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专题02 二次函数图象和性质与系数的问题
常考题型·精准突破
题型1 二次函数中含参数的图象和性质（难）
题型2 一次函数与二次函数图像综合判断问题（高频）
题型3 二次函数与几何图形中的动点问题（高频）
题型4 二次函数图像与各项系数符号问题（高频）
题型5 二次函数中含参数的综合问题（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 二次函数中含参数的图象和性质
1．（2026·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数
2
2
(
0)
y
x
mx
m m
=
−
+
的图象与x 轴有两个
交点，则下列关于该函数的结论正确的是（ ）
A．图象的对称轴在y 轴的左侧
B．0
1
m
C．图象的顶点在第四象限
D．图象与x 轴的两个交点在y 轴两侧
2．（2026·陕西西安·三模）关于抛物线
2
2
4
5
2
y
x
mx
m
=
−
+
+
（m 为常数），下列说法正确的是（ ）
A．对称轴在y 轴右侧
B．顶点在第二象限
C．若
4
x
时，y 随x 的增大而增大，则
2
m
D．抛物线上有两点(
)
1
1, y
−
，(
)
2
2, y
，若
1
2
y
y
，则
1
4
m
3．（2022·湖南长沙·模拟预测）已知二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ ，当1
1
x
−
时，总有1
1
y
−
，有如下几个
结论：
①当
0
b
c
=
=
时，a 1；
②当
1
a = 时，c 的最大值为0；
③当
2
x =
时，y 可以取到的最大值为7．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
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A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
◆题型2 一次函数与二次函数图像综合判断问题
4．（25-26 九年级上·北京东城·期中）抛物线
2
y
ax
bx
=
+
和直线y
ax
b
=
+
在同一坐标系的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（25-26 八年级下·福建福州·期末）函数
2
y
ax
a
=
−
与
(
)
0
y
ax
a a
=
−
在同一平面直角坐标系中的图象可
能是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（25-26 八年级下·重庆渝中·期末）在同一坐标系内，二次函数
2
5
y
ax
x
b
=
+
+
的图象与一次函数y
ax
b
=
+
可能是（）
A．
B．
C．
D．
◆题型3 二次函数与几何图形中的动点问题
7．（2026·甘肃平凉·模拟预测）如图1，在四边形ABCD中，
//
AD BC ，
90
C
=
，动点P 沿A
B
C
→
→
的
路线运动，到点C 时停止．设点P 运动的路程为x，DP
y
=
，y 与x 的函数图象如图2 所示，若点
(
)
,4
M a
是
最低点，则BC 的长为（ ）
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A．1
B．3
2
C．7
5
D．2
8．
（2026·河南三门峡·三模）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如
图1，点P 是一个固定观测点，运动点Q 从A处出发，沿笔直公路AB 向目的地B 处运动．设AQ 为x （单
位：
(
)
2
km
0
x
n
PQ
）
，
为y（单位：
2
km ）．如图2，y 关于x 的函数图象与y 轴交于点C ，最低点
(
)
81
D m，，
且经过
(
)
1 225
E
，
和
(
)
225
F n，
两点．下列选项正确的是（ ）
A．
10
m =
B．
20
n =
C．点C 的纵坐标为250
D．点(
)
15 75
，
在该函数图象上
9．
（2026·浙江丽水·模拟预测）如图1，点P ，Q 分别从A点、B 点出发沿矩形ABCD的边运动，点P 以1cm / s
的速度按AD
DC CB
−
−
运动，点Q 以0.5 cm / s 的速度向点C 处运动．同时出发，当点P ，Q 相遇时停止运
