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专题01 平面直角坐标系的基础知识
（题型突破·举一反三）
题型01 用有序数对确定位置
题型02 各象限内及坐标轴上点的坐标特征
题型03 点到坐标轴的距离
题型04 平行于坐标轴的直线上点的坐标特征
题型05 平面直角坐标系中点的平移
题型06 平面直角坐标系中点的对称
▌题型01 用有序数对确定位置
在平面内，确定一个点的位置，一般需要两个数据，它们是有顺序的，因此，可以用有序数对确定点的位置。
【典例1】（25-26 八年级上·吉林长春·期中）小明坐在教室的第5 列第3 行，用(5,3)表示，小乐坐在教室的
第3 列第1 行，应用（ ）表示．
A．(1,3)
B．(3,1)
C．(1,1)
【答案】B
【分析】根据题意可知用数对表示位置时，先表示第几列，再表示第几行，据此即可解答．
【详解】解：小明坐在教室的第5 列第3 行，用(5,3)表示，小乐坐在教室的第3 列第1 行，用数对(3,1)表示．
故选：B．
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【变式1-1】（25-26 八年级上·河南南阳·期中）如图是小飒关于诗歌《望洞庭》的书法展示，若“湖”的位置
用有序实数对(2,3)表示，那么“青”的位置可以表示为（ ）
A．(9,5)
B．(8,5)
C．(5,8)
D．(5,7)
【答案】C
【分析】根据“湖”的位置用有序数对(2,3)表示可得有序数对的第一个数是从横向看“湖”对应的数字，第二个
数是从纵向看“湖”对应的数字，由此即可得．
【详解】解：因为“湖”的位置用有序数对(2,3)表示，
所以“青”的位置可以表示为(5,8)，
故选：C．
【变式1-2】（25-26 八年级上·河北保定·期中）下列四种描述中，能确定具体位置的是（ ）
A．东经110°，北纬40°
B．某电影院5 号厅2 排
C．北京长安大街
D．一架飞机距离地面10 千米
【答案】A
【分析】根据在平面内，确定一个点的位置需要两个有序数对逐项判定即可．
【详解】解：A、东经110°，北纬40°，可以确定位置，符合题意；
B、某电影院5 号厅2 排，无法确定位置，故不符合题意；
C、北京长安大街，无法确定位置，故不符合题意；
D、一架飞机距离地面10 千米，无法确定位置，故不符合题意；
故选：A．
【变式1-3】如图是某教室学生座位平面示意图，老师把王明的座位“第5 列第2 排”记为(5,2)．若小东的座
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位为(3,4)，则以下四个座位中，与小东相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是（ ）
A．(5,2)
B．(3,5)
C．(5,3)
D．(4,2)
【答案】B
【分析】直接利用有序数对的位置特点得出与小东相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位．
【详解】解：由题意可知，与小东相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是(3,5)，
故选：B．
【变式1-4】（25-26 八年级上·甘肃金昌·期中）如图，如果
所在的位置坐标为(−1，−2)，
所
在的位置坐标为(2，−2)，则
所在位置坐标为（ ）
A．（3，3）
B．（3，−3）
C．(−3,3)
D．(−3,5)
【答案】C
【分析】根据平面直角坐标系的特点，已知点的坐标确定原点的位置，由此即可求解．
【详解】解：根据题意可得，可确定坐标原点，如图所示，
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∴炮的坐标为(−3,3)，
故选：C．
【变式1-5】（25-26 八年级上·湖北孝感·期中）中国象棋在我国有着悠久的历史，趣味性强，成为流行极为
广泛的益智游戏，其中规定：马走日，图中画出了中国象棋棋盘的一部分，如果马的位置坐标为(1,0)，車的
位置坐标为(2,3)，那么马走两步之后可以成功到达下列坐标点的位置的个数有（ ）
①(0,3)，②(1,2)，③(2,1)，④(3,0)．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】D
【分析】建立坐标系，结合马的走法解答即可．
【详解】如图，
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马走两步后①(0,3)，②(1,2)，③(2,1)，④(3,0)的位置均可到达．
故选D．
【变式1-6】（25-26 八年级上·山东聊城·期中）如图是某学校的平面示意图，图中小方格都是边长为1 个单
位长度的正方形，分别以正东、正北方向为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，且艺术楼的坐标为(1,2)，
教学楼的坐标(−1, −1)，则实验楼的坐标为（ ）
A．(−1, −3)
B．(−3,0)
C．(−3,−1)
