
【详解】（1）解：设每个A 品牌足球的销售利润为m 元、每个B 品牌足球的销售利润为n 元，根据题意，
得：{5𝑚+ 10𝑛= 700
10𝑚+ 5𝑛= 800
，
解得：{𝑚= 60
𝑛= 40
，
答：每个A 品牌足球的销售利润为60 元、每个B 品牌足球的销售利润为40 元；
（2）解：①由题意知，𝑦= 60𝑥+ 40(100 −𝑥) = 20𝑥+ 4000，
∴y 与x 之间的函数关系式为𝑦= 20𝑥+ 4000；
②∵购进A 品牌足球的个数不超过B 品牌足球个数的4 倍，
∴𝑥≤4(100 −𝑥)，
解得：𝑥≤80，
在𝑦= 20𝑥+ 4000中，
∵20 > 0，
∴y 随x 的增大而增大，
∴当𝑥= 80时，y 取得最大值，最大值为20 × 80 + 4000 = 5600，
即最大利润为5600元．
∴应购进A 品牌足球80个，B 品牌足球20个，销售利润最大，为5600元．
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【变式3-9】（25-26 八年级上·福建厦门·期末）厦门一中数学组为校园“科技节”筹备“数学知识竞赛”活动，
计划对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知3 件甲种奖品和2 件乙种奖品共需70 元，2
件甲种奖品和3 件乙种奖品共需80 元．
(1)求甲、乙两种奖品的单价分别为多少元？
(2)根据颁奖计划，学校需甲、乙两种奖品共30 件，其中甲种奖品的数量不超过乙的3 倍，求购买两种奖品
的总费用的最小值．
【答案】(1)甲、乙两种奖品的单价分别为10 和20 元；
(2)当𝑎= 22时，𝑤有最小值380元．
【分析】（1）设甲、乙两种奖品的单价分别为𝑥、𝑦元，根据“3 件甲种奖品和2 件乙种奖品共需70 元，2
件甲种奖品和3 件乙种奖品共需80 元”列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设购买甲𝑎件，根据“甲种奖品的数量不超过乙的3 倍”求得𝑎的范围，再根据题意得到𝑤关于𝑎的一次函
数，利用一次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设甲、乙两种奖品的单价分别为𝑥、𝑦元，
则{3𝑥+ 2𝑦= 70
2𝑥+ 3𝑦= 80
，{𝑥= 10
𝑦= 20
，
答：甲、乙两种奖品的单价分别为10 和20 元；
（2）解：设购买甲𝑎件，则𝑎≤3(30 −𝑎)，
解得：𝑎≤22
1
2，
由题意得𝑤= 10𝑎+ 20(30 −𝑎) = −10𝑎+ 600，
∵−10 < 0，
∴𝑤随𝑎增大而减小，
∴当𝑎= 22时，𝑤有最小值：−10 × 22 + 600 = 380（元）．
▌题型04 一次函数与行程问题
行程问题中，主要有两种图象：v-t 图和s-t 图，s-t 图又包括路程-时间图象和距离-时间图象
v-t
s-t 图(路程-时间)
s-t 图(距离-时间)
OA 段
加速运动
匀速运动
距离增加，不一定匀速
AB 段
匀速运动
静止
距离不变，不一定静止
BC 段
减速运动
不存在
距离减少，不一定匀速
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【典例4】（25-26 八年级上·河北沧州·期末）“龟兔首次赛跑”的故事家喻户晓．输掉比赛的兔子与乌龟进行
了第二次赛跑．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的情形（x 表示乌龟从起点出发所行的时间，𝑦1表示
乌龟所行的路程，𝑦2表示兔子所行的路程）．有下列说法：
①“龟兔再次赛跑”的路程为1000 米；
②兔子和乌龟同时从起点出发；
③乌龟在途中休息了10 分钟；
④本次比赛兔子赢了．
其中正确的说法有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】从图表中提取有用信息逐一判断即可解题．
【详解】解：根据图象可知龟兔再次赛跑的路程为1000米，
故①正确；
兔子在乌龟跑了40分钟之后开始跑，
故②错误；
乌龟在30 −40分钟时的路程为0，故这10分钟乌龟没有跑在休息，
故③正确.
兔子先到达终点，所有本次比赛兔子赢了，
故④正确.
正确的有3个，
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故选C．
【变式4-1】依依放学后以一定速度匀速步行回家，他在路上遇到了同学钟钟，两人停下来聊了一会儿，然
后依依提高了速度继续匀速步行回家，下列图象能表示依依放学回家的行程中，所剩路程与依依步行时间之
间的关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】据题意可以写出各段过程中，所剩路程与时间的关系，从而可以解答本题．
【详解】解：由题意可得，
依依放学后以一定速度匀速步行回家这一过程中，所剩路程随着时间的增加而减小；
依依在路上遇到了同学钟钟，两人停下来聊了一会儿，这一过程中，所剩路程随着时间的增加不变；
然后依依提高了速度继续匀速步行回家，所剩路程随着时间的增加而减小，且减小的速度比遇到了同学前的
速度快．
故选：C．
【变式4-2】如图所示，货车匀速通过隧道（隧道长大于货车长）时，货车从进入隧道至离开隧道的时间x
与货车在隧道内的长度y 之间的关系用图象描述大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
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【分析】火车进入隧道时，长度逐渐增加，直至完全进入，然后长度一直不变，一直到开始离开隧道，长度
减小，直至完全离开隧道．
【详解】解：根据题意可知货车进入隧道的时间x 与货车在隧道内的长度y 之间的关系具体可描述为：
当货车开始进入隧道时y 逐渐变大，当货车完全进入隧道，由于隧道长大于货车长，此时y 不变且最大，
当货车开始离开隧道时y 逐渐变小．另外货车是匀速运动，货车进入隧道或离开隧道y 随x 的均匀变化而均
匀增大或减小，故图象呈直线型，排除选项B、C、D．
故选：A．
【变式4-3】（25-26 八年级上·贵州毕节·期末）早上，小明从家里步行去学校，出发一段时间后，小明妈妈
发现小明的作业本落在家里，便带上作业本骑车追赶，途中追上小明两人稍作停留，妈妈骑车返回，小明继
续步行前往学校，两人同时到达．设小明在途中的时间为x，两人之间的距离为y,则下列选项中的图象能大
致反映y 与x 之间关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】对整个过程分段：小明出发至妈妈出门追，妈妈出门追至追上，停留，两人分开至同时到达，分别
分析讨论．
【详解】由题意可得，小明从家出发到妈妈出门追这段时间，y 随x 的增大而增大，妈妈出门追至追上小明
这段时间，y 随x 的增大而减小，停留阶段，y 随x 的增大不变，小明和妈妈分别去学校、回家的这段时间，
y 随x 的增大而增大；
故选：B．
【变式4-4】（25-26 八年级上·湖北武汉·期末）早晨，小刚沿着通往学校唯一的一条路（直线）上学，途中
发现忘带盒饭，停下来往家里打电话，妈妈接到电话后带上饭盒马上赶往学校，同时小刚返回，两人相遇后，
小刚立即赶往学校，妈妈回家，15 分钟妈妈到家，再经过3 分钟小刚到达学校，小刚始终以100 米/分的速
度步行，小刚和妈妈的距离𝑦（单位：米）与小刚打完电话后的步行时间𝑡（单位：分）之间的函数关系如图，
下列四种说法：
①打电话时，小刚和妈妈的距离为1250米；
②小刚和妈妈相遇后，妈妈回家的度为15米/分；
③打完电话后，经23分钟小刚到达学校；
④小刚家与学校的距离为2550米．其中正确的个数是（ ）
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A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【分析】根据函数的图象和已知条件分别分析探讨其正确性，进一步判定得出答案即可．
【详解】解：①由图可知打电话时，小刚和妈妈的距离为1250 米是正确的；
