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专题02 二次函数图象和性质与系数的问题
常考题型·精准突破
题型1 二次函数中含参数的图象和性质（难）
题型2 一次函数与二次函数图像综合判断问题（高频）
题型3 二次函数与几何图形中的动点问题（高频）
题型4 二次函数图像与各项系数符号问题（高频）
题型5 二次函数中含参数的综合问题（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 二次函数中含参数的图象和性质
1．（2026·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数
2
2
(
0)
y
x
mx
m m
=
−
+
的图象与x 轴有两个
交点，则下列关于该函数的结论正确的是（ ）
A．图象的对称轴在y 轴的左侧
B．0
1
m
C．图象的顶点在第四象限
D．图象与x 轴的两个交点在y 轴两侧
【答案】C
【分析】利用二次函数的对称轴公式、判别式、顶点坐标、交点符号的判断方法，结合
0
m
的条件，依次
判断每个选项即可得到结论．
【详解】对于二次函数
2
2
(
0)
y
x
mx
m m
=
−
+
，可得
1
a = ，
2
b
m
= −
，c
m
=
，
∵ 函数图象与x 轴有两个交点
∴ 判别式
(
)
2
2
2
4
( 2 )
4 1
4
4
4
1
0
b
ac
m
m
m
m
m m
=
−
= −
−
=
−
=
−
，
∵
0
m
，
∴
1
0
m−
，即
1
m ，
选项A：二次函数对称轴为
2
0
2
2
b
m
x
m
a
= −
=
=
，对称轴在y 轴右侧，A 错误；
选项B：由推导得
1
m ，B 错误；
选项C：顶点横坐标为
0
m
，将x
m
=
代入函数得顶点纵坐标
(
)
2
2
2
1
y
m
m m
m
m
m
m m
=
−
+
= −
+
= −
−
，
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∵
1
m ，
∴
0
y
，顶点横坐标为正，纵坐标为负，因此顶点在第四象限，C 正确；
选项D：设函数与x 轴交点横坐标为
1
2
,
x x ，则
1 2
0
c
x x
m
a
=
=
，说明
1
2
,
x x 同号，两个交点在y 轴同侧，D
错误．
2．（2026·陕西西安·三模）关于抛物线
2
2
4
5
2
y
x
mx
m
=
−
+
+
（m 为常数），下列说法正确的是（ ）
A．对称轴在y 轴右侧
B．顶点在第二象限
C．若
4
x
时，y 随x 的增大而增大，则
2
m
D．抛物线上有两点(
)
1
1, y
−
，(
)
2
2, y
，若
1
2
y
y
，则
1
4
m
【答案】D
【分析】先将抛物线配方为顶点式，得到对称轴和顶点坐标，再根据二次函数的性质逐一判断选项．
【详解】解：∵抛物线：
2
2
2
2
4
5
2
(
2 )
2
y
x
mx
m
x
m
m
=
−
+
+
=
−
+
+ ，且1
0
，
∴该抛物线开口向上，对称轴为直线
2
x
m
=
，顶点坐标为(
)
2
2 ,
2
m m +
，
A. 当
0
m
时，
2
0
x
m
=
，对称轴在y 轴左侧，故A 错误，本选项不符合题意；
B. 顶点纵坐标
2
2
0
m +
恒成立，当
0
m
时，横坐标2
0
m
，顶点在第一象限，故B 错误，本选项不符合
题意；
C. 抛物线开口向上，
2
x
m
时y 随x 增大而增大，
若
4
x
时y 随x 增大而增大，则2
4
m
，解得
2
m
，
故C 错误，本选项不符合题意；
D. 抛物线开口向上，点到对称轴的距离越大，对应函数值越大，
1
2
y
y
，
1
2
2
2
m
m
−−
−
，两边平方得：
2
2
(2
1)
(2
2 )
m
m
+
−
，
展开化简得12
3
m
，即
1
4
m
，故D 正确，符合题意．
3．（2022·湖南长沙·模拟预测）已知二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ ，当1
1
x
−
时，总有1
1
y
−
，有如下几个
结论：
①当
0
b
c
=
=
时，a 1；
②当
1
a = 时，c 的最大值为0；
③当
2
x =
时，y 可以取到的最大值为7．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
【答案】C
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【分析】本题考查二次函数性质及不等式分析，注意二次函数定义中
0
a
的条件；①当
0
b
c
=
=
时，根据
不等式的性质以及二次函数的定义即可得出结论；②当
1
a = 时，二次函数的对称轴为：
2
b
x = −
，分三种情
况讨论：当
1
2
b
−
−
时；当1
1
2
b
−
−
时；当
1
2
b
−
时；分别利用二次函数的最值问题讨论证明即可得；③
当
1
x = −，
1
x = ，
0
x =
，
2
x =
时，分别求出相应的y 的范围，然后当
2
x =
时，可得7
7
y
−
即可判断③．
【详解】解：①当
0
b
c
=
=
时，
2
y
ax
=
，
∴
2
1
1
ax
−
，
∵1
1
x
−
，
∴
2
0
1
x
，
1
1
a
−
，即a 1，
又∵二次函数隐含
0
a
，
∴a 1且
0
a
，故①错误；
②当
1
a = 时，
二次函数的对称轴为：
2 1
2
b
b
x
−
−
=
=
，
当
1
2
b
−
−
时，即
2
b
时，
函数在
1
x = −处取得最小值，即
1
1
b
c
−
−
+ =
，
2
0
c
b
−
=
+
，
函数在
1
x = 处取得最大值，即
1
1
b
c
+ + = ，
2
c
b
−
−
=
，
二者矛盾，
∴这种情况不存在；
当1
1
2
b
−
−
时，即2
2
b
−
时，
2
0
4
b
，
函数在
2
b
x = −
处取得最小值，即
2
1
2
2
b
b
b
c
−
+ −
+
= −
，
2
1
0
4
b
c
−
=
+
，
∴
0
c
，
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当
1
2
b
−
= 时，即
2
b = −时，
2
2
y
x
x
=
−
，
1
x = 时，
1
y
−
=
；
1
x = −时，
3
y =
，不符合题意，舍去；
当
1
2
b
−
= −时，即
2
b = 时，
2
2
y
x
x
=
+
，
1
x = 时，
3
y =
；
1
x = −时，
1
y
−
=
，
不符合题意，舍去；
∴
0
c
，
当
1
2
b
−
时，即
2
b
−
时，
函数在
1
x = 处取得最小值，即1
1
b
c
−
+ + =
，
2
0
c
b
−−
=
，
函数在
1
x = −处取得最大值，即1
1
b
c
−
+ = ，
2
c
b
−
=
，
二者矛盾，
∴这种情况不存在；
∴综上可得：
0
c
；
∴当
1
a = 时，c 的最大值为0；
故②正确；
对于结论③：
∵ 当
1
x = −时，y
a
b
c
=
−
+ ，且1
1
a
b
c
−
−
+ ；
当
1
x = 时，y
a
b
c
=
+
+
，且1
1
a
b
c
−
+ + ；
当
0
x =
时，y
c
= ，且1
1
c
−
；
当
2
x =
时，
4
2
3(
)
(
)
3
y
a
b
c
a
b
c
a
b
c
c
−
=
+
+
=
+
+
+
+
−
，
∴
3
3(
)
3
a
b
c
−
+
+
，1
1
a
b
c
−
−
+ ，3
3
3
c
−
−
，
∴
7
4
2
7
a
b
c
−
+
+ ，
∴ 当
2
x =
时，y 可以取到的最大值为7 ；
故③正确．
∴正确结论为②③．
◆题型2 一次函数与二次函数图像综合判断问题
4．（25-26 九年级上·北京东城·期中）抛物线
2
y
ax
bx
=
+
和直线y
ax
b
=
+
在同一坐标系的图象可能是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据一次函数，二次函数图象分布的规律求解即可；
