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专题 10 一次函数中面积问题的三类综合题型
目录
典例详解
类型一、求几何图形的面积
类型二、根据几何图形面积求点的坐标
类型三、几何图形面积的取值范围问题
压轴专练
类型一、求几何图形的面积
例1．如图，在平面直角坐标系 中，正比例函数 的图象与一次函数 的图象交于点A，
x轴的负半轴上有一点 ．
(1)求点A的坐标．
(2)过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的左侧），分别交正比例函数 的图象和一次函数
的图象于点B，C，连接 ．
①线段 的长为______（用含m的代数式表示）．②若 ，求 的面积．
【答案】(1)
(2)① ；②28
【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，勾股定理：
（1）联立函数解析式，进行求解即可；
（2）①分别求出 的坐标，再根据两点间的距离公式求出线段 的长即可；②过点 作 轴于
点 ，勾股定理求出 的长，根据 ，求出 的值，进而求出 的长，利用面积公式进行
求解即可．
【详解】（1）解：联立函数，得方程组 ，解得 ，
点 的坐标为 ．
（2）①由题意，可知： 的横坐标均为 ，
当 时， ，
∴ ；
故答案为： ；
②如图，过点 作 轴于点 ．
由（1），可得 ．在 中，由勾股定理，得 ．
， ．
， ，解得 ，
∴点 ， ，
∴ ．
变式1-1．已知直线 的表达式为 ，点A，B分别在x轴、y轴上．
(1)求出点的A，B的坐标，并在下图中画出直线 的图象；
(2)将直线 向上平移4个单位得到直线 ，点C，D分别在x轴、y轴上．求出点C，D的坐标及直线
的表达式，并在下图中画出直线 的图象；
(3)若点P到x轴的距离为4，且在直线 上，求 的面积．
【答案】(1) ，点 ；图象见解答过程；
(2) ，点 ，直线 的表达式为 ；(3)4或12．
【分析】此题主要考查了一次函数的图象，一次函数与坐标轴的交点，一次函数的平移，三角形的面积等，
熟练掌握求一次函数的图象与坐标轴交点的方法，一次函数的平移规律是解决问题的关键．
（1）对于 ，当 时， ，当 时， ，由此可得点A，点B的坐标，然后画出直
线 即可；
（2）根据一次函数平移的规律得直线 的解析式为 ，然后再分别求出点C，D的
坐标，画出直线 即可；
（3）根据点P在直线 上，可设点P的坐标为 再根据点P到x轴的距离为4得 ，由
此解出t，进而得点P的坐标，然后再求出 的面积即可．
【详解】（1）解：对于 ，当 时， ，当 时， ，
∴点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，直线 如图1所示：
（2）解：对于直线 ，向上平移4个单位得： ，
即直线 的解析式为 ，
对于 ，当 时， ，当 时， ，∴点C的坐标为 ，点D的坐标为 ，直线 如图2所示：
（3）解：∵点P在直线 上，
∴可设点P的坐标为 ，
∵点P到x轴的距离为4，
，
或 ，
由 解得： ，此时点P的坐标为 ，
由 解得： ，此时点P的坐标为 ，
①当点P的坐标为 时，如图4所示：∵点 ， ，
轴， ，
，
∵点D的坐标为 ，
，
；
②当点P的坐标为 时，过点P作 轴于H，如图3所示：，
由（1）可知： ，
．
综上所述： 的面积为4或12．
变式1-2．一次函数 的图像与 轴、 轴分别交于点 、 ，以 为边在第二象限内作等边
．
(1)求点 坐标；
(2)在第二象限内有一点 ，使 ，求 点的坐标；
(3)将 沿着直线 翻折，点 落在点 处；再将 绕点 顺时针方向旋转 ，点 落在点 处，
过点 作 轴于 ．求 的面积．【答案】(1)
(2)
(3)2
【分析】（1）先求得 、 的坐标，然后可得到 ，依据含 直角三角形的性质可得到
，则 ，然后依据勾股定理求得 的长，从而可得到点 的坐标；
（2）过点 作 ，则 ．设直线 的解析式为 ，将点 的坐标代入求得
的值，然后将 代入 的解析式可求得点 的横坐标；
（3）先求出 ，进而表示出 ， ，用勾股定理建立方程求出 ，最后用面积公式即可得
出结论．
【详解】（1）当 时， ，
．
当 时， ．
．
， ．
，
， ．
为等边三角形，
．
．
．
（2）如图1，过点 作 ．，
．
设直线 的解析式为 ，
将点 的坐标代入得： ，解得 ．
直线 的解析式为 ．
将 代入 的解析式得： ，解得： ，
．
（3）如图，由（1）知 ， ， ，
，
为等边三角形，
，
由折叠知， ，
由旋转知， ， ，
取 上取一点 使， ，连接 ，
，
设 ，
， ，，
，
在 中，根据勾股定理得， ，
，
．
【点睛】本题是一次函数的综合题，主要应用了待定系数法求一次函数的解析式、三角形的面积、轴对称
路径最短问题，构造出特殊直角三角形是解本题的关键．
变式1-3．（1）探索发现：如图1，已知 中， ， ，直线 过点 ，过点 作
