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1 / 38 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题02 三角形中的倒角模型之A 字、8 字、燕尾模型的三类 综合题型 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、三角形中的倒角模型之“A”字模型 题型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型 题型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：图形呈A 形、X 形（8 字）或燕尾（飞镖）结构，已知部分角度求关联角或角间和差关系。 - 解题方法：A 字模型用三角形内角和180°或外角性质；8 字模型利用对顶角相等及两三角形内角和转化； 燕尾模型利用外角等于不相邻两内角和，建立角与角的和差关系。 - 易错提醒：混淆8 字模型中内角与外角的对应关系；燕尾模型中找不准外角的两个不相邻内角；辅助线 添加不恰当导致关系链断裂。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、三角形中的倒角模型之“A”字模型 典例1．（25-26 八年级上·云南红河·期中）【问题呈现】 小明在学习了有关三角形内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题： 如图①，1 与 2 分别为 ABC 的两个外角，求证：1 2 180 A += +． 【推理证明】 目 录 2 / 38 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)补全证明过程． 证明： 1 与 2 分别为 ABC 的两个外角， 1 A = +_____， 2 A =+ _____ 1 2 +=_____ 3 4 180 A ++ = ， 1 2 180 A += +． (2)如图②，在 ABC 纸片中剪去 AED △ ，得到四边形BCDE ．若1 130 = ，则 2 A −的大小为_____度． (3)如图③，在 ABC 中，BP CP ， 分别为外角 DBC ，ECB 的平分线，写出 P 与 A 之间的数量关系， 并说明理由． 【答案】(1) 4 ， 3 ， 4 3 A A +++． (2)50 (3) 1 90 2 P A = − ，理由见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形外角性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关 知识是解答的关键． （1）由三角形外角性质得1 ， 2 ，再求1 与 2 的和，最后由三角形内角和定理问题即可得证； （2）由1 2 180 A += +进行变形为 2 180 1 A −= −即可解答； （3）由角平分线的定义得 PBC 、 PCB ∠ ，再由三角形内角和定理得出 ( ) 1 180 2 P DBC BCE = − + ， 然后把 180 DBC BCE A + = +代入求解即可． 【详解】（1）证明： 1 与 2 分别为 ABC 的两个外角， 1 4 A = +， 2 3 A = +， 1 2 4 3 A A += +++ 3 4 180 A ++ = ， 1 2 180 A += +． 3 / 38 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 故答案为： 4 ， 3 ， 4 3 A A +++． （2）解：∵1 2 180 A += +，1 130 = ， ∴ 2 180 1 180 130 50 A −= −= − = ． 故答案为：50． （3）解： 1 90 2 P A = − ，理由如下： ∵BP CP ， 分别为外角 DBC ， ECB 的平分线， ∴ 1 2 PBC DBC = ， 1 2 PCB BCE = ， ∴ ( ) ( ) 1 180 180 2 P PBC PCB DBC BCE = − + = − + ， ∵ 180 DBC BCE A + = +， ∴ ( ) 1 1 180 180 90 2 2 P A A = − + = − ． 题型模版 1.特征：形如“A”的图形（两条斜边被平行线截断），求角间关系，常涉及内外角结合。 2.方法：利用平行线性质与三角形内角和定理，建立顶角与底角之间的代数关系，通过方程或消元求解。 变式1-1．（25-26 八年级上·山西忻州·期末）如图，有一张三角形纸片ABC ．其中 90 BAC = ．将该纸片沿 EF 剪开，得到一张四边形纸片EFCB，则1 2 +的度数为________． 【答案】270 【分析】本题主要考查了直角三角形性质，平角的定义，解题的关键是掌握以上性质． 根据直角三角形的性质得出 90 AEF AFE + = ，然后根据平角的定义进行求解即可． 【详解】解：∵ 90 BAC = ， ∴ 90 AEF AFE + = ， ∴ ( ) 1 2 360 270 AEF AFE + = − = + 故答案为：270． 变式1-2．（2025 八年级上·全国·专题练习）探索归纳： 4 / 38 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)如图1，已知 ABC 为直角三角形， 90 A = ，若沿图中虚线剪去 A ，则1 2 +=________； (2)如图2 ，已知 ABC 中， 60 A = ，剪去 A 后形成四边形，则1 2 +=________； (3)如图2 ，根据上面的求解过程，猜想1 2 +与 A 的数量关系，并证明； (4)若 A 没有剪掉，而是把它折成如图3的形状，请猜想1 2 +与 A 的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)270 (2)240 (3) 1 2 180 A += +．证明见解析 (4) 1 2 2 BAC += ．理由见解析 【详解】（1）解：如图所示： 1 90 , 2 90 A EFA EFA A AEF AEF = + = + = + = + ∴ ( ) ( ) 1 2 90 90 180 EFA AEF EFA AEF + = + + + = + + ∵ABC 为直角三角形， 90 A = ∴ 180 90 EFA AEF A + = −= ， ∴1 2 180 90 270 += + = ， 故答案为：270； （2）如图所示： 5 / 38 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 在AEF 中，由外角性质可知： 1 , 2 A EFA A AEF = + = + ； ∵ 60 A = ∴ ( ) ( ) ( ) 1 2 A EFA A AEF A EFA AEF A + = + + + = + + + 180 60 = + 240 = 故答案为：240 （3）解：由(1)、(2 )中思路，由三角形外角性质可知： 1 A EFA = + ， 2 A AEF = + ； ∴ ( ) ( ) 1 2 A EFA A AEF + = + + + ( ) A EFA AEF A = + + + 180 A = +， ∴1 2 +与 A 的关系是：1 2 180 A += +， 故答案为：1 2 180 A += +； （4）1 2 2 A += ． 