【详解】解：根据题意，得
(
)
2
y
ax
bx
x ax
b
=
+
=
+
，
令
0
y =
，得(
)
0
x ax
b
+
=
，解得
1
2
0,
b
x
x
a
=
= −
，
A．根据一次函数的图象，得>0
a
，
0
b
，根据二次函数图象，得>0
a
，
1
2
>0
0,
b
x
x
a
=
= −
，
<0
b
，符合要求；
B．根据一次函数的图象，得<0
a
，
0
b
，根据二次函数图象，得>0
a
，
1
2
>0
0,
b
x
x
a
=
= −
，
<0
b
，不符合要求；
C． 根据一次函数的图象，得>0
a
，
0
b
，根据二次函数图象，得<0
a
，
1
2
>0
0,
b
x
x
a
=
= −
，
>0
b
，不符合要求；
D． 根据一次函数的图象，得<0
a
，
0
b
，根据二次函数图象，得<0
a
，
1
2
>0
0,
b
x
x
a
=
= −
，
>0
b
，不符合要求；
5．（25-26 八年级下·福建福州·期末）函数
2
y
ax
a
=
−
与
(
)
0
y
ax
a a
=
−
在同一平面直角坐标系中的图象可
能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】联立函数得
2
y
ax
a
y
ax
a
=
−
=
−
，解得
0
x =
或
1
x = ，得到二次函数与一次函数相交于点(
)
1,0 和(
)
0, a
−
，
即可得出答案．
【详解】解：联立得：
2
y
ax
a
y
ax
a
=
−
=
−
，
∴
2
ax
a
ax
a
−
=
−
，
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∴
2
0
x
x
−
=
，
解得：
0
x =
或
1
x = ，
当
0
x =
时，y
a
−
=
，当
1
x = 时，
0
y =
，
∴二次函数与一次函数相交于点(
)
1,0 和(
)
0, a
−
，
∴只有D 选项图象符合题意．
6．（25-26 八年级下·重庆渝中·期末）在同一坐标系内，二次函数
2
5
y
ax
x
b
=
+
+
的图象与一次函数y
ax
b
=
+
可能是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据一次函数和二次函数的解析式，分析a 、b 的符号以及对称轴的位置，结合图象特征进行判断；
首先由两个函数解析式可知，它们与y 轴的交点均为(
)
0,b ，即交于y 轴上同一点；其次根据a 的符号判断
抛物线的开口方向；最后根据对称轴公式
5
2
x
a
= −
判断对称轴位置．
【详解】解：由一次函数y
ax
b
=
+
与二次函数
2
5
y
ax
x
b
=
+
+
中常数项均为b ，两个函数图象与y 轴的交点
均为(
)
0,b ，即交于y 轴上同一点，
观察图象，B选项中两个图象与y 轴交点不同，故B错误；
对于A 选项，一次函数图象从左向右下降，则
0
a
，二次函数图象开口向上，则
0
a
，矛盾，故A 错误；
对于D 选项，一次函数图象从左向右上升，则
0
a
，二次函数图象开口向下，则
0
a
，矛盾，故D 错误；
对于C 选项，一次函数图象从左向右上升，则
0
a
，与y 轴交于正半轴，则
0
b
；二次函数图象开口向上，
则
0
a
，与y 轴交于正半轴，则
0
b
；且二次函数对称轴为直线
5
2
x
a
= −
，
∵
0
a
，
∴
5
0
2a
−
，对称轴在y 轴左侧，符合图象特征．
◆题型3 二次函数与几何图形中的动点问题
7．（2026·甘肃平凉·模拟预测）如图1，在四边形ABCD中，
//
AD BC ，
90
C
=
，动点P 沿A
B
C
→
→
的
路线运动，到点C 时停止．设点P 运动的路程为x，DP
y
=
，y 与x 的函数图象如图2 所示，若点
(
)
,4
M a
是
最低点，则BC 的长为（ ）
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A．1
B．3
2
C．7
5
D．2
【答案】C
【分析】根据函数图象获取DA、DB的长度以及点D 到AB 的距离，利用勾股定理求出AB 的长，再构造直
角三角形，设BC 长为未知数，利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：由图2 可知，当
0
x =
时，
5
y =
，即
5
DA = ，
当DP最小时，此时DP
AB
⊥
，最小值为4，即
4
DP =
，
当P 运动到点B 时，
5
y =
，即
5
DB =
，
在DAB
中，
5
DA
DB
=
=
，底边AB 上的高为4，
过点D作DP
AB
⊥
，过点B 作BE
AD
⊥
，连接DB，如图，
在Rt APD
中，
2
2
2
2
5
4
3
AP
AD
DP
=
−
=
−
=
，
5
AD
BD
=
=
，DP
AB
⊥
，
DP
为等腰ABD
的中线，
2
6
AB
AP
=
=
，
//
AD BC
，
90
C
=
，
90
EDC
=
，
90
BED
=
，
四边形BCDE 为矩形，
BE
CD
=
，BC
ED
=
，
设BC
x
=
，则ED
x
=
，
5
AE
AD
ED
x
−
−
=
=
，
在Rt ABE
中，
2
2
2
2
2
6
(5
)
BE
AB
AE
x
−
−
−
=
=
，
在Rt BCD
中，
2
2
2
2
2
5
CD
BD
BC
x
−
=
=
−
，
BE
CD
=
，
2
2
36
(5
)
25
x
x
−
−
=
−
，即
2
2
11 10
25
x
x
x
−
+
=
−
，解得
7
1.4
5
x =
=
，
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BC
的长为7
5 ．
8．
（2026·河南三门峡·三模）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如
图1，点P 是一个固定观测点，运动点Q 从A处出发，沿笔直公路AB 向目的地B 处运动．设AQ 为x （单
位：
(
)
2
km
0
x
n
PQ
）
，
为y（单位：
2
km ）．如图2，y 关于x 的函数图象与y 轴交于点C ，最低点
(
)
81
D m，，
且经过
(
)
1 225
E
，
和
(
)
225
F n，
两点．下列选项正确的是（ ）
A．
10
m =
B．
20
n =
C．点C 的纵坐标为250
D．点(
)
15 75
，
在该函数图象上
【答案】C
【分析】当
1
x = 时，动点Q 运动到点
2
Q 的位置，得到
2
2
225
PQ =
，当点Q 运动到点
1
Q 的时候，
2
1
PQ 最小为81，
2
1
1
QQ
m
=
−，勾股定理求出m 的值，判断A；当x
n
=
时，点Q 运动到点B ，根据三线合一，得到
3
1
2
1
12
Q Q
Q Q
=
=
，，进而求出n 的值，判断B；连接AP ，勾股定理求出
2
AP 的长，确定C 的纵坐标，判断C，
求出
15
x =
时，点Q 的位置为
4
Q ，再利用勾股定理求出
2
4
PQ ，判断D 即可．
【详解】如图1，
当x
m
=
时，记点Q 为
1
Q ，则
1
AQ
m
=
，
2
1
81
PQ =
；
当
1
x = 时，记点Q 为
2
Q ，则
2
2
2
1
225
AQ
PQ
=
=
，
；
当x
n
=
时，记点Q 为
3
3
Q
Q
，
与点B 重合，则
2
3
3
225
AQ
n
PQ
=
=
，
，
1
2
1
QQ
m
=
−．
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在
1
2
Rt PQQ
中，由勾股定理，得
2
2
2
2
1
1
2
PQ
PQ
QQ
=
+
，即
(
)
2
225
81
1
m−
=
+
，
13
m
=
（负值已舍）．
1
2
3
2
3
PQ
PQ
PQ
Q Q
=
⊥
，
，
3
1
2
1
12
Q Q
Q Q
=
=
，
1
13 12
25
n
AQ
=
=
+
=
．
连接PA，如图2，
则
2
2
2
1
1
PA
AQ
PQ
=
+
= 250，
当
0
x =
