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1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题02 三角形中的倒角模型之A 字、8 字、燕尾模型的三类 综合题型 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、三角形中的倒角模型之“A”字模型 题型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型 题型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：图形呈A 形、X 形（8 字）或燕尾（飞镖）结构，已知部分角度求关联角或角间和差关系。 - 解题方法：A 字模型用三角形内角和180°或外角性质；8 字模型利用对顶角相等及两三角形内角和转化； 燕尾模型利用外角等于不相邻两内角和，建立角与角的和差关系。 - 易错提醒：混淆8 字模型中内角与外角的对应关系；燕尾模型中找不准外角的两个不相邻内角；辅助线 添加不恰当导致关系链断裂。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、三角形中的倒角模型之“A”字模型 典例1．（25-26 八年级上·云南红河·期中）【问题呈现】 小明在学习了有关三角形内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题： 如图①，1 与 2 分别为 ABC 的两个外角，求证：1 2 180 A += +． 【推理证明】 目 录 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)补全证明过程． 证明： 1 与 2 分别为 ABC 的两个外角， 1 A = +_____， 2 A =+ _____ 1 2 +=_____ 3 4 180 A ++ = ， 1 2 180 A += +． (2)如图②，在 ABC 纸片中剪去 AED △ ，得到四边形BCDE ．若1 130 = ，则 2 A −的大小为_____度． (3)如图③，在 ABC 中，BP CP ， 分别为外角 DBC ，ECB 的平分线，写出 P 与 A 之间的数量关系， 并说明理由． 题型模版 1.特征：形如“A”的图形（两条斜边被平行线截断），求角间关系，常涉及内外角结合。 2.方法：利用平行线性质与三角形内角和定理，建立顶角与底角之间的代数关系，通过方程或消元求解。 变式1-1．（25-26 八年级上·山西忻州·期末）如图，有一张三角形纸片ABC ．其中 90 BAC = ．将该纸片沿 EF 剪开，得到一张四边形纸片EFCB，则1 2 +的度数为________． 变式1-2．（2025 八年级上·全国·专题练习）探索归纳： 3 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)如图1，已知 ABC 为直角三角形， 90 A = ，若沿图中虚线剪去 A ，则1 2 +=________； (2)如图2 ，已知 ABC 中， 60 A = ，剪去 A 后形成四边形，则1 2 +=________； (3)如图2 ，根据上面的求解过程，猜想1 2 +与 A 的数量关系，并证明； (4)若 A 没有剪掉，而是把它折成如图3的形状，请猜想1 2 +与 A 的数量关系，并说明理由． 变式1-3．（25-26 八年级上·广西柳州·期中）实验与探究 某数学小组的同学发现，折纸中蕴含着许多数学问题．现有一张三角形纸片ABC ，点M，N 分别是边AC ， BC 上的点，若沿直线MN 折叠 ABC ，点C 的对应点为点D ． (1)若如图1所示，点D恰好在BC 边上，则1 与 ACB 的数量关系是______； (2)若如图2 所示，点D在 ABC 内部， 35 ACB = ，求1 2 +的度数； (3)若如图3所示，点D在 ABC 外部，则1 ， 2 和 ACB 之间有怎样的数量关系？请证明． 题型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型 典例2．（25-26 七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，AD，BC 相交于点O，连接AB ，CD． (1)求证： A B C D += + ． (2)若 57 A = ， 35 B = ， 60 C = ，求 D 的度数． 题型模版 1.特征：形如“8”的图形（两条线段交叉），有一对对顶角，求角间关系或线段比例。 2.方法：利用对顶角相等与三角形内角和定理建立等式；若含平行线，则结合内错角/同位角推导角关系。 变式2-1．