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专题01 应用二次函数的图象和性质解决字母参数问题
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型1、根据给定区间判断函数的增减性
题型2、对称点函数值大小比较
题型3、由函数值范围反求参数取值范围
题型4、抛物线过定点、恒在某一侧等恒成立问题
题型5、二次函数最值背景下的字母参数问题
题型6、二次函数临界点问题
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
应用二次函数的图象和性质解决字母参数问题，核心在于把“图象特征”转化为“关于参数的不等式
（组）”．要紧紧抓住开口方向、对称轴、给定区间的单调性、最值、判别式以及特殊点函数值等关键量，
建立参数所满足的条件；解题中必须注意分类讨论与临界状态的分析，所有结果均需回代检验．
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型1、根据给定区间判断函数的增减性
典例1 （25-26 九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数
(
)
2
2
y
a x
c
=
−
+
，当
1
x
x
=
时，函数值为
1y ；当
2
x
x
=
时，函数值为
2y ，若
1
2
2
2
x
x
−
−
，则下列关系式正确的是（ ）
A．
1
2
0
y
y
+
B．
1
2
0
y
y
−
C．(
)
1
2
0
a y
y
−
D．(
)
1
2
0
a y
y
−
【答案】C
目 录
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【分析】本题考查二次函数的图象和性质，由题意，得到
(
)
2
1
1
2
y
a x
c
=
−
+ ，
(
)
2
2
2
2
y
a x
c
=
−
+ ，进而得到
(
)
(
)
2
2
1
2
1
2
2
2
y
y
a
x
x
−
=
−
−
−
，得到(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
a y
y
a a
x
x
a
x
x
−
=
−
−
−
=
−
−
−
，进行
判断即可．
【详解】解：∵
(
)
2
2
y
a x
c
=
−
+
，
∴
(
)
2
1
1
2
y
a x
c
=
−
+ ，
(
)
2
2
2
2
y
a x
c
=
−
+ ，
∴
(
)
(
)
2
2
1
2
1
2
2
2
y
y
a
x
x
−
=
−
−
−
．
∵
1
2
2
2
0
x
x
−
−
，
∴
2
2
1
2
(
2)
(
2)
x
x
−
−
，
∴
2
2
1
2
(
2)
(
2)
0
x
x
−
−
−
．
∴
1
2
y
y
−
的符号由a 的符号决定，
当
0
a
时，
1
2
0
y
y
−
，当
0
a
时，
1
2
0
y
y
−
．故B 选项错误，
∴(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
a y
y
a a
x
x
a
x
x
−
=
−
−
−
=
−
−
−
．
∵
2
0
a
（二次函数中
0
a
），且(
)
(
)
2
2
1
2
2
2
0
x
x
−
−
−
，
∴(
)
1
2
0
a y
y
−
．故C 选项正确，D 选项错误；
无法判断
1
2
y
y
+
的符号；故A 选项错误；
故选C．
题型模版
1.特征：题目给定自变量的某一区间，要求根据二次函数在该区间上的增减性，确定开口方向、对称轴或相
关字母参数的取值范围．
2.方法：先由解析式求出对称轴，再结合开口方向判断区间与对称轴的位置关系：开口向上时，区间在对称
轴右侧递增、左侧递减；开口向下相反．必要时利用临界状态列不等式，并回代检验．
变式1-1 已知二次函数
2
2
y
x
=
的图象上有两点
(
)
1
1
,
M x y
，(
)
2
2
,
N x
y
，设
1
2
S
y
y
=
+
，若
1
2
0
x x
，1
2
2
x
x
+
=
，
则下列结论正确的是（ ）
A．S 有最大值，也有最小值
B．S 有最小值，但没有最大值
C．S 有最大值，但没有最小值
D．S 没有最小值，也没有最大值
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【答案】D
【分析】本题考查二次函数的性质，先根据已知条件将S表示为关于
1x 的二次函数，确定
1x 的取值范围，再
根据二次函数的顶点位置S的最值情况即可．
【详解】解：∵点
(
)
(
)
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
在
2
2
y
x
=
的图象上 ，
∴
2
1
1
2
y
x
=
，
2
2
2
2
y
x
=
，
∵
1
2
2
x
x
+
=
，
∴
2
1
2
x
x
=
−
，
∴
2
2
1
2
1
1
2
2(2
)
S
y
y
x
x
=
+
=
+
−
，整理得
2
1
1
4
8
8
S
x
x
=
−
+
，
配方得
(
)
2
1
4
1
4
S
x
=
−
+
，
∵
1
2
0
x x
，
∴
(
)
1
1
2
0
x
x
−
，
解得
1
0
x
或
1
2
x
，
∵二次函数
(
)
2
1
4
1
4
S
x
=
−
+
开口向上，对称轴为
1
1
x = ，
∴当
1
0
x
时，S 随
1x 的增大而减小，
∴
(
)
2
4
0 1
4
8
S
−
+
=
，
∴当
1
2
x
时，S 随
1x 的增大而增大，
∴
(
)
2
4
2 1
4
8
S
−
+
=
，
∴S 没有最小值，也没有最大值．
变式1-2 （25-26 九年级下·浙江温州·期中）已知抛物线
(
)
2
2
1
1
1
8
0
2
2
L
y
x
mx
m
m
−
−
=
+
+
：
．
(1)求抛物线
1L 的顶点坐标（用含m 的代数式表示）；
(2)将抛物线向右平移6 个单位长度得到新的抛物线
2L ，两抛物线交于点A．
①求点A的纵坐标．
②若点
(
)
1
1
,
P x y
，
(
)
2
2
,
Q x
y
分别在抛物线
1L ，
2L 上，若
2
1
8
x
x
−
= ，
1
3
m
x
m
−
，求
2
1
y
y
−
的取值范围．
【答案】(1)顶点坐标为(
)
,8
m
(2)①点A的纵坐标为7
2 ；②
2
1
2
4
y
y
−
−
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【分析】（1）化为顶点式求解即可．
（2）①利用抛物线平移的性质（左加右减变横坐标）求出平移后的抛物线解析式，将两个抛物线联立方程
推出
3
x
m
=
+ 即A点横坐标，代入任意一个抛物线即可求出A点纵坐标．②根据题意，将
,
P Q 分别代入各
自的抛物线，表示出
2
1
y
y
−
，将其转化成
2
1
y
y
−
关于
1x 的一次函数，利用一次函数的图像性质和
1x 取值范
围即可求出
1
2
y
y
−
的取值范围．
【详解】（1）解：①
(
)
2
2
1
1
8
0
2
2
y
x
mx
m
m
−
−
=
+
+
，
(
)
(
)
2
1
8
0
2
y
x
m
m
−
−
=
+
，
顶点坐标为(
)
,8
m
．
（2）解：①∵
(
)
(
)
2
1
8
0
2
y
x
m
m
−
−
=
+
，
∴抛物线向右平移6 个单位长度得到新的抛物线
2L 的解析式为
(
)
(
)
2
1
6
8
0
2
y
x
m
m
−
−
−
=
+
．
A
是
1L 和
2L 的交点，
(
)
(
)
2
2
1
1
6
8
8
2
2
x
m
x
m
−
−
−
−
−
+ =
+ ，
(
)
(
)
2
2
6
x
m
x
m
−
−
−
=
，
3
x
m
=
+ ，
将
3
x
m
=
+ 代入
(
)
2
1
8
2
y
x
m
−
−
=
+ 得
7
2
y =
．
②
(
)
2
2
1
1
1
8
0
2
2
L
y
x
mx
m
m
−
−
=
+
+
：
；
(
)
2
2
1
6
8
2
L
y
x
m
−
−
−
=
+
：
，点P 、Q 分别在抛物线
1L ，
2L 上，
2
1
8
x
x
−
= ，
∴
2
1
8
x
x
=
+
，
(
)
(
)
2
2
2
1
2
1
1
1
6
2
2
y
y
x
m
x
m
−
−
−
−
−
=
+
(
)
(
)
2
2
2
1
1
6
2
x
m
x
m
−
−
−
−
=
−
(
)(
)
2
1
2
1
1
6
6
2 x
m
x
m
x
m
x
m
−
−
−
−
−
−
=
+
−
+
(
)(
)
2
1
2
1
1
2
6
6
2 x
x
m
x
x
−
−
=
+
−
−
−
(
)(
)
1
1
1
1
1
8
2
6
8
6
2 x
x
m
x
x
−
−
=
+ +
−
+ −
−
(
)
1
2
2
2
x
m
−
=
−
+
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1
2
2
2
x
m
= −
+
−．
2
1
y
y
−
是关于
1x 的一次函数，且
2
0
k = −
，
2
1
y
y
−
的值是随着
1x 的增加而减小，
1
3
m
x
m
−
当
1x
m
=
时，
2
1
2
y
y
−
= −；
当
1
3
x
m−
=
时，
2
1
4
y
y
−
=
，
2
1
2
4
y
y
−
−
．
变式1-3 已知二次函数
(
)
(
)
2
2
y
x
m
x
m
=
−
−
−
，m 为实数．
(1)若
1
m = ，求该函数图象的对称轴．
(2)当
2
3
m
x
+
时，函数y 的最大值与最小值之差为8，求m 的值．
(3)若点
(
)
1
1
,
A x y
，
(
)
2
2
,
B x
y
，且
1
2
x
x
，
1
2
4
6
x
x
m
+
=
−，试比较
1y 与
2y 大小．
【答案】(1)直线
2
x =
(2)m 的值为1
−
(3)当
4
m =
时，
1
2
y
y
=
；当
4
m
时，
1
2
y
y
；当
4
m
时，
1
2
y
y
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）当
1
m = 时，二次函数的解析式为
2
4
3
y
x
x
=
−
+ ，再由对称轴公式计算即可得出结果；
（2）先求出二次函数对称轴为直线
1
x
m
=
+ ，且二次函数的开口向上，由题意可得
1
m ，从而得出在
2
3
m
x
+
上，y 随着x 的增大而增大，由此计算即可得出结果；
（3）由（2）可得二次函数对称轴为直线
1
x
m
=
+ ，且二次函数的开口向上，先求出A、B 两点的中点坐标
的横坐标为2
3
m−，再分情况讨论即可得出结果．
【详解】（1）解：当
1
m = 时，二次函数的解析式为
(
)
(
)
2
2
2
2
1 2
2
1
2
4
1
3
x
x
x
y
x
x
x
x
=
−
−
=
−
+ −
+
=
−
+
−
，
故此时二次函数的对称轴为直线
4
2
2 1
x
−
= −
=
；
（2）解：∵
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
y
x
m
x
m
x
mx
m
x
m
x
m
x
m
m
=
−
+
−
=
−
−
−
+
=
−
+
+
+
，
∴二次函数的对称轴为直线
(
)
2
2
1
2
m
x
m
−
+
= −
=
+ ，且二次函数的开口向上，
∵
2
3
m
x
+
，
∴
2
3
m+
，
∴
1
m ，
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∴
1
2
m
m
+
+
，
故在
2
3
m
x
+
上，y 随着x 的增大而增大，
故当
2
x
m
=
+ 时，y 取得最小值为(
)
(
)
2
2
2
4
2
4
0
m
m
m
m
+
−
−
+
=
−
=
−
，
当
3
x = 时，y 取得最大值为(
)
(
)
2
2
2
9
6
6
2
4
3
2
3
3
m
m
m
m
m
m
m
=
−
+
−+
=
−
−
−
+
−
，
∵函数y 的最大值与最小值之差为8，
∴
2
4
3
0
8
m
m
−
+ −
=
，
解得：
1
5
m =
（不符合题意舍去），
2
1
m
−
=
；
故m 的值为1
−；
（3）解：由（2）可得二次函数对称轴为直线
1
x
m
=
+ ，且二次函数的开口向上，
∵点
(
)
1
1
,
A x y
，
(
)
2
2
,
B x
y
，且
1
2
x
x
，
1
2
4
6
x
x
m
+
=
−，
∴A、B 两点的中点坐标的横坐标为：
1
2
2
3
2
x
x
m
+
=
−，
当2
3
1
m
m
−=
+ ，即
4
m =
时，A、B 两点关于对称轴对称，此时
1
2
y
y
=
，
当2
3
1
m
m
−
+ ，即
4
m
时，点A到对称轴的距离大于点B 到对称轴的距离，此时
1
2
y
y
，
当2
3
1
m
m
−
+ ，即
4
m
时，点A到对称轴的距离小于点B 到对称轴的距离，此时
1
2
y
y
，
综上所述，当
4
m =
时，
1
2
y
y
=
；当
4
m
时，
1
2
y
y
；当
4
m
时，
1
2
y
y
．
题型2、对称点函数值大小比较
典例2 （25-26 九年级上·浙江丽水·期末）已知二次函数
(
)
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
的图象过
(
)
1
5,
A
y
−
，(
)
2
2,
B
y
−
，
(
)
3
1,
C
y
，(
)
4
4,
D
y
四点，以下推断：①若
2
3
y
y
，则
1
4
y
y
；②若
2
1
y
y
，则
3
4
y
y
；③若
1
3
y
y
，则
2
4
y
y
．以
上推断正确的个数是（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象性质，需结合开口方向、对称轴与点的距离关系，分析函数值大小的推
断是否成立．
【详解】解：设二次函数的对称轴为x
h
=
，
∵对于二次函数
(
)
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
，当
0
a
时，点到对称轴的距离越远，函数值越大；当
0
a
时，点到
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对称轴的距离越远，函数值越小．
①若
2
3
y
y
：
当
0
a
时，
∵
2
3
y
y
，
∴
2
1
h
h
+
−
，两边平方得
2
2
(
2)
(
1)
h
h
+
−
，展开化简得6
3
h −，
∴
1
2
h −
，
∵
1
2
h −
，
∴
5
4
h
h
+
−
，结合
0
a
的性质，
∴
1
4
y
y
；
当
0
a
时，
∵
2
3
y
y
，
∴
2
1
h
h
+
−
，两边平方化简得6
3
h −，
∴
1
2
h −
，
∵
1
2
h −
，
∴
5
4
h
h
+
−
，结合
0
a
的性质，
∴
1
4
y
y
，
综上，①正确；
②若
2
1
y
y
：
当
0
a
时，
∵
2
1
y
y
，
∴
5
2
h
h
+
+
，平方化简得6
21
h −
，
∴
3.5
h −
，
取
0
h =
（满足
3.5
h −
），
∵0 1
1
0
4
4
−
=
−
=
且
0
a
，
∴
3
4
y
y
，与
3
4
y
y
矛盾，故②错误；
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③若
1
3
y
y
：
当
0
a
时，
∵
1
3
y
y
，
∴
5
1
h
h
+
−，平方化简得12
24
h −
，
∴
2
h −，
取
0
h =
（满足
2
h −），
∵0
2
2
0
4
4
+
=
−
=
且
0
a
，
∴
2
4
y
y
，与
2
4
y
y
矛盾，故③错误；
综上，正确的推断只有1 个，
故选：B．
题型模版
1.特征：给出抛物线上若干对称点或对称关系的点，要求比较这些点对应的函数值大小，进而求参数范围或
判断结论正误．
2.方法：利用二次函数的对称性，将各点转化到对称轴同侧，结合开口方向与点到对称轴的距离远近比较函
数值；注意分类讨论开口向上与开口向下两种情形．
变式2-1 （25-26 九年级上·浙江·期末）抛物线
2
(
0)
y
ax
bx
c a
=
+
+
的顶点为
( 1,2)
D −
，与x 轴的一个交点A
在点( 3,0)
−
和( 2,0)
−
之间，其部分图象如图，则以下结论：①
0
abc
；②若方程
2
0
ax
bx
c
m
+
+
−
=
没有实
数根，则
2
m
；③3
2
0
b
c
+
；④图象上有两点
(
)
1
1
,
P x y
和
(
)
2
2
,
Q x
y
，若
1
2
x
x
且
1
2
2
x
x
−
+
，则一定有
1
2
y
y
.正确的是（ ）
A．①②
B．③④
C．①③
D．②③
【答案】D
【分析】本题考查根据函数图象判断式子的符号，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
由抛物线开口方向，顶点坐标，与y 轴的交点位置可判断①；根据二次函数图象的平移，得出
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2
y
ax
bx
c
m
=
+
+ −
的顶点在x 轴下方，可判断②；根据抛物线与x 轴的另一个交点在点(0,0) 和(1,0) 之间，
将
1
x = 代入
2
y
ax
bx
c
=
+
+ ，可判断③；分
(
)
2
2
,
Q x
y
在对称轴左侧或右侧两种情况，可判断④．
【详解】解：抛物线开口向下，
0
a
，
顶点为
( 1,2)
D −
，
对称轴为直线
1
x = −，
1
2
b
a
−
= −，
2
0
b
a
=
，
抛物线与x 轴的一个交点A在点( 3,0)
−
和( 2,0)
−
之间，对称轴为直线
1
x = −，
抛物线与x 轴的另一个交点在点(0,0) 和(1,0) 之间，
抛物线与y 轴的交点位于y 轴的正半轴，
0
c
，
0
abc
，故①错误；
2
(
0)
y
ax
bx
c a
=
+
+
向下平移m 个单位长度时，新图象的解析式为
2
y
ax
bx
c
m
=
+
+ −
，
顶点为
( 1,2)
D −
，
2
m
时，新图象的顶点在x 轴下方，新图象与x 轴没有交点，
2
0
ax
bx
c
m
+
+
−
=
没有实数根，故②正确；
抛物线与x 轴的另一个交点在点(0,0) 和(1,0) 之间，
1
x = 时，
0
y
a
b
c
=
+
+
，
1
3
0
2
2
b
b
c
b
c
+ +
=
+
，
3
2
0
b
c
+
，故③正确；
抛物线开口向下，
(
)
1
1
,
P x y
和
(
)
2
2
,
Q x
y
，
1
2
x
x
且
1
2
2
x
x
−
+
，对称轴为直线
1
x = −，
(
)
1
1
,
P x y
在对称轴左侧，
(
)
2
2
,
Q x
y
在对称轴左侧或右侧，
当
(
)
2
2
,
Q x
y
在对称轴左侧时，
在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大，
1
2
x
x
，
1
2
y
y
；
当
(
)
2
2
,
Q x
y
在对称轴右侧时，
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(
)
1
1
,
P x y
关于对称轴
1
x = −的对称点为
(
)
1
1
2,
P
x
y
−
−
，
(
)
2
1
1
2
2
2
2
2
0
x
x
x
x
−−
−
=
+
+
