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专题02 反比例函数的图像与性质的十类综合题型
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、判断反比例函数图像
题型二、反比例函数中的比例系数k 比较大小
题型三、反比例函数中的性质—增减性概念判断
题型四、反比例函数中的性质—增减性比较大小
题型五、反比例函数中的性质—对称性求值
题型六、反比例函数中的性质—对称性最值问题
题型七、反比例函数中的性质—增减性最值问题
题型八、画反比例函数图象
题型九、反比例函数中的整点问题
题型十、反比例函数中平移后的特殊函数
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移
分
类
具体内容
核心要点
知
识
点
反比例函数图
像的画法
采用描点法：①列表：在x≠0 的范围内取对称的正负值；②描点：
在直角坐标系中描出对应点；③连线：用光滑曲线分别连接两个象
限内的点，形成双曲线，图像不与坐标轴相交
反比例函数图
像的形状与位
置
形状为双曲线，有两个分支；当k>0 时，分支位于第一、三象限；当
k<0 时，分支位于第二、四象限
反比例函数的
增减性
当k>0 时，在每个象限内，y 随x 的增大而减小；当k<0 时，在每个
象限内，y 随x 的增大而增大
目 录
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反比例函数图
像的对称性
关于原点中心对称，也是轴对称图形，对称轴为直线y=x 和y=-x
比例系数k 的
几何意义
过双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为|k|；所
得直角三角形的面积为
1
2 |𝑘|
反比例函数与
正比例函数图
像的交点
若正比例函数y=k₁x 与反比例函数𝑦=
𝑘2
𝑥有交点，当k₁k₂>0 时有两个交
点，且交点关于原点对称；当k₁k₂<0 时无交点
易
错
点
增减性描述遗
漏“每个象限
内”
直接说“k>0 时y 随x 增大而减小”，忽略反比例函数分两个分支，跨
象限不满足该规律，必须强调“每个象限内”
混淆k 对图像
位置的影响
误记k<0 时图像在一、三象限，k>0 在二、四象限，记反k 的符号与
图像象限的对应关系
k的几何意义计
算忘记加绝对
值
计算矩形或三角形面积时直接代入k，忽略k 为负数时面积仍为正，
必须取|k|计算
画图时图像与
坐标轴相交
错误将双曲线延伸与x 轴或y 轴相交，实际上x≠0、y≠0，图像永远不
与坐标轴相交
求点坐标时忽
略x 的正负取
值
已知点在反比例函数图像上求参数时，只考虑点所在象限，忽略x 不
能取0 或符号与象限不符的情况
判断对称性出
错
误认为反比例函数图像只有中心对称，没有轴对称，或记错对称轴方
程
交点问题遗漏
对称性质
已知一个交点求另一个交点时，不会利用关于原点对称的性质计算，
反而重新联立方程求解，容易出错
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题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、判断反比例函数图像
典例1 反比例函数
8
y
x
= −
的图象一定经过的点是（ ）
A．(
)
2,4
B．(
)
4,2
−
C．(
)
4, 2
−
−
D．(
)
2, 4
−
−
变式1-1 函数
1
2
4
y
x
−
=
+
的大致图像为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1-2 反比例函数
(
0)
k
y
x
x
=
的部分图像如图所示，则k =________（写出一个符合题意即可）．
变式1-3 函数
2
5
y
x
= −
的图像经过的象限是______．
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类型二、反比例函数中的比例系数k 比较大小
典例2 反比例函数
1
2
1
2
k
k
y
y
x
x
=
=
，
3
1
k
y
x
=
在同一坐标系中的图象如图所示，则
1
2
3
,
,
k k k 的大小关系为（ ）
A．
2
1
3
k
k
k
B．
1
2
3
k
k
k
C．
2
3
3
k
k
k
D．
3
1
2
k
k
k
变式2-1 如图为反比例函数
1k
y
x
=
，
2k
y
x
=
，
3k
y
x
=
在同一坐标系的图象，则
1k ，2k ，3k 的大小关系为（ ）
A．
1
2
3
k
k
k
B．
2
1
3
k
k
k
C．
3
1
2
k
k
k
D．
3
2
1
k
k
k
变式2-2 如图所示的是三个反比例函数
3
1
2
1
2
3
,
,
k
k
k
y
y
y
x
x
x
=
=
=
在x 轴上方的图象，则
1
2
3