，即点Q 与点A重合时，
250
y =
，
点C 的纵坐标为250．
当
15
x =
时，记点Q 为
4
Q ，如图3，
则
4
15
AQ =
，
1
4
15 13
2
QQ
=
−
= ，
2
2
2
2
4
1
1
4
81 2
85
y
PQ
PQ
QQ
=
=
+
=
+
=
，
点(
)
15 85
，
在该函数图象上，
综上所述，只有选项C 中结论正确．
9．
（2026·浙江丽水·模拟预测）如图1，点P ，Q 分别从A点、B 点出发沿矩形ABCD的边运动，点P 以1cm / s
的速度按AD
DC CB
−
−
运动，点Q 以0.5 cm / s 的速度向点C 处运动．同时出发，当点P ，Q 相遇时停止运
动．设运动的时间为x（s），
DPQ
△
的面积为y （
2
cm ），y 关于x 的函数图象如图2 所示，当
6
x
时，图
象的高点为E ．下列选项错误的是（ ）
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A．
4
AB =
B．
6
BC =
C．F 的坐标为(
)
0,2
D．点31,1
3
在该函数图象上
【答案】C
【分析】根据点P 在线段AD上，点P 在线段DC 上和点P 在线段AD上分三种情况分别算
DPQ
△
的面积，
再结合图2 的函数图像求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴
,
AD
BC AB
DC
=
=
，
当点P 在线段AD上时，
,
0.5
AP
x BQ
x
=
=
，
此时
(
)
1
1
2
2
DPQ
y
S
DP AB
AD
x AB
−
=
=
=
，y 随x 的增大而减小，
当AD
x
=
时，
0
y =
，
根据图2 可知，
6
x =
，
∴
6
AD
BC
=
=
，B 选项正确；
当点P 在线段DC 上时，
6,
6
0.5
DP
x
CQ
BC
BQ
x
=
−
=
−
=
−
，
此时
(
)(
)
(
)
2
1
1
1
9
6
6
0.5
9
2
2
4
4
DPQ
y
S
DP CQ
x
x
x
−
−
−
=
=
=
−
=
+
，
∴点E 的坐标为
9
9, 4
，
∵
//
EF x 轴，
∴点F 与点E 的纵坐标相等，
∴点F 的坐标为
9
0, 4
，C 选项错误；
由图2 可知，当点P 与点C 重合时，
10
x =
，
∴
10
6
4
AB
DC
=
=
−
=
，A 选项正确；
当点P 在线段CB 上时，
10,
1.5
16
CP
x
PQ
CP
CQ
x
−
−
−
=
=
=
，
1
1
41.5
16
21.5
16
2
2
DPQ
y
S
CD PQ
x
x
−
−
=
=
=
=
∵31
10
3
，
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∴当
31
= 3
x
时，
31
2 1.5
16
2 1.5
16
1
3
y
x−
=
=
−
= ，
∴点31,1
3
在该函数图象上，选项D 正确．
◆题型4 二次函数图像与各项系数符号问题
10．（25-26 八年级下·北京·期末）如图，已知二次函数
(
)
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
的图象与x 轴交于点
(
)
1,0
A −
，
与y 轴的交点B 在(
)
0, 2
−
和(
)
0, 1
−
之间（不包括这两点），对称轴为直线
1
x = ．下列结论：①
0
abc
；②
4
2
0
a
b
c
+
+
；③
2
4
4
ac
b
a
−
−
；④1
1
3
2
a
；⑤b
c
．其中正确结论有______（填写所有正确结论的
序号）．
【答案】①③⑤
【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、与y 轴交点位置判断a 、b 、c 的符号及关系；利用抛物线的
对称性求出与x 轴的另一个交点，进而判断
2
x =
时的函数值符号；利用顶点纵坐标与c 的大小关系及c 的取
值范围判断不等式；将b 、c 用a 表示，结合c 的范围求a 的范围；计算b
c
−，根据a 的范围即可比较b 与c
的大小．
【详解】解：①∵抛物线开口向上，
∴
0
a
，
∵对称轴为直线
1
x = ，
∴
1
2
b
a
−
= ，
即
2
0
b
a
= −
，
∵抛物线与y 轴交点在y 轴负半轴，
∴
0
c
，
∴
0
abc
，故①正确；
②∵抛物线与x 轴交于点
(
)
1,0
A −
，对称轴为直线
1
x = ，
∴抛物线与x 轴的另一个交点为(
)
3,0 ，
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∴当
2
x =
时，
0
y
，
即4
2
0
a
b
c
+
+
，故②错误；
③∵抛物线开口向上，对称轴为直线
1
x = ，
∴当
1
x = 时，函数取得最小值
2
4
4
ac
b
a
−
，
∵
0
x =
时，y
c
= ，且2
1
c
−
−，
∴
2
4
1
4
ac
b
c
a
−
−，
∴
2
4
1
4
ac
b
a
−
−，
∵
0
a
，
∴
2
4
4
ac
b
a
−
−
，故③正确；
④∵抛物线过点
(
)
1,0
A −
，
∴
0
a
b
c
−+ =
，
∵
2
b
a
= −
，
∴
(
)
2
0
a
a
c
−−
+
=
，即
3
c
a
= −
，
∵2
1
c
−
−，
∴2
3
1
a
−−
−，
∴1
2
3
3
a
，故④错误；
⑤∵
2
b
a
= −
，
3
c
a
= −
，
∴
(
)
2
3
b
c
a
a
a
−
= −
−−
=
，
∵
0
a
，
∴
0
b
c
−
，
即b
c
，故⑤正确；
综上所述，正确结论有①③⑤．
11．（25-26 九年级上·山东滨州·期末）已知二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ (
0
a
）的图象如图所示，有下列5个结
论：
①
0
abc
；②b
a
c
+ ；③4
2
0
a
b
c
+
+
；④2
3
c
b
；⑤
(
)
a
b
m am
b
+
+
，(
1
m 的实数) ．其中正确
结论的序号为______．
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【答案】①②④
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，根据抛物线开口向下，与y 轴交于正半轴，对称轴为直线
1
0
x =
，即可得出, ,
a b c 的符号，即可判断①，根据
1
x = −时，
0
y
，即可判断②，根据
2
x =
时，
0
y
即可判断③，根据
3
x = 时，
0
y
，即可判断④，根据抛物线开口向下，
1
x = 时，y 的值最大，即可判断
⑤．
【详解】解：①由图象可知：
0
a
，
0
c
，
1
0
2
b
a
−
=
2
0
b
a
= −
，
0
abc
，故①正确；
②当
1
x = −时，
0
y
a
b
c
=
−
+
，故b
a
c
+ ，故②正确；
③由对称知，当
2
x =
时，函数值大于0 ，即
4
2
0
y
a
b
c
=
+
+
，故③错误；
④由对称知，当
3
x = 时，函数值小于0 ，
9
3
0
y
a
b
c
=
+
+
，且
1
2
b
x
a
−
=
= ，
即
2
b
a = −
，代入得9
3
0
2
b
b
c
−
+
+
，得2
3
c
b
，故④正确；
⑤当
1
x = 时，y 的值最大．此时，y
a
b
c
=
+
+
，
而当x
m
=
时，
2
y
am
bm
c
=
+
+ ，
所以
2
a
b
c
am
bm
c
+
+
+
+ ，
故
2
a
b
am
bm
+
+
，即
(
)
a
b
m am
b
+
+
，故⑤错误．
故①②④正确．
故答案为：①②④．
12．（25-26 九年级上·河南周口·期末）如图是二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的图象一部分，对称轴是直线
1
x = −，
且过点(
)
3,0
−
，以下几种说法：①
0