动．设运动的时间为x（s），
DPQ
△
的面积为y （
2
cm ），y 关于x 的函数图象如图2 所示，当
6
x
时，图
象的高点为E ．下列选项错误的是（ ）
A．
4
AB =
B．
6
BC =
C．F 的坐标为(
)
0,2
D．点31,1
3
在该函数图象上
◆题型4 二次函数图像与各项系数符号问题
10．（25-26 八年级下·北京·期末）如图，已知二次函数
(
)
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
的图象与x 轴交于点
(
)
1,0
A −
，
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与y 轴的交点B 在(
)
0, 2
−
和(
)
0, 1
−
之间（不包括这两点），对称轴为直线
1
x = ．下列结论：①
0
abc
；②
4
2
0
a
b
c
+
+
；③
2
4
4
ac
b
a
−
−
；④1
1
3
2
a
；⑤b
c
．其中正确结论有______（填写所有正确结论的
序号）．
11．（25-26 九年级上·山东滨州·期末）已知二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ (
0
a
）的图象如图所示，有下列5个结
论：
①
0
abc
；②b
a
c
+ ；③4
2
0
a
b
c
+
+
；④2
3
c
b
；⑤
(
)
a
b
m am
b
+
+
，(
1
m 的实数) ．其中正确
结论的序号为______．
12．（25-26 九年级上·河南周口·期末）如图是二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的图象一部分，对称轴是直线
1
x = −，
且过点(
)
3,0
−
，以下几种说法：①
0
abc
；②3
0
a
c
+ =
；③4
2
0
a
b
c
+
+
；④关于x 的一元二次方程
2
0
ax
bx
c
+
+
=
有两个相等的实数根；⑤若(
)
1
5, y
−
、
2
5 ,
2 y
是抛物线上两点，则
1
2
y
y
．其中正确的结论
有______．
◆题型5 二次函数中含参数的综合问题
13．
（2026·广东中山·二模）已知二次函数
2
3
y
ax
bx
=
+
−（a ，b 为常数，
0
a
）的图象经过点
(
)
1,0
A −
，(
)
3,0
B
．
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(1)求二次函数的表达式；
(2)若
1
n
x
n
−
时，y 的最大值为3
2n
−
，求n 的值．
14．（2026·云南楚雄·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线
(
)
(
)
2
1
2
3
1
2
y
x
k
x
k k
= −
+
+
−
．
(1)若抛物线经过点(
)
4,10 ，求抛物线的对称轴；
(2)已知点
(
)
(
)
(
)
2,
,
2,
,
2,
M t
c
N
d
P t
c
−
+
都在该抛物线上，且满足c
d
，求t 的取值范围．
15．（2026·浙江舟山·二模）已知抛物线
2
2
3
y
x
ax
a
=
−
+
（a 为常数）经过点(
)
1,3 ．
(1)求抛物线的顶点坐标．
(2)记抛物线在
1
2
x
x
x
时的最大值为M，最小值为m．
①当
1
2
x
t
=
−，
2
2
2
x
t
=
+
且
1
M
m
−
= 时，求t 的值．
②记
2
1
s
x
x
=
−
，M
m
−
的最小值为d，求d
s
−的最小值．
综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．（2026·陕西咸阳·二模）已知抛物线
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ ，当
1
2
m
x
m
−
+
时，函数y 有最小值0 ，则m 的
值为（ ）
A．0 或1
B．0 或1
−
C．1 或1
−
D．0 或2
2．（2026·安徽芜湖·三模）已知二次函数
(
)
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
的图象如图所示，则函数y
ax
c
=
+ 的图象可
能为（ ）
A．
B．
C．
D．
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3．（2026·陕西渭南·二模）在平面直角坐标系中，将二次函数
