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1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题02 勾股定理逆定理 常考题型·精准突破 题型1 勾股树（数）的判定（高频） 题型2 判断三边能否构成直角三角形（高频） 题型3 在网格中判断直角三角形（重） 题型4 利用勾股定理的逆定理求解（重） 题型5 勾股定理逆定理的实际应用（难） 题型6 勾股定理逆定理的拓展问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 勾股树（数）的判定 1．A 2．D 3．C ◆题型2 判断三边能否构成直角三角形 4．A 5．B 6．B ◆题型3 在网格中判断直角三角形 7．45/45 度 8． 【答案】（1）解：四边形ABCD的面积为：5 5 2 1 2 4 2 2 5 1 2 4 1 2 1 14.5 −−−−−= ． （2）证明：如图，连接BD． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵ 2 2 2 3 4 25 BD = + = ， ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 2 2 1 20 5 25 BC CD + = + + + = + = ， ∴ 2 2 2 BC CD BD + = ， BCD 是直角三角形，且 90 BCD = ． 9． 【答案】(1)解：如图所示，即为所求； （2）解：由勾股定理和网格的特点可得 2 2 3 4 5 AD = + = ； （3）解：由勾股定理和网格的特点可得 2 2 2 3 4 25 AD = + = ， 2 2 2 1 2 5 CD = + = ， 2 2 2 2 4 20 AC = + = ， ∴ 2 2 2 20 5 25 AC CD AC + = + = = ， ∴ACD 是直角三角形； （4）解： 1 1 1 1 4 6 3 4 1 2 3 4 1 2 10 2 2 2 2 ABCD S = − − − − = ． ◆题型4 利用勾股定理的逆定理求解 10． 【答案】解： 8, 17, 90 AB AD ABD = = = ， 在Rt ABD 中，由勾股定理得 2 2 2 2 17 8 15 BD AD AB = − = − = ， 9, 12 BC CD = = ， 在BCD 中， 2 2 2 2 2 2 9 12 225, 15 225 BC CD BD + = + = = = ， 2 2 2 BC CD BD + = ， BCD 是直角三角形， 90 C = ， BCD 的面积 1 1 12 9 54. 2 2 CD BC = = = 3 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 11．（ 【答案】(1)证明：∵ 5, 12, 13 BC AC AB = = = ∴ 2 2 2 2 5 12 169 BC AC + = + = ， 2 2 13 169 AB = = ∴ 2 2 2 BC AC AB + = ∴ 90 ACB = ； （2）解：∵ 90 ACB = ，CD AB ⊥ ∴1 1 2 2 AB CD AC BC = ∵ 5, 12, 13 BC AC AB = = = ∴ 60 13 CD = ． 12． 【答案】（1）解：在ABC 中， 9 AB = ， 12 AC = ， 15 BC = ， 2 2 2 9 12 225 15 + = = ， 2 2 2 AB AC BC + = ， ABC 是直角三角形， 90 A = ； （2）解：设AP x = ，则 12 BP CP x = = −． 在Rt ABP 中， 2 2 2 AB AP BP + = ， 2 2 2 9 (12 ) x x + = − ， 解得 21 8 x = ． 21 9 189 8 2 2 16 ABP AP AB S = = = ． ◆题型5 勾股定理逆定理的实际应用 13． 【答案】（1）解： 16, 12, 90 AB BC B = = = ， 根据勾股定理可得 2 2 2 2 16 12 20 AC AB BC = + = + = （米）， 答：小路AC 的长度为20 米； （2）解：由（1）知， 20 AC = ， 25, 15 CD AD = = ， 2 2 2 AD AC DC + = ， ACD 是直角三角形，且 90 CAD = ， 4 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ABC ACD ABCD S S S = + 四边形 1 1 2 2 AB BC AC AD = + 1 1 16 12 15 20 2 2 = + 96 150 = + 246 = （平方米）． 答：四边形草坪ABCD的面积是246 平方米． 14． 【答案】（1）解：在Rt ACD 中，根据勾股定理可得 2 2 2 2 2 2.6 2.4 1 AC CD AD = − = − = ， 因此 1m AC = ，即AC 的长度为1m； （2）解：在ABC 中， 2 2 2 0.36 0.64 1 AB BC AC = = = ， ， ， ∴ 2 2 2 AB BC AC + = ， ∴ABC 是直角三角形， 90 ABC = ，即该车棚符合图纸上的安装要求． 15． 