，过点 作 ，垂足分别为 、 ．求证： ．
（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶
点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N的坐标为 ，试求出 的面积．
（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，
将直线 绕 点沿逆时针方向旋转 后，所得的直线交 轴于点 ．求 的面积．【答案】（1）见解析；（2）5；（3）
【分析】（1）先判断出 ，再判断出 ，进而判断出 ，即可得
出结论；
（2）过点 作 轴，垂足为 ，过点 作 ，判断出 ， ，设 列
方程组求解，即可得出结论；
（3）过点 作 ，交 于 ，过点 作 轴于 ，先求出 ，由 得 ，进而得出
， ，再判断出 ，即可判断出 ， ，进而求出直线 的解析式，即可
得出结论．
【详解】（1）证明： ， ，
．
， ，
，
， ．
，
，
（2）解：如图2，过点 作 轴，垂足为 ，过点 作 ，交 的延长线于 ，
由已知得 ，且 ，
由（1）得 ，， ，
设 ，
， ，
， ，
点 的坐标为 ，
，
解得 ，
点 的坐标为 ；
∴ ，
（3）解：如图3，
过点 作 ，交 于 ，过点 作 轴于 ，
对于直线 ，由 得 ，
，
，
由 得 ，
， ，
，
．
．
由（1）得 ， ．
， ．
，
设直线 为 ，则 ，
解得 ．
直线 为 ．
由 得， ，
， ．
∴ ， ．
【点睛】本题主要考查一次函数的综合应用，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，构造出全等
三角形是解本题的关键．
类型二、根据几何图形面积求点的坐标
例2-1．如图，直线 与直线 相交于点 ， 交y轴于点B， 交y轴负半轴
于点C，且 ．
(1)求直线 和 的解析式；
(2)若D是直线 上一点，且 的面积是9，求点D的坐标．
【答案】(1)直线 的解析式为 ，直线 的解析式为(2) 或
【分析】本题考查了求一次函数的解析式、一次函数的应用，熟练掌握待定系数法和一次函数的性质是解
题关键．
（1）根据点 ，利用待定系数法即可得直线 的解析式，从而可得点 的坐标，再根据
可得点 的坐标，然后利用待定系数法即可得直线 的解析式；
（2）先求出 ，再设点 的坐标为 ，利用三角形的面积公式求解即可得．
【详解】（1）解：将点 代入 得： ，
解得 ，
则直线 的解析式为 ，
当 时， ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∵点 位于 轴负半轴，
∴ ，
将点 ， 代入 得： ，解得 ，
则直线 的解析式为 ．
（2）解：∵ ，
∴ ，
设点 的坐标为 ，
∵ 的面积是9，∴ ，
解得 或 ，
当 时， ，
当 时， ，
则点 的坐标为 或 ．
例2-2．如图，已知在平面直角坐标系中，点 在直线 ： 上，过点P的直线 ：
(k、b为常数，且 )与x轴交于点 ，与y轴交于点B， 轴于点H．
(1)求直线 的函数解析式和点B的坐标；
(2)在直线 上是否存在点C，使得 的面积等于四边形 的面积的6倍？若存在，求出点C的坐
标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2) 或
【分析】本题考查的是待定系数法求解一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点坐标，坐标与图形面
积，运用数形结合思想解题是解本题的关键．
（1）先求解 的坐标，再利用待定系数法求解 的解析式，再令 可得 的坐标；
（2）先求解四边形 的面积为 ；可得 的面积为 ，再建立方程求解即
可．
【详解】（1）解：∵点 在直线 ： 上，∴ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ： (k、b为常数，且 )与x轴交于点 ，且经过点P，
∴ ，
解得： ，
∴ ： ；
当 时， ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ， 轴，
∴ ，
∴四边形 的面积为 ；
∴ 的面积为 ，
如图，存在两个这样的点C，设 ；∴ 的面积 ，解得： 或 ，
当 时， ，
当 时， ，
∴ 或 ；
变式2-1．在平面直角坐标系中，已知 ，连 ，将 向下平移 个单位长度，再向左平移
个单位长度，得线段 ，点 的对应点为点 ．
(1)如图1，求四边形 的面积；
(2)如图2，点 为 轴正半轴上一动点，连 交 于点 ；
①设 ，显然三角形 分成三角形 与三角形 两部分，请你探究 ， 间满足的数量关
系，并说明理由；
②是否存在点 ，使 将四边形 的面积分成 两部分，若存在，请求出 点坐标；若不存在，请
说明理由．
【答案】(1) ；
(2)① ；②存在 点，坐标为 ．