D．(0, −3)
【答案】B
【分析】根据艺术楼的坐标为(1,2)，教学楼的坐标(−1,−1)建立平面直角坐标系求解即可．
【详解】如图，
实验楼的坐标为(−3,0)．
故选B．
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【变式1-7】（25-26 八年级上·河北邢台·期中）有甲、乙、丙三人，他们所在的位置不同，三人都以相同的
单位长度和方向建立不同的坐标系．根据甲、丙两人的描述，如果以乙为坐标原点，甲和丙的位置分别是（ ）
甲：“以我为坐标原点，乙的位置是(4,3)．” 丙：“以我为坐标原点，甲的位置是(−7,−5)．”
A．(−4, −3)，(2,1)
B．(−4,−3)，(3,2)
C．(−3, −4)，(2,3)
D．(3,4)，(−1,−4)
【答案】B
【分析】先根据甲的描述确定甲的位置，再根据丙的描述确定丙和甲的相对位置，进而求出丙的位置．
【详解】解：以甲为坐标原点，乙的位置是(4,3)，则以乙为坐标原点，甲的位置是(−4,−3)，
由“以丙为坐标原点，甲的位置是(−7, −5)”，可知甲向右移动7 个单位长度，再向上移动5 个单位长度与丙
重合，
因此以乙为坐标原点，丙的位置是(−4 + 7, −3 + 5)，即(3,2)，
故选B．
▌题型02 各象限内及坐标轴上点的坐标特征
1.各象限点的坐标特征
2.坐标轴上的点坐标特征
①x 轴上的点，纵坐标等于0；（x，0）
②y 轴上的点，横坐标等于0；（0，y）
③原点位置的点，横、纵坐标都为0.（0,0）
【典例2】
（25-26 八年级上·河北石家庄·期中）若点A(m, n)在第二象限，则点B(|m|, −n)在第______象限（ ）
象限
横坐标x
纵坐标y
第一象限
正
正
第二象限
负
正
第三象限
负
负
第四象限
正
负
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A．四
B．三
C．二
D．一
【答案】A
【分析】依据点A(m, n)在第二象限，可得m < 0，n > 0，进而得出|m| > 0，−n < 0，进而得到点B(|m|, −n)在
第四象限．
【详解】解：∵点A(m, n)在第二象限，
∴m < 0，n > 0，
∴|m| > 0，−n < 0，
∴点B(|m|,−n)在第四象限，
故选A．
【变式2-1】（25-26 八年级上·黑龙江佳木斯·期中）若点P (1 −2a，a)的横坐标与纵坐标互为相反数，则点P
一定在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【分析】互为相反数的两个数的和为0，求出a 的值，再判断出所求点的横纵坐标的符号，进而判断点P 所
在的象限．
【详解】解：∵点P (1 −2a，a)的横坐标与纵坐标互为相反数，
∴1 −2a + a = 0，
解得a = 1，
∴1 −2a = −1，
∴点P (−1，1)，
∴点P 在第二象限，
故选：B．
【变式2-2】（25-26 八年级上·河北石家庄·期中）如果点P(10,y)在第四象限，则y 的取值范围是（ ）
A．y 是负数
B．y 是正数
C．y 是非负数
D．y 是非正数
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【答案】A
【分析】第四象限内点纵坐标为负；
【详解】解：第四象限内点纵坐标为负，
∴y 是负数．
故选：A
【变式2-3】
（25-26 八年级上·山东德州·期中）已知点M(25 −5a, 9 −3a)在第四象限，化简√(a −5)2 + |a −3| =
（ ）
A．8
B．2a
C．2
D．−2
【答案】C
【分析】根据题意列出不等式组求出a 的范围，然后根据二次根式的性质以及绝对值的性质即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：
{
25 −5a＞0
9 −3a＜0
，
∴3＜a＜5，
∴a −5＜0，a −3＞0，
∴原式= 5 −a + a −3
= 2，
故选：C．
【变式2-4】（25-26 八年级上·河北邢台·期中）在平面直角坐标系中，点A(t −3,5 −t)在坐标轴上，下列判
断正确的是（ ）
甲：t 可能是3 乙：可能是5 丙：点A 距离原点2 个单位长度
A．甲和丙
B．乙和丙
C．甲和乙
D．甲、乙、丙
【答案】D
【分析】分点A 在x 轴和y 轴上两种情况，求出t 值，得到点A 坐标，从而判断出距离原点的长度，即可
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判断．
【详解】解：若点A(t −3,5 −t)在x 轴上，
则5 −t = 0，
则t = 5，
此时A(2,0)，距离原点2 个单位长度；
若点A(t −3,5 −t)在y 轴上，
则t −3 = 0，
则t = 3，
此时A(0,2)，距离原点2 个单位长度；
∴甲、乙、丙的说法都正确，
故选D．
【变式2-5】（25-26 八年级上·云南昆明·期中）已知点P 在x 轴上，位于原点左侧，到原点的距离为3 个单
位长度，则点P 的坐标是（ ）
A．(3,0)
B．(−3,0)
