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1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题01 经典必考圆模型 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 模型一、垂径定理模型 模型二、圆周角倒角模型 模型三、圆内接四边形模型 模型四、相交弦定理模型（圆内两弦相交 模型五、三角形外接圆模型（外心） 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 看到圆相关模型题第一步先找圆的基本要素：确定圆心与半径，若涉及动点要先判断动点轨迹是否为 圆（满足到定点距离等于定长、对角互补的四边形顶点共圆、定线段对定角这三类特征的动点轨迹都是圆）； 接着找位置关系与数量关系：直线和圆关注圆心到直线的距离d 和半径r 的大小关系，圆和圆关注圆心距和 两半径和差的大小关系，涉及弦长用垂径定理结合勾股定理计算，涉及切线必连圆心和切点得垂直关系， 涉及直径立刻想到直径所对的圆周角是直角；最后结合所求转化问题计算：把最值、范围、距离等问题转 化为圆上点到定点/定直线的距离问题，利用圆心到定点/定直线的距离加减半径得结果，涉及交点个数直接 根据位置关系的判定规则判断，涉及角度计算利用圆周角定理和圆心角定理转化推导即可。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 模型一、垂径定理模型 典例1 如图， 是 的弦，半径 于点D．若 ， ．则 的长是（ ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】D 目 录 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【分析】通过垂直弦这一条件想到垂径定理得到 ，再利用勾股定理构造方程求解即可． 【详解】解： 连接 ， ∵ ，且 ， ∴ ， 设圆的半径为R， ∵ ， 则在 中，有 即 ， 解得 ，即 ， 故选项D 符合题意． 模型模版 1.特征：有圆的直径（半径）垂直于一条弦，出现垂直、平分弦、平分弧条件。 2.方法：过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，用勾股定理计算半径、弦长、弦心距。 变式1-1 如下图所示， 为 上两点，且 ，弦 于D 点，则弦 的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂径定理得出 ，由 ，知 是等边三角形， ，从而得出 ，再由勾股定理计算得出 即可． 3 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【详解】解： ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 在 中，根据勾股定理得 ， ， ． 变式1-2 如图， 是 的直径，弦 于点E， ， ，则 的半径 _______． 【答案】 【分析】设半径为r，则 ，得到 ，由垂径定理得到 ，再根据勾股定理，即可求 出答案． 【详解】解：由题意，设半径为r， 则 ， ∵ ， ∴ ， ∵ 是 的直径，弦 于点E， ∴点E 是 的中点， ∵ ， ∴ ， 在 中，由勾股定理得 ， 4 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 即 ， 解得： ． 变式1-3 如图是一个管道的横截面，圆心O 到水面 的距离 是3，水面宽 ．求这个管道横截面 的半径． 【答案】 【分析】根据垂径定理，可知 是等腰直角三角形，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接 ， ， ． ， 是等腰直角三角形， 在 中， ． 这个管道横截面的半径为 ． 模型二、圆周角倒角模型 典例2 如图， 是 的直径， ， 是 上的两点，连接 ， ， ，若 ，则 的度数是（ ） 5 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接 ，利用圆周角定理得出 ，根据直径所对圆周角为直角得出 ，利 用直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：如图，连接 ， ∵ 与 都是 所对的圆周角， ∴ ， ∵ 是 的直径， ∴ ， ∴ ． 题型模版 1.特征：同圆中多条弦、多个圆周角，存在共弧或等弧，角度需要转化推导. 2.方法：利用同弧 / 等弧圆周角相等，直径得直角，进行角度等量代换完成倒角。 变式2-1 如图， 是 的直径，点 、 在圆周上， ，则 的度数为（ ） 6 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直径所对的圆周角是直角可得 ，在 中利用内角和求出 ，再根据同弧所对 的圆周角相等得出 【详解】解： 是 的直径 与 所对的弧相同 ． 变式2-2 如图，在 中， ， ，则 ______． 【答案】 【分析】先由弧、弦、圆心角的关系得 ，所以 ，再通过三角形内角和定理可 得 ，最后由圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ．． 变式2-3 如图， 为 的直径， ， 为 上两点， ，则 的度数为_________． 7 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 【分析】由圆周角定理得到 ，再根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ 为 的直径， ∴ ， ∴ ． 模型三、圆内接四边形模型 典例3 如图，在 中， 所对的圆心角为 ，点 在 上．若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接 并延长交 于点E，连接 ，首先利用等边对等角得到 ，然 后利用三角形内角和定理求出 ，然后结合圆周角定理和圆内接四边 形对角互补求解即可． 