理由：连接AP ． ∵EFP 是由EFA 折叠得到的， ∴ AFE PFE = ， AEF PEF = ， ∴1 180 2 AFE = − ， 2 180 2 AEF = − ， ∴ ( ) ( ) ( ) 1 2 180 2 180 2 360 2 AFE AEF AFE AEF + = − + − = − + ， 6 / 38 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 又∵ 180 AFE AEF A + = −， ∴ ( ) 1 2 360 2 180 2 A A + = − − = ， ∴1 2 +与 A 的关系为：1 2 2 A += ． 变式1-3．（25-26 八年级上·广西柳州·期中）实验与探究 某数学小组的同学发现，折纸中蕴含着许多数学问题．现有一张三角形纸片ABC ，点M，N 分别是边AC ， BC 上的点，若沿直线MN 折叠 ABC ，点C 的对应点为点D ． (1)若如图1所示，点D恰好在BC 边上，则1 与 ACB 的数量关系是______； (2)若如图2 所示，点D在 ABC 内部， 35 ACB = ，求1 2 +的度数； (3)若如图3所示，点D在 ABC 外部，则1 ， 2 和 ACB 之间有怎样的数量关系？请证明． 【答案】(1) 1 2 ACB = ∠ ∠ (2)70 (3) 2 1 2 ACB −= ，证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、折叠的性质、等边对等角、三角形外角的性质，添加恰当辅 助线构造三角形是解题的关键． （1）由折叠的性质可得 MDN ACB = ，再由三角形外角的性质可得出数量关系． （2）连接CD，由折叠的性质可得 MDC ACD = 、 NDC NCD = ，再由三角形外角的性质可得出 1 2 ACD = 、 2 2 BCD = ，进行相加即可求解． （3）连接CD，由折叠的性质可得 MDC MCD = 、 NDC NCD = ，再由三角形外角的性质可得出 1 2 MCD = 、 2 2 NCD = ，进行相减即可证明其数量关系． 【详解】（1）解：∵点D 恰好在BC 上， ∴C，D，N 三点在一条直线上， ∴1 MDN ACB = + ， 由折叠可知，MD MC = ， MDN ACB = ， ∴ 1 2 ACB = ∠ ∠ ， 故答案为： 1 2 ACB = ∠ ∠ ． 7 / 38 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （2）连接CD，如下图所示： 由折叠可知，MD MC = ， MDC ACD = ， 又∵1 MDC ACD = + ， ∴1 2 ACD = ， 同理可得， 2 2 BCD = ， 又∵ ACD BCD ACB + = ， ∴ ( ) 1 2 2 2 2 2 ACD BCD ACD BCD ACB + = + = + = ， ∵ 35 ACB = ， ∴1 2 2 35 70 += = ． （3） 2 1 2 ACB −= ． 证明：连接CD，如下图所示： 由折叠可知，MD MC = ， ∴ MDC MCD = ， 又∵1 MDC MCD = + ， ∴1 2 MCD = ， 同理可得， 2 2 NCD = ， 又∵ NCD MCD ACB − = ， ∴ ( ) 2 1 2 2 2 2 NCD MCD NCD MCD ACB −= − = − = ， ∴ 2 1 2 ACB −= ． 8 / 38 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型 典例2．（25-26 七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，AD，BC 相交于点O，连接AB ，CD． (1)求证： A B C D += + ． (2)若 57 A = ， 35 B = ， 60 C = ，求 D 的度数． 【答案】(1)证明：∵ 180 , 180 A B AOB C D COD + + = + + = ， ∴ 180 , 180 A B AOB C D COD + = − + = − ， ∵ AOB COD = ， ∴ A B C D += + ； (2)32 【分析】（1）根据三角形内角和定理可得 180 , 180 A B AOB C D COD + = − + = − ，再由对顶角相 等，即可求证； （2）由（1）中的结论解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得： A B C D += + ， ∵ 57 A = ， 35 B = ， 60 C = ， ∴57 35 60 D + = + ， ∴ 32 D = ． 题型模版 1.特征：形如“8”的图形（两条线段交叉），有一对对顶角，求角间关系或线段比例。 2.方法：利用对顶角相等与三角形内角和定理建立等式；若含平行线，则结合内错角/同位角推导角关系。 变式2-1．（25-26 八年级上·安徽马鞍山·期中）线段AB 、CD相交于点O，连接AD、CB ，我们把如图1 的图形称之为“8 字形”，则 A D B C + = + ，如图2，在图1 的条件下， DAB 和 BCD 的平分线AP 和 CP 相交于点P ，并且与CD、AB 分别相交于M 、N ，若 30 B = ， 40 D = ，则 P 的度数是______． 9 / 38 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】35/35 度 【分析】本题主要考查三角形内角和及外角，角平分线等知识点，熟练掌握基本知识是解题关键； 由“8 字形”结论可知 DAO D OCB B + = +， DAM D OCP P + = +，结合 40 D = ， 30 B = 得 到 10 OCB DAO − = ，再由角平分线得到 1 2 DAM DAO = ， 1 2 OCP OCB = ，最后代入 P DAM D OCP = + − 计算即可． 【详解】解：由“8 字形”结论得到 DAO D OCB B + = +， DAM D OCP P + = +， ∵ 40 D = ， 30 B = ， ∴ 40 30 DAO OCB + = + ， ∴ 10 OCB DAO − = ， ∵ DAB 和 BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P， ∴ 1 2 DAM DAO = ， 1 2 OCP OCB = ， ∵ DAM D OCP P + = +， ∴ P DAM D OCP = + − 1 1 40 2 2 DAO OCB = + − ( ) 1 40 2 OCB DAO = − − 1 40 10 2 = − 35 = ． 故答案为： 35． 变式2-2．