2
4
1
y
ax
ax
=
+
−（a 为常数，且
0
a
）的图象
沿y 轴向下平移2 个单位长度，得到的新二次函数图象经过点(
)
1,0
−
，则关于二次函数
2
4
1
y
ax
ax
=
+
−的说
法不正确
．．．的是（ ）
A．图象的开口向下
B．当2
1
x
−
时，y 的最小值为6
−
C．当
4
x = −时，
0
y
D．当
1
x −时，y 的值随x 值的增大而减小
4．
（2026·江苏南通·三模）如图1，在等腰直角三角形ABC 中，P 是斜边AB 上一动点，过点P 分别作PD
AC
⊥
，
PE
BC
⊥
，垂足分别为点D ，E ，设PD
x
=
，PD PE
y
=
．若y 关于x 的函数图象如图2 所示，点(
)
,
m t 和
(
)
,n t 都在函数图象上，
4
m
n
+
=
，则下列选项正确的是（ ）
A．
4
AB =
B．当
1
m = 时，
4
t =
C．点(
)
2,8 在该函数图象上
D．该函数图象的最高点的纵坐标为4
二、填空题
5．（2026·宁夏·一模）在抛物线
2
2
(
0)
y
ax
x
a a
=
−
+
上有
(
)
1
1,
A
y
，
(
)
2
3,
B
y
两点，若抛物线与y 轴的交点
在负半轴上，则
1y ，
2y 的大小关系为______．
6．（2026·江苏宿迁·二模）在同一平面直角坐标系中，抛物线
2
:
6
7
L y
ax
ax
a
=
−
−
与抛物线L关于直线x
m
=
对称，L可看作是由L 向右平移4 个单位长度所得，那么m 的值为______．
7．（2026 九年级下·吉林·专题练习）二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的部分图象如图所示，其对称轴为
2
x =
，且图
象经过点(6,0) ，下列结论：①
0
bc
；②4
0
a
b
+
=
；③若
2
2
1
1
2
2
ax
bx
ax
bx
+
=
+
且
1
2
x
x
，则
1
2
4
x
x
+
=
；④
若(
)
1
1, y
−
，(
)
2
3, y
两点都在抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的图象上，则
2
1
y
y
．正确的有______．（填正确的序号）
8．（2026·安徽六安·二模）已知抛物线
(
)
2
2
3
3
y
x
m
x
m
=
−
+
+
−
．
（1）无论m 取任何值，该抛物线经过定点，则该定点的坐标为________；
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（2）已知点
(
)
4,2
A
，
(
)
7,8
B
，若该抛物线与线段AB 没有公共点，则m 的取值范围为________．
三、解答题
9．（2026·云南大理·二模）已知抛物线
2
4
2
1
y
x
mx
m
=
−
+
+ ，该抛物线经过点(
)
4,3 ．
(1)求m 的值；
(2)将该函数的图象沿着x 轴平移得到一个新函数的图象，当0
6
x
时，新函数的最大值是35，求平移的
距离．
10．（2026·云南曲靖·模拟预测）已知关于x 的二次函数
2
4
y
x
ax
=
+
−
（a 为常数）
(1)当
2
a =
时，求二次函数的对称轴；
(2)当
3
a
x
a
+ 时，二次函数最大值为m，最小值为n，若
7
m
n
−
=
，求a 的值．
11．（2026·江苏盐城·二模）已知二次函数
(
)
2
2
y
ax
a
x
c
=
+
+
+ （a ，c 为常数，
0
a
），且满足2
2
a
c
+
= −．
(1)若函数图象经过点(
)
2,10 ，求函数的表达式及其顶点坐标；
(2)①对称轴为直线________．（用含a 的式子表示）
②若当
1
x
−
时，y 随x 的增大而增大，请求出a 的取值范围．
(3)对于任意的(
)
0
a a
，该二次函数的图象都必过的定点
．．坐标为________．（直接给出答案即可）
12．（2026·江苏淮安·一模）已知二次函数
2
2
5
y
x
mx
= −
+
+ （m 为常数）．
(1)当
2
m =
时，二次函数图像的顶点坐标为__________；
(2)当1
2
x
−
时，y 的最大值是8，求m 的值；
(3)如果点
(
)
2,
A m
a
−
、点(
)
3,
B
b 、点
(
)
2,
C m
a
+
都在这个二次函数的图像上，且a
b
，请直接写出m 的取
值范围．