C．(0,3)
D．(0, −3)
【答案】B
【分析】根据点在x 轴上，可确定点P 的纵坐标，根据P 到原点的距离为3，P 点在原点左侧，可确定P 点
的横坐标，由此可得P 点坐标．
【详解】解：∵点P 在x 轴上，
∴P 点的纵坐标为0，
∵点P 到原点的距离为3，位于原点左侧，
∴点P 的横坐标为−3，
∴点P 的坐标为(−3,0)．
故选：B．
【变式2-6】（25-26 八年级上·甘肃定西·期中）在平面直角坐标系xOy 中，若点A(m2 −4, m + 1)在y 轴的
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负半轴上，则点B(m −1,1 + 2m)在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C
【分析】由已知求出m 的值，然后可得B 的坐标，从而得到其所在象限．
【详解】∵点A(m2 −4, m + 1)在y 轴的负半轴上，
∴{m2 −4 = 0
m + 1 < 0
，
解得m = −2，
∴m −1 = −3，1 + 2m = −3，
∴B(−3,−3)在第三象限．
故选：C．
【变式2-7】（25-26 八年级上·山西临汾·期中）已知A (2 −a，3 + a)是x 轴上一点，则点B (−2a，a + 1)所
在的象限是（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【分析】直接利用x轴上点的坐标得出a = −3，进而得出B点坐标，即可所在象限．
【详解】解：∵点A (2 −a，3 + a)在x轴上，
∴3 + a = 0，
即a = −3
∴−2a = 6，a + 1 = −2，
则点B (−2a，a + 1)即(6,−2)在第四象限．
故选：D．
▌题型03 点到坐标轴的距离
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在平面直角坐标系中，已知点P
)
,
(
b
a
，则：
①点P 到x 轴的距离为b ；
②点P 到y 轴的距离为a ；
【典例3】（25-26 八年级上·山东滨州·期中）在直角坐标系内，下列结论成立的是( )
A．点(4，3)与点(3，4)表示同一个点
B．平面内的任一点到两坐标轴的距离相等
C．若点P(x，y)的坐标满足xy = 0，则点P 在y 轴上
D．点P(m，n)到x轴的距离为|n|，到y 轴的距离为|m|
【答案】D
【分析】根据点的坐标的定义、角平分线的性质、坐标轴上点的特点解答即可．
【详解】解：A、点(4，3)与点(3，4)表示两个不同的点，故选项A 不符合题意；
B、平面内任意一点到两坐标轴的距离不一定相等，故选项B 不符合题意；
C、xy = 0，则x = 0或y = 0，当x = 0时，点P在y轴上，当y = 0时，点P在x轴上，故选项C 不符合题意；
D、点P (m，n)到x轴的距离为|n|，到y轴的距离为|m|，故选项D 符合题意．
故选：D．
【变式3-1】（25-26 八年级上·辽宁朝阳·期中）若平面直角坐标系内的点M 在第四象限，且M 到x 轴的距
离为1，到y 轴的距离为2，则点M 的坐标为（ ）
A．(2,1)
B．(−2,−1)
C．(2, −1)
D．(1, −2)
【答案】C
【分析】可先根据到 x 轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y 轴的距离为点的横坐标的绝对值，再根据象
限内点的坐标特征判断出点的符号，得到具体坐标即可．
【详解】∵M 到 x 轴的距离为 1 ，到 y 轴的距离为 2 ，
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∴M 纵坐标可能为±1 ，横坐标可能为±2 ，
∵点 M 在第四象限，
∴M坐标为 (2, −1)
故选C．
【变式3-2】（25-26 八年级上·河北石家庄·期中）平面直角坐标系中，点A(−3,2)，B(1,4)，C(x, y)，若AC∥x
轴，则线段BC的最小值及此时点C 的坐标分别为（ ）
A．2, (1,2)
B．6, (−3,4)
C．4, (1,0)
D．1, (0,4)
【答案】A
【分析】由AC∥x轴，A(−3,2)，根据坐标的定义可求得y 值，根据线段BC最小，确定BC ⊥AC，垂足为点C，
进一步求得BC的最小值和点C 的坐标．
【详解】解：如图，
∵AC∥x轴，
∴C 点的纵坐标为与A 点的纵坐标相同，即y = 2，
∵当BC ⊥AC时，线段BC最短，此时BC∥y轴，
∴此时C 点的横坐标与B 点的横坐标相同，即x = 1，
即C(1,2)，此时BC = 4 −2 = 2．
故选：A．
【变式3-3】（25-26 八年级上·广西南宁·期中）如果点P(x, y)的坐标满足x + y = xy，那么称点P为“美丽点”，
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若某个“美丽点”P到y轴的距离为2，则点P的坐标为（ ）
A．(2, −2)
B．(−2, 2
3)
C．(
2
3 ，−2)或(2,2)
D．(2,2)或(−2, 2
3)
【答案】D