（25-26 七年级下·山东菏泽·阶段检测）如图①，已知线段AB ，CD相交于点O，连接AC ，BD， 我们把形如这样的图形称为“8 字型”． 10 / 38 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)试说明： A C B D + = + ； (2)如图②，若 CAO 和 BDO 的平分线AP 和DP相交于点P，与CD，AB 相交于点M ，N ．若 100 B = ， 120 C = ，求 P 的度数． 【答案】(1)证明：∵ 180 A AOC C + + = ， 180 B BOD D + + = ， BOD AOC = ， ∴ A C B D + = + ； (2)110 【分析】（1）利用三角形内角和即可得答案； （2）根据角平分线的定义得到 CAP BAP = ，BDP CDP = ，再由“8 字型”得到 CAP C CDP P + = +， BAP P BDP B += +，两等式相减得到 C P P B −= −，即 ( ) 1 2 P C B = + ，最后把 120 C = ， 100 B = 代入计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：以M 为交点“8 字型”中，有 P CDP C CAP + = + ， 以N 为交点“8 字型”中，有 P BAP B BDP + = + , ∴2 P BAP CDP B C CAP BDP + + =++ + ， ∵AP DP 、 分别平分 CAB 和 BDC ， ∴ BAP CAP = ， CDP BDP = ， ∴2 P B C = + ， ∵ 100 120 B C = = ， ， ∴ ( ) ( ) 1 1 100 120 110 2 2 P B C = + = + = ． 变式2-3．（25-26 八年级上·全国·单元复习）阅读材料，回答下列问题： 11 / 38 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【材料提出】 “八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成． 【探索研究】 探索一：如图1，在八字型中，探索 A 、 B 、 C 、 D 之间的数量关系为 ___________； 探索二：如图2，若 36 B = ， 14 D = ，求 P 的度数为 ___________； 探索三：如图3，CP 、AG 分别平分 BCE 、 FAD ，AG 反向延长线交CP 于点P ，则 P 、B 、D 之 间的数量关系为 ___________． 【模型应用】 应用一：如图4，延长BM 、CN ，交于点A，在四边形MNCB 中，设 M = ， N = ， 180 + ，四 边形的内角 MBC 与外角 NCD 的角平分线BP，CP 相交于点P ，则 A =___________（用含有和的 代数式表示）， P =___________．（用含有和的代数式表示） 应用二：如图5，在四边形MNCB 中，设 M = ，N = ， 180 + ，四边形的内角 MBC 与外角 NCD 的角平分线所在的直线相交于点P ， P =___________．（用含有和的代数式表示） 【拓展延伸】 拓展一：如图6，若设 C x = ， B y = ， 1 3 CAP CAB = ， 1 3 CDP CDB = ，试问 P 与 C 、 B 之间 的数量关系为 ___________．（用x 、y 表示 ) P 拓展二：如图7，AP 平分 BAD ，CP 平分 BCD 的邻补角 BCE ，猜想 P 与 B 、 D 的关系，直接写 出结论 ___________． 【答案】探索一： A B C D += + ，探索二：25；探索三： 2 B D P + = ；应用一： 180 + − ， 12 / 38 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 180 2 + − ；应用二：180 2 − − ；拓展一： 2 3 x y P + = ；拓展二：2 180 P B D − − = 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，角平分线定义，熟练掌握三角形内角和定理是 解题关键． 探索一：根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解； 探索二：根据角平分线的定义可得 BAP DAP = ，BCP DCP = ，结合（1）的结论可得2 P B D =+ ， 再代入计算可求解； 探索三：运用探索一和探索二的结论即可求得答案； 应用一：如图4，延长BM ，CN ，交于点A，利用三角形内角和定理可得 180 A = + − ，再运用角平分 线定义及三角形外角性质即可求得答案； 应用二：如图5，延长MB 、NC ，交于点A，设T 是CB 的延长线上一点，R 是BC 延长线上一点，利用应 用一的结论即可求得答案； 拓展一：运用探索一的结论可得： P PAB B PDB + =+ ， P CDP C CAP + = + ， B CDB C CAB + = + ，再结合已知条件即可求得答案； 拓展二：运用探索一的结论及角平分线定义即可求得答案． 【详解】探索一：如图1， 180 AOB A B COD C D ++= + + = ， AOB COD = ， A B C D + = + ， 故答案为 A B C D += + ； 探索二：如图2， AP 、CP 分别平分 BAD 、 BCD ， 1 2 =， 3 4 = ， 由（1）可得：1 3 B P += +， 2 4 P D +=+ ， B P P D − = − ， 即2 P B D =+ ， 36 B = ， 14 D = ， 25 P = ， 故答案为25； 探索三：由① 2 1 2 3 D B + = + ， 由②2 2 3 2 2 1 B P + = + ， ①+ ②得： 2 2 1 2 3 2 3 2 2 1 D B B P + + + = + + + 13 / 38 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 2 D B P B + = + ． 2 B D P + = ． 故答案为： 2 B D P + = ． 