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26.1.2 反比例函数的图象与性质（第一课时）分层作业
基础训练
1．（2023秋·河南郑州·九年级校考期末）对于反比例函数y＝﹣ ，下列说法错误的是（ ）
A．图象经过点（1，﹣5）
B．图象位于第二、第四象限
C．当x＜0时，y随x的增大而减小
D．当x＞0时，y随x的增大而增大
【答案】C
【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以
解答本题．
【详解】解：反比例函数y＝﹣ ，
A、当x＝1时，y＝﹣ ＝﹣5，图像经过点（1，-5），故选项A不符合题意；
B、∵k＝﹣5＜0，故该函数图象位于第二、四象限，故选项B不符合题意；
C、当x＜0时，y随x的增大而增大，故选项C符合题意；
D、当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
2．（2023秋·新疆伊犁·九年级校考期末）若点 都在反比例函数 的图像上，
则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将三点坐标分别代入函数解析式求出 ，然后进行比较即可．
【详解】将三点坐标分别代入函数解析式 ，得：，解得 ；
，解得 ；
，解得 ；
∵-8<2<4，
∴ ，
故选： B．
【点睛】本题考查反比例函数，关键在于能熟练通过已知函数值求自变量．
3．（2023秋·河南驻马店·九年级统考期末）已知反比例函数y= （k≠0），且在各自象限内，y随x的增
大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（ ）
A．（2，3） B．（-2，3） C．（3，0） D．（-3，0）
【答案】B
【分析】根据反比例函数性质求出k<0，再根据k=xy，逐项判定即可．
【详解】解：∵反比例函数y= （k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，,
∴k=xy<0，
A、∵2×3>0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；
B、∵-2×3<0，∴点（2，3）可能在这个函数图象上，故此选项符合题意；
C、∵3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；
D、∵-3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解
题的关键．
4．（2023春·山东日照·九年级统考期中）已知点 ， ， 都在反比例函数
（a是常数）的图象上，且 ，则 ， ， 的大小关系为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据 ，判断反比例函数的图象所在位置，结合图象分析函数增减性，利用函数增减性比
较自变量的大小．
【详解】解：∵ ，
∴反比例函数 （a是常数）的图象在一、三象限，
如图所示：
当 时， ，
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数的自变量大小的比较，解题的关键是结合图象，根据反比例函数的增减性分
析自变量的大小．
5．（2023秋·湖南常德·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象如图所示，
则一次函数 的图象经过的象限是（ ）A．一、二、三 B．一、二、四 C．一、三、四 D．二、三、四
【答案】B
【分析】由图可知，反比例函数位于二、四象限，则根据反比例函数的性质可知k<0，再结合一次函数的
图象和性质即可作答．
【详解】由图可知，反比例函数位于二、四象限，
∴k<0，
∴y=kx+2经过一、二、四象限．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质以及一次函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数和一
次函数的图象和性质是解题的关键．
6．（2023秋·辽宁铁岭·九年级统考期末）若二次函数 的图像如图所示，则一次函数
与反比例函数 在同一坐标系内的大致图像为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的图像确定a，b，c的正负，即可确定一次函数 所经过的象限和反比例函
数 所在的象限．
【详解】解：∵二次函数 的图像开口向上，对称轴在y轴左边，与y轴的交点在y轴
负半轴，