（25-26 八年级上·安徽马鞍山·期中）线段AB 、CD相交于点O，连接AD、CB ，我们把如图1 的图形称之为“8 字形”，则 A D B C + = + ，如图2，在图1 的条件下， DAB 和 BCD 的平分线AP 和 CP 相交于点P ，并且与CD、AB 分别相交于M 、N ，若 30 B = ， 40 D = ，则 P 的度数是______． 4 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式2-2．（25-26 七年级下·山东菏泽·阶段检测）如图①，已知线段AB ，CD相交于点O，连接AC ，BD， 我们把形如这样的图形称为“8 字型”． (1)试说明： A C B D + = + ； (2)如图②，若 CAO 和 BDO 的平分线AP 和DP相交于点P，与CD，AB 相交于点M ，N ．若 100 B = ， 120 C = ，求 P 的度数． 变式2-3．（25-26 八年级上·全国·单元复习）阅读材料，回答下列问题： 【材料提出】 “八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成． 【探索研究】 探索一：如图1，在八字型中，探索 A 、 B 、 C 、 D 之间的数量关系为 ___________； 5 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 探索二：如图2，若 36 B = ， 14 D = ，求 P 的度数为 ___________； 探索三：如图3，CP 、AG 分别平分 BCE 、 FAD ，AG 反向延长线交CP 于点P ，则 P 、B 、D 之 间的数量关系为 ___________． 【模型应用】 应用一：如图4，延长BM 、CN ，交于点A，在四边形MNCB 中，设 M = ， N = ， 180 + ，四 边形的内角 MBC 与外角 NCD 的角平分线BP，CP 相交于点P ，则 A =___________（用含有和的 代数式表示）， P =___________．（用含有和的代数式表示） 应用二：如图5，在四边形MNCB 中，设 M = ，N = ， 180 + ，四边形的内角 MBC 与外角 NCD 的角平分线所在的直线相交于点P ， P =___________．（用含有和的代数式表示） 【拓展延伸】 拓展一：如图6，若设 C x = ， B y = ， 1 3 CAP CAB = ， 1 3 CDP CDB = ，试问 P 与 C 、 B 之间 的数量关系为 ___________．（用x 、y 表示 ) P 拓展二：如图7，AP 平分 BAD ，CP 平分 BCD 的邻补角 BCE ，猜想 P 与 B 、 D 的关系，直接写 出结论 ___________． 题型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型 典例3．（24-25 七年级下·上海青浦·期中）如图1 所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们把这 样的图形叫做“规形图”． (1)观察“规形图”，试探究 BDC 与 A B C 、 、 之间的关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决问题： ①如图2，小叶把一块三角尺XYZ 放置在ABC 上，使三角尺的两条直角边XY XZ 、 恰好经过点B、C，若 36 A = ，直接写出 ABX ACX ＋ 的结果； ②如图3，DC 平分 ADB ，EC 平分 AEB ，若 40 A = ∠ ， 130 DBE = ，求 DCE 的度数． 6 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型模版 1.特征：图形似燕尾（公共顶点引出三条射线），涉及多个三角形内角与公共角的和差关系。 2.方法：利用三角形内角和定理及公共角相等，逐层建立角与角的代数关系，通过等式叠加或相减消元求解。 变式3-1．（25-26 八年级上·安徽淮南·期中）如图1，在四边形ABDC 中， 86 A = ， 34 B = ， 24 = C ． （1） BDC =______； （2）如图2， ABD 和 ACD 的角平分线BE与CF 交于点G，BE，CF 分别与AC ，AB 交于点E 和点F， 则 BGC =______． 变式3-2．（24-25 七年级下·山西长治·期末）综合与探究． 问题背景：已知如图1，凹四边形ABDC ． 初探： (1)试探究 BDC 与 A ， B ， C 之间的数量关系，并说明理由； 应用 (2)请你直接利用以上结论，解决下面问题． 