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的平移、平行四边形面积计算、一次函数表达式求解及三角
形面积的比例应用．熟练掌握平移规律、函数表达式求解方法及面积公式，准确分析图形分割后的面积关
系是解题关键．
（1）通过平移规律确定 、 坐标，判断四边形 为平行四边形，利用平行四边形面积公式（底×
高）计算，底为 长度，高为平移的垂直距离．（2）①先求 、 、 坐标，得出直线 、 表达式，因 是两直线交点，代入表达式推导 、
关系．
（2）②先算四边形 面积，按 ，结合三角形面积公式求 坐标，再代入直线
表达式求 坐标．
【详解】（1）解：由平移规律“左减右加，上加下减”，
∴ 平移后得 ； 平移后得
∵ 长度为 ， 与 平行且相等， 和 间垂直距离（高）为
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，得
（2）解：①已知 、 、
设直线 表达式为 ，代入 、 坐标：
，
解得 ，
故 表达式为 ．
设直线 表达式为 ，
∵ ，令 在 轴正半轴设 ，代入得：
，
解得 ，∴ 表达式为 ．
∵ 是 与 交点，
∴将 代入 表达式得： ，整理得 ．
②∵使 将四边形 的面积分成 两部分，四边形 面积为 ，
．
以 为底，高为 （ 到 （ ）的距离 ），
∵ ，
解得 ．
将 代入 ，
得 ，
∴ ，即 ．
设直线 表达式为 ，代入 、 ： ，解得 ，
故 ．所以存在 点，坐标为 ．
变式2-2．如图，在平面直角坐标系中，直线， 与 轴、 轴分别交于点 ，直线
与 轴、 轴分别交于点 ，交直线 于点 ．(1)直线 ______定点 （填“经过”或“不经过”）；
(2)若点 关于点 对称，求此时直线 的解析式；
(3)若直线 将 的面积分为 两部分，请求出 的值．
【答案】(1)经过；
(2) ；
(3) 或 ．
【分析】本题考查了一次函数的性质，坐标与图形，中点坐标公式，三角形的面积公式，熟练掌握知识点
的应用及分类讨论的思想是解题的关键．
（ ）根据直线 的解析式，即可判定；
（ ）首先可求得点 的坐标，再根据求线段中点坐标公式，即可求解；
（ ）首先求得点 的坐标，再分两种情况，根据三角形的面积公式，即可分别求得点 的坐
标，据此即可求解；
【详解】（1）由 得， ，
当 时， ，
∴ 经过定点 ，
故答案为：经过；
（2）∵ 与 轴交于点 ，
∴ ，点 关于点 对称，∴ ，
将 代入 ，即 ，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ；
（3）∵ 与 轴、 轴分别交于点 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵直线 经过定点 ，且 在直线 上，
∴点 的坐标为 ，
∵直线 将 的面积分为 两部分，且 ，
∴ 当 时即 ，
∴ ，
∴ ，即 ，∴ ；
当 时，即 ，
∴
∴ ，即 ，
∴ ，
综上可知： 的值为 或 ．
变式2-3．如图，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，且经过定点，直线 与 交于点 ．
(1)填空： ______， ______， ______；
(2)求 的面积；
(3)若动点 在射线 上从点 开始以每秒1个单位长度的速度运动，连接 ，设点 的运动时间为 秒，
是否存在 的值，使 和 的面积比为 ？若存在，直接写出 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；4；2
(2)6
(3) 的值为 或 ．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解．
（2）分别求出 和 的坐标，再根据三角形的面积公式列式计算，即可作答．
（3）分两种情况：①点 在线段 上，②点 在线段 的延长线上，由 和 的面积比为
，即可求解．
本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法，勾股定理，三角形的面积等知识，正确
掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】（1）解： 直线 经过定点 ，
，
，
直线 ，
直线 经过点 ，
，，
把 代入 ，得： ，
解得： ，
故答案为： ；4；2；
（2）解：∵直线 与 轴交于点 ，
∴令 时，则 ，
∴ ，
∴ ，
∵直线 与 轴交于点 ，
∴令 时，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵
∴ ，
∴ 的面积为 ；
（3）解：存在，
动点 在射线 上从点 开始以每秒1个单位的速度运动，直线 ，
，
，
，
点 的运动时间为 秒，
，
分两种情况：点 在线段 上，和 的面积比为 ，
，
，
，
；