应用一：如图4，由题意知延长BM 、CN ，交于点A， M = ， N = ， 180 + ， 180 AMN = − ， 180 ANM = − ， ( ) ( ) 180 180 180 180 180 A AMN ANM = − + = − − + − = + − ； BP 、CP 分别平分 ABC 、 ACB ， 1 2 PBC ABC = ， 1 2 PCD ACD = ， PCD P PBC = + ， ( ) 1 1 180 2 2 2 P RFPCD PCD PBC ACD ABC A + − = − = − = = ， 故答案为： 180 + − ， 180 2 + − ； 应用二：如图5，延长MB 、NC ，交于点，设T 是CB 的延长线上一点，R 是BC 延长线上一点， M = ， N = ， 180 + ， 180 A = − − ， BP 平分 MBC ，CP 平分 NCR ， BP 平分 ABT ，CP 平分 ACB ， 由应用一得： 1 180 2 2 P A − − = = ， 故答案为：180 2 − − ； 拓展一：如图6，由探索一可得： , P PAB B PDB P CDP C CAP + = + + = + ， B CDB C CAB + = + ， C x = ， B y = ， 1 3 CAP CAB = ， 1 3 CDP CDB = ， CDB CAB C B x y − = − = − ， 2 3 PAB CAB = ， 2 3 PDB CDB = ， 14 / 38 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 2 3 3 P CAB B CDB + = + ， 1 1 3 3 P CDB C CAB + = + ， ( ) ( ) 1 1 4 2 2 3 3 3 x y P C B CDB CAB x y x y + = ++ − = + + − = ， 2 3 x y P + = ， 故答案为： 2 3 x y P + = ； 拓展二：如图7， AP 平分 BAD ，CP 平分 BCD 的邻补角 BCE ， 1 2 PAD BAD = ， 1 90 2 PCD BCD = + ， 由探索一得：① B BAD D BCD + = + ，② P PAD D PCD + = + ， ②2 得：③2 2 180 P BAD D BCD + = + + ， ③- ①，得：2 180 P B D − = + ， 2 180 P B D −− = ， 故答案为：2 180 P B D − − = ． 题型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型 典例3．（24-25 七年级下·上海青浦·期中）如图1 所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们把这 样的图形叫做“规形图”． 15 / 38 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)观察“规形图”，试探究 BDC 与 A B C 、 、 之间的关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决问题： ①如图2，小叶把一块三角尺XYZ 放置在ABC 上，使三角尺的两条直角边XY XZ 、 恰好经过点B、C，若 36 A = ，直接写出 ABX ACX ＋ 的结果； ②如图3，DC 平分 ADB ，EC 平分 AEB ，若 40 A = ∠ ， 130 DBE = ，求 DCE 的度数． 【答案】(1)解： BDC BAC B C = ++ ，理由是： 过点A、D 作射线AF ， ∵ , FDC DAC C BDF B BAD = + = + ， ∴ FDC BDF DAC BAD C B + = + ++， 即 BDC BAC B C = ++ ； (2)①54；②85 【分析】（1）作射线AF ，根据三角形的外角的性质可得结论： BDC BAC B C = ++ ； （2）①先根据三角尺可知： 90 X = ，根据（1）的结论可得： 90 A ABX ACX BXC + + = = ，从而 得结论； ②先根据（1）的结论可得： ADB AEB + 的度数，由角平分线可得： ( ) 1 45 2 ADC AEC ADB AEB + = + = ，从而得结论． 【详解】（1）略； （2）解：∵ 90 BXC = ， 由（1）知： 90 A ABX ACX BXC + + = = ， 16 / 38 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵ 36 A = ， ∴ 54 ABX ACX + = ； ②∵ 40 , 130 A DBE = = ， ∴ 130 40 90 ADB AEB + = − = ， ∵DC 平分 , ADB EC 平分 AEB ， ∴ 1 1 , 2 2 ADC ADB AEC AEB = = ， ∴ ( ) 1 45 2 ADC AEC ADB AEB + = + = ， ∴ 40 45 85 DCE A ADC AEC = + + = + = ． 题型模版 1.特征：图形似燕尾（公共顶点引出三条射线），涉及多个三角形内角与公共角的和差关系。 2.方法：利用三角形内角和定理及公共角相等，逐层建立角与角的代数关系，通过等式叠加或相减消元求解。 变式3-1．（25-26 八年级上·安徽淮南·期中）如图1，在四边形ABDC 中， 86 A = ， 34 B = ， 24 = C ． （1） BDC =______； （2）如图2， ABD 和 ACD 的角平分线BE与CF 交于点G，BE，CF 分别与AC ，AB 交于点E 和点F， 则 BGC =______． 【答案】 144 115 【分析】本题考查了三角形的外角性质． （1）连接AD并延长至点H，利用三角形的外角性质即可求解； （2）连接AG 并延长至点K，利用三角形的外角性质结合角平分线的定义即可求解． 【详解】解：（1）如图1，连接AD并延长至点H． ∴ BDC BDH CDH = + BAD B CAD C = ++ + BAC B C = ++ 17 / 38 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 86 34 24 144 = + + = ； （2）如图2，连接AG 并延长至点K． ∵BE CF ， 分别平分 ABD ， ACD ， ∴ 1 1 34 17 2 2 ABE ABD = = = ， 1 1 24 12 2 2 ACF ACD = = = ， ∴ BGC BGK CGK = + ABE BAG CAG ACF = + + + ABE BAC ACF = + + 17 86 12 115 = + + = ， 故答案为：144；115． 变式3-2．（24-25 七年级下·山西长治·期末）综合与探究． 问题背景：已知如图1，凹四边形ABDC ． 初探： (1)试探究 BDC 与 A ， B ， C 之间的数量关系，并说明理由； 应用 (2)请你直接利用以上结论，解决下面问题． 如图2，把一块三角尺EFG 放置在ABC 上，使三角尺的两条直角边EG ，FG 恰好经过点B ，C ，若 38 A = ， 则 ABG ACG + =______； 拓展 18 / 38 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (3)如图3，DC 平分 ADB ，EC 平分 AEB ，若 70 DAE = ， 120 DBE = ，求 DCE 的度数． 【答案】(1) BDC BAC B C = ++ ，理由见解析 (2)52 (3)95． 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质以及角平分线，掌握三角形内角和定理，三角形 外角的性质以及角平分线的定义是正确解答的关键． （1）连接AD并延长至点M ，由三角形外角的定义及性质计算即可得出结果； （2）由（1）得 BGC ABG ACG A = + +，结合 38 A = ， 90 BGC = ，计算即可得出结果； （3）根据角平分线的定义以及（1）、（2）的结论进行计算即可． 