−+
=
，
1
2
y
y
，故④错误，
综上可知，正确的是②③，
故选：D．
变式2-2 （25-26 九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知点(
)
1,
x m ，(
)
2,
x n ，(
)
3,
x
p 均在二次函数
2
2
y
ax
ax
c
=
+
+
图象上，若n
c
a
= −
，则下列选项不成立的是（ ）
A．若
0
a
且
m
p，则
1
2
3
2
x
x
x
x
−
−
B．若
0
a
且m
p
，则
1
2
3
2
x
x
x
x
−
−
C．若
1
2
3
2
x
x
x
x
−
=
−
，则m
p
=
D．若
1
2
3
2
x
x
x
x
−
−
，则|
| |
|
m
n
p
n
−
−
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的顶点式，以及二次函数的对称轴与顶点坐标，解决
本题的关键是求解出该函数的顶点式，并分析各点的特征．
由二次函数解析式可得对称轴为
1
x = −，且顶点纵坐标为c
a
−
，结合n
c
a
= −
可知点(
)
2,
x n 为顶点，即
2
1
x = −，
根据二次函数的性质，函数值的大小与点到对称轴的距离有关，依此分析各选项即可．
【详解】解：∵函数
(
)
2
2
2
1
y
ax
ax
c
a x
c
a
=
+
+
=
+
+ −
，
∴对称轴为
1
x = −，顶点纵坐标为c
a
−
，
即顶点坐标为(
)
1,c
a
−
−
，
∵n
c
a
= −
，
∴点(
)
2,
x n 为顶点，即
2
1
x = −，
选项A：若
0
a
且m
p
，则函数图像开口向下，函数值越小则离对称轴越远，
∴
1
3
1
1
x
x
+
+
，即
1
2
3
2
x
x
x
x
−
−
，成立；
选项B：若
0
a
且m
p
，则函图像象开口向上，函数值越大则离对称轴越远，
∴
1
3
1
1
x
x
+
+
，即
1
2
3
2
x
x
x
x
−
−
，但选项结论为
1
2
3
2
x
x
x
x
−
−
，不成立；
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选项C：若
1
2
3
2
x
x
x
x
−
=
−
，即
1
3
1
1
x
x
+
=
+
，
则有两点关于对称轴对称，即m
p
=
，成立；
选项D：若
1
2
3
2
x
x
x
x
−
−
，即
1
3
1
1
x
x
+
+
，
∵
(
)
2
1
1
m
n
a x
−
=
+
，
(
)
2
3
1
p
n
a x
−
=
+
，则m
n
p
n
−
−
，成立．
故选：B．
变式2-3 （25-26 九年级上·浙江杭州·阶段检测）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线
2
5
y
ax
bx
=
+
−过点
(
)
(
)
1,0
2, 9
A
B
−
−
、
两点．
(1)求抛物线解析式；
(2)若抛物线
2
5
2
y
ax
bx
mx
=
+
−−
过点(
)
1
1,
m
y
−
、(
)
2
3,
m
y
+
，试比较
1y 与
2y 的大小，并说明理由；
(3)若将抛物线
2
5
y
ax
bx
=
+
−平移得到新抛物线
2
5
y
ax
bx
n
=
+
−+
，当2
3
x
−
时，新抛物线与直线
1
y = 有
且只有一个公共点，求出n 的取值范围．
【答案】(1)
2
4
5
y
x
x
=
−
−
(2)
1
2
y
y
(3) 6
9
n
−
，或
10
n =
【分析】（1）点(
)
(
)
1,0
2, 9
A
B
−
−
、
代入解析式
2
5
y
ax
bx
=
+
−求解即可；
（2）由
(
)
(
)
2
2
2
4
5
2
2
2
5
y
x
x
mx
x
m
m
=
−
−−
=
−
−
−
+
−，得抛物线开口向上，对称轴为直线
2
x
m
=
+ ，由点
(
)
1
1,
m
y
−
、(
)
2
3,
m
y
+
在抛物线上，点(
)
2
3,
m
y
+
与点
2
(
)
1,
m
y
+
关于对称轴
2
x
m
=
+ 对称，得
1
1
m
m
−
+ ，
由当
2
x
m
+ 时，y 随x 的增大而减小，得
1
2
y
y
；
（3）新抛物线为
(
)
2
2
4
5
2
9
y
x
x
n
x
n
=
−
−+
=
−
+
−
，开口向上，对称轴为直线
2
x =
，顶点为(
)
2,
9
n −
，点
(
)
2,
7
n
−
+
与点(
)
3,
8
n −
在新抛物线上，点(
)
3,
8
n −
与(
)
1,
8
n −
关于对称轴
2
x =
对称，当
7
1
n+
= 时，得
6
n
−
=
；
当
8
1
n−= 时, 得
9
n =
；当
9
1
n−= 时, 得
10
n =
；由2
3
x
−
时新抛物线与直线
1
y = 有且只有一个公共点，
得6
9
n
−
，或
10
n =
．
【详解】（1）解：∵抛物线
2
5
y
ax
bx
=
+
−过
(
)
(
)
1,0
2, 9
A
B
−
−
、
两点，
∴
5
0
4
2
5
9
a
b
a
b
−
−
=
+
−
= −
，
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解得
1
4
a
b
−
=
=
，
∴抛物线为
2
4
5
y
x
x
=
−
−；
（2）解：由（1）知，抛物线
2
4
5
2
y
x
x
mx
=
−
−−
过点(
)
1
1,
m
y
−
、(
)
2
3,
m
y
+
，
∵
(
)
(
)
2
2
2
4
5
2
2
2
5
y
x
x
mx
x
m
m
=
−
−−
=
−
−
−
+
−，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线
2
x
m
=
+ ，
∴点(
)
2
3,
m
y
+
与点
2
(
)
1,
m
y
+
关于对称轴
2
x
m
=
+ 对称，
∵当
2
x
m
+ 时，y 随x 的增大而减小，且
1
1
m
m
−
+ ，
∴
1
2
y
y
（3）解：∵新抛物线
(
)
2
2
4
5
2
9
y
x
x
n
x
n
=
−
−+
=
−
+
−
，
∴新抛物线开口向上，对称轴为直线
2
x =
，顶点为(
)
2,
9
n −
，
令
2
x = −，则
7
y
n
=
+
；
令
3
x = ，则
8
y
n
=
−
；
∴点(
)
2,
7
n
−
+
与点(
)
3,
8
n −
在新抛物线上，点(
)
3,
8
n −
与(
)
1,
8
n −
关于对称轴
2
x =
对称，
∵当2
3
x
−
时新抛物线与直线
1
y = 有且只有一个公共点，
∴当
7
1
n+
= 时，得
6
n
−
=
；
当
8
1
n−= 时, 得
9
n =
；
当
9
1
n−= 时, 得
10
n =
；
∴6
9
n
−
，或
10
n =
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【点睛】本题考查二次函数，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，二次函
数图象上点的坐标特征及平移，二次函数的对称性、增减性，是解题的关键．
题型3、由函数值范围反求参数取值范围
典例3 （25-26 九年级上·浙江温州·期中）已知：二次函数
2
2
2
1
y
x
mx
m
= −
+
−
+ （m 为常数）.
(1)求证：函数图象与x 轴有两个交点.
(2)若函数图象经过点(
)
1
3, y
−
，(
)
2
,n y
，
①当
4
n
m
=
时，
1
2
y
y
=
，求函数表达式.
②当
2
5
m
n
m
+
+ 时，都有
1
2
y
y
，请直接写出m 的取值范围.
【答案】(1)见解析
(2)①
2
5
3
4
y
x
x
= −
+
−
，或
2
3
7
2
16
y
x
x
= −
−
+
；②
8
m −或
2
m
【分析】（1）运用根的判别式判断二次函数图像与x 轴交点情况；
（2）①当
3
x
−
=
时，求出
1y 的表达式；当
4
x
m
=
时，求出
2y 的表达式，根据
1
2
y
y
=
建立方程，解方程求
出m 的值，即得；②根据对称轴为直线x
m
=
， (
)
1
3, y
−
关于对称轴对称的点为(
)
1
2
3,
m
y
+
，
2
5
m
m
n
m
+
+ ，点(
)
2
,n y
在对称轴右侧，y 值随x 的增大而减小，分当
3
2
m
m
−
+
时，当
2
3
2
m
m
m
+
+
时解答，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵
2
2
2
1
y
x
mx
m
= −
+
−
+ ，
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∴
(
)
(
) (
)
2
2
Δ
2
4
1
1
4
0
m
m
=
−−
−
+
=
．
∴函数图像与x 轴有两个交点．
（2）解：①∵函数图像经过点(
)
1
3, y
−
，(
)
2
,n y
，
4
n
m
=
，
∴
2
2
1
9
6
1
6
8
y
m
m
m
m
= −−
−
+ = −
−
−，
2
2
2
2
2
16
8
1
9
1
y
m
m
m
m
= −
+
−
+ = −
+ ．
∵
1
2
y
y
=
，
∴
2
2
6
8
9
1
m
m
m
−
−
−
= −
+ ．
1
2
3
3
2
4
m
m
=
= −
，
．
∴
2
5
3
4
y
x
x
= −
+
−
，或
2
3
7
2
16
y
x
x
= −
−
+
．
②∵
(
)
2
2
2
2
1
1
y
x
mx
m
x
m
= −
+
−
+ = −
−
+ ，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x
m
=
．
∴(
)
1
3, y
−
关于对称轴对称的点为(
)
1
2
3,
m
y
+
．
∵
2
5
m
m
n
m
+
+ ，
∴点(
)
2
,n y
在对称轴右侧，y 值随x 的增大而减小．
∵
1
2
y
y
，
∴当
5
3
m+ −时，
8
m −；
当
5
2
3
m
m
+
+ 时，
2
m
．
综上所述，m 的取值范围为，
8
m −或
2
m
．
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【点睛】本题主要考查了二次函数，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像和性质，二
次函数图像与x 轴交点，二次函数与一元二次方程，二次函数的对称性和增减性，分类讨论，是解题的关
键．
题型模版
1.特征：已知函数值（或函数值的范围），要求反求自变量取值范围或字母参数范围，常与最值、区间端点
值结合．
2.方法：把函数值条件转化为关于自变量或参数的方程、不等式，结合二次函数最值、单调性与区间位置建
立参数不等式组，注意临界状态并回代检验．
变式3-1 （24-25 九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数
(
)
2
4
3
y
x x
m
m
= −
+
+
+ （m 是实数）．
(1)求函数顶点坐标（用含m 的代数式表示）；
(2)若
2
m
−
，且函数顶点在x 轴上，当
3
t
x
t
−
时，函数最大值为4
−，求t 的值；
(3)对于该二次函数图象上的两点(
)
,
A a p ，(
)
3,
B
q ，当
(
)
4
8
4
a
m
m
+
−
时，始终有p
q
成立．求m 的
取值范围．
【答案】(1)(
)
2
3
,
4
m m
m
+
+
−
(2)1 或8
(3)
11
4
3
m
−
−
【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式即可解答；
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（2）先根据函数顶点在x 轴上，结合
2
m
−
，求出
3
m
−
=
，得到二次函数表达式
(
)
2
3
y
x
= −
−
，进而得到
二次函数图象的对称轴为
3
x =
，且开口向下，再根据二次函数的性质，分
3
3
t −，
3
t
，
3
3
t
t
−三种
情况讨论即可；
（3）由（1）知二次函数图象的对称轴为x
m
= −
，且开口向下，根据p
q
，则有
(
)
(
)
3
a
m
m
−−
−−
，求
解即可．
【详解】（1）解：
(
)
(
)
2
2
2
2
4
3
2
4
3
4
3
y
x x
m
m
x
mx
m
x
m
m
m
= −
+
+
+
= −
−
+
+
= −
+
+
+
+ ，
函数顶点坐标为(
)
2
3
,
4
m m
m
+
+
−
；
（2）解：函数顶点在x 轴上，
2
4
3
0
m
m
+
+
=
，
解得：
1
m = −或
3
m
−
=
，
2
m
−
，
3
m
−
=
，
二次函数表达式为：
(
)
2
3
y
x
= −
−
，
1
0
−
，
二次函数图象的对称轴为
3
x =
，且开口向下，
3
t
x
t
−
时，函数最大值为4
−，
当
3
3
t −时，
6
t
，
则
3
x
t
= −时，函数有最大值，
(
)
2
4
3 3
t
−= −
−−
即(
)
2
6
4
t −
=
，
解得：1
2
8,
4
t
t
=
=
（舍去）；
当
3
t
时，
则x
t
= 时，函数有最大值，
(
)
2
4
3
t
−= −
−
即(
)
2
3
4
t −
=
，
解得：1
2
1,
5
t
t
=
=
（舍去）；
当
3
3
t
t
−时，函数最大值为0，不符合题意；
综上，t 的值为1 或8；
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（3）解：由（1）知二次函数图象的对称轴为x
m
= −
，且开口向下，
二次函数图象上的两点(
)
,
A a p ，
(
)
3,
B
q ，
(
)
4
8
4
a
m
m
+
−
时，始终有p
q
成立，
∴点A 到对称轴的距离小于或等于B 点到对称轴的距离，
(
)
(
)
3
a
m
m
−−
−−
，即
3
a
m
m
+
+
，
(
)
(
)
2
2
3
a
m
m
+
+
，即(
)(
)
3
2
3
0
a
m
a
+ +
−
，
4
a
，
3
0
a
−
，
3 2
0
a
m
+ +
，即
2
3
a
m
−
−，
8
2
3
m
m
+ −
−，
解得：
11
3
m −
，
4
m −
，
11
4
3
m
−
−
．
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，一元二次方程和不等式组解法，
熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
变式3-2 （24-25 九年级上·浙江杭州·阶段检测）在平面直角坐标系中，设二次函数
2
2
2
=
+
+
+
y
x
mx
m
（m
是常数）．
(1)若函数图象经过点(
)
2,11 ，求函数图象的顶点坐标．
(2)若函数图象经过点(
)
1, p
−
，(
)
1,q ，求证：
12
pq
．
(3)已知函数图象经过点(
)
1
3, y
−
，(
)
2
1,
m
y
−
+
，(
)
3
,n y
．若对于任意的3
5
n
，都有
1
3
2
y
y
y
成立，求m
的取值范围．
【答案】(1)函数图象的顶点坐标为(
)
1,2
−
；
(2)见解析
(3)m 的取值范围为
6
m −或2
1
m
−
−
．
【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特点、二次函数的增减性，
熟练掌握二次函数图象上的点的坐标特点及二次函数的性质是解题的关键．
（1）先求出二次函数解析式，由配方法可求出顶点坐标；
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（2）将已知两点代入求出
3
p
m
= −
+ ，
3
3
q
m
=
+ ，再用m 表示出pq ，配方，即可求解；
（3）分两种情况，当3
1
m
n
−−
+ 和3
1
n
m
−
−
+ 时，再根据对称性将所有点转化到对称轴的同一侧，根据
增减性分析，解不等式（组）即可．
【详解】（1）解：∵函数图象经过点(
)
2,11 ，
∴11
4
4
2
m
m
=
+
+
+ ．
解得
1
m = ．
∴
(
)
2
2
2
3
1
2
y
x
x
x
=
+
+
=
+
+
．
所以函数图象的顶点坐标为(
)
1,2
−
；
（2）解：∵函数图象经过点(
)
1, p
−
，(
)
1,q ，
∴
1 2
2
3
p
m
m
m
= −
+
+
= −
+
．
1
2
2
3
3
q
m
m
m
= +
+
+
=
+ ．
∴
(
)(
)
(
)
2
2
3
3
3
3
6
9
3
1
12
pq
m
m
m
m
m
= −
+
+
= −
+
+
= −
−
+
．
所以
12
pq
；
（3）解：
2
2
2
y
x
mx
m
=
+
+
+
，设函数图象经过点
1
( 3,
)
A
y
−
，
2
(
1,
)
B
m
y
−
+
，
3
( ,
)
C n y ．
二次函数图象开口向上，对称轴为直线x
m
= −
，则点
2
(
1,
)
B
m
y
−
+
在对称轴右侧，
对于任意的3
5
n
，都有
1
3
2
y
y
y
成立，
存在如下情况：
情况1，如图1，当3
1
m
n
−−
+ 时，
则
1
( 3,
)
A
y
−
关于对称轴的对称点的横坐标为2
3
m
−
+ ，
∴
1
2
3
m
n
m
−
+
−
+ ，且3
5
n
，
∴有
1
3
2
3
5
m
m
−
+
−
+
，解得2
1
m
−
−
；
情况2，如图2，
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∴3
1
n
m
−
−
+ ，
∵点
2
(
1,
)
B
m
y
−
+
关于对称轴对称的点的横坐标为
1
m
−
−，
∴3
1
n
m
−
−
−，且3
5
n
，
可得
1
5
m
−
−，解得：
6
m −，
综上所述，m 的取值范围为
6
m −或2
1
m
−
−
．
变式3-3 （2025·浙江·三模）已知二次函数
2
2
3
3
y
x
x
m
m
=
-
-
+
（
0
m
的实数）
(1)二次函数图象的对称轴是______．
(2)当
2
m =
时，
①若将平面内一点(
)
1,
A
n 向右平移3a 个单位，则与抛物线上的点B 重合；向左平移2a 个单位，则与抛物
线上的点C 重合，求n 的值．
②如果点
(
)
,
P x y 在抛物线上，且到y 轴的距离小于等于2 ，那么我们称点P 是y 轴的“亲密点”，求所有“亲
密点”的y 的取值范围．
(3)对于二次函数图象上的两点
(
)
1
1
,
P x y
，
(
)
2
2
,
Q x
y
，当
1
1
2
1
t
x
t
−
+ ，
2
2
x −时，均满足
1
2
6
y
y
−
，直
接写出t 的取值范围．
【答案】(1)直线
3
2
x =
(2)①
6
n =
；②
1
12
4
y
−
(3)0
1.5
t
【分析】（1）根据二次函数
(
)
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
的对称轴公式
2
b
x
a
= −
代入可得；
（2）①根据平移可得
(
)
1 3
B
a n
+
,
，(
)
1
2
C
a n
−
,
，关于对称轴对称，可得(
) (
)
1 3
1 2
3
2
2
a
a
+
+
−
=
，求出a 的值，
再代入当
2
m =
时的二次函数的解析式求出n 的值即可；