②打完电话后5 分钟两人相遇后，妈妈的速度是1250 ÷ 5 −100 = 150米/分，走的路程为150 × 5 = 750米，
回家的速度是750 ÷ 15 = 50米/分，所以回家的速度为15 米/分是错误的；
③因为打完电话后5 分钟两人相遇后，小刚立即赶往学校，妈妈回家，15 分钟妈妈到家，再经过3 分钟小
刚到达学校，经过5 + 15 + 3 = 23分钟小刚到达学校，所以是正确的；
④小刚家与学校的距离为750 + (15 + 3) × 100 = 2550米，所以是正确的．
∴正确的有①③④共3 个．
故选：C．
【变式4-5】（25-26 八年级上·广东广州·期末）已知𝐴，𝐵两地相距600 米，甲、乙两人同时从𝐴地出发前往
𝐵地，出发2 分钟后，乙减慢了速度，最终比甲晚到，两人所走路程𝑦（米）与行驶时间𝑥（分）之间的关系
如图所示，请回答下列问题：
(1)求乙的路程𝑦与行驶时间𝑥之间的函数关系式？
(2)求乙行驶多长时间时，乙在甲前方50 米？
【答案】(1)𝑦= 50𝑥+ 200(𝑥≥2)
(2)1 分钟3 分钟
【分析】（1）先设出乙减慢速度后的函数解析式，再用待定系数法求解即可；
（2）根据题意，乙在甲前方50 米有两种情况，进行分类讨论即可．
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【详解】（1）解：设乙减慢速度后函数关系式为𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏，
把(2,300)和(6,500)代入𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏得，
{2𝑘+ 𝑏= 300
6𝑘+ 𝑏= 500
，
解得：{ 𝑘= 50
𝑏= 200
，
∴乙减慢速度后函数关系式为𝑦= 50𝑥+ 200(𝑥≥2)；
（2）解：由图象可得，
甲的速度为：600 ÷ 6 = 100（米/分）；
①乙改变速度之前速度为：
300
2 = 150（米/分），
∴150𝑥−100𝑥= 50，
解得：𝑥= 1；
乙改变速度之后，𝑦甲= 100𝑥，𝑦乙= 50𝑥+ 200(𝑥≥2)，
②乙在甲前方50 米，即𝑦乙−𝑦甲= 50，即50𝑥+ 200 −100𝑥= 50，
解得：𝑥= 3．
综上所述，乙行驶1 分钟3 分钟时，乙在甲前方50 米．
【变式4-6】（25-26 八年级上·江苏南通·期末）李师傅将容量为60 升的货车油箱加满后，从工厂出发运送
一批物资到某地．行驶过程中，货车离目的地的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的关系如图所示（中
途休息、加油的时间不计）．当油箱中剩余油量为10 升时，货车会自动显示加油提醒．设货车平均耗油量
为0.1升/千米，请根据图象解答下列问题：
(1)工厂离目的地的路程为______km；
(2)求s 关于t 的函数表达式，并写出自变量t 的取值范围；
(3)当货车显示加油提醒后，问行驶时间t 在怎样的范围内货车应进站加油？
【答案】(1)880
(2)𝑠= −80𝑡+ 880(0 ≤𝑡≤11)；
(3)
25
4 < 𝑡<
15
2 ．
【分析】（1）根据图象直接得出结论即可；
（2）根据图象，利用待定系数法求解函数表达式即可；
（3）分别求出余油量为10 升和0 升时行驶的路程，根据函数表达式求出此时的t 值，即可求得t 的范围．
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【详解】（1）解：由图象，得𝑡= 0时，𝑠= 880，
故答案为：880；
（2）解：设𝑠= 𝑘𝑡+ 𝑏(𝑘≠0)，将𝑡= 0，𝑠= 880和𝑡= 4，𝑠= 560分别代入表达式，
得{
880 = 𝑏
560 = 4𝑘+ 𝑏
，解得{𝑘= −80
𝑏= 880
，
∴s 关于t 的函数表达式为𝑠= −80𝑡+ 880(0 ≤𝑡≤11)；
（3）解：当油箱中剩余油量为10 升时，𝑠= 880 −(60 −10) ÷ 0.1 = 380（千米），
∴380 = −80𝑡+ 880，
解得𝑡=
25
4 （小时）．
当油箱中剩余油量为0 升时，𝑠= 880 −60 ÷ 0.1 = 280（千米），
∴280 = −80𝑡+ 880，解得𝑡=
15
2 （小时）．
∵𝑘= −80 < 0
∴𝑠随t 的增大而减小，
∴𝑡的取值范围是
25
4 < 𝑡<
15
2 ．
【变式4-7】（25-26 八年级上·辽宁沈阳·期末）甲、乙两车从A 地出发，沿相同的路线匀速前往B 地在整个
行驶过程中，甲、乙两车离A 地的距离y（km）与甲车行驶的时间：（h）之间的关系如图所示，根据图象
解答下列问题：
(1)A，B 两地相距______千米；
(2)甲车的速度为______km/h，乙车的速度为______km/h；
(3)甲出发______小时后，甲、乙两车相距50 千米．
【答案】(1)300
(2)60，100
(3)
5
6或
5
4或
15
4 或
25
6
【分析】（1）根据函数图象中的数据，写出𝐴，𝐵两地的距离；
（2）根据函数图象中的数据，可以求出甲车和乙车的速度；
（3）根据题意，可知分四种情况，然后求出相应的时间即可．
【详解】（1）由图象可得，𝐴，𝐵两地相距300千米，
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故答案：300．
（2）由图象可得，
甲车的速度为：300 ÷ 5 = 60(km h
⁄ )，
乙地的速度为：300 ÷ (4 −1) = 100(km h
⁄ )，
故答案：60，100．
（3）设甲出发𝑎小时后，甲，乙两车相距50千米，
当乙没有出发，甲，乙两车相距50千米，此时，𝑎= 50 ÷ 60 =
5
6；
乙出发后，甲乙相遇前：60𝑎−100(𝑎−1) = 50，
解得：𝑎=
5
4；
甲乙相遇后且乙未达到终点：100(𝑎−1) −60𝑎= 50，
解得：𝑎=
15
4 ；
甲乙相遇后且乙到达终点：𝑎= (300 −50) ÷ 60 =
25
6
由上可得，甲出发
5
6或
5
4或
15
4 或
25
6 小时后，甲，乙两车相距50千米，
故答案：
5
6或
5
4或
15
4 或
25
6 ．
【变式4-8】（25-26 八年级上·江苏南京·期末）甲、乙两地相距40km，一辆慢车和一辆快车先后从甲地出
发沿同一直道匀速前往乙地．慢车先出发，行驶一段时间后停车休息，待快车追上后立即以原速度匀速行驶，
直至到达乙地，快车比慢车晚20min出发，始终保持匀速行驶，且比慢车提前到达乙地，两车之间的距离𝑦（单
位：km）与慢车的行驶时间𝑥（单位：min）之间的部分函数图象如图所示，请结合图象解决下面问题：
(1)慢车的速度为________km min
⁄
；
(2)求线段𝐴𝐵表示的𝑦与𝑥之间的函数表达式；
(3)请根据题意补全图象．
【答案】(1)0.5
(2)𝑦= −
1
2 𝑥+ 20(20 ≤𝑥≤30)
(3)补全图象见解析
【分析】（1）根据速度=路程÷时间解答即可；
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（2）利用待定系数法求函数解析式即可；
（3）分别求出快车追上慢车时的时间，快车到达乙地的时间和两车距离，慢车到达乙地的时间即可补全图
象．
【详解】（1）解：𝑉慢= 10 ÷ 20 = 0.5km/min，
故答案为：0.5；
（2）解：设线段𝐴𝐵表示的𝑦与𝑥之间的函数表达式为𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏，
则{10 = 20𝑘+ 𝑏
5 = 30𝑘+ 𝑏
，
解得：{𝑘= −
1
2
𝑏= 20
，
∴线段𝐴𝐵表示的𝑦与𝑥之间的函数表达式为𝑦= −
1
2 𝑥+ 20(20 ≤𝑥≤30)；
（3）解：𝑉快=
30×0.5−5
30−20
= 1(km/min)，
设快车在tmin 追上慢车，
则(𝑡−20) × 1 = 30 × 0.5
解得：𝑡= 35，
∴𝐶(35，0)；
设快车在amin 到达乙地，
则𝑎= 20 +
40
1 = 60，
∴此时𝑦= (60 −35) × (1 −0.5) = 12.5，
∴𝐷(60，12.5)；