abc
；②3
0
a
c
+ =
；③4
2
0
a
b
c
+
+
；④关于x 的一元二次方程
2
0
ax
bx
c
+
+
=
有两个相等的实数根；⑤若(
)
1
5, y
−
、
2
5 ,
2 y
是抛物线上两点，则
1
2
y
y
．其中正确的结论
有______．
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【答案】①②⑤
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象，结合二次函数的性质，对每个结论逐
一进行分析判断即可．
【详解】解：①：由抛物线开口向上，可知
0
a
，
对称轴
1
2
b
x
a
= −
= −，可得
2
0
b
a
=
，
图象与y 轴交点在y 轴负半轴，可知
0
c
，
∴
0
abc
，故①正确；
②：∵抛物线过点(
)
3,0
−
，将
3
x
−
=
，
0
y =
代入
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 中，可得9
3
0
a
b
c
−
+ = ，
又∵
2
b
a
=
，
把
2
b
a
=
代入9
3
0
a
b
c
−
+ = ，得到9
3 2
0
a
a
c
−
+ =
，即3
0
a
c
+ =
，故②正确；
③：∵对称轴是直线
1
x = −，且过点(
)
3,0
−
，
根据二次函数图象的对称性，可知抛物线与x 轴的另一个交点为(
)
1,0 ，
当
2
x =
时，对应的点在x 轴上方，即
4
2
0
y
a
b
c
=
+
+
，故③错误；
④：由抛物线与x 轴有两个交点(
)
3,0
−
和(
)
1,0 ，可知关于x 的一元二次方程
2
0
ax
bx
c
+
+
=
有两个不相等的
实数根，故④错误；
⑤：点(
)
1
5, y
−
关于对称轴
1
x = −的对称点为(
)
1
3, y
，
在对称轴右侧，y 随x 的增大而增大，
∵
5
3
2
，
∴
1
2
y
y
，故⑤正确，
综上所述，正确的结论有①②⑤．
故答案为：①②⑤．
◆题型5 二次函数中含参数的综合问题
13．
（2026·广东中山·二模）已知二次函数
2
3
y
ax
bx
=
+
−（a ，b 为常数，
0
a
）的图象经过点
(
)
1,0
A −
，(
)
3,0
B
．
(1)求二次函数的表达式；
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(2)若
1
n
x
n
−
时，y 的最大值为3
2n
−
，求n 的值．
【答案】(1)
2
2
3
y
x
x
=
−
−
(2)
1
n = −或
6
n =
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）将二次函数化为顶点式后，根据开口方向和对称轴，分三种情况讨论，确定最大值的取点，列方程求
解后验证得到符合条件的n 的值.
【详解】（1）解：∵二次函数
2
3
y
ax
bx
=
+
−的图象经过点
(
)
1,0
A −
，(
)
3,0
B
，
∴
3
0
9
3
3
0
a
b
a
b
−−
=
+
−
=
，解得{ 𝑎= 1
𝑏= −2，
∴
2
2
3
y
x
x
=
−
−．
（2）解：
2
2
2
3
(
1)
4
y
x
x
x
=
−
−=
−
−
，
∴二次函数开口向上，对称轴为直线
1
x = ，
①当
1
n 时，
1
n
x
n
−
在对称轴左侧，y 随x 增大而减小，最大值在
1
x
n
=
−处取得 ，
∴
2
2
(
1 1)
4
4
3
2
y
n
n
n
n
=
−−
−
=
−
= −
，
解得
3
n = 或
1
n = −，
∵
1
n ，
∴
1
n = −符合条件；
②当
1 1
n−，即
2
n
时，
1
n
x
n
−
在对称轴右侧，y 随x 增大而增大，最大值在x
n
=
处取得，
∴
2
2
(
1)
4
2
3
3
2
y
n
n
n
n
=
−
−
=
−
−= −
，
解得
6
n =
或
6
n = −
，
∵
2
n
，
∴
6
n =
符合条件；
③当
1 1
n
n
−
时，即1
2
n
，则最值在
1
x
n
=
−或x
n
=
处取得，
由①②可知，求得的n 的值均不在1
2
n
内，均舍去；
综上，n 的值为1
−或6 .
14．（2026·云南楚雄·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线
(
)
(
)
2
1
2
3
1
2
y
x
k
x
k k
= −
+
+
−
．
(1)若抛物线经过点(
)
4,10 ，求抛物线的对称轴；
(2)已知点
(
)
(
)
(
)
2,
,
2,
,
2,
M t
c
N
d
P t
c
−
+
都在该抛物线上，且满足c
d
，求t 的取值范围．
【答案】(1)
12
x =
(2)3
4
t
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【分析】（1）抛物线经过点(
)
4,10 ，可将该点坐标代入抛物线方程求出k 的值，再利用对称轴公式
2
b
x
a
= −
求对称轴；
（2）由点
(
)
2,
M t
c
−
和(
)
2,
P t
c
+
纵坐标相等，可知M 、P 关于抛物线对称轴对称，因此抛物线对称轴为
(
) (
)
2
2
2
t
t
x
t
−
+
+
=
= ；抛物线开口向下 (
1
0
2
a = −
)，在对称轴左侧y 随x 增大而增大，右侧y 随x 增大而
减小；点离对称轴越近，函数值越大；由c
d
可知：点
(
)
2,
N
d 离对称轴的距离小于点M 、P 离对称轴的
距离，据此列不等式求解t ；最后结合
1
k 求出t 的取值范围．
【详解】（1）解：将点(
)
4,10 代入抛物线解析式
(
)
2
1
2
3
2
y
x
k
x
k
= −
+
+
−
：
(
)
2
1
10
4
2
4 3
2
k
k
= −
+
+
−
，
解得
10
k =
，
所以抛物线解析式为：
2
1
12
30
2
y
x
x
= −
+
−
，
其中
1
2
a = −
，
12
b =
，
对称轴公式为：
12
12
1
2
2
2
b
x
a
= −
= −
=
−
，
所以抛物线的对称轴为直线
12
x =
．
（2）解：由点
(
)
2,
M t
c
−
、(
)
2,
P t
c
+
在抛物线上且纵坐标相同，得抛物线对称轴为：
(
) (
)
2
2
2
2
1
2
2
2
2
t
t
b
k
x
t
k
a
−
+
+
+
=
= = −
= −
=
+
−
，故
2
t
k
=
+
，
抛物线
(
)
2
1
2
3
2
y
x
k
x
k
= −
+
+
−
中
1
0
2
a = −
，开口向下，函数值大小与点到对称轴的距离关系为：点到对
称轴的距离越小，函数值越大；
点M 、P 到对称轴x
t
= 的距离为：(
)
2
2
t
t
+
−
=
，
点
(
)
2,
N
d 到对称轴x
t
= 的距离为2
t
−
，
因为c
d
，所以点N 到对称轴的距离小于2，即：
2
2
t
−
，
解此不等式：
2
2
2
t
−
−
，
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解得0
4
t
，
又
1
k ，
则
2
3
t
k
=
+
，
综上，3
4
t
．
15．（2026·浙江舟山·二模）已知抛物线
2
2
3
y
x
ax
a
=
−
+
（a 为常数）经过点(
)
1,3 ．
(1)求抛物线的顶点坐标．
(2)记抛物线在
1
2
x
x
x
时的最大值为M，最小值为m．
①当
1
2
x
t
=
−，
2
2
2
x
t
=
+
且
1
M
m
−
= 时，求t 的值．
②记
2
1
s
x
x
=
−
，M
m
−
的最小值为d，求d
s
−的最小值．
【答案】(1)(
)
2,2
(2)①
1
2
t =
；②1
−
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，化为顶点式后，即可得出顶点坐标；
（2）①根据增减性求出最大值和最小值，列出方程进行求解即可；②将d
s
−转化为二次函数求最值即可.