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②根据点P 到y 轴的距离小于等于2 ，确定y 的最小值和最大值，即可得出所有“亲密点”的y 的取值范围；
（3）二次函数图象的对称轴直线为
3
2
x =
且开口向上，当
3
2
x
时y 随x 值增大而减小，可知
2y 的最小值，
然后分类讨论即可；
【详解】（1）解：∵二次函数
2
2
3
3
y
x
x
m
m
=
-
-
+
（
0
m
的实数），
∴二次函数图象的对称轴是直线
3
3
2 1
2
x
−
= −
=
，
故答案为：直线
3
2
x =
；
（2）①当
2
m =
时，二次函数为
2
3
2
y
x
x
=
−
+
，
∵点
(
)
1,
A
n 向右平移3a 个单位，则与抛物线上的点B 重合；向左平移2a 个单位，则与抛物线上的点C 重合，
∴
(
)
1 3
B
a n
+
,
，
(
)
1
2
C
a n
−
,
，
∴(
) (
)
1 3
1 2
3
2
2
a
a
+
+
−
=
，
解得：
1
a = ，
∴1 3
1 3 1
4
a
+
= + =
，
∴
(
)
4,
B
n ，
∵点
(
)
4,
B
n 在抛物线
2
3
2
y
x
x
=
−
+
上，
∴
2
4
3 4
2
16 12
2
6
n =
−
+
=
−
+
=
，
∴
6
n =
；
②∵点
(
)
,
P x y 在抛物线
2
3
2
y
x
x
=
−
+
上，且到y 轴的距离小于等于2 ，
∴抛物线
2
3
2
y
x
x
=
−
+
的图象开口向上，2
2
x
−
，
∴顶点处y 有最小值：当
3
2
x =
时，
2
3
3
1
3
2
2
2
4
y
=
−
+
= −
，
顶点处y 有最大值：当
2
x = −时，
(
)
(
)
2
2
3
2
2
12
y = −
−−
+
=
，
当
2
x =
时，
22
3 2
2
0
y =
−+
=
，
∴y 的取值范围是
1
12
4
y
−
；
（3）当
1
1
2
1
t
x
t
−
+ ，
2
2
x −时，需满足
1
2
6
y
y
−，则
1
2
6
y
y
+
，
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∵点
(
)
1
1
,
P x y
，
(
)
2
2
,
Q x
y
是二次函数
2
3
2
y
x
x
=
−
+
图象上的两点，
∴
2
2
1
1
2
2
3
2
6
3
2
x
x
x
x
−
+
+
−
+
，
∵二次函数
2
3
2
y
x
x
=
−
+
图象的对称轴是直线
3
2
x =
，开口向上，当
3
2
x
时，y 随x 值增大而减小，
又∵
2
2
x −，
∴当
2
2
x = −时，
2
2
2
3
2
x
x
−
+
有最小值是12，
∴
2
1
1
3
2
6
12
x
x
−
+
+
，
∴
2
1
1
3
4
0
x
x
−
−
，即(
)(
)
1
1
4
1
0
x
x
−
+
，
∴
1
1
4
0
1
0
x
x
−
+
或
1
1
4
0
1
0
x
x
−
+
，
∴解得
1
1
4
x
−
，
当
1
1
x
t
= −时，则1
1
4
t
−−
，解得：0
5
t
，
当
1
2
1
x
t
=
+ 时，则1
2
1
4
t
−
+
，解得：
3
1
2
t
−
，
∴综上所述，t 的取值范围为
3
0
2
t
．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，平移的性质，二次函数的图象和性质，函数的最值问
题，不等式（组）的应用等知识，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质．
题型4、抛物线过定点、恒在某一侧等恒成立问题
典例4 定义
, ,
a b c 为函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的特征数，下面给出的特征数为
2 ,1
, 1
m
m
m
−
−−
时，关于函数的
一些结论，其中不正确的是（ ）
A．当
3
m
−
=
时，函数的最大值为8
3
B．当
3
m
−
=
时，函数图像的顶点到直线
1
y
x−
=
的距离为5 2
3
C．函数图像恒过两个定点(
)
1,0 和
1 3
,
2 2
−
D．当
0
m
时，函数在
1
4
x
时，y 随x 的增大而增大
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【答案】C
【分析】A、把
3
m = −代入
2 ,1
, 1
m
m
m
−
−−
，求得
, ,
a b c ，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；
B、利用平行线的性质求得直线
1
y
x−
=
与过顶点平行直线
1
y
x−
=
的直线与y 轴的交点，求得交点的长度，
进一步即可解决问题；
C、代入x 的值，验证即可解答；
D、根据特征数的特点，直接得出x 的值，进一步验证即可解答．
【详解】解：∵函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的特征数为
2 ,1
, 1
m
m
m
−
−−
∴
(
)
(
)
2
2
1
1
y
mx
m x
m
=
+
−
+ −−
，
A、当
3
m = −时，
2
2
1
8
6
4
2
6
3
3
y
x
x
x
= −
+
+
= −
−
+
，顶点坐标是1 8
,
3 3
，故当
3
m
−
=
时，函数的最大值为8
3 ，
此结论正确；
B、过顶点1 8
,
3 3
平行直线
1
y
x
=
−的直线为
7
3
y
x
=
+
，
所以直线
7
3
y
x
=
+
与y 轴的交点为
7
0, 3
，而直线
1
y
x
=
−与y 轴的交点为(
)
0, 1
−
，
所以两交点的长度为
(
)
7
10
1
3
3
−−
=
，
所以顶点到直线
1
y
x
=
−的距离为10
2
5 2
3
2
3
=
，此结论正确；
C、当
1
x = 时，
(
)
(
)
(
) (
)
2
2
1
1
2
1
1
0
y
mx
m x
m
m
m
m
=
+
−
+ −−
=
+
−
+ −−
=
，
当
1
2
x = −
时，
(
)
(
)
(
) (
)
2
1
1
3
2
1
1
1
1
2
2
2
y
mx
m x
m
m
m
m
=
+
−
+ −−
=
−
−
+ −−
= −
，
即函数图象恒过两个定点(
)
1,0 和
1
3
,
2
2
−
−
，此结论不正确．
D、当
0
m
时，
(
)
(
)
2
2
1
1
y
mx
m x
m
=
+
−
+ −−
是一个开口向下的抛物线，
其对称轴是：直线x =
1
4
m
m
−，在对称轴的右边y 随x 的增大而减小．
因为当
0
m
时，
1
1
1
1
4
4
4
4
m
m
m
−=
−
，即函数在
1
4
x
时，y 随x 的增大而增大，此结论正确；
故选C．
【点睛】此题考查二次函数的性质，一次函数的性质，平行线间距离相等，顶点坐标以及二次函数图象上
点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
题型模版
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1.特征：抛物线经过定点、恒在某一侧或恒满足某种不等关系，要求确定参数满足的条件．
2.方法：先找定点（令参数系数为零），再研究图象相对于定直线或定点的位置关系；恒成立问题常转化为
最值或判别式问题，注意参数的任意性处理．
变式4-1 已知二次函数
2
12
y
x
bx
=
+
−
的图像经过点(
)
3,9
−
．
(1)求该函数图像的顶点坐标．
(2)若点
(
)
1
,
M m y
，
(
)
2
4,
N
y
在该函数图像上，且
1
2
y
y
，求m 的取值范围．
(3)将该函数图像向上平移t（
0
t
）个单位长度，所得图像与x 轴相交于点A，B（点A 在点B 的左侧），原
点O 在点A，B 之间．当
5
OB
OA
=
时，求t 的值．
【答案】(1)(
)
2, 16
−
(2)0
4
m
(3)7
【分析】（1）待定系数法求得解析式，再化成顶点式，即可确定顶点坐标；
（2）根据二次函数的对称性和增减性求解即可；
（3）先求得平移后的抛物线解析式为
2
4
12
y
x
x
t
=
−
−
+ ，由二次函数的性质可得对称轴为
2
x =
，易得
6
AB
OA
=
，则对称轴位于1
2 AB
OA
−
，即1
3
2
2
2 AB
OA
OA OA
OA
−
=
−
=
=
，易得
(
)
1,0
A −
，然后代入平移后
的抛物线解析式即可求得t 的值．
【详解】（1）解：把点(
)
3,9
−
代入
2
12
y
x
bx
=
+
−
得9
9 3
12
b−
= −
，解得
4
b = −．
∴
(
)
2
2
4
12
2
16
y
x
x
x
=
−
−
=
−
−
．
∴该函数图像的顶点坐标为(
)
2, 16
−
．
（2）解：∵该函数图像的对称轴为直线
2
x =
，
∴
(
)
2
4,
N
y
关于对称轴的对称点为(
)
2
0, y
．
∵开口向上，离对称轴越近函数值越小，
1
2
y
y
，
∴m 的取值范围为0
4
m
．
（3）解：∵向上平移t（
0
t
）个单位长度，得
2
4
12
y
x
x
t
=
−
−
+ ，
∴对称轴为直线
2
x =
．
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∵
5
OB
OA
=
，
∴
6
AB
OA
=
，即对称轴处于1
2 AB
OA
−
，
∴1
3
2
2
2 AB
OA
OA OA
OA
−
=
−
=
=
，即
1
OA = ．
∴点A 坐标为(
)
1,0
−
，代入
2
4
12
y
x
x
t
=
−
−
+ ，得1 4 12
0
t
+ −
+ =
，解得
7
t =
．
∴t 的值是7．
变式4-2 （24-25 八年级下·浙江宁波·期末）已知抛物线
2
3
y
ax
bx
=
+
+ （a ，b 为常数）经过点
(
)
1,4
A
，
(
)
2, 5
B −
−
．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当x
p
=
时，
0
y
，当x
q
=
时，
0
y
，且p ，(
)
q p
q
为两个连续偶数，求p
q
+ 的值；
(3)该抛物线
2
3
y
ax
bx
=
+
+ 与直线
4
y
kx
k
=
−
+ （k 为常数且
0
k ）相交于
(
)
1
1
,
C x y ，(
)
2
2
,
D x
y
两点，且C 在
D 的左侧．若在
1
2
x
x
x
范围内，x 的取值恰好有3 个整数值，求k 的取值范围．
【答案】(1)
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+
(2)
6
p
q
+
=
(3)3
4
k
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，确定直线经过定点是解题的
关键．
（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）由二次函数性质可得当1
3
x
−
时，
0
y
；当
3
x
或
1
x
−
时，
0
y
；即可求出1
3
p
−
，
3
q
或
1
q −，最后根据p ，(
)
q p
q
为两个连续偶数确定具体的值即可；
（3）先求出直线经过定点(
)
1,4 ，再判断(
)
1,4 在抛物线上，即可得到直线与抛物线一个交点为(
)
1,4 ，则
1
1
x =
或
2
1
x = ，据此分情况讨论，再根据在
1
2
x
x
x
范围内，x 的取值恰好有3 个整数值确定k 的取值范围．
【详解】（1）解：将
(
)
1,4
A
，(
)
2, 5
B −
−
代入
2
3
y
ax
bx
=
+
+ 中，
∴
3
4
4
2
3
5
a
b
a
b
+
+
=
−
+
= −
，
解得
1
2
a
b
−
=
=
，
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∴抛物线的函数表达式为
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ ；
（2）解：当
0
y =
时，
2
2
3
0
x
x
−
+
+
=
，
解得
1
x = −或
3
x = ，
∵
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ 开口向下，
∴当1
3
x
−
时，
0
y
；当
3
x
或
1
x
−
时，
0
y
；
∵当x
p
=
时，
0
y
，
∴1
3
p
−
，
∵当x
q
=
时，
0
y
，
∴
3
q
或
1
q −，
∵p ，(
)
q p
q
为两个连续偶数，
∴
2,
4
p
q
=
=
，
∴
6
p
q
+
=
；
（3）解：∵
(
)
4
1
4
y
kx
k
k x
=
−
+
=
−
+
，
∴直线经过定点(
)
1,4 ，
∵当
1
x = 时，
2
2
3
4
y
x
x
= −
+
+ =
∴(
)
1,4 在抛物线
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ 上，
∵抛物线
2
3
y
ax
bx
=
+
+ 与直线
4
y
kx
k
=
−
+
（k 为常数且
0
k ）相交于
(
)
1
1
,
C x y ，
(
)
2
2
,
D x
y
两点，
∴
1
1
x = 或
2
1
x = ，
当
1
1
x = 时，在
1
2
x
x
x
范围内，x 的取值恰好有3 个整数值，则
2
4
5
x
，
当
2
4
x =
时，
2
2
3
5
y
x
x
= −
+
+
= −，直线经过点(
)
4, 5
−
时，5
4
4
k
k
−=
−+
，解得
3
k = −；
当
2
5
x =
时，
2
2
3
12
y
x
x
= −
+
+ = −
，直线经过点(
)
5, 12
−
时，12
5
4
k
k
−
=
−+
，解得
4
k = −；
∴当4
3
k
−
−时，在
1
2
x
x
x
范围内，x 的取值恰好有3 个整数值；
同理当
2
1
x = 时，在
1
2
x
x
x
范围内，x 的取值恰好有3 个整数值，3
4
k
；
∵
0
k ，
∴当3
4
k
时，在
1
2
x
x
x
范围内，x 的取值恰好有3 个整数值．
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变式4-3 已知二次函数
(
)
2
7
6
y
x
a
x
=
+
−
+
，反比例函数
a
y
x
=
(1)当
2
a =
时，求这两个函数图象的交点坐标；
(2)若这两个函数的图象的交点不止一个，且交点横、纵坐标都是整数，求符合条件的正整数a 的值；
(3)若这两个函数的所有交点在直线
1
2
x =
的右侧，求a 的取值范围．
【答案】(1)(
)
1 2
，或(
)
2
2,2
2
+
−
或(
)
2
2,2
2
−
+
(2)
16
a =
(3)11
8
2 7
6
a
+
【分析】本题主要考查二次函数与一次函数综合问题，包括两个函数的交点问题，待定系数法确定函数解
析式，二次函数的增减性，解不等式组等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
（1）把
2
a =
代入两函数解析式，然后联立方程组求解即可；
（2）两函数解析式，联立方程组可得出(
)
(
)
2
1
6
0
x
x
a
x
a
−
+
−
+
=
，从而求出一根为
1
x = ，然后根据
(
)
2
6
0
x
a
x
a
+
−
+
=
方程有一个到两个的根，则
(
)
2
Δ
6
4
0
a
a
=
−
−
，根据交点横、纵坐标都是整数，则一
定是完全平方数(设为k)，整理得：(
)
2
2
8
28
a
k
−
−
=
，即：(
)
8
(
8
)
28
4 7
2 14
1 28
a
k
a
k
−+
−−
=
=
=
=
，
一一代入求解即可；
（3）分
(
)
2
6
0
x
a
x
a
+
−
+
=
无解和有解讨论即可．
【详解】（1）解：联立
(
)
2
7
6
y
x
a
x
=
+
−
+
，
a
y
x
=
并整理得：
(
)
3
2
7
6
0
x
a
x
x
a
+
−
+
−
=
①
2
a =
时，上式为：(
)(
)
2
1
4
2
0
x
x
x
−
−
+
=
，
解得：x=1 或2
2
+
或2
2
−
，
故函数交点坐标为：(
)
1 2
，或(
)
2
2,2
2
+
−
或(
)
2
2,2
2
−
+
；
（2）解：①式中含有(
)1
x −
的因式，即：(
)
(
)
2
1
6
0
x
x
a
x
a
−
+
−
+
=
，
故其中一个根：
1
x = ，
a 为正整数，
(
)
2
6
0
x
a
x
a
+
−
+
=
方程有一个到两个的根，
(
)
2
Δ
6
4
0
a
a
=
−
−
，
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交点横、纵坐标都是整数，则一定是完全平方数(设为k)，
即(
)
2
2
6
4
a
a
k
−
−
=
(k 为非负整数)，整理得：(
)
2
2
8
28
a
k
−
−
=
，
即：(
)
8
(
8
)
28
4 7
2 14
1 28
a
k
a
k
−+
−−
=
=
=
=
，
而
8
8
a
k
a
k
−+
−−，
当
8
7
a
k
−+
= ，
8
4
a
k
−−
= 时，解得：
13.5
a =
(舍去)；
当
8
14
a
k
−+
=
，
8
2
a
k
−−
= 时，解得：
16
a =
；
当
8
28
a
k
−+
=
，
8
1
a
k
−−
= 时，
22.5
a =
(舍去)；
故
16
a =
；
（3）解：对于(
)
(
)
2
1
6
0
x
x
a
x
a
−
+
−
+
=
，
①当
(
)
2
6
0
x
a
x
a
+
−
+
=
无解时，则
0
(
)
6 2
4
a
a
=
−
−
，
解得8
2 7
8
2 7
a
−
+
；
②当
0
时，两个根均大于1
2 ，
即
1
1
2
x −
和
2
1
2
x −
均为正数，
则
1
2
1
2
1
1
0
2
2
,
1
1
0
2
2
x
x
x
x
−
+
−
−
−
∵
1
2
6
x
x
a
+
= −+
，
1 2
x x
a
=
，
代入上式得：
(
)
6 1
0
1
1
6
0
2
4
a
a
a
−+
−
−
−+
+
，解得11
5
6
a
，
故：a 的取值范围为：11
8
2 7
6
a
+
．
题型5、二次函数最值背景下的字母参数问题
典例5 已知二次函数
2
y
x
bx
c
= −
+
+ 的图象经过点(
)
2,3 ，对称轴为直线
1
x = ．
(1)求该二次函数的表达式，并写出顶点坐标．
(2)若将该二次函数的图象沿x 轴平移，问平移几个单位能使图象经过原点．
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(3)当
2
2
1
m
x
m
+
+ 时，二次函数
2
y
x
bx
c
= −
+
+ 的最大值与最小值的差为1，求m 的值．
【答案】(1)
二次函数表达式为
2
2
3
y
x
x
= −
+
+ ，顶点坐标为(
)
1,4
(2)
平移1 个单位或3 个单位
(3)
1
7
3
m
+
=
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，求出
1
x = 时的函数值，得到顶点坐标即可；
（2）求出二次函数与x 轴的交点坐标，根据平移后，新的抛物线过原点，分2 种情况进行求解即可；
（3）根据二次函数的增减性进行求解即可.
