文档文本内容
1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题02 三角形中的倒角模型之A 字、8 字、燕尾模型的三类 综合题型 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、三角形中的倒角模型之“A”字模型 题型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型 题型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：图形呈A 形、X 形（8 字）或燕尾（飞镖）结构，已知部分角度求关联角或角间和差关系。 - 解题方法：A 字模型用三角形内角和180°或外角性质；8 字模型利用对顶角相等及两三角形内角和转化； 燕尾模型利用外角等于不相邻两内角和，建立角与角的和差关系。 - 易错提醒：混淆8 字模型中内角与外角的对应关系；燕尾模型中找不准外角的两个不相邻内角；辅助线 添加不恰当导致关系链断裂。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、三角形中的倒角模型之“A”字模型 典例1．（25-26 八年级上·云南红河·期中）【问题呈现】 小明在学习了有关三角形内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题： 如图①，1 与 2 分别为 ABC 的两个外角，求证：1 2 180 A += +． 【推理证明】 目 录 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)补全证明过程． 证明： 1 与 2 分别为 ABC 的两个外角， 1 A = +_____， 2 A =+ _____ 1 2 +=_____ 3 4 180 A ++ = ， 1 2 180 A += +． (2)如图②，在 ABC 纸片中剪去 AED △ ，得到四边形BCDE ．若1 130 = ，则 2 A −的大小为_____度． (3)如图③，在 ABC 中，BP CP ， 分别为外角 DBC ，ECB 的平分线，写出 P 与 A 之间的数量关系， 并说明理由． 题型模版 1.特征：形如“A”的图形（两条斜边被平行线截断），求角间关系，常涉及内外角结合。 2.方法：利用平行线性质与三角形内角和定理，建立顶角与底角之间的代数关系，通过方程或消元求解。 变式1-1．（24-25 八年级上·江西吉安·期中）如图，在ABC 中，沿虚线剪去 C ，若1 2 250 += ，则 C 的度数为 ______． 变式1-2．（2025 八年级上·全国·专题练习）探索归纳： 3 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)如图1，已知 ABC 为直角三角形， 90 A = ，若沿图中虚线剪去 A ，则1 2 +=________； (2)如图2 ，已知 ABC 中， 60 A = ，剪去 A 后形成四边形，则1 2 +=________； (3)如图2 ，根据上面的求解过程，猜想1 2 +与 A 的数量关系，并证明； (4)若 A 没有剪掉，而是把它折成如图3的形状，请猜想1 2 +与 A 的数量关系，并说明理由． 变式1-3．（25-26 八年级上·广西柳州·期中）实验与探究 某数学小组的同学发现，折纸中蕴含着许多数学问题．现有一张三角形纸片ABC ，点M，N 分别是边AC ， BC 上的点，若沿直线MN 折叠 ABC ，点C 的对应点为点D ． (1)若如图1所示，点D恰好在BC 边上，则1 与 ACB 的数量关系是______； (2)若如图2 所示，点D在 ABC 内部， 35 ACB = ，求1 2 +的度数； (3)若如图3所示，点D在 ABC 外部，则1 ， 2 和 ACB 之间有怎样的数量关系？请证明． 题型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型 典例2．（25-26 七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，AD，BC 相交于点O，连接AB ，CD． (1)求证： A B C D += + ． (2)若 57 A = ， 35 B = ， 60 C = ，求 D 的度数． 题型模版 1.特征：形如“8”的图形（两条线段交叉），有一对对顶角，求角间关系或线段比例。 2.方法：利用对顶角相等与三角形内角和定理建立等式；若含平行线，则结合内错角/同位角推导角关系。 变式2-1．（25-26 八年级上·安徽安庆·期中）（1）生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1 所示的图形 我们称之为“和谐8 字形”，则 , , A B C ， D 之间的数量关系_____． （2）在图2 中 DAB 和 BCD 的平分线AP 和CP 相交于P 点，交叉形成了多个“和谐8 字形”，若 42 D = ， 4 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 38 B = ，那么 P 的度数是_____． 变式2-2．（25-26 七年级下·山东菏泽·阶段检测）如图①，已知线段AB ，CD相交于点O，连接AC ，BD， 我们把形如这样的图形称为“8 字型”． (1)试说明： A C B D + = + ； (2)如图②，若 CAO 和 BDO 的平分线AP 和DP相交于点P，与CD，AB 相交于点M ，N ．若 100 B = ， 120 C = ，求 P 的度数． 变式2-3． （2026 七年级下·上海·专题练习）如图1 的图形我们把它称为“8 字形”，显然有 A B C D += + ； 新定义：在图1 中，我们把AB ，CD，BC ，AD叫做“8 字形”的边， A ， B ， C ， D 叫做“8 字形” 的内角，“8 字形”的一边与其相邻边的延长线组成的角叫做外角．