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专题02 二次根式的性质及应用
（题型突破·举一反三）
题型01 用数轴表示无理数
题型02 无理数的整数部分和小数部分
题型03 分母有理化
题型04 复合二次根式的化简
题型05 实数大小比较
▌题型01 用数轴表示无理数
1.数轴上的点与实数的关系是：一一对应
2.我们在学习勾股定理时，经常会遇到无理数边上的边，因此，可以通过构造直角三角形，得到无理数长度
的边。
3.在数轴上表示无理数𝑎± √𝑛的步骤：①通过计算，得到斜边长为√𝑛的直角三角形；②以数字a 为斜边的
一个端点，构造直角三角形；③以a 为圆心、√𝑛长为半径画弧，左边交点为𝑎−√𝑛，右边交点为𝑎+ √𝑛。
【典例1】（25-26 八年级上·广西防城港·期中）如图，数轴上的点A 所表示的数为（ ）
A．√3
B．√5
C．−√5
D．−√3
【变式1-1】如图：数轴上点A 所表示的数为a，则a 的值是（ ）
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A．1
B．√5 −1
C．2
D．√5
【变式1-2】（25-26 八年级上·湖北黄冈·期中）如图所示，在数轴上点A 所表示的数为a，则a 的值为（ ）
A．−1 −√5
B．1 −√5
C．−√5
D．−1 + √5
【变式1-3】（25-26 八年级上·重庆渝北·期中）利用勾股定理，可以作出长为无理数的线段．如图，在数轴
上找到点A，过点A 作直线l 垂直于𝑂𝐴，在l 上取点B，以原点O 为圆心，以𝑂𝐵长为半径作弧，那么点C
表示的无理数是（ ）
A．√21
B．√29
C．7
D．29
【变式1-4】（25-26 八年级上·福建南平·期中）如图，把直径为1 的圆放到数轴上，圆上一点A 与表示1 的
点重合，圆沿着数轴向右滚动一周，此时点A 表示的数是（ ）
A．𝜋
B．1 + 𝜋
C．2𝜋
D．1 + 2𝜋
▌题型02 无理数的整数部分和小数部分
无理数是无限不循环小数，所以可以拆分为整数部分和小数部分。整数部分可以通过估算得到，然后通过“小
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数部分=数字-整数部分”的等量关系得到小数部分。
【典例2】下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记．
无理数的估算：
大家知道√3是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此√3的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用
√3 −1来表示√3的小数部分，你同意我的表示方法吗？
事实上，我的表示方法是有道理的，因为√3的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部
分
例如：
∵√4 < √7 < √9，即2 < √7 < 3，
∴√7的整数部分是2，小数部分是√7 −2
根据以上笔记内容，请完成如下任务．
(1)任务一：√19的小数部分为______．
(2)任务二：a 为 √5的小数部分，b 为√15的整数部分，请计算𝑎+ 𝑏−√5的值．
(3)任务三：𝑥+ 𝑦= 10 + √3,其中x 是整数，且0 < 𝑦< 1,求2𝑥−𝑦的相反数．
【变式2-1】先阅读下面的文字，然后解答问题．
大家知道√2是无理数，而无理数是无限不循环小数√2的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用√2的
小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，因为√2的整数部分是1，差就是小数部分．
由此我们还可以得到一个真命题：如果√2 = 𝑥+ 𝑦，其中x 是整数，那么𝑥= 1，𝑦= √2 −1
请解答下列问题：
(1)如果−√5 = 𝑎+ 𝑏，其中𝑎是整数， 且0 < 𝑏< 1，那么𝑎= ，𝑏= ；
(2)已知2 + √5 = 𝑚+ 𝑛，其中𝑚是整数， 且0 < 𝑛< 1，求|𝑚−𝑛|的值．
【变式2-2】已知5 + √5的小数部分是a，5 −√5的整数部分是b，求𝑎+ √5𝑏的值.