【详解】（1）解：∵二次函数
2
y
x
bx
c
= −
+
+ 的图象经过点(
)
2,3 ，对称轴为直线
1
x = ，
∴
(
)
1
2
1
4
2
3
b
b
c
−
=
−
−+
+
=
，解得
2
3
b
c
=
=
，
∴
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ ，
∴当
1
x = 时，
1
2
3
4
y = −+
+
=
，
∴顶点坐标为(
)
1,4 ；
（2）解：当
2
2
3
0
y
x
x
= −
+
+
=
时，解得
1
2
1,
3
x
x
= −
=
，
∴抛物线与 x 轴的交点坐标为(
)
1,0
−
和(
)
3,0 ，
∵将该二次函数的图象沿x 轴平移，平移后的图象经过原点，
当(
)
1,0
−
经过平移与原点重合时，图象向右平移了1 个单位，当(
)
3,0 经过平移与原点重合时，图象向左平
移了3 个单位；
故该二次函数的图象沿x 轴平移1 个单位或3 个单位能使图象经过原点；
（3）解：∵
2
2
1
m
x
m
+
+ ，
∴
2
2
1
m
m
+
+ ，
∴
1
m ，
∴
2
3
m+
，
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∵二次函数
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ 的对称轴为直线
1
x = ，
∴抛物线的开口向下，当
1
x 时，y 随着x 的增大而减小，
∵1
2
2
1
m
x
m
+
+ ，
∴当
2
x
m
=
+ 时，
(
)
(
)
2
2
2
2
3
y
m
m
= −
+
+
+
+ 最大；
当
2
1
x
m
=
+ 时，
(
)
(
)
2
2
1
2 2
1
3
y
m
m
= −
+
+
+
+ 最小；
∴
2
2
[ (
2)
2(
2)
3] [ (2
1)
2(2
1)
3]
1
m
m
m
m
−
+
+
+
+
−−
+
+
+
+
= ，
整理，得
2
3
2
2
0
m
m−
−
=
，
\解得
1
7
3
m
+
=
或
1
7
3
m
−
=
，
∵
1
m ，
∴
1
7
3
m
+
=
.
题型模版
1.特征：以二次函数在闭区间上的最大值、最小值为背景，讨论区间端点、对称轴与参数之间的关系．
2.方法：根据开口方向与对称轴相对区间的位置分情况讨论，分别求出区间端点函数值与顶点函数值，再按
要求的最大值、最小值建立方程或不等式求解．
变式5-1 已知二次函数
2
1
2
4
y
x
bx
= −
+
+ （b 为常数）的图象经过点(
)
8, 6
−
．
(1)求二次函数的表达式．
(2)作点
(
)
0,
A
t 关于直线x
t
= 对称的点B ，若点B 恰好落在
2
1
2
4
y
x
bx
= −
+
+ 的图象上，求t 的值．
(3)当
2
m
x
m
−
时，二次函数
2
1
2
4
y
x
bx
= −
+
+ 的最大值与最小值的和为k ，求k 的取值范围．
【答案】(1)
2
1
2
4
y
x
x
= −
+ +
(2)
2
t =
或
1
t = −
(3)
11
2
k ≤
【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）通过对称求出B 点坐标，然后代入二次函数解析式求解t 即可；
（3）分两种情况①当2
2
m
−
时，②当2
2
m
−
时，分别进行讨论即可．
【详解】（1）解：把点(
)
8, 6
−
代入二次函数得，16 8
2
6
b
−
+
+
= −，解得：
1
b = ，
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∴二次函数的表达式为
2
1
2
4
y
x
x
= −
+ +
．
（2）解：∵点B 与点
(
)
0,
A
t 关于直线x
t
= 对称，
∴点B 的坐标为(
)
2 ,t t ，
把(
)
2 ,t t 代入
2
1
2
4
y
x
x
= −
+ +
得，
2
2
2
t
t
t
= −
+
+
，
解得：
2
t =
或
1
t = −．
（3）解：∵
(
)
2
2
1
1
2
2
3
4
4
y
x
x
x
−
=
+
+
= −
−
+
∴对称轴为直线
2
x =
，顶点坐标为(
)
2,3 ，
当x
m
=
时，
2
1
2
4
y
m
m
= −
+
+
；当
2
x
m
=
−
时，
2
1
3
4
y
m
= −
+ ；
2
m
x
m
−
，
2
m
m
−
，即：
1
m ，
①当2
2
m
−
时，
0
m
，
∴当0
1
m
时，
2
2
2
1
1
1
2
3
5
4
4
2
k
m
m
m
m
m
−
−
=
+
+
+ −
+
=
+
+
，
∴
2
1
11
(
1)
2
2
k
m
= −
−
+
，(
)
0
1
m
，
∴
11
5
2
k
；
②当2
2
m
−
时，
0
m
，
此时，点m 到
2
x =
的距离为2
m
−
，点2
m
−
到
2
x =
的距离为m
−
，
∵2
m
m
−
−
，
∴此时最小值为
2
1
2
4 m
m
−
+
+
，最大值为3，
2
2
1
1
2
3
5
4
4
k
m
m
m
m
−
−
=
+
+ + =
+
+
，
∴
2
1 (
2)
6
4
k
m
= −
−
+ ，(
0)
m
，
∴
5
k ，
综上所述，
11
2
k ≤
．
变式5-2 已知二次函数
2
2
y
x
bx
c
=
−
+
的图象经过点(
)
2,
A
n
−
，
(
)
4,
B
n ．
(1)求b 的值．
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(2)若函数图象与x 轴的两个交点间的距离为4，求该二次函数的表达式．
(3)设函数图象顶点到直线AB 的距离为k，若当
4
3
m
x
m
+
时，二次函数
2
2
y
x
bx
c
=
−
+
的最大值与最
小值之差为k，求m 的值．
【答案】(1)
1
b =
(2)
2
2
3
y
x
x
=
−
−
(3)
2
m = −
【分析】（1）根据二次函数的对称轴公式和二次函数轴对称的特征进行解答即可；
（2）求出抛物线与x 轴的两个交点，根据函数图象与x 轴的两个交点间的距离为4，列方程并解方程即可；
（3）先求出
9
k =
，分情况进行解答即可．
【详解】（1）解：对称轴为直线
2
2 1
b
x
b
−
= −
=
．
点(
)
2,
A
n
−
，
(
)
4,
B
n 关于直线x
b
=
成轴对称，
2
4
1
2
b
−+
=
= ．
（2）解：
1
b =
，
把
0
y =
代入
2
2
y
x
x
c
=
−
+ ，得
2
2
0
x
x
c
−
+
=
，
2
4
4
2
2 1
1
1
2
2
c
c
x
c
−
−
=
=
=
−
，
1
2
2 1
4
x
x
c
−
−
=
=
，
3
c
= −，
函数表达式为
2
2
3
y
x
x
=
−
−．
（3）解：由（1）可得，
1
b = ，
∴函数
(
)
2
2
2
1
1
y
x
x
c
x
c
−
−
=
−
+
=
+
的顶点坐标为(
)
1,
1
c−
，
∵二次函数
2
2
y
x
x
c
=
−
+ 的图象经过点(
)
2,
A
n
−
，
(
)
4,
B
n ．
∴AB 的方程为直线y
n
=
，
则函数图象顶点到直线AB 的距离为
(
)
1
1
k
n
c
n
c
−
−
−
=
=
+ ，
当
2
x = −时，
(
)
(
)
2
2
2
2
8
n
c
c
= −
−−
+
=
+
，
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∴
8
1
9
k
c
c
−
=
+
+
=
二次函数
2
2
y
x
x
c
=
−
+ 的图象对称轴为直线
1,
x =
抛物线开口向上，
∵
4
3
m+
,
∴
1
m −，
①若
4 1
m+
，即
3
m
−
，在
4
m
x
m
+
上，y 随着x 的增大而减小，
∴当x
m
=
时，
2
2
y
m
m
c
=
−
+
最大
；
当
4
x
m
=
+ 时，
(
)
(
)
2
4
2
4
y
m
m
c
=
+
−
+
+
最小
，
(
)
(
)
2
2
2
4
2
4
8
8
9
y
y
m
m
c
m
m
c
m
−
−
−
−
=
−
+
+
−
+
+
=
=
最小
最大
，
解得
17
3
8
m = −
−，不符合题意，舍去；
②当1
4
3
m
+
，即3
1
m
−
−时，
当
1
x = 时，
1
y
c
= −+
最小
，
∵3
1
m
−
−，0
3
2
m
+
，2
1
4
m
−
，
∴1
3
m
m
−
+
，
即1
4 1
m
m
−
+ −，
∴横坐标为m 的点到对称轴
1
x = 的距离大于横坐标为
4
m+
的点到对称轴
1
x = 的距离,
∴
4
m
m
y
y +
,
当x
m
=
时，
2
2
y
m
m
c
=
−
+
最大
，
∴
(
)
2
2
1
9
m
m
c
c
−
−
+
−+
=
，
解得
2
m = −或
4
m =
（舍去），
综上所述，
2
m = −．
变式5-3 已知二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ （a，b，c 为常数）的图象与y 轴交于点(
)
0, 1
−
，且过点(
)
2, 1
−
．
(1)求a 与b 的关系式．
(2)若
0
a
，当1
4
x
−
时，函数y 的最大值与最小值之差为9，求a 的值．
(3)在（2）的条件下，若点
(
)
,
M t m ，点
(
)
1,
N t
n
+
两点在该函数图象上，且9
n
m
−
，求t 的取值范围．
【答案】(1)
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2
b
a
= −
(2)
1
a = −
(3)
1
3
2
t
【分析】（1）待定系数法进行求解即可；
（2）根据（1）中的结果，求出函数的对称轴，根据增减性结合题意，列出方程进行求解即可；
（3）求出解析式，再求出
2
(
1)
9
y
x
−
−
=
= −时的自变量的值，求出点M 关于对称轴的对称点，再根据
9
n
m
−
，得到关于t 的不等式组，即可得出结果.
【详解】（1）解：∵二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 过点(0, 1)
−
和(2, 1)
−
，
∴将(0, 1)
−
代入函数得
1
c
−
=
；
将(2, 1)
−
和
1
c
−
=
代入函数得4
2
1
a
b
c
−
+
+ =
，
整理得4
2
0
a
b
+
=
，即
2
b
a
−
=
；
（2）解：由（1）可知：
2
2
1
y
ax
ax−
=
−
，
∴抛物线的对称轴为直线
2
1
2
a
x
a
−
= −
= ，
∵
0
a
，
∴抛物线的开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵1
4
x
−
，
∴当
1
x = 时，y 取得最大值
1
a
= −−，
当
4
x =
时，
24
2
4 1
8
1
y
a
a
a−
=
−
−=
，值最小，
由题意，
1 8
1
9
a
a
−−−
+ =
，
∴
1
a = −；
（3）解：当
1
a
−
=
时，函数解析式为：
2
2
2
1
(
1)
y
x
x
x
−
−
−
−
=
+
=
，
∴当
2
(
1)
9
y
x
−
−
=
= −时，解得
1
4
x =
，
2
2
x = −，
点
( ,
)
M t m ，
(
1, )
N t
n
+
在函数图象上，对称轴为直线
1
x = ，抛物线开口向下，
∵9
n
m
−
，
∴
1
1 1
t
t
−
+ −
且2
4
t
−
且2
1
4
t
−+
，
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解得1
3
2
t
.