【详解】（1）解：抛物线经过点(
)
1,3
1 2
3
3
a
a
−
+
=
，解得
2
a =
(
)
2
2
4
6
2
2
y
x
x
x
=
−
+
=
−
+
顶点坐标为(
)
2,2
（2）解：①
2
2
2
t
x
t
−
+
，
2
2
2
t
t
−
+
，
0
t
，
∵
(
)
2
2
4
6
2
2
y
x
x
x−
=
−
+
=
+
，
∴抛物线的对称轴是直线
2
x =
，
而2
2
2
2
t
t
−
+
，
当
2
x =
时，函数取得最小值
2
m =
．
2
2
2
2
2
t
t
+
−
−−
∣
∣∣
∣，
又
1
0
a =
，
当
2
2
x
t
=
+
时，函数取得最大值
2
4
2
M
t
=
+
1
M
m
−
=
，
2
4
2
2
1
t
+
−
= ，解得
1
2
t =
0
t
，
1
2
t
=
．
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②记当
1
x
x
=
时抛物线上的点为A，当
2
x
x
=
时抛物线上的点为B，
当点A 与点B 关于对称轴对称时的最大值为
0
M ，最小值为
2
m =
显然，当点A 向左移动到点A时，最大值在该点处取得，且大于
0
M ，由图象可得，当点A 向左移动时，满
足
0
2
M
m
M
−
−
同理，当点A 向右移动到点A时，
0
2
M
m
M
−
−
因此，当点A 与点B 关于对称轴对称时，M
m
−
取得最小值．
当
2
x =
时，
2
m =
当
2
2
s
x =
+
时，
2
2
4
s
M =
+
2
4
s
d
M
m
=
−
=
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
1
1
1
4
4
4
4
2
1
1
4
4
4
4
s
d
s
s
s
s
s
s
s
−
−
−
−
=
=
−
=
−
+
−
=
−
d
s
−的最小值是1
−．
综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．（2026·陕西咸阳·二模）已知抛物线
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ ，当
1
2
m
x
m
−
+
时，函数y 有最小值0 ，则m 的
值为（ ）
A．0 或1
B．0 或1
−
C．1 或1
−
D．0 或2
【答案】A
【分析】先确定抛物线的开口方向，求出
0
y =
时对应的x 值，根据开口向下抛物线的性质，在
1
2
m
x
m
−
+
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上的最小值在端点处取得，分情况计算并验证得到m 的值．
【详解】解：∵
(
)
2
2
2
3
1
4
y
x
x
x
−
−
−
=
+
+
=
+
，
∴该抛物线开口向下，顶点坐标为(
)
1,4 ，对称轴为直线
1
x = ，
令
0
y =
，得
2
2
3
0
x
x
−
+
+
=
，解得
1
2
1,
3
x
x
= −
=
，
∵开口向下的抛物线在
1
2
m
x
m
−
+
上的最小值一定在端点处取得，且函数y 有最小值0，所以分两种情
况讨论：
①最小值在左端点
1
x
m
=
−处取得：
∴若
1
1
m−=−，解得
0
m =
，此时1
2
x
−
，符合要求；
若
1
3
m−= ，解得
4
m =
，此时3
6
x
，当
6
x =
时，
2
6
2 6
3
21
y = −
+ + = −
，最小值小于0，不符合，舍去；
②最小值在右端点
2
x
m
=
+ 处取得：
若
2
3
m+
= ，解得
1
m = ，此时0
3
x
，符合要求；
若
2
1
m+
= −，解得
3
m
−
=
，此时4
1
x
−
−
≤
≤
，
4
x = −处
21
y = −
，最小值小于0，不符合，舍去；
综上，m 的值为0 或1．
2．（2026·安徽芜湖·三模）已知二次函数
(
)
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
的图象如图所示，则函数y
ax
c
=
+ 的图象可
能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先根据抛物线的开口方向和与y 轴的交点可得
0
a
，
0
c
，可知一次函数y
ax
c
=
+ 的图象经过一、
二、四象限，再根据对称轴可得二次函数
2
2
2ax
y
ax
bx
c
ax
c
=
+
+
=
−
+
，然后结合图象可得
2
3
0
y
a
a
c
a
c
=
+
+
=
+
，最后根据一次函数y
ax
c
=
+ ，当
3
x = 时，
3
0
y
a
c
=
+
判断即可．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，
∴
0
a
．
∵抛物线与y 轴交于正半轴，
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∴
0
c
，
∴一次函数y
ax
c
=
+ 的图象经过一、二、四象限．
∵抛物线的对称轴是
1
2
b
x
a
−
=
= ，
∴
2
b
a
= −
，即二次函数
2
2
2ax
y
ax
bx
c
ax
c
=
+
+
=
−
+
．
当
1
x = −时，
2
3
0
y
a
a
c
a
c
=
+
+
=
+
．
对于一次函数y
ax
c
=
+ ，当
3
x = 时，
3
0
y
a
c
=
+
，
所以图象D 符合题意．
3．（2026·陕西渭南·二模）在平面直角坐标系中，将二次函数
2
4
1
y
ax
ax
=
+
−（a 为常数，且
0
a
）的图象
沿y 轴向下平移2 个单位长度，得到的新二次函数图象经过点(
)
1,0
−
，则关于二次函数
2
4
1
y
ax
ax
=
+
−的说
法不正确
．．．的是（ ）
A．图象的开口向下
B．当2
1
x
−
时，y 的最小值为6
−
C．当
4
x = −时，
0
y
D．当
1
x −时，y 的值随x 值的增大而减小
【答案】C
【分析】先根据平移规则得到新函数解析式，代入已知点求出参数a 的值，再结合二次函数的性质逐一判断
选项，找出错误说法．
【详解】解：∵原二次函数
2
4
1
y
ax
ax
=
+
−沿y 轴向下平移2 个单位，
∴新二次函数解析式为
2
2
4
1 2
4
3
y
ax
ax
ax
ax
=
+
−−
=
+
−，
∵新函数经过点(
)
1,0
−
，
代入得，
(
)
(
)
2
1
4
1
3
0
a
a
−
+
−
−
=
4
3
0
a
a
−
−=
3
3
a
−
=
解得
1
a = −，
∴原二次函数解析式为
(
)
2
2
4
1
2
3
y
x
x
x
= −
−
−= −
+
+ ，
∴原二次函数对称轴为
2
x = −；
A、∵
1
0
a = −
，
∴图象开口向下，该选项正确；
B、∵开口向下，对称轴为
2
x = −，
∴当2
1
x
−
时，y 随x 增大而减小，
∴
1
x = 时y 取最小值，代入得，