点 在线段 的延长线上，
和 的面积比为 ，
，
，
，
，
综上：存在 的值，使 和 的面积比为 ， 的值为 或 ．
变式2-4．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线 与x轴负半轴交于点B，与y轴正半
轴交于点A，A点坐标 ，三角形 的面积是4．(1)求点B的坐标；
(2)点C是y轴正半轴点A上方一点（点C与点A不重合），C点坐标 ，连接 ，点E是x轴正半轴
上一点，且 ，连接 ．
①如图2，若三角形 的面积是8，求m的值；
②如图3，点F是线段 上一点（点F与点B，点O不重合），连接 ， ，当四边形 的面积
与三角形 的面积相等时，用只含有m的代数式表示三角形 的面积，并说明理由．
【答案】(1)
(2)① ；②
【分析】（1）首先得到 ，然后根据三角形 的面积是4得到 ，即可求解；
（2）①首先得到 ，然后表示出 ，然后根据三角形 的面积是8
得到 ，即可求解；
②设 ，则 ， ，然后根据题意得到 ，代入得到 ，
然后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：∵A点坐标 ，
∴
∵三角形 的面积是4．
∴
∴
∴ ；
（2）解：①∵点C是y轴正半轴点A上方一点（点C与点A不重合），C点坐标 ，
∴
∴
∴
∴∵三角形 的面积是8
∴ ，即
∴ ；
②∵点F是线段 上一点（点F与点B，点O不重合），
∴设
∴ ，
∵四边形 的面积与三角形 的面积相等
∴
∴
∴
∴
∴
∴ ．
【点睛】此题考查了一次函数和几何综合，三角形面积，解题的关键是掌握以上知识点
类型三、几何图形面积的取值范围问题
例3．如图，在 中， ， ， ，动点 从点 出发，沿折线 方向
运动，速度为每秒1个单位长度，到达点 时停止运动．设点 的运动时间为 秒， 的面积为 ．
(1)直接写出 关于 的函数关系式，并注明自变量 的取值范围；(2)在平面直角坐标系中，画出 的函数图象，并写出函数 的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出 的面积大于3时 的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过
0.2）
【答案】(1) ；
(2)图象见解析，当 时， 随 增大而增大；当 时， 随 增大而减小；
(3)当 时， 的面积大于3．
【分析】本题考查了求一次函数关系式，画一次函数图象，一次函数图象的性质．
（1）根据题意，进行分类讨论，当点P在 上时，当点P在 上时，再根据三角形的面积公式结合相
似三角形的判定和性质，即可解答；
（2）根据（1）中所列表达式，取值描点连线作图，结合图象写出性质；
（3）观察图象求出函数图象的交点坐标，根据交点结合图象根据函数值大小判断自变量取值范围．
【详解】（1）解：∵ ，
当点P在 上时， ，则 ， ，
∴ ，
，
即 ，
当点P在 上时， ， ，∴ ，
，
即 ，
综上： ；
（2）解：当 时， ，解得 ；当 时， ；
当 时， ，解得 ；当 时， ；
函数图象如图所示，
由图可知：当 时， 随 增大而增大；当 时， 随 增大而减小；
（3）解：当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ；
由图可知，当 时， 的面积大于3．
变式3-1．已知，在平面直角坐标系中，点A在y轴上， ，点 ，且a、b满足
．(1)则 ____________； __________；
(2)如图1，在x轴上是否存在点C，使三角形 的面积等于三角形 面积的一半？若存在，请求出点
C的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，将线段 向左平移m个单位 ，得到线段 ，其中点A，点B的对应点分别为点 ，
点 ．若点 在射线 上，连接 得到三角形 ，若三角形 的面积大于三角形
面积的 并且小于三角形 面积，则m的取值范围是______________．
【答案】(1)6，2；
(2)当C 或 时，三角形ABC的面积等于三角形ABO面积的一半；
(3) ＜m＜3．或6＜m＜ ．
【分析】（1）根据非负数的性质构建方程组，求出a和b的值即可；
（2）设出C点的坐标，分情况根据三角形的面积关系列出方程求解即可；
（3）由题意可得出点A′，B′的坐标，进而求出直线A′B′的解析式，过点N作NM⊥x轴于点M，根据三角形
的面积公式可表达△BON的面积，根据所给范围求解即可．
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：6，2；（2）由（1）得A（0，6），B（2，2），
S OAB= ×6×2=6，
△
设C（c，0），
如图，当C点在左侧时，
S ABC=S AOB+S OBC-S OAC=6+ ×c×2- ×6×c=6-2c，
△ △ △ △
即6-2c=3，
解得c= ，