∴a>0， ，c<0，
∴b>0，-c>0，
∴一次函数 的图像经过第一、二、三象限，反比例函数 的图像在第一，三象限，选项C
符合题意．故选：C
【点睛】本题考查二次函数图像与系数的关系，一次函数图像与系数的关系，反比例函数图像与系数的关
系，熟练并灵活运用这些知识是解题关键．
7．（2023秋·山东泰安·九年级东平县实验中学校考期末）若反比例函数 的图象在二、四象限，
则 的值可以是（ ）
A． B．2 C．1 D．0
【答案】B
【分析】根据反比例函数 的图象在二、四象限，可知3-2m＜0，从而可以求得m的取值范围，
然后即可解答本题．
【详解】解：∵反比例函数 的图象在二、四象限，
∴3-2m＜0，
解得， ，
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的性质、反比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数
的性质解答．
8．（2023秋·辽宁盘锦·九年级校考期末）反比例函数 的图象分别位于第二、四象限，则直线
不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】先根据反比例函数y= 的图象在第二、四象限内判断出k的符号，再由一次函数的性质即可得出
结论．
【详解】解：∵反比例函数y= 的图象在第二、四象限内，
∴k＜0，
∴一次函数y=kx+k的图象经过二、三、四象限，不经过第一象限．
故选：A．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质和一次函数的性质，注意：反比例函数y= 中，当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限．
9．（2023秋·甘肃白银·九年级统考期末）若双曲线 在第二、四象限，那么关于 的方程
的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．无实根
【答案】A
【分析】由双曲线在 第二、四象限，可得出a<0，进而可得出Δ=22−4a>0，再利用根的判别式可得出
于x的方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根．
【详解】解：∵双曲线 在第二、四象限，
∴a<0，
∵关于x的方程ax2+2x+1=0，
∴ ，
∴关于x的方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数图象与系数的关系以及根的判别式，牢记k<0⇔ (k≠0)的图象在二、
四象限是解题的关键．
10．（2023秋·河北廊坊·九年级统考期末）如图，平面直角坐标系xOy中有4条曲线分别标注着①，②，
③，④，是双曲线y＝﹣ 的一个分支的为（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【分析】由k＜0可排除③④，由①经过（﹣2，3），②经过（﹣1，3），即可解答．【详解】解：∵双曲线y＝﹣ 中，k＜0，
∴双曲线y＝﹣ 的分支在第二、四象限，可排除③④；
由图可知，①经过（﹣2，3），②经过（﹣1，3），
而3＝﹣ ，
故为双曲线y＝﹣ 的一个分支的是①．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，理解反比例函数的性质成为解答本题的关键．
11．（2023秋·广西柳州·九年级校考期末）在平面直角坐标系 中，若反比例函数 的图象经
过点 和点 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】由题意易得 ，然后再利用反比例函数的意义可进行求解问题．
【详解】解：把点 代入反比例函数 得： ，
∴ ，解得： ，
故答案为-2．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
12．（2023春·湖南邵阳·九年级统考期中）在平面直角坐标系 中，直线 与双曲线 交于A，
B两点．若点A，B的纵坐标分别为 ，则 的值为 ．
【答案】0
【分析】根据“正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称”即可求解.
【详解】解：∵正比例函数和反比例函数均关于坐标原点O对称，
∴正比例函数和反比例函数的交点亦关于坐标原点中心对称，
∴ ，
故答案为：0.
【点睛】本题考查正比例函数和反比例函数的图像性质，根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称这个特点即可解题.