【详解】解：如图，连接 并延长交 于点E，连接 ∵ ∴ ∴ 8 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ∴ ∴ ． 题型模版 1.特征：四边形四个顶点全部落在圆上，出现对角或外角相关角度条件。 2.方法：运用对角互补、外角等于内对角，实现角度之间的转换计算。 变式3-1 如图，点A、B、C、D 在 上，若 ，则 的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆内接四边形的性质可得 ，再根据圆周角定理可得 ，再结合题 目已知进行列方程组求解即可． 【详解】解：在四边形 中， ， ∵ ， ∴ ， 由图可得， ，且 ， ∴ ， 解得 ． 变式3-2 如图， 为 的一条弦，且 ，C 为劣弧 上一点，连接 ，则 的度数为_____． 9 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 /120 度 【分析】在优弧 上构造圆周角，利用同弧所对圆周角等于圆心角的一半求出该角，再利用圆内接四边形 对角互补求出 ． 【详解】解：在优弧 上任取一点 ，连接 ， ． ， ． 四边形 内接于 ， ， ． 变式3-3 如图， 是 的内接三角形，延长 至点D， 平分 交 于点E，连接 ， ．求 证： ． 【答案】 证明： 平分 ， ， ∵ ， ， 10 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 四边形 为 的内接四边形， ， ， ， ， ． 【分析】首先根据同弧所对的圆周角相等可得 ，根据圆内接四边形的对角互补可得 ，根据邻补角定义可得 ，根据同角的补角相等可得 ，等量代换可证 ，根据等角对等边可证 ． 【详解】略 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、同弧所对的圆周角相等、等角对等边、角平分线的定义．解决 本题的关键是根据图形的性质得到角之间的关系，利用角之间的关系得到边之间的关系． 模型四、相交弦定理模型（圆内两弦相交） 典例4 如图，圆中两条弦AC，BD 相交于点P．点D 是 的中点，连结AB，BC，CD，若BP＝ ，AP＝1， PC＝3．则线段CD 的长为（ ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】连接OD 交AC 于H，如图，先利用垂径定理得到OD⊥AC，AH＝CH＝2，则PH＝1，再根据相交弦 定理计算出PD＝ ，然后利用勾股定理先计算出DH，在计算CD 即可得到答案． 【详解】解：连接OD 交AC 于H，如图， 11 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵点D 是 的中点， ∴OD⊥AC，AH＝CH＝2（垂径定理）， ∴PH＝1， ∵AP•PC＝BP•PD， ∴PD＝ ＝ ， 在Rt△PDH 中，DH＝ （勾股定理）， 在Rt△DCH 中，CD＝ （勾股定理）， 故选：A． 【点睛】本题考查了相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．也考查了垂径 定理和勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 题型模版 1.特征：圆内两条弦相交于圆内一点，产生线段乘积类条件或待求。 2.方法：利用相交弦的线段乘积相等，转化线段进行计算。 变式4-1 如图，圆 的两条弦 相交于点 和 的延长线交于点 ，下列结论中成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相交弦定理和割线定理即可求解. 【详解】解： 12 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 由相交弦定理知 ，由割线定理知 , 所以D 正确， 故选D . 【点睛】本题考查了相交弦定理和割线定理，熟记定理是解题关键. 变式4-2 已知： 的两条弦 相交于点M． (1)如图1，若 ，连接 ．求证： ． (2)如图2，若 ，在弧BD 上取一点E，使 ， 交 于点F，连 ．若 ， 求 的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接 ，通过证明 即可进行证明； （2）连接 ，根据同弧所对的圆周角相等，可得 ，再求出 的度数，最后根据同圆中， 等弧所对的圆周角相等，即可求解． 【详解】（1）证明：连接 ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， 都为弦 所对的圆周角， ∴ ， 在 和 中， 13 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ， ∴ ， ∴ ． （2）连接 ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 【点睛】本题主要考查了圆和三角形的综合，解题的关键是掌握三角形全等的判定和性质，同圆或等圆中 相等的弧所对的圆周角相等． 变式4-3⊙O 的两条弦AB，CD 交于点P，已知AP＝4，BP＝6，CP＝3，求CD 的长． 【答案】 的长是 ． 14 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【分析】根据已知条件及相交弦定理求得PD 的长，即可求得CD 的长. 【详解】∵圆 的弦 ， 相交于 ， ∴ ， ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ． 即： 的长是 ． 【点睛】本题主要考查的是相交弦定理的应用，根据相交弦定理求出PD 的长是解题的关键． 题型五、三角形外接圆模型（外心） 典例5 如图， ， O 是 的外接圆圆心，连接 并延长，交 于点 ，则 的 度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质得出 ，根据圆周角定理得出 ，根据 得出 ，即可求出 ，利用三角形外角的性质即可得答案． 【详解】解：如图，连接 ， ∵ ， ， ∴ ， 15 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵ 是 的外接圆圆心， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 题型模版 1.