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专题01 实数的概念及基本性质
（题型突破·举一反三）
▌题型01 实数的估算
【典例1】
【答案】C
【分析】此题考查了估算无理数的大小，由272.25 < 275 < 275.56可得√272.25 < √275 < √275.56，结合
表格数据即可求解，掌握算术平方根的定义是解题的关键．
【详解】解：∵272.25 < 275 < 275.56，
∴√272.25 < √275 < √275.56，
即16.5 < √275 < 16.6，
故选：C．
【变式1-1】
【答案】C
【分析】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．
先确定9 < 14 < 16，再利用算术平方根的性质即可求得答案．
【详解】解：∵9 < 14 < 16，
∴√9 < √14 < √16，
∴√9 + 1 < √14 + 1 < √16 + 1，
即：4 < √14 + 1 < 5
故选：C．
【变式1-2】
【答案】C
【分析】先根据16＜17＜25 估算出√17的范围，进而得出√17 −2的范围即可得答案．
【详解】∵16＜17＜25，
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∴√16 < √17 < √25，
∴4＜√17＜5，
∴2＜√17 −2＜3，
∴数轴上表示√17 −2的点在点𝐶和点𝐷之间，
故选：C．
【变式1-3】
【答案】7
【分析】本题考查无理数的估算，根据√91与10 最接近，√38与6 最接近，且√91 −√38 < 4，得到与a 的
最接近的两个整数是3 和4，由此即可得到答案．
【详解】解：∵√(9.5)2 < √91 < √100,√36 < √38 < √(6.3)，
∴9.5 < √91 < 10,6 < √38 < 6.3，
∴ 3 < √91 −√38 < 4，
∴与𝑎的最接近的两个整数是3 和4，
∴3 + 4 = 7．
故答案为：7．
【变式1-4】
【答案】√11
【分析】本题考查了实数与数轴，估算无理数的大小即可得出答案，估算无理数的大小是解题的关键．
【详解】解：∵4 < √17 < 5，∴不符合题意，
∵3 < √11 < 4，∴符合题意，
∵2 < √5 < 3，∴不符合题意，
∵1 < √3 < 2，∴不符合题意，
故答案为：√11．
【变式1-5】
【答案】D
【详解】试题分析：由题意分析可知，本题中主要考查√37与相邻数字的知识，由题知，√49 = 7 > √37 >
√36 = 6，所以3 > √2 + √3 + √37 > √2 + √9 > 2，故该无理数在2 和3 之间，所以选D
考点：无理数大小的比较
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▌题型02 实数中的小数点变化规律
【典例2】
【答案】(1)①两；②3，7；③43
(2)56，理由见解析
【分析】本题考查算术平方根；
（1）根据所提供的方法进行计算即可；
（2）按照（1）中的步骤和方法进行计解答即可．
【详解】（1）解：①由102 = 100，1002 = 10000可以确定√1849是两位数；
②由1849的个位上的数是9，可以确定√1849的个位上的数是3或7；
③如果划去1849后面的两位49得到数18，而42 = 16，52 = 25，可以确定√1849的十位上的数是4；因
4 × (4 + 1) = 20，而18 < 20，
所以选择较小的个位数字，则√1849 = 43．
故答案为：①两；②3，7；③43；
（2）已知3136也是一个整数的平方，根据材料的方法求出√3136的过程如下：
①由102 = 100，1002 = 10000可以确定√3136是两位数；
②由3136的个位上的数是6，可以确定√3136的个位上的数是4或6；
③如果划去3136后面的两位36得到数31，而52 = 25，62 = 36，可以确定√3136的十位上的数是5；因
5 × (5 + 1) = 30，而31 > 30，
所以选择较大的个位数字，则√3136 = 56．
【变式2-1】
【答案】（1）0.1；10 （2）右；1 （3）①22.4 ②25
【分析】本题考查算术平方根中的规律探索题：
（1）直接计算即可；
（2）观察（1）中表格数据，找出规律；