当C在右侧C′的位置时，
S ABC′=S OAC-S AOB-S OBC= ×6×c-6- ×c×2=2c-6，
′ ′
△ △ △ △
即2c-6=3，
解得c= ，
综上所述，当C（ ，0）或（ ，0）时，三角形ABC的面积等于三角形ABO面积的一半；
（3）由平移可得A′（-m，6），B′（2-m，2），
∴直线A′B′：y=-2x+6-2m，∴N（-1，8-2m），
∵O（0，0），B（2，2），
∴直线OB：y=x，过点N作NM⊥x轴交BM于点M，
∴M（-1，1），
∴NM=|9-2m|，
∴S OBN=S BMN-S OMN= ×3×|9-2m|- ×1×|9-2m|=|9-2m|，
△ △ △
∵三角形BON的面积大于三角形ABO面积的 并且小于三角形ABO面积，
∴3＜|9-2m|＜6，
解得： ＜m＜3或6＜m＜ ．
故答案为： ＜m＜3或6＜m＜ ．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的面积，非负数的性质，平行线的性质等知识，解题的关
键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．
变式3-2．在平面直角坐标系 中，对于给定的两点 ，若存在点 ，使得 的面积等于1，即
，则称点 为线段 的“单位面积点”．解答下列问题：如图，在平面直角坐标系 中，点
的坐标为 ．
(1)在点 ， ， ， 中，线段 的“单位面积点”是__________．(2)已知点 ， ，将线段 沿 轴向上平移 个单位长度，使得线段 上存在线段
的“单位面积点”，直接写出 的取值范围．
(3)已知点 ， ，点 是线段 的两个“单位面积点”，点 在 的延长线上，若
，直接写出点 纵坐标的取值范围．
【答案】(1) ，
(2) 或
(3)①当点 在 轴上时，点 纵坐标的取值范围为 或 ；②当点 在 直线上时，点
纵坐标的取值范围为 或 ．
【分析】（1）由 点的坐标得出 ，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）当点 为线段 的“单位面积点”时， ， 或 ，当点 为线段 的“单位面积
点”时， ，解得： 或 ，即可得出结果；
（3）先求出 ，得出线段 的“单位面积点”在 轴上或 的直线上，则点 在 的直线与
延长线的交点上，求出 直线的解析式为： ，则 ， 是线段 的“单位面积点”，
则 ， ，
①当点 在 轴上时， ，得出 ，列不等式求解即可得出 的纵坐标的取值范
围；
②当点 在 直线上时， ，得出 ，列不等式求解即可得出 的纵坐标的
取值范围．
【详解】（1）解：如图1所示：点 的坐标为 ，
，
、 、 、 ，
， ， ，
，
点 、点 是线段 的“单位面积点”，
故答案为： ， ；
（2）解：如图2所示：
当点 为线段 的“单位面积点”时， ，解得 或 ；
当点 为线段 的“单位面积点”时， ，解得 或 ；
线段 上存在线段 的“单位面积点”， 的取值范围为 或 ，故答案为： 或 ；
（3）解： 点 的坐标为 ， ，
，
线段 的“单位面积点”在 轴上或 的直线上，
点 在 的延长线上，
点 在 的直线与 延长线的交点上，如图3所示：
设 直线的解析式为 ，则 ，解得 ，
直线的解析式为： ，则 ，
是线段 的“单位面积点”，
，
，
①当点 在 轴上时， ，
，
，
当 时， ，解得 ；当 时， ，解得 ；点 纵坐标的取值范围为 或 ；
②当点 在 直线上时， ，
，
，
当 时， ，解得 ；当 时， ，解得 ；
点 纵坐标的取值范围为 或 ．
综上， ①当点 在 轴上时，点 纵坐标的取值范围为 或 ；②当点 在 直线上时，
点 纵坐标的取值范围为 或 ．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了新概念“单位面积点”、图形与坐标、三角形面积的计算、含
绝对值不等式解法、分类讨论等知识，熟练掌握新概念“单位面积点”是解题的关键．
变式3-3．已知，在平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别为 ， ， ，
轴，且 、 满足 ．
(1)则 ， ， ；
(2)如图1，在 轴上是否存在点 ，使 的面积等于 的面积？若存在，请求出点 的坐标；若不
存在，请说明理由；
(3)如图2，连接 交 于点 ，是否存在一点 在y轴上，使得 的面积大于 的面
积，若有，请求出n的取值范围；若没有，请说明理由．【答案】(1) ，4，2
(2)存在，
(3)有，
【分析】（1）根据非负数的性质构建方程组，求出a和b，再根据 轴，可得c的值；
（2）设 与 轴交于点 ，如图1中，先求出直线 与 轴的交点 ．设 ． ，
根据三角形面积公式构建方程，可得结论．
（3）设 ，利用面积法求出a的值，分当点 点A的上方时、当点 点A的下方时，求出