例如，图2 中， BAD ， BCD 为“8 字 形”的内角，图3 中， BCE ， FAD 为“8 字形”的外角． (1)在图2 中， BAD 的平分线和 BCD 的平分线相交于点P，若 36 B = ， 16 D = ，求 P 的度数． 5 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)在图3 中， BCE 的平分线和 FAD 的平分线所在直线相交于点P，猜想 P 与 B 、 D 的关系，并说 明理由． (3)在图4 中， BCE 的平分线和 FAD 的平分线相交于点P，猜想 P 与 B 、 D 的关系，并说明理由． (4)在图5 中， BCE 的平分线和 BAD 的平分线相交于点P，用 B 、 D 来表示出 P ，直接写出结论， 无需说明理由． 题型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型 典例3．（24-25 七年级下·上海青浦·期中）如图1 所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们把这 样的图形叫做“规形图”． (1)观察“规形图”，试探究 BDC 与 A B C 、 、 之间的关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决问题： ①如图2，小叶把一块三角尺XYZ 放置在ABC 上，使三角尺的两条直角边XY XZ 、 恰好经过点B、C，若 36 A = ，直接写出 ABX ACX ＋ 的结果； ②如图3，DC 平分 ADB ，EC 平分 AEB ，若 40 A = ∠ ， 130 DBE = ，求 DCE 的度数． 题型模版 1.特征：图形似燕尾（公共顶点引出三条射线），涉及多个三角形内角与公共角的和差关系。 2.方法：利用三角形内角和定理及公共角相等，逐层建立角与角的代数关系，通过等式叠加或相减消元求解。 变式3-1．（25-26 七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图， ABE 、 ACE 的角平分线BF CF 、 交于点F ， 已知 130 , 30 BEC BAC = = ，则 BFC = ___________ 6 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式3-2．（25-26 七年级下·河南洛阳·期末）【模型认识】如图1，该图形长得像一个飞镖，故曰“飞镖”模型． 【初步探索】 (1)如图1，已知1 40 = ， 2 25 = ， 3 33 = ，求 4 的度数． 【归纳结论】 (2) 1 、 2 、 3 和 4 的数量关系是________． 【深入探究】 (3)如图2 ，若 5 46 = ， 6 96 = ， 1 2 = 且 3 4 = ，直接写出 7 的度数． 变式3-3．（24-25 七年级下·山西长治·期末）综合与探究． 问题背景：已知如图1，凹四边形ABDC ． 初探： (1)试探究 BDC 与 A ， B ， C 之间的数量关系，并说明理由； 应用 (2)请你直接利用以上结论，解决下面问题． 如图2，把一块三角尺EFG 放置在ABC 上，使三角尺的两条直角边EG ，FG 恰好经过点B ，C ，若 38 A = ， 则 ABG ACG + =______； 拓展 (3)如图3，DC 平分 ADB ，EC 平分 AEB ，若 70 DAE = ， 120 DBE = ，求 DCE 的度数． 7 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（2026 年北京市门头沟区部分学校中考二模九年级数学试卷）如图，AB 和CD交于点O，AC AB ⊥ 于点 A，连接BD．若 40 B = ， 75 D = ，则 C 的度数是（ ） A．25 B．30 C．35 D．40 2．（25-26 七年级上·山东烟台·期中）如图， B C + 与1 2 +的数量关系正确的是 （ ） A． 1 2 B C + + B． 1 2 B C + + C． 1 2 B C + = + D． 1 2 360 B C +++= 3． （2026·广东深圳·二模）如图，从家用双面人字梯抽象出的四边形ABCD中， 35 ADC DAB DCB = = = ， 则 ABC 的大小为（ ） A．70 B．90 C．105 D．140 二、填空题 4． （25-26 八年级上·全国·期末）如图，把ABC 沿DE 折叠，当点A落在四边形BCED 内部时，则 A 与1 ， 2 之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律：_____． 8 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 5．（25-26 八年级上·河北保定·期末）某无人机机翼的框架结构示意图中的部分数据如图所示，小明说：“这 四个数据中有一个标错了．”经测量 , , A B BCD 所标数据正确，则图中 D 所标数据应改为___________ 度． 6．（25-26 八年级上·浙江绍兴·期末）如图，数学活动课上，小李同学分别延长ABC 和DEF 的边，边AC 、 DF 的延长线交于点H ，边BC 、EF 的延长线交于点G ，测得 126 G = ， 84 H = ，则 A B D E +++ 的值为______． 三、解答题 7．（25-26 七年级下·全国·课后作业）如图，ABC 是一张纸片，把 C 沿DE 折叠，使点C 落在点C的位 置． (1)当 45 C = 时，求1 2 +的度数． (2)若 C = ，请直接写出1 2 +的度数．（用含的代数式表示） 9 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 8．（24-25 七年级下·甘肃天水·期末）【模型建立】（1）如图①，凹四边形ABOC ．