设慢车在bmin 到达乙地，
则𝑏= 60 +
12.5
0.5 = 85，
∴𝐸(85，0)；
故补全图象如图，
．
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【变式4-9】（25-26 八年级上·广东普宁·期末）如图1，公路上依次有A，B，C 三点，𝐴𝐵间的距离为2km，
𝐵𝐶间的距离为4km，小张和小丽分别从A，B 两地同时出发匀速去往C 地，图2 是小张和小丽出发t（h）后
分别与A 地相距𝑠1(km)和𝑠2(km)的函数图像．
(1)图2 中，表示小张运动过程的线段是______，表示小丽运动过程的线段是______；
(2)分别求出𝑠1，𝑠2与t 的函数关系式；
(3)说出图2 中点N 的实际意义．
【答案】(1)𝑂𝑃，𝑀𝑄
(2)𝑠1 = 10𝑥；𝑠2 = 5𝑥+ 2
(3)出发0.4 小时后在距离A 地4km处两人相遇
【分析】本题考查一次函数的实际应用：
（1）结合图形和图象获取信息即可；
（2）设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）从图象获取信息作答即可．
【详解】（1）解：由图形可知，小张离𝐶点的距离远，故表示小张运动过程的线段是𝑂𝑃，表示小丽运动过
程的线段是𝑀𝑄；
故答案为：𝑂𝑃，𝑀𝑄；
（2）设𝑠1 = 𝑘𝑥，
将(0.4,4)代入，得4 = 0.4𝑘，解得：k=10，
所以𝑠1与t 的函数关系式𝑠1 = 10𝑥；
设𝑠2 = 𝑎𝑥+ 2，
将(0.4,4)代入，得4 = 0.4𝑎+ 2，解得：𝑎= 5，
所以𝑠2与t 的函数关系式𝑠2 = 5𝑥+2；
（3）从图象可知，点N 的实际意义是：出发0.4 小时后在距离A 地4km处两人相遇．
【变式4-10】小明和弟弟小阳分别从家和科技馆同时出发，沿同一条路相向而行．小明开始以一定的速度跑
步前往，10 分钟后改为步行，到达科技馆恰好用了30 分钟．小阳骑自行车以每分钟250 米的速度直接回家，
两人离家的路程y（单位：米）与各自离开出发地的时间x（单位：分）之间的函数图像如图所示．
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(1)家与科技馆之间的路程为______米；小明步行的速度为每分钟______米；
(2)求小阳离家的路程y 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；
(3)当离开出发地的时间为6 分钟时，求小明和小阳之间的路程．
【答案】(1)4000；100分钟/米
(2)小阳离家的路程y 与x 的函数解析式为𝑦= −250𝑥+ 4000(0 ≤𝑥≤16)
(3)小明和小阳之间的路程为1300米
【分析】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是能从函数的图象中获取相关信息；
（1）认真分析图象得到路程与速度数据；
（2）采用待定系数法列出小阳离家路程y 与时间x 之间的函数关系式；
（3）分别求出小明和小阳的路程即可．
【详解】（1）解：由图中可以看出，家与科技馆之间的路程为4000米；
由图中可以看出，小明步行时间为30 −10 = 20分钟，步行路程为4000 −2000 = 2000米
∴小明步行的速度为2000 ÷ 20 = 100分钟/米
（2）解：∵小阳骑自行车以每分钟250 米的速度直接回家，
设小阳离家的路程y 与x 的函数解析式为𝑦= −250𝑥+ 𝑏
把(0,4000)代入得：𝑏= 4000
∴小阳离家的路程y 与x 的函数解析式为𝑦= −250𝑥+ 4000
当𝑦= 0时，𝑥= 16
∴自变量x 的取值范围0 ≤𝑥≤16
（3）解：当离开出发地的时间为6 分钟时，小阳距家−250 × 6 + 4000 = 2500米
由图中可以看出，小明跑步速度为2000 ÷ 10 = 200分钟/米
∴当离开出发地的时间为6 分钟时，小明走了200 × 6 = 1200米
∴小明和小阳之间的路程为2500 −1200 = 1300米
【变式4-11】随着无人机产业的快速发展，无人机航拍逐渐成为摄影创作的重要方式．某日，学校摄影社团
组织灞河景色无人机航拍活动．如图，在平面直角坐标系中，𝑙1、𝑙2分别表示拍摄某镜头时1 号、2 号无人
机的飞行高度𝑦（米）与飞行时间𝑥（秒）之间的函数关系．
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(1)1 号无人机飞行的速度是______米/秒，2 号无人机飞行的速度是______米/秒；
(2)两架无人机飞行多少秒后，1 号无人机的高度高于2 号无人机？
【答案】(1)6，4
(2)15
【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，正确求出函数关系式．
（1）根据图象利用速度=路程÷时间求解即可；
（2）首先根据题意得到𝑙1: 𝑦1 = 6𝑥，𝑙2: 𝑦2 = 150 −4𝑥，然后联立求出点P 的横坐标为15，然后结合图象求
解即可．
【详解】（1）1 号无人机飞行的速度是150 ÷ 25 = 6米/秒，
2 号无人机飞行的速度是150 ÷ 37.5 = 4米/秒；
（2）根据题意得，𝑙1: 𝑦1 = 6𝑥，𝑙2: 𝑦2 = 150 −4𝑥
∴联立得，6𝑥= 150 −4𝑥
解得𝑥= 15
∴点P 的横坐标为15
∴由图象可得，
两架无人机飞行15 秒后，1 号无人机的高度高于2 号无人机．
【变式4-12】唐徕中学的小明和李老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后李老师做了一会准备
活动，小明先跑．当李老师出发时，小明已经距起点200 米了．他们距起点的距离s（米）与李老师出发的
时间t（秒）之间的关系如图所示（不完整）．据图中给出的信息，解答下列问题：
(1)在上述变化过程中，自变量是 ，因变量是 ；
(2)李老师的速度为 米/秒，小明的速度为 米/秒；
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(3)当李老师第一次追上小明时，求小明距起点的距离是多少米？
【答案】(1)𝑡；𝑠
(2)6；2
(3)300
【分析】本题考查了一次函数的应用，观察函数图象找出点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是解题的
关键．
(1)利用函数的定义求解；
(2)根据函数图象，得到李老师在70 秒跑了420 米，小明110 秒跑了220 米，然后根据速度公式分别计算他
们的速度；
(3)先求出𝐴𝐵, 𝑂𝐷的表达式，设t 秒时，小明第一次追上朱老师，利用路程相等得到6𝑡= 2𝑡+ 200，解方程求
出t，然后计算2𝑡+ 200即可
【详解】（1）解：在上述变化过程中，自变量是t；因变量是s．
（2）李老师的速度：
420
70 = 6（米/秒）；
小明的速度
420−200
110
=
220
110 = 2（米/秒）．
（3）设：𝑂𝐷的表达式为：𝑠= 𝑘𝑡，将点𝐷(70,420)代入得：420 = 70𝑘，
解得𝑘= 6，
∴𝑠= 6𝑡，
设𝐴𝐵的表达式为𝑠= 𝑘1𝑡+ 200，将𝐵(110,420)代入得：420 = 110𝑘1 + 200，
解得：𝑘1 = 2，
∴𝑠= 2𝑡+ 200
设t 秒时，李老师第一次追上小明，
根据题意得6𝑡= 2𝑡+ 200，解得𝑡= 50（秒）
则200 + 2 × 50 = 300（米），
∴当李老师第一次追上小明时，小明距起点的距离是300（米）
▌题型05 一次函数中的面积问题
在坐标系中，要求三角形的面积，首先要根据三角形的不同情况进行分类
1.有一边平行于坐标轴，以这条边为底，此时，底和高都比较容易求得，从而得到三角形的面积；
2.三边都不平行于坐标轴，可以利用割补法，过一个顶点作与坐标轴平行的直线，将三角形转化为两个易求
面积的三角形，从而解决问题。
对于多边形，可以采取上面第2 种方法，通过割补，将图形转化，从而求解。
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【典例5】如图，已知直线𝑦1 = 2𝑥+ 3，𝑦2 = −2𝑥−1与y 轴分别交于A，B 两点，且两直线交于C 点．