【详解】（1）解： BDC BAC B C = ++ ，理由如下： 如图：连接AD并延长至点M ， 则 BDM BAD B = + ， CDM CAD C = +， ∵ BAC CAD BAD = + ， BDC BDM CDM = + ， ∴ BDC BAC B C = ++ （2）解：由（1）得： BGC ABG ACG A = + +， ∵ 38 A = ， 90 BGC = ， ∴ 52 ABG ACG BGC A + = −= ； （3）解：由（1）可得： DCE A ADC AEC =+ + ， DBE A ADB AEB =+ + ， ∵DC 平分 ADB ，EC 平分 AEB ， ∴ 1 2 ADC BDC ADB = = ， 1 2 AEC BEC AEB = = ， ∵ 70 DAE = ， 120 DBE = ， ∴ 50 ADB AEB + = ， ∴ 25 ADC AEC + = ， ∴ 95 DCE A ADC AEC = + + = ． 19 / 38 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式3-3．（25-26 八年级上·河北保定·期中）【问题背景】 研究了三角形内角和定理及其推论后，我们可以把飞镖抽象成图1 的形状，我们把这个图形 形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系． 【解决问题】 （1）如图1，探究 ( ) 180 ABC ABC 与 A ， D ， C 三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是 ABC A D C = + + ，他的证明过程如下： 证明：连接DB，并延长到点P． …… 请你将小明的证明过程补充完整． 【类比探究】 （2）如图2， 90 A C E ++= ， 150 B D + = ，求 AFE 的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，AM EN ∥ ， 150 B D + = ， 50 C E + = ，则 MAB 的度数为______． 【答案】（1）见解析；（2）60；（3）100． 【分析】本题考查三角形的外角性质及其应用、平行线的性质，解答的关键是利用转化的思想方法解决问 题． （1）连接DB，并延长至点E ，利用三角形的外角求解即可； （2）连接CF ，利用（1）中结论可得 B A AFC BCF = + + ，D E EFC DCF = + + ，结合已知可 求解； （3）在直线EN 上取一点P ，连接AP ，利用（2）中结论可得1 3 100 += ，再利用平行线的性质可得 2 3 = ，进而得到1 2 100 += °即可求解． 【详解】解：（1） ABC A D C = + + ． 证明：如图，连接DB，并延长至点E ， 20 / 38 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵ = A ADB ABE + ， C CDB CBE + = ， ∵ ABC ABE CBE = + ， ∴ ABC A ADB CDB C = + + + ， ∴ ABC A ADC C = + + ； （2）如图，连接CF ， 由（1）可知 B A AFC BCF = + + ， D E EFC DCF = + + ， ∵ 150 B D + = ， 90 A BCD E + + = ， ∴150 A AFC BCF E EFC DCF = + + ++ + ， ∴150 90 90 AFC EFC AFE = + + = + ， ∴ 60 AFE = ； （3）如图，在直线EN 上取一点P ，连接AP ， 由（2）可知 150 1 3 B D C E + = = ++ ＋ ， ∵ 50 C E + = ， ∴ 1 3 100 += ， ∵AM EN ∥ ， ∴ 2 3 = ， ∴1 2 100 += °， 21 / 38 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 100 MAB = ． 故答案为：100． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26 九年级下·吉林长春·阶段检测）如图，点E 、D 分别在AB 、AC 上．若 30 B = ， 50 C = ， 则1 2 +的度数为（ ） A．100 B．80 C．120 D．40 【答案】B 【分析】先根据三角形内角和定理求出 A 的度数，再在ADE 中利用三角形内角和定理即可求出 1 2 + 的度数． 【详解】解：在ABC 中， 30 B = ， 50 C = ， ( ) ( ) 180 180 30 50 100 A B C = − + = − + = ． 在ADE 中， 1 2 180 A + + = ， 1 2 180 180 100 80 A + = − = − = ． 故选：B． 2．（25-26 八年级上·云南昆明·期末）如图，在四边形ABCD中， 35 A = ， 25 C = ， 50 D = ，则1 的 度数为（ ） 22 / 38 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．70 B．100 C．110 D．130 【答案】C 【分析】本题考查三角形外角的性质，通过构造辅助线(延长线段)，利用“三角形的一个外角等于与它不相 邻的两个内角之和”这一性质，逐步推导角度关系即可求解． 【详解】解：如图，延长AB 交CD于点E ． ∵在ADE 中， BEC 是外角， ∴ 35 50 85 BEC A D = + = + = ． ∵在BEC 中，1 是外角， ∴ 1 85 25 110 BEC C = + = + = ． 故选：C． 3．（25-26 八年级上·河南焦作·期中）如图是可调节躺椅示意图（数据如图），AE 与BD的交点为C ，且 A ， B ， E 保持不变，为了舒适，需要调整 D 的大小，使 130 EFD = ，则图中 D 应（ ） A．增加10° B．减少10° C．增加20° D．减少20° 23 / 38 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的外角的性质，三角形的内角和定理．熟练使用上述定理是解题的关键． 延长EF ，交CD于点G ，依据三角形的内角和定理可求 ACB ，根据对顶角相等可得 DCE ，再由三角形 内角和定理的推论得到 DGF 的度数（用 E 表示），利用 130 EFD = 和三角形的外角的性质可得的 E 度 数，从而得出结论． 【详解】延长EF ，交CD于点G ， 50 CAB = ， 60 CBA = ， 70 ECD ACB = = ， 70 ECB ACD = = ， DGF DCE E = + ， 70 DGF E = +， 130 EFD = ， EFD DGF D = +， 70 20 90 130 EFD DGF D E E = + = ++ = + = ， 40 E = ， 图中 E 30 = ， 40 30 10 − = ， 增加10； 故选A ． 