时，n的值，结合图象可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了三角形的面积，非负数的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是学会
用分类讨论的思想思考问题，学会利用未知数构建方程解决问题，对于初一学生来说题目有一定的难度．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ， ， ，
故答案为： ， ， ；
（2）在 轴上存在点D，使 的面积等于 的面积，理由如下：
如图1，设 与 轴交于点 ，设直线 的解析式为 ，代入A、C得：
，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
令 ，则 ，解得： ，
∴P点坐标为 ；
∵ ，
∴ ，
∵
∴
∴ ，
当D在P的左边时，D的坐标为 ，当D在P的右边时，D的坐标为 ，
∴D的坐标为 或 ；
（3）存在一点 在y轴上，使得 的面积大于 的面积，理由如下：
如图2.1中，当点 点A的上方时，连接 ， ， ，
设 ，
∵ ，
∴
解得 ，
当 时，则有
解得 ，
如图2.2，当点N在点A的下方时，当 时，则有
解得 ，
观察图象可知，满足条件的n的值为 ．
1．如图，在 中， ， ， ．动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，
沿折线 运动，到达B点时停止运动，设点P的运动时间为 秒 ， 的面积为y．(1)求y关于t的函数表达式，并注明自变量 的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图像，并写出该函数的一条性质；
(3)当 的面积等于4时，结合函数图像，求 的值．
【答案】(1)
(2)图像见解析，函数的一条性质：该函数的最大值为6
(3)2或
【分析】本题考查了一次函数的应用、勾股定理等知识，熟练掌握一次函数的几何应用是解题关键．
（1）分两种情况：① ，先求出 的长，再利用三角形的面积公式即可得；② ，先求出
的长，再利用三角形的面积公式可得 的长，然后利用三角形的面积公式求解即可得；
（2）先根据（1）的结论，画出两段一次函数的图像，再写出一条性质即可得；
（3）分两种情况： 和 ，求出 时， 的值即可得．
【详解】（1）解：∵在 中， ， ， ，
∴ ，
由题意可知，点 从点 运动到点 所需时间为 秒，从点 运动到点 所需时间为 秒，
①当 时，点 在 上运动，
则 ，
∴ 的面积 ；
②如图，当 时，点 在 上运动，
过点 作 于点 ，
则 ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ 的面积 ；
综上， ．
（2）解：在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图像如下：
该函数的一条性质：该函数的最大值为6．
（3）解：当 时，则 ，解得 ，符合题设；
当 时，则 ，解得 ，符合题设；
综上， 的值为2或 ．
2．如图，直线 与 轴、 轴分别相交于点 ，点 的坐标为 ，点 是直线
上一个动点．(1)在点 运动过程中，试写出 的面积 与 的函数关系式，并写出相应自变量的取值范围；
(2)当点 运动到什么位置时， 的面积为9，求此时点 的坐标；
【答案】(1)
(2) 或
【分析】本题综合考查了坐标与图形面积，列一次函数关系式，清晰的分类讨论是解本题的关键．
（1）设点 ，将 的面积表示出来，并分点P在第一、二象限和点P在第三象限两种情况进行
讨论即可；
（2）分别把 代入（1）中两种情况下的函数关系式，求出点P的横坐标，再分别代入 中
可求出点P纵坐标．
【详解】（1）解：∵ ，
∴P到x轴的距离为 ，
∵点A的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
令 =0，
解得 ，
∴ ，
①当点P在第一、二象限时，
，②当点P在第三象限时，
∴点P在运动过程中， 的面积S与x的函数关系式为：
；
（2）解∶当 ， 的面积为9，
∴ ，解得 ，
代入 ，得 ，
∴ ，
当 ）， 的面积为9，
∴ ，
解得 ，
代入 ，得 ，∴ ，
综上所述，点P的坐标为 或 ．
3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，且a，b满足关系式
成立．
(1)直接写出点A，B的坐标；
(2)如图1，点 是线段 上的一个动点， 轴于点E， 轴于点M， 轴于点F，
连接 ．利用图形间的面积关系，可得到一个关于m与n之间的关系式，请求出这个关系式；
(3)如图2，将线段 沿与坐标轴平行的方向平移1次得到线段 ，当形成的 面积为9时，请直接
写出此时点 的坐标．
【答案】(1) ，
(2)
(3) 或
【分析】本题考查几何变换的综合应用，主要考查非负数的性质，三角形的面积，平移的性质，掌握平