（1）求点A，B 的坐标；
（2）求交点C 的坐标；
（3）求△𝐴𝐵𝐶的面积．
【答案】（1）A（0，3），B（0，-1）；（2）C（-1，1）；（3）2
【分析】（1）分别令x=0，求出y 值即可得到A 点和B 点坐标；
（2）联立两直线表达式，解方程组即可得到点C 坐标；
（3）根据三角形面积公式求解．
【详解】解：（1）当x=0 时，y=2x+3=3，则A（0，3）；
当x=0 时，y=-2x-1=-1，则B（0，-1）；
（2）解方程组{ 𝑦= 2𝑥+ 3
𝑦= −2𝑥−1
，
解得：{𝑥= −1
𝑦= 1
，
则C 点坐标为（-1，1）；
（3）△ABC 的面积=
1
2 × (3 + 1) × 1=2．
【变式5-1】（25-26 八年级上·河北保定·期中）如图，在直角坐标系中，一次函数的图像l1与y 轴交于点A
（0，2），与一次函数y＝x﹣3 的图像l2交于点E（m，﹣5）．
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（1）求m 的值及l1的表达式．
（2）直线l1与x 轴交于点B，直线l2与y 轴交于点C，求四边形OBEC 的面积．
（3）如图，已知矩形MNPQ，PQ＝2，NP＝1，M（a，1），矩形MNPQ 的边PQ 在x 轴上平移，若矩形
MNPQ 与直线l1或l2有交点，直接写出a 的取值范围．
【答案】（1）m=-2，𝑦=
7
2 𝑥+ 2；（2）
31
7 ；（3）−
4
7 ≤𝑎≤
12
7 或3≤a≤6
【分析】（1）根据点E 在一次函数图象上，求出m 的值，利用待定系数法即可求出直线l1的函数解析式；
（2）由（1）求出点B、C 的坐标，利用S 四边形OBEC=S△OBE+S△OCE 即可得解；
（3）分别求出矩形MNPQ 在平移过程中，当点Q 在l1上、点N 在l1上、点Q 在l2上、点N 在l2上时a 的
值，即可得解．
【详解】解：（1）∵点𝐸(𝑚, −5)在一次函数𝑦= 𝑥−3图象上，
∴𝑚−3 = −5，
∴𝑚= −2；
设直线𝑙1的表达式为𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏，
∵直线𝑙1过点𝐴(0,2)和𝐸(−2, −5)，
∴ {
𝑏= 2
−2𝑘+ 𝑏= −5
，解得{
𝑏= 2
𝑘=
7
2
．
∴直线𝑙1的表达式为𝑦=
7
2 𝑥+ 2．
（2）由（1）可知：𝐵点坐标为(−
4
7 , 0)，𝐶点坐标为(0, −3)，
∴𝑆四边形𝑂𝐵𝐸𝐶= 𝑆𝛥𝑂𝐵𝐸+ 𝑆𝛥𝑂𝐶𝐸=
1
2 ×
4
7 × 5 +
1
2 × 2 × 3 =
31
7 ．
（3）−
4
7 ⩽𝑎⩽
12
7 或3 ⩽𝑎⩽6．
当矩形𝑀𝑁𝑃𝑄的顶点𝑄在𝑙1上时，𝑎的值为−
4
7，
矩形𝑀𝑁𝑃𝑄向右平移，当点𝑁在𝑙1上时，
7
2 𝑥+ 2 = 1，解得𝑥= −
2
7，即点𝑁(−
2
7，1)，
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∴𝑎的值为−
2
7 + 2 =
12
7 ，
矩形𝑀𝑁𝑃𝑄继续向右平移，当点𝑄在𝑙2上时，𝑎的值为3，
矩形𝑀𝑁𝑃𝑄继续向右平移，当点𝑁在𝑙2上时，
𝑥−3 = 1，解得𝑥= 4，即点𝑁(4,1)，
∴𝑎的值4 + 2 = 6，
综上所述，当−
4
7 ≤𝑎≤
12
7 或3 ≤𝑎≤6时，矩形𝑀𝑁𝑃𝑄与直线𝑙1或𝑙2有交点．
【变式5-2】（25-26 八年级上·山东青岛·期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y= 4
3x+4 与x 轴y 轴
分别交于点A，B，点D 在y 轴的负半轴上．若将△DAB 沿直线AD 折叠，点B 恰好落在x 轴负半轴上的
点C 处．
（1）求AB 的长；
（2）求点C 和点D 的坐标；
（3）在y 轴上是否存在一点P，使得S△PAB= 1
3 𝑆△𝑂𝐶𝐷？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说
明理由．
【答案】（1）5；
（2）点C（﹣8，0），点D（0，﹣6）；
（3）存在，点P 的坐标为：（0，
28
3 ）或（0，−4
3）．
【分析】（1）对于y= 4
3x+4，当x＝0 时，y＝4，令y= 4
3x+4＝0，则x＝﹣3，即可求解；
（2）由图象的折叠知，AC＝AB＝5 且CD＝BD，即可求解；
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（3）由则S△PAB＝8= 1
2 ×|yB﹣yP|= 1
2 ×|8﹣yP|，即可求解．
【详解】解：（1）对于y= 4
3x+4，当x＝0 时，y＝4，
令y= 4
3x+4＝0，则x＝﹣3，
即点A、B 的坐标分别为：（﹣3，0）、（0，4），
由点A、B 的坐标得，AB＝5；
（2）存在，理由：
设点D（0，m），
由图象的折叠知，AC＝AB＝5 且CD＝BD，
则点C（﹣8，0），
由CD＝BD 得：（4﹣m）2＝82+m2，
解得：m＝﹣6，
即点D（0，﹣6）；
（3）∵S△COD= 1
2 ×CO•OD= 1
2 × 6 × 8 =24，
则S△PAB＝8= 1
2 ×|yB﹣yP|= 1
2 ×|8﹣yP|，
解得：yP= 28
3 或−4
3，
综上，点P 的坐标为：（0，
28
3 ）或（0，−4
3）．
【变式5-3】已知一次函数
1
4
2
y
x
= −
+
的图象分别与x 轴相交于A，B 两点．
(1)分别求A，B 两点的坐标；
(2)点C 在线段AB 上，连接OC ，若直线OC 将
AOB
的面积分成1:3两部分，求点C 的坐标．
【答案】(1) (
)
8,0
A
；
(
)
0,4
B
(2)(
)
2 3
，或(
)
6 1，
【分析】（1）分别令一次函数
1
4
2
y
x
= −
+
中的x 、y 等于零即可求解；
（2）根据题意找到点C 位置，再由直线OC 将
AOB
的面积分成1:3 两部分，列出式子，解方程即可求解．
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【详解】（1）在
1
4
2
y
x
= −
+
中，令
0
x =
，得
4
y =
．
∴点B 的坐标为(
)
0 4
，．
在
1
4
2
y
x
= −
+
中，令
0
y =
，得
1
4
0
2 x
−
+
=
，解得
8
x = ．
∴点A的坐标为(
)
8 0
，．
（2）设
1
4
2
C m
m
−
+
，
．
①当
3
AOC
BOC
S
S
=
时．
1
1
3
2
2
C
C
OA y
OB x
=
即1
1
1
8
4
3
4
2
2
2
m
m
−
+
=
，解得
2
m =
．
∴点C 的坐标为(
)
2 3
，．
②当
3
BOC
AOC
S
S
=
△
△
时．
1
1
3
2
2
C
C
OB x
OA y
=
即1
1
1
4
3
8
4
2
2
2
m
m
=
−
+
，解得
6
m =
．
∴点C 的坐标为(
)
6 1，．
综上所述，满足条件的点C 的坐标为(
)
2 3
，或(
)
6 1，．
【变式5-4】（25-26 八年级上·四川达州·期末）如图，平面直角坐标系中，一次函数
1
3
3
y
x
= −
+ 的图象与x
轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点
(
)
,
F x y 是线段AB 上的一个动点（不与A ，B 重合），连接OF ．
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(1)求A ，B 两点的坐标；
(2)求AOF
的面积S与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
(3)当AOF
的面积
1
2
AOB
S
S
=
△
时，第一象限内是否存在一点P ，使
PAF
△
是以AF 为直角边的等腰直角三角
形，若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1) A 点坐标为(
)
9,0 ，B 点坐标为(
)
0,3
(2)
(
)
3
27 0
9
2
2
S