【变式2-3】已知7+√5和7﹣√5的小数部分分别为a、b，试求代数式ab 的值．
【变式2-4】请回答下列问题：
(1)√7介于连续的两个整数𝑎和𝑏之间，且𝑎< 𝑏，那么𝑎=__________，𝑏=____________．
(2)𝑥是√7 + 2的小数部分，𝑦是√7 + 1的整数部分，求𝑥=____________，𝑦=____________．
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(3)求(√7 −𝑥)
𝑦的立方根．
【变式2-5】（1）采用夹逼法，利用√2的一系列不足近似值和过剩近似值来估计它的大小的过程如下：
因为12 = 1, 22 = 4，
所以1 < √2 < 2,
因为1.42 = 1.96，1.52 = 2.25，
所以1.4 < √2 < 1.5,
因为1.412 = 1.9881, 1.422 = 2.0164，
所以1.41 < √2 < 1.42
因为1.4142 = 1.999396,1.4152 = 2.002225，
所以1.414 < √2 < 1.415,
因此√2 ≈1.41(精确到百分位)，
使用夹逼法，求出√5的近似值(精确到百分位)．
（2）我们规定用符号[𝑥]表示数𝑥的整数部分，例如[
3
4] = 0, [2.4] = 2,
①按此规定[√10 + 2] = ；
②如果√3的整数部分是𝑎, √5的小数部分是𝑏,求|𝑎| −|𝑏|的值．
【变式2-6】阅读下面的文字，解答问题：大家知道√2是无理数，因此√2的小数部分我们不可能全部地写出
来√2 −1来表示√2的小数部分，小明的表示方法是有道理的，因为√2，将这个数减去其整数部分，差就是√2，
又例如∵22 < (√7)
2 < 32，即2 < √7，∴√7的整数部分为2，小数部分为(√7 −2)．
请解答：
(1)√11的整数部分是 ，小数部分 ．
(2)如果√5的小数部分为a，√41的整数部分为b，则𝑎+ 𝑏−√5的值．
(3)已知x 是3 −√5的整数部分，y 是其小数部分，直接写出𝑥−𝑦的值．
▌题型03 分母有理化
根据最简二次根式的定义，分母中若含有二次根式，则需要进一步化简。
对于𝑎
√𝑛型的式子，可以将分数的分子和分母都乘√n，得到𝑎√𝑛
𝑛，化为最简二次根式。
对于
𝑎
√𝑚−√𝑛型的式子，可以利用平方差公式，将分数的分子和分母都乘√m + √n，得到𝑎(√m+√n)
𝑚−𝑛
，化为最
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简二次根式。
【典例3】在解决问题“已知𝑎=
1
2+√3，求2𝑎2 −8𝑎+ 1的值”时，小明是这样分析与解答的：
因为𝑎=
1
2+√3 =
2−√3
(2+√3)(2−√3) = 2 −√3；所以𝑎−2 = −√3，
所以(𝑎−2)2 = 3，𝑎2 −4𝑎+ 4 = 3；所以𝑎2 −4𝑎= −1，
所以2𝑎2 −8𝑎+ 1 = 2(𝑎2 −4𝑎) + 1 = 2 × (−1) + 1 = −1．
请你根据小明的分析和解答过程，解决如下问题：
(1)化简：
5
√7−√2（结果的分母中不含根号）；
(2)若𝑎=
1
√10+3，求2𝑎2 + 12𝑎−3的值
(2)化简
1
√3+1 +
1
√5+√3 +
1
√7+√5 + ⋯+
1
√2025+√2023．
【变式3-1】已知𝑥=
1
√3+√2，𝑦=
1
√3−√2，求𝑥2 + 𝑦2．
【变式3-2】阅读下列解题过程：
1
√2 + 1
=
√2 −1
(√2 + 1) ⋅(√2 −1)
= √2 −1
1
√3 + √2
=
√3 −√2
(√3 + √2) ⋅(√3 −√2)
= √3 −√2
1
√4 + √3
=
√4 −√3
(√4 + √3) ⋅(√4 −√3)
= √4 −√3
1
√5 + √4
=
√5 −√4
(√5 + √4) ⋅(√5 −√4)
= √5 −√4
…………………………，请回答下列回题：
(1)观察上面的解答过程，请写出
1
√𝑛+1+√𝑛=___________；