【分析】直接利用某个“美丽点”到y轴的距离为2，得出x的值，进而求出y的值求出答案．
【详解】解：∵某个“美丽点”P到y轴的距离为2，
∴x = ±2，
∵x + y = xy，
∴y ± 2 = ±2y，
解得y = 2或y =
2
3，
则P点的坐标为：(2,2)或(−2，
2
3)．
故选：D．
【变式3-4】在平面直角坐标系中，已知y 轴上一点P 到x 轴的距离是2，则点P 的坐标是（ ）
A．(0,2)或(0, −2)
B．(2,0)
C．(−2,0)
D．(−2,0)或(2,0)
【答案】A
【分析】此题考查了点的坐标，点到坐标轴的距离，确定出P 的横坐标是解题的关键．根据P 的位置，结
合题意确定出P 坐标即可．
【详解】解：根据题意得：点P 的横坐标为0，
∵点P 到x 轴的距离是2，
∴点P 的坐标是(0,2)或(0, −2)，
故选：A．
【变式3-5】点M 在x 轴的下方，y 轴的右侧，它到x 轴、y 轴的距离分别为8 个单位长度和5 个单位长度，
则点M 的坐标为（ ）
A．(8,5)
B．(5, −8)
C．(−5,8)
D．(−8,5)
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【答案】B
【分析】本题考查了点的坐标的确定，点到坐标轴的距离，先判断点M 在第四象限，再结合点到坐标轴的
距离作答即可．
【详解】解：由点M 位于x 轴下方、y 轴右侧，则点M 在第四象限，
而它到x 轴、y 轴的距离分别为8 个单位长度和5 个单位长度，
∴点M 的坐标为(5, −8)，
故选：B．
【变式3-6】点N 在第四象限，若经过点𝑀(3, −2)与点𝑁(𝑥, 𝑦)的直线平行于x 轴，且点N 到y 轴的距离等于
9，则N 点的坐标是 ．
【答案】(9, −2)或(−9,−2)
【分析】本题考查了坐标与图形性质，解题的关键是根据点到坐标轴的距离和平行于坐标轴的性质来确定点
的坐标．
根据直线平行于𝑥轴，得到两点的纵坐标相同；再根据点到𝑦轴的距离等于9，得到点的横坐标；最后确定出
点的坐标．
【详解】解：∵经过点𝑀与点𝑁的直线平行于𝑥轴，
∴𝑁点的纵坐标与𝑀点的纵坐标相同，
∴𝑁点的纵坐标是−2；
又∵点𝑁到𝑦轴的距离等于9，
∴𝑁点的横坐标是9 或−9．
∴𝑁点的坐标是(9,−2)或(−9,−2)，
故答案为：(9,−2)或(−9, −2)．
【变式3-7】已知平面直角坐标系中，点𝑃(𝑎−7, 𝑎+ 2)在第二象限，且它到x 轴的距离是它到y 轴距离的2
倍，则a 的值为 ．
【答案】4
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【分析】本题考查平面直角坐标系、点到坐标轴的距离，第二象限内的点到x 轴的距离等于它的纵坐标，到
y 轴距离等于横坐标的相反数．由此列方程即可．
【详解】解：∵点𝑃(𝑎−7, 𝑎+ 2)在第二象限，
∴它到x 轴的距离是𝑎+ 2，到y 轴距离是−(𝑎−7)，
∴ 𝑎+ 2 = −(𝑎−7) × 2，
解得𝑎= 4，
故答案为：4．
▌题型04 平行于坐标轴的直线上点的坐标特征
与坐标轴平行的直线上点的坐标特征
①在与x 轴平行的直线上，所有点的纵坐标相等；
点A、B 的纵坐标都等于m ；
②在与y 轴平行的直线上，所有点的横坐标相等；
点C、D 的横坐标都等于n ；
【典例4】（25-26 八年级上·河南濮阳·期中）若点A的坐标是(2, −1)，AB = 4，且AB∥x轴，则点B的坐标为
（ ）
X
Y
A
B
m
X
Y
C
D
n
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A．(2, −5)
B．(6, −1)或(−2,−1)
C．(2,3)
D．(2,3)或(2, −5)
【答案】B
【分析】根据题意，点B与点A的纵坐标相同，横坐标有两种情况：B在A右侧和B在A左侧，分别求解即可．
【详解】解：∵点A的坐标是(2, −1)，AB = 4，且AB∥x轴，
∴点B的纵坐标为−1，横坐标是2 −4 = −2或2 + 4 = 6，
∴点B的坐标为(−2, −1)或(6, −1)，
故选：B．
【变式4-1】（25-26 八年级上·宁夏固原·期中）平面直角坐标系中，点A(−3,2)，B(3,4)，C(x,y)，若AC ∥x轴，
则线段BC的最小值及此时点C 的坐标分别为（ ）
A．6，(−3,4)
B．2，(3,2)
C．2，(3,0)
D．1，(4,2)
【答案】B
【分析】由垂线段最短可知点BC⊥AC 时，BC 有最小值，从而可确定点C 的坐标．
【详解】依题意可得：
∵AC∥x 轴，
∴y=2，
根据垂线段最短，当BC⊥AC 于点C 时，
点B 到AC 的距离最短，即BC 的最小值=4-2=2，
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此时点C 的坐标为（3，2），
故选 B．
【变式4-2】（25-26 八年级上·湖北十堰·期中）已知两点A(a,5)，B(0, b)，且直线AB∥x轴，AB = 4，则b −a的
算术平方根为（ ）
A．1
B．3
C．1 或3
D．±1或±3
【答案】C