x
x
= −
+
(3)(
)
6,6 或21,
2
9
2
．
【分析】（1）分别求出当
0
x =
时，y 的值，当
0
y =
时，x 的值即可得到答案；
（2）如图所示，过点F 作FE
x
⊥
轴，先求出
1
3
3
y
x
= −
+ ，EF
y
=
，再根据三角形面积公式进行求解即可；
（3）先求出出F 点坐标为9 3
,
2 2
，再分当
1
90
PFA =
∠
、
2
90
P AF =
∠
时两种情况，利用一线三垂直模型
证明三角形全等，然后利用全等三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：当
0
x =
时，
3
y = ，当
0
y =
时，
1
3
0
3 x
−
+
=
，
解得：
9
x =
，
∴A 点坐标为(
)
9,0 ，B 点坐标为(0,3)；
（2）解：如图所示，过点F 作FE
x
⊥
轴，
∵点
(
)
,
F x y 是线段AB 上的一个动点（不与A ，B 重合），
∴
1
3
3
y
x
= −
+ ，EF
y
=
，
∴AOF
的面积
1
1
1
9
3
2
2
3
S
OA EF
x
=
=
−
+
，
∴
(
)
3
27 0
9
2
2
S
x
x
= −
+
；
（3）解：∵
1
2
AOB
S
S
=
△
，
∴
3
27
1
1
9 3
2
2
2
2
x
−
+
=
，
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解得：
9
2
x =
，
∴F 点坐标为9 3
,
2 2
，
当
1
90
PFA =
∠
时，过点F 作EG
x
⊥
轴于E ，过点
1P 作
1PN
EG
⊥
于N ，
∵
1PAF
是等腰直角三角形，
∴
1
AF
PF
=
，
1
1
90
PFA
PNF
AEF
=
=
=
，
∴
1
1
1
90
NFP
NPF
NFP
AFE
+
=
+
=
，
∴
1
NPF
AFE
=
，
在
AEF
△
和
1
NFP
△
中，
1
1
1
PNF
FEA
NPF
EFA
AF
FP
=
=
=
，
∴
(
)
1 AAS
AEF
FNP
≌
，
∴
1
3
2
PN
EF
=
=
，
9
9
9
2
2
NF
AE
=
=
−
=
，
∴
3
9
6
2
2
NE
EF
NF
=
+
=
+
=
，
∴
(
)
1 6,6
P
，
当
2
90
P AF =
∠
时，如图所示，过点
2P 作
2P M
x
⊥
轴于M，
同理可证
2
AEF
P MA
△
≌△
，
∴
3
2
AM
EF
=
=
，
2
9
9
9
2
2
P M
AE
=
=
−
=
，
∴
3
21
9
2
2
OM
OA
AM
=
+
=
+
=
，
∴
2
21 9
,
2
2
P
，
综上，点P 的坐标为(
)
6,6 或21 9
,
2
2
．
【变式5-5】（25-26 八年级上·湖北襄阳·期末）如图1，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（3，0），D
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（，2，0），以A 为旋转中心将线段AB 逆时针旋转90°形成线段AC．
(1)求出点C 坐标及△ABC 的面积；
(2)如图2，以AD 为腰，在直线AD 左侧作等腰直角△ADE，且∠DAE 为直角．连接CE 交y 轴于点F．
①求出F 点坐标；
②直接写出点E 到直线AC 的距离．
【答案】(1)C（4，7）；
25
2
(2)①（0，
13
2 ）；②点E 到AC 的距离为4．
【分析】（1）先求出OA，OB，进而判断出△ACM≌△BAO（AAS），求出OM，CM 即可得出点C 坐标，最
后用面积的差即可得出△ABC 的面积；
（2）①同（1）的方法求出点E 的坐标，进而求出直线CE 的解析式即可得出结论；
②利用等面积即可得出结论．
【详解】（1）如图1，
∵A（0，4），B（3，0），
∴OA＝4，OB＝3，
过点C 作CM⊥OA 于M，
∴∠CAM+∠ACM＝90°，
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∵△ABC 是等腰三角形，
∴AC＝AB，∠BAC＝90°
∴∠OAB+∠CAM＝90°，
∴∠ACM＝∠OAB，
在△ACM 和△BAO 中，{
∠𝐴𝑀𝐶=∠𝐵𝑂𝐴=90°
∠𝐴𝐶𝑀=∠𝑂𝐴𝐵
𝐴𝐶=𝐴𝐵
，
∴△ACM≌△BAO（AAS），
∴AM＝OB＝3，CM＝OA＝4，
∴OM＝OA+AM＝7，
∴C（4，7），
𝑆Δ𝐴𝐵𝐶=𝑆梯形𝑂𝐵𝐶𝑀−𝑆Δ𝐴𝐶𝑀−𝑆Δ𝐴𝑂𝐵=
1
2 (3+4)×7−
1
2 ×3×4−
1
2 ×3×4=
25
2 ；
（2）①如图2，过点C 作CM⊥OA 于M，过点E 作EN⊥AO 于N，
同（1）的方法得出，E（﹣4，6），
由（1）知，C（4，7），
设直线CE 的解析式为y＝kx+b，
∴{ 4𝑘+𝑏=7
−4𝑘+𝑏=6
，
∴{
𝑘=
1
8
𝑏=
13
2
，
∴F（0，
13
2 ）；
②如图3，过点E 作EG⊥AC 于G，
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由（1）知，C（4，7），
∵A（0，4），
∴AC=√(4−0)2+(7−4)2=5，
∵𝑆Δ𝐴𝐶𝐸=
1
2 𝐴𝐹(𝑥𝐶−𝑥𝐸)=
1
2 𝐴𝐶×𝐸𝐺，
∵AF＝2.5，AC＝5，C、E 横坐标距离为8，
∴2.5×8＝5EG，
∴EG＝4．
【变式5-6】（25-26 八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线𝑦1 = −
3
2x+𝑏
经过点𝐴(0，3)，交x轴于点B，直线𝑦2 = 𝑘+ 2交x轴和y轴分别于点C和点D，和直线𝐴𝐵交于点P，𝑂𝐷= 2𝑂𝐶．
(1)如图1，分别求y1，y2关于x 的函数解析式；
(2)如图2，点Q 在线段𝑃𝐶上，连接𝐵𝑄，△𝑃𝐵𝑄的面积为3，求点Q 的坐标．
【答案】(1)𝑦1 = −
3
2 𝑥+ 3，𝑦2 = 2𝑥+ 2
(2)𝑄(−
5
7 ,
4
7)
【分析】（1）将点𝐴(0，3)代入𝑦1 = −
3
2 𝑥 +𝑏即可求出𝑦1的函数解析式；根据“𝑂𝐷= 2𝑂𝐶”可求出点𝐶的坐
标，即可求出𝑦2的函数解析式；
（2）过点Q 作𝐵𝐶的垂线，垂足为点M，过点P 作𝐵𝐶的垂线，垂足为点N．根据𝑆△𝑃𝑄𝐵= 𝑆△𝑃𝐵𝐶−𝑆△𝑄𝐶𝐵可
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求𝑄点的纵坐标，代入𝑦2 = 2𝑥+ 2即可求解．
【详解】（1）解：解：由图象可知y1经过点𝐴(0，3)，
则3 = −
3
2 × 0 + 𝑏 ，𝑏= 3，
∴𝑦1 = −
3
2 𝑥+ 3，
直线𝑦2 = 𝑘+ 2交x 轴和y 轴分别于点C 和点D
令𝑥= 0，则𝑦2 = 2，𝑂𝐷= 2
∵𝑂𝐷= 2𝑂𝐶
∴𝑂𝐶= 1，
把𝐶(−1，0)代入𝑦2 = 𝑘+ 2，则0 = −𝑘+ 2，𝑘= 2
∴𝑦2 = 2𝑥+ 2
（2）解：过点Q 作𝐵𝐶的垂线，垂足为点M，过点P 作𝐵𝐶的垂线，垂足为点N．
∵直线𝑦1 = −
3
2 𝑥+ 3和直线𝑦2 = 2𝑥+ 2交于点P，
∴{𝑦1 = −
3
2 𝑥+ 3
𝑦2 = 2𝑥+ 2
解得{
𝑥=
2
7
𝑦=
18
7
，
即𝑃(
2
7 ,
18
7 )，
∵𝑦1 = −
3
2 𝑥+ 3交x 轴于点B，
∴令𝑦1 = 0，则𝑥= 2，
即𝐵(2，0，)𝐵𝐶= 3
𝑆△𝑃𝑄𝐵= 𝑆△𝑃𝐵𝐶−𝑆△𝑄𝐶𝐵=
1
2 × 3 ×
18
7 −
1
2 × 3 × 𝑄𝑀= 3
∴𝑄𝑀=
4
7
令𝑦2 =
4
7 = 2𝑥+ 2，解得𝑥= −
5
7
∴𝑄(−
5
7 ,
4
7)
【变式5-7】（25-26 八年级上·河南商丘·期末）如图，直线𝐴𝐵分别与𝑥轴、𝑦轴交于点𝐴、𝐵，且点𝐴的坐标
为(4,0)，点𝐵的坐标为(0,3)，在直线𝐴𝐵的右侧作正方形𝐴𝐵𝐶𝐷．
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(1)求直线𝐴𝐵的函数解析式；
(2)正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积是___；