题型6、二次函数临界点问题
典例6 如图，在平面直角坐标系中，A，B 两点的坐标分别为(
)
1,1 ，(
)
4,1 ．若二次函数
(
)
2
2
y
x
b
b
−
−
=
+
的
图象与线段AB 有交点，则该抛物线与y 轴交点的纵坐标n 的取值范围是（ ）．
A．2
6
n
−
B．2
10
n
−
C．
5
9
2
n
−
D．
9
10
4
n
−
【答案】D
【分析】根据题意先求得该抛物线的顶点坐标和n 的表达式，先根据抛物线的图象与线段AB 有交点，结
合A，B 两点的坐标，根据顶点坐标推出
3
b
且点B 一定在抛物线的下方，然后分两种情况讨论：①当点A
在抛物线的上方时一定满足条件，从而得到b 的取值范围，进而确定n 的取值范围；②当点 A在抛物线的
下方时，需满足抛物线的对称轴1
3
b
，进而确定n 的取值范围，即可解答．
【详解】解：∵
(
)
2
2
y
x
b
b
−
−
=
+
，
∴该抛物线开口向上，顶点坐标为(
)
,
2
b b−
；当
0
x =
时，
2
2
y
b
b−
=
+
，
∴抛物线与y 轴的交点纵坐标
2
2
n
b
b
=
+
−
，
∵A，B 两点的坐标分别为(
)
1,1 ，(
)
4,1 ，抛物线的图象与线段AB 有交点，
∴该抛物线的顶点的纵坐标
2 1
b−，即
3
b
，
又∵当
4
x = 时，
(
)
2
2
2
7
7
4
2
7
14
1
2
4
y
b
b
b
b
b
−
−
−
=
+
=
−
+
=
+
，
∴点B 一定在抛物线的下方，
∴①当点A在抛物线的上方时一定满足条件，
即当
1
x = 时，
(
)
2
2
1
2
1 1
y
b
b
b
b
−
−
−
−
=
+
=
，
解得1
2
b
−
，
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∵
2
2
n
b
b
=
+
−
，是关于b 的二次函数，抛物线开口向上，对称轴为
1
2
b
−
=
，
∴在1
2
b
−
范围内，当
1
2
b
−
=
时，n 取得最小值
9
4
−
，当
2
b = 时，n 取得最大值4 ，
∴
9
4
4
n
−
；
②当点 A在抛物线的下方时，需满足抛物线的对称轴1
3
b
，
此时对于
2
2
n
b
b
=
+
−
，当
1
b = 时，n 取得最小值0，当
3
b =
时，n 取得最大值10，
∴0
10
n
，
综上，n 的取值范围是
9
10
4
n
−
．
题型模版
1.特征：二次函数图象与线段、射线或某区域有交点、无交点或恰好一个交点，要求参数的临界取值．
2.方法：借助数形结合，确定边界位置（如端点在抛物线上、相切等），求出临界值后再结合图象变化趋势
判断参数范围，注意端点是否取等．
变式6-1 直线l 过点(
)
0 5
，且与y 轴垂直，若二次函数
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
3
2
y
x
a
x
a
x
a
a
a
=
−
+
−
+
−
−
+
（其中x 是自
变量）的图象与直线l 有两个不同的交点，且其对称轴在y 轴右侧，则a 的取值范围是（ ）
A．
5
a
B．
0
a
C．0
5
a
D．0
5
a
【答案】D
【分析】先确定直线l 的解析式，再化简二次函数，将交点问题转化为一元二次方程根的问题，利用判别式
得到a 的范围，再结合对称轴位置确定最终a 的取值范围.
【详解】解：∵直线l 过点(
)
0,5 且与y 轴垂直，
∴直线l 的解析式为
5
y =
，
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
3
2
y
x
a
x
a
x
a
a
a
=
−
+
−
+
−
−
+
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
6
9
2
x
ax
a
x
ax
a
x
ax
a
a
a
=
−
+
+
−
+
+
−
+
−
+
2
2
3
12
12
x
ax
a
a
=
−
+
+
，
∵二次函数图像与直线l 有两个不同的交点，
∴一元二次方程
2
2
3
12
12
5
x
ax
a
a
−
+
+
=
有两个不相等的实数根，
∴
(
)
(
)
2
2
2
2
12
4 3
12
5
144
144
12
60
12
60
0
a
a
a
a
a
a
a
= −
−
+
−
=
−
−
+
= −
+
，
解得
5
a ，
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∵二次函数对称轴在y 轴右侧，
∴对称轴
12
2
0
6
a
x
a
=
=
，
解得
0
a
，
综上，a 的取值范围是0
5
a
.
变式6-2 已知二次函数
(
)
2
4
1
0
y
ax
ax
a
=
−
−
(1)小顾同学说：当
1
x = 和
3
x =
时，函数值相等．你认为小顾同学的说法正确吗？请说明理由．
(2)点
(
)
,
P m n 为抛物线上一点，小庐同学发现：当1
5
m
时，n 的最大值为6，根据小庐同学的发现，求出
此时a 的值．
(3)当
0
a
，0
x
k
时，4
1
1
a
y
−
−
−，求k 的取值范围．
【答案】(1)小顾同学的说法正确，理由如下：
当
1
x = 时，
4
1
3
1
y
a
a
a
=
−
−= −
−，
当
3
x = 时，
9
12
1
3
1
y
a
a
a
=
−
−= −
−，
所以当
1
x = 和
3
x =
时，函数值相等．
(2)
7
5
a =
或
7
4
a = −
(3)2
4
k
【分析】（1）把
1
x = 和
3
x =
分别代入函数解析式，即可求解；
（2）求出抛物线的顶点坐标为(
)
2, 4
1
a
−
−
，对称轴为直线
2
x =
，然后分两种情况：若
0
a
，若
0
a
，结
合二次函数的性质解答即可；
（3）由（2）得：抛物线的顶点坐标为(
)
2, 4
1
a
−
−
，对称轴为直线
2
x =
，根据题意可得点(
)
0, 1
−
关于对称
轴的对称点为点(
)
4, 1
−
，再由
0
a
，可得当
2
x =
时，函数取得最小值，最小值为4
1
a
−
−，即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：
(
)
2
2
4
1
2
4
1
y
ax
ax
a x
a
=
−
−=
−
−
−，
∴抛物线的顶点坐标为(
)
2, 4
1
a
−
−
，对称轴为直线
2
x =
，
若
0
a
，此时抛物线上的点距离对称轴越远函数值越大，
∵2 1
5
2
−−
，
∴此时当
5
x = 时，函数取得最大值，最大值为
25
20
1
5
1
y
a
a
a
=
−
−=
−，
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∵点
(
)
,
P m n 为抛物线上一点，当1
5
m
时，n 的最大值为6，
∴5
1
6
a−=
，解得：
7
5
a =
；
若
0
a
，此时抛物线上的点距离对称轴越远函数值越小，
∵2 1
5
2
−−
，
∴此时当
2
x =
时，函数取得最大值，最大值为4
1
a
−
−，
∵点
(
)
,
P m n 为抛物线上一点，当1
5
m
时，n 的最大值为6，
∴4
1
6
a
−
−=
，解得：
7
4
a = −
；
综上所述，a 的值为
7
5
a =
或
7
4
a = −
；
（3）解：由（2）得：抛物线的顶点坐标为(
)
2, 4
1
a
−
−
，对称轴为直线
2
x =
，
当
0
x =
时，
1
y
−
=
，即点(
)
0, 1
−
在抛物线上，
∴点(
)
0, 1
−
关于对称轴的对称点为点(
)
4, 1
−
，
∵
0
a
，
∴当
2
x =
时，函数取得最小值，最小值为4
1
a
−
−，
∵当0
x
k
时，4
1
1
a
y
−
−
−，
∴2
4
k
．
变式6-3 （25-26 八年级下·浙江宁波·期末）定义：若一个点的纵坐标与横坐标之差是横坐标的2 倍，则称
这个点为“友好点”，如：
(
)
1,3
A
，
(
)
2, 6
B −
−
，
(
)
0,0
C
等都是“友好点”．已知二次函数
2
y
x
x
c
= −
−
+
（c 为
常数）．
(1)若该函数经过点(
)
1, 6
−
，求该函数表达式，并求出该图象上的“友好点”坐标；
(2)在（1）的条件下，当
2
t
x
t
+
时，函数的最小值为6
−，求t 的值；
(3)在3
1
x
−
的范围内，若二次函数
2
y
x
x
c
= −
−
+
的图象上至少存在一个“友好点”，结合图象，求出c 的
取值范围．
【答案】(1)函数表达式为
2
4
y
x
x
−
−−
=
，“友好点”坐标为(
)
2, 6
−
−
(2)t 的值为2
−或1
−
(3) 4
5
c
−
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【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：抛物线与y 轴交于(
)
0,c ；抛物线与x 轴交点个数由
2
4
b
ac
=
−
决定，也考查了二次函数图象上点的坐标特征．
（1）把(
)
1, 6
−
代入
2
y
x
x
c
= −
−
+
即可求得抛物线解析式，然后根据“友好点”的定义求解即可；
（2）由（1）可知
2
4
y
x
x
−
−−
=
，分当
2
1
1
2
2
t
t
t
+ +
= + −
，当
1
1
2
t + −
时，两种情况下的最小值，令最小
值等于6
−，分别求解即可．
（3）由题意得，“友好点”所在的直线为
3
y
x
=
，将在3
1
x
−
的范围内，二次函数
2
y
x
x
c
= −
−
+
的图象上
至少存在一个“友好点”，转化为在3
1
x
−
的范围内，二次函数
2
y
x
x
c
= −
−
+
和
3
y
x
=
至少有一个交点，即
可求解．
【详解】（1）解：把(
)
1, 6
−
代入
2
y
x
x
c
= −
−
+
，得6
1 1 c
−
−=
−+ ，
解得：
4
c = −，
∴抛物线解析式为
2
4
y
x
x
−
−−
=
；
根据“友好点”的定义可设(
)
,3
t
t ，
把(
)
,3
t
t 代入
2
4
y
x
x
−
−−
=
，得
2
4
3
t
t
t
−
−−
=
，
整理得：
2
4
4
0
t
t
+
+
=
，
解得
2
t = −，
∴“友好点”坐标为(
)
2, 6
−
−
；
（2）解：由(1)可知为
2
4
y
x
x
−
−−
=
，其中
1
0
a = −
，抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线
1
2
x = −
，
当
2
1
1
2
2
t
t
t
+ +
= + −
，即
3
2
t −
时，
∴当x
t
= 时，y 取得最小值6
−，即
2
4
6
t
t
−
−−
= −，
解得
2
t = −或
1
t = ，
∵
3
2
t −
，
∴
2
t = −；
第二种情况：
当
2
1
1
2
2
t
t
t
+ +
= + −
，即
3
2
t −
时，
∴当
2
x
t
= + 时，y 取得最小值6
−，即(
)
(
)
2
2
2
4
6
t
t
−
+
−
+
−
= −，
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解得
1
t = −或
4
t = −，
∵
3
2
t −
，
∴
1
t = −；
综上，t 的值为2
−或1
−．
（3）解：由题意得，“友好点”所在的直线为
3
y
x
=
，
在3
1
x
−
的范围内，二次函数
2
y
x
x
c
= −
−
+
的图象上至少存在一个“友好点”，
即在3
1
x
−
的范围内，二次函数
2
y
x
x
c
= −
−
+
和
3
y
x
=
至少有一个交点，
令
2
3x
x
x
c
= −
−
+ ，整理得，
2
4
0
x
x
c
+
−
=
，
则
2
Δ
4
16
4
0
b
ac
c
=
−
=
+
，
解得
4
c −；
由方程
2
4
0
x
x
c
+
−
=
可变形为
2
4
x
x
c
+
=
，则问题等价于二次函数
2
4
y
x
x
=
+
与直线y
c
=
在3
1
x
−
范围
内至少有一个交点，
∴由
2
4
y
x
x
=
+
可知：开口向上，对称轴为直线
2
x = −，
∴当
2
x = −时，则有
4
8
4
y
−
=
−
=
，当
1
x = 时，则有
1
4
5
y= +
=
，
即在3
1
x
−
上，y的取值范围为4
5
y
−
，即4
5
c
−
，
综上所述：c 的取值范围为：4
5
c
−
．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
25．已知：
(
)
2
1
1 0
4
2
2
m
a
a
a
=
−
−
，
(
)
4 1
4
n
b
b
=
，
2
m
n
+
=
，则下列说法中正确的是 （ ）
A．n 有最大值4，最小值1
B．n 有最大值3，最小值
3
2
−
C．n 有最大值3，最小值1
D．n 有最大值3，最小值5
2
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的最值和根据反比例函数的增减性求最值，解题的关键是用函数思想解决问
题；根据函数的增减性求出最值，再结合不等式的性质求n 的范围，进而可求n 的最值；
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【详解】由题意得，
2
2
1
1
1
=
(
1)
1
2
2
2
m
a
a
a
=
−
−
−
−，
1
0
2
，
当
1
a = 时，m 有最小值1
−，当
4
a =
时，m 有最大值7
2 ，
7
1
2
m
−
，
4
n
b
=
，4
0
，
当1
4
b
≤≤时，n 随着b 的增大而减小，
当
4
b =
时，n 有最小值1，
当
1
a = 时，n 有最大值4，
1
4
n
，
2
m
n
+
=
，
2
m
n
=
−
，
7
1
2
m
−
7
1
2
2
n
−
−
，
解得：
3
3
2
n
−
，
1
4
n
，
1
3
n
，
n 有最大值3，最小值1；
故选：C．
26．已知直线
3
y
x
= −−
与抛物线
2
(
)
4
=
−
−
y
x
m
对称轴左侧部分的图象有且只有一个交点，则m 的取值范围
是（ ）
A．
5
4
m
B．
5
4
m
或
7
4
m =
C．
1
m
D．
1
m 或
5
4
m =
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的平移，二次函数与一次函数的交点问题，解题的
关键在于数形结合的思想的运用．
当直线
3
y
x
= −−
与抛物线
2
(
)
4
=
−
−
y
x
m
相切时符合题意，则有
(
)
2
3
4
x
x
m
−−
=
−
−
，根据
0
=
，求出m 的
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值；当抛物线过0, 3
−
（
），且对称轴在y 轴右侧时符合题意，代入0, 3
−
（
），求出此时的m 的值，以及抛物线继
续向左平移，仍符合题意．
【详解】解：由题意，当直线
3
y
x
= −−
与抛物线
2
(
)
4
=
−
−
y
x
m
相切时符合题意，如图：
∴
(
)
2
3
4
x
x
m
−−
=
−
−
，即
(
)
2
2
2
1
1 0
x
m
x
m
−
−
+
−＝．
∴
2
2
2
1
4
1
0
m
m
−
−
=
−
（
）（
）= ．
∴
5
4
m =
．
令
0
x =
，则
3
y
−
=
，
∴
3
x
−
=
，
记直线
3
y
x
= −−
与y 轴交于点(
)
0, 3
A
−
，
又当抛物线过0, 3
−
（
），且对称轴在y 轴右侧，
∴
2
4
3
0
m
m
= −
−
（
）．
∴
1
m = ，此时刚好在对称轴左侧有一个交点，如图：
又继续向左平移符合题意，符合题意，如图：
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∴
1
m ．
综上，
1
m 或
5
4
m =
．
故选：D．
27．（25-26 九年级上·湖北武汉·期中）关于二次函数
(
)
2
4
5
0
y
ax
ax
a
=
−
−
的四个结论：
①对任意实数m，取
1
2
x
m
=
+
及
2
2
x
m
=
−
，对应的函数值总相等；
②若3
4
x
，对应的y 的整数值有4 个，则
4
1
3
a
−
−
或
4
1
3
a
；
③若抛物线开口向下，且与x 轴交于不同两点A，B，满足
6
AB
，则
5
4
a −
；
④若
(
)
1
1
,
M x y
，
(
)
2
2
,
N x
y
是抛物线上两点，若
1
2
x
x
，
1
2
4
x
x
+
，则
1
2
y
y
．
其中正确的结论有__________．（填序号）
【答案】①②③
【分析】将抛物线解析式化为顶点式得出该抛物线的对称轴为直线
2
x =
，计算得出
1
2
2
2
x
x
+
=
，即
1x 与
2x 关
于对称轴直线
2
x =
对称，即可判断①；抛物线的顶点为(
)
2, 4
5
a
−
−
，求出当
3
x =
时，
3
5
y
a
−
−
=
，当
4
x =
时，
5
y = −，再分两种情况：当
0
a
时，二次函数图象开口向上，在3
4
x
上，y 随着x 的增大而增大；
当
0
a
时，二次函数图象开口向下，在3
4
x
上，y 随着x 的增大而减小，分别计算即可判断②；设(
)
1,0
A x
，
(
)
2,0
B x
，则
1
2
6
x
x
−
，
0
a
，
(
)
(
)
2
Δ
4
4
5
0
a
a
= −
−
−
，求得
5
4
a −
，再由一元二次方程根与系数的关
系得出
1
2
4
x
x
+
=
，
1
2
5
x x
a
= −
，结合题意得出
20
16
36
a
+
，计算即可判断③，由抛物线的对称轴并结合题
意可得点N 到对称轴的距离大于点M 到对称轴的距离，再分两种情况，分别计算即可得解．