【分析】由两点A(a,5)，B(0, b)，且直线AB∥x轴，AB = 4，可得b = 5，a = ±4，再分两种情况讨论即可．
【详解】解：∵两点A(a,5)，B(0, b)，且直线AB∥x轴，AB = 4，
∴b = 5，a = ±4，
当a = 4，b = 5时，
∴b −a = 1，则b −a的算术平方根是1，
当a = −4，b = 5时，
∴b −a = 9，则b −a的算术平方根是3，
综上：b −a的算术平方根是3 或1；
故选C．
【变式4-3】（25-26 八年级上·河南周口·期中）如图，△OAB 的顶点O(0，0)，顶点A，B 分别在第一、四
象限，且AB⊥x 轴，若AB=6，OA=OB=5，则点A 的坐标是（ ）
A．(5,4)
B．(3,4)
C．(5,3)
D．(4,3)
【答案】D
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【分析】利用HL 证明△ACO≌△BCO，利用勾股定理得到OC=4，即可求解．
【详解】解：∵AB⊥x 轴，
∴∠ACO=∠BCO=90°，
∵OA=OB，OC=OC，
∴△ACO≌△BCO(HL)，
∴AC=BC=1
2AB=3，
∵OA=5，
∴OC=√52 −32 =4，
∴点A 的坐标是（4，3），
故选：D．
【变式4-4】在平面直角坐标系中，点A(𝑎+ 1, 𝑎−1)是x 轴上一点，线段𝐴𝐵= 2，若𝐴𝐵∥𝑦轴，则点B 的坐
标是（ ）
A．(2,2)
B．(−2,2)
C．(−2,2)或(−2, −2)
D．(2,2)或(2, −2)
【答案】D
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，以及两点间的距离，正确掌握相关性质内容是解题的
关键．根据在x 轴上的点的纵坐标为0，可求出点𝐴坐标，根据平行于y 轴的两个点的距离𝐴𝐵= 2，进行列
式计算，即可求解．
【详解】解：∵ 𝐴(𝑎+ 1, 𝑎−1)是x 轴上一点，
∴ 𝑎−1 = 0，解得𝑎= 1，
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∴ 𝐴(2,0)．
∵ 𝐴𝐵∥𝑦，故设𝐵(2, 𝑦)，
又𝐴𝐵= 2，
∴ |𝑦| = 2，即𝑦= ±2，
∴ 点B 的坐标是(2,2)或(2, −2)．
故选：D．
【变式4-5】在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(−1,−2)，𝐴𝐵平行于y 轴，且𝐴𝐵= 5，则点B 的坐标为（ ）
A．(−1,3)
B．(4, −2)
C．(−1,3)或(−1, −7) D．(4, −2)或(−6, −2)
【答案】C
【分析】此题考查平面直角坐标系中点的坐标的表示，与y 轴平行的直线的特征，正确表示点在直角坐标系
中的位置是解题的关键．根据平行于y 轴的性质，可得出点B 的横坐标为−1，再由𝐴𝐵= 5即可得到点B 的
坐标．
【详解】解：∵点A 的坐标为(−1, −2)，𝐴𝐵平行于y 轴，
∴点B 的横坐标为−1，
∵ 𝐴𝐵= 5，
∴点B 的纵坐标为：−2 −5 = −7或−2 + 5 = 3，
∴点B 的坐标为：(−1,3)或(−1, −7)．
故选：C．
【变式4-6】在平面直角坐标系中，点P 在第三象限，且到x 轴、y 轴的距离分别为1，2，𝑃𝑄= 4且平行于
x 轴，则点Q 的坐标是 ．
【答案】(2, −1)或(−6, −1)．
【分析】本题主要考查了直角坐标系中根据点的特征求坐标，先根据点P 在第三象限，且到x 轴、y 轴的距
离分别为1，2，可得出点P 的坐标为：(−2, −1)，再根据𝑃𝑄= 4且平行于x 轴，可得出点Q 的纵坐标为−1，
点Q 的横坐标为：|𝑥𝑄−(−2)| = 4，解一元一次绝对值方程即可得出答案．
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【详解】解：∵点P 在第三象限，且到x 轴、y 轴的距离分别为1，2，
∴点P 的坐标为：(−2, −1)，
∵𝑃𝑄= 4且平行于x 轴，
∴点Q 的纵坐标为−1，点Q 的横坐标为：|𝑥𝑄−(−2)| = 4，
解得：𝑥𝑄= 2或𝑥𝑄= −6，
故点Q 的坐标是(2, −1)或(−6, −1)．
故答案为：(2, −1)或(−6,−1)．
【变式4-7】平面直角坐标系中，点𝑀(3,1)，𝑁(𝑎, 𝑎+ 3)，若直线𝑀𝑁与y 轴平行，则点N 的坐标是 ．
【答案】(3,6)
【分析】本题考查了点的坐标，根据题意得到点坐标的特征，即可求得结果，掌握点坐标的特征是解题的关
键．
【详解】解：∵直线𝑀𝑁与y 轴平行，
∴两个点的横坐标一样，
即𝑎= 3，
∴𝑎+ 3 = 6，
∴𝑁(3,6)，
故答案为：(3,6)．
▌题型05 平面直角坐标系中点的平移
平面直角坐标系点的平移规律
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【典例5】将点 P（ − 2 ，1）先向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位后，则平移后点 P 的坐标是 ．
【答案】（0，2）
