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专题02 反比例函数的图像与性质的十类综合题型
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、判断反比例函数图像
题型二、反比例函数中的比例系数k 比较大小
题型三、反比例函数中的性质—增减性概念判断
题型四、反比例函数中的性质—增减性比较大小
题型五、反比例函数中的性质—对称性求值
题型六、反比例函数中的性质—对称性最值问题
题型七、反比例函数中的性质—增减性最值问题
题型八、画反比例函数图象
题型九、反比例函数中的整点问题
题型十、反比例函数中平移后的特殊函数
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移
分
类
具体内容
核心要点
知
识
点
反比例函数图
像的画法
采用描点法：①列表：在x≠0 的范围内取对称的正负值；②描点：在
直角坐标系中描出对应点；③连线：用光滑曲线分别连接两个象限内
的点，形成双曲线，图像不与坐标轴相交
反比例函数图
像的形状与位
置
形状为双曲线，有两个分支；当k>0 时，分支位于第一、三象限；当
k<0 时，分支位于第二、四象限
反比例函数的
增减性
当k>0 时，在每个象限内，y 随x 的增大而减小；当k<0 时，在每个
象限内，y 随x 的增大而增大
目 录
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反比例函数图
像的对称性
关于原点中心对称，也是轴对称图形，对称轴为直线y=x 和y=-x
比例系数k 的
几何意义
过双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为|k|；所
得直角三角形的面积为
1
2 |𝑘|
反比例函数与
正比例函数图
像的交点
若正比例函数y=k₁x 与反比例函数𝑦=
𝑘2
𝑥有交点，当k₁k₂>0 时有两个
交点，且交点关于原点对称；当k₁k₂<0 时无交点
易
错
点
增减性描述遗
漏“每个象限
内”
直接说“k>0 时y 随x 增大而减小”，忽略反比例函数分两个分支，跨
象限不满足该规律，必须强调“每个象限内”
混淆k 对图像
位置的影响
误记k<0 时图像在一、三象限，k>0 在二、四象限，记反k 的符号与
图像象限的对应关系
k 的几何意义计
算忘记加绝对
值
计算矩形或三角形面积时直接代入k，忽略k 为负数时面积仍为正，
必须取|k|计算
画图时图像与
坐标轴相交
错误将双曲线延伸与x 轴或y 轴相交，实际上x≠0、y≠0，图像永远
不与坐标轴相交
求点坐标时忽
略x 的正负取
值
已知点在反比例函数图像上求参数时，只考虑点所在象限，忽略x
不能取0 或符号与象限不符的情况
判断对称性出
错
误认为反比例函数图像只有中心对称，没有轴对称，或记错对称轴方
程
交点问题遗漏
对称性质
已知一个交点求另一个交点时，不会利用关于原点对称的性质计算，
反而重新联立方程求解，容易出错
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题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、判断反比例函数图像
典例1 反比例函数
8
y
x
= −
的图象一定经过的点是（ ）
A．(
)
2,4
B．(
)
4,2
−
C．(
)
4, 2
−
−
D．(
)
2, 4
−
−
【答案】B
【分析】将各选项点的坐标代入解析式验证即可．
【详解】解：∵反比例函数解析式为
8
y
x
= −
，
对选项A，点(
)
2,4 ，当
2
x =
时，
8
4
4
2
y = −
= −
，
∴点(
)
2,4 不在函数图象上，A 不符合题意；
对选项B，点(
)
4,2
−
，当
4
x = −时，
8
2
4
y = −
=
−
，等式成立，
∴点(
)
4,2
−
在函数图象上，B 符合题意；
对选项C，点(
)
4, 2
−
−
，当
4
x = −时，
2
2
=
−
y
，
∴点(
)
4, 2
−
−
不在函数图象上，C 不符合题意；
对选项D，点(
)
2, 4
−
−
，当
2
x = −时，
8
4
4
2
y = −
=
−
−
，
∴点(
)
2, 4
−
−
不在函数图象上，D 不符合题意．
变式1-1 函数
1
2
4
y
x
−
=
+
的大致图像为（ ）
A．
B．
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C．
D．
【答案】A
【分析】根据分母不为0 得出
2
x
，再结合函数的图像与y 轴交点位置解答即可；
【详解】解：根据分式有意义得分母不为0，即2
4
0
x
−
+
，解得
2
x
，
因此函数的图像无限接近直线
2
x =
，但不与直线
2
x =
相交，排除选项B、D；
判断y 轴交点符号： 代入
0
x =
，得
1
1
0
0
4
4
y =
=
−+
，说明函数与y 轴交于正半轴，选项C 中
0
x =
时
0
y
，
排除C；
当
2
x
时，2
4
0
x
−
+
，因此
1
0
2
4
y
x
=
−
+
，图像在x 轴上方；
当
2
x
时，2
4
0
x
−
+
，因此
0
y
，图像在x 轴下方，完全符合选项A 的图像特征．
变式1-2 反比例函数
(
0)
k
y
x
x
=
的部分图像如图所示，则k =________（写出一个符合题意即可）．
【答案】5
−（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了反比例函数图像、求反比例函数解析式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关
键．
由函数图像可得：当
2
x =
时，y 的值在2 ~ 3
−
−之间，可取
2.5
y = −
，进而求得k 的值即可．
【详解】解：由函数图像可得：当
2
x =
时，y 的值在2 ~ 3
−
−之间，可取
2.5
y = −
，
则
2.5 2
5
k = −
= −．
故答案为：5
−（答案不唯一）．
变式1-3 函数
2
5
y
x
= −
的图像经过的象限是______．
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【答案】二、四
【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数
(
)
0
k
y
k
x
=
，当
0
k 时，图象经过第一、三象限，
当
0
k
时，图象经过第二、四象限，即可得出答案，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：
2
2
2
1
5
5
5
y
x
x
x
= −
= −
= −
，
2
0
5
k
= −
，
函数
2
5
y
x
= −
的图像经过的象限是二、四，
故答案为：二、四．
类型二、反比例函数中的比例系数k 比较大小
典例2 反比例函数
1
2
1
2
k
k
y
y
x
x
=
=
，
3
1
k
y
x
=
在同一坐标系中的图象如图所示，则
1
2
3
,
,
k k k 的大小关系为（ ）
A．
2
1
3
k
k
k
B．
1
2
3
k
k
k
C．
2
3
3
k
k
k
D．
3
1
2
k
k
k
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数图像与性质，熟记反比例函数图像与性质，利用数形结合的思想是解决问题
的关键．
由图象推出
1
2
3
0,
0,
0
k
k
k
，再取
1
x = 时，推出
1
2
,
k k 的大小，即可解题．
【详解】解：由图知，
1
2
1
2
k
k
y
y
x
x
=
=
在第四象限，
3
1
k
y
x
=
在第三象限，
1
2
3
0,
0,
0
k
k
k
，
如图，当
1
x = 时，
1
2
2
1
y
k
y
k
=
=
，
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1
2
3
k
k
k
；
故选：B．
变式2-1 如图为反比例函数
1k
y
x
=
，
2k
y
x
=
，
3k
y
x
=
在同一坐标系的图象，则
1k ，2k ，3k 的大小关系为（ ）
A．
1
2
3
k
k
k
B．
2
1
3
k
k
k
C．
3
1
2
k
k
k
D．
3
2
1
k
k
k
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据函数所在象限判断出
1
0
k
，
2
0
k
，
3
0
k
，再利用取特殊值
的方法得出
2
3
k
k
，即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：由图象可得，
1
0
k
，
2
0
k
，
3
0
k
，
结合图象可得，当
1
x = 时，有
2
3
k
k
，
故
3
2
1
k
k
k
，
故选：D．
变式2-2 如图所示的是三个反比例函数
3
1
2
1
2
3
,
,
k
k
k
y
y
y
x
x
x
=
=
=
在x 轴上方的图象，则
1
2
3
,
,
k k k 的大小关系是
__________
【答案】
3
2
1
k
k
k
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【分析】本题考查了多个反比例函数中系数的大小比较，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．
根据反比例函数图象所在象限，可确定
3
0
k
，
1
0
k
，
2
0
k
，再借助直线
1
x = −与函数
1y 和
2y 的图象的
交点的纵坐标的大小关系，可确定
1
2
k
k
，综合可得结论．
【详解】函数
3y 的图象位于第一象限，函数
1y 和
2y 的图象位于第二象限，
3
0
k
，
1
0
k
，
2
0
k
，
作直线
1
x = −，与函数
1y 和
2y 的图象分别交于A，B 两点，如下图所示：
易得(
)
1
1
A
, k
−−
，(
)
2
1
B
, k
−−
，
由图知，
A
B
y
y
，即
1
2
k
k
−
−
，解得
1
2
k
k
，
综上可知，
3
2
1
k
k
k
．
故答案为：
3
2
1
k
k
k
．
变式2-3 反比例函数
1
1
k
y
x
=
，
2
2
k
y
x
=
，
3
3
k
y
x
=
在同一坐标系中的图像如图所示，则
1k ，
2k ，
3k 的大小关系
为_______．（用“<”连接）
【答案】
1
2
3
k
k
k
【分析】本题考查反比例函数图像与性质，由图可知
3
3
k
y
x
=
图像在第三象限，
3
0
k
；
1
1
k
y
x
=
，
2
2
k
y
x
=
图
像在第四象限，
2
0
k
、
1
0
k
；再取
1
x = ，如图所示，即可比较
1k ，
2k 的大小，熟记反比例函数图像与性
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质，数形结合是解决问题的关键．
【详解】解：由图可知，
3
3
k
y
x
=
图像在第三象限，3
0
k
；
1
1
k
y
x
=
，
2
2
k
y
x
=
图像在第四象限，2
0
k
、1
0
k
；
取
1
x = ，如图所示：
2
1
k
k
；
综上所述，
1
2
3
k
k
k
，
故答案为：
1
2
3
k
k
k
．
题型三、反比例函数中的性质—增减性概念判断
典例3 已知反比例函数
k
y
x
=
的图象经过点(
)
1, 2
−
，下面说法错误的是（ ）
A．反比例函数的关系式为
2
y
x
= −
B．点(
)
1,2
−
在反比例函数图象上
C．反比例函数的图象在第二、四象限
D．当
0
x
时，y 随x 增大而减小
【答案】D
【分析】根据题意求得反比例函数的解析式，根据k 的值，判断函数的图象所在象限以及增减性即可求解．
【详解】解：A、∵反比例函数
k
y
x
=
的图象经过点(
)
1, 2
−
，
∴
(
)
1
2
2
k = −
= −，
∴反比例函数的解析式为y
2
x
= −
，正确，不符合题意；
B、∵反比例函数的解析式为
2
y
x
= −
，
∴当
1
x = −时，y
2
2
1
= −
=
−
，
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∴点(
)
1,2
−
在反比例函数图象上，正确，不符合题意；
C、∵反比例函数的解析式为
2
y
x
= −
，
∴反比例函数的图象在第二、四象限，正确，不符合题意；
D、∵反比例函数的解析式为y
2
x
= −
，
∴此函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大，
∴当
0
x
时，y 随x 增大而增大，原说法错误，符合题意．
变式3-1 若反比例函数
k
y
x
=
的图像经过(
)
1, 2
−
，下列判断不正确的是（ ）
A．图像在第二、四象限
B．图象经过点(
)
2,1
−
C．函数值y 随着x 的增大而增大
D．图象关于原点中心对称
【答案】C
【分析】本题主要考查了求反比例函数的解析式、反比例函数的图像与性质，把点(
)
1, 2
−
代入反比例函数求
出
2
k = −，得到函数解析式
2
y
x
= −
，再逐一判断选项是否正确．
【详解】解：反比例函数的图像经过点(
)
1, 2
−
，
可得：2
1
k
−=
，
解得：
2
k = −，
反比例函数的解析式为
2
y
x
−
=
，
A 选项：
2
k = −
，
反比例函数的图像在第二、四象限，
故A 选项正确；
B 选项：当
2
x = −时，
2
2
1
2
y
x
−
−
=
=
=
−
，
反比例函数的图像经过点(
)
2,1
−
，
故B 选项正确；
C 选项：反比例函数
2
y
x
= −