特征：三角形三个顶点都在圆上，圆心为三边垂直平分线交点。 2.方法：利用外心到三顶点距离相等，结合直角三角形性质求外接圆半径。 变式5-1 如图， 是 的外接圆， ，则 的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质，根据等腰三角形的性质可知 ，根据三角形内角和定理可知 ，根据圆周角定理即可求出 的度数． 【详解】解： 是 的外接圆， ， ， ， 是 所对的圆周角， 是 所对的圆心角， ． 故选：C． 变式5-2 如图，O 是 的外心，则 ________． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 /90 度 【分析】根据圆的外心定义和等腰三角形的性质得到 ， ， ，再根据三角 形的内角和定理和周角定义求解即可． 【详解】解：由题意， ， ∴ ， ， ， ∴ ， ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，则 ． 变式5-3 如图， 内接于 ， ．连接 并延长，交 于点 ． (1)求证： 垂直平分 ； (2)若 的半径为5， ，求 的长． 【答案】(1) 证明：如图1，连接 、 ， ∵ 内接于 ， ∴ ， 17 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵ ， ∴ ， ∵到线段两端点距离相等的点在垂直平分线上， ∴ 垂直平分 ； (2) 【分析】本题考查了外心，垂径定理，勾股定理，垂直平分线的判定与性质等知识．对知识的熟练掌握与 灵活运用是解题的关键． （1）如图，连接 、 ，由 内接于 ，可知 ，再证明 ，进而可知 垂 直平分 ； （2）由（1）知， ， ，由垂径定理可得， ，由勾股定理得， ， 则 ，然后根据 求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：由（1）知， ， ， 由垂径定理可得， ， 由勾股定理得， ， ∴ ， 由勾股定理得， ， ∴ 的长为 ． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图， 为 直径，弦 于E， ，则 长为（ ） 18 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理及勾股定理，根据垂径定理求出 的长，再在 中利用勾股定理求出 的长即可． 【详解】解： 为 直径， ， ， ， 在 中， ． 2．如图，点 ， ， ， 在 上，四边形 是菱形，则 的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接 ，利用菱形性质得到 ，结合半径相等推导出 、 为等边三角形，求出 圆心角 ，再依据圆周角定理求出 ． 【详解】解：连接 ， ∵四边形 是菱形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 是等边三角形， ∴ ， 同理可得 ， 19 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ∴ ． 3．如图，在 中， ， ， 为 上的任意一点， ，， ， 是 上的四个点， 则 的角度为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质求出 的度数，根据圆内接四边形的性质计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵四边形 是圆内接四边形， ∴ ， ∴ ． 4．如图， 是 的两条弦，且 ， 于点E，连接 ．若 的半径为5，则弦 的长为（ ） A．5 B． C． D．10 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，连接 ，可证明 ， ， 再由 ，可得 ，则 ，据此由勾股定理可得答案． 【详解】解：如图所示，连接 ， 20 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵ ， ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故选：B ． 5．如图， 是 的外接圆，外角 的度数为 ，则 的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了邻补角的性质，圆内接四边形的性质及圆周角定理． 在优弧 上取一点D，连接 ， ，先分析外角与内角的邻补角关系，再构造圆内接四边形，利用对 角互补性质推导出 与 的关系，最后利用圆周角定理即可求得 的度数． 【详解】解：如图，在优弧 上取一点D，连接 ， ， 21 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， 故选：C． 6．如图，在 中， 为直径，弦 于点H，若 ，则 的半径长为______． 【答案】 / / 【分析】连接 ，设圆的半径为，根据垂径定理可得 ，在 中由勾股定理建立方程求解 即可． 【详解】解：如图，连接 ， 设圆的半径为， ∵ ， ∴ ， 在 中， ， ， ∴ 解得 ， ∴ 半径为 ． 22 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 7．如图 ， ， 都是 的半径， ， 平分 ，则 ________°． 【答案】 【分析】设 ，先利用圆周角定理求出 ，根据 ，求出 ，再利用等边 对等角以及角平分线的定义列方程求解即可． 【详解】解：设 ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， 解得 ， ∴ ． 8．如图， 是 的直径，点B，C 在 上，若 ，则 的度数为____________． 【答案】 【分析】根据题意可得 ，则可求出 的度数，再根据圆内接四边形对角互补可得答案． 【详解】解：∵ 是 的直径， ∴ ， ∴ ， ∵四边形 是圆内接四边形， ∴ ， 23 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ． 