移的性质是解题的关键．
（1）由二次根式和平方的非负性可得 ，即可解答；
（2）根据题意表示出 ，代入数值计算求解即可；
（3）分类讨论，① 在 上方时② 在 下方时，分别过点 作 轴的垂线，垂足分别为，设 ，利用三角形面积割补法， ，列方程求解即可．
【详解】（1）解： ，
，
，
∴点 ，点 ；
（2）解：由（1）可得：点 ，点 ，
∵ 轴于点E， 轴于点M， 轴于点F，
，
，
，
且 ，
，
；
（3）如图：① 在 上方时，
分别过点 作 轴的垂线，垂足分别为 ，设 ，则，
，
，
解得： ，
则点 的坐标为 ，
如图：② 在 下方时，
同理，解得： ，
综上，点 的坐标 或 ．
4．如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点B，将直线 沿y轴向上平移4个单
位与直线l交于点A，与x轴交于点C．
(1)求点A坐标；(2)点 ，连接AD，BD，求△ABD的面积；
(3)点P为线段AB上一点，点Q为线段AC延长线上一点，且 ，连接PQ交x轴于点E，设点P的
横坐标为m，四边形APEC的面积为S，求S与m的函数关系式（不需求自变量的取值范围）．
【答案】(1)点A的坐标为
(2)18
(3)
【分析】（1）由一次函数图象的平移可求得平移后的直线解析式，与直线l的解析式联立起来即可求得点
A的坐标；
（2）设直线l交y轴于点F，由割补法得 ，即可求得结果．
（3）过点P作 轴于F，过Q作 于G，由 判定 ，可得 ；
再由 证明 ，可得 ；设点P的坐标，则可得 ，由
即可得到函数关系式．
【详解】（1）解：直线 沿y轴向上平移4个单位后的解析式为： ，
解方程组 ，得： ，
∴点A的坐标为 ；
（2）解：设直线l交y轴于点F，如图，
对于 ，令 ，得 ；令 ，得 ；
即 ， ，
∴ ， ；
∵ ，∴
∴ ，
则
；
（3）解：如图，过点P作 轴于F，过Q作 于G，
在 中，令 ，得 ，
∴ ，
∴ ；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
∴ ；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；设点P的坐标为 ，
则 ， ；
∴
．
【点睛】本题为一次函数的综合，考查一次函数图象点的坐标特征，割法求三角形面积，全等三角形的判
定与性质，关键是作辅助线构造全等三角形．
5．如图1，在平面直角坐标系中，直线 与 轴， 轴分别交于点 ．
(1)求 的面积：
(2)如图2，点 为 轴上一动点（点 在点 的左侧），将点 绕点 逆时针旋转 至点 ，连接 并
延长与 轴交于点 ，当点 在移动过程中，点 的坐标是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，
请求出点 的坐标；
(3)如图3，点 为直线 上一动点．已知 ，若 三点在某长方形的内
部或边上，该长方形的一条边与坐标轴平行．求点 在移动过程中该长方形的面积最小值及此时 的取值
范围．【答案】(1)
(2)不变，
(3) ，
【分析】本题考查了一次函数、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解
题的关键．
（1）计算出 、 的坐标即可解题；
（2）证明 ≌ ，可推出 是等腰直角三角形，即可求解；
（3）过点 作 轴， 轴，过点 作 ， ，长方形 即为所求，进而
求解．
【详解】（1）解：直线 ，
当 时， ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：不变，理由如下：
如图：过点 作 轴交 轴于点 ，
由题意知， 且 ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ≌ ，
∴ ， ，
∵ ，
，
∴ ，
即 ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ 也是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ；
（3）解：如图：过点 作 轴， 轴，过点 作 ， ，
则 为长方形，
由题意知，图中长方形 为符合题意的面积最小的长方形，此时点 的运动范围在线段 上，由图可知， 轴， 轴，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ；
可设 ， ，
代入一次函数 可得：
， ，
解得： ， ；
∴ ， ，
∴ ；
故 在移动过程中该长方形的面积最小值为 ，此时 的取值范围是 ．
6．如图，过点 的直线 与坐标轴相交于 、 两点，已知点 是第二象限的点，设
的面积为 ．
(1)写出 与 之间的函数关系，并写出 的取值范围；
(2)当 的面积为 时，求出点 的坐标；