,
,
k k k 的大小关系是
__________
变式2-3 反比例函数
1
1
k
y
x
=
，
2
2
k
y
x
=
，
3
3
k
y
x
=
在同一坐标系中的图像如图所示，则
1k ，
2k ，
3k 的大小关系
为_______．（用“<”连接）
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题型三、反比例函数中的性质—增减性概念判断
典例3 已知反比例函数
k
y
x
=
的图象经过点(
)
1, 2
−
，下面说法错误的是（ ）
A．反比例函数的关系式为
2
y
x
= −
B．点(
)
1,2
−
在反比例函数图象上
C．反比例函数的图象在第二、四象限
D．当
0
x
时，y 随x 增大而减小
变式3-1 若反比例函数
k
y
x
=
的图像经过(
)
1, 2
−
，下列判断不正确的是（ ）
A．图像在第二、四象限
B．图象经过点(
)
2,1
−
C．函数值y 随着x 的增大而增大
D．图象关于原点中心对称
变式3-2 某函数符合如下条件：①图像经过(
)
2,3 ；②当
0
x
时，y 随x 的增大而减小．请写出一个满足
条件的函数表达式：____________．
变式3-3 已知一个函数具备以下特征：
①函数的图象经过第二象限；
②当
0
x
时，y 随x 的增大而增大；
③函数的图象关于原点中心对称
请写出一个符合上述特征的函数的表达式：_________．
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题型四、反比例函数中的性质—增减性比较大小
典例4 已知反比例函数
4
y
x
= −
的图象上有两点
(
)
1
2,
A
y
−
，
(
)
2
4,
B
y
−
，则
1y ，
2y 的大小关系为（ ）
A．
1
2
y
y
B．
1
2
y
y
=
C．
1
2
y
y
D．无法确定
变式4-1 若点
(
)
1
1,
A
y
−
，(
)
2
2,
B
y
−
，
(
)
3
3,
C
y
在反比例函数
6
y
x
−
=
的图象上，则
1y ，
2y ，
3y 的大小关系是
（ ）
A．
1
2
3
y
y
y
B．
2
1
3
y
y
y
C．
1
3
2
y
y
y
D．
3
2
1
y
y
y
变式4-2 如果反比例函数
(
)
0
k
y
k
x
=
的图象经过点
(
)
1
2,
A
y
与
(
)
2
3,
B
y
，那么
1y _____
2y（填“”、“”或“ = ”）．
变式4-3 已知点
(
)
1
1
,
A x y
，(
)
2
2
,
B x
y
，
(
)
3
3
,
C x
y
在反比例函数
2
1
m
y
x
+
= −
（m 为任意实数）的图象上，且
1
2
3
0
x
x
x
，则
1y ，
2y ，
3y 的大小关系为________．
题型五、反比例函数中的性质—对称性求值
典例5 如图，双曲线
k
y
x
=
与直线y
mx
=
相交于A，B 两点，若点A的坐标为(
)
1,2 ，则点B 的坐标为（ ）
A．(
)
1, 2
−
−
B．(
)
1,2
C．(
)
1,2
−
D．(
)
1, 2
−
变式5-1 直线
(
)
0
y
ax a
=
与双曲线
3
y
x
=
交于
(
)
1
1
,
A x y
、(
)
2
2
,
B x
y
两点，则
1
2
2
1
4
3
x y
x y
−
的值为（ ）
A．6
−
B．3
−
C．3
D．6
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变式5-2 已知反比例函数
4
y
x
=
图象与正比例函数
3
y
x
=
的图象交于点
(
)
1
1
,
A x y
和点
(
)
2
2
,
B x
y
，则
1
2
2
1
2
3
x y
x y
+
= ______________．
变式5-3 已知直线y
mx
=
与双曲线
k
y
x
=
的一个交点坐标为(
)
3,4
−
，则它们的另一个交点坐标是______．
题型六、反比例函数中的性质—对称性最值问题
典例6 如图，点A、B 在反比例函数
k
y
x
=
的图像上，点A 坐标为(
)
1,m ，点B 坐标为(
)
3,2 ，y 轴上有一动
点P，连接PA、PB，则PA PB
+
的最小值为（ ）
A．2 6
B．5
C．3 3
D．4 2
变式6-1 如图，点
(
)
1,4
A m −
，
4, 2
m
B
都在双曲线
(
)
0
k
y
x
x
=
上，点P 是x 轴正半轴上的点，当PAB
的
周长为最小值时，点P 的坐标是（ ）
A．12 ,0
5
B．(
)
3,0
C．17 ,0
5
D．1 ,0
2
变式6-2 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数
k
y
x
=
（
0
x
）的图象与边长是6 的正方形OABC的两边
AB ，BC 分别相交于M ，N 两点.