9．如图， 的两条弦 和 相交于点 ，若弧 、弧 的度数分别为 、 ，则 的度数 为______． 【答案】 /50 度 【分析】本题考查的是圆周角定理、三角形的外角的性质，掌握圆周角定理和三角形的外角的性质定理是 解题的关键．连接 ，根据圆周角定理得 ，再根据三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：连接 ， 的度数， ． 故答案为： ． 10．如图，已知 是 的外接圆， 是 的直径，若 ，则 的度数是_________ ． 【答案】20 【分析】连接 ，由直径所对的圆周角是直角和同弧所对的圆周角相等可得 的度数，据此可 24 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 求出 的度数． 【详解】解：如图所示，连接 ， ∵ 是 的直径， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 11．《九章算术》是中国古代数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问 题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的语言表述 如下：如图， 是 的直径，弦 于点E， 寸， 寸，求直径 的长． 【答案】 寸 【分析】如图，连接 ，设 寸．利用勾股定理构建方程求解． 【详解】解：连接 ，设 寸． ， 是直径， 寸． 在 中，则有 ， 25 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 解得 寸． 12．如图， ，， ， 是 上的四个点， 为 的直径，且 ，连接 ， ， ， ， 过点 作 ，垂足为 ． (1)求 的度数； (2)若 ，求 的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得 ，根据等角对等边及三角形内角和得 ，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得答案； （2）如图，过点 作 于点 ，根据等角对等边推出 ，证明 得 ，然后根据勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：∵ 为 的直径， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵在 中， 所对的圆周角为 、 ， ∴ ； （2）解：如图，过点 作 于点 ， 26 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵ ， ∴ ， 由（1）知： ， ， ∴ ， ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 在 中， ， 即 的长为 ． 13．已知：如图， 是圆内接四边形 的一个外角，并且 ．求证： 平分 ． 【答案】证明：∵ ， ∴ ． ∵ ， ． 又 ， ， 即 平分 ． 【详解】略 14．如图1，圆O 的两条弦 交于点E，两条弦所成的锐角或者直角记为 ． 27 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)点点同学通过画图和测量得到以下近似数据： 的度数 的度数 的度数 猜想： 、 、 的度数之间的等量关系，并说明理由． (2)如图2，若 ，将 以圆心为中心顺时针旋转，直至点A 与点D 重合，同时B 落 在圆O 上的G 点，连接 ． ①求 的度数； ②求 ． 【答案】(1) 的度数 （ 的度数 的度数），理由见解析． (2)① ；② 【分析】(1)连接BC，如图1，先利用三角形外角性质得到 ，再利用圆周角与它所对弧的度数 之间的关系得到 的度数， 的度数，所以 的度数= （ 的度数+ 的度数） (2) ①连接OG、OC、AG，作 于H， 于F，如图2， 利用旋转的性质得 ， ，结合（1）的结论即可推出 的度数； ②由 的度数推出 ，利用含30 度角的直角三角形中三边的关系即可算得 的长． 【详解】（1）解： 的度数 （ 的度数 的度数），理由如下： 连接BC，如图1， 28 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ，而 的度数， 的度数 的度数 （ 的度数 的度数） （2）解：①连接OG、OC、AG，作 于H， 于F，如图2， 将AB 以圆心为中心顺时针旋转，直至点A 与点D 重合，同时B 落在圆 O 上的点G， ， 由（1）得 的度数 的度数 ， 的度数 的度数 ， ， 而 ． ② ， ， 在 中， ， ， ， 在 中， ． 29 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【点睛】本题考查了圆的综合题，熟练掌握圆心角、弧、弦之间的关系、圆周角定理、垂径定理和旋转的 性质；合理构建直角三角形，利用含30 度的直角三角形三边的关系计算线段的长是解决问题的关键． 15．如图，已知 中 设 的外接圆为 ， 的平分线 交 于点D， 点E 在 的延长线上且 ，连接 ， ． (1)尺规作图：作 的外接圆为 的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证： ． 【答案】(1) 作图如下，则点O 即为所求． (2) 证明：连接 ， 则 ； ， ∵ 的平分线 交 于点D， ∴ ， ∴ ； ∴ ； ∵四边形 内接于 ， ∴ ； 30 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵ ∴ ， ∴ ． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的基本作图，圆周角定理，圆的性质，等腰三角形的判定和性质，圆 的内接四边形性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握作图，圆的性质是解题的关键． （1）作线段 的垂直平分线，交点即为所求； （2）连接 ，证明 即可证明 ． 【详解】（1）略 （2）略