(3)求点C 的坐标．
【答案】(1)𝑦= −
3
4 𝑥+ 3
(2)25
(3)点C 的坐标为(3,7)
【分析】（1）利用勾股定理求出𝐴𝐵，
（2）正方形𝐴𝐵𝐶𝐷面积；
（2）过点𝐶作𝐶𝐸⊥𝑦轴于点𝐸，证明△𝐴𝐵𝑂≌△𝐵𝐶𝐸，即可得答案．
【详解】（1）设直线𝐴𝐵的函数解析式为𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏，
∵𝐴(4,0)，𝐵(0,3)，
∴{4𝑘+ 𝑏= 0
0𝑘+ 𝑏= 3
解得：{𝑘= −
3
4
𝑏= 3
∴直线𝐴𝐵的函数解析式为𝑦= −
3
4 𝑥+ 3；
（2）∵𝐴(4,0)，𝐵(0,3)，
∴𝑂𝐴= 4，𝑂𝐵= 3，
在Rt △𝐴𝑂𝐵中，𝐴𝐵= √𝐴𝑂2 + 𝐵𝑂2 = 5，
∴正方形𝐴𝐵𝐶𝐷面积= 52 = 25，
故答案为：25；
（3）如图，过点𝐶作𝐶𝐸⊥𝑦轴于点𝐸，
∵正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，
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∴∠𝐶𝐵𝐸+ ∠𝐴𝐵𝑂= 90°，
∵∠𝐴𝐵𝑂+ ∠𝐵𝐴𝑂= 90°，
∴∠𝐶𝐵𝐸= ∠𝐵𝐴𝑂，
在△𝐴𝐵𝑂和△𝐵𝐶𝐸中，
{
∠𝐵𝐴𝑂= ∠𝐶𝐵𝐸
∠𝐵𝐸𝐶= ∠𝐴𝑂𝐵
𝐴𝐵= 𝐵𝐶
，
∴△𝐴𝐵𝑂≌△𝐵𝐶𝐸(AAS)，
∴𝐶𝐸= 𝑂𝐵= 3，𝐵𝐸= 𝑂𝐴= 4，
∴𝑂𝐸= 4 + 3 = 7，
∴点𝐶的坐标为(3,7)．
【变式5-8】（25-26 八年级上·四川成都·期末）如图，直线𝑦1 = 𝑥+ 2与x 轴，y 轴分别交于点A，B，直线
𝑦2 = −2𝑥+ 𝑚与x 轴，y 轴分别交于点C，D，两直线交于点𝐸(1,3)．
(1)求m 的值；
(2)求四边形𝐵𝑂𝐶𝐸的面积；
(3)当𝑦1 > 𝑦2时，根据图象，直接写出x 的取值范围．
【答案】(1)𝑚= 5
(2)
19
4
(3)𝑥> 1
【分析】（1）将点𝐸的坐标代入求解即可；
（2）过点𝐸作𝐸𝐹⊥𝑥轴于点𝐹，利用割补法求四边形𝐵𝑂𝐶𝐸的面积即可；
（3）图象法解不等式即可．
【详解】（1）解：把𝐸(1,3)，代入𝑦2 = −2𝑥+ 𝑚，得：3 = −2 + 𝑚，
∴𝑚= 5；
（2）∵𝑦1 = 𝑥+ 2，当𝑥= 0时，𝑦1 = 2，
∴𝐵(0,2)；
由（1）知：𝑦2 = −2𝑥+ 5，当𝑦= 0时，0 = −2𝑥+ 5，解得：𝑥=
5
2，
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∴𝐶(
5
2 , 0)，
∴𝑂𝐵= 2, 𝑂𝐶=
5
2，
过点𝐸作𝐸𝐹⊥𝑥轴于点𝐹，
∵𝐸(1,3)，
∴𝑂𝐹= 1, 𝐸𝐹= 3，
∴𝐶𝐹= 𝑂𝐶−𝑂𝐹=
3
2，
∴四边形𝐵𝑂𝐶𝐸的面积= 𝑆梯形𝑂𝐹𝐸𝐵+ 𝑆△𝐸𝐹𝐶
= 1
2 (2 + 3) × 1 + 1
2 × 3 × 3
2
=
19
4 ；
（3）由图象可知：𝑦1 > 𝑦2时，𝑥> 1．
【变式5-9】（25-26 八年级上·湖南邵阳·期末）如图，过点C 的直线
6
y
x
−
=
与坐标轴相交于A 、B 两点，
已知点
(
)
,
C x y 是第二象限的点，设
AOC
△
的面积为S．
(1)写出S与x 之间的函数关系，并写出x 的取值范围；
(2)当
AOC
△
的面积为6 时，求出点C 的坐标；
(3)在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点M ，使得M 与A 、O、C 中任意两点形成的三角形面积也为6 ，
若存在，请直接写出点M 的坐标．
【答案】(1)
(
)
3
18
6
0
S
x
x
=
+
−
(2)
2
(
)
4,
C -
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(3)存在，
(
)
1 0,2
M
，
2
2
(0,
)
M
−
，
(
)
3 0,3
M
，
(
)
4 0, 3
M
−
(
)
5 0,12
M
，
(
)
6 6,0
M
，
7
)
1
0
(
2,
M
−
．
【分析】（1）先求出点A 坐标，由
1
2
AOC
C
S
AO y
=
可求函数关系式，
（2）将
6
S = 代入函数解析式可求得点
( 4,2)
C −
；
（3）根据三角形三个顶点不同分类讨论求出点M．
【详解】（1）解：点
(
)
C x
y
，
在第二象限，则
0
y
因为
6
y
x
−
=
当
0
y =
时，x
6
= −，则
6
AO＝
1
2
AOC
S
AO y
=
(
)
6
1
2
6
x
+
=
18
3x
=
+
（6
0
x
−
)
（2）由（1）可知
18 3
AOC
S
x
=
+
当18 3
6
x
+
=
则
4
x = −
此时：
6
2
y
x
=
+
=
所以
( 4,2)
C −
（3）存在点M 满足条件，
I．当M 点在y 轴时，若
6
MAO
S
=
，即
1
6
2
MAC
S
OM OA
=
=
，
∴1
6
6
2OM =
，
∴
2
OM =
，
∴当点M 在原点上方时，点M 坐标为
(
)
1 0,2
M
，
∴当点M 在原点下方时，点M 坐标为
(
)
2 0, 2
M
−
，
II．当M 点在y 轴时，若
6
MOC
S
=
，即
1
6
2
MOC
c
S
OM x
=
=
，
∴1
4
6
2OM
=
，
∴
3
OM = ，
∴当点M 在原点上方时，点M 坐标为
(
)
3 0,3
M
，
∴当点M 在原点下方时，点M 坐标为
(
)
4 0, 3
M
−
；
III．当M 点在y 轴时，若
6
MAC
S
=
△
，即
1
1
2
2
MAC
MAB
MBC
c
S
S
S
BM OA
BM x
=
−
=
−
，
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1
1
6
4
6
2
2
BM
BM
−
=
，
∴
6
BM =
，
∴当点M 在点B 上方时，点M 坐标为
(
)
5 0,12
M
，
∴当点M 在点B 下方时，点M 点M 与点O 重合，不合题意舍去；；
IV．当M 点在x 轴时，若
6
MOC
S
=
，即
1
6
2
MOC
c
S
OM y
=
=
，
∴1
2
6
2OM
=
，
∴
6
OM =
，
∴当点M 在原点右侧时，点M 坐标为
(
)
6 6,0
M
，
∴当点M 在原点左侧时，点M 坐标为(
)
6,0
−
，与点A 重合，不合题意舍去；
V．当M 点在x 轴时，若
6
MAC
S
=
△
，即
1
6
2
MAC
c
S
AM y
=
=
，
∴1
2
6
2 AM
=
，
∴
6
AM =
，
∵点A 坐标为( 6,0)
−
，
∴当点M 在点A 左侧时，点M 坐标为
7
)
1
0
(
2,
M
−
，
∴当点M 在点A 右侧时，点M 与点O 重合，不合题意舍去；
综上所述：点M 坐标为
(
)
1 0,2
M
，
2
2
(0,
)
M
−
，
(
)
3 0,3
M
，
(
)
4 0, 3
M
−
(
)
5 0,12
M
，
(
)
6 6,0
M
，
7
)
1
0
(
2,
M
−
．
▌题型06 一次函数中的三角形存在性问题
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【典例6】如图，在平面直角坐标系中，将直线
3
8
4
y
x
=
+ 向下平移2 个单位长度得到直线l，且l 与x 轴分
别交于A，B 两点．
(1)求直线l 的解析式及点A，B 的坐标．
(2)M 是x 轴上的一个动点，要使以A，B，M 为顶点的三角形是以AB 为腰的等腰三角形，请求出符合条件
的所有点M 的坐标．
【答案】(1)
3
6
4
y
x
=
+
，
(
)
8,0
A −
，
(
)
0,6
B
(2)(
)
2,0 或(
)
18,0
−
或(
)
8,0
【分析】（1）根据平移的规律得出直线l 的解析式，由函数解析式令
0
y =
求A 点坐标，
0
x =
求B 点坐标；
（2）分AM
AB
=
，BM
AB
=
两种情况讨论即可．
【详解】（1）解：将直线
3
8
4
y
x
=
+ 向下平移2 个单位长度得到直线l，