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（1）若点N 是BC 的中点，则k =_____；
（2）已知OMN
的面积为16，若动点P 在x 轴上，则PM
PN
+
的最小值是_________.
变式6-3 如图，点
(
)
(
)
,3 ,
,1
A a
B b
在反比例函数
3
y
x
=
的图像上，点C，D 分别是x 轴、y 轴上的动点（C，D
不同时与原点重合），则四边形ABCD的周长的最小值为______．
题型七、反比例函数中的性质—增减性最值问题
典例7 已知反比例函数
5
y
x
=
，若
5
x
，则函数y 有（ ）
A．最大值1
B．最小值1
C．最大值5
D．最小值0
变式7-1 对于反比例函数
m
y
x
=
，若当2
1
x
−
−时有最大值
4
y =
，则当
8
x
时，有（ ）
A．最大值
1
2
y
−
=
B．最大值
1
y
−
=
C．最小值
1
2
y
−
=
D．最小值
1
y
−
=
变式7-2 反比例函数
k
y
x
=
（
0
k
），当1
3
x
时，函数y 的最大值和最小值之差为3，则k =______．
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变式7-3 已知反比例函数
k
y
x
=
（k 为常数且
0
k
），当3
1
x
−
−时，y 的最大值是6，则当1
3
x
时，y
的最小值为___________．
题型八、画反比例函数图象
典例8 （1）画出函数
(
)
6
0
y
x
x
= −
的图象．
①列表：
x
6
−
5
−
4
−
3
−
2
−
1
−
y
②描点并连线．
（2 ）从图象可以看出，曲线从左向右______（填“上升”或“下降”），当x 由小变大时
(
)
6
0
y
x
x
= −
随之
______．（填“变大”或“变小”）
x
6
−
5
−
4
−
3
−
2
−
1
−
y
1
6
5
3
2
2
3
6
变式8-1 已知反比例函数
5
y
x
= −
．
(1)①该函数部分y 与x 的对应值如下表所示，请补全表格；
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x
5
−
4
−
3
−
2
−
1
−
1
2
3
4
5
y
1
5
3
5
2
5
−
5
3
−
1
−
②在下图中画出函数
5
y
x
= −
的图象．
(2)函数
5
y
x
= −
的图象位于第______象限，在每个象限内，函数值y 随自变量x 的增大而______．
变式8-2 在下面的平面直角坐标系中画出反比例函数
12
y
x
−
=
的图象．
(1)完成下列表格：
x
…
6
−
4
−
3
−
2
−
2
3
4
6
…
y
…
2
3
6
4
−
3
−
…
(2)描点、连线画图：
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变式8-3 在同一坐标系中画两个函数的图象，并回答相关问题：
(1)画出函数
6
y
x
=
的图象；
①由分式有意义可知，函数
6
y
x
=
中自变量x 取除_______以外的全体实数，可列如下表，请你填剩余的空．
x
6
−
4
−
3
−
2
−
1.5
−
1
−
1
1.5
2
3
4
6
y
6
4
3
2
1.5
1
②在坐标系中描点、连线，画函数的大致图象（描上表中剩余的点并连线）．
(2)画出函数
3
2
y
x
=
的图象；
(3)当取x 何值时，对于其中x 的每一个值，函数
3
2
y
x
=
的值大于函数
6
y
x
=
的值，直接写出x 的取值范围．
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题型九、反比例函数中的整点问题
典例9 如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象经过点
(
)
4,1
A
，一次函数
1
4
y
x
b
=
+
的图象与该反比例函数的图象相交于点B ，与y 轴相交于点C ．
(1)求该反比例函数的表达式；
(2)定义：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记该反比例函数图象在点A，B 之间的部分与线段
,
,
OA OC BC