21
4 1 1
6
y = −
−−= −，
∴该选项正确；
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C、当
4
x = −时，代入解析式得
(
)
(
)
2
4
4
4
1
1
0
y = −−
−−
−= −
，该选项错误；
D、∵开口向下，对称轴
2
x = −，
∴
2
x
−
时，y 随x 增大而减小，
又∵1
2
−−，
∴
1
x −时，y 随x 增大而减小，该选项正确．
4．
（2026·江苏南通·三模）如图1，在等腰直角三角形ABC 中，P 是斜边AB 上一动点，过点P 分别作PD
AC
⊥
，
PE
BC
⊥
，垂足分别为点D ，E ，设PD
x
=
，PD PE
y
=
．若y 关于x 的函数图象如图2 所示，点(
)
,
m t 和
(
)
,n t 都在函数图象上，
4
m
n
+
=
，则下列选项正确的是（ ）
A．
4
AB =
B．当
1
m = 时，
4
t =
C．点(
)
2,8 在该函数图象上
D．该函数图象的最高点的纵坐标为4
【答案】D
【分析】根据已知条件得出四边形CDPE是矩形，ADP
是等腰直角三角形，得出
,
PE
CD PD
CE
x
=
=
= ，设
AC
BC
b
=
=
，得出
2
y
x
bx
= −
+
，利用二次函数对称性求出
4
b =
，得到函数解析式为
2
4
y
x
x
= −
+
，逐一验
证选项．
【详解】解：
ABC
是等腰直角三角形，
,
PD
AC PE
BC
⊥
⊥
四边形CDPE是矩形，
,
PE
CD PD
CE
x
=
=
= ，
设AC
BC
b
=
=
，则
AD
AC
CD
b
PE
=
−
=
−
，
又ADP
是等腰直角三角形，
=
=
AD
PD
x ，
b
PE
x
−
=
，
PE
b
x
−
=
，
(
)
2
y
PD PE
x b
x
x
bx
−
−
=
=
=
+
，
已知点(
)
,
m t 和(
)
,n t 在函数图像上，说明这两点关于对称轴对称，对称轴为
2
m
n
x
+
=
，
4
m
n
+
=
，
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对称轴为
2
x =
，而二次函数
2
y
x
bx
= −
+
的对称轴为
2
b
x =
，
2
2
b =
，
4
b
=
，
即
(
)
2
2
4,
4
2
4
AC
BC
y
x
x
x
−
=
=
=
+
= −
−
+
．
∴
2
2
4
4
4 2
AB =
+
=
， A 选项错误．
∴函数解析式为
2
4
y
x
x
= −
+
，当
1
x = 时，
1
4
3
y = −+
= ，即
3
t =
，B 选项错误．
∴当
2
x =
时，
4
8
4
y = −+
=
，故点(
)
2,8 不在图像上，C 选项错误．
∴函数顶点纵坐标为4，即最高点的纵坐标为4，D 选项正确．
二、填空题
5．（2026·宁夏·一模）在抛物线
2
2
(
0)
y
ax
x
a a
=
−
+
上有
(
)
1
1,
A
y
，
(
)
2
3,
B
y
两点，若抛物线与y 轴的交点
在负半轴上，则
1y ，
2y 的大小关系为______．
【答案】
1
2
y
y
/
2
1
y
y
【分析】由抛物线与y 轴的交点在负半轴上，得出
0
a
，从而可得对称轴是直线
1
0
x
a
=
，开口向下，然
后根据二次函数的性质即可求解．
【详解】解：∵抛物线与y 轴交点(0, )
a 在负半轴，
∴
0
a
，
∴对称轴是直线
2
1
0
2
x
a
a
−
= −
=
，开口向下，
∴离对称轴越近函数值越大，
∵
1
x = 比
3
x = 离对称轴更近，
∴
1
2
y
y
．
6．（2026·江苏宿迁·二模）在同一平面直角坐标系中，抛物线
2
:
6
7
L y
ax
ax
a
=
−
−
与抛物线L关于直线x
m
=
对称，L可看作是由L 向右平移4 个单位长度所得，那么m 的值为______．
【答案】5
【分析】先求出原抛物线L的对称轴，再根据平移的性质得到L的对称轴，根据两个抛物线关于直线x
m
=
对称可知，m 是两条对称轴的中点，由此计算可得m 的值．
【详解】解：抛物线
2
:
6
7
L y
ax
ax
a
=
−
−
的对称轴为直线
6
3
2
2
b
a
x
a
a
−
= −
= −
=
，
∵L可看作是由L向右平移4 个单位长度所得，
∴L的对称轴为直线
3 4
7
x = +
=
，
L
与L关于直线x
m
=
对称，
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7
3
m
m
−
=
−，
解得
5
m =
．
7．（2026 九年级下·吉林·专题练习）二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的部分图象如图所示，其对称轴为
2
x =
，且图
象经过点(6,0) ，下列结论：①
0
bc
；②4
0
a
b
+
=
；③若
2
2
1
1
2
2
ax
bx
ax
bx
+
=
+
且
1
2
x
x
，则
1
2
4
x
x
+
=
；④
若(
)
1
1, y
−
，(
)
2
3, y
两点都在抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的图象上，则
2
1
y
y
．正确的有______．（填正确的序号）
【答案】
①②③
【分析】根据抛物线的开口向下，与y 轴交于正半轴，可得
0,
0
a
c
，再根据对称轴为直线
2
2
b
x
a
= −
=
，
可得
4
0
b
a
= −
，即可判断①②；然后说明
2
2
1
1
2
2
ax
bx
c
ax
bx
c
+
+
=
+
+ ，可得
1
x
x
=
和
2
x
x
=
关于对称轴
2
x =
对
称，进而得出
1
2
2
2
x
x
+
=
，说明③即可；最后根据抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小解答④．
【详解】解：由图象可知抛物线的开口向下，与y 轴交于正半轴，
∴
0,
0
a
c
．
∵对称轴为直线
2
2
b
x
a
= −
=
，
∴
4
0
b
a
= −
，
则
0,4
0
bc
a
b
+
=
可知①②正确；
∵
2
2
1
1
2
2
ax
bx
ax
bx
+
=
+
，且
1
2
x
x
，
∴
2
2
1
1
2
2
ax
bx
c
ax
bx
c
+
+
=
+
+ ，
∴
1
x
x
=
和
2
x
x
=
关于对称轴
2
x =
对称，
∴
1
2
2
2
x
x
+
=
，
则
1
2
4
x
x
+
=
，可知③正确；
∵抛物线开口向下，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小．
若
1
2
( 1,
),(3,
)
y
y
−
两点都在抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的图象上，
∵
1
2
3
2
−−
−
，
∴
