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1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题02 一元二次方程中含参数问题的五类综合题型 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用一元二次方程的定义求参数 题型二、一元二次方程的解求参数的值 题型三、一元二次方程的解求代数式的值 题型四、根据一元二方程根的情况求参数 题型五、利用一元二次方程根与系数的关系求参数 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：方程中含字母系数，围绕根的定义、判别式、韦达定理及根与系数关系设问。 - 解题方法：根据条件列方程或不等式；利用韦达定理整体代换；注意隐含条件（二次项系数不为0、判别 式非负）。 - 易错提醒：忽略二次项系数为零的分类讨论；判别式适用前提是已化为一般式；韦达定理只适用于有实 根情况。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用一元二次方程的定义求参数 典例1．（25-26 九年级上·江苏扬州·期末）已知关于x 的方程( ) 1 3 2 1 0 k k x x k − − + + + = 是一元二次方程，则k 的值应为____________． 题型模版 1.特征：含参数方程需满足“一元”（只含一个未知数）且“二次”（最高次数为2，二次项系数不为0）。 2.方法：由次数为2 列方程求参数，并检验二次项系数不为0，同时排除使一次项消失（若要求一元）的情 况。 目 录 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式1-1．（25-26 九年级上·天津滨海新区·阶段检测）若关于x 的方程( ) 2 1 1 4 0 m m x + + − = 是一元二次方程， 则m = ______． 变式1-2． （25-26 八年级上·上海崇明·期中）关于x 的一元二次方程( ) 2 2 3 2 9 0 m x x m − + + − = 有一个根为0， 那么m 的值为_____． 变式1-3．（2026·江苏南通·模拟预测）已知关于x 的方程( ) ( ) ( ) 2 1 1 0 m n m n x m n x mn + + + − − + + = 是一元二次方程， 则m n + 的值为_____________ 题型二、一元二次方程的解求参数的值 典例2．（25-26 八年级下·浙江台州·期末）已知关于x 的一元二次方程 2 2 0 x mx m − + = 的一个根为1 −，则m 的值为_________． 题型模版 1.特征：已知方程的一个或两个解（根），反求方程中待定的字母系数。 2.方法：将解直接代入原方程，得到关于参数的方程（组），解出参数并验证是否满足原方程。 变式2-1． （25-26八年级下·山东济南·期末）一元二次方程 2 6 0 x mx + − = 的一个根为2 −，则m的值为_______． 变式2-2．（25-26 八年级下·浙江宁波·期末）已知 2 x = 是方程 2 1 0 x kx + + = 的一个根，则k 的值为_______． 变式2-3．（25-26 八年级下·山东淄博·期末）若关于x 的一元二次方程 2 2 0 ax bx + + = （ 0 a ）有一个实数根 为 2026 x = ，则一元二次方程( ) 2 1 2 0 a x bx b − + −+ = 必有一个实数根为___________． 题型三、一元二次方程的解求代数式的值 典例3．（25-26 八年级下·北京·期末）若 2 x = 是关于x 的一元二次方程 2 4 0 ax bx − + = 的一个根，则 2026 2a b − + 的值是________． 题型模版 1.特征：已知方程的解（根），求由这些根构成的代数式（如对称式、分式）的值。 2.方法：利用韦达定理（根与系数关系）求两根和与积，再将代数式变形为含“和”与“积”的形式代入计 算。 变式3-1．（2026·甘肃天水·中考真题）已知m 是一元二次方程 2 2 3 0 x x + − = 的一个根，则代数式 2 2 4 m m + 的 值是________________． 3 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式3-2．（25-26 八年级下·福建福州·期末）已知x a = 是方程 2 3 1 0 x x + −= 的一个根，则代数式 2 3 3 a a + + 的值为________． 变式3-3．（25-26 八年级·全国·暑假作业）已知a 是关于x 的一元二次方程 2 2012 1 0 x x − + = 的一个根，则 2 2 2012 2011 1 a a a − + + 的值为__________． 题型四、根据一元二方程根的情况求参数 典例4．（25-26 八年级下·山东淄博·期末）若关于x 的方程 2 4 0 x x a + + = 有两个相等的实数根，则实数a 的 值为__________． 题型模版 1.特征：已知方程根的情况（两不等实根、两相等实根或无实根），反求参数范围。 2.方法：使用判别式 Δ = b² - 4ac，根据 Δ>0、Δ=0、Δ<0 列不等式（或等式）求解参数。 变式4-1．（25-26 八年级下·吉林·期末）已知关于x 的一元二次方程 2 2 4 0 x x a − + = 有两个不相等的实数根， 则a 的取值范围是__________． 变式4-2． （25-26 八年级下·山东威海·期末）若关于x 的一元二次方程 2 2 3 0 ax x + − = 有两个不相等的实数根， 则a 的取值范围是______________． 变式4-3．（25-26 八年级下·山东泰安·期末）若关于x 的一元二次方程 ( ) 2 2 1 0 kx k x k − + + = 有两个不相等的 实数根，则k 的取值范围为____________________． 