因为酷似燕尾，所以称 之为“燕尾型”求证： BOC A B C = ++ ； 【模型应用】 （2）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示， 38 A = ， 12 D = ， 64 ABC = ， 46 BCD = ， 求椅面和椅背的夹角 AED ∠ 的度数； 【模型迁移】（3）如图③， 100 ABC = ， 130 DEF = ，求 A C D F + + +的度数． 9．（25-26 八年级上·河北保定·期中）【问题背景】 研究了三角形内角和定理及其推论后，我们可以把飞镖抽象成图1 的形状，我们把这个图形 形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系． 【解决问题】 （1）如图1，探究 ( ) 180 ABC ABC 与 A ， D ， C 三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是 ABC A D C = + + ，他的证明过程如下： 证明：连接DB，并延长到点P． …… 请你将小明的证明过程补充完整． 【类比探究】 （2）如图2， 90 A C E ++= ， 150 B D + = ，求 AFE 的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，AM EN ∥ ， 150 B D + = ， 50 C E + = ，则 MAB 的度数为______． 10．（25-26 七年级下·江苏苏州·期中）如图1，已知线段AB 、CD相交于点O，连接AC 、BD，则我们把 形如这样的图形称为“8 字型”． 10 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)由图1 可知： A + ______ B D = +； (2)如图2，若 CAB 和 BDC 的平分线AP 和DP相交于点P，与CD、AB 分别相交于点M、N． ①以线段AC 为边的“8 字型”有______个，以点O为交点的“8 字型”有______个； ②若 100 B = ， 120 C = ，求 P 的度数； ③若角平分线中角的关系改为“ CAB n CAP = ，CDB n CDP = ”，试探究 P 与 B 、C 之间存在的数 量关系（用含n 的等式来表示），并证明理由． (3)如图3，在四边形ABCD中，AD BC ，AB CD ，若点E 是AB 延长线上的一点，DE 交CB 于点F，分 别作 FDC 、 ABC 的角平分线，两条角平分线交于点G，直线GB 交CD于点M，若 110 DFC = ，则 DGB =______． 11．（25-26 八年级上·辽宁丹东·期末）【数学模型】 “8 字型”是初中数学“图形与几何”中的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．如图1， , AD BC 交于O点，根据“三角形内角和是180”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：① DOC AOB = （对 顶角相等）；② D C A B + = +． 【提出问题】分别作出 BAD 和 BCD 的平分线，两条角平分线交于点E ，如图2， E 与 D ， B 之间 是否存在某种数量关系呢？ 【解决问题】为了解决上面的问题，我们从特例开始探究．已知 BAD 的平分线与 BCD 的平分线交于点E ． (1)如图2， 30 D = ， 50 B = ∠ ，则 E 的度数是多少呢？ 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 易证 1 3 D E +=+， 4 2 B E + = + 请你完成后续的推理过程： 1 4 D B + + + =______ CE ，AE 分别是 BCD ， BAD 的平分线 1 2 =， 3= 4 2 E = ______ 又 30 D = ， 50 B = ∠ E =______度． (2)在总结前面问题的基础上，借助图2，直接写出 E 与 D ， B 之间的数量关系是： ______． 【类比应用】 (3)如图3， BAD 的平分线AE 与 BCD 的平分线CE 交于点E ． 已知： D = ， B = ，( ) 则 E =______．（用、表示） 12．（25-26 八年级上·全国·单元复习）阅读材料，回答下列问题： 【材料提出】 “八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成． 【探索研究】 探索一：如图1，在八字型中，探索 A 、 B 、 C 、 D 之间的数量关系为 ___________； 探索二：如图2，若 36 B = ， 14 D = ，求 P 的度数为 ___________； 探索三：如图3，CP 、AG 分别平分 BCE 、 FAD ，AG 反向延长线交CP 于点P ，则 P 、B 、D 之 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 间的数量关系为 ___________． 【模型应用】 应用一：如图4，延长BM 、CN ，交于点A，在四边形MNCB 中，设 M = ， N = ， 180 + ，四 边形的内角 MBC 与外角 NCD 的角平分线BP，CP 相交于点P ，则 A =___________（用含有和的 代数式表示）， P =___________．（用含有和的代数式表示） 应用二：如图5，在四边形MNCB 中，设 M = ，N = ， 180 + ，四边形的内角 MBC 与外角 NCD 的角平分线所在的直线相交于点P ， P =___________．（用含有和的代数式表示） 【拓展延伸】 拓展一：如图6，若设 C x = ， B y = ， 1 3 CAP CAB = ， 1 3 CDP CDB = ，试问 P 与 C 、 B 之间 的数量关系为 ___________．（用x 、y 表示 ) P 拓展二：如图7，AP 平分 BAD ，CP 平分 BCD 的邻补角 BCE ，猜想 P 与 B 、 D 的关系，直接写 出结论 ___________．