围成的区域（不含边界）为W ．
①当
2
b = 时，区域W 内的有整点__________个；
②若区域W 内恰有3 个整点，请结合函数图象，直接写出b 的取值范围．
变式9-1 在平面直角坐标系中，记反比例函数
(k
0,x
0)
k
y
x
=
的图象为G ，直线:
2
l y
x
b
= −
+
经过点
(2,4)
A
，与图象G 交于
,
B C 两点，且点B 的横坐标小于点C 的横坐标．
(1)求b 的值；
(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G 与直线l 所围成的区域（含边界）为W ．
①若
6
k =
，求
,
B C 两点的坐标，并写出区域W 内的整点个数；
②若区域W 内恰好有7 个整点，结合函数图象，直接写出k 的取值范围为________
变式9-2 在平面直角坐标系中，定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，已知双曲线
(
)
0
k
y
x
x
=
经过点
(
)
2,2
A
，在第一象限内存在一点(
)
,
B m n ，满足
4
mn
．
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(1)求k 的值
(2)如图1，过点B 分别作平行于x 轴，y 轴的直线，交双曲线于点C
D
、
，记为线段BC、BD、双曲线所围成
的区域为W （含边界），
①当
4
m
n
=
= 时，区域W 的整点个数为 ；
②当区域W 的整点个数为4 时，B 点横坐标满足3
4
m
，则纵坐标n 取值范围为 ；
(3)直线
(
)
5
4
0
y
ax
a
a
=
−
+
将W 分成两部分，直线上方（不包含直线）区域记为
1
W ，直线下方（不包含直
线）区域记为
2
W ，当
1
2
W
W
、
的整点个数之差不超过2 时，则a 的取值范围为 ．
变式9-3 如图，已知点
(
)
1,0
A −
，
(
)
0, 2
B
−
，
ABCD
的边AD与y 轴交于点
(
)
0,2
E
，且E 为AD的中点，反
比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象同时经过C、D 两点．
(1)求k 的值和点C 的坐标；
(2)已知点
(
)(
)
0,
0
P
n
n
，过点P 作平行于x轴的直线，与反比例函数图象交于点M，与直线BC 交于点N．横、
纵坐标都是整数的点叫做整点．记反比例函数图象在点M，C 之间的部分与线段MN ，NC 围成的区域（不
含边界）为W．
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①当
5
n = 时，直接写出区域W 内的整点个数；
②若区域W 内的整点恰好为2 个，结合函数图象，直接写出n 的取值范围．
题型十、反比例函数中平移后的特殊函数
典例10 数学兴趣小组的同学根据学习经验，类比反比例函数图象与性质的研究路径，对函数
1
1
y
x
=
+ 的图
象与性质进行探究．
绘制函数图象
①列表：列出y 与x 的几组对应值：
x
…
4
−
3
−
2
−
3
2
−
4
3
−
…
2
3
−
1
2
−
0
1
2
…
y
…
1
3
−
1
2
−
1
−
2
−
3
−
…
3
2
1
1
2
1
3
…
②描点：根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点得到函数图象．
观察图象，探究函数
1
1
y
x
=
+ 的性质．
根据以上研究过程，回答下列问题：
(1)函数
1
1
y
x
=
+ 自变量x 的取值范围是________；
(2)把函数
1
1
y
x
=
+ 的图象补充完整；
(3)对于函数
1
1
y
x
=
+ 的图象，在每一个分支上，y 随x 的增大而________（填“增大”或“减小”）；函数
1
1
y
x
=
+
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的图象可以看成把函数
1
y
x
=
的图象向________（填“左”或“右”）平移________个单位得到的；
(4)关于x 的方程1
1
1
x
= −
+
的解是________；关于x 的不等式1
2
1
x
+
的解集是________．
