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专题10 二次函数中的特殊角问题
1．已知点C为抛物线 的顶点．
(1)直接写出点C的坐标为 ；
(2)若抛物线经过点 ．
①直接写出抛物线解析式为： ；
②如图1，点B ，以 为底的等腰 交抛物线于点P，将点P绕原点O顺时针旋转
到 ，求 的坐标；
(3)如图2，过抛物线上一点M作直线l平行于y轴，直线 交抛物线另一点于E，交直线l于点
D，过M作 轴，交抛物线于另一点N，过E作 于点F．若点M的横坐标为 ，试
探究 与 之间的数量关系并说明理由．
2．抛物线y＝ax2+4（a≠0）与x轴交于A，B两点（A点在B点的左侧），AB＝4，点P（2，1）位
于第一象限．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M在抛物线上，且使∠MAP＝45°，求点M的坐标；
(3)将（1）中的抛物线平移，使它的顶点在直线y＝x+4上移动，当平移后的抛物线与线段AP只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t的取值范围．
3．如图，二次函数 的图象交x轴于点A、点B，其中点B的坐标为 ，点C的坐标
为 ，过点A、C的直线交二次函数的图象于点D．
(1)求二次函数和直线 的函数表达式；
(2)连接 ，则 的面积为________；
(3)在y轴上确定点Q，使得 ，点Q的坐标为________；
(4)点M是抛物线上一点，点N为平面上一点，是否存在这样的点N，使得以点A、点D、点M、
点N为顶点的四边形是以 为边的矩形？若存在，请你直接写出点N的坐标；若不存在，请说
明理由．
4．如图，在直角坐标系 中，二次函数 的图像与 轴相交于 ， 两点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)在这条抛物线的对称轴右边的图像上有一点 ，使 的面积等于6，求点 的坐标；
(3)对于（2）中的点 ，在此抛物线上是否存在点 ，使 ？若存在，求出点 的坐标，
若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线 与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．
点A的坐标为 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线 下方的抛物线上是否存在一点P，使得 的面积等于 面积的三分之二？若
存在，求出此时 的长；若不存在，请说明理由．
(3)将直线 绕着点C旋转 得到直线l，直线l与抛物线的交点为M（异于点C），求M点坐
标．
6．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴交于 、 两
点，与y轴交于点C，连接AC，
(1)求抛物线的解析式；
(2)在对称轴上是否存在一点M，使 ，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请
说明理由；
(3)①若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值；
②若点P是抛物线上的一个动点，且∠APB＝45°，请直接写出点P的横坐标．
7．如图，已知抛物线的顶点M（0，4），与x轴交于A（－2，0）、B两点，
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点C（0，2），P为抛物线上一点，过点P作PQ y轴交直线BC于Q（P在Q上方），
再过点P作PR x轴交直线BC于点R，若 PQR的面积为2，求P点坐标；
(3)如图2，在抛物线上是否存在一点D，使△∠MAD＝45°，若存在，求出D点坐标，若不存在，请
说明理由．
8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其
中点A的坐标为（-3，0），点B的坐标为（0，-4），连接AB，BC． 动点P从点A出发，在线
段AB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动；同时，动点Q从点A出发，在线段AC上
以每秒 个单位长度的速度向点C作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，
设运动时间为t秒． 连接PQ，PC．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在点P，Q运动过程中，当 的面积为 时，求点Q坐标；(3)在（2）条件下， 时，在直线PQ上是否存在点M，使 ？若存在，请直接求出点
M的坐标；若不存在，请说明理由．
9．函数y＝ ，其中a是常数且a≠0，该函数的图象记为G．
(1)图象G经过3个定点，分别为 ， ， ；
(2)图象G与直线y＝a有2个交点时，结合函数图象，求a的值；
(3)图象G与直线x＝2和直线x＝﹣2分别相交于点P，Q，当∠POQ＝135°时，直接写出a的值．
10．如图，抛物线 交x轴于 两点，交y轴于点C．
(1)求抛物线的解析式和对称轴．
(2)若R为抛物线上一点，满足 ，求R的坐标．
(3)若点P在抛物线的对称轴上，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点P 使得A、
C、P、Q为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，若不存在，
请说明理由．
11．已知，如图，抛物线与坐标轴相交于点 ， 两点，对称轴为直线 ，对称轴
与x轴交于点D．(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线上的点，当 时，求点P的坐标；
(3)点F为二次函数图像上与点C对称的点，点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存
在以点F，A，M，N为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．
12．如图所示，抛物线y=−x2+bx+3经过点B(3，0)，与x轴交于另一点A，与y轴交于点C．
(1)求抛物线所对应的函数表达式；
(2)如图，设点D是x轴正半轴上一个动点，过点D作直线l⊥x轴，交直线BC于点E，交抛物线于
点F，连接AC、FC．
①若点F在第一象限内，当∠BCF=∠BCA时，求点F的坐标；
②若∠ACO+∠FCB=45°，则点F的横坐标为______．
13．如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 ： 与 轴交于 ， 两点，且
经过点 ，点 是抛物线 的顶点，将抛物线 向右平移得到抛物线 ，且点 在抛物线
上．(1)求抛物线 的表达式；
(2)在抛物线 上是否存在一点 ，使得 ，若存在，请求出点 的坐标，若不存在，请
说明理由．
