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1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题01 实数的概念及基本性质 （题型突破·举一反三） 题型01 实数的估算 题型02 实数中的小数点变化规律 题型03 二次根式的性质 题型04 最简二次根式和同类二次根式 ▌题型01 实数的估算 对于二次根式的估算，可以通过平方数逐步进行。若𝑎2 < 𝑚< 𝑏2，则𝑎< √𝑚< 𝑏。 常见无理数的近似值：√2 ≈1.414，√3 ≈1.732，√5 ≈2.236。 【典例1】观察表格中的数据： 𝑥 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 17 𝑥2 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 285.61 289 由表格中的数据可知√275在哪两个数之间（ ） A．在16.2和16.3之间 B．在16.3和16.4之间 C．在16.5和16.6之间 D．在16.6和16.7之间 【变式1-1】估计√14 + 1的值在（ ） A．2 和3 之间 B．3 和4 之间 C．4 和5 之间 D．5 和6 之间 【变式1-2】在如图所示的数轴上表示√17 −2的点在（ ） 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．点𝐴和点𝐵之间 B．点𝐵和点𝐶之间 C．点𝐶和点𝐷之间 D．点𝐷和点𝐸之间 【变式1-3】已知𝑎= √91 −√38，则与𝑎的最接近的两个整数的和为 ． 【变式1-4】把无理数√17，√11，√5，√3表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住 的无理数是 ． 【变式1-5】无理数 在两个相邻的整数之间的是 ( ) A．5 和6 B．4 和5 C．3 和4 D．2 和3 ▌题型02 实数中的小数点变化规律 类比平方数和立方数的变化规律，可以得到平方根和立方根的变化规律. 对于√𝑎= 𝑥，若a 扩大100 倍，则x 扩大10 倍. 对于√𝑎 3 = 𝑥，若a 扩大1000 倍，则x 扩大10 倍. 【典例2】如何迅速准确地计算出四位数的算术平方根呢？按照下面思路你也能办到． (1)以下是小明探究√1849的过程，请补充完整： ①由102 = 100，1002 = 10000可以确定√1849是__________位数； ②由1849的个位上的数是9，可以确定√1849的个位上的数是__________或__________； ③如果划去1849后面的两位49得到数18，而42 = 16，52 = 25，可以确定√1849的十位上的数是4；因 4 × (4 + 1) = 20，而18 < 20，所以选择较小的个位数字，则√1849 =__________． (2)已知3136也是一个整数的平方，请根据材料的方法求出√3136，并说明理由． 3 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式2-1】（1）观察发现： 𝑎 (𝑎> 0) … 0.0001 0.01 1 100 10000 … √𝑎 … 0.01 x 1 y 100 … 表格中𝑥= ，𝑦= ． （2）归纳总结： 被开方数的小数点每向右移动2 位，相应的算术平方根的小数点就向______移动______位． （3）规律运用： ①已知√5 ≈2.24，则√500 ≈______； ②已知√2𝑚≈7.07, √5000 ≈70.7，则m＝______． 【变式2-2】（25-26 八年级上·福建厦门·期中）根据表中的信息判断，下列结论中错误的个数是（ ） 𝑥 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 𝑥2 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 ①√228.01 = 15.1；②235 的算术平方根比15.3小；③√231040 = 1520；④根据表中数据的变化趋势， 可以推断出15.82比15.72增大3.25 A．一个 B．两个 C．三个 D．四个 【变式2-3】（25-26 八年级上·安徽合肥·期中）已知√23.6 ≈4.858，√2.36 ≈1.536.则√236000 ≈（ ） A．485.8 B．48.58 C．