变式10-1 数学兴趣小组根据以往的函数学习经验，决定对函数
2
3
1
y
x
=
−
−
的图象和性质进行探究．下面是
他们的探究过程，请按要求补充完整：
(1)函数
2
3
1
y
x
=
−
−
的自变量x 的取值范围是_________：
(2)下列表格是y 与x 几组对应值：
x
…
3
−
2
−
1
−
0
1
2
3
2
2
3
4
5
…
y
…
7
2
−
11
3
−
4
−
5
−
7
−
m
1
−
2
−
7
3
−
5
2
−
…
直接写出m 的值_________；
(3)在如图所示的坐标系中描点，并画出函数的大致图象（小方格的边长为1）：
(4)结合函数图象，发现函数的下列特征：
①该函数当
1
x 时，y 随x 的增大而_________（填增大或减小）；
②若函数
1
2
3
1
y
x
=
−
−
与一次函数
2y
kx
b
=
+ 相交于点(
)
0, 5
A
−
，(
)
2, 1
B
−
，结合函数图象直接写出使不等式
1
2
y
y
成立的x 的取值范围．
变式10-2 综合与实践：
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《函数》复习课后，为加深对函数的认识，张老师引导同学们对函数
1
1
x
y
x
−
=
+ 的图象与性质进行探究．过程
如下，请完成探究过程：
(1)初步感知
函数
1
1
x
y
x
−
=
+ 的自变量取值范围是_____．
(2)作出图象
①列表：
x
…
6
−
5
−
4
−
3
−
2
−
5
3
−
3
2
−
7
5
−
n
1
3
−
0
1
2
3
4
…
y
…
7
5
3
2
5
3
2
3
4
m
6
3
−
2
−
1
−
0
1
3
1
2
3
5
…
填空：表中m = _____，n =_____．
②描点，连线：
在平面直角坐标系xOy 中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
(3)研究性质
小刚观察图象，发现这个图象为双曲线，进一步研究中，小刚将函数
1
1
x
y
x
−
=
+ 转化为
2
1
1
y
x
= −
+ ，他判断该
函数图象就是反比例函数
2
y
x
= −
通过某种平移转化而来，反比例函数
2
y
x
= −
的图象是中心对称图形，对称
中心为(
)
0,0 ，则函数
1
1
x
y
x
−
=
+ 的图象的对称中心为_____；反比例函数
2
y
x
= −
的图象是轴对称图形，对称
轴为直线y
x
=
和y
x
−
=
，则函数
1
1
x
y
x
−
=
+ 的图象的对称轴为直线_____．
(4)拓展应用
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若一次函数
1
2
2
y
x
−
=
+ 的图象与函数
1
1
x
y
x
−
=
+ 的图象交于A、B 两点，连接OA、OB ，则AOB
的面积为_____．
变式10-3 参照学习函数的过程与方法，探究函数
(
)
2
0
x
y
x
x
−
=
的图象与性质，因为
2
2
1
x
y
x
x
−
=
= −
，即
2
1
y
x
= −
+ ，所以我们对比函数
2
y
x
= −
来探究．
列表：
x
…
4
−
3
−
2
−
1
−
1
2
−
1
2
1
2
3
4
…
2
y
x
= −
…
1
2
2
3
1
2
4
4
−
2
−
1
−
2
3
−
1
2
−
…
2
x
y
x
−
=
…
3
2
5
3
2
3
5
3
−
1
−
0
1
3
1
2
…
描点：在平面直角坐标系中以自变量x 的取值为横坐标，以
2
x
y
x
−
=
相应的函数值为纵坐标，描出相应的点
如图所示；
(1)请在上图中把y 轴左边各点和右边各点分别用一条光滑曲线，顺次连接起来；
(2)观察图象并分析表格，回答下列问题：
①当
0
x
时，y 随x 的增大而______；（选填“增大”或“减小”）
②
2
x
y
x
−
=
的图象可看作是由
2
y
x
= −
的图象向______平移______个单位而得到的；
③
2
x
y
x
−
=
图象的两个分支关于点______（填点的坐标）中心对称；关于直线______（填函数表达式）轴
对称．
(3)试说明函数
2
x
y
x
−
=
的图象与直线
1
y = 的交点情况．