∴直线l 的解析式为
3
3
8
2
6
4
4
y
x
x
=
+ −
=
+
，
当
0
y =
时，
3
0
6
4 x
=
+
，解得
8
x = −，
当
0
x =
时，
6
y =
，
∴
(
)
8,0
A −
，
(
)
0,6
B
；
（2）解：∵(
)
8,0
A −
，
(
)
0,6
B
，
∴
8
AO = ，
6
BO =
，
∵
90
AOB
=
，
∴
2
2
10
AB
AO
BO
=
+
=
，
设
(
)
,0
M b
，
当
10
AM
AB
=
=
时，
(
)
8
10
b −−
=
，
解得
2
b =
或18
−
，
∴M 的坐标为(
)
2,0 或(
)
18,0
−
；
当BM
AB
=
时，
∵BO
AM
⊥
，
小学
初中
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∴
8
MO
AO
=
= ，
∴M 的坐标为(
)
8,0 ；
综上，M 的坐标为(
)
2,0 或(
)
18,0
−
或(
)
8,0 ．
【变式6-1】（25-26 八年级上·山东济宁·期末）如图，直线
3
3
y
x
= −
+ 与x 轴和y 轴分别交于A，B 两点，射
线
⊥
AP
AB于点A．若点C 是射线AP 上的一个动点，点D 是x 轴上的一个动点，且以C，D，A 为顶点的三
角形与
AOB
全等，则OD 的长为（ ）
A．3 或10
1
+
B．4 或10
C．3 或10
D．4 或10
1
+
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用和全等三角形的性质等知识，分类讨论
是解题关键，以防遗漏．根据题意解方程得到
0
x =
，则
3
y = ，令
0
y =
，则
1
x = ，求得
1
OA = ，
3
OB =
，根
据勾股定理得到
10
AB =
，①当
=90
ACD
时，如图1，②当
90
ADC
=
时，如图2，根据全等三角形
的性质即可得到结论．
【详解】解：
AP
AB
⊥
，
90
BAP
AOB
=
=
，
90
ABO
BAO
CAD
BAO
+
=
+
=
，
ABO
CAD
=
，
在
3
3
y
x
= −
+ 中，
令
0
x =
，则
3
y = ，令
0
y =
，则
1
x = ，
1
OA
= ，
3
OB =
，由勾股定理得
10
AB =
，
①当
=90
ACD
时，如图1，
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AOB
DCA
≌
，
10
AD
AB
=
=
，
10
1
OD
= +
；
②当
90
ADC
=
时，如图2，
AOB
CDA
△
≌△
，
3
AD
OB
=
=
，
4
OA
AD
+
=
，
综上所述：OD 的长为1
10
+
或4．
故选：D．
【变式6-2】（25-26 八年级上·黑龙江绥化·期末）如图，已知点
(
)
6,0
C
是正方形AOCB的一个顶点，E 是𝐴𝐵
的中点，点P 是直线𝐶𝐸上一点．
(1)求点E 的坐标和直线EC 的解析式；
(2)若AOP
的面积为21，求此时P 点坐标；
(3)若点P 是直线EC 在第一象限的一个动点，连接AP ，是否存在点P，使AOP
为等腰三角形？若存在，
请直接写出点P 点坐标：若不存在，请说明理由．
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【答案】(1)点E 的坐标为(
)
3,6 ，直线EC 的解析式为
2
12
y
x
= −
+
(2)(
)
7, 2
−
或(
)
7,26
−
(3) 18 24
,
5
5
或9 ,3
2
或24 12
,
5
5
【分析】本题考查题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、解一元一次方程、以及勾股定理，
掌握待定系数法是解题的关键．
（1）先根据正方形的性质求出点E 和C 的坐标，利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）设点P 的坐标为(
)
, 2
12
a
a
−
+
，利用
1
2
AOP
S
OA a
=
列方程解题；
（3）设点P 的坐标为(
)
, 2
12
a
a
−
+
，分为OP
OA
=
，PA
PO
=
和PA
OA
=
三种情况，利用勾股定理计算即可
解题．
【详解】（1）解：∵点
(
)
6,0
C
是正方形AOCB的一个顶点，
∴
6
OA
OC
AB
BC
=
=
=
=
，
∵E 是𝐴𝐵的中点，
∴
1
3
2
AE
AB
=
=
，
∴点E 的坐标为(
)
3,6 ，
设直线EC 的解析式为y
kx
b
=
+
，
则
3
6
6
0
k
b
k
b
+
=
+
=
，解得
2
12
k
b
= −
=
，
∴直线EC 的解析式为
2
12
y
x
= −
+
，
（2）解：设点P 的坐标为(
)
, 2
12
a
a
−
+
，
∴
1
1
6
21
2
2
AOP
S
OA a
a
=
=
=
，
解得：
7
a = ，
当
7
a =
时，
2 7
12
2
y = −
+
= −；
当
7
a = −时，
(
)
2
7
12
26
y = −−
+
=
；
∴点P 的坐标为(
)
7, 2
−
或(
)
7,26
−
；
（3）解：设点P 的坐标为(
)
, 2
12
a
a
−
+
，
当
6
OP
OA
=
=
时，
(
)
2
2
2
2
12
6
a
a
+ −
+
=
，解得：
1
18
5
x =
，
2
6
x =
，
∴点P 的坐标为18 24
,
5
5
或(
)
6,0 （舍去）；
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当PA
PO
=
时，
1
3
2
P
y
OA
=
= ，即2
12
3
a
−
+
= ，解得
9
2
a =
，
∴点P 的坐标为9 ,3
2
；
当
6
PA
OA
=
=
时，
(
)
2
2
2
2
12
6
6
a
a
+ −
+
−
=
，解得：
0
a =
（舍去）或
24
5
a =
，
∴点P 的坐标为24 12
,
5
5
；
综上所述，点P 的坐标为18 24
,
5
5
或9 ,3
2
或24 12
,
5
5
．
【变式6-3】（25-26 八年级上·四川泸州·期末）如图①，在平面直角坐标系中，AB 交y 轴和x 轴于A B
，两
点，其坐标分别为(
) (
)
0,
,0
m
n
，
，m
n
，满足
2
(
4)
3
0
m
n
−
+
+
=
．
(1)求点A B
，的坐标；
(2)如图②，过点A 作AD
AB
⊥
，截取AD
AB
=
，点D 在第一象限内，过点D 作DC
x
⊥
轴于点C ，点P 从
点A 出发以每秒2 个单位长度的速度沿y 轴向下运动，连接DP
DO
，
，若点P 运动的时间为t 秒，三角形PDO
的面积为S，请用含t 的式子表示S，并直接写出t 的取值范围；
(3)在（2）的条件下，连接AC ，在坐标轴上是否存在点M ，使
ACM
△
与ACD
全等?若存在，请求出点M
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(0,4)
( 3,0)
A
B
，
-
(2)
8
4 (0
2)
4
8(
2)
t
t
S
t
t
−
=
−
(3)
ACM
△
与ACD
全等时，点M 的坐标为(3,0) 或(0,3)
【分析】（1）利用绝对值和平方的非负性求解；
（2）过点D 作DH
AO
⊥
于H，证明
(
)
AAS
DAH
ABO
≌
，分0
2
t
和
2
t
两种情况，列分段函数；
（3）点M 可能在x 轴上，也可能在y 轴上，因此需要分两种情况分别计算．
【详解】（1）解：∵(
)
2
4
3
0
m
n
−
+
+
=
，
∴
4
0,
3
0
m
n
-
=
+ =
，
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∴
4,
3
m
n
=
= −，
∴
(0,4)
( 3,0)
A
B
，
-
；
（2）解：如图①，过点D 作DH
AO
⊥
于H，
90
90
DAH
ADH
DAH
BAO
，
?