【分析】直接利用平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，据此可得．
【详解】解：将点P（-2，1）向右平移2 个单位长度，再向上平移1 个单位长度，
则平移后点的坐标是（-2+2，1+1），即（0，2），
故答案为：（0，2）．
【变式5-1】
（25-26 八年级上·河北邯郸·期中）ΔDEF是由ΔABC平移得到的，点A(−1, −4)的对应点为D(1,−1)，
点B(1,1)的对应点E、点C(−1,4)的对应点F．则E、F的坐标分别为（ ）
A．(2,2),
(3,4) B．(3,4),
(1,7)
C．(−2,2),
(1,7)
D．(3,4),
(2, −2)
【答案】B
【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．
【详解】点A 的对应点D，是横坐标从﹣1 到1，说明是向右移动了1﹣（﹣1）=2 个单位，纵坐标是从﹣4
到﹣1，说明是向上移动了﹣1﹣（﹣4）=3 个单位，那么其余两点移运转规律也如此，即横坐标都加2，纵
坐标都加3．故点E、F 的坐标为（3，4）、（1，7）．故选B．
【变式5-2】（25-26 八年级上·河南濮阳·期中）将点A(x,1－y)向下平移5 个单位长度得到点B(1＋y，x)，
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则点(x，y)在平面直角坐标系的( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C
【分析】让点A 的纵坐标减5 等于点B 的纵坐标，点A 的横坐标等于B 的横坐标列式求值即可．
【详解】由题意得x＝1＋y，1−y−5＝x，
解得x＝−
3
2,y＝−
5
2，
∴点(−
3
2,−
5
2)在第三象限，
故选C.
【变式5-3】在平面直角坐标系中，若将点𝐴(1,2)的横坐标乘以−1，纵坐标不变，可得到点𝐴′，则点𝐴和点𝐴′的
关系是（ ）
A．关于𝑥轴对称
B．关于𝑦轴对称
C．将点𝐴向𝑦轴负方向平移一个单位得到点𝐴′
D．将点𝐴向𝑥轴负方向平移一个单位得到点𝐴′
【答案】B
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于y 轴的对称点是（-x，y），据此解答本题即可．
【详解】解：∵在直角坐标系中𝐴(1,2)的横坐标乘以−1，纵坐标不变，
∴𝐴′的坐标是（-1，2），
∴𝐴和点𝐴′关于y 轴对称；
故选：B．
【变式5-4】点𝐴′(2, −1)可以由点𝐴(−2,1)通过两次平移得到，正确的移法是（ ）
A．先向左平移4 个单位长度，再向上平移2 个单位长度
B．先向右平移4 个单位长度，再向上平移2 个单位长度
C．先向左平移4 个单位长度，再向下平移2 个单位长度
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D．先向右平移4 个单位长度，再向下平移2 个单位长度
【答案】D
【分析】利用平移的性质得出横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减，进而得出即可．
【详解】∵在平面直角坐标系中,要得到点A′(2,−1)，
∴先向右平移4 个单位长度,再向下平移2 个单位长度,可得到点A(−2,1)，
故选D.
【变式5-5】在平面直角坐标系中，将点M（3，-1）沿x 轴向左平移2 个单位，再沿y 轴向下平移3 个单位
后得到点N，则点N 的坐标为 ．
【答案】(1, −4)
【分析】根据坐标平移的性质，首先将点M（3，-1）沿x 轴向左平移2 个单位，得(1, −1)；再沿y 轴向下
平移3 个单位后得到点N，即可得到答案．
【详解】将点M（3，-1）沿x 轴向左平移2 个单位，得(3 −2, −1)，即(1, −1)；
再沿y 轴向下平移3 个单位后得到点N，得(1, −1 −3)，即(1, −4)
故答案为：(1, −4)．
【变式5-6】如图，在平面直角坐标系中，已知点𝐴(2,1)，𝐵(3,−1)，平移线段𝐴𝐵，使点𝐵落在点𝐵1(−1,−2)
处，则点𝐴的对应点𝐴1的坐标为（ ）
A．（0，0）
B．（0，－2）
C．（－2，0）
D．（－3，1）
【答案】C
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【分析】根据B 点对应点的坐标可得线段AB 的平移方法，进而可得A 点的对应点坐标．
【详解】解：∵𝐵(3, −1)，平移线段AB，使点B 落在点𝐵1(−1,−2)处，
∴横坐标减4，纵坐标减1，即线段向左平移4 个单位，向下平移1 个单位，
∵𝐴(2,1)，
∴点A 的对应点的坐标为𝐴1(2 −4,1 −1)，
即𝐴1的坐标为(−2,0)．
故选：C．
【变式5-7】在如图所示的单位正方形网格中，𝛥𝐴𝐵𝐶经过平移后得到𝛥𝐴1𝐵1𝐶1，已知在𝐴𝐶上一点𝑃(2.4,2)平
移后的对应点为𝑃1，则𝑃1点的坐标为( )
A．(1.4，-1)
B．(-1.5，2)
C．(-1.6，-1)
D．(-2.4，1)
【答案】C
【分析】根据平移的性质得出，△ABC 的平移方向以及平移距离，即可得出P1 坐标.