15.36 D．153.6 【变式2-4】已知√5.21 ≈2.28，√52.1 ≈7.22，则√0.0521的值约为（ ） A．0.228 B．0.0722 C．0.0228 D．0.722 【变式2-5】（25-26 八年级上·江苏南通·期中）已知√5≈2.236，不再利用其他工具，能确定出近似值的是（ ） A．√0.5 B．√50 C．√500 D．√5000 ▌题型03 二次根式的性质 1.平方根：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是0；负数没有平方根。 2.算数平方根的双重非负性：对于√𝑎，被开方数a≧0，算数平方根√𝑎≧0。 4 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3.两个式子：(√𝑎) 2=a （a 为非负数），√𝑎2=｜a｜=±a （a 可以是任何实数） 【典例3】已知一个正数𝑀的两个不同的平方根分别是2𝑎+ 1和3 −4𝑎，则𝑀的值为（ ） A．2 B．4 C．25 D．±5 【变式3-1】计算：已知 𝑥, 𝑦, 𝑧满足 |𝑥+ 2| + (𝑦−3) 2 + √𝑧+ 1 = 0，求 𝑥+ 𝑦+ 𝑧的值． （写清过程） 【变式3-2】已知x,y 为实数，且𝑦= √1 −4𝑥+ √4𝑥−1 + 1 2，求√ 𝑥 𝑦+ 2 + 𝑦 𝑥_√ 𝑥 𝑦−2 + 𝑦 𝑥的值. 【变式3-3】若𝑦⋅√2𝑥−2 + √1 −𝑥= 𝑦+ 2，求√𝑦2 + 5𝑥的值． 【变式3-4】已知√13 −𝑥是整数，则自然数x 的所有取值为 ． 【变式3-5】已知实数a，b 在数轴上的位置如图所示，则化简|𝑎−1| −√𝑏2 −√(𝑎−𝑏)2的结果是（ ） A．2𝑎−2𝑏+ 1 B．1 −2𝑏 C．2𝑎−1 D．2𝑎−2𝑏−1 【变式3-6】已知实数𝑎, 𝑏, 𝑐在数轴上的位置如图所示：则√𝑎2 −|𝑎+ 𝑐| + √(𝑐−𝑏)2 −|−𝑏| = ． 【变式3-7】实数𝑎，𝑏在数轴上的位置如图所示，则化简√𝑎2 −√𝑏2 + √(𝑎−𝑏)2的结果是 ． 【变式3-8】如果√(3𝑎−9)2 = 9 −3𝑎，则𝑎的取值范围是（ ） A．𝑎> 3 B．𝑎< 3 C．𝑎≥3 D．𝑎≤3 【变式3-9】化简：√−𝑎4𝑏3 = ． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式3-10】已知𝑎> 𝑏，化简二次根式√−𝑎𝑏5的正确结果是（ ） A．𝑏2√𝑎𝑏 B．𝑏2√−𝑎𝑏 C．−𝑏2√𝑎𝑏 D．−𝑏2√−𝑎𝑏 ▌题型04 最简二次根式和同类二次根式 1.最简二次根式 ①被开方数不含分母，例：√3 5、3 √5 ； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，例：√27。 2.同类二次根式 同类二次根式是指至少两个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同则称为同类二次根式。 判断时需先将所有根式化简为最简形式，再比较被开方数是否一致。同类二次根式与同类项均具有合并特性， 合并法则均为保持根式（或字母）不变、系数相加减。但两者判断依据不同：前者仅取决于化简后被开方数 的同一性，而后者需字母及其指数均对应相同。 【典例4】下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A．√1.4 B．√ 1 2 C．√ 1 3 D．√21 【变式4-1】下列二次根式中，最简二次根式的是（ ）. A．√8𝑥 B．√𝑦2 −4 C．√ 1 𝑚 D．√3𝑎2 【变式4-2】下列根式中是最简二次根式的是（ ） A．√7 B．√8 C．√ 1 2 D．√0.3 【变式4-3】已知a 是正整数，√54𝑎是整数，则a 的最小值是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式4-4】已知n 是正整数，√128𝑛是整数，则n 的最小值 ．．．是（ ） A．1 B．2 C．3 D．7 【变式4-5】下列根式中与其他三个不同类的是（ ） A．√2 B．√98 C．√48 D．√50 【变式4-6】如果二次根式√5𝑚+ 8与√7是同类二次根式，那么满足条件的𝑚中最小正整数是 ． 【变式4-7】如果两个最简二次根式√3𝑎−4与√16 −𝑎是同类二次根式，那么使√5𝑎−2𝑥有意义的x 的取值 范围是 ． 【变式4-8】√27与最简二次根式2√𝑚+ 1是同类二次根式，则𝑚= ．