中，
2
0
k = −
，
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函数图像经过第二、四象限，且在每个象限内数值y 随着x 的增大而增大，
故C 选项不正确；
D 选项：反比例函数图像关于原点中心对称，故D 选项正确．
故选：C．
变式3-2 某函数符合如下条件：①图像经过(
)
2,3 ；②当
0
x
时，y 随x 的增大而减小．请写出一个满足条
件的函数表达式：____________．
【答案】
6
y
x
=
（答案不唯一）
【分析】根据给定条件，满足要求的函数可以为反比例函数，可设反比例函数解析式，利用待定系数法求
解即可，确定函数类型再求解是解题关键．
【详解】解：选择反比例函数进行求解，设函数表达式为
(
)
0
k
y
k
x
=
，
函数图象经过点(
)
2,3 ，
将
2,
3
x
y
=
=
代入得
2 3
6
k = =
，
满足条件的函数表达式可以为
6
y
x
=
变式3-3 已知一个函数具备以下特征：
①函数的图象经过第二象限；
②当
0
x
时，y 随x 的增大而增大；
③函数的图象关于原点中心对称
请写出一个符合上述特征的函数的表达式：_________．
【答案】
1
y
x
= −
（答案不唯一）
【分析】分析题中三个特征，可知符合条件的函数可以是反比例函数，再根据性质确定比例系数的取值范
围，即可写出符合要求的函数表达式．
【详解】解：由函数图象关于原点中心对称，结合增减性特征，可知符合条件的函数可以为反比例函数，
设反比例函数解析式为
(
)
0
k
y
k
x
=
，
根据当
0
x
时，y 随x 的增大而增大，由反比例函数的性质可得
0
k
，
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当
0
k
时，反比例函数图象经过第二，四象限，满足函数图象经过第二象限的条件，且反比例函数图象关
于原点中心对称，符合所有特征，取
1
k = −，
所以符合条件的函数表达式为
1
y
x
= −
（答案不唯一）．
题型四、反比例函数中的性质—增减性比较大小
典例4 已知反比例函数
4
y
x
= −
的图象上有两点
(
)
1
2,
A
y
−
，
(
)
2
4,
B
y
−
，则
1y ，
2y 的大小关系为（ ）
A．
1
2
y
y
B．
1
2
y
y
=
C．
1
2
y
y
D．无法确定
【答案】A
【分析】本题可根据反比例函数的增减性比较函数值大小，先判断比例系数k 的符号，得到函数的增减规律，
再结合两点横坐标的范围即可比较
1y 和
2y 的大小．
【详解】反比例函数
4
y
x
= −
中，
4
0
k = −
，
函数图像在二、四象限，
在每个象限内，y 随x 的增大而增大．
点
(
)
1
2,
A
y
−
，
(
)
2
4,
B
y
−
都在第二象限，且4
2
0
−−
，
1
2
y
y
．
变式4-1 若点(
)
1
1,
A
y
−
，
(
)
2
2,
B
y
−
，
(
)
3
3,
C
y
在反比例函数
6
y
x
−
=
的图象上，则
1y ，
2y ，
3y 的大小关系是
（ ）
A．
1
2
3
y
y
y
B．
2
1
3
y
y
y
C．
1
3
2
y
y
y
D．
3
2
1
y
y
y
【答案】D
【分析】将三点横坐标分别代入反比例函数解析式，求出对应函数值后比较大小．
【详解】解：把各点横坐标代入
6
y
x
−
=
，
得
1
6
6
1
y = −
=
−
，
2
6
3
2
y = −
=
−
，
3
6
2
3
y = −
= −，
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∵2
3
6
−
，
∴
3
2
1
y
y
y
．
变式4-2 如果反比例函数
(
)
0
k
y
k
x
=
的图象经过点
(
)
1
2,
A
y
与
(
)
2
3,
B
y
，那么
1y _____
2y（填“”、“”或“ = ”）．
【答案】
【分析】根据题意可得点A，B 在第一象限，根据反比例函数增减性即可进行判断．
【详解】解：∵
0
k ，
∴反比例函数的图象在第一，三象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而减小，
∵
(
)
1
2,
A
y
，
(
)
2
3,
B
y
，
∴点A，B 在第一象限，且2
3
，
∴
1
2
y
y
．
变式4-3 已知点
(
)
1
1
,
A x y
，(
)
2
2
,
B x
y
，
(
)
3
3
,
C x
y
在反比例函数
2
1
m
y
x
+
= −
（m 为任意实数）的图象上，且
1
2
3
0
x
x
x
，则
1y ，
2y ，
3y 的大小关系为________．
【答案】
2
3
1
y
y
y
/
1
3
2
y
y
y
【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，再根据反比例函数的性质，结合各点横坐标的范围判断点所
在象限，再根据函数的增减性比较纵坐标的大小．
【详解】解：对于反比例函数
2
1
m
y
x
+
= −
，比例系数
(
)
2
1
k
m
= −
+
对任意实数m ，
2
0
m
，
2
1
0
m
+
，
可得
(
)
2
1
0
k
m
= −
+
反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，y 随x 的增大而增大．
1
0
x
，
点
(
)
1
1
,
A x y
在第二象限，可得
1
0
y
2
3
0
x
x
，
点(
)
2
2
,
B x
y
，
(
)
3
3
,
C x
y
都在第四象限，可得
2
0
y
，
3
0
y
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又在第四象限内y 随x 的增大而增大，且
2
3
x
x
，
2
3
0
y
y
综上可得
2
3
1
y
y
y
．
题型五、反比例函数中的性质—对称性求值
典例5 如图，双曲线
k
y
x
=
与直线y
mx
=
相交于A，B 两点，若点A的坐标为(
)
1,2 ，则点B 的坐标为（ ）
A．(
)
1, 2
−
−
B．(
)
1,2
C．(
)
1,2
−
D．(
)
1, 2
−
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数图象的对称性是解题的关键．由题意可得
点A、B 关于原点对称，进而根据关于原点对称的点的坐标特征解答即可求解．
【详解】解：双曲线
k
y
x
=
与直线y
mx
=
相交于A，B 两点，
点A、B 关于原点对称，
点A的坐标为(
)
1,2 ，
点B 的坐标为(
)
1, 2
−−
．
故选：A．
变式5-1 直线
(
)
0
y
ax a
=
与双曲线
3
y
x
=
交于
(
)
1
1
,
A x y
、(
)
2
2
,
B x
y
两点，则
1
2
2
1
4
3
x y
x y
−
的值为（ ）
A．6
−
B．3
−
C．3
D．6
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是
解题的关键．由直线
(
0)
y
ax a
=
经过第一、三象限，且与双曲线
3
y
x
=
交于A、B 两点，可得A、B 两点关
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于原点对称，即
2
1
2
1
,
x
x y
y
= −
= −
，再由反比例函数
3
y
x
=
可得
1
1
3
x y =
，
2
2
3
x y =
，将原式化简再代入数据即
可解答．
【详解】解：由题意得，直线
(
0)
y
ax a
=
经过第一、三象限，且与双曲线
3
y
x
=
交于A、B 两点，则A、B
两点关于原点对称，
2
1
2
1
,
x
x y
y
= −
= −
，
又
(
)
1
1
,
A x y
，(
)
2
2
,
B x
y
在双曲线
3
y
x
=
上，
1 1
3
x y
= ，
2
2
3
x y =
，
1
2
2
1
1 1
2
2
4
3
4
3
4 3 3 3
3
x y
x y
x y
x y
−
= −
+
= −+ = −．
故选：B．
变式5-2 已知反比例函数
4
y
x
=
图象与正比例函数
3
y
x
=
的图象交于点
(
)
1
1
,
A x y
和点
(
)
2
2
,
B x
y
，则
1
2
2
1
2
3
x y
x y
+
= ______________．
【答案】20
−
【分析】根据正比例函数和反比例函数交点的中心对称得出自变量的关系，然后根据反比例函数的性质求
解．
【详解】解：∵反比例函数
4
y
x
=
图象与正比例函数
3
y
x
=
的图象交于点
(
)
1
1
,
A x y
和点
(
)
2
2
,
B x
y
，
∴点A与点B 关于原点对称，
∴
1
2
x
x
= −
，且
1
1
2
2
4,
4
x y
x y
=
=
，
∴
1
2
2
1
2
1
2
1
2
3
2
3
2 4
3 4
20
x y
x y
x y
x y
+
= −
−
= −−
= −
．
变式5-3 已知直线y
mx
=
与双曲线
k
y
x
=
的一个交点坐标为(
)
3,4
−
，则它们的另一个交点坐标是______．
【答案】(
)
3, 4
−
【分析】根据正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称，可知两个交点关于原点对称，据此求
解即可．
【详解】解：∵直线y
mx
=
的图象关于原点对称，双曲线
k
y
x
=
的图象也关于原点对称，
∴直线与双曲线的两个交点关于原点对称．
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已知一个交点坐标为(
)
3,4
−
，
因此另一个交点坐标为(
)
3, 4
−
．
题型六、反比例函数中的性质—对称性最值问题
典例6 如图，点A、B 在反比例函数
k
y
x
=
的图像上，点A 坐标为(
)
1,m ，点B 坐标为(
)
3,2 ，y 轴上有一动
点P，连接PA、PB，则PA PB
+
的最小值为（ ）
A．2 6
B．5
C．3 3
D．4 2
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的应用、两点之间的距离公式、轴对称的性质、点坐标与轴对称变化等知
识，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，从而可得点A的
坐标，再作点A关于y 轴的对称点C ，连接
,
PC BC ，则可得PC
PA
=
和点C 的坐标，然后根据两点之间线
段最短可得当点
, ,
B P C 共线时，PC
PB
+
的值最小，最小值为BC 的长，由此即可得．
【详解】解：将点(
)
3,2
B
代入反比例函数
k
y
x
=
得：
3 2
6
k = =
，
∴反比例函数的解析式为
6
y
x
=
，
将点
(
)
1,
A
m 代入
6
y
x
=
得：
6
6
1
m =
=
，
∴
(
)
1,6
A
，
如图，作点A关于y 轴的对称点C ，连接
,
PC BC ，
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则
(
)
1,6
C −
，PC
PA
=
，
∴PA
PB
PC
PB
+
=
+
，
由两点之间线段最短可知，当点
, ,
B P C 共线时，PC
PB
+
的值最小，最小值为
(
)
(
)
2
2
1 3
6
2
4 2
BC =
−−
+
−
=
，
即PA PB
+
的最小值为4 2 ，
故选：D．
变式6-1 如图，点(
)
1,4
A m −
，
4, 2
m
B
都在双曲线
(
)
0
k
y
x
x
=
上，点P 是x 轴正半轴上的点，当PAB
的
周长为最小值时，点P 的坐标是（ ）
A．12 ,0
5
B．(
)
3,0
C．17 ,0
5
D．1 ,0
2
【答案】C
【分析】先根据A、B 两点在反比例函数上，求出A、B 的坐标，然后过点A作其关于x 轴的对称点A，连
接A B
与x 轴交于点P ，此时的点P 即为所求，然后求出A B
的解析式，从而求出P 的坐标．
【详解】解：∵点(
)
1,4
A m −
，
4, 2
m
B
都在双曲线
(
)
0
k
y
x
x
=
上，
∴
(
)
2
4
1
k
m
m
=
=
−
，
解得
2
m =
，
4
k =
，
∴
(
)
1,4
A
，
(
)
4,1
B
，
如图，作A关于x 轴的对称点A，连接A B
，交x 轴于点P ，连接AP ，则
(
)
1, 4
A
−
，
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∴AP
A P
=
，
∵PAB
的周长为AP
BP
AB
AP
BP
AB
+
+
=
+
+
，
∴当A、P 、B 三点共线时，PAB
的周长最小，
设直线A B
的解析式为y
kx
b
=
+
，
将
(
)
1, 4
A
−
，
(
)
4,1
B
代入y
kx
b
=
+
，得
4
4
1
k
b
k
b
+
= −
+
=
，
解得
5
3
17
3
k
b
=
= −
，
∴直线的解析式为
5
17
3
3
y
x
=
−
，
当
0
y =
时，5
17
0
3
3
x −
=
，
解得
7
5
1
x =
，
∴
17 ,0
5
P
，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数解析式，一次函数解析式，轴对称，解题的关键在于明确周长最小的情况．
变式6-2 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数
k
y
x
=
（
0
x
）的图象与边长是6 的正方形OABC的两边
AB ，BC 分别相交于M ，N 两点.