（3）利用（2）中找出的规律求解．
【详解】解：（1）𝑥= √0.01 = 0.1，𝑦= √100 = 10，
故答案为：0.1，10；
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（2）由表格中的数据可知被开方数的小数点每向右移动2 位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1 位．
故答案为：右，1；
（3）①已知√5 ≈2.24，则√500 ≈22.4，
②已知√2𝑚≈7.07，√5000 ≈70.7，则2𝑚= 50，
∴𝑚= 25
故答案为：①22.4；②25．
【变式2-2】
【答案】C
【分析】根据表格中的信息可知𝑥2和其对应的算术平方根的值，然后依次判断各选项即可．
【详解】解：①√228.01 = 15.1，故本选项正确，不符合题意；
②235 的算术平方根比15.3 大，故本选项错误，符合题意；
③√2310400 = 1520，故本选项错误，符合题意；
④根据表中数据的变化趋势，可以推断出15.82比15.72增大3.15，故本选项错误，符合题意．
故选：C．
【变式2-3】
【答案】A
【分析】根据算术平方根的小数点的移动规律可知√236000 = √23.6 × √1002进而即可解答．
【详解】解：∵2360000是23.6向右移动4位得到的，
∴√236000 = √23.6 × 1002 = √23.6 × √1002，
∵√23.6 ≈4.858，
∴√236000 = √23.6 × √1002 ≈4.858 × 100 ≈485.8，
故选A．
【变式2-4】
【答案】A
【分析】根据根号内的小数点的移动规律即可求解，算术平方根的移动规律为：根号内的小数点移动两位，
对应的结果小数点移动一位，小数点移动方向保持一致．
【详解】解：∵√5.21 ≈2.28，
∴√0.0521 ≈0.228．
故选：A．
【变式2-5】
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【答案】C
【分析】根据被开方数的小数点每移动两位数，那么其算术平方根的小数点相应的移动一位数进行解答即可．
【详解】解：A、√0.5，小数点向左移动了一位数，不能得出其近似值；
B、√50 = √5 × 10，小数点向右移动了一位数，不能得出其近似值；
C、√500 = √5 × 102，小数点向右移动了两位数，算术平方根相应的向右移动一位数，得到其近似值为22.36；
D、√5000 = √5 × 103，小数点向右移动了三位数，不能得出其近似值；
故选：C．
▌题型03 二次根式的性质
【典例3】
【答案】C
【分析】本题考查平方根．根据一个正数的两个平方根互为相反数，求出𝑎的值，进而求出𝑀的值即可．
【详解】解：由题意，得：2𝑎+ 1 + 3 −4𝑎= 0，
解得：𝑎= 2，
∴𝑀= (2𝑎+ 1)2 = 52 = 25；
故选C．
【变式3-1】
【答案】0
【分析】本题考查了非负数的性质，绝对值，偶次方，算术平方根的非负性的应用，求解代数式的值，掌握
非负数的性质是解本题的关键．
根据偶次幂与算术平方根的非负性，求得𝑥= −2, 𝑦= 3, 𝑧= −1代入代数式，即可求解．
【详解】解：∵𝑥, 𝑦, 𝑧满足 |𝑥+ 2| + (𝑦−3)
2 + √𝑧+ 1 = 0，
∴|𝑥+ 2| ≥0，(𝑦−3)2 ≥0，√𝑧+ 1 ≥0，
∴𝑥+ 2 = 0, 𝑦−3 = 0, 𝑧+ 1 = 0，
解得：𝑥= −2,𝑦= 3, 𝑧= −1，
∴𝑥+ 𝑦+ 𝑧= −2 + 3 −1 = 0；
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【变式3-2】
【答案】√2
【分析】根据二次根式有意义的条件，得到{1 −4𝑥≥0
4𝑥−1 ≥0
，求出x，y 的值，即可解答．
【详解】依题意：{1 −4𝑥≥0
4𝑥−1 ≥0
，
∴𝑥=
1
4，此时𝑦=
1
2，
原式=√
𝑥2
𝑥𝑦+
2𝑥𝑦
𝑥𝑦+
𝑦2
𝑥𝑦−√
𝑥2
𝑥𝑦−
2𝑥𝑦
𝑥𝑦+
𝑦2
𝑥𝑦
=√
(𝑥+𝑦)2
𝑥𝑦
−√(𝑥−𝑦)
𝑥𝑦
2
=√
(1
4+1
2)
2
1
4×1
2
−√
(1
4−1
2)
2
1
4×1
2
=√
9
16 × 8 −√
1
16 × 8
=
3√2
2 −√2
2
=√2 .
故答案为√2 .
