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1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题01 经典必考圆模型 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 模型一、垂径定理模型 模型二、圆周角倒角模型 模型三、圆内接四边形模型 模型四、相交弦定理模型（圆内两弦相交 模型五、三角形外接圆模型（外心） 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 看到圆相关模型题第一步先找圆的基本要素：确定圆心与半径，若涉及动点要先判断动点轨迹是否为 圆（满足到定点距离等于定长、对角互补的四边形顶点共圆、定线段对定角这三类特征的动点轨迹都是圆）； 接着找位置关系与数量关系：直线和圆关注圆心到直线的距离d 和半径r 的大小关系，圆和圆关注圆心距和 两半径和差的大小关系，涉及弦长用垂径定理结合勾股定理计算，涉及切线必连圆心和切点得垂直关系， 涉及直径立刻想到直径所对的圆周角是直角；最后结合所求转化问题计算：把最值、范围、距离等问题转 化为圆上点到定点/定直线的距离问题，利用圆心到定点/定直线的距离加减半径得结果，涉及交点个数直接 根据位置关系的判定规则判断，涉及角度计算利用圆周角定理和圆心角定理转化推导即可。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 模型一、垂径定理模型 典例1 如图， 是 的弦，半径 于点D．若 ， ．则 的长是（ ） A．5 B．6 C．8 D．10 目 录 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 模型模版 1.特征：有圆的直径（半径）垂直于一条弦，出现垂直、平分弦、平分弧条件。 2.方法：过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，用勾股定理计算半径、弦长、弦心距。 变式1-1 如下图所示， 为 上两点，且 ，弦 于D 点，则弦 的长为（ ） A． B． C． D． 变式1-2 如图， 是 的直径，弦 于点E， ， ，则 的半径 _______． 变式1-3 如图是一个管道的横截面，圆心O 到水面 的距离 是3，水面宽 ．求这个管道横截面 的半径． 模型二、圆周角倒角模型 典例2 如图， 是 的直径， ， 是 上的两点，连接 ， ， ，若 ，则 的度数是（ ） 3 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 题型模版 1.特征：同圆中多条弦、多个圆周角，存在共弧或等弧，角度需要转化推导. 2.方法：利用同弧 / 等弧圆周角相等，直径得直角，进行角度等量代换完成倒角。 变式2-1 如图， 是 的直径，点 、 在圆周上， ，则 的度数为（ ） A． B． C． D． 变式2-2 如图，在 中， ， ，则 ______． 变式2-3 如图， 为 的直径， ， 为 上两点， ，则 的度数为_________． 模型三、圆内接四边形模型 典例3 如图，在 中， 所对的圆心角为 ，点 在 上．若 ，则 （ ） 4 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 题型模版 1.特征：四边形四个顶点全部落在圆上，出现对角或外角相关角度条件。 2.方法：运用对角互补、外角等于内对角，实现角度之间的转换计算。 变式3-1 如图，点A、B、C、D 在 上，若 ，则 的度数为（ ） A． B． C． D． 变式3-2 如图， 为 的一条弦，且 ，C 为劣弧 上一点，连接 ，则 的度数为_____． 变式3-3 如图， 是 的内接三角形，延长 至点D， 平分 交 于点E，连接 ， ．求 证： ． 5 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 模型四、相交弦定理模型（圆内两弦相交） 典例4 如图，圆中两条弦AC，BD 相交于点P．点D 是 的中点，连结AB，BC，CD，若BP＝ ，AP＝1， PC＝3．则线段CD 的长为（ ） A． B．2 C． D． 题型模版 1.特征：圆内两条弦相交于圆内一点，产生线段乘积类条件或待求。 2.方法：利用相交弦的线段乘积相等，转化线段进行计算。 变式4-1 如图，圆 的两条弦 相交于点 和 的延长线交于点 ，下列结论中成立的是（ ） A． B． C． D． 变式4-2 已知： 的两条弦 相交于点M． 6 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)如图1，若 ，连接 ．求证： ． (2)如图2，若 ，在弧BD 上取一点E，使 ， 交 于点F，连 ．若 ， 求 的大小． 变式4-3⊙O 的两条弦AB，CD 交于点P，已知AP＝4，BP＝6，CP＝3，求CD 的长． 题型五、三角形外接圆模型（外心） 典例5 如图， ， O 是 的外接圆圆心，连接 并延长，交 于点 ，则 的 度数为（ ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：三角形三个顶点都在圆上，圆心为三边垂直平分线交点。 2.方法：利用外心到三顶点距离相等，结合直角三角形性质求外接圆半径。 变式5-1 如图， 是 的外接圆， ，则 的度数为（ ） 7 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 变式5-2 如图，O 是 的外心，则 ________． 变式5-3 如图， 内接于 ， ．连接 并延长，交 于点 ． (1)求证： 垂直平分 ； (2)若 的半径为5， ，求 的长． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图， 为 直径，弦 于E， ，则 长为（ ） A．1 B． C．2 D． 8 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2．如图，点 ， ， ， 在 上，四边形 是菱形，则 的度数是（ ） A． B． C． D． 3．如图，在 中， ， ， 为 上的任意一点， ，， ， 是 上的四个点， 则 的角度为（ ） A． B． C． D． 4．如图， 是 的两条弦，且 ， 于点E，连接 ．若 的半径为5，则弦 的长为（ ） A．5 B． C． D．10 5．如图， 是 的外接圆，外角 的度数为 ，则 的度数为（ ） A． B． C． D． 6．如图，在 中， 为直径，弦 于点H，若 ，则 的半径长为______． 9 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 7．如图 ， ， 都是 的半径， ， 平分 ，则 ________°． 8．如图， 是 的直径，点B，C 在 上，若 ，则 的度数为____________． 9．如图， 的两条弦 和 相交于点 ，若弧 、弧 的度数分别为 、 ，则 的度数 为______． 10．如图，已知 是 的外接圆， 是 的直径，若 ，则 的度数是_________ ． 10 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 11．《九章算术》是中国古代数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问 题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的语言表述 如下：如图， 是 的直径，弦 于点E， 寸， 寸，求直径 的长． 12．如图， ，， ， 是 上的四个点， 为 的直径，且 ，连接 ， ， ， ， 过点 作 ，垂足为 ． (1)求 的度数； (2)若 ，求 的长． 13．已知：如图， 是圆内接四边形 的一个外角，并且 ．求证： 平分 ． 14．如图1，圆O 的两条弦 交于点E，两条弦所成的锐角或者直角记为 ． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)点点同学通过画图和测量得到以下近似数据： 的度数 的度数 的度数 猜想： 、 、 的度数之间的等量关系，并说明理由． (2)如图2，若 ，将 以圆心为中心顺时针旋转，直至点A 与点D 重合，同时B 落 在圆O 上的G 点，连接 ． ①求 的度数； ②求 ． 15．如图，已知 中 设 的外接圆为 ， 的平分线 交 于点D， 点E 在 的延长线上且 ，连接 ， ． (1)尺规作图：作 的外接圆为 的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证： ．