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压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1．如图，在边长为1 的正方形网格上建立平面直角坐标系，x 轴，y 轴都在格线上，其中反比例函数
(
)
0
0,
k
y
k
x
x
=
的图象被撕掉了一部分，已知点M ，N 在格点上，设点N 的坐标为(
)
, 2
n −
，则k =（ ）
A．2
−
B．3
−
C．4
−
D．5
−
2．一次函数y
kx
b
=
+
经过第一、二、三象限，则函数
k
y
x
b
=
+
的图像大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知点
(
)
1
,
A m y
，
(
)
2
,
B
m y
−
，
(
)
3
2 ,
C
m y
在反比例函数
1
y
x
=
的图象上，若
0
m
，则
1y ，
2y ，
3y 的大小
关系为（ ）
A．
1
2
3
y
y
y
B．
1
3
2
y
y
y
C．
2
1
3
y
y
y
D．
3
1
2
y
y
y
4．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A
B
、分别为(
)
,0
m
、(
)
0,n ，顶点C 在反比例函数
1k
y
x
=
（
0
x
）上，顶点D在反比例函数
2k
y
x
=
（
0
x
）上．当D 点坐标为(
)
4,1 时，下列说法：①
2
4
k =
；②
1
m = ；
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③
3
n = ；④
1
12
k =
．其中正确结论有（ ）．
A．1个
B．2 个
C．3个
D．4 个
5．如图，一次函数
(
)
0
y
ax a
=
与反比例函数
(
)
0,
0
k
y
k
x
x
=
的图象交于点(
)
4,8
A
，过点A 作x 轴的平
行线l，将直线y
ax
=
向上平移(
)
0
b b
个单位长度后，分别与x 轴，反比例函数，直线l 交于点B，C，D．当
CD
BD
=
时，b 的值为（ ）
A．
16
b =
B．
12
b =
C．
10
b =
D．
8
b =
6．如果函数
2
1
a
y
x
−
−
=
（a 为常数）的图象上有两点(
)
1
2018, y
、(
)
2
2017, y
，那么函数值
1y _____
2y ．
（填“”、
“ = ”或“”）．
7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，两个反比例函数
6
y
x
−
=
和
2
y
x
= −
在第二象限内的图象依次为
1
C ，2
C ．已
知点P 在
1
C 上，点A，B 在
2
C 上，且PA
x
⊥
轴，PB
y
⊥
轴，则四边形OAPB的面积为____．
8．已知点(
)
,
P a b 是一次函数
3
y
x
=
−
与反比例函数
2
y
x
= −
的交点，则代数式1
1
a
b
−
的值是_________．
9．在平面直角坐标系xOy 中，对于
( , )
P a b ，若点P的坐标为
,
b
ka
b a
k
+
+
（其中k 为常数且
0
k
），则称
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点P为点P 的“k 的和谐点”．已知点A在函数
2 (
0)
y
x
x
=
的图象上运动，且点A是点B 的“2 的和谐点”，若
( 2,0)
Q −
，则BQ 的最小值为______．
10．如图，线段
6
AB =
，点M 从点A出发，点N 从点B 出发，都以每秒1 个单位长度的速度沿直线AB 运
动，其中M 向点B 运动，N 向点A运动，两点分别到达点B 、点A时停止运动．以AM 为一边的矩形面积
AMCD始终为6．设点M 的运动时间为(
)
0
t t
秒，MN 之间的距离为
1y ，AD的长度为
2y ．在平面直角坐
标系中，以t 为横坐标、y 为纵坐标，得到
1y 和
2y 随t 变化的图像．当1
6
t
时，设这两个函数的图像与直
线
6
y =
所围成的封闭图形为G （包括边界）．在封闭区域G 中的格点（横、纵坐标都是整数的点）中，恰
好在
1y 或
2y 图像上的个数为_____个．