【变式3-3】
【答案】3
【分析】本题考查了利用算术平方根的非负性求解，求一个数的算术平方根，根据开方数是非负数得出关于
x 的不等式组，求出x 的值， 再根据式子求出y 的值，最后代入求出√𝑦2 + 5𝑥的算术平方根即可．
【详解】解：由被开方数是非负数，得{2𝑥−2 ≥0
1 −𝑥≥0
解得：𝑥= 1，
∴0 = 𝑦+ 2，
∴𝑦= −2．
∴√𝑦2 + 5𝑥= √(−2)2 + 5 × 1 = 3
【变式3-4】
【答案】13,12,9,4
【分析】本题考查了二次根式的定义，形如√𝑎（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，还考查了二次根式的性质：
√𝑎2 = 𝑎．由已知可得13 −𝑥≥0且13 −𝑥为完全平方数求解．
【详解】解：由已知得13 −𝑥≥0，
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∴𝑥≤13
又∵√13 −𝑥为整数
∴13 −𝑥为完全平方数，
∴13 −𝑥= 0或1或4或9
∴自然数x 的所有取值为：13,12,9,4．
【变式3-5】
【答案】B
【分析】本题考查了实数的数轴表示，二次根式以及绝对值的化简，熟练掌握二次根式和绝对值的性质是解
题的关键．根据数轴可知−1 < 𝑎< 0，0 < 𝑏< 1，进而得到𝑎−1 < 0，𝑎−𝑏< 0，根据二次根式的性质√𝑎2 =
|𝑎|，以及绝对值的性质进行化简计算即可．
【详解】解：根据实数a，b 在数轴上的位置可得：−1 < 𝑎< 0，0 < 𝑏< 1，
∴ 𝑎−1 < 0，𝑎−𝑏< 0，
∴ |𝑎−1| = 1 −𝑎，√𝑏2 = |𝑏| = 𝑏，√(𝑎−𝑏)2 = |𝑎−𝑏| = 𝑏−𝑎，
∴ |𝑎−1| −√𝑏2 −√(𝑎−𝑏)2 = 1 −𝑎−𝑏−(𝑏−𝑎) = 1 −2𝑏，
故选：B．
【变式3-6】
【答案】0
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的性质，根据数轴判断出𝑎、𝑏、𝑐的情况是解题的关键．
根据数轴判断出𝑎、𝑏、𝑐的正负情况以及绝对值的大小，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对
值号，再进行计算即可得解．
【详解】解：由图可知：𝑐< 𝑎< 0 < 𝑏，而且|𝑎| < |𝑐| < |𝑏|，
∴𝑎+ 𝑐< 0, 𝑐−𝑏< 0，
∴√𝑎2 −|𝑎+ 𝑐| + √(𝑐−𝑏)2 −|−𝑏|
= |𝑎| −|𝑎+ 𝑐| + |𝑐−𝑏| −|−𝑏|
= −𝑎+ 𝑎+ 𝑐−𝑐+ 𝑏−𝑏
= 0，
故答案为：0．
【变式3-7】
【答案】−2𝑎
【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的化简，先根据数轴确定𝑎，𝑏的范围，再根据二次根式的性质进
行化简，即可解答，解决本题的关键是根据数轴确定𝑎，𝑏的范围．
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【详解】解：由数轴可得：𝑎< 0 < 𝑏，𝑎−𝑏< 0，
∴原式= |𝑎| −|𝑏| + |𝑎−𝑏|
= −𝑎−𝑏−𝑎+ 𝑏
= −2𝑎．
故答案为：−2𝑎．
【变式3-8】
【答案】D
【分析】本题主要考查二次根式的意义，熟练掌握二次根式是解题的关键．根据√(3𝑎−9)2 = 9 −3𝑎得到
3𝑎−9 ≤0，即可得到答案．
【详解】解：∵√(3𝑎−9)2 = 9 −3𝑎，
∴3𝑎−9 ≤0，
解得𝑎≤3，
故选D．
【变式3-9】
【答案】−𝑎2𝑏√−𝑏
【分析】根据二次根式性质：被开方式非负得到−𝑎4𝑏3 ≥0，解得𝑏≤0，根据√𝑎2 = |𝑎|化简即可得到答案．
【详解】解：√−𝑎4𝑏3
= √−𝑎4𝑏2𝑏
= |𝑎2𝑏|√−𝑏
∵ −𝑎4𝑏3 ≥0，
∴ 𝑏≤0，
∴ |𝑎2𝑏|√−𝑏
= −𝑎2𝑏√−𝑏，
∴ √−𝑎4𝑏3 = −𝑎2𝑏√−𝑏，
故答案为：−𝑎2𝑏√−𝑏．
【变式3-10】
【答案】B
【分析】首先根据二次根式有意义的条件求得−𝑎𝑏的取值范围，然后再利用二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：∵二次根式√−𝑎𝑏5有意义，
∴−𝑎𝑏5≥0
∴−𝑎𝑏⋅𝑏4≥0
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∵𝑏4≥0
∴−𝑎𝑏≥0
∴√−𝑎𝑏5 = √−𝑎𝑏⋅𝑏4 = 𝑏2√−𝑎𝑏，
故选：B．
▌题型04 最简二次根式和同类二次根式
【典例4】
【答案】D
【分析】利用最简二次根式定义判断即可．
【详解】解：A、√1.4=√
7
5 = √35