【详解】解：∵A 点坐标为：（2，4），A1（-2，1），
∴点P（2.4，2）平移后的对应点P1 为：（-1.6，-1），
故选C．
【变式5-8】操作任务：将初始图九宫格中剪开的9 格图片进行平移，拼出目标图《九九消寒图》．
操作规则：为了有效地记录、检验和交流平移过程，小明和同伴约定用“有序数对”描述平移方式并填写操作
记录图．约定如下：将初始图中的初始位置图片进行平移，横向移动标记在前，纵向移动标记在后，将向右
（或向上）平移1 格记为+1（正号可省略），反之记为−1，以此类推，不移动记为0．如“前”字在对应位置
小学
初中
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标记为(2, −1)．
操作过程：（1）操作记录图中“*”位置应填 ；（2）判断：操作记录图中，是否有应标记（0，0）的
位置 .(请填写“有”或“无”)
【答案】 （0，-2） 有
【分析】（1）根据有序数对的定义判断即可；
（2）寻找没有移动的文字即可．
【详解】解：（1）“*”是初始图中的柳向上平移1 格得到，
∴“*”位置应填（0，-2），
故答案为：（0，-2）；
（2）有，如图所示．垂的位置表示（0，0）．
【变式5-9】如图①，△A′OB 是将等腰直角三角形AOB 的顶点A 经过一次变换后所得的等腰直角三角形，
请在图②③中，保持O，B 位置不动，对点A 经过一次(或一组)变换，使变换后的△A′OB 仍是等腰直角三
角形．要求：作出△A′OB，并写出点A 的变换方式．
方式1：把点A 向下平移4 个单位；
方式2：_________________；
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方式3：_________________.
【答案】如图所示见解析；方式2：把点A 先向下平移3 个单位，再向右平移1 个单位
方式3：把点A 向右平移2 个单位.
【分析】等腰直角三角形的两个锐角均为45°,O,B 两点已经确定,可分别以OB 为直角边或斜边确定相应的位
置看是如何平移得到的即可
【详解】如图：
方式2：把点A 先向下平移3 个单位，再向右平移1 个单位
方式3：把点A 向右平移2 个单位
变换方式不唯一，还有：方式4：把点A 向下平移1 个单位，再向右平移1 个单位；
方式5：把点A 向下平移4 个单位，再向右平移2 个单位．
▌题型06 平面直角坐标系中点的对称
坐标系中点的对称
点P（a，b）关于x 轴的对称点坐标为（a，-b）
点P（a，b）关于y 轴的对称点坐标为（-a，b）
点P（a，b）关于原点的对称点坐标为（-a，-b）
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【典例6】（25-26 八年级上·湖南永州·期中）在平面直角坐标系中，点(m, 2)关于x 轴的对称点是(3, n)，则
m + n = ．
【答案】1
【分析】根据关于x 轴对称的点的特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：m = 3, n = −2，
∴m + n = 3 −2 = 1；
故答案为：1．
【变式6-1】（25-26 八年级上·河南濮阳·期中）若点A (a −1，2)与点B (2，b −1)关于x 轴对称，则a +
b = ．
【答案】2
【分析】根据若两点关于x轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解．
【详解】解：∵点A (a −1，2)与点B (2，b −1)关于x轴对称，
∴a −1 = 2，b −1 = −2，
解得a = 3，b = −1，
∴a + b = 3 −1 = 2．
故答案为：2．
【变式6-2】（25-26 八年级上·山东济南·期中）已知P1(a −1,5)和P2(2, b + 4)关于y 轴对称，则(ab)2020的值
为 ．
【答案】1
【分析】根据关于y 轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相等，列出方程，求出a 和b 的值，即可求解．
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【详解】解：∵P1(a −1,5)和P2(2, b + 4)关于y 轴对称，
∴a −1 = −2, b + 4 = 5，
解得：a = −1, b = 1，
∴(ab)2020 = [(−1) × 1]2020 = (−1)2020 = 1，
故答案为：1．
【变式6-3】规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示作它关于x 轴的对称点，一个点作“1”变换
表示作它关于y 轴的对称点，由数字“0”和“1”组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换，点(1，1)
经过“01010”变换后得到点的坐标为 ．
【答案】(1, −1)
【分析】根据题目中提供的信息，结合关于x 轴和y 轴对称的特点，求出结果即可．
【详解】解：∵一个点作“0”变换表示作它关于x 轴的对称点，一个点作“1”变换表示作它关于y 轴的对称点，
∴点(1，1)经过“01010”变换后得到点的坐标为：(1, −1)．
故答案为：(1, −1)．
【变式6-4】在直角坐标系中点𝑃(𝑎, 𝑏)、𝑄(−𝑎, 𝑏)，则P、Q 关于（ ）对称
A．x 轴
B．y 轴
C．原点
D．对称轴
【答案】B