如图2，把一块三角尺EFG 放置在ABC 上，使三角尺的两条直角边EG ，FG 恰好经过点B ，C ，若 38 A = ， 则 ABG ACG + =______； 拓展 (3)如图3，DC 平分 ADB ，EC 平分 AEB ，若 70 DAE = ， 120 DBE = ，求 DCE 的度数． 变式3-3．（25-26 八年级上·河北保定·期中）【问题背景】 研究了三角形内角和定理及其推论后，我们可以把飞镖抽象成图1 的形状，我们把这个图形 7 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系． 【解决问题】 （1）如图1，探究 ( ) 180 ABC ABC 与 A ， D ， C 三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是 ABC A D C = + + ，他的证明过程如下： 证明：连接DB，并延长到点P． …… 请你将小明的证明过程补充完整． 【类比探究】 （2）如图2， 90 A C E ++= ， 150 B D + = ，求 AFE 的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，AM EN ∥ ， 150 B D + = ， 50 C E + = ，则 MAB 的度数为______． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26 九年级下·吉林长春·阶段检测）如图，点E 、D 分别在AB 、AC 上．若 30 B = ， 50 C = ， 则1 2 +的度数为（ ） A．100 B．80 C．120 D．40 2．（25-26 八年级上·云南昆明·期末）如图，在四边形ABCD中， 35 A = ， 25 C = ， 50 D = ，则1 的 度数为（ ） 8 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．70 B．100 C．110 D．130 3．（25-26 八年级上·河南焦作·期中）如图是可调节躺椅示意图（数据如图），AE 与BD的交点为C ，且 A ， B ， E 保持不变，为了舒适，需要调整 D 的大小，使 130 EFD = ，则图中 D 应（ ） A．增加10° B．减少10° C．增加20° D．减少20° 二、填空题 4．（25-26 八年级上·四川自贡·阶段检测）如图，点 , E D 分别在 , AB AC 上，若 30 , 55 B C = = ，则1 2 + 的度数为__________． 5．（25-26 八年级上·湖北襄阳·阶段检测）利用身边的各种生活废品来满足我们的日常需要，这种“低碳”的 生活方式逐渐影响居民的生活习惯．周末，小颖准备用家里废弃的布料手工缝制玩偶，找到了如图所示的 一块四边形的余料，经过测量， 90 BDC = ， 35 C = ， 32 A = ，那么 B 的度数是___________ 6．（25-26 八年级上·河南信阳·阶段检测）如图， , AB CD 相交于点O，若BE平分 ABD 交CD于F，CE 平 9 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 分 ACD 交AB 于G， 48 A = ， 46 D = ，则 BEC =________ ． 三、解答题 7．（25-26 八年级下·江西吉安·阶段检测）【课本再现】 (1)已知：如图，点D在 BAC 的内部．求证： BDC B C A = + +； 【联系拓展】 (2)在（1）中 BAC 的情况下，若点D 在线段AC 所在直线的下方，此时 BDC ，A ，B ， C 之间有怎 样的数量关系，给出结论并证明． 8．（25-26 七年级下·吉林长春·期中）阅读下列材料，回答问题． 如图①所示的图形，像我们生活中的物品--回旋镖，我们不妨把这样的图形叫做“回旋镖图”，在这样一个简 单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决下列问题： (1)如图①，试猜想 A 、 B 、 C 、 BDC 之间的数量关系，并说明理由； (2)如图②，把一块三角尺DOE 放置在ABC 上，使三角尺的两条直角边OD 、OE 恰好经过点B 、C ，若 10 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 56 A = ，则 ABO ACO + = ___________； (3)如图③，在四边形ABCD中，ABC 与 ADC 的角平分线交于点E ，若 124 BCD = ， 90 BED = ，则 A =___________． 9．（25-26 七年级下·山东滨州·期末）如图所示的图形，像我们常见的符号一一箭号．我们不妨把这样的图 形叫做“箭头四角形”． 