二、填空题 4．（25-26 八年级上·四川自贡·阶段检测）如图，点 , E D 分别在 , AB AC 上，若 30 , 55 B C = = ，则1 2 + 的度数为__________． 24 / 38 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】85/85 度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，解决本题的关键是求解出 A 的度数． 根据三角形内角和为180，可求解 A 的度数，再根据 1 2 180 A ++= ，由此可解． 【详解】解：∵ 180 A B C ++ = ， 30 , 55 B C = = ， ∴ 180 30 55 95 A = − − = ， ∴1 2 180 180 95 85 A += −= − = ． 故答案为：85 ． 5．（25-26 八年级上·湖北襄阳·阶段检测）利用身边的各种生活废品来满足我们的日常需要，这种“低碳”的 生活方式逐渐影响居民的生活习惯．周末，小颖准备用家里废弃的布料手工缝制玩偶，找到了如图所示的 一块四边形的余料，经过测量， 90 BDC = ， 35 C = ， 32 A = ，那么 B 的度数是___________ 【答案】23/23度 【分析】本题考查了邻补角，三角形外角的性质，三角形内角和定理，找出角度之间的数量关系是解题关 键． 延长CD交AB 于点E ，由邻补角可得 90 BDE = ∠ ，由三角形外角的性质可得 67 BED = ，再利用三角形 内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，延长CD交AB 于点E ， 90 BDC = ， 180 90 BDE BDC = − = ， 35 C = ， 32 A = ， 67 BED A C = + = ， 25 / 38 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 180 23 B BDE BED = − − = ， 故答案为：23． 6．（25-26 八年级上·河南信阳·阶段检测）如图， , AB CD 相交于点O，若BE平分 ABD 交CD于F，CE 平 分 ACD 交AB 于G， 48 A = ， 46 D = ，则 BEC =________ ． 【答案】47/47 度 【分析】此题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义．先求出 2 DBO ACO − = ，再得到 ( ) 1 1 2 EBG ACG OBD ACO − = − = ，求出 BEG EBG ACG A + − = ，得到 1 48 BEG + = ，即可 得到答案． 【详解】解：在 BOD △ 中， 180 D BOD DBO + + = ， 在AOC 中， 180 A AOC ACO + + = ， ∵ BOD AOC = ， ∴ D DBO A ACO + = + ， ∵ 48 A = ， 46 D = ， ∴46 48 DBO ACO + = + ， ∴ 2 DBO ACO − = ， ∵BE平分 ABD 交CD于F，CE 平分 ACD 交AB 于G， ∴ 1 1 , 2 2 EBG OBD ACG ACO = = ， ∴ ( ) 1 1 2 EBG ACG OBD ACO − = − = ， 在BEG 中， 180 BEG BGE EBG + + = ， 在 AGC △ 中， 180 A AGC ACG + + = ， ∵ BGE AGC = ， ∴ BEG EBG A ACG + = + ， 26 / 38 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ BEG EBG ACG A + − = ， ∴ 1 48 BEG + = ， ∴ 47 BEG = ， 故答案为：47． 三、解答题 7．（25-26 八年级下·江西吉安·阶段检测）【课本再现】 (1)已知：如图，点D在 BAC 的内部．求证： BDC B C A = + +； 【联系拓展】 (2)在（1）中 BAC 的情况下，若点D 在线段AC 所在直线的下方，此时 BDC ，A ，B ， C 之间有怎 样的数量关系，给出结论并证明． 【答案】(1)见解析 (2) BDC A B C = +− 或 BDC C B A = −−，证明见解析 【分析】 （1）连接AD并延长至点F ，利用三角形外角的性质可得 BDF BAD B = +，CDF CAD C = + ， 再利用 BDC CDF BDF = + 即可证明； （2）分当点D在点C 右侧时和当点D 在点C 左侧时两种情况分别讨论，利用三角形外角的性质求解． 【详解】（1）解：如图，连接AD并延长至点F ， ∴ BDF BAD B = +， CDF CAD C = + ， ∴ ( ) BDC CDF BDF CAD C BAD B B C BAD CAD B C A = + = + + + = + + + = + + ； 27 / 38 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （2）解：如图，当点D在点C 右侧时，设AC 与BD交于点E ， ∵ AED A B =+， AED C BDC = + ， ∴ A B C BDC += + ， ∴ BDC A B C = +− ； 如图，当点D在点C 左侧时， 连接BC 并延长至点G ， ∴ GCA A CBA = + ， GCD D CBD = + ， ∴ ( ) ACD GCA GCD A CBA D CBD A D CBA CBD A D ABD = + = + + + = + + + = + + ， ∴ BDC ACD ABD A = − −； 综上， BDC A B C = +− 或 BDC C B A = −−； 8．（25-26 七年级下·吉林长春·期中）阅读下列材料，回答问题． 如图①所示的图形，像我们生活中的物品--回旋镖，我们不妨把这样的图形叫做“回旋镖图”，在这样一个简 单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决下列问题： (1)如图①，试猜想 A 、 B 、 C 、 BDC 之间的数量关系，并说明理由； 28 / 38 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)如图②，把一块三角尺DOE 放置在ABC 上，使三角尺的两条直角边OD 、OE 恰好经过点B 、C ，若 56 A = ，则 ABO ACO + = ___________； (3)如图③，在四边形ABCD中，ABC 与 ADC 的角平分线交于点E ，若 124 BCD = ， 90 BED = ，则 A =___________． 