?
靶
+?
?，
BAO
ADH
=
，
在DAH
和ABO
中，
ADH
BAO
AHD
BOA
AD
BA
=
=
=
(
)
AAS
DAH
ABO
≌
，
4
3
1
DH
AO
AH
BO
DC
OH
，
，
\
=
=
=
=
=
= ，
当0
2
t
时，
由题意得：
2
AP
t
=
，则
=4 2
OP
t
-
，
(
)
1
1 4
2
4
8
4
2
2
S
OP DH
t
t
=
=
−
= −
；
当
2
t
时，
2 ,
2
4
AP
t OP
t
=
=
−
，
(
)
1
1 2
4
4
4
8
2
2
S
OP DH
t
t
=
=
−
=
−，
则
8
4 (0
2)
4
8(
2)
t
t
S
t
t
−
=
−
；
（3）解：如图②，
OA
OC
=
，
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45
OCA
OAC
=
=
，
90
DCO =
，
45
DCA
=
，
当ACD
ACM
≌
时，
45
1
ACM
ACD
CM
CD
=
=
=
=
，
，
90
DCM
=
，
∴点M 在x 轴上．
1
DC
CM
=
= ，
3
=
OM
，
(
)
3,0
M
；
当ADC
CM A
≌
时，
45
CAM
ACD
=
=
，
∵点M在y 轴上，
1
AM
CD
?
= ，
3
OM¢
\
= ，
(0,3)
M¢
\
，
综上所述：
ACM
△
与ACD
全等时，点M 的坐标为(3,0) 或(0,3) ．
【变式6-4】（25-26 八年级上·山东济南·期末）如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x 上一点P（1，
1），C 为y 轴上一点，连接PC，线段PC 绕点P 顺时针旋转90°至线段PD，过点D 作直线AB⊥x 轴，
垂足为B，直线AB 与直线y＝x 交于点A，且BD＝2AD，连接CD，直线CD 与直线y＝x 交于点Q，
则点Q 的坐标为（ ）
A．（ 5
2 ， 5
2 ）
B．（3，3）
C．（ 7
4 ， 7
4 ）
D．（ 9
4 ， 9
4 ）
【答案】D
【分析】先证明△MCP≌△NPD，再根据勾股定理和待定系数法求函数解析式，最后求解即可。
【详解】解：过P 作MN⊥y 轴，交y 轴于M，交AB 于N，过D 作DH⊥y 轴，交y 轴于H，
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∠CMP＝∠DNP＝∠CPD＝90°，
∴∠MCP+∠CPM＝90°，∠MPC+∠DPN＝90°，
∴∠MCP＝∠DPN，
∵P（1，1），
∴OM＝BN＝1，PM＝1，
在△MCP 和△NPD 中，
{
∠𝐶𝑀𝑃＝∠𝐷𝑁𝑃
∠𝑀𝐶𝑃＝∠𝐷𝑃𝑁
𝑃𝐶＝𝑃𝐷
∴△MCP≌△NPD（AAS），
∴DN＝PM，PN＝CM，
∵BD＝2AD，
∴设AD＝a，BD＝2a，
∵P（1，1），
∴BN＝2a﹣1，
则2a﹣1＝1，
a＝1，即BD＝2．
∵直线y＝x，
∴AB＝OB＝3，
在Rt△DNP 中，由勾股定理得：PC＝PD＝ √(3 −1)2 + (2 −1)2 = √5 ，
在Rt△MCP 中，由勾股定理得：CM＝ √(√5)
2 −12 ＝2，
则C 的坐标是（0，3），
设直线CD 的解析式是y＝kx+3，
把D（3，2）代入得：k＝﹣ 1
3 ，
即直线CD 的解析式是y＝﹣ 1
3 x+3，
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即方程组 {𝑦＝−1
3 𝑥+ 3
𝑦＝𝑥
得： {
𝑥= 9
4
𝑦= 9
4
，
即Q 的坐标是（ 9
4 ， 9
4 ）．
故答案为：D．
【变式6-5】如图，在平面直角坐标系中，直线𝑦= −4
3 𝑥+ 4与x 轴、y 轴分别交于A、B 两点，过点B
的直线交x 轴与点𝐶(−2,0)若点D 在直线𝐵𝐶上，且△𝐴𝐶𝐷是以𝐴𝐷为腰的等腰三角形，点D 的坐
标 ．
【答案】（0,4）或(1
2 , 5)
【分析】先分别求出点A、B 的坐标，再根据B，C 两点的坐标求了直线𝐵𝐶的解析式，进而可分𝐴𝐷= 𝐴𝐶、
𝐴𝐷= 𝐶𝐷两种情况，分别求了D 点的坐标．
【详解】解：直线𝑦= −4
3 𝑥+ 4与x 轴、y 轴分别交于A、B 两点，
𝑦= −4
3 𝑥+ 4，当𝑦= 0时，0 = −4
3 𝑥+ 4，解得：𝑥= 3，
当𝑥= 0时，𝑦= −4
3 × 0 + 4 = 4，
∴点A 坐标为(3,0)，点B 坐标为(0,4)，
∴𝐴𝐶= 𝑂𝐴+ 𝑂𝐶= 5，𝐴𝐵= √𝑂𝐴2 + 𝑂𝐵2 = 5，
设过点𝐵(0,4)、𝐶(−2,0)的直线解析式为𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏，
∴{−2𝑘+ 𝑏= 0
𝑏= 4
，
解得：{𝑘= 2
𝑏= 4，
∴直线𝐵𝐶的表达式𝑦= 2𝑥+ 4；
当𝐴𝐷= 𝐴𝐶时，此时D 与B 重合，
∴D 点坐标为(0,4)，
当𝐴𝐷= 𝐶𝐷时，如图，D 点在𝐴𝐶的垂直平分线上，
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此时D 点的横坐标为：3+(−2)
2
= 1
2，
𝑦= 2𝑥+ 4，当𝑥= 1
2时，𝑦= 2 × 1
2 + 4 = 1 + 4 = 5，
解得𝑦= 5，
∴D 点坐标为(1
2 , 5)，
∴D 点坐标为(0,4)或(1
2 , 5)；
故答案为（0,4）或(1
2 , 5)．
【变式6-6】（25-26 八年级上·广东深圳·期末）如图，直线AB 的解析式为y＝-x+b，分别与x 轴，y 轴交
于A，B 两点，点A 的坐标为（4，0），过点B 的直线交x 轴负半轴于点C，且OB：OC＝4：1．若在
x 轴上方存在点D，使以A，B，D 为顶点的三角形与△ABC 全等，则点D 的坐标为 ．
【答案】（5，4）
【分析】求出OB、OC 的长，易得△AOB 为等腰直角三角形，从而得出AC=5，由AB 为公共边，当
BD∥AC 且BD=AC=5 时，△ABC≌△ABD，由△AOB 为等腰直角三角形，可得直线y=x 垂直平分AB，
求出点D（5，4）关于直线y=x 的对称点为D'（4，5），则△ABD'≌△ABD≌△ABC，继而得解.
【详解】解：把A（4，0）代入y＝-x+b 中，得b=4，
∴y=-x+4，
∴B（0，4），即OB=4，
∴△AOB 为等腰直角三角形，
∵OB：OC＝4：1 ，
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∴OC=1，即C（-1，0），
∴AC=5，
由AB 为公共边，当BD∥AC 且BD=AC=5 时，△ABC≌△ABD，
∴D（5，4），
∵△AOB 为等腰直角三角形，
∴直线y=x 垂直平分AB，
则点D（5，4）关于直线y=x 的对称点为D'（4，5），
∴△ABD'≌△ABD，
∴△ABC≌△ABD'，
∴ 以A，B，D 为顶点的三角形与△ABC 全等，则点D 的坐标为（5，4）或（4，5）；
故答案为：（5，4）或（4，5）.