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【详解】解：∵
(
)
(
)
2
2
2
4
5
4
5
2
4
5
y
ax
ax
a x
x
a x
a
=
−
−
=
−
−
=
−
−
−
，
∴该抛物线的对称轴为直线
2
x =
，
∵
1
2
x
m
=
+
，
2
2
x
m
−
=
，
∴
1
2
4
x
x
+
=
，
∴
1
2
2
2
x
x
+
=
，即
1x 与
2x 关于对称轴直线
2
x =
对称，
∴对任意实数m，取
1
2
x
m
=
+
及
2
2
x
m
−
=
，对应的函数值总相等，故①正确；
∵
(
)
2
2
4
5
y
a x
a
=
−
−
−，
∴抛物线的顶点为(
)
2, 4
5
a
−
−
，
当
3
x = 时，
3
5
y
a
−
−
=
，当
4
x = 时，
5
y = −；
当
0
a
时，二次函数图象开口向上，在3
4
x
上，y 随着x 的增大而增大，故3
5
5
a
y
−
−
−
，
∵对应的y 的整数值有4 个，即5
−，6
−，7
−，8
−，
∴9
3
5
8
a
−−
−−，
解得
4
1
3
a
；
当
0
a
时，二次函数图象开口向下，在3
4
x
上，y 随着x 的增大而减小，故5
3
5
y
a
−
−
−
，
∵对应的y 的整数值有4 个，即5
−，4
−，3
−，2
−，
∴2
3
5
1
a
−−
−−，
解得：
4
1
3
a
−
−
；
综上所述， 若3
4
x
，对应的y 的整数值有4 个，则
4
1
3
a
−
−
或
4
1
3
a
，故②正确；
∵抛物线开口向下，且与x 轴交于不同两点A，B，且
6
AB
，
∴设(
)
1,0
A x
，(
)
2,0
B x
，则
1
2
6
x
x
−
，
0
a
，
(
)
(
)
2
Δ
4
4
5
0
a
a
= −
−
−
，
解得：
5
4
a −
，
在
2
4
5
y
ax
ax
=
−
−中，令
0
y =
，则
2
4
5
0
ax
ax
-
-
=
，
∴
1
2
4
x
x
+
=
，
1
2
5
x x
a
= −
，
∴(
)
(
)
2
2
1
2
1
2
1 2
20
4
16
x
x
x
x
x x
a
−
=
+
−
=
+
，
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∵
1
2
6
x
x
−
，
∴(
)
2
1
2
36
x
x
−
，
∴
20
16
36
a
+
，
解得：
1
a 或
0
a
，
综上所述，若抛物线开口向下，且与x 轴交于不同两点A，B，满足
6
AB
，则
5
4
a −
，故③正确；
∵抛物线的对称轴为直线
2
x =
，
1
2
4
x
x
+
，
∴
1
2
2
2
x
x
+
，
∵
1
2
x
x
，
∴点N 到对称轴的距离大于点M 到对称轴的距离，
当
0
a
时，二次函数图象开口向上，在对称轴右侧y 随着x 的增大而增大，结合
1
2
x
x
得出
1
2
y
y
；
当
0
a
时，二次函数图象开口向下，在对称轴右侧y 随着x 的增大而减小，结合
1
2
x
x
得出
1
2
y
y
，故④
错误；
综上所述，正确的有①②③；
故答案为：①②③
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，把二次函数的解析式化为顶点式，采用分类讨论的思想，熟
练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
28．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知二次函数
(
)
2
3
0
y
ax
bx
a
=
+
−
的对称轴为直线x
t
= ．
(1)若抛物线
(
)
2
3
0
y
ax
bx
a
=
+
−
经过点
(
)
4, 3
A −
−
．
①求t 的值．
②若抛物线与y 轴交于点B ，将抛物线沿直线AB 翻折，得到的新抛物线的顶点到x 轴的距离为1，求a 的
值．
(2)对于抛物线上的任意两点(
)
1
1
,
x
y
，(
)
2
2
,
x
y
，对于
1
2
3
x
，
2
3
4
x
都有
1
2
y
y
，求t 的取值范围．
【答案】(1)①
2
t
−
=
；②
1
2
a =
或
1
a =
(2)
2.5
t
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，点到坐标轴的距离，熟知二次根式的相关知识是解题的关键．
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（1）①可证明抛物线经过点(
)
0, 3
−
，则由对称性可求出对称轴；②根据①所求可得直线AB 解析式为
3
y
−
=
；
根据对称轴计算公式得到
4
b
a
=
，进而得到原抛物线顶点坐标为(
)
2, 4
3
a
−
−
−
，则新抛物线的顶点坐标为
(
)
2,4
3
a
−
−
，根据题意可得4
3
1
a −
= ，解之即可得到答案；
（2）当
2
t
时，一定有
1
2
y
y
；而当2
2.5
t
时，点(
)
1
1
,
x y
到对称轴的距离一定小于(
)
2
2
,
x
y
到对称轴的
距离，即此时一定有
1
2
y
y
这种情况，当2.5
4
x
，一定存在点(
)
1
1
,
x y
到对称轴的距离大于(
)
2
2
,
x
y
到对称
轴的距离，即此时一定存在
1
2
y
y
这种情况，当
4
t
时，一定有
1
2
y
y
，据此可得答案．
【详解】（1）解：①在
(
)
2
3
0
y
ax
bx
a
=
+
−
中，当
0
x =
时，
3
y
−
=
，
∴抛物线经过点(
)
0, 3
−
，
又∵抛物线经过点(
)
4, 3
A −
−
，
∴抛物线对称轴为直线
4
0
2
2
x
−+
=
= −，
∴
2
t
−
=
；
②由①得(
)
0, 3
B
−
，
∵
(
)
4, 3
A −
−
，
∴直线AB 解析式为
3
y
−
=
；
∵原抛物线对称轴为直线
2
x = −，
∴
2
2
b
a
−
−
=
，
∴
4
b
a
=
，
在
(
)
2
3
0
y
ax
bx
a
=
+
−
中，当
2
x = −时，
4
2
3
4
3
y
a
b
a
=
−
−
= −
−，
∴原抛物线顶点坐标为(
)
2, 4
3
a
−
−
−
，
∴新抛物线的顶点坐标为(
)
2,4
3
a
−
−
，
∵新抛物线的顶点到x 轴的距离为1，
∴4
3
1
a −
= ，
解得
1
2
a =
或
1
a = ；
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（2）解：∵抛物线解析式为
(
)
2
3
0
y
ax
bx
a
=
+
−
，
∴抛物线开口向上，
∴在对称轴右侧，y 随x 增大而增大，
∵
1
2
3
x
，
2
3
4
x
，
∴
1
2
x
x
，
∴当
2
t
时，一定有
1
2
y
y
；
当
4
t
时，一定有
1
2
y
y
，
当2
2.5
t
时，点(
)
1
1
,
x y
到对称轴的距离一定小于(
)
2
2
,
x
y
到对称轴的距离，即此时一定有
1
2
y
y
这种情况，
当2.5
4
x
，一定存在点(
)
1
1
,
x y
到对称轴的距离大于(
)
2
2
,
x
y
到对称轴的距离，即此时一定存在
1
2
y
y
这种
情况，
又∵对于抛物线上的任意两点(
)
1
1
,
x y
，(
)
2
2
,
x
y
，对于
1
2
3
x
，
2
3
4
x
都有
1
2
y
y
，
∴2
2.5
t
，
综上所述，
2.5
t
．
29．（25-26 九年级上·浙江金华·期中）已知二次函数
2
2
3
y
ax
x
=
−
+ ．
(1)若它的图像过点(
)
1,2 ，求此二次函数解析式．
(2)当
2
x
时，y 随x 的增大而增大，求a 的范围．
(3)如果
(
)
1,
A m
p
−
，
1 ,
2
B
q
，
(
)
3,
C m
p
+
都在这个二次函数上，且
3
p
q
，求a 的范围．
【答案】(1)
2
2
3
y
x
x
=
−
+
(2)
1
2
a
(3)
2
0
5
a
或
2
3
a −
【分析】本题考查二次函数图形的性质，运用待定系数法，二次函数的单调性，及二次函数的对称性推导
参数的取值范围．
（1）已知二次函数
2
2
3
y
ax
x
=
−
+ 的图像过点(
)
1,2 ，将点的坐标代入函数解析式即可求出a 的值，进而得
到二次函数解析式；
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（2 ）根据二次函数的对称轴公式
2
b
x
a
= −
，结合函数在
2
x
时的单调性，y 随x 的增大而增大，确定a 的
取值范围；
（3）依据二次函数的对称性(纵坐标相同的点关于对称轴对称)，先求出对称轴，再结合点的坐标关系以及
3
p
q
的条件，确定a 的取值范围．
【详解】（1）解：将
1
x = ，
2
y =
代入
2
2
3
y
ax
x
=
−
+ 中，可得：
2
2
1
2 1
3
a
=
−+ ，
解得
2 1 1
a =
−= ，
∴二次函数解析式为
2
2
3
y
x
x
=
−
+ ；
（2）解：∵二次函数
2
2
3
y
ax
x
=
−
+ 的对称轴为
2
1
2
2
b
x
a
a
a
−
= −
= −
=
，
∵当
2
x
时，y 随x 的增大而增大，
∴抛物线开口向上，即
0
a
，且对称轴1
2
a
，
∴
1
2
a
；
（3）解：∵二次函数
2
2
3
y
ax
x
=
−
+ 的对称轴为
2
1
2
2
b
x
a
a
a
−
= −
= −
=
，
∵
(
)
1,
A m
p
−
，
1 ,
2
B
q
，
(
)
3,
C m
p
+
都在这个二次函数上，且A和C 的纵坐标相同，
∴A和C 关于对称轴对称，
∴(
) (
)
1
3
1
2
m
m
a
−
+
+
=
，即1
1
m
a =
+ ，
因此A C
、距离对称轴均为2 个单位，
∵
3
p
q
，且
1 ,
2
B
q
，
∴点B 的横坐标与对称轴的距离为1
1
2
a
−
，
∴当
1
2
x =
时，
3
y
，
∴
2
1
1
2
3
3
2
2
a
−
+
，
解得
4
a
，
当
0
a
时，开口向上，函数值随离对称轴距离增大而增大，
p
q
等价于A点比B 点离对称轴更近，即A点到对称轴的距离小于B 点到对称轴的距离，
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即
1
1
2
2
a
−
，
解得
2
0
5
a
；
当
0
a
时，开口向下，函数值随离对称轴距离增大而减小，
p
q
等价于A点比B 点离对称轴更远，即A点到对称轴的距离大于B 点到对称轴的距离，
即
1
1
2
2
a
−
，
解得
2
3
a −
，
综上，a 的范围为
2
3
a −
或
2
0
5
a
．
30．我们约定：一元二次方程
(
)
2
0
0
ax
bx
c
a
+
+
=
与一元二次方程
(
)
2
0
0
cx
bx
a
c
+
+
=
互为“轮转对称方
程”．二次函数
(
)
2
1
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
与二次函数
(
)
2
2
0
y
cx
bx
a c
=
+
+
互为“轮转对称函数”．
(1)直接写出
2
3
2
1
0
x
x
-
-
=
的“轮转对称方程”，并解出这个“轮转对称方程”；
(2)对于任意非零实数m，n，点(
)
,
P m t 与点
(
)(
)
,
Q n t
m
n
始终在关于x 的函数
2
1y
x
mx n
=
+
+ 的图象上运动，
函数
2y 与
1y 互为“轮转对称函数”．
①求函数
2y 的图象的对称轴；
②函数
2y 的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；
(3)若关于x 的二次函数
2
1y
ax
bx
c
=
+
+
的图象经过平面直角坐标系中三个象限，
0
a
c
+
且c
a
≥，其“轮转
对称函数”的图象与x 轴交于A、B 两点，顶点为点D，与y 轴交于点C，点M 是AB 的中点，点O 是坐标原
点．已知
1
1
2
2
MD
OA
OB
OC
−
=
，试求：
2
2
2
2
b
a
c
−
的最大值．
【答案】(1)
2
2
3
0
x
x
−
−
+
=
；
1
1
x = ，
2
3
x = −
(2)①对称轴为
1
4
=
x
；②过定点(
)
0,1 ，1
2 ,1
(3)6
【分析】（1）根据题意写出方程，然后用因式分解法解方程即可；
（2）①根据点P、Q 的坐标先求得
1y 的对称轴，得到m、n 的关系，然后写出
2y 表达式，进而根据对称轴
公式，即可解答；②根据①中求得的m、n 的关系，把
2y 的表达式化为
(
)
2
2
2
1
y
x
x m
= −
−
+ ，令
2
2
0
x
x
−
=
，
据此解答即可；
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（3）根据题意先求得
0
c
a
，设“轮转对称函数”
2
2y
cx
bx
a
=
+
+
的图象与x 轴交于(
)
1,0
A x
，(
)
2,0
B x
，根
据已知推出
2
AB
MD
OA OB
OC
=
，从而得到
1
2
1
2
2
D
x
x
y
x
x
a
−
=
，进而根据根与系数的关系和二次函数的顶点坐标公
式得到
2
2
4
4
2
4
b
ac
ac
b
c
c
a
a
c
−
−
=
，然后化简，根据二次函数的最值问题解答即可．
【详解】（1）解：由题可知，
2
3
2
1
0
x
x
-
-
=
的“轮转对称方程”是
2
2
3
0
x
x
−
−
+
=
，
即(
)(
)
1
3
0
x
x
−+
+
=
，
解得
1
1
x = ，
2
3
x = −；
（2）解：①点
(
)
,
P m t 与点
(
)(
)
,
Q n t
m
n
始终在关于x 的函数
2
1y
x
mx n
=
+
+ 的图象上运动，
对称轴为
2
2
m
n
m
x
+
=
= −
，
2
n
m
= −
，
∵函数
2y 与
1y 互为“轮转对称函数”，
2
2
1
y
nx
mx
=
+
+ ，
函数
2y 的图象的对称轴为
1
2
4
4
m
m
x
n
m
= −
=
=
；
②
(
)
2
2
2
2
1
2
1
y
mx
mx
x
x m
= −
+
+ = −
−
+ ，
令
2
2
0
x
x
−
=
，
解得
1
0
x =
，
2
1
2
x =
，
函数
2y 的图象过定点(
)
0,1 ，1 ,1
2
．
（3）解：关于x 的二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的图象经过平面直角坐标系中三个象限，
0
且
1
2
0
x x
，
0
c
a
，
ac同号，
又
0
a
c
+
且c
a
≥，
0
c
a
，
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设“轮转对称函数”
2
2y
cx
bx
a
=
+
+
的图象与x 轴交于(
)
1,0
A x
，
(
)
2,0
B x
，
1
1
2
2
MD
OA
OB
OC
−
=
，
1
1
2MD
OA
OB
OC
−
=
，
2
OB
OA
MD
OA OB
OC
−
=
，
2
AB
MD
OA OB
OC
=
，
1
2
1
2
2
D
x
x
y
x x
a
−
=
，
(
)
2
1
2
1
2
1
2
4
x
x
x
x
x x
−
=
+
−
，
1
2
b
x
x
c
+
= −
，
1
2
a
x x
c
=
，
2
2
4
4
2
4
b
ac
ac
b
c
c
a
a
c
−
−
=
，
2
2
4
4
2
b
ac
b
ac
c
−
−
=
，
2
2
4
c
b
ac
=
−
，
2
2
4
4
c
b
ac
=
−
，
2
2
4
4
b
c
ac
=
+
，
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
2
4
4
2
b
a
c
ac
a
a
a
c
c
c
c
−
+
−
=
=
+
−
，
令
a
t
c
=
，
(
)
2
2
2
2
2
2
2
4
4
2
2
4
4
2
1
6
b
a
t
t
t
t
t
c
−
=
+
−
= −
+
+
= −
−
+
，
0
c
a
，
0
1
a
t
c
=
，
当
1
t = 时，(
)
2
4
4
2
6
max
t
t
+
−
=
，
即
2
2
2
2
b
a
c
−
的最大值为6．
31．已知抛物线
2
2
y
x
bx
c
= −
+
+ （b ，c 为常数）经过点
(
)
1, 1
A −
−
．
(1)若抛物线经过点
(
)
2,5
B
，
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①求抛物线的函数表达式．
②若抛物线上的点
(
)
,
M t m 在直线AB 上方，且
1
2
t
时，求m 的取值范围．
(2)若关于x 的一元二次方程
2
2
3
x
bx
c
−
+
+
=
有解，且解都为非负实数，求b 的最大值和最小值．
【答案】(1)
①
2
2
4
5
y
x
x
= −
+
+ ；
②5
7
m
(2)
b 的最大值为2 ，最小值为4 2
4
−
【分析】（1）①根据抛物线过已知点A和B ，所以将两点坐标代入抛物线解析式，得到关于,b c 的二元一次
方程组，解方程组即可求出,b c ，得到函数表达式；
②：先求直线AB 的解析式，根据点M 在直线AB 上方，列不等式结合已知条件得到t 的取值范围，再结合
抛物线的开口方向与对称轴，分析该区间内函数的最值，得到m 的范围；
（2）首先将点A坐标代入原抛物线解析式，得到c 关于b 的表达式，代入方程−2x² + bx + c = 3，整理为
标准一元二次方程形式，根据方程的解都为非负实数，所以先保证判别式
0
，再结合韦达定理，要求两根
之和
0
、两根之积
0
，联立不等式组求解b 的范围，进而得到最值.