探究： (1)观察“箭头四角形”，试探究图1 中 BDC 与 A ， B ， C 之间的关系，并说明理由； 应用： (2)请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： ①如图2，把一块三角尺XYZ 放置在ABC 上，使三角尺的两条直角边XY 、XZ 恰好经过点B ，C ，若 60 A = ，则 ABX ACX + = __________； ②如图3， , ABE ACE 的二等分线（即角平分线） , BF CF 相交于点F ，若 60 BAC = ， 130 BEC = ， 求 BFC 的度数． 10．（24-25 七年级下·吉林长春·期末）【问题呈现】如图①，四边形ABCD形似“飞镖”，我们形象地称它为“飞 镖图”．它实际上是凹四边形，通过探究发现：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和，即 BDC A B C = ++ ． 11 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【探究推理】方法一：如图②，连结BC ． ∵在ABC 中， 180 A ABC ACB + + = ， ∴ 1 2 3 4 180 A ++++= ． 又∵在BDC 中， 2 4 180 BDC ++ = ， ∴ 2 4 180 BDC += − ， ∴ 1 3 180 180 A BDC +++ − = ， ∴ 1 3 BDC A = ++． 即 BDC A ABD ACD = + + ． 方法二：如图③，连结AD并延长至F． ∵ 3 与 4 分别为ABD 和ACD 的外角， … （1）“方法一”主要依据的数学定理是 ； （2）根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出余下的推理过程． 【迁移应用】 （3）如图④， A B C D E ++ + + = ； （4）如图⑤是可调躺椅示意图（数据如图），AE 与BD的交点为C，且 CAB CBA D 、 、 的大小保持 不变．为了舒适，需调整 E 的大小，使 110 EFD = ，则图中 E 应 （填“增加”或“减少”）的大小为 度． 11．（25-26 七年级下·河南南阳·阶段检测）综合探究 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)问题提出 如图1， ACD 是ABC 的一个外角，则 ACD ， A ， B 之间的数量关系为_____． (2)尝试探究 如图2，线段AB ，CD相交于点O，连接AC ，BD，我们把形如这样的图形称为“8 字型”．请仔细观察该 图形，求 , , , A B C D 之间的数量关系． (3)拓展提升 如图3，这是由线段组成的一个“风筝”形状的图形．试探究 , , , A B C D ， , E F 之间的数量关系． 12．（24-25 七年级下·福建泉州·期末）如图1 是常见的“8 字型”平面图形，设 , AB CD 的交点为O，根据“三 角形的内角和”等相关几何知识，易证得 A D C B + = +这个重要数学结论． (1)【模型求解】如图2，线段EF 位于四边形ABCD内部，连结 , BE CF 交于点O，运用上述结论，求出 A ABE DCF D E F + + + ++ 的度数； (2)【构造模型】如图3 是常见的“五角星”平面图形，求出 A B C D E ++ + +的角度之和（要求：用 两种思路进行求解）． (3)【拓展运用】若将图3 中“五角星”的五个角截去，得到如图4，请求出图4 中 A B C D E F G H M N +++ +++ + + +的角度之和． 13．（25-26 八年级上·河南安阳·阶段检测）请阅读下列材料，并完成相应的任务： 如图①，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”，在此图形中，可证 ADB A B C = ++ ， 在探究 A ， B ， C 与 ADB 之间的关系时，小明同学提供了下面两种方法． 13 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 方法一：如图②，连接AB． 在ABC 中， 180 C CAB CBA + + = ，即1 2 3 4 C 180 + + + + = ， 在ABD 中，1 2 180 ADB ++ = ， 3 4 ADB C CAD CBD C = + + = + + 方法二：如图③，连接CD并延长至点F ． 解答下列问题： (1)根据“方法二”中添加的辅助线，补全方法二的推理过程； (2)如图①，当 30 A = ， 40 B = ， 120 ADB = 时， C 的度数为_________． (3)拓展：如图④， 100 ABC = ， 130 DEF = ，求 A C D F + + +的度数．