【答案】（1）解：∵在ABC 中，AD为BC 边上的高， ∴ 90 ADB ADC = = ， ∵ 2 CD = ， 4 AD = ， 8 BD = ， ∴ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 20, 4 8 80 AC AD CD AB AD BD = + = + = = + = + = ， 10 BC CD BD = + = ， ∴ 2 2 2 2 100 10 AC AB BC + = = = ， ∴ 90 BAC = ， ∴AB AC ⊥ ； （2）解：正确，理由如下： AD BC ⊥ ， ∴在Rt ACD 中，由勾股定理得 2 2 2 AD AC CD = − ①， 在Rt ABD 中，由勾股定理得 2 2 2 AD AB BD = − ②， + ① ②得： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2AD AC CD AB BD AC AB CD BD = − + − = + − − ， 2 AD BD CD = ， 2 2 2 2 2BD CD AC AB CD BD = + − − ， ∴ 2 2 2 2 2 BD BD CD CD AC AB + + = + ， ∴( ) 2 2 2 BD CD AC AB + = + ，即 2 2 2 BC AC AB = + ， ABC 为直角三角形； （3）解：安全，理由如下： 4m BC = ， 2.4m BD = ，BD AC ⊥ ， 5 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 在Rt BCD 中，根据勾股定理得 ( ) ( ) 2 2 2 2 4 2.4 3.2 m CD BC BD = − = − = ， ∴ 5 3.2 1.8 AD = − = ， ∴ 2 2 3 AB AD BD = + = ， ∴ 2 2 2 2 2 3 4 25 AB BC AC + = + = = ， ABC 是直角三角形， ∴这个房梁安全． ◆题型6 勾股定理逆定理的拓展问题 16． 【答案】（1）解： ( ) 2 2 1 2 1 a b n n n + = + + = + ， 当 299 n = 时， 2 2 4 (299 1) 300 90000 9 10 a b + = + = = = ； 故答案为： 4 9 10 ； （2）解： 2 1 a n = + ， 2 b n = ， 2 1 c n = −， 当 4 n = 时， 2 4 1 17 a = + = ， 2 4 8 b = = ， 2 4 1 15 c = −= ， 2 2 2 289 b c a + = = ， 这个三角形是直角三角形，且a 是斜边， 这个三角形的面积是1 8 15 60 2 = ， 故答案为：60 ； （3）解：小明的发现正确，理由如下： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (2 ) ( 1) 4 ( ) 2 1 ( 1) b c n n n n n n a + = + − = + − + = + = ， 2 2 2 b c a + = ， 当n 取大于1 的整数时，a 、b 、c 为一组勾股数． 17． 【答案】(1) 是．理由如下： ∵AM2＋BN2＝1.52＋22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25， ∴AM2＋NB2＝MN2， ∴AM、MN、NB 为边的三角形是一个直角三角形， ∴点M、N 是线段AB 的勾股分割点． （2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x， 6 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ①当MN 为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2， 即（25−x）2＝x2＋25， 解得x＝12； ②当BN 为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2． 即x2＝25＋（25−x）2， 解得x＝13， 综上所述，BN＝12 或13． 18． 【答案】（1）解：当两直角边为6、8 时，斜边 2 2 6 8 10 = + = 当ABC 三边分别为6、8、9 时，ABC 为锐角三角形 当ABC 三边分别为6、8、11 时，ABC 为钝角三角形 （2）解：由勾股定理逆定理可得， 当 2 2 2 a b c + 时，ABC 为锐角三角形； 当 2 2 2 a b c + 时，ABC 为钝角三角形； （3）解：当为直角三角形时， 2 2 13 c a b = + = ； 当ABC 为锐角三角形时， 2 2 2 a b c + ， 12 13 c ； 当ABC 为钝角三角形时， 2 2 2 a b c + ， 则c 的取值范围为 13 c ， 两边之和大于第三边， 13 17 c ． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．D 2．C 3．D 4．D 5．D 二、填空题 6．8 7 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 7．24 8．南偏东60 9．3 10．( ) 21,220,221 三、解答题 11． 【答案】（1）解：在Rt ABC △ 中， 90 CAB = ， 6 AB = ， 10 BC = ． 2 2 2 2 10 6 8 AC CB AB = − = − = ． （2）解：在ACD 中， 8 AC = ， 15 CD = ， 17 AD = ， 2 2 2 2 8 15 289 AC CD + = + = ， 2 2 17 289 AD = = ． 