【详解】（1）解：①∵抛物线
2
2
y
x
bx
c
= −
+
+ （b ，c 为常数）经过点
(
)
1, 1
A −
−
，
(
)
2,5
B
，
∴
(
)
2
2
1
2
1
5
2 2
2
b
c
b
c
−= −−
−+
= −
+
+
，
解得：
4
5
b
c
=
=
，
∴
2
2
4
5
y
x
x
= −
+
+ ；
②设直线AB 的解析式为：y
kx
b
=
+ ，
由题意得：
1
2
5
k
b
k
b
−+
= −
+
=
解得：
2
1
k
b
=
=
，
∴
2
1
y
x
=
+ ，
∵点M 在抛物线上，
∴当x
t
= 时，
2
2
4
5
y
m
t
t
=
= −
+
+ ，
∵抛物线上的点
(
)
,
M t m 在直线AB 上方，
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∴
2
2
4
5
2
1
t
t
t
−
+
+
+ ，
解得：1
2
t
−
∵
1
2
t
∴1
2
2
t
∵
(
)
2
2
2
4
5
2
1
7
m
t
t
t
= −
+
+
= −
−
+
，
∴当
1
t = 时，m 为7 ，
当
2
t =
时，m 为5，
∴5
7
m
；
（2）解：∵抛物线
2
2
y
x
bx
c
= −
+
+ （b ，c 为常数）经过点
(
)
1, 1
A −
−
，
∴
(
)
2
1
2
1
b
c
−= −−
−+
即：
1
c
b
=
+ ，
∵关于x 的一元二次方程
2
2
3
x
bx
c
−
+
+
=
有解，
∴
(
)
2
2
2
0
x
bx
b
−
−
−
=
有解，
∴
(
)
2
Δ
4 2
2
0
b
b
=
−−
−
，
即：
2
8
16
0
b
b
+
−
，
解得：
4
4 2
b −+
或
4 4 2
b −−
，
∵方程的解都为非负实数，设两根为
1
2
,
x x ，
∴
1
2
1
2
0
2
2
0
2
b
x
x
b
x x
+
=
−
=
，
解得：0
2
b
，
∴4
4 2
2
b
−+
，
∴b 的最大值为2 ，最小值为4
4 2
−+
.
32．已知二次函数
(
)
2
1
2
y
mx
m
x
m
=
+
−
+
−
(
)
0
m
，下列结论：
①当
2
m =
时，二次函数图象经过原点；
②当
0
m
时，二次函数有最小值；
③当
1
m 时，二次函数的对称轴在y 轴右侧；
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④当
0
m
，
1
2
x
−
时，y 随x 的增大而减小，则正确结论有______（填序号即可）．
【答案】①②④
【分析】①把
2
m =
代入即可判断；②根据开口方向即可判断；③写出对称轴方程后即可判断；④根据对
称轴，开口方向，增减性即可判断．
【详解】解：当
2
m =
时，此二次函数表达式为
2
2
y
x
x
=
+
，令
0
x =
，则
0
y =
，
∴函数图象过原点，故①正确；，
当
0
m
时，开口向上，二次函数有最小值，故②正确；
∵此抛物线的对称轴为直线
1
1
2
2
2
b
m
m
x
a
m
m
−
−
= −
= −
=
，
∴当0
1
m
时，
1
0
2
m
x
m
−
=
，二次函数的对称轴在y 轴右侧，
当
0
m
时，
1
0
2
m
x
m
−
=
，二次函数的对称轴在y 轴左侧，故③错误；
当
0
m
，此时
1
1
1
1
2
2
2
2
m
x
m
m
−
=
=
−
−
，二次函数的对称轴在y 轴左侧，开口向下，
∴当
1
2
x
−
时，y 随x 的增大而减小，故④正确；
综上，①②④正确，
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是牢记二次函数的对称轴、增减性规律，这是进一步研
究二次函数的性质的基础．
33．（25-26 九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，已知二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的图象与x 轴交于
(
)
2,0
A −
，
(
)
6,0
B
两点，与y 轴的交点为
(
)
0,3
C
．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若抛物线上有一点
(
)
4,
E
m ，将线段AE 沿着y 轴向上平移，使平移后的线段A E
与该抛物线恒有公共点，
设点A的纵坐标为n ，求n 的取值范围；
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(3)当
4
q
x
q
+
时，二次函数的最大值是4 ，最小值是t ，求t 的取值范围．
【答案】(1)
2
1
3
4
y
x
x
−
=
+
+
(2)
9
0
4
n
(3)0
3
t
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数解析式的确定，平移的性质，二次函数与一元二次
方程的联系等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
（1）设二次函数的表达式为：
(
)(
)
2
6
y
a x
x
=
+
−
，把
(
)
0,3
C
代入求解即可；
（2）先利用待定系数法求出直线AE 的解析式，从而可得直线A E
的解析式，再与二次函数的解析式联立，
利用一元二次方程根的判别式求解即可；
（3）根据二次函数的性质分情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：设二次函数的表达式为：
(
)(
)
2
6
y
a x
x
=
+
−
，
把
(
)
0,3
C
代入得，
(
)
2
6
3
a−
=
，解得
1
4
a = −
，
二次函数的表达式为：
(
)(
)
2
1
1
2
6
3
4
4
y
x
x
x
x
= −
+
−
= −
+
+ ；
（2）解：把
(
)
4,
E
m 代入
2
1
3
4
y
x
x
−
=
+
+ 得：
2
1
4
4
3
3
4
m = −
+ + =
，
(
)
4,3
E
，
设直线AE 的解析式为y
kx
t
=
+ ，
将点(
)
2,0
A −
、
(
)
4,3
E
代入得：
2
0
4
3
k
t
k
t
−
+ =
+ =
，解得
1
2
1
k
t
=
=
，
直线AE 的解析式为
1
1
2
y
x
=
+ ，
点A的纵坐标为n ，且将线段AE 沿着y 轴向上平移n 个单位后得到线段A E
，
使平移后的直线解析式为
1
1
2
y
x
n
=
+ +
，
0
n
，
令
2
1
1
1
3
2
4
x
n
x
x
+ +
= −
+ +
，整理得
2
2
8
4
0
x
x
n
−
−+
=
，
平移后的线段A E
与该抛物线恒有公共点，
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(
)
(
)
2
Δ
2
4
8
4
0
n
= −
−−+
，解得
9
4
n
，
n
的取值范围是
9
0
4
n
；
（3）解：
(
)
2
2
1
1
3
2
4
4
4
y
x
x
x
= −
+
+
= −
−
+
，
顶点坐标为(
)
2,4 ，抛物线开口向下，对称轴为直线
2
x =
，
当
4
q
x
q
+
时，
max
4
y
=
，
2
x
=
在
4
q
x
q
+
范围内．
①当
2
q =
时，
4
6
q +
=
，当
6
x =
时，
0
y =
．
②当
4
2
q +
=
时，
2
q = −，当
2
x = −时，
0
y =
．
③当
4
2
2
q
q
+
+
=
时，
0
q =
，当
0
x =
或
4
x = 时，
3
y =
．
0
3
t
．
34．已知二次函数
2
2
4
y
ax
ax
a
=
−
+
−（
0
a
），其函数图象顶点为P．
(1)记与y 轴交点为A，求直线PA的函数表达式（含a 的代数式表示）．
(2)若将点P 向上平移4 个单位，向右平移2 个单位，还是在该函数图象上．
①求a 的值．
②当
2
m
x
m
−
时，该函数的最大值与最小值的差为2m ，求m 的值．
【答案】(1)
4
y
ax
a
−
−
=
+
；
(2)①
1
a = ；②m 的值为4
7
−
和4
【分析】（1）先求出抛物线与y 轴的交点A，然后求出顶点P ，再由待定系数法求解函数解析式即可；
（2）①先求出顶点平移后的对应坐标，再代入函数解析式求解即可；
②分三种情况讨论，根据二次函数的图象与性质分析即可．
【详解】（1）解:对于
2
2
4
y
ax
ax
a
=
−
+
−，令
0
x =
，则
4
y
a
=
−
∴点
(
)
0,
4
A
a−
，
∵
(
)
2
2
2
4
1
4
y
ax
ax
a
a x
=
−
+
−
=
−
−
，
∴顶点
(
)
1, 4
P
−
设直线PA的函数表达式
4
y
kx
a−
=
+
，
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∴4
4
k
a
−=
+
−，
∴k
a
−
=
，
∴直线PA的函数表达式为
4
y
ax
a
−
−
=
+
；
（2）解：①∵
(
)
1, 4
P
−
，
∴将点P 向上平移4 个单位，向右平移2 个单位后，对应点的坐标为(
)
3,0 ，
∵平移后的(
)
3,0 还是在该函数图象上，
∴
2
(3 1)
4
0
a
−
−
=
，
解得
1
a = ；
②∵
1
a = ，
∴
2
(
1)
4
y
x
=
−
−
，
当
1
m 时，
2
2
(
2 1)
(
1)
2
y
y
m
m
m
−
=
−
−
−
−
=
最小
最大
，解得
4
3
m =
（舍）；
当1
2
m
时，
2
(
2 1)
4
( 4)
2
y
y
m
m
−
=
−
−
−
−−
=
最小
最大
，
解得
1
4
7
m =
+
（舍），
2
4
7
m =
−
；
当2
3
m
时，
2
(
1)
4
( 4)
2
y
y
m
m
−
−
=
−
−−
=
最小
最大
，
解得
1
2
3
m =
+
（舍），
2
2
3
m =
−
（舍）；
当
3
m
时，
2
2
(
1)
(
3)
2
y
y
m
m
m
−
−
−
=
−
=
最小
最大
，解得
4
m =
；
∴m 的值为4
7
−
和4．
35．如图，二次函数
2
1
2
y
x
x
=
−
，
2
2
2
y
ax
x
=
−
（a 为常数，且
0
a
）的图象在同一平面直角坐标系中，且
2
2
2
y
ax
x
=
−
的图象过点(
)
4,0 ．
(1)求a 的值．
(2)与x 轴平行的直线l 与
1y 的图象交于A，B 两点，记点A，B 的横坐标分别是
A
x ，
B
x ，且
3
A
B
x
x
−
=
，当
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B
A
x
x
x
时，求
2y 的函数值的取值范围．
(3)已知点(
)
,
m n ，(
)
,
m
k n
+
（其中
1
m ，
0
k ）分别在
1y ，
2y 图象上，求k 的最小值．
【答案】(1)
1
2
a =
(2)
2
9
2
8
y
−
(3) k 的最小值为2
【分析】（1）把(
)
4,0 代入
2
2
2
y
ax
x
=
−
，解方程求出a 的值即可；
（2）先求出
1y 的对称轴为直线
1
x = ，根据二次函数的对称性得出
2
A
B
x
x
+
=
，根据
3
A
B
x
x
−
=
求出
5
2
1
2
A
B
x
x
=
= −
，
求出
2y 顶点坐标为(2, 2)
−
，把
A
x ，
B
x 分别代入
2
2
1
2
2
y
x
x
=
−
，求出
2y 的值，即可得出
2y 的函数值的取值范
围；
（3）把(
)
,
m n ，(
)
,
m
k n
+
分别代入
1y ，
2y ，可得
2
2
1
2
(
)
2(
)
2
m
m
m
k
m
k
−
=
+
−
+
，整理后，根据判别式得出
2
2
1
1
(
)
4
(
2 )
0
2
2
k
k
k
−
−
−
+
，解不等式，结合
0
k ，求出k 的取值范围即可．
【详解】（1）解：∵
2
2
2
y
ax
x
=
−
的图象过点(
)
4,0 ，
∴16
8
0
a −=
，
解得：
1
2
a =
．
（2）解：∵
2
2
1
2
(
1)
1
y
x
x
x
=
−
=
−
−，
∴
1y 的对称轴为直线
1
x = ，
∵与x 轴平行的直线l 与
1y 的图象交于A，B 两点，
∴
2
1
A
B
x
x
+
= ，即
2
A
B
x
x
+
=
，
∵
3
A
B
x
x
−
=
∴
2
3
A
B
A
B
x
x
x
x
+
=
−
=
，
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∴
5
2
1
2
A
B
x
x
=
= −
，
由（1）可知，
1
2
a =
，
∴
2
2
2
1
1
2
(
2)
2
2
2
y
x
x
x
=
−
=
−
−
，
∴
2y 的顶点坐标为(2, 2)
−
，
把
5
2
A
x =
代入
2
2
1
2
2
y
x
x
=
−
得，
2
15
8
y = −
，
把
1
2
Bx = −
代入
2
2
1
2
2
y
x
x
=
−
得，
2
9
8
y =
，
∵
1
5
2
2
2
−
，
∴当
B
A
x
x
x
时，
2y 的函数值的取值范围为
2
9
2
8
y
−
．
（3）解：∵点(
)
,
m n ，(
)
,
m
k n
+
分别在
1y ，
2y 图象上，
∴
2
2
n
m
m
=
−
，
2
1 (
)
2(
)
2
n
m
k
m
k
=
+
−
+
，
∴
2
2
1
2
(
)
2(
)
2
m
m
m
k
m
k
−
=
+
−
+
，
整理得，
2
2
1
1
2
0
2
2
m
km
k
k
−
−
+
=
，
∵关于m 的一元二次方程需有实数根，
∴
2
2
1
1
(
)
4
(
2 )
0
2
2
k
k
k
−
−
−
+
，
整理得(
2)
0
k k −
，
∵
0
k ，
∴
2
0
k −
，
解得：
2
k
，
∴k 的最小值为2 ．
36．已知抛物线
(
)
2
0
y
x
bx
c b
=
+
+
与x 轴交点的坐标分别为(
)
1,0
x
，(
)
2,0
x
，且
1
2
x
x
．
(1)若抛物线
(
)
2
1
1
0
y
x
bx
c
b
=
+
+
+
与x 轴交点的坐标分别为(
)
3,0
x
，(
)
4,0
x
，且
3
4
x
x
．试判断下列每组
数据的大小（填写、= 或）：
①
1
2
x
x
+
________
3
4
x
x
+
；②
1
3
x
x
−
________
2
4
x
x
−
；③
2
3
x
x
+
________
1
4
x
x
+
．
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(2)若
1
1
x = ，
2
2
3
x
，求b 的取值范围；
(3)当0
1
x
时，
(
)
2
0
y
x
bx
c b
=
+
+
最大值与最小值的差为9
16 ，求b 的值．
【答案】(1)= ；；；
(2) 4
3
b
−
−
(3)b 的值为
3
2
−
或
1
2
−
．
【分析】本题考查根与系数的关系，二次函数图像与性质，不等式性质，二次函数最值情况，解题的关键
在于熟练掌握二次函数图像与性质．
（1）根据根与系数的关系得到
1
2
x
x
b
+
= −，以及
3
4
x
x
b
+
= −，即可判断①，利用二次函数的图像与性质得
到
1
3
4
2
x
x
x
x
，进而得到
2
1
4
3
x
x
x
x
−
−
，利用不等式性质变形，即可判断②③．
（2）根据题意得到
2
1
3
4
x
x
+
，结合
1
2
x
x
b
+
= −进行求解，即可解题；
（3）根据题意得到抛物线
(
)
2
0
y
x
bx
c b
=
+
+
顶点坐标为
2
4
,
2
4
b
c
b
−
−
，对称轴为
0
2
b
x = −
；当
0
x =
时，
y
c
= ，当
1
x = 时，
1
y
b
c
= +
+
，由
(
)
2
0
y
x
bx
c b
=
+
+
最大值与最小值的差为9
16 ，分以下三种情况：①当
在
0
x =
取得最大值，在
1
x = 取得最小值时，②当在
0
x =
取得最大值，在顶点取得最小值时，③当在
1
x =
取得最大值，在顶点取得最小值时，建立等式求解，即可解题．
【详解】（1）解：
(
)
2
0
y
x
bx
c b
=
+
+
与x 轴交点的坐标分别为(
)
1,0
x
，(
)
2,0
x
，且
1
2
x
x
，
1
2
x
x
b
+
= −，且抛物线开口向上，
(
)
2
1
1
0
y
x
bx
c
b
=
+
+
+
与x 轴交点的坐标分别为(
)
3,0
x
，(
)
4,0
x
，且
3
4
x
x
．
即
(
)
2
0
y
x
bx
c b
=
+
+
向上平移1 个单位，
1
3
4
2
x
x
x
x
，且
3
4
x
x
b
+
= −，
①
1
2
x
x
+
=
3
4
x
x
+
；
2
1
4
3
x
x
x
x
−
−
，
2
1
3
4
x
x
x
x
−
−
，即②
1
3
x
x
−
2
4
x
x
−
；
2
3
1
4
x
x
x
x
+
+
，即③
2
3
x
x
+
1
4
x
x
+
．