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（1）若点N 是BC 的中点，则k =_____；
（2）已知OMN
的面积为16，若动点P 在x 轴上，则PM
PN
+
的最小值是_________.
【答案】 18 4 5
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，正方形的性质，轴对称最短路径问题，勾股定理，正确
求出M 、N 的坐标是解题的关键．
（1））由正方形的边长是6 和中点，得到点N 的坐标为(
)
3,6 ，利用待定系数法求解即可；
（2）由正方形的边长是6，得到点M 的横坐标和点N 的纵坐标为6，根据三角形的面积列方程得到两点坐
标，作M 关于x 轴的对称点M，连接NM交x 轴于点P ，则NM的长
PM
PN
=
+
的最小值，根据勾股定
理即可得到结论．
【详解】解：（1）∵正方形OABC的边长是6，点N 是BC 的中点，
∴点N 的坐标为(
)
3,6 ，
∴6
3
k
=
，即
18
k =
；
（2）
∵正方形OABC的边长是6，
∴
6, 6
k
M
，
,6
6
k
N
，
∴
6
6
BN
k
=
−
，
6
6
BM
k
=
−
，
∵OMN
的面积为16，
∴
2
1
1
1
6 6
6
6
6
16
2
6
2
6
2
6
k
k
k
−
−
−
−
=
，
∴
12
k =
或12
−
（舍去），
∴
(
)
6,2
M
，
(
)
2,6
N
，作M 关于x 轴的对称点M，连接NM交x 轴于点P ，则NM的长
PM
PN
=
+
的最
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小值，
∵
2
AM
AM¢
=
= ，
∴
8
BM¢= ，又
4
BN = ，
∴
2
2
2
2
8
4
4 5
NM
BM
BN
¢=
?
=
+
=
，即PM
PN
+
的最小值为4 5 .
变式6-3 如图，点(
)
(
)
,3 ,
,1
A a
B b
在反比例函数
3
y
x
=
的图像上，点C，D 分别是x 轴、y 轴上的动点（C，D
不同时与原点重合），则四边形ABCD的周长的最小值为______．
【答案】6 2
【分析】首先求出
(
)
(
)
1,3 ,
3,1
A
B
，再作A 点关于y 轴的对称点P，B 点关于x 轴的对称点Q，根据对称的性
质得到
(
)
1,3
P −
，(
)
3, 1
Q
−
，PQ 分别交x 轴、y 轴于C 点、D 点，根据两点之间线段最短，此时四边形ABCD
的周长最小，然后利用两点间的距离公式求解可得．
【详解】∵点(
)
(
)
,3 ,
,1
A a
B b
在反比例函数
3
y
x
=
的图像上，
∴
3
1
3
a =
= ，
3
3
1
b =
=
，
∴
(
)
(
)
1,3 ,
3,1
A
B
如图，作A 点关于y 轴的对称点P，B 点关于x 轴的对称点Q，
∴
(
)
1,3
P −
，
(
)
3, 1
Q
−
，
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连接PQ 分别交x 轴、y 轴于C 点、D 点，
∴四边形ABCD的周长
AB
AD
CD
BC
AB
PD
DC
CQ
AB
PQ
=
+
+
+
=
+
+
+
+
∴当点P，D，C，Q 四点共线时，四边形ABCD的周长最小，即AB
PQ
+
的长度
∴
2
2
2
2
( 1 3)
(3 1)
(1 3)
(3 1)
6 2
AB
PQ
+
=
−−
+
+
+
−
+
−
=
．
∴四边形ABCD的周长的最小值为6 2 ．
故答案为：6 2 ．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，轴对称性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征、熟练运用
两点之间线段最短解决有关几何图形周长最短的问题是解题的关键．
题型七、反比例函数中的性质—增减性最值问题
典例7 已知反比例函数
5
y
x
=
，若
5
x
，则函数y 有（ ）
A．最大值1
B．最小值1
C．最大值5
D．最小值0
【答案】A
【分析】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数性质是解题关键．根据反比例函数的性质得出
图象在一、三象限，在每个象限内y 随x 的增大而减小，把
5
x =
代入得出
1
y = ，即可得出答案．
【详解】∵
5
0
k =
，
∴反比例函数图象在一、三象限，在每个象限内y 随x 的增大而减小，
∵当
5
x = 时，
1
y = ，
∴当
5
x
时，
1
y ，
∴函数有最大值1，
故选：A．
变式7-1 对于反比例函数
m
y
x
=
，若当2
1
x
−
−时有最大值
4
y =
，则当
8
x
时，有（ ）
A．最大值
1
2
y
−
=
B．最大值
1
y
−
=
C．最小值
1
2
y
−
=
D．最小值
1
y
−
=
【答案】C
【分析】根据自变量的取值范围、函数的最大值，可得图象位于第二象限，根据第二象限内反比例函数y 随
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x 的增大而增大，可得最大值时的自变量，根据待定系数法，可得反比例函数解析式，根据自变量的取值范
围，可得函数值的取值范围．
【详解】
解：由当2
1
x
−
−时有最大值
4
y =
，得
1
x = −时，
4
y =
．
1 4
4
m = −
= −，
反比例函数解析式为
4
y
x
= −
，
当
8
x
时，图象位于第四象限，y 随x 的增大而增大，
当
8
x = 时，y 最小值
1
2
= −
，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，利用当2
1
x
−
−时有最大值
4
y =
得出函数图象位于第二象限是
解题关键．
变式7-2 反比例函数
k
y
x
=
（
0
k
），当1
3
x
时，函数y 的最大值和最小值之差为3，则k =______．
【答案】
9
2
−
【分析】根据反比例函数的系数分析函数在给定范围内y 随x 的增大而增大，确定最大值和最小值，再结合
差值列方程求解．
【详解】解：∵
0
k
，
∴在1
3
x
的范围内y 随x 的增大而增大，
当
1
x = 时，y
k
=
当
3
x = 时，
3
k
y =
，
∵当1
3
x
时，函数y 的最大值和最小值之差为3，
∴
3
3
k
k
−
= ，解得
9
2
k = −
．
变式7-3 已知反比例函数
k
y
x
=
（k 为常数且
0
k
），当3
1
x
−
−时，y 的最大值是6，则当1
3
x
时，y
的最小值为___________．
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【答案】6
−
【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，反比例函数的增减性，反比例函数的性质，根据题意可得
函数图象分别在第二、四象限，则在每个象限内y 随x 增大而增大，据此可得当
1
x = −时，
6
y =
，利用待
定系数法求出函数解析式，再根据增减性可得当1
3
x
时，且当
1
x = 时，函数有最小值，据此可得答案．
【详解】解：∵当3
1
x
−
−时，y 的最大值是6，
∴
0
k
，即函数图象分别在第二、四象限，
∴在每个象限内y 随x 增大而增大，
∴当
1
x = −时，
6
y =
，
∴
1 6
6
k = −= −，
∴反比例函数解析式为
6
y
x
−
=
，
当1
3
x
时，则当
1
x = 时，函数有最小值，最小值为
6
6
1
y
−
−
=
=
，
故答案为：6
−．
题型八、画反比例函数图象
典例8 （1）画出函数
(
)
6
0
y
x
x
= −
的图象．
①列表：
x
6
−
5
−
4
−
3
−
2
−
1
−
y
②描点并连线．
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（2 ）从图象可以看出，曲线从左向右______（填“上升”或“下降”），当x 由小变大时
(
)
6
0
y
x
x
= −
随之
______．（填“变大”或“变小”）
x
6
−
5
−
4
−
3
−
2
−
1
−
y
1
6
5
3
2
2
3
6
【答案】（1）①见解析，②见解析；（2 ）上升，变大．
【详解】（1）先列表，然后描点，最后连线即可得出反比例函数图象；
（2 ）根据反比例函数的图象即可求解；
本题考查了画反比例函数图象，反比例函数的性质，正确画出反比例函数的图象是解题的关键．
解：（1）①列表：
x
6
−
5
−
4
−
3
−
2
−
1
−
y
1
6
5
3
2
2
3
6
②描点并连线：
（2 ）从图象可以看出，曲线从左向右上升，当x 由小变大时
(
)
6
0
y
x
x
= −
随之变大．
故答案为：上升，变大．
变式8-1 已知反比例函数
5
y
x
= −
．
(1)①该函数部分y 与x 的对应值如下表所示，请补全表格；
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x
5
−
4
−
3
−
2
−
1
−
1
2
3
4
5
y
1
5
3
5
2
5
−
5
3
−
1
−
②在下图中画出函数
5
y
x
= −
的图象．
(2)函数
5
y
x
= −
的图象位于第______象限，在每个象限内，函数值y 随自变量x 的增大而______．
【答案】(1) 5
4 ，5，
5
2
−
，
5
4
−
(2)二、四，增大
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，关键是画出函数图象．
（1）分别把
4
x = −，1
−，2 ，4 代入函数解析式求出对应y 的值即可；
（2）用描点，连线的方法画出函数图象；
（3）根据函数的图象和性质可以得出结论．
【详解】（1）①补全表格
x
5
−
4
−
3
−
2
−
1
−
1
2
3
4
5
y
1
5
4
5
3
5
2
5
5
−
5
2
−
5
3
−
5
4
−
1
−
②图象如图：
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（2）函数
5
y
x
= −
的图象位于第二、四象限，在每个象限内，函数值y 随自变量x 的增大而增大
故答案为：二、四，增大．
变式8-2 在下面的平面直角坐标系中画出反比例函数
12
y
x
−
=
的图象．
(1)完成下列表格：
x
…
6
−
4
−
3
−
2
−
2
3
4
6
…
y
…
2
3
6
4
−
3
−
…
(2)描点、连线画图：
【答案】(1) 4，
6
−
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2
−
(2)
【分析】（1）根据反比例函数解析式，代入自变量，即可求函数值；
（2）描点连线绘制即可．
【详解】（1）
12
y
x
= −
，
当
3
x = −时，
4
y =
；
当
2
x =
时，
6
y = −；
当
6
x =
时，
2
y = −.