【答案】(1) BDC B BAC C = + + ，理由见详解； (2)34 (3)56 【分析】本题考查了三角形内角和定理及角平分线的性质：（1）连接AD并延长至E，根据三角形内角和定 理得到 180 B BAD ADB + + = ， 180 C CAD ADC + + = ，再结合 360 ADC ADB BDC + + = 即可得 到答案；（2）根据三角板得到 90 DOE = ，由（1）的结论同理即可得到答案；（3）根据（1）的结论先求 出 EBC EDC + ，再结合角平分线 ABC ADC + ，即可得到答案； 【详解】（1）解： BDC B BAC C = + + ，理由如下， 连接AD并延长至E，如图所示， ∵ 180 B BAD ADB + + = ， 180 C CAD ADC + + = ， ∴ 360 B BAC C ADB ADC + ++ + = ， ∵ 360 ADC ADB BDC + + = ， ∴ BDC B BAC C = + + ； （2）解：∵三角尺的两条直角边OD 、OE 恰好经过点B 、C ， ∴ 90 DOE = ， 由（1）得， ABO ACO A BOC + += ， ∵ 56 A = ， ∴ 90 56 34 ABO ACO + = − = ， 故答案为：34； 29 / 38 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （3）解：由（1）可得， A ABC ADC BCD + + = ， E EBC EDC BCD + + = ， ∵ 124 BCD = ， 90 BED = ， ∴ 124 90 34 EBC EDC + = − = ， ∵ ABC 与 ADC 的角平分线交于点E ， ∴ 2( ) 68 ABC ADC EBC EDC + = + = ， ∴ 124 68 56 A = − = ， 故答案为：56． 9．（25-26 七年级下·山东滨州·期末）如图所示的图形，像我们常见的符号一一箭号．我们不妨把这样的图 形叫做“箭头四角形”． 探究： (1)观察“箭头四角形”，试探究图1 中 BDC 与 A ， B ， C 之间的关系，并说明理由； 应用： (2)请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： ①如图2，把一块三角尺XYZ 放置在ABC 上，使三角尺的两条直角边XY 、XZ 恰好经过点B ，C ，若 60 A = ，则 ABX ACX + = __________； ②如图3， , ABE ACE 的二等分线（即角平分线） , BF CF 相交于点F ，若 60 BAC = ， 130 BEC = ， 求 BFC 的度数． 【答案】(1) BDC BAC B C = ++ ，理由见解析 (2)①30；②95 【分析】（1）如图1中，连接AD并延长到M ，利用三角形的外角的性质证明即可； （2）①利用（1）中结论计算即可； ②如图3中，设 ABF EBF x = = ， ACF ECF y = = ，利用（1）中结论，求出x y + 即可解决问题． 30 / 38 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【详解】（1）解：结论： BDC A B C = ++ ．理由： 如图1 中，连接AD并延长到M ， 因为 BDM BAD B = + ， CDM CAD C = +， 所以 BDM CDM BAD B CAD C + = ++ +， 即 BDC BAC B C = ++ ； （2）解：①如图2 中， 由（1）知： BXC A ABX ACX = + + ， 因为 90 BXC = ， 60 A = ， 所以 90 60 30 ABX ACX BXC A + = −= − = ； ②如图3中，设 ABF EBF x = = ， ACF ECF y = = ， 由（1）可知， 2 2 60 130 BEC x y = + + = ， 35 x y + = ， 60 BFC x y = + + ， 31 / 38 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 95 BFC = ． 10．（24-25 七年级下·吉林长春·期末）【问题呈现】如图①，四边形ABCD形似“飞镖”，我们形象地称它为“飞 镖图”．它实际上是凹四边形，通过探究发现：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和，即 BDC A B C = ++ ． 【探究推理】方法一：如图②，连结BC ． ∵在ABC 中， 180 A ABC ACB + + = ， ∴ 1 2 3 4 180 A ++++= ． 又∵在BDC 中， 2 4 180 BDC ++ = ， ∴ 2 4 180 BDC += − ， ∴ 1 3 180 180 A BDC +++ − = ， ∴ 1 3 BDC A = ++． 即 BDC A ABD ACD = + + ． 方法二：如图③，连结AD并延长至F． ∵ 3 与 4 分别为ABD 和ACD 的外角， … （1）“方法一”主要依据的数学定理是 ； （2）根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出余下的推理过程． 【迁移应用】 （3）如图④， A B C D E ++ + + = ； 32 / 38 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （4）如图⑤是可调躺椅示意图（数据如图），AE 与BD的交点为C，且 CAB CBA D 、 、 的大小保持 不变．为了舒适，需调整 E 的大小，使 110 EFD = ，则图中 E 应 （填“增加”或“减少”）的大小为 度． 【答案】（1）三角形的内角和等于 180；（2）推理过程见解析；（3）180；（4）减少，10 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，作出辅助线构造出三角形是解本题 的关键． （1）根据三角形内角和定理，即可得出结论； （2）根据三角形的外角的性质，即可得出结论； （3）根据三角形的外角性质，可以得到∠A+∠B=∠2，∠D+∠E=∠1，再结合三角形的内角和定理，可以得到 ∠1+∠2+∠C=180°，即可得到答案； （4）延长EF ，交CD于点G，依据三角形的内角和定理可求 ACB ，根据对顶角相等可得 DCE ，利用 110 EFD = 得到 DGF 的度数，可得 E 的度数，从而得出结论． 【详解】解：（1）三角形的内角和等于 180， 故答案为：三角形的内角和等于180； （2）∵ 3 1 4 2 B C = + = + ， ， ∴ 3 4 1 2 B C += +++ ， ∵ 3 4 1 2 BDC BAC += += ， ， ∴ BDC BAC B C = ++ ； （3）如图，延长BE交AC 于点F， ∵ 2 1 1 2 180 A B D E C + = + = ++ = ， ， ， ∴ 2 1 180 A B C D E C +++ += ++= ， 故答案为：180； （4）延长EF ，交CD于点G，如图： 33 / 38 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵ 180 50 60 70 ACB = − − = ， ∴ 70 ECD ACB = = ． ∵ 110 EFD EFD DGF D = = + ， ， ∴ 90 DGF = ． ∵ DGF DCE E = +， ∴ 70 90 DGF E = + = ， ∴ 20 E = ． 