5 ，故不是最简二次根式，故选项错误；
B、√
1
2 = √2
2 ，故不是最简二次根式，故选项错误；
C、√
1
3 = √3
3 ，故不是最简二次根式，故选项错误；
D、√21是最简二次根式，故选项正确；
故选D．
【变式4-1】
【答案】B
【分析】本题考查了最简二次根式的识别，解题关键是掌握二次根式满足的条件：①被开方数的因数是整
数，字母因式是整式；②被开方数不能含开得尽方的因数或因式．据此逐一判断，即可得到答案．
【详解】解：A、√8𝑥= 2√2𝑥，故A 选项不是最简二次根式，不符合题意；
B、√𝑦2 −4，是最简二次根式，符合题意；
C、√
1
𝑚= √𝑚
𝑚，故C 选项不是最简二次根式，不符合题意；
D、√3𝑎2 = √3|𝑎|，故D 选项不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
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【变式4-2】
【答案】A
【分析】本题考查的是最简二次根式，二次根式的化简，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的
因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念逐一判断即可解题．
【详解】解：A、√7是最简二次根式，符合题意；
B、√8 = 2√2不是最简二次根式，不符合题意；
C、√
1
2 = √2
2 不是最简二次根式，不符合题意；
D、√0.3 = √30
10 不是最简二次根式，不符合题意；
故选：A．
【变式4-3】
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的意义，根据𝑛是正整数，√54𝑛是正整数，得出54𝑛是一个完全平方数，再将54
分解质因数，即可得出结果．
【详解】解：∵ 𝑛是正整数，√54𝑛是正整数，
∴ 54𝑛是一个完全平方数，
∵54𝑛= 6 × 32 × 𝑛= 32 × (6𝑛)，
∴ 6𝑛是一个完全平方数，
∴ 𝑛的最小值为6，
故选：D．
【变式4-4】
【答案】B
【分析】此题主要考查了二次根式的定义，做题的关键是推导“2𝑛是个完全平方数”．首先把√128𝑛进行化简，
然后根据√128𝑛是整数确定n 的最小值．
【详解】解：∵√128𝑛= 8√2𝑛，且√128𝑛是整数，
∴2𝑛是个完全平方数，(完全平方数是能表示成一个整数的平方的数)
∴n 的最小值是2．
故选：B．
【变式4-5】
【答案】C
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【分析】本题考查了同类二次根式的定义，根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的
定义判断即可，掌握二次根式的性质是解题的关键．
【详解】A、√2；
B、由√98 = 7√2；
C、由√48 = 4√3 ；
D、由√50 = 5√2；
通过化简比较可知，C与其他三个选项不同类，
故选：C．
【变式4-6】
【答案】4
【分析】根据同类二次根式的概念列式计算，得到答案．
【详解】解：当5m+8=7 时，m=-
1
5，不合题意，
当√5𝑚+ 8=2√7，即5m+8=28 时，m=4，
∴√5𝑚+ 8与√7是同类二次根式，那么m 的最小正整数是4，
故答案为：4．
【变式4-7】
【答案】𝑥≤
25
2
【分析】本题主要考查了同类二次根式的概念、二次根式的性质等知识点，掌握二次根式的性质成为解题的
关键．
先根据同类二次根式的定义列方程求出a 的值，代入√5𝑎−2𝑥，再根据二次根式的定义列出不等式求解即可．
【详解】解：∵最简根式√3𝑎−4与√16 −𝑎是同类二次根式，
∴3𝑎−4 = 16 −𝑎，解得：𝑎= 5，
∵√5𝑎−2𝑥有意义，
∴5𝑎−2𝑥≥0，即5 × 5 −2𝑥≥0，解得：𝑥≤
25
2 ．
故答案为：𝑥≤
25
2 ．
【变式4-8】
【答案】2
【分析】本题考查了同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，那么这几个二次
根式叫同类二次根式，掌握知识点是解题关键．先把√27化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义得
到𝑚+ 1 = 3，然后解方程即可．
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【详解】解：∵ √27 = 3√3，
又∵ √27 = 3√3与最简二次根式2√𝑚+ 1是同类二次根式，
∴ 𝑚+ 1 = 3，
解得𝑚= 2，
故答案为：2．