故答案为：4
6
2
−
−
，，.
（2）描点连线绘制函数图像如下：
【点睛】本题考查了反比例图像的知识，正确理解题意是解题的关键.
变式8-3 在同一坐标系中画两个函数的图象，并回答相关问题：
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(1)画出函数
6
y
x
=
的图象；
①由分式有意义可知，函数
6
y
x
=
中自变量x 取除_______以外的全体实数，可列如下表，请你填剩余的空．
x
6
−
4
−
3
−
2
−
1.5
−
1
−
1
1.5
2
3
4
6
y
6
4
3
2
1.5
1
②在坐标系中描点、连线，画函数的大致图象（描上表中剩余的点并连线）．
(2)画出函数
3
2
y
x
=
的图象；
(3)当取x 何值时，对于其中x 的每一个值，函数
3
2
y
x
=
的值大于函数
6
y
x
=
的值，直接写出x 的取值范围．
【答案】(1)
解：①0；
x
6
−
4
−
3
−
2
−
1.5
−
1
−
1
1.5
2
3
4
6
y
1
−
1.5
−
2
−
3
−
4
−
6
−
6
4
3
2
1.5
1
②如图所示：
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(2)
如图所示：
(3) 2
0
x
−
或
2
x
．
【分析】本题考查了画反比例函数图象以及一次函数与反比例函数交点问题，正确掌握相关性质内容是解
题的关键．
（1）根据图象性质以及列表数值，先描点再连线，即可作答．
（2）根据图象性质以及列表数值，先描点再连线，即可作答．
（3）观察（2）的图象，易得两个函数交于点(
) (
)
2
3
2 3
−
−
，
，，，运用数形结合思想得x 的取值范围为2
0
x
−
，
或
2
x
．
【详解】（1）解：①由分式有意义可知，函数
6
y
x
=
中自变量x 取除0 以外的全体实数，可列如下表，请你
填剩余的空．
x
6
−
4
−
3
−
2
−
1.5
−
1
−
1
1.5
2
3
4
6
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y
1
−
1.5
−
2
−
3
−
4
−
6
−
6
4
3
2
1.5
1
②略
（2）解：关于函数
3
2
y
x
=
，先列表：
x
4
−
2
−
1
−
1
2
4
y
6
−
3
−
3
2
−
3
2
3
6
（3）解：由（2）得出，两个函数交于点(
) (
)
2
3
2 3
−
−
，
，，，当函数
3
2
y
x
=
的值大于函数
6
y
x
=
的值，则x 的取
值范围为2
0
x
−
或
2
x
．
题型九、反比例函数中的整点问题
典例9 如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象经过点
(
)
4,1
A
，一次函数
1
4
y
x
b
=
+
的图象与该反比例函数的图象相交于点B ，与y 轴相交于点C ．
(1)求该反比例函数的表达式；
(2)定义：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记该反比例函数图象在点A，B 之间的部分与线段
,
,
OA OC BC
围成的区域（不含边界）为W ．
①当
2
b = 时，区域W 内的有整点__________个；
②若区域W 内恰有3 个整点，请结合函数图象，直接写出b 的取值范围．
【答案】(1)反比例函数的表达式为
4
y
x
=
(2)①4；②3
7
4
4
b
或
3
1
4
b
−
−
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，掌握新定义，利用数形结
合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键：
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（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）①根据新定义，画出图象进行判断即可；
②分直线在OA上方和直线在OA下方，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象经过点
(
)
4,1
A
，
∴
1 4
4
k =
=
；
∴
4
y
x
=
；
（2）①当
2
b = 时，如图
有(
) (
) (
) (
)
1,1 , 2,1 , 3,1 , 1,2 ，共4 个整点；
②当直线在OA上方时，如图：
当
1
4
y
x
b
=
+ 过点(
)
1,1 时，此时有2 个整点(
) (
)
2,1 , 3,1 ，此时1
1
4
b
+
= ，解得
3
4
b =
；
当
1
4
y
x
b
=
+ 过点(
)
1,2 时，此时有3 个整点(
)(
) (
)
1,1
2,1 , 3,1 ，此时1
2
4
b
+
=
，解得
7
4
b =
；
故当3
7
4
4
b
时，满足题意；
当直线在OA下方时，如图：
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当
1
4
y
x
b
=
+ 过点(
)
4,0 时，此时有3 个整点(
) (
) (
)
1,0 , 2,0 , 3,0 ，此时1
4
0
4
b
+
=
，解得
1
b = −；
当
1
4
y
x
b
=
+ 过点(
)
3,0 时，此时有2 个整点(
) (
)
1,0 , 2,0 ，此时1
3
0
4
b
+
= ，解得
3
4
b = −
；
故当
3
1
4
b
−
−
时，满足题意；
综上：
3
1
4
b
−
−
或3
7
4
4
b
．
变式9-1 在平面直角坐标系中，记反比例函数
(k
0,x
0)
k
y
x
=
的图象为G ，直线:
2
l y
x
b
= −
+
经过点
(2,4)
A
，与图象G 交于
,
B C 两点，且点B 的横坐标小于点C 的横坐标．
(1)求b 的值；
(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G 与直线l 所围成的区域（含边界）为W ．
①若
6
k =
，求
,
B C 两点的坐标，并写出区域W 内的整点个数；
②若区域W 内恰好有7 个整点，结合函数图象，直接写出k 的取值范围为________
【答案】(1)
8
b =
(2)①4 个；②3
4
k
．
【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的综合问题，待定系数法求一次函数、反比例函数关系式，理
解新定义等，确定临界点是解题的关键．
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（1）将点A 的坐标代入一次函数关系式可求得b 的值；
（2）①求出l 与x 轴的交点，过此交点与A点作出直线l ，观察图象数出区域W 内的整点有4 个；
②考虑临界位置，结合图象得出答案．
【详解】（1）解：∵:
2
l y
x
b
= −
+
经过点
(2,4)
A
，
∴4
2 2 b
= −+ ，
∴
8
b =
，
∴
2
8
y
x
= −
+
，
（2）解：①当
0
y =
时，2
8
0
x
−
+ =
，
解得
4
x = ，
∴l 过点(
)
4,0 ，
过点
(2,4)
A
和(
)
4,0 作直线l，
如图1 所示，
区域（含边界）W 内的整点有(
)
1,6 ，(
)
2,3 ，(
)
2,4 ，(
)
3,2 ，共4 个．
故答案为：4 ；
②当
3
k = 时，区域W 内有9个整点，当
4
k =
时，区域W 内有7 个整点，
如图所示．
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所以区域W 内恰好有7 个整点，k 的取值范围是3
4
k
．
故答案为：3
4
k
．
变式9-2 在平面直角坐标系中，定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，已知双曲线
(
)
0
k
y
x
x
=
经过点
(
)
2,2
A
，在第一象限内存在一点(
)
,
B m n ，满足
4
mn
．
(1)求k 的值
(2)如图1，过点B 分别作平行于x 轴，y 轴的直线，交双曲线于点C
D
、
，记为线段BC、BD、双曲线所围成
的区域为W （含边界），
①当
4
m
n
=
= 时，区域W 的整点个数为 ；
②当区域W 的整点个数为4 时，B 点横坐标满足3
4
m
，则纵坐标n 取值范围为 ；
(3)直线
(
)
5
4
0
y
ax
a
a
=
−
+
将W 分成两部分，直线上方（不包含直线）区域记为
1
W ，直线下方（不包含直
线）区域记为
2
W ，当
1
2
W
W
、
的整点个数之差不超过2 时，则a 的取值范围为 ．
【答案】(1)4
(2)①11；②3
4
n
(3) 1
1
2
a
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【分析】本题考查反比例函数的性质，正确理解题目中所给出的新定义，结合图形合理的分析是解题的关
键．
（1）根据点A 在
k
y
x
=
的图象上，可求出k 的值；
（2 ）①标出区域W ，再统计区域内的整数点即可；
②过定点即表示与a 的取值无关，则有a 的系数(
)
5
x −
等于0 ，便可解决问题，利用图象，求出区域内的所
有整数点，再分类讨论即可
【详解】（1）解：∵双曲线
k
y
x
=
经过点
(
)
2,2
A
，
∴
2 2
4
k =
= ，
即k 的值为4 ；
（2）解：①当
4
m
n
=
= 时，由图1可知，
BC 上的整点有4 个，
BD上的整点有4 个，
双曲线上CD段的整点有3个，
区域W 内部的整点有3个，
又点B ，C ，D都被算了2 次，
所以区域W 的整点个数为：4
4 3 3 3 11
+ + + −=
，
故答案为：11；
②∵区域W 的整点个数为4，且B 点横坐标满足3
4
m
，
∴区域W 内的整点为(
)
2,2 ，(
)
2,3 ，(
)
3,3 ，(
)
3,2 ，如图所示：
∴纵坐标的取值范围为3
4
n
；
（3）解：由题知，
(
)
5
4
5
4
y
ax
a
x
a
=
−
+
=
−
+
，
则不论a 为何值，
5
x = 时，即直线过定点(
)
5,4 ，
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如图所示，当(
)
5,4
B
时，区域W 内的整点共有15个，
又被分成的区域
1
W 和
2
W 的整点个数之差不超过2 ，
则当直线经过点(
)
4,3 时，
1
W 的整点个数是7 ，
2
W 的整点个数是5，满足要求，
此时4
5
4
3
a
a
−
+
=
，得
1
a = ，
当直线过点(
)
3,3 时，
1
W 的整点个数是5，
2
W 的整点个数是8，不满足要求，故当点(
)
3,3 在直线上方时，即
可，
此时3
5
4
3
a
a
−
+
= ，
解得：
1
2
a =
，
故a 的取值范围是：1
1
2
a
．
变式9-3 如图，已知点
(
)
1,0
A −
，(
)
0, 2
B
−
，
ABCD
的边AD与y 轴交于点
(
)
0,2
E
，且E 为AD的中点，反
比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象同时经过C、D 两点．