(2)利用上面的化简方法，请计算：
1
1 + √2
+
1
√2 + √3
+
1
√3 + √4
+ ⋯. . +
1
√2020 + √2021
+
1
√2021 + √2022
【变式3-3】大家知道，因式分解是代数中一种重要的恒等变形．应用因式分解的思想方法有时能取得意想
不到的效果，如化简：
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1
√1 × 22 + √12 × 2
=
√1 × 22 −√1 × 22
(√1 × 22 + √12 × 2)(√1 × 22 −√12 × 2)
= √1 × 22 −√12 × 2
1 × 22 −12 × 2
= 1 −√2
2
1
√2 × 32 + √22 × 3
=
√2 × 32 −√22 × 3
(√2 × 32 + √22 × 3)(√2 × 32 + √22 × 3)
= √2 × 32 −√22 × 3
2 × 32 −22 × 3
= √2
2 −√3
3
……
(1)从以上化简的结果中找出规律，直接写出用n（n 是正整数）表示上面规律的式子．
(2)根据以上规律，计算
1
√1×22+√12×2 +
1
√2×32+√22×3 +
1
√3×42+√32×4 + ⋯+
1
√9×102+√92×10
【变式3-4】【阅读材料】
像(√5 + √2)(√5 −√2) = 3，√𝑎⋅√𝑎= 𝑎（𝑎≥0），(√𝑏+ 1)(√𝑏−1) = 𝑏−1（𝑏≥0），⋯，
两个含有二次模式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．
例如：√3与√3，√2 + 1与√2 −1，2√3 + 3√5与2√3 −3√5，⋯，等都是互为有理化因式，进行二次根式计
算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
【解决问题】
(1)3 + √5的有理化因式为______；
(2)化简：
6
√3+√2 −
1
2−√3；
(3)如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶与∠𝐴𝐶𝐵的角平分线相交于点𝑃，若△𝐴𝐵𝐶的周长为2√6 + 4，面积为4，求点𝑃到𝐵𝐶
边的距离；
(4)化简：
2
3+√3 +
2
5√3+3√5 +
2
7√5+5√7 +⋅⋅⋅+
2
97√95+95√97．
【变式3-5】像(√5 + 2)(√5 −2) = 1, √𝑎⋅√𝑎= 𝑎(𝑎≥0), (√𝑏+ 1)(√𝑏−1) = 𝑏−1(𝑏≥0)，两个含有二次
根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”．例如，√5与√5,√2 + 1与
√2 −1,2√3 + 3√5与2√3 −3√5等都是互为“有理化因式”．进行二次根式计算时，利用“有理化因式”可以化
去分母中的根号．
(1)化简：①
2
3√2 =______；②
1
√7−√5 =______．
(2)计算：(
1
√2+1 +
1
√3+√2 +
1
√4+√3 + ⋯+
1
√2025+√2024) (√2025 + 1)．
(3)已知𝑎= √2023 −√2022, 𝑏= √2024 −√2023, 𝑐= √2025 −√2024，试比较𝑎, 𝑏, 𝑐的大小，并说明理由．
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▌题型04 复合二次根式的化简
完全平方公式：(𝑎± 𝑏)2 = 𝑎2 ± 2𝑎𝑏+ 𝑏2
复合二次根式的常见形式为：√𝑚+ 𝑘√𝑛，我们可以将𝑚+ 𝑘√𝑛通过完全平方公式，化为(𝑎+ 𝑏)2的形式，
即可进行化简。其中，𝑚= 𝑎2 + 𝑏2，𝑘√𝑛= 2𝑎𝑏，通过计算，得到a、b 的值，即可完成化简。
【典例4】观察下列各式：
5 + 2√6 = (2 + 3) + 2√2 × 3 = (√2)2 + (√3)2 + 2√2 × √3 = (√2 + √3)2，