2 2 2 AC CD AD + = ． 90 ACD = ． 1 1 2 2 ABC ACD ABCD S S S AB AC CD AC = + = + △ △ 四边形 1 1 6 8 8 15 84 2 2 = + = ． 12． 【答案】(1)（10，24，26） (2) 2 1 n −， 2 1 n + ， 证明：∵ 2 2 2 4 2 2 4 2 ( 1) (2 ) 2 1 4 2 1 n n n n n n n − + = − + + = + + ，( ) 2 2 4 2 1 2 1 n n n + = + + ， ∴ 2 2 2 2 2 ( 1) (2 ) ( 1) n n n − + = + ， ∴ 2 2 2 , 1, 1 n n n − + 是勾股数． 13． 【答案】(1) ABC 是直角三角形． 证明：∵AD CE ⊥ ， ∴ 90 ADC = ， 在Rt ADC △ 中， 7 AD = ， 24 DC = ， 根据勾股定理得， 2 2 25 AC AD CD = + = 在ABC 中， 20 15 25 AB BC AC = = = ， ， ， ∵ 2 2 2 2 2 20 15 625 AB BC AC + = + = = ， 根据勾股定理的逆定理得， 90 ABC = ， ∴ABC 是直角三角形； （2）在Rt ADC △ 中， 7 24 AD DC = = ， ， 8 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 84 2 ADC S CD AD = = 在Rt ABC △ 中， 20 15 AB BC = = ， ， 1 150 2 ABC S BC AB = = ( ) ( ) 2 1 66 ABC ACE ACD ACE ABC ACD S S S S S S S S − = − − − = − = ． 14． 【答案】(1) ABC 是直角三角形；理由如下： 购物车侧面简化示意图中，支架 8 dm AC = ， 6 dm AB = ，两轮中心的距离 10 dm BC = ， 2 2 2 8 6 10 + = ，即 2 2 2 AC AB BC + = ， ABC 是直角三角形． （2）解：如图，过点A作AG BC ⊥ 于点G ， 13dm AD = ， 5 dm AE = ，AE DE ⊥ ， 2 2 2 2 13 5 12 DE AD AE dm = − = − = ， 由（1）得，ABC 是直角三角形， 1 1 2 2 ABC S AB AC BC AG = = △ ， 6 8 4.8 10 AB AC AG dm BC = = = ， 购物车上篮子的左边缘D 到BC 的距离为 12 4.8 16.8 DE AG dm + = + = ． 15． 【答案】（1）解：边AD垂直于边AB ，理由如下： ∵ 2 2 2 21 2.4 6.76 AD AB = = + + ， 2 2 2.6 6.76 BD = = ， ∴ 2 2 2 AD AB BD + = ， 即ADB 为直角三角形， 90 DAB = ， ∴AD AB ⊥ ． （2）解：设计方案如下∶ 在BC 上量取 12cm BE = ，在AB 上量取 16cm BF = ， 如果 20cm EF = ，则边BC 垂直于边AB ，否则就不垂直． 16． 【答案】(1) 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 解：∵在ABC 中， 2 2 2 2 6 8 36 64 100 AB BC + = + = + = ， 2 2 10 100 AC ， ∴ 2 2 2 AB BC AC + = ，ABC 是直角三角形； （2）解：①若点P 在BC 上，则 2 BP t = ，AB BP = ， ∴6 2 , 3 t t = = ； ②若点P 在AC 上，则 2 8 CP t = −， 18 2 AP AC CP t = − = − ， （i）当AB AP = 时，6 18 2 , 6 t t = − = ； （ii）当AB BP = 时，作BD AC ⊥ 于D ， 则 1 1 24 , 2 2 5 ABC AB BC S AB BC AC BD BD AC = = = = ， ∴ 2 2 18 5 AD AB BD − = = ， 36 2 5 AP AD = = ， ∴36 18 2 5 t = − ，解得 27 5 t = ． 综上所述，当 3 t = 或 27 5 t = 或 6 t = 时，ABP 是以AB 为腰的等腰三角形． （3）解：∵ABC 的周长为 24 AB BC AC + + = cm，24 2 12 = ． ①当0 4 t 时，点P 在BC 上，点Q 在AB 上， 则 2 BP t = ，BQ t = ， 3 BP BQ t + = ， ∴3 12 t = ， 解得 4 t = ， 如图所示，此时点P 刚好运动到点C ； 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ②当4 6 t 时，点P 在AC 上，点Q 在AB 上， 由①得，此时 12 BQ BC CP + + ，不符合题意； ③当6 12 t 时，点P 、Q 都在AC 上， 10 PQ AC = ，10 12 ，不符合题意； ④当9 12 t 时，点P 在AB 上，点Q 在AC 上， 则 2 18 AP t = − ， 6 AQ t = − ， 3 24 AP AQ t + = − ， ∴3 24 12 t− = ， 解得 12 t = ， 如图所示，此时点P 刚好回到点B ． 综上所述，当t 为4 或12 时，直线PQ 把ABC 的周长分成相等的两部分．