【分析】本题考查坐标与轴对称，根据𝑃(𝑎, 𝑏)、𝑄(−𝑎, 𝑏)，得到𝑃, 𝑄两点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，
得到P、Q 关于y 轴对称即可．
【详解】解：∵𝑃, 𝑄两点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，
∴P、Q 关于y 轴对称；
故选B．
【变式6-5】在平面直角坐标系中，点𝐴(1,−2)关于y 轴对称的点的坐标是（ ）
A．(−1,2)
B．(1,2)
C．(1, −2)
D．(−1, −2)
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【答案】D
【分析】本题主要考查了关于y 轴对称点的性质，直接利用关于y 轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反
数，纵坐标不变，进而得出答案．
【详解】在平面直角坐标系中，点𝐴(1,−2)关于y 轴对称的点的坐标是(−1, −2)．
故选：D ．
【变式6-6】点𝐴(𝑥1,−5)，𝐵(2,𝑦2)，若𝐴，𝐵关于𝑥轴对称，则𝑥1 = ，𝑦2 = ；若𝐴，𝐵关
于𝑦轴对称，则𝑥1 = ，𝑦2 = ．
【答案】 2 5 −2 −5
【分析】本题考查了坐标与图形变化−旋转，关于𝑥轴、𝑦轴对称的点的坐标．
（1）关于𝑥轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，依此即可求解．
（2）关于𝑦轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，依此即可求解．
【详解】解：（1）若𝐴、𝐵关于𝑥轴对称，则𝑥1 = 2，𝑦2 = 5；
故答案为：2；5；
（2）若𝐴、𝐵关于𝑦轴对称，则𝑥1 = −2，𝑦2 = −5．
故答案为：−2，−5．
【变式6-7】点(2, 𝑎)和(𝑏+ 1,5)关于𝑦轴对称，则𝑎+ 𝑏= ．
【答案】2
【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，根据关于𝑦轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标
相同，可得2 + 𝑏+ 1 = 0，𝑎= 5，据此求出𝑎、𝑏的值，再代入代数式计算即可求解，掌握关于坐标轴对称
的点的坐标特征是解题的关键．
【详解】解：∵点(2, 𝑎)和(𝑏+ 1,5)关于𝑦轴对称，
∴2 + 𝑏+ 1 = 0，𝑎= 5，
∴𝑏= −3，
∴𝑎+ 𝑏= −3 + 5 = 2，
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故答案为：2．
【变式6-8】（25-26 八年级上·山西运城·期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别
为A(3,−1),B(4,2),C(2,4)．
(1)请在如图的坐标系中画出△ABC；
(2)在如图的坐标系中，画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并直接写出△A′B′C′三个顶点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，A′(−3,−1)，B′(−4,2)，C′(−2,4)
【分析】（1）根据点坐标找到点的位置，依次连接即可得到；
（2）两个点关于y 轴对称时横坐标互为相反数，纵坐标相等，依此找到对应点，依次连线即可
【详解】（1）如图所示，△ABC即为所求；
（2）如图所示，△A′B′C′即为所求，
△A′B′C′的顶点坐标分别为A′(−3, −1)，B′(−4,2)，C′(−2,4)．
【变式6-9】在平面直角坐标系中，点A、点B、点C、点O都在由边长为1 的小正方形组成网格的格点上，△ABC
的位置如图所示．
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(1)在图中画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
(2)△ABC的顶点A关于y轴对称的点A′的坐标为：A′________；△A′B′C′的顶点B′关于x轴对称的点B″的坐标
为：B″________；
(3)求△ABC的面积．
(4)在y轴上求作一点P，使PA + PB的值最小，保留画图痕迹，并写出最小值________．
【答案】(1)见解析
(2)(2,6)，(4,−3)
(3)12
(4)见解析，3√5
【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出图形；
（2）根据轴对称的性质可得答案；
（3）利用△ABC所在的长方形的面积减去周围三个三角形面积即可；
（4）连接A′B，与y 轴交于点P，则AP = A′P，可得PA + PB = PA′ + PB ≥A′B，再利用勾股定理计算即可．
【详解】（1）解：如图，△A′B′C′即为所求；
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（2）由（1）知，A′(2,6)，B′(4,3)关于x轴对称点B″(4,−3)，
故答案为：(2,6)，(4, −3)；
（3）S△ABC = 6 × 6 −1
2 × 6 × 3 −1
2 × 2 × 3 −1
2 × 4 × 6 = 36 −9 −3 −12 = 12；
（4）如图，点P 即为所求；
最小值为：A′B = √62 + 32 = 3√5．