题型五、利用一元二次方程根与系数的关系求参数 典例5．（25-26 八年级下·安徽六安·期末）已知关于x 的一元二次方程 ( ) 2 3 0 x k x k + + + = ． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若 1x 、 2x 是方程的两根，且 1 2 1 2 3 13 x x x x + − = ，求k 的值． 题型模版 1.特征：已知方程两根之间的某种关系（如相等、互为倒数、满足某等式），反求参数。 2.方法：利用韦达定理写出x1+x2 和x1x2，将已知关系转化为含参数的方程，解之并验证判别式。 变式5-1．（25-26 八年级下·安徽蚌埠·期末）若关于x 的一元二次方程 ( ) 2 2 2 1 2 0 x k x k − + + + = 有两个不相等 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 的实数根． (1)求k 的取值范围； (2)已知方程的两个实数根分别为，，且( )( ) 1 1 13 + + = ，求k 的值． 变式5-2．（25-26 八年级下·山东济南·期末）关于x 的一元二次方程 ( ) 2 4 0 x m x m + + + = ． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若 1x 、 2x 是方程的两个实根，且 2 1 2 1 2 4 x x x x m m + + = − ，求m 的值． 变式5-3．（25-26 八年级下·浙江杭州·期末）已知关于x 的一元二次方程 2 0 ax bx c + + = （ 0 a ）与 2 0 px qx r + + = （ 0 p ）都有实数根，若这两个方程有且只有一个相同的根，且abc pqr = ，则这两个方程 是互为“高关联方程”．例如，方程 2 4 0 x − = 与 2 2 0 x x − = 是互为“高关联方程”． (1)若关于x 的一元二次方程 2 2 3 0 x x + − = 与 2 2 0 x x k + + = 是互为“高关联方程”，求k 的值及相同的根． (2)若关于x 的一元二次方程 2 3 2 0 x x m + + = ①与 2 3 4 0 x x n + + = ②是互为“高关联方程”，且 0 mn ，求m ， n 的值． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1． 1 6 2 1 0 m x x −− + = 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为（ ） A． 3 m = B． 3 m = − C． 1 m = D． 1 m = − 2．若 1 x = 是方程 2 2 0 x bx − − = 的一个解，则b 的值为（ ） A．1 B．1 − C．2 D．2 − 3．若关于x 的一元二次方程 2 4 2 0 x x m − − = 有两个相等的实数根，则实数m 的值为 A．4 B．4 − C．2 D．2 − 4．设a，b 是关于x 的一元二次方程 2 2 2 1 0 x x m m + + + −= 的两个实数根，且 2 2 1 a b m − + = ，则m 的值为（ ） A．1 −或2 − B．1 − C．1 D．2 − 5．若关于x 的一元二次方程( ) 2 1 2 1 0 a x x − + + = 有实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A． 2 a B． 2 a C． 2 a 且 1 a D． 2 a 且 1 a 6．若关于x 的方程( ) | 1| 3 2 0 m m x x − − + = 是一元二次方程，则m= ． 7．若一元二次方程 2 5 0 x c − = 无实数根，则c 的取值范围为 ． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 8．已知x m = 是一元二次方程 2 1 0 x x − −= 的一个根，则代数式 2 2026 m m − + 的值是 ． 9．若关于x 的一元二次方程 2 3 0 x x c − + = 的两根为 1 2 , x x ，且 1 2 2 x x = ，则c 的值是 ． 10．若关于x 的一元二次方程( ) 2 1 2 1 0 m x x − − + = 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 ． 11．当m 为何值时，方程( ) 2 1 1 2 3 0 m m x mx + − + + = (1)是关于x 的一元一次方程． (2)是关于x 的一元二次方程． 12．关于x 的方程为( ) ( ) 2 2 1 3 1 2 0 k x k x − − − + = ，k 为实数． (1)判断方程根的情况． (2)求整数k ，使原方程至少有一个整数根． 13．若关于x 的一元二次方程 2 2 2 0 x x m − + − = 有两个实数根． (1)求m 的取值范围； (2)若a，b 是关于x 的一元二次方程 2 2 2 0 x x m − + − = 的两个根，且 2 2 2 16 m a b + + = ，求m 的值． 14．已知关于x 的一元二次方程( )( ) 2 x a x b p − − = （a b p 、、为常数）． (1)求证：方程总有两个实数根． (2)若 16 a b −= ，p 为非负整数，且方程的两个实数根均为整数，求p 的值． 15．已知关于x 的一元二次方程 2 3 0 x x m − + = ． (1)若方程有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围； (2)若 2 m = ，求一元二次方程的根； (3)若方程两实数根为 1 x ， 2x ，且满足 1 2 1 2 3 3 2 5 x x x x + − = ，求实数m 的值．