(1)求k 的值和点C 的坐标；
(2)已知点
(
)(
)
0,
0
P
n
n
，过点P作平行于x轴的直线，与反比例函数图象交于点M，与直线BC 交于点N．横、
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纵坐标都是整数的点叫做整点．记反比例函数图象在点M，C 之间的部分与线段MN ，NC 围成的区域（不
含边界）为W．
①当
5
n = 时，直接写出区域W 内的整点个数；
②若区域W 内的整点恰好为2 个，结合函数图象，直接写出n 的取值范围．
【答案】(1)
(
)
4
0
y
x
x
=
，
(
)
2,2
C
(2)①2；②0
1
n
或4
5
n
【分析】（1）先根据线段中点，结合点
(
)
0,2
E
，(
)
1,0
A −
，求得
(
)
1,4
D
，再根据平行四边形的性质可得出AB
可用CD平移得到，利用平移的性质可求得
(
)
2,2
C
，再根据点
(
)
2,2
C
在反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象上求
得反比例函数解析式；
（2）①当
5
n = 时，先求得直线BC 的解析式，再结合图形找出区域内的整点；
②结合图象，分0
1
n
，4
5
n
两种情况，找出整点．
【详解】（1）解：设点D的坐标为(
)
,a b ，点
(
)
0,2
E
，
∵E 为AD 的中点，
(
)
1,0
A −
，
∴
(
)
1
0
2
a + −
=
，
0
2
2
b +
=
，解得：
1
a = ，
4
b =
，
∴
(
)
1,4
D
，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB 可用CD平移得到，
∵
(
)
1,0
A −
，
(
)
1,4
D
，
∴点A先向右平移2 个单位，再向上平移4 个单位，得到点D ，
∴点B 先向右平移2 个单位，再向上平移4 个单位，得到点C ，
∵
(
)
0, 2
B
−
，
∴
(
)
2,2
C
，
∵点C 在反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象上，
∴
2 2
4
k =
= ，
∴反比例函数的解析式为
(
)
4
0
y
x
x
=
；
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（2）①当
5
n = 时，
设直线BC 的解析式为y
kx
b
=
+
，
∵
(
)
0, 2
B
−
，
(
)
2,2
C
，
∴
2
2
2
b
k
b
−=
=
+
，解得：
2
2
k
b
=
= −
，
∴直线BC 的解析式为
2
2
y
x
=
−
，
当
2
x =
时，
2 2
2
2
3
y = −
=
，
4
2
3
2
y =
=
，
而3
5
，
∴(
)
2,3 是在区域W 内的整点，
同理可得(
)
2,4 是在区域W 内的整点，共2 个；
②当0
1
n
时，与①同理可验证在区域W 内有(
)
2,1 和(
)
3,1 ，共2 个整点；
当4
5
n
时，与①同理可验证在区域W 内有(
)
2,3 和(
)
3,4 ，共2 个整点；
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综上所述，当0
1
n
或4
5
n
时，恰好区域W 内的整点恰好为2 个．
【点睛】本题考查了求一次函数解析式，求反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，利用
平行四边形的性质求解，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
题型十、反比例函数中平移后的特殊函数
典例10 数学兴趣小组的同学根据学习经验，类比反比例函数图象与性质的研究路径，对函数
1
1
y
x
=
+ 的图
象与性质进行探究．
绘制函数图象
①列表：列出y 与x 的几组对应值：
x
…
4
−
3
−
2
−
3
2
−
4
3
−
…
2
3
−
1
2
−
0
1
2
…
y
…
1
3
−
1
2
−
1
−
2
−
3
−
…
3
2
1
1
2
1
3
…
②描点：根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点；
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③连线：用平滑的曲线顺次连接各点得到函数图象．
观察图象，探究函数
1
1
y
x
=
+ 的性质．
根据以上研究过程，回答下列问题：
(1)函数
1
1
y
x
=
+ 自变量x 的取值范围是________；
(2)把函数
1
1
y
x
=
+ 的图象补充完整；
(3)对于函数
1
1
y
x
=
+ 的图象，在每一个分支上，y 随x 的增大而________（填“增大”或“减小”）；函数
1
1
y
x
=
+
的图象可以看成把函数
1
y
x
=
的图象向________（填“左”或“右”）平移________个单位得到的；
(4)关于x 的方程
1
1
1
x
= −
+
的解是________；关于x 的不等式1
2
1
x
+
的解集是________．
【答案】(1)
1
x
−
(2)
(3)减小；左；1
(4) 2
−
1
1
2
x
−
−
【分析】画出图像，观察图像数形结合解决问题．
【详解】（1）解：若使解析式有意义，
则
1
0
x+
，
1
x
−
；
（2）解：略；
（3）解：观察图像可知，函数
1
1
y
x
=
+ 的图象，在每一个分支上，y 随x 的增大而减小；函数
1
1
y
x
=
+ 的图
象可以看成把函数
1
y
x
=
的图象向左平移１个单位得到的；
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（4）解：法1：1
1
1
x
= −
+
1
1
x+ = −
2
x = −
经检验，
2
x = −是原方程的解；
法2：方程的解即函数图像与直线
1
y
−
=
交点的横坐标，故
2
x = −；
由图像知
1
2
1
x
+
是交点和函数图像在直线
2
y =
上方的部分，
解方程
1
2
1
x
=
+
得
1
2
x = −
，
即两图像交点横坐标为
1
2
−
，
∴不等式解集为
1
1
2
x
−
−
．
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变式10-1 数学兴趣小组根据以往的函数学习经验，决定对函数
2
3
1
y
x
=
−
−
的图象和性质进行探究．下面是
他们的探究过程，请按要求补充完整：
(1)函数
2
3
1
y
x
=
−
−
的自变量x 的取值范围是_________：
(2)下列表格是y 与x 几组对应值：
x
…
3
−
2
−
1
−
0
1
2
3
2
2
3
4
5
…
y
…
7
2
−
11
3
−
4
−
5
−
7
−
m
1
−
2
−
7
3
−
5
2
−
…
直接写出m 的值_________；
(3)在如图所示的坐标系中描点，并画出函数的大致图象（小方格的边长为1）：
(4)结合函数图象，发现函数的下列特征：
①该函数当
1
x 时，y 随x 的增大而_________（填增大或减小）；
②若函数
1
2
3
1
y
x
=
−
−
与一次函数
2y
kx
b
=
+ 相交于点(
)
0, 5
A
−
，
(
)
2, 1
B
−
，结合函数图象直接写出使不等式
1
2
y
y
成立的x 的取值范围．
【答案】(1)
1
x
(2)1；
(3)如图，
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(4)①减小；②0
1
x
或
2
x
【分析】（1）分式有意义的条件是分母不为0，列出不等式求解自变量取值范围．
（2）将
3
2
x =
代入函数解析式，分步计算求出对应的y 值，即m ．
（3）根据表格内多组x 、y 对应坐标，在平面直角坐标系描点，结合反比例函数平移规律画出双曲线两支．
（4）①观察函数
1
x 分支的图象升降趋势，判断y 随x 的增减变化．②先作出直线
2y
kx
b
=
+ ，结合函数图
象位置，确定双曲线图象在一次函数图象下方时x 的取值范围．
【详解】（1）解：由题意可得
1
0
x−
，
解得
1
x ，
∴自变量x 的取值范围是
1
x ．
（2）解：当
3
2
x =
时，
2
3
1
3
1
2
m
y
=
=
−=
−
；
（3）略
（4）解：①由图可知该函数当
1
x 时，y 随x 的增大而减小；
②如图，过点(
)
0, 5
A
−
，
(
)
2, 1
B
−
作一次函数
2y
kx
b
=
+ ，
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由图可知，当
1
2
y
y
时，x 的取值范围：0
1
x
或
2
x
．
变式10-2 综合与实践：
《函数》复习课后，为加深对函数的认识，张老师引导同学们对函数
1
1
x
y
x
−
=
+ 的图象与性质进行探究．过程
如下，请完成探究过程：
(1)初步感知
函数
1
1
x
y
x
−
=
+ 的自变量取值范围是_____．
(2)作出图象
①列表：
x
…
6
−
5
−
4
−
3
−
2
−
5
3
−
3
2
−
7
5
−
n
1
3
−
0
1
2
3
4
…
y
…
7
5
3
2
5
3
2
3
4
m
6
3
−
2
−
1
−
0
1
3
1
2
3
5
…
填空：表中m = _____，n =_____．
②描点，连线：
在平面直角坐标系xOy 中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
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(3)研究性质
小刚观察图象，发现这个图象为双曲线，进一步研究中，小刚将函数
1
1
x
y
x
−
=
+ 转化为
2
1
1
y
x
= −
+ ，他判断该
函数图象就是反比例函数
2
y
x
= −
通过某种平移转化而来，反比例函数
2
y
x
= −
的图象是中心对称图形，对称
中心为(
)
0,0 ，则函数
1
1
x
y
x
−
=
+ 的图象的对称中心为_____；反比例函数
2
y
x
= −
的图象是轴对称图形，对称
轴为直线y
x
=
和y
x
−
=
，则函数
1
1
x
y
x
−
=
+ 的图象的对称轴为直线_____．
(4)拓展应用
若一次函数
1
2
2
y
x
−
=
+ 的图象与函数
1
1
x
y
x
−
=
+ 的图象交于A、B 两点，连接OA、OB ，则AOB
的面积为_____．
【答案】(1)
1
x
−
(2)①5，
1
2
−
；②函数图象如下：
(3)(
)
1,1
−
；
2
y
x
=
+
和y
x
−
=
；
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(4)5
【分析】（1）根据分母不能为0，即可解决问题；
（2）①将对应的值代入求解即可；②根据表格描点连线即可；
（3）结合图象和平移的性质求解即可；
（4）令一次函数
1
2
2
y
x
−
=
+ 的图象与x 轴交于点C ，分别求出A、B 、C 三点坐标，再利用三角形面积求
解即可．
【详解】（1）解：
1
1
x