而图中 30 E = ， ∴ E 应减少10． 故答案为：减少，10． 11．（25-26 七年级下·河南南阳·阶段检测）综合探究 (1)问题提出 如图1， ACD 是ABC 的一个外角，则 ACD ， A ， B 之间的数量关系为_____． (2)尝试探究 如图2，线段AB ，CD相交于点O，连接AC ，BD，我们把形如这样的图形称为“8 字型”．请仔细观察该 图形，求 , , , A B C D 之间的数量关系． (3)拓展提升 如图3，这是由线段组成的一个“风筝”形状的图形．试探究 , , , A B C D ， , E F 之间的数量关系． 【答案】(1) ACD A B = + (2) A C B D + = + 34 / 38 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (3) B C A D E F + = + ++ 【分析】此题考查了三角形外角性质，熟记三角形外角性质是解题的关键． （1）根据三角形外角的性质即可求出答案； （2）根据三角形的内角和定理及对顶角相等即可得到结论； （3）结合（2），根据三角形外角性质求解即可． 【详解】（1）解：∵ ACD 是ABC 的一个外角， ∴ ACD A B = + ； （2）解：在图2 中，有 180 180 A C AOC B D BOD ? ? ? 行 +? ? ? ， ， ∵ AOC BOD = ， ∴ A C B D + = + ， 故答案为： A C B D + = + ； （3）解： B C A D E F + = + ++，理由如下： 如图， ∵1 , 2 1 A D E ? ? 行 = ? ? ， ∴2 A D E ? ? ? ? ， 由（2）知， 2 F B C +=+， ∴ B C A D E F + = + ++． 12．（24-25 七年级下·福建泉州·期末）如图1 是常见的“8 字型”平面图形，设 , AB CD 的交点为O，根据“三 角形的内角和”等相关几何知识，易证得 A D C B + = +这个重要数学结论． 35 / 38 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)【模型求解】如图2，线段EF 位于四边形ABCD内部，连结 , BE CF 交于点O，运用上述结论，求出 A ABE DCF D E F + + + ++ 的度数； (2)【构造模型】如图3 是常见的“五角星”平面图形，求出 A B C D E ++ + +的角度之和（要求：用 两种思路进行求解）． (3)【拓展运用】若将图3 中“五角星”的五个角截去，得到如图4，请求出图4 中 A B C D E F G H M N +++ +++ + + +的角度之和． 【答案】(1)360 (2)180 (3)1080 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线构造三角形和“8”字模型是解答此题的关键． （1）利用“8”字模型和四边形内角和进行计算即可； （2）连接CD，构造三角形和“8”字模型即可求解； （3）构造三角形，利用（2）中的结论可得结论． 【详解】（1）解：（1）由“8 字型”可知， E F EBC FCB + = + ， A ABE DCF D E F + + + ++ A ABE DCF D EBC FCB = + + + + + 360 = ； （2）如图3：连接CD， 36 / 38 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 由（1）得： B E ECD BDC += + ， 180 A ACD ADC + + = ， 180 A ACE B E ADB + +++ = ， 即五角星的五个内角之和为180． （3）如图4，延长DA，GN 于点P ，延长BM ，EH 于点Q ，延长NG ，CF 于点S，延长HE ，AD于点T ， 延长FC ，MB 于点R ， 由（3）得 180 P Q S T R + + + + = ， 180 P PAN PNA + + = ， 180 PAN PNA P + = −， 180 180 180 DAN GNA PAN PNA P + = − + − = +， 同理可得， 180 BMH EHM Q + = + ， 180 CFG FGN S + = +， 180 HED ADE T + = + ， 180 FCB CBM R + = + ， DAN GNA BMH EHM CFG FGN HED ADE FCB CBM + + + + + + + + + 37 / 38 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 180 5 P Q S T R = + + + + + 1080 = ． 13．（25-26 八年级上·河南安阳·阶段检测）请阅读下列材料，并完成相应的任务： 如图①，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”，在此图形中，可证 ADB A B C = ++ ， 在探究 A ， B ， C 与 ADB 之间的关系时，小明同学提供了下面两种方法． 方法一：如图②，连接AB． 在ABC 中， 180 C CAB CBA + + = ，即1 2 3 4 C 180 + + + + = ， 在ABD 中，1 2 180 ADB ++ = ， 3 4 ADB C CAD CBD C = + + = + + 方法二：如图③，连接CD并延长至点F ． 解答下列问题： (1)根据“方法二”中添加的辅助线，补全方法二的推理过程； (2)如图①，当 30 A = ， 40 B = ， 120 ADB = 时， C 的度数为_________． (3)拓展：如图④， 100 ABC = ， 130 DEF = ，求 A C D F + + +的度数． 【答案】(1)见解析； (2)50； (3)230． 【详解】（1）证明： 1 是ADC 的外角， 1 2 A = +， 3 是BDC 的外角， 3 4 B = +， 1 3 2 4 A B A ACB B += +++= + +， ADB A B ACB = ++ ； （2）解：由( ) 1 可知 ADB A B ACB = ++ ， 38 / 38 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 30 A = ， 40 B = ， 120 ADB = ， 120 30 40 ACB = + + ， 120 30 40 50 ACB = − − = ， 故答案为：50； （3）解：如下图所示，连接AD， 在四边形ABCD中， 100 BAD ADC DCA ABC + + = = ， 在四边形AFED中， 130 AFE ADE DAF FED + + = = ， 100 130 230 BAD ADC DCA AFE ADE DAF FED ABC + + + + + = + = + = ， 230 BAD F EDC C ++ + = ， 即 230 A C D F ++ + = ．