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故答案为；= ；；；
（2）解：
1
1
x = ，
2
2
3
x
，
2
1
3
4
x
x
+
，
3
4
b
−
，
4
3
b
−
−；
（3）解：抛物线
(
)
2
0
y
x
bx
c b
=
+
+
顶点坐标为
2
4
,
2
4
b
c
b
−
−
，
对称轴为
0
2
b
x = −
；
当
0
x =
时，y
c
= ，
当
1
x = 时，
1
y
b
c
= +
+
，
①当
1
2
b
−
，则
2
b −，
那么，在
0
x =
取得最大值，在
1
x = 取得最小值时，
有
(
)
9
1
16
c
b
c
−
+ +
=
，解得b =
25
16
−
（不符合题意，舍去）；
②当1
1
2
2
b
−
，解得2
1
b
−
−，
那么，在
0
x =
取得最大值，在顶点取得最小值时，
有
2
4
9
4
16
c
b
c
−
−
=
，解得
3
2
b =
（不符合题意，舍去）或
3
2
b
−
=
，
③当
1
0
2
2
b
−
，解得1
0
b
−
，
那么，在
1
x = 取得最大值，在顶点取得最小值时，
有
2
4
9
1
4
16
c
b
b
c
−
+
+ −
=
，解得
7
2
b = −
（不符合题意，舍去）或
1
2
b
−
=
；
综上所述，b 的值为
3
2
−
或
1
2
−
．
37．在平面直角坐标系中，将过点(
)
2, 1
−
的抛物线
2
1
1
:
4
C
y
x
bx
= −
+
（b 为常数）向右平移m 个单位（
0
m
），
再向上平移n 个单位（
0
n
）得到新的抛物线
2
C ，其顶点为E．
(1)求点E 的坐标；（用含m，n 的式子表示）
(2)若抛物线
2
C 与坐标轴有且只有两个公共点，求满足条件的点E 的纵坐标；
(3)当
1
n = 时，抛物线
2
C 与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交于点D，且当0
2
x
时，对抛物线
1
C 上的任意一
点P，在抛物线
2
C 上总存在一点Q，使得点P，Q 的纵坐标相等，探究下列问题：
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①求m 的取值范围；
②若存在一点F，满足DF
AF
BF
=
=
，求点F 的纵坐标的取值范围．
【答案】(1)( , )
m n
(2)点E 的坐标为
2
1
( ,
)
4
m
m
或( ,0)
m
(3)①2 2
4
m
；②
7
5
2
2
t
−
−
【分析】（1）把点(
)
2, 1
−
代入抛物线
2
1
1
:
4
C
y
x
bx
= −
+
求出
0
b =
，根据图象的平移的性质，即可得到抛物线
2
C ：
2
1 (
)
4
n
y
x
m
= −
−
+
，顶点E 的坐标为( , )
m n ；
（2）由于抛物线
2
C 与坐标轴有且只有两个公共点，分别讨论当抛物线经过原点时和抛物线不经过原点时两
种情况．当抛物线经过原点时满足要求，将
(0,0)
O
代入抛物线
2
C ：
2
1 (
)
4
n
y
x
m
= −
−
+
，即可求出顶点E 的
坐标为
2
1
( ,
)
4
m
m
；当抛物线不经过原点，与y 轴一定会有一个交点，所以抛物线
2
C 与x 轴只有一个交点，
即当顶点落在x 轴上时，满足与坐标轴有且只有两个公共点，此时
0
n =
，顶点E 的坐标为( ,0)
m
；
（3）① 画出图象可知，当0
2
x
时，抛物线
2
1
1
:
4
C
y
x
= −
纵坐标取值范围是1
0
y
−
，要满足题目要
求，D 点纵坐标要小于等于-1，即
2
1
1
4
1
m + −
−
，同时点A横坐标小于等于2，即
2
2
m−
，由此可解出m
的取值范围；
② 存在一点F，满足DF
AF
BF
=
=
，故点F 在AB 的中垂线上，即抛物线
2
C 的对称轴上，设
( , )
F m t ，然
后利用两点间的坐标公式，结合DF
AF
=
，化简可得
2
1
3
8
2
t
m
= −
−
，即t 是关于m 的二次函数，开口向下，
对称轴为直线
0
m =
，在2 2
4
m
，t 随着m 的增大而减小，根据函数增减性，即可求出点F 的纵坐标t 的
取值范围；
【详解】（1）抛物线
2
1
1
:
4
C
y
x
bx
= −
+
过点(
)
2, 1
−
，
1
1
4
2
4
b
−= −
+
，解得
0
b =
，
抛物线
2
1
1
:
4
C
y
x
= −
．
向右平移m 个单位（
0
m
），再向上平移n 个单位（
0
n
）得到新的抛物线
2
C ，根据图象的平移，可
得，
抛物线
2
C ：
2
1 (
)
4
n
y
x
m
= −
−
+
．
其顶点E 的坐标为( , )
m n ．
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（2） 抛物线
2
C 与坐标轴有且只有两个公共点，
① 当抛物线经过原点时满足条件，如图所示，
将
(0,0)
O
代入抛物线
2
C ：
2
1 (
)
4
n
y
x
m
= −
−
+
，
得
2
1
0
4 m
n
= −
+
，即
2
1
4
n
m
=
，
顶点E 的坐标为
2
1
( ,
)
4
m
m
．
② 当抛物线不经过原点，与y 轴一定会有一个交点，所以抛物线
2
C 与x 轴只有一个交点，即当顶点落在x 轴
上时，满足与坐标轴有且只有两个公共点，如图所示，
此时，
0
n =
，顶点E 的坐标为( ,0)
m
．
综上所述，顶点E 的坐标为
2
1
( ,
)
4
m
m
或( ,0)
m
．
（3）① 当
1
n = 时，抛物线
2
C 为：
2
1
1 (
)
4
y
x
m
= −
−
+ ，抛物线
2
C 与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交于点D，
如图所示，
当
0
x =
，
2
1
1
4
y
m
−
=
+ ，
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D 点坐标为
2
)
1
4
(0,
1
m
−
+
，
当
0
y =
，即
2
1
1
0
(
)
4 x
m
= −
−
+ ，解得
1
2
x
m
=
−，
2
x
m
2
=
+ ，
(
2,0)
A m −
，
(
2,0)
B m +
，
当0
2
x
时，抛物线
2
1
1
:
4
C
y
x
= −
纵坐标取值范围是1
0
y
−
，
当0
2
x
时，对抛物线
1
C 上的任意一点P，在抛物线
2
C 上总存在一点Q，使得点P，Q 的纵坐标相等，
D 点纵坐标要小于等于-1，即
2
1
1
4
1
m + −
−
，解得
2 2
m
，或
2 2
m −
（由于
0
m
，舍去）
同时点A横坐标小于等于2，即
2
2
m−
，解得
4
m
，
综上，2 2
4
m
．
② 存在一点F，满足DF
AF
BF
=
=
，
点F 在AB 的中垂线上，即抛物线
2
C 的对称轴上，故设
( , )
F m t ，
(
2,0)
A m −
，
2
)
1
4
(0,
1
m
D
−
+
，
2
2
2
1
[
(
1)]
4
DF
m
t
m
=
+
−−
+
，
2
2
2
[
(
2)]
4
AF
m
m
t
t
=
−
−
+
=
+
，
DF
AF
=
，即
2
2
2
2
1
[
(
1)]
4
4
m
t
m
t
+
−−
+
=
+
，
2
2
2
2
1
[
(
1)]
4
4
m
t
m
t
+
−−
+
=
+
，
整理化简得，
2
4
2
1
1
1
(2
)
3
2
16
2
t
m
m
m
−
=
+
−，
4
2
2
1
1
3
16
2
1
2
2
m
m
t
m
+
−
=
−
4
2
2
2
2
1
1
1
1
3
16
4
4
2
1
2
2
m
m
m
m
m
−
+
+
−
=
−
2
2
2
2
1
1
3
(2
)
3
8
2
4
1
2
2
m
m
m
m
−
−
+
−
=
−
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2
2
2
3 1
(
2)
1
2 2
1
8
2
2
m
m
m
−
= −
+
−
2
1
3
8
2
m
= −
−
，
2
1
3
8
2
t
m
= −
−
，
二次函数
2
1
3
8
2
t
m
= −
−
的对称轴为直线
0
m =
，开口向下，
在2 2
4
m
，t 随着m 的增大而减小，
当
2 2
m =
时，
5
2
t = −
，
4
m =
时，
7
2
t = −
，
7
5
2
2
t
−
−
．
【点睛】本题综合考查了二次函数的图象和性质，图象的平移，勾股定理，利用函数的增减性求函数值的
取值范围，熟练掌握二次函数的图像和性质，运用分类讨论思想，数形结合思想是解题的关键．
38．
（24-25 九年级上·浙江杭州·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线
2
2
2
2
y
x
mx
m
m
=
+
+
−
的顶点为A．
(1)求顶点A的坐标（用含有字母m 的代数式表示）
(2)若点
(
)
2,
B
B
y
，
(
)
5,
C
C
y
在抛物线上，且
B
C
y
y
，求m 的取值范围．
(3)当1
3
x
时，函数y 的最小值等于6，求m 的值．
【答案】(1)顶点A 的坐标为(
)
2
,
m m
m
−
−
；
(2)
7
2
m −
；
(3)
1
41
4
m
−+
=
或2
−．
【分析】（1）将抛物线解析式化成
2
2
(
)
y
x
m
m
m
=
+
+
−
的形式，即可求得顶点A 的坐标；
（2）根据函数开口向上，则离对称轴越远函数值越大，据此建立不等式求解即可；
（3）分类讨论，分对称轴在1 的左侧、对称轴在3 的右侧、对称轴在1，3 之间共三种情况分别求出函数
的最小值，进而求出m 的值．
【详解】（1）解：∵抛物线解析式为
(
)
2
2
2
2
2
2
y
x
mx
m
m
x
m
m
m
=
+
+
−
=
+
+
−
，
∴顶点A 的坐标为(
)
2
,
m m
m
−
−
；
（2）解：∵抛物线
(
)
2
2
y
x
m
m
m
=
+
+
−
，
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∴抛物线开口向上，且对称轴为直线x
m
= −
，
∴离对称轴越远，函数值越大，
∵点
(
)
2,
B
B
y
，
(
)
5,
C
C
y
在抛物线上，且
B
C
y
y
，
∴
(
)
(
)
2
5
m
m
−−
−−
，
∴2
5
m
m
+
+
或2
5
m
m
+
−−
，
∴
7
2
m −
；
（3）解：∵二次函数图象的开口向上，
∴自变量离对称轴越远，其对应的函数值越大，且二次函数的对称轴为x
m
= −
，
分类讨论：
①当
1
m
−
，即
1
m
−
时，
则当
1
x = 时二次函数取得最小值为
2
2
2
1
2
2
2
1
y
m
m
m
m
m
=
+
+
−
=
+
+ ，
又∵当1
3
x
时，函数y 的最小值等于6，
∴
2
2
1
6
m
m
+
+ =
，解得
1
41
4
m
−+
=
或
1
41
4
m
−−
=
，
又∵
1
m
−
，
∴
1
41
4
m
−+
=
；
②当
3
m
−
，即
3
m
−
时，
则当
3
x = 时二次函数取得最小值为
2
2
2
3
2
3
2
2
5
9
y
m
m
m
m
m
=
+
+
−
=
+
+
，
又∵二次函数最小值为6，
∴
2
2
5
9
6
m
m
+
+
=
，解得
3
2
m = −
或
1
m = −，
又∵
3
m
−
，
∴
3
2
m = −
或
1
m = −都不符合题意；
③当1
3
m
?
?
，即3
1
m
−
−时，
则当x
m
= −
时二次函数取得最小值为
2
2
2
2
2
2
y
m
m
m
m
m
m
=
−
+
−
=
−
，
又∵二次函数最小值为6，
∴
2
6
m
m
−
=
，解得
3
m =
或
2
m = −，
又∵3
1
m
−
−，故
2
m = −符合题意；
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综上所述，
1
41
4
m
−+
=
或2
−．
【点睛】本题主要考查了求二次函数的顶点坐标，二次函数的最值问题，二次函数的性质等等，熟练掌握
二次函数的相关知识是解题的关键．
39．（25-26 九年级上·浙江温州·阶段检测）已知二次函数
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 的图象经过点(
)
1,8
P
，且对称轴为
直线
2
x =
．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)将该二次函数的图象左右平移后，所得新图象经过原点，请写出平移的方式；
(3)当
2
t
x
t
+
时，二次函数
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 的最大值与最小值的差为m，且
2
m
，求实数t 的取值范围．
【答案】(1)
2
4
5
y
x
x
= −
+
+
(2)向右平移1 个单位或向左平移5 个单位
(3)
2
2
t
−
或
2
t
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先将二次函数化为顶点式，设平移后的函数解析式，再根据新图象经过原点，求出平移的单位，从而
确定平移方式；
（3）先求出二次函数的顶点坐标，确定其最值情况．然后分三种情况讨论：
2
2
t +
；
2
t
；
2
2
t
t
+ ，
分别求出每种情况下的最大值和最小值，再根据最大值与最小值的差
2
m
，求出t 的取值范围．
【详解】（1）解：二次函数
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 的图象经过点
(
)
1,8
P
，且对称轴为直线
2
x =
，
(
)
1
8
2
2
1
b
c
b
−+
+
=
−
=
−
，
4
5
b
c
=
=
，
该二次函数的表达式为
2
4
5
y
x
x
= −
+
+ ；
（2）解：
2
2
4
5
(
2)
9
y
x
x
x
= −
+
+
= −
−
+
，
设将其左右平移h 个单位后，函数解析式为
2
(
2
)
9
y
x
h
= −
−−
+
，
新图象经过原点(
)
0,0 ，
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2
0
(0
2
)
9
h
= −
−−
+
，
即
2
(2
)
9
h
+
=
，
开方得2
3
h
+
= ，
当2
3
h
+
=
时，
1
h = ；当2
3
h
+
= −时，
5
h = −，
平移方式为：向右平移1 个单位或向左平移5 个单位；
（3）解：抛物线的开口向下，对称轴是直线
2
x =
，顶点坐标为(
)
2,9 ，当
2
x =
时，y 有最大值9．
①当
2
2
t +
，即
0
t
时，函数在x
t
= 取最小值，
2
x
t
= + 时取最大值，
当
2
t
x
t
+
时，y 随x 的增大而增大，
此时x
t
= 时，y 有最小值
2
min
4
5
y
t
t
= −
+
+ ；
当
2
x
t
= + 时，y 有最大值
(
)
2
2
max
(
2)
4
2
5
9
y
t
t
t
= −
+
+
+
+
= −
+
，
∴
(
) (
)
2
2
max
min
9
4
5
4
4
m
y
y
t
t
t
t
=
−
= −
+
−−
+
+
= −
+
，
2
m
，
4
4
2
t
−
+
，
解得
1
2
t
，
0
t
，
0
t
；
②当
2
t
时，当
2
t
x
t
+
时，y 随x 的增大而减小，
此时x
t
= 时，y 有最大值
2
max
4
5
y
t
t
= −
+
+ ；
2
x
t
= + 时，y 有最小值
(
)
2
2
min
(
2)
4
2
5
9
y
t
t
t
= −
+
+
+
+
= −
+
，
∴
max
min
4
4
m
y
y
t
=
−
=
−
，
2
m
，
4
4
2
t
−
，
3
2
t
，
2
t
，
2
t
；
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③
2
2
t
t
+ ，即0
2
t
时，y 的最大值为9，
若2
2
2
t
t
−+ −
，即0
1
t
时，x
t
= 时y 取的最小值
2
min
4
5
y
t
t
= −
+
+ ，
∴
(
)
2
2
2
9
4
5
4
4
(
2)
m
t
t
t
t
t
=
−−
+
+
=
−
+
=
−
，
2
m
，
2
(
2)
2
t
−
，
解得
2
2
t
+
或
2
2
t
−
，
0
1
t
，
0
2
2
t
−
，
若2
2
2
t
t
−+ −
，即1
2
t
时，
2
x
t
= + 时y 取得最小值
2
min
9
y
t
= −
+
，
∴
(
)
2
2
9
9
m
t
t
=
−−
+
=
，
2
m
，
2
2
t
，
解得
2
t
或
2
t −
，
1
2
t
，
2
2
t
．
综上，实数t 的取值范围是
2
2
t
−
或
2
t
．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求二次函数的解析式，图象的平移、函数的
最值等，分类求解是解题的关键．