11．如图，在矩形AOBC 中，
2
OA =
，
3
OB =
，反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象经过矩形边BC 的中点D，
交AC 边于点E．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)在x 轴上找一点P 使PDE
的周长最小，求此时点P 的坐标；
(3)在（2）的条件下，直接写出PDE
的面积．
12．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我
们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数
(
)
(
)
2
1
1
1
x
y
x
x
x
−
−
=
−
−
的图象与性质．列表：
x
…
3
−
5
2
−
2
−
3
2
−
1
−
1
2
−
0
1
2
1
3
2
2
5
2
3
…
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y
…
2
3
4
5
1
4
3
2
3
2
1
1
2
0
1
2
1
3
2
2
…
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x 的取值为横坐标，以相应的函数值y 为纵坐标，描出了部分相应点，
(1)如图，请你描出余下的点，并作出函数图象；
(2)研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：
①点(
)
1
5,
A
y
−
，
2
7 ,
2
B
y
−
，
1
5
, 2
C x
，(
)
2,6
D x
在函数图象上，则
1y ______
2y ，1x _____
2x ；（填“”，“ = ”
或“”）
②当函数值
2
y
时，自变量x 的取值范围是______；
③在直线
1
x = −的右侧的函数图象上有两个不同的点
(
)
3
3
,
P x
y
，
(
)
4
4
,
Q x
y
，且
3
4
y
y
=
，求
3
4
x
x
+
的值为
______；
④若直线y
a
=
与函数图象有三个不同的交点，a 的取值范围是______．
13．如图，反比例函数
(
0)
k
y
x
x
=
与函数
(
)
(
)
2
0
2
6
2
x
x
y
x
x
= −+
交于A，B 两点，射线AB 交x 轴于点C ，已知
点A的坐标为(
)
2,a ．
(1)求反比例函数解析式；
(2)若点P 在x 轴上，连接PA，PB，求当PA PB
+
的值最小时
PBC
△
的面积．
14．通过对一次函数、反比例函数的学习，我们积累了一定的经验．下面我们借鉴以往研究函数的经验，
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对
1
|
|
y
x
x
=
+
的图象和性质进行探索．
【取值范围】
自变量x 的取值范围是不为零的全体实数；
【列表计算】
x 与y 的几组对应值列表如下：
x
…
5
−
4
−
3
−
2
−
1
−
1
2
−
1
2
1
2
3
4
…
y
…
m
15
4
8
3
3
2
n
3
2
−
5
2
2
5
2
10
3
17
4
…
(1)表格中m = ____________，n =___________；
【描点画图】
(2)请在下图中补全函数的另一部分图象；
【性质探究】
(3)观察图象，写出函数两条不同的性质；
【拓展延伸】
(4)当直线
1
2
y
x
b
=
+
与函数
1
|
|
y
x
x
=
+
的图象有三个交点时，直接写出b 的取值范围．
15．如图，矩形ABCO在平面直角坐标系中，点(
)
5,0
A −
，
(
)
0,6
C
，反比例函数图象
1L 对应的函数表达式
为
6
y
x
−
=
（
0
x
），反比例函数图象
2L 对应的函数表达式为
k
y
x
=
（
0
k
，
0
x
）．把矩形ABCO内部（不
含边界）横、纵坐标均为整数的点称为优点．
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(1)若
12
k
−
=
，则
2L 和
1L 之间（不含边界）有 个优点；
(2)若
2L 和
1L 之间（不含边界）有4 个优点，求k 的取值范围．