y
x
−
=
+
，
1
0
x
+
，
1
x
−，
函数
1
1
x
y
x
−
=
+ 的自变量取值范围是
1
x
−
；
（2）解：①当
3
2
x = −
时，
3
1
2
5
3
1
2
y
m
−
−
=
=
=
−
+
，
当
3
y
−
=
时，
1
3
1
x
x
−
−
=
+
，
解得：
1
2
x = −
，即
1
2
n
−
=
；
②图象如答图；
（3）解：小刚观察图象，发现这个图象为双曲线，进一步研究中，小刚将函数
1
1
x
y
x
−
=
+ 转化为
2
1
1
y
x
= −
+ ，
他判断该函数图象就是反比例函数
2
y
x
= −
通过某种平移转化而来，反比例函数
2
y
x
= −
的图象是中心对称图
形，对称中心为(
)
0,0 ，则函数
1
1
x
y
x
−
=
+ 的图象的对称中心为(
)
1,1
−
；反比例函数
2
y
x
= −
的图象是轴对称图
形，对称轴为直线y
x
=
和y
x
−
=
，则函数
1
1
x
y
x
−
=
+ 的图象的对称轴为直线
2
y
x
=
+
和y
x
−
=
．
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（4）解：如图，令一次函数
1
2
2
y
x
−
=
+ 的图象与x 轴交于点C ，
联立
1
2
2
1
1
y
x
x
y
x
−
−
=
+
=
+
，
解得：
1
1
2
3
x
y
−
=
=
，
2
2
3
1
2
x
y
=
=
，
(
)
2,3
A
−
，
1
3, 2
B
，
令
0
y =
，则
1
2
0
2
y
x
= −
+
= ，解得：
4
x = ，
(
)
4,0
C
，
1
1
1
4 3
4
6 1
5
2
2
2
AOB
AOC
BOC
S
S
S
=
−
=
−
=
−=
．
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变式10-3 参照学习函数的过程与方法，探究函数
(
)
2
0
x
y
x
x
−
=
的图象与性质，因为
2
2
1
x
y
x
x
−
=
= −
，即
2
1
y
x
= −
+ ，所以我们对比函数
2
y
x
= −
来探究．
列表：
x
…
4
−
3
−
2
−
1
−
1
2
−
1
2
1
2
3
4
…
2
y
x
= −
…
1
2
2
3
1
2
4
4
−
2
−
1
−
2
3
−
1
2
−
…
2
x
y
x
−
=
…
3
2
5
3
2
3
5
3
−
1
−
0
1
3
1
2
…
描点：在平面直角坐标系中以自变量x 的取值为横坐标，以
2
x
y
x
−
=
相应的函数值为纵坐标，描出相应的点
如图所示；
(1)请在上图中把y 轴左边各点和右边各点分别用一条光滑曲线，顺次连接起来；
(2)观察图象并分析表格，回答下列问题：
①当
0
x
时，y 随x 的增大而______；（选填“增大”或“减小”）
②
2
x
y
x
−
=
的图象可看作是由
2
y
x
= −
的图象向______平移______个单位而得到的；
③
2
x
y
x
−
=
图象的两个分支关于点______（填点的坐标）中心对称；关于直线______（填函数表达式）轴对
称．
(3)试说明函数
2
x
y
x
−
=
的图象与直线
1
y = 的交点情况．
【答案】(1)见解析
(2)①增大 ②上，1； ③(
)
0,1 ；
1
y
x
=
+ 和
1
y
x
= −+
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(3)没有交点
【分析】（1）用光滑曲线顺次连接即可；
（2 ）利用图象法即可解决问题；
（3）联立函数解析式得到方程组，再根据方程组的解的情况即可判断求解．
【详解】（1）解：连线如下：
（2）解：①当
0
x
时，y 随x 的增大而增大，
故答案为：增大；
②
2
x
y
x
−
=
的图象可看作是由
2
y
x
= −
的图象向上平移1个单位而得到的，
故答案为：上，1；
③∵
2
x
y
x
−
=
的图象可看作是由
2
y
x
= −
的图象向上平移1个单位而得到的，而
2
y
x
= −
的图象关于原点(
)
0,0
中心对称，
∴
2
x
y
x
−
=
图象的两个分支关于点(
)
0,1 中心对称；
又∵
2
y
x
= −
的图象关于直线y
x
=
和y
x
−
=
轴对称，
∴
2
x
y
x
−
=
的图象关于直线
1
y
x
=
+ 和
1
y
x
= −+ 轴对称，
故答案为：(
)
0,1 ；
1
y
x
=
+ 和
1
y
x
= −+ ；
（3）解：联立函数解析式
2
1
x
y
x
y
−
=
=
，得
2
1
x
x
−
= ，
去分母，得
2
x
x
−
=
，方程无解，
∴函数
2
x
y
x
−
=
的图象与直线
1
y = 没有交点．
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压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1．如图，在边长为1 的正方形网格上建立平面直角坐标系，x 轴，y 轴都在格线上，其中反比例函数
(
)
0
0,
k
y
k
x
x
=
的图象被撕掉了一部分，已知点M ，N 在格点上，设点N 的坐标为(
)
, 2
n −
，则k =（ ）
A．2
−
B．3
−
C．4
−
D．5
−
【答案】C
【详解】解：由点N 的坐标为(
)
, 2
n −
可得
(
)
2, 1
M n +
−
，由点M ，N 在格点上可得
2
2
k
n
n
= −
= −−
，解得
2
n =
，
4
k
= −．
2．一次函数y
kx
b
=
+
经过第一、二、三象限，则函数
k
y
x
b
=
+
的图像大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据一次函数y
kx
b
=
+
经过的象限确定 k 、b 的符号，进而确定反比例函数型
k
y
x
b
=
+
的图像分
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布区域；
【详解】解：一次函数 y
kx
b
=
+
的图像经过第一、二、三象限，
0
k
，
0
b
，
函数
k
y
x
=
的图像经过第一、三象限，且无限接近y 轴，
函数
k
y
x
=
的图像向左平移b 个单位得到函数
k
y
x
b
=
+
的图像，其无限接近直线
0
x
b
= −
，排除B、C 选项；
当x
b
−时，
0
y
，当x
b
−时，
0
y
，排除D 选项；A 选项符合题意．
3．已知点
(
)
1
,
A m y
，
(
)
2
,
B
m y
−
，
(
)
3
2 ,
C
m y
在反比例函数
1
y
x
=
的图象上，若
0
m
，则
1y ，
2y ，
3y 的大小
关系为（ ）
A．
1
2
3
y
y
y
B．
1
3
2
y
y
y
C．
2
1
3
y
y
y
D．
3
1
2
y
y
y
【答案】B
【分析】先求出
1
1
y
m
=
，
2
1
y
m
= −
，
3
1
2
y
m
=
，再根据
0
m
比较大小即可．
【详解】解：∵点
(
)
1
,
A m y
，
(
)
2
,
B
m y
−
，
(
)
3
2 ,
C
m y
在
1
y
x
=
的图象上，
∴
1
1
y
m
=
，
2
1
y
m
= −
，
3
1
2
y
m
=
．
∵
0
m
，
∴1
1
1
0
2
m
m
m
−
，
即
1
3
2
y
y
y
．
4．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A
B
、分别为(
)
,0
m
、(
)
0,n ，顶点C 在反比例函数
1k
y
x
=
（
0
x
）上，顶点D在反比例函数
2k
y
x
=
（
0
x
）上．当D 点坐标为(
)
4,1 时，下列说法：①
2
4
k =
；②
1
m = ；
③
3
n = ；④
1
12
k =
．其中正确结论有（ ）．
A．1个
B．2 个
C．3个
D．4 个
【答案】D
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【分析】根据待定系数法得到
2
4
k =
，过点D 作DM
x
⊥
轴于点M ，通过证明AOB
DMA
≌
，得到
1
3
m
n
=
=
，
，过点C 作CN
y
⊥
轴于点N ，同理可证
AOB
BNC
≌
△
△
，继而得到
(
)
3,4
C
，从而根据待定系数
法得到
1
12
k =
．
【详解】解：将点
(
)
4,1
D
代入反比例函数表达式
2k
y
x
=
，
2
4 1
4
k
= =
，故①正确；
如图，过点D作DM
x
⊥
轴于点M ，
90
AOB
AMD
=
=
，
90
BAD
=
，
90
BAO
DAM
DAM
ADM
+
=
+
=
，
BAO
ADM
=
，
AB
DA
=
，
(
)
AAS
AOB
DMA
≌
，
OB
MA
n
=
=
，OA
MD
m
=
=
，
OM
m
n
=
+ ，
(
)
,
D m
n m
+
，
4
1
m
n
m
+
=
=
，解得
1
3
m
n
=
=
，故②，③正确；
(
)
1,0
A
，
(
)
0,3
B
，
3
OB
MA
=
= ，
1
OA
MD
=
= ，
如图，过点C 作CN
y
⊥
轴于点N ，
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同理可证
(
)
AAS
AOB
BNC
≌
，
3
OB
NC
=
= ，
1
OA
BN
=
= ，
4
ON
=
，
(
)
3,4
C
，
将点
(
)
3,4
C
代入反比例函数表达式
1k
y
x
=
，
1
4 3
12
k
= =
，故④正确．
5．如图，一次函数
(
)
0
y
ax a
=
与反比例函数
(
)
0,
0
k
y
k
x
x
=
的图象交于点(
)
4,8
A
，过点A 作x 轴的平
行线l，将直线y
ax
=
向上平移(
)
0
b b
个单位长度后，分别与x 轴，反比例函数，直线l 交于点B，C，D．当
CD
BD
=
时，b 的值为（ ）
A．
16
b =
B．
12
b =
C．
10
b =
D．
8
b =
【答案】B
【分析】先将点A代入一次函数和反比例函数中求得a和k的值，从而得到一次函数和反比例函数的解析式，
由平移的性质可得新直线的解析式为
2
y
x
b
=
+
，由AD
x
∥轴和点A 的坐标可得点D 的纵坐标，求出点D
的坐标为8
,8
2
b
−
，点B 的坐标为
,0
2
b
−
，当CD
BD
=
时，即D 为BC 的中点，点C 的坐标为16
,16
2
b
−
，
由于点C 在反比例函数上，从而可求出b 的值．
【详解】将点(
)
4,8
A
分别代入一次函数
(
)
0
y
ax a
=
与反比例函数
(
)
0,
0
k
y
k
x
x
=
中，
得8
4a
=
，8
4
k
=
，解得
2
a =
，
32
k =
，
∴一次函数的解析式为
2
y
x
=
，反比例函数的解析式为
32
y
x
=
，
∴将直线
2
y
x
=
向上平移b 个单位长度后得到的新直线的解析式为
2
y
x
b
=
+
．
∵AD
x
∥轴，(
)
4,8
A
，
∴点D 的纵坐标为8，
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∴8
2
D
x