(3)在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点 ，使得 与 、 、 中任意两点形成的三角形面积也为 ，
若存在，请直接写出点 的坐标．【答案】(1)
(2)
(3)存在， ， ， ， ， ， ．
【分析】（1）先求出点A坐标，由 可求函数关系式，
（2）将 代入函数解析式可求得点 ；
（3）根据三角形三个顶点不同分类讨论求出点M．
【详解】（1）解：点 在第二象限，则 因为
当 时，x ，则
（ )
（2）由（1）可知
当
则
此时：
所以
（3）存在点M满足条件，
I．当M点在y轴时，若 ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴当点M在原点上方时，点M坐标为 ，
∴当点M在原点下方时，点M坐标为 ，
II．当M点在y轴时，若 ，即 ，∴ ，
∴ ，
∴当点M在原点上方时，点M坐标为 ，
∴当点M在原点下方时，点M坐标为 ；
III．当M点在y轴时，若 ，即 ，
，
∴ ，
∴当点M在点B上方时，点M坐标为 ，
∴当点M在点B下方时，点M点M与点O重合，不合题意舍去；；
IV．当M点在x轴时，若 ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴当点M在原点右侧时，点M坐标为 ，
∴当点M在原点左侧时，点M坐标为 ，与点A重合，不合题意舍去；
V．当M点在x轴时，若 ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵点A坐标为 ，∴当点M在点A左侧时，点M坐标为 ，
∴当点M在点A右侧时，点M与点O重合，不合题意舍去；
综上所述：点M坐标为 ， ， ， ， ，
．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、解一元一次方程，解题的关键是分类
讨论的数学思想．
7．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点P的坐标为 ，过点A分别作 轴于点
B， 轴于点C．已知直线 ．
(1)点C的坐标为___________；
(2)通过计算说明一次函数 的图象一定过点P；
(3)直线 、直线 、直线 不能组成三角形时，求k的值；
(4)当直线 与边 有交点，且将四边形 分成的两部分面积比为 时，直接写
出k的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)k的值为0， 或
(4) 或【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，坐标与图形，熟练掌握一次函数的性质，采用分类讨论的思
想是解此题的关键．
（1）根据题意并结合图形即可得出答案；
（2）求出当 时， ，即可得解；
（3）分情况结合一次函数的性质求解即可；
（4）分两种情况：当直线 过点C时；当直线 与边 ， 交于M，N时；分
别求解即可．
【详解】（1）解：∵点A的坐标为 ，过点A作 轴于点C．
∴点C的坐标为 ；
（2）解：当 时， ，
∴一次函数 的图象一定过点P；
（3）解：当 时，直线 ，符合题意；
当直线 过点C时， ，解得 ，符合题意；
设直线 的函数解析式为 ．
将 ， 代入解析式，得 ，
解得 ，
当直线 与直线 平行时， ，符合题意．
综上，k的值为0， 或 ；
（4）解：四边形 的面积为 ， ；
如图1，当直线 过点C时， ，当 时， ，∴ ，
，
∴ 符合题意；
如图2，当直线 与边 ， 交于M，N时，
令 ，得 ，
∴ ．
令 ，得 ，
∴ ．
或 ，
解得 ，或 （舍），
综上所述，k的值为 或 ．
8．如图（含备用图），在直角坐标系中，已知直线 与 轴相交于点 ，与 轴交于点 ．(1)求 的值及 的面积；
(2)点 在 轴上，若 是以 为腰的等腰三角形，直接写出点 的坐标；
(3)点 在 轴上，若点 是直线 上的一个动点，当 的面积与 的面积相等时，求点
的坐标．
【答案】(1) ，
(2) 或 或
(3) 或
【分析】本题综合考查了一次函数与几何知识的应用．
将点 的坐标代入函数解析式求得 的值，根据直线方程求得点 的坐标，然后求得相关线段的长度，
由三角形的面积公式解答；
根据等腰三角形的性质和两点间的距离公式解答；
分类讨论：点 在 轴的上方和下方，两种情况，利用三角形的面积公式和已知条件，列出方程，利用
方程求得点 的坐标即可．
【详解】（1）解：将点 代入直线 ，得
，
解得 ，
．
当 时， ．， ．
当 时， ，
，
， ，
；
（2）如图 ，
当 时，点 与点 关于 轴对称，故C 符合题意；
当 时，由 ， 得到 ，由 得到 、
．
综上所述，符合条件的点 的坐标是 或 或 ；
（3） ，
，
．
由 知， ，
；
当点 在 轴下方时， ，
，点 在 轴下方，
．
当 时，代入 得， ，
解得 ．
；
当点 在 轴上方时， ，
，
点 在 轴上方，
．
当 时，代入 得， ，
解得 ．
．