1
2
y
y
，可知④不正确．
则正确的有①②③．
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8．（2026·安徽六安·二模）已知抛物线
(
)
2
2
3
3
y
x
m
x
m
=
−
+
+
−
．
（1）无论m 取任何值，该抛物线经过定点，则该定点的坐标为________；
（2）已知点
(
)
4,2
A
，
(
)
7,8
B
，若该抛物线与线段AB 没有公共点，则m 的取值范围为________．
【答案】 (
)
3,0
3
m
或
6
m
【分析】（1）整理抛物线的形式，提取m ，由此求解即可；
（2）先由待定系数法求解直线AB 的函数表达式，再求解直线AB 与抛物线的交点的横坐标，根据没有公共
点这一条件求解即可．
【详解】解：（1）
(
)
(
)
2
2
2
3
3
3
2
3
y
x
m
x
m
m x
x
x
=
−
+
+
−
= −
−
+
−
−，
令
3
0
x −= ，解得
3
x = ，即当
3
x = 时，
0
y =
，
故该函数的图象经过的定点的坐标是(
)
3,0 ；
（2）设直线AB 的函数表达式为：
(
)
0
y
kx
b k
=
+
，
将点
(
)
4,2
A
，
(
)
7,8
B
代入，
则有
2
4
8
7
k
b
k
b
=
+
=
+
，解得
2
6
k
b
=
= −
，
则直线AB 的函数表达式为：
2
6
y
x
=
−，
把
3
x = 代入
2
6
y
x
=
−得
0
y =
，
即直线AB 经过抛物线的定点(
)
3,0 ，
令
(
)
2
2
3
3
2
6
x
m
x
m
x
−
+
+
−
=
−，
即
(
)
2
4
3
3
0
x
m
x
m
−
+
+
+
=
，解得
1
3
x = ，
2
1
x
m
=
+ ，
∴直线AB 与抛物线的交点的横坐标为3 与
1
m+ ．
∵该抛物线与线段AB 没有公共点，
∴
1
4
m+
或
1
7
m+
，解得
3
m
或
6
m
．
综上，m 的取值范围为
3
m
或
6
m
．
三、解答题
9．（2026·云南大理·二模）已知抛物线
2
4
2
1
y
x
mx
m
=
−
+
+ ，该抛物线经过点(
)
4,3 ．
(1)求m 的值；
(2)将该函数的图象沿着x 轴平移得到一个新函数的图象，当0
6
x
时，新函数的最大值是35，求平移的
距离．
【答案】(1)
1
(2)
平移的距离为2 或4
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【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）依据题意，由二次函数为
(
)
2
2
1
y
x
=
−
−，从而可设向右平移后得到的新函数为
(
)
2
2
1
y
x
a
=
−
−
−，故
新抛物线的对称轴是直线
2
x
a
=
+
，进而分当0
2
6
a
+
时；当2
6
a
+
时；当2
0
a
+
时三种情形解答即
可．
【详解】（1）解：由题意：将点(
)
4,3 代入
2
4
2
1
y
x
mx
m
=
−
+
+ ，
得：
2
3
4
16
2
1
m
m
=
−
+
+ ，
解得：
1
m = ；
（2）解：由（1）得：二次函数为
(
)
2
2
4
3
2
1
y
x
x
x
=
−
+
=
−
−，
∴设平移后得到的新函数为
(
)
2
2
1
y
x
a
=
−
−
−，其中a 为平移量（
0
a
表示向右平移；
0
a
表示向左平移），
∴新抛物线的对称轴是直线
2
x
a
=
+
，
①当0
2
6
a
+
时，即2
4
a
−
，
若当
0
x =
时，
(
)
2
0
2
1
35
y
a
=
−
−
−=
，则
4
a =
或
8
a = −（不合题意，舍去）；
若当
6
x =
时，
(
)
2
6
2
1
35
y
a
=
−
−
−=
，则
10
a =
（不合题意，舍去）或
2
a
−
=
，
∴
4
a =
或
2
a
−
=
；
②当2
6
a
+
时，即
4
a
，
∵当
2
x
a
+
时，y 随x 的增大而减小，
∴当
0
x =
时，
(
)
2
0
2
1
35
y
a
=
−
−
−=
，则
4
a =
或
8
a = −，均不合题意，舍去；
③当2
0
a
+
时，即
2
a −，
∵当
2
x
a
+
时，y 随x 的增大而增大，
∴当
6
x =
时，
(
)
2
6
2
1
35
y
a
=
−
−
−=
，则
10
a =
或
2
a
−
=
，均不合题意，舍去；
综上，
4
a =
或
2
a
−
=
，
∴向右平移4 个单位或向左平移2 个单位时，新函数在0
6
x
的最大值是35，即平移的距离为2 或4．
10．（2026·云南曲靖·模拟预测）已知关于x 的二次函数
2
4
y
x
ax
=
+
−
（a 为常数）
(1)当
2
a =
时，求二次函数的对称轴；
(2)当
3
a
x
a
+ 时，二次函数最大值为m，最小值为n，若
7
m
n
−
=
，求a 的值．
【答案】(1)
1
x = −
(2)
2 7
2
3
−+
或
2 7
3
−
【分析】（1）利用二次函数对称轴公式即可解答；
（2）先确定抛物线的对称轴，再根据对称轴与区间的位置关系分四类讨论：对称轴在区间左侧、右侧、区
间内靠近左端点、区间内靠近右端点，分别求出对应区间的最值并代入
7
m
n
−
=
列方程，舍去不符合前提条
件的解后，最终得到符合条件的a 值即可．
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【详解】（1）解：∵
2
a =
，
∴
2
2
4
y
x
x
=
+
−
，
∴二次函数图象的对称轴为直线
2
1
2 1
x
−
−
=
=
；
（2）解：抛物线的对称轴为直线
2
a
x
−
=
，
①若对称轴在区间左侧时，如图，则
2
a
a
−
，即
0
a
，
此时，当x
a
=
时，y 有最小值为
2
2
4
n
a
=
−
，
当
3
x
a
=
+ 时，y 有最大值为
(
)
(
)
2
2
3
3
4
2
9
5
m
a
a a
a
a
=
+
+
+
−
=
+
+ ，
7
m
n
−
=
，
(
) (
)
2
2
2
9
5
2
4
7
a
a
a
+
+
−
−
=
，
2
9
a
= −
（舍去）；
②若对称轴在区间右侧时，如图，则
3
2
a
a
−
+
，即
2
a
−
，
此时，当x
a
=
时，y 有最大值为
2
2
4
m
a
=
−
，
当
3
x
a
=
+ 时，y 有最小值为
2
2
9
5
n
a
a
=
+
+
，
7
m
n
−
=
，
(
) (
)
2
2
2
4
2
9
5
7
a
a
a
−
−
+
+
=
，
16
9
a
= −
（舍去）；
③若对称轴在区间内且靠近区间左端点时，如图，
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则
3
2
2
2
a
a
a
a
a
+
+
−
−
，即1
0
a
−
，
此时，当
3
x
a
=
+ 时，y 有最大值为
2
2