8 + 2√7 = (1 + 7) + 2√1 × 7 = 12 + (√7)2 + 2 × 1 × √7 = (1 + √7)2，……．请运用以上的方法化简
√7 + 2√10 = ．
【变式4-1】计算√14 + 6√5 −√14 −6√5的值是（ ）
A．1
B．√5
C．2√5
D．5
【变式4-2】若𝑎为√6 −2√5的小数部分，𝑏为√7 −4√3的小数部分，则
1
𝑎−
1
𝑏的值为 ．
【变式4-3】数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的
东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料：平方运算和开方运算是互逆运算.𝑎2 ± 2𝑎𝑏+ 𝑏2 = (𝑎± 𝑏)2，那么√𝑎2 ± 2𝑎𝑏+ 𝑏2 = |𝑎± 𝑏|．如何将
双重二次根式√5 ± 2√6化简？我们可以把5 ± 2√6转化为(√3)
2 ± 2√6 + (√2)
2 = (√3 ± √2)
2完全平方的形
式，因此双重二次根式√5 ± 2√6 = √(√3 ± √2)
2 = √3 ± √2得以化简．
(1)化简：√8 −4√3；
(2)已知𝑎为常数(1 ≤𝑎< 2)，𝑚=
1
√2 (√𝑎+ 2√𝑎−1 + √𝑎−2√𝑎−1)，求m 的值
【变式4-4】设√3 + √2 + √3 + √6 = √𝑥+ √𝑦+ √𝑧，且x、y、z 为有理数．则xyz＝（ ）
A．
3
4
B．
5
6
C．
7
12
D．
13
18
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▌题型05 实数大小比较
实数比较大小的常见方法：
1.估算法：通过估算两个数字的近似值，进行大小比较
2.平方法：对于不易直接比较大小的数字，可以通过比较二者的平方大小，得到两个数字的大小关系
3.作差法：若a-b>0，则a>b；若a-b<0，则a<b
4.作商法：若𝑎
𝑏> 1，且a，b>0，则a>b；若𝑎
𝑏< 1，且a，b>0，则a<b
5.倒数法：若1
𝑎> 1
𝑏，且a，b>0，则a<b；若1
𝑎< 1
𝑏，且a，b>0，则a>b
【典例5】比较下列实数的大小：√16 5，√25
3
3，√5 −1 √3
2
【变式5-1】比较3，√10，√26
3
的大小，正确的是（ ）
A．3 < √10 < √26
3
B．3 < √26
3
< √10
C．√10 < √26
3
< 3
D．√26
3
< 3 < √10
【变式5-3】“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，
即：{
𝑎−𝑏> 0，则𝑎> 𝑏
𝑎−𝑏= 0，则𝑎= 𝑏
𝑎−𝑏< 0，则𝑎< 𝑏
；
例如：比较√19 −2与2 的大小．
∵√19 −2 −2 = √19 −4 又∵√16 < √19 < √25 则4 < √19 < 5
∴√19 −2 −2 = √19 −4 > 0，∴√19 −2 > 2．
请根据上述方法解答以下问题：
(1)比较2 −√23与−3的大小．
(2)已知(𝑎+ 𝑏)(𝑎−𝑏) = 𝑎2 −𝑏2，试用“比差法”比较√100 + √98与2√99的大小．
【变式5-4】阅读下列解题过程，回答问题：
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1
√2 + 1
=
√2 −1
(√2 + 1)(√2 −1)
= √2 −1
1
√3 + √2
=
√3 −√2
(√3 + √2)(√3 −√2)
= √3 −√2
1
√4 + √3
=
√4 −√3
(√4 + √3)(√4 −√3)
= √4 −√3 = 2 −√3
(1)化简：
1
√9+√8 =______，
1
√91+√90 =______；
(2)利用上面的规律，比较(√13 −√12)______(√14 −√13)（填“>”或“<”或“=”）．
【变式5-5】比较√2023 −√2022与√2022 −√2021的大小