13．（2023秋·山东烟台·九年级统考期末）从 ， ， ， 这四个数中任取两个不同的数分别作为 ，
的值，得到反比例函数 ，则这些反比例函数中，其图象在二、四象限的概率是 ．
【答案】
【分析】从 ， ， ， 中任取两个数值作为 ， 的值，表示出基本事件的总数，再表示出其积为负
值的基础事件数，按照概率公式求解即可．
【详解】从 ， ， ， 中任取两个数值作为 ， 的值，其基本事件总数有：
共计12种；
其中积为负值的共有：8种，
∴其概率为：
故答案为： ．
【点睛】本题结合反比例函数图象的性质，考查了概率的计算，能准确写出基本事件的总数，和满足条件
的基本事件数，是解题的关键．
能力提升
1．（2023春·山东菏泽·九年级统考期中）在同一直角坐标系中，函数 与 的大致图
象是（ ）A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【答案】B
【分析】根据k的取值范围，分别讨论k＞0和k＜0时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特
点进行选择正确答案．
【详解】解：当k＞0时，
一次函数y=kx-k经过一、三、四象限，
函数的 （k≠0）的图象在一、二象限，
故选项②的图象符合要求．
当k＜0时，
一次函数y=kx-k经过一、二、四象限，
函数的 （k≠0）的图象经过三、四象限，
故选项③的图象符合要求．
故选：B．
【点睛】此题考查反比例函数的图象问题；用到的知识点为：反比例函数与一次函数的k值相同，则两个
函数图象必有交点；一次函数与y轴的交点与一次函数的常数项相关．
2．（2023秋·河北唐山·九年级统考期末）在反比例 的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，
且整式 是一个完全平方式，则该反比例函数的解析式为 ．【答案】
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断可求出k的值，再根据反比例函数的性质即可确定k的值．
【详解】解：∵x2-kx+4是一个完全平方式，
∴-k=±4，即k=±4，
∵在反比例函数y= 的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，
∴k-1＞0，
∴k＞1．
解得：k=4，
∴反比例函数解析式为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，完全平方式，根据反比例函数的性质得出k-1＞0是解此题的关键．
3．（2023春·甘肃天水·九年级天水市逸夫实验中学校考期中）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1），B
（3，2），C（﹣6，m）分别在三个不同的象限．若反比例函数y＝ （k≠0）的图象经过其中两点，则m
的值为 ．
【答案】-1．
【分析】根据已知条件得到点 在第二象限，求得点 一定在第三象限，由于反比例函数
的图象经过其中两点，于是得到反比例函数 的图象经过 ， ，于是得
到结论．
【详解】解： 点 ， ， 分别在三个不同的象限，点 在第二象限，
点 一定在第三象限，
在第一象限，反比例函数 的图象经过其中两点，
反比例函数 的图象经过 ， ，
，
，
故答案为： ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确的理解题意是解题的关键．
4．（2023春·四川达州·九年级校联考期中）点 在反比例函数 的图像上.若
，则 的范围是 .
【答案】-1＜a＜1
【分析】反比例函数中k＞0，则同一象限内y随x的增大而减小，由于y＜y，而a-1必小于a+1，则说明
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两点应该在不同的象限，得到a-1＜0＜a+1，从而得到a的取值范围．
【详解】解：∵在反比例函数y= 中，k＞0，
∴在同一象限内y随x的增大而减小，
∵a-1＜a+1，y＜y
1 2
∴这两个点不会在同一象限，
∴a-1＜0＜a+1，解得-1＜a＜1
故答案为：-1＜a＜1．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟悉反比例函数的增减性，当k＞0，在每一象限内
y随x的增大而减小；当k＜0，在每一象限内y随x的增大而增大．
拔高拓展
1．（2023春·安徽宿州·九年级统考期中）如图，直线y＝ax（a＞0）与双曲线 （k＞0）交于A，B两
点，且点A的坐标为（4，2）．
（1）求a和k的值；
（2）求点B的坐标；
（3）y轴上有一点C，联结BC，如果线段BC的垂直平分线恰好经过点A，求点C的坐标．【答案】（1）a＝ ，k＝8；（2）B（﹣4，﹣2）；（3）C（0，﹣6）或（0，10）
【分析】（1）根据待定系数法即可求得a和k的值；
（2）联立直线和双曲线解析式，即可得到点B坐标；
（3）由垂直平分线的性质可知AC＝AB，利用两点间距离公式建立等式，求解即可．
【详解】解：（1）直线y＝ax（a＞0）过点A（4，2），
∴4a＝2，
∴a＝ ，
∵双曲线 （k＞0）过点A，
∴k＝2×4＝8．
∴a＝ ，k＝8．
（2）令 x＝ ，解得x＝±4，
∴当x＝﹣4时，y＝﹣2，
∴B（﹣4，﹣2）．
（3）设点C（0，y），
由点A，B，C的坐标可知，AB＝4 ，AC＝ ，
∵线段BC的垂直平分线恰好经过点A，
∴AB＝AC，即4 ＝ ，
解得y＝﹣6，或y＝10．
∴C（0，﹣6）或（0，10）．