9
5
m
a
a
=
+
+ ，
当
2
a
x
−
=
时，y 有最小值为
2
2
2
1
4
4
2
2
4
a
a
n
a
=
−
−
= −
−
，
7
m
n
−
=
，
(
)
2
2
1
2
9
5
4
7
4
a
a
a
+
+
−−
−
=
，
解得：
1
2
2 7
2 7
2
,
2
3
3
a
a
= −+
= −−
（舍去）；
④若对称轴在区间内且靠近区间右端点时，如图，
则
3
2
2
3
2
a
a
a
a
a
+
+
−
−
+
，即2
1
a
−
−，
此时，当x
a
=
时，y 有最大值为
2
2
4
m
a
=
−
，
当
2
a
x
−
=
时，y 有最小值为
2
1
4
4
n
a
= −
−
，
7
m
n
−
=
，
2
2
1
2
4
4
7
4
a
a
−
−−
−
=
，
解得
3
4
2 7
2 7
,
3
3
a
a
= −
=
（舍去）；
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综上所述，a 的值为
2 7
2
3
−+
或
2 7
3
−
．
11．（2026·江苏盐城·二模）已知二次函数
(
)
2
2
y
ax
a
x
c
=
+
+
+ （a ，c 为常数，
0
a
），且满足2
2
a
c
+
= −．
(1)若函数图象经过点(
)
2,10 ，求函数的表达式及其顶点坐标；
(2)①对称轴为直线________．（用含a 的式子表示）
②若当
1
x
−
时，y 随x 的增大而增大，请求出a 的取值范围．
(3)对于任意的(
)
0
a a
，该二次函数的图象都必过的定点
．．坐标为________．（直接给出答案即可）
【答案】(1)
2
2
4
6
y
x
x
=
+
−
，(
)
1, 8
−−
(2)①
2
2
a
x
a
+
= −
；②0
2
a
(3)(
)
1,0 ，(
)
2, 6
−
−
【分析】（1）将点代入解析式，结合条件，求出a、c，进而确定函数解析式；
（2）①根据二次函数对称轴公式确定答案；②根据二次函数开口方向和对称轴两侧的增减性确定a 的取值
范围；
（3）将2
2
a
c
+
= −代入解析式
(
)
2
2
y
ax
a
x
c
=
+
+
+ ，因式分解，从而得到答案．
【详解】（1）将(
)
2,10 代入
(
)
2
2
y
ax
a
x
c
=
+
+
+ 得，
(
)
4
2
2
10
a
a
c
+
+
+
=
，
整理得6
6
a
c
+
=
，
联立6
6
a
c
+
=
和2
2
a
c
+
= −得，
6
6
2
2
a
c
a
c
+
=
+
= −
，
解得
2
6
a
c
=
= −
，
∴
2
2
4
6
y
x
x
=
+
−
，
顶点横坐标为：
4
1
2
2 2
b
x
a
= −
= −
= −
，
当
1
x = −时：
(
)
(
)
2
2
1
4
1
6
8
y
−
=
−
+ −
−
=
，
∴顶点坐标为(
)
1, 8
−−
；
（2）①二次函数
(
)
2
2
y
ax
a
x
c
=
+
+
+ 的对称轴为直线：
2
2
2
b
a
x
a
a
+
= −
= −
；
②∵当
1
x
−
时，y 随x 的增大而增大，
∴
2
1
2
a
a
+
−
−且
0
a
，
解得0
2
a
；
（3）∵2
2
a
c
+
= −，
∴
2
2
c
a
= −−
，
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将上面式子代入解析式得，
(
)
2
2
2
2
y
ax
a
x
a
−
=
+
+
−
，
整理得，
(
)
(
)
1
2
2
y
x
a x
−
=
+
+
，
当
1
x = 时，
0
y =
，对于任意的(
)
0
a a
，二次函数图象都必过点(
)
1,0 ；
当
2
x = −时，
6
y = −，对于任意的(
)
0
a a
，二次函数图象都必过点(
)
2, 6
−
−
；
综上所述，对于任意的(
)
0
a a
，二次函数图象都必过点(
)
1,0 和(
)
2, 6
−
−
．
【点睛】本题考查二次函数的性质、待定系数法求解析式，解题关键是熟练掌握二次函数的相关性质．
12．（2026·江苏淮安·一模）已知二次函数
2
2
5
y
x
mx
= −
+
+ （m 为常数）．
(1)当
2
m =
时，二次函数图像的顶点坐标为__________；
(2)当1
2
x
−
时，y 的最大值是8，求m 的值；
(3)如果点
(
)
2,
A m
a
−
、点
(
)
3,
B
b 、点
(
)
2,
C m
a
+
都在这个二次函数的图像上，且a
b
，请直接写出m 的取
值范围．
【答案】(1)(2,9)
(2)
2
m = −或
3
m =
(3)
1
m 或
5
m
【分析】（1）将
2
m =
代入解析式，利用配方法求顶点坐标．
（2）根据抛物线开口向下，按对称轴与1
2
x
−
的位置关系分三种情况讨论最大值．
（3）由A、C 纵坐标相同可知它们关于对称轴对称，到对称轴距离均为2 ；根据开口向下，a
b
说明点B
比点A、C 更远离对称轴，即| 3
| 2
m
−
．
【详解】（1）解：当
2
m =
时，
2
4
5
y
x
x
= −
+
+ ，
2
(
4 )
5
y
x
x
= −
−
+ ，
2
(
2)
4
5
y
x
= −
−
+
+ ，
2
(
2)
9
y
x
= −
−
+
，
顶点坐标为(2,9)．
（2）解：
2
2
5
y
x
mx
= −
+
+ ，对称轴为直线x
m
=
，
1
0
a
−
=
，
抛物线开口向下，
①当
1
m
−
时，函数在1
2
x
−
时增大而减小，
当
1
x = −时，y 取得最大值，
2
( 1)
2
( 1)
5
4
2
max
y
m
m
= −−
+
−
+
=
−
，
令4
2
8
m
−
= ，解得
2
m = −，
2
1
−−
，
2
m
−
=
符合题意，
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②当1
2
m
−
时，函数在x
m
=
处取得最大值，
2
2
2
5
5
max
y
m
m m
m
= −
+
+
=
+
，
令
2
5
8
m +
=
，解得
3
m =
，
3
1
−
−
，
3
m = −
∴
舍去，
1
3
2
−
，
3
m
=
符合题意，
③当
2
m
时，函数在在1
2
x
−
时增大而增大，
当
2
x =
时，y 取得最大值，
2
2
2
2
5
4
1
max
y
m
m
= −
+
+
=
+ ，
令4
1
8
m+ = ，解得
7
4
m =
，
7
2
4 <
，
7
4
m
=
舍去，
综上所述，
2
m = −或
3
m =
．
（3）解：
(
2, )
A m
a
−
，
(
2, )
C m
a
+
纵坐标相同，
点A、C 关于对称轴x
m
=
对称，
点A、C 到对称轴的距离均为2 ，
a
b
，且抛物线开口向下，
点
(3, )
B
b 到对称轴的距离大于2 ，
即| 3
| 2
m
−
，
3
2
m
−
或3
2
m
−
−，
解得
1
m 或
5
m
．