b
=
+
，
∴
8
2
D
b
x
−
=
，
∴点D 的坐标为8
,8
2
b
−
，
令
2
0
y
x
b
=
+
=
，解得
2
b
x = −
，
∴点B 的坐标为
,0
2
b
−
，
当CD
BD
=
时，即D 为BC 的中点，
∴
8
16
2
2
2
2
C
b
b
b
x
−
−
=
−−
=
，
8 2
0
16
C
y = −
=
，
∴点C 的坐标为16
,16
2
b
−
，
∵点C 在反比例函数
32
y
x
=
的图象上，
∴16
16
32
2
b
−
=
，解得
12
b =
．
6．如果函数
2
1
a
y
x
−
−
=
（a 为常数）的图象上有两点(
)
1
2018, y
、(
)
2
2017, y
，那么函数值
1y _____
2y ．
（填“”、
“ = ”或“”）．
【答案】
【分析】根据反比例函数的性质：当
0
k
时，在图象的每一支上y 随x 的增大而增大进行分析即可．
【详解】解：∵
2
1
0
a
−
−
，
∴在图象的每一支上y 随x 的增大而增大，
∵2018
2017
0
，
∴
1
2
y
y
．
7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，两个反比例函数
6
y
x
−
=
和
2
y
x
= −
在第二象限内的图象依次为
1
C ，2
C ．已
知点P 在
1
C 上，点A，B 在
2
C 上，且PA
x
⊥
轴，PB
y
⊥
轴，则四边形OAPB的面积为____．
【答案】4
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【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义得到
1,
6,
AEO
OBF
PEOF
S
S
S
=
=
=
四边形
即可求出答案．
【详解】解：如图，
由反比例函数比例系数的几何意义可得，
1
2
1,
6
6,
2
AEO
OBF
PEOF
S
S
S
=
=
−
=
= −
=
四边形
∴四边形OAPB的面积为
6 1 1
4
AEO
OBF
PEOF
S
S
S
−
−
=
−−=
四边形
．
8．已知点(
)
,
P a b 是一次函数
3
y
x
=
−
与反比例函数
2
y
x
= −
的交点，则代数式1
1
a
b
−
的值是_________．
【答案】3
2
【分析】根据交点坐标满足两个函数解析式，得到,a b 的关系式，将所求代数式通分变形后，整体代入求值
即可．
【详解】解： 点
(
)
,
P a b 是一次函数
3
y
x
=
−
与反比例函数
2
y
x
= −
的交点，
将
(
)
,
P a b 代入两个函数解析式，得
3
b
a
=
−，
2
b
a
= −
，
整理得
3
b
a
−
= −，
2
ab
−
=
，
对所求代数式变形，得1
1
b
a
a
b
ab
−
−
=
，
将
3
b
a
−
= −，
2
ab
−
=
代入，得1
1
3
3
2
2
a
b
−
−
=
=
−
．
9．在平面直角坐标系xOy 中，对于
( , )
P a b ，若点P的坐标为
,
b
ka
b a
k
+
+
（其中k 为常数且
0
k
），则称
点P为点P 的“k 的和谐点”．已知点A在函数
2 (
0)
y
x
x
=
的图象上运动，且点A是点B 的“2 的和谐点”，
若
( 2,0)
Q −
，则BQ 的最小值为______．
【答案】6 5
5
【分析】由点A是点B 的“2 的和谐点”，可设点B 坐标，表示出点A坐标，由点A在函数
2
y
x
=
(
0)
x
的图
象上，就得到点B 在一个一次函数的图象上，可求出这条直线与坐标轴的交点M 、N 的坐标，过Q 作这条
直线的垂线，这点到垂足之间的线段为QB ，此时QB 最小，等积法求出QB 的长即可．
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【详解】解：设
(
)
,
B x y ，
点A是点B 的“2 的和谐点”，
2
,
2
y
A
x
y x
+
+
，
点A在函数
2 (
0)
y
x
x
=
的图象上，
(
)
2
2
2
y
x
y
x
+
+
=
，2
0
x
y
+
，
即：2
2
x
y
+
=
或2
2
x
y
+
= −（舍去），
2
2
y
x
= −
+
，
点B 在直线
2
2
y
x
= −
+
上运动，
∴当BQ ⊥直线
2
2
y
x
= −
+
时，BQ 的长最小，
设直线
2
2
y
x
= −
+
与x 轴、y 轴相交于点M 、N ，过点Q 作QB
MN
⊥
，垂足为B ，
则
(
)
1,0
M
、
(
)
0,2
N
，
2
2
1,
2,
1
2
5
OM
ON
MN
=
=
=
+
=
，
∵
( 2,0)
Q −
，
∴
1
2
3
MQ
MO
OQ
=
+
= +
=
，
∴
1
1
2
2
MNQ
S
MN BQ
MQ ON
=
=
，
∴
5
3 2
BQ =
∴
6 5
5
BQ =
，
∴BQ 的最小值为6 5
5
．
10．如图，线段
6
AB = ，点M 从点A出发，点N 从点B 出发，都以每秒1 个单位长度的速度沿直线AB 运
动，其中M 向点B 运动，N 向点A运动，两点分别到达点B 、点A时停止运动．以AM 为一边的矩形面积
AMCD始终为6．设点M 的运动时间为(
)
0
t t
秒，MN 之间的距离为
1y ，AD的长度为
2y ．在平面直角坐
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标系中，以t 为横坐标、y 为纵坐标，得到
1y 和
2y 随t 变化的图像．当1
6
t
时，设这两个函数的图像与直
线
6
y =
所围成的封闭图形为G （包括边界）．在封闭区域G 中的格点（横、纵坐标都是整数的点）中，恰
好在
1y 或
2y 图像上的个数为_____个．
【答案】6
【分析】根据已知条件分别求出
1y 和
2y 的表达式，然后结合t 的取值范围，找出封闭区域G 中的格点，并
判断这些格点是否在
1y 或
2y 的图像上．
【详解】解：∵点M 从点A出发，点N 从点B 出发，都以每秒1 个单位长度的速度沿直线AB 运动，
6
AB =
，
点M 的运动时间为(
)
0
t t
秒，
当1
3
t
时，AM
t
= ，BN
t
= ，则
6
6 2
MN
AB
AM
BN
t
t
t
−
−
−−
=
=
= −
，即
1
6
2
y
t
=
−
；
当3
6
t
时，AM
t
= ，BN
t
= ，则
6
2
6
MN
AM
BN
AB
t
t
t
=
+
−
= + −=
−, 即
1
2
6
y
t−
=
；
因为矩形AMCD的面积始终为6，AM
t
= ，根据矩形面积公式S
AM
AD
=
，
∴
6
AD
t
=
，即
2
6
y
t
=
，
如图，
当
1
t = 时，
2
6
y =
，
当
2
t =
时，
2
3
y = ，
当
3
t =
时，
2
2
y =
，
当
4
t =
时，
1
2
y =
，
当
5
t =
时，
1
4
y =
，
当
6
t =
时，
1
6
y =
，
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则在封闭区域G 中的格点（横、纵坐标都是整数的点）中，恰好在
1y 或
2y 图像上的点为(
)
1,6 ，(
)
2,3 ，(
)
3,2 ，
(
)
4,2 ，(
)
5,4 ，(
)
6,6 ，共6 个点．
11．如图，在矩形AOBC 中，
2
OA =
，
3
OB =
，反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象经过矩形边BC 的中点D，
交AC 边于点E．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)在x 轴上找一点P 使PDE
的周长最小，求此时点P 的坐标；
(3)在（2）的条件下，直接写出PDE
的面积．
【答案】(1)
3
y
x
=
(2)
(
)
2.5,0
P
(3)1
【分析】（1）先求解
(
)
3,1
D
，再进一步求解即可；
（2）作点D 关于x 轴的对称点F，连接EF 交x 轴于点P，则点P 就是所求点，再进一步求解即可．
（3）利用
PDE
PBD
ECD
AOPE
S
S
S
S
S
=
−
−
−
△
△
△
矩形
梯形
，进一步计算即可．
【详解】（1）解：依题意，在矩形AOBC 中，
2
OA =
，
3
OB =
，
∴
(
)
3,2
C
，
∵D为BC 的中点，
∴
(
)
3,1
D
反比例函数的图象经过点D，
3 1
3
k
xy
=
= =
，
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反比例函数的表达式为
3
y
x
=
．
（2）解：连接DE ，作点D 关于x 轴的对称点F，连接EF 交x 轴于点P，则点P 就是所求点．
∴
(
)
3, 1
F
−
，
把
2
y =
代入
3
y
x
=
，
∴
3
2
x =
，
∴
3 ,2
2
E
，
设直线EF 的表达式为y
kx
b
=
+
，
把
3 ,2
2
E
，
(
)
3, 1
F
−
代入y
kx
b
=
+
，得：
3
2
2
3
1
k
b
k
b
+
=
+
= −
，
解这个方程组，得
2
5
k
b
= −
=
，
2
5
y
x
= −
+
当
0
y =
时，2
5
0
x
−
+ =
，
2.5
x =
，
(
)
2.5,0
P
．
（3）解：如图，∵
3 ,2
2
E
，
(
)
3,1
D
，
(
)
2.5,0
P
，
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PDE
PBD
ECD
AOPE
S
S
S
S
S
=
−
−
−
△
△
△
矩形
梯形
(
)
(
)
1
1
1
2 3
1.5
2.5
2
3 2.5
1
1.5 1
2
2
2
= −
+
−
−
−
1
3
6
4
4
4
=
−−
−
1
= ．
12．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我
们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数
(
)
(
)
2
1
1
1
x
y
x
x
x
−
−
=
−
−
的图象与性质．列表：
x
…
3
−
5
2
−
2
−
3
2
−
1
−
1
2
−
0
1
2
1
3
2
2
5
2
3
…
y
…
2
3
4
5
1
4
3
2
3
2
1
1
2
0
1
2
1
3
2
2
…
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x 的取值为横坐标，以相应的函数值y 为纵坐标，描出了部分相应点，
(1)如图，请你描出余下的点，并作出函数图象；
(2)研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：
①点(
)
1
5,
A
y
−
，
2
7 ,
2
B
y
−
，
1
5
, 2
C x
，(
)
2,6
D x
在函数图象上，则
1y ______
2y ，1x _____
2x ；（填“”，“ = ”
或“”）
②当函数值
2
y
时，自变量x 的取值范围是______；
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③在直线
1
x = −的右侧的函数图象上有两个不同的点(
)
3
3
,
P x
y
，
(
)
4
4
,
Q x
y
，且
3
4
y
y
=
，求
3
4
x
x
+
的值为
______；
④若直线y
a
=
与函数图象有三个不同的交点，a 的取值范围是______．
【答案】(1)
(2)①，；②
3
x
；③2；④0
2
a
【分析】（1）根据表格描出余下的点，再连线即可作出函数图象；
（2）①观察函数图象的增减性，即可解答；②观察函数图象即可求解；③观察函数图象可知，当1
3
x
−
时，函数图象关于直线
1
x = 对称，再结合题意即可求解；④观察函数图象即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：①观察图象可知，点(
)
1
5,
A
y
−
，
2
7 ,
2
B
y
−
在
(
)
2
1
y
x
x
= −
−
上，
当
1
x −时，y 随x 的增大而增大，
∵
7
5
2
−−
，
∴
1
2
y
y
；
观察图象可知，点
1
5
, 2
C x
，
(
)
2,6
D x
在
1
y
x
=
−
上，且当
2
y
时，有
3
x
，
∵5
2
2
，6
2
，
∴
1
3
x ，
2
3
x
，
当
3
x 时，y 随x 的增大而增大，
∵5
6
2
，
∴
1
2
x
x
；
②观察图象可得，当函数值
2
y
时，自变量x 的取值范围是
3
x
；
③观察图象可得，当1
3
x
−
时，函数图象关于直线
1
x = 对称，
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∵在直线
1
x = −的右侧的函数图象上有两个不同的点(
)
3
3
,
P x
y
，
(
)
4
4
,
Q x
y
，且
3
4
y
y
=
，
∴点(
)
3
3
,
P x
y
，
(
)
4
4
,
Q x
y
关于直线
1
x = 对称，
∴
3
4
1
2
x
x
+
= ，
∴
3
4
2
x
x
+
=
；
④∵直线y
a
=
与函数图象有三个不同的交点，
∴观察图象可得，a 的取值范围是0
2
a
．
13．如图，反比例函数
(
0)
k
y
x
x
=
与函数
(
)
(
)
2
0
2
6
2
x
x
y
x
x
= −+
交于A，B 两点，射线AB 交x 轴于点C ，已知
点A的坐标为(
)
2,a ．
(1)求反比例函数解析式；
(2)若点P 在x 轴上，连接PA，PB，求当PA PB
+
的值最小时
PBC
△
的面积．
【答案】(1)
8
y
x
=
(2) 8
3
【分析】（1）将点A横坐标代入分段一次函数对应解析式求出A点纵坐标，再把A点坐标代入反比例函数，
利用待定系数法求出反比例函数解析式；
（2）联立反比例函数与
2
x
对应的一次函数解析式求出交点B 坐标；作点A关于x 轴的对称点A，连接A B
，
与x 轴交点即为使PA PB
+
最小的点P ；利用待定系数法求直线A B
解析式，求出P 点坐标；再求射线AB 与
x 轴交点C 的坐标，算出线段PC 长度，结合B 点纵坐标作为三角形的高，代入三角形面积公式计算
PBC
△
的面积．
【详解】（1）解：把点
(
)
2,
A
a 代入
2
y
x
=
得，
4
a =
，
(
)
2,4
A
，
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反比例函数
(
0)
k
y
x
x
=
图象过点A，
2 4
8
k
= = ，
反比例函数解析式为
8
y
x
=
；
（2）解：由
8
6
y
x
y
x
=
= −+
，
解得
2
4
x
y
=
=
或
4
2
x
y
=
=
，
(
)
4,2
B
，
作A点关于x 轴的对称点A，连接A B
，与x 轴的交点即为P 点，
(
)
2,4
A
，
(
)
2, 4
A
−
，
设直线A B
的解析式为y
mx
n
=
+
，
则
2
4
4
2
m
n
m
n
+
= −
+
=
，
解得
3
10
m
n
=
= −
，
直线A B
的解析式为
3
10
y
x
=
−
，
把
0
y =
代入得，3
10
0
x −
=
，
解得
10
3
x =
，
10 ,0
3
P
，
把
0
y =
代入
6
y
x
= −+
得，
6
0
x
−+
=
，
解得
6
x =
，
(
)
6,0
C
，
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10
8
6
3
3
PC
=
−
=
，
1
8
8
2
2
3
3
PBC
S
=
=
，
当PA PB
+
的值最小时
PBC
△
的面积为8
3 ．
14．通过对一次函数、反比例函数的学习，我们积累了一定的经验．下面我们借鉴以往研究函数的经验，
对
1
|
|
y
x
x
=
+
的图象和性质进行探索．
【取值范围】
自变量x 的取值范围是不为零的全体实数；
【列表计算】
x 与y 的几组对应值列表如下：
x
…
5
−
4
−
3
−
2
−
1
−
1
2
−
1
2
1
2
3
4
…
y
…
m
15
4
8
3
3
2
n
3
2
−
5
2
2
5
2
10
3
17
4
…
(1)表格中m = ____________，n =___________；
【描点画图】
(2)请在下图中补全函数的另一部分图象；
【性质探究】
(3)观察图象，写出函数两条不同的性质；
【拓展延伸】
(4)当直线
1
2
y
x
b
=
+
与函数
1
|
|
y
x
x
=
+
的图象有三个交点时，直接写出b 的取值范围．
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【答案】(1) 24
5 ；0
(2)见解析
(3)当0
1
x
时，y 随x 的增大而减小，当
1
x 时，y 随x 的增大而增大；当
0
x
时，y 随x 的增大而减小；
当
1
x
−
时，函数值始终大于0；当1
0
x
−
时，函数值始终小于0
(4)
2
b
【分析】（1）代入函数表达式
1
|
|
y
x
x
=
+
可得m，n 的值；
（2）先描点，在连线，画出平滑的曲线即可；
（3）通过观察图像分析函数的性质（如对称性、增减性、最值）；
（4）直线
1
2
y
x
b
=
+
与函数
1
|
|
y
x
x
=
+
的图象有三个交点等价于方程
1
1
2
x
x
b
x
+
=
+
有三个不同的实数根，即
1
1
2
b
x
x
x
=
+
−
有三个不同的解．
【详解】（1）解：
1
y
x
x
=
+
，
当
5
x = −时，
1
24
5
5
5
y = −+
=
−
，
当
1
x = −时，
1
1
0
1
y = −+
=
−
，
（2）解：如图所示：
（3）解：当0
1
x
时，y 随x 的增大而减小，当
1
x 时，y 随x 的增大而增大；当
0
x
时，y 随x 的增大
而减小；当
1
x
−
时，函数值始终大于0；当1
0
x
−
时，函数值始终小于0；
（4）解：由题意可知，要求直线
1
2
y
x
b
=
+
与函数
1
|
|
y
x
x
=
+
的图象有三个交点，
当
0
x
时，
1
y
x
x
=
+
，联立得，
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1
1
2 x
b
x
x
+
=
+
，即
1
2
x
b
x
=
+
，
因为
0
x
，由基本不等式得，
1
1
2
2
2
2
x
x
x
x
+
=
，当且仅当
2
x =
时取等号，
所以当
2
b
时，直线与
0
x
部分的图象有两个交点，
当
0
x
时，
1
y
x
x
= −+
，联立得，
1
1
2 x
b
x
x
−
+
=
+
，即
3
1
2
b
x
x
−
=
+
，
令( )
3
1
2
h x
x
x
= −
+
，( )
h x 在
0
x
时单调递减，值域为整个实数集，
故直线与
0
x
部分的图像恒有一个交点，
综上所述，要使一共有三个交点，需满足
2
b
．
15．如图，矩形ABCO在平面直角坐标系中，点(
)
5,0
A −
，
(
)
0,6
C
，反比例函数图象
1L 对应的函数表达式
为
6
y
x
−
=
（
0
x
），反比例函数图象
2L 对应的函数表达式为
k
y
x
=
（
0
k
，
0
x
）．把矩形ABCO内部（不
含边界）横、纵坐标均为整数的点称为优点．
(1)若
12
k
−
=
，则
2L 和
1L 之间（不含边界）有 个优点；
(2)若
2L 和
1L 之间（不含边界）有4 个优点，求k 的取值范围．
【答案】(1)4
(2) 12
10
k −
−
或4
3
k
−
−
【分析】（1）当
12
k = −
时，先画出
2
L 的图象，通过对比
1L 与
2
L 的位置，数出两图象之间的优点个数．
（2）先列出矩形ABCO内部（不含边界）的所有整数点，根据4 个优点的条件，分情况讨论这些点在两函
数之间的位置，结合反比例函数的性质，列出不等式求解k 的取值范围．
【详解】（1）解：当
12
k
−
=
时，
12
y
x
−
=
经过点(
)
2,6
−
，(
)
3,4
−
，(
)
4,3
−
，
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如图，画出
2L 的图象，
由图可知：
2L 和
1L 之间（不含边界）有4 个优点．
（2）解：矩形ABCO内部（不含边界）的整数点为：
(
) (
) (
) (
) (
)
4,1 ,
4,2 ,
4,3 ,
4,4 ,
4,5
−
−
−
−
−
，
(
) (
) (
) (
) (
)
3,1 ,
3,2 ,
3,3 ,
3,4 ,
3,5
−
−
−
−
−
，
(
) (
) (
) (
) (
)
2,1 ,
2,2 ,
2,3 ,
2,4 ,
2,5
−
−
−
−
−
，
(
) (
) (
) (
) (
)
1,1 ,
1,2 ,
1,3 ,
1,4 ,
1,5
−
−
−
−
−
．
1
6
:
(
0)
L
y
x
x
= −
，
当
4
x = −时，
1.5
y =
；
当
3
x = −时，
2
y =
；
当
2
x = −时，
3
y =
；
当
1
x = −时，
6
y =
．
情况一：当优点为(
) (
) (
) (
)
4,2 ,
3,3 ,
2,4 ,
2,5
−
−
−
−
时，
此时
2
L 需满足：
当
4
x = −时，2
3
4
k
−
，即12
8
k
−
−，
当
3
x = −时，3
4
3
k
−
，即12
9
k
−
−，
当
2
x = −时，4
5
2
k
−
，即10
8
k
−
−，
当
2
x = −时，5
6
2
k
−
，即12
10
k
−
−
，
∴12
10
k
−
−
．
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情况二：当优点为(
) (
) (
) (
)
4,1 ,
3,1 ,
2,2 ,
1,4
−
−
−
−
时，
此时
2
L 需满足：
当
4
x = −时，0
1
4
k
−
，即4
0
k
−
，
当
3
x = −时，0
1
3
k
−
，即3
0
k
−
，
当
2
x = −时，1
2
2
k
−
，即4
2
k
−
−，
当
1
x = −时，3
4
1
k
−
，即4
3
k
−
−，
∴4
3
k
−
−．
综上，k 的取值范围为12
10
k
−
−
或4
3
k
−
−．
