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专题02 平方根与立方根
常考题型·精准突破
题型1 求一个数的算术平方根、平方根、立方根（重）
题型2 利用算术平方根的非负性解题（高频）
题型3 求算术平方根的整数部分和小数部分（高频）
题型4 平方根与立方根的综合问题（高频）
题型5 与算术平方根有关的规律探索题（难）
题型6 与立方根有关的规律探索题（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 求一个数的算术平方根、平方根、立方根
1． 8
5
0.5
−
3
±
2． 2 3
3
−
3． 3 6
3
±
◆题型2 利用算术平方根的非负性解题
4．1
5．8
6．8
◆题型3 求算术平方根的整数部分和小数部分
7．2
8．6
9． 5 4
◆题型4 平方根与立方根的综合问题
10．
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【答案】（1）解：
4
3
a+
的立方根是3，3a
b
+ 的算术平方根是5，
3
4
3
3
27
a
+
=
=
，
2
3
5
25
a
b
+
=
=
，
6
a
=
，
7
b =
；
（2）解：
6
a =
，
7
b =
，
3
18 7
11
a
b
−
=
−
=
，
3a
b
−的平方根为
11
．
11．
【答案】（1）解：根据题意可知，
2
3
2
1
3
9
1
2
8
a
b
−=
=
−=
=
，
，
5
9
a
b
=
=
，
；
（2）解：
5
9
a
b
=
=
，
，
4
5
4 5 9 5 16
a b
−+ = −+ =
，
4
5
a b
−+ 的平方根为4
．
12．
【答案】（1）解：∵3
5
x−的算术平方根是2 ，5
7
x
y
−
的立方根是4，
∴
2
3
3
5
2
5
7
4
x
x
y
−
=
−
=
，
解得：
3
7
x
y
=
= −
；
（2）解：
(
)
2
12
2 3
7
12
25
x
y
−
+
=
−−
+
=
，
则2
12
x
y
−
+
的平方根为5
．
◆题型5 与算术平方根有关的规律探索题
13．
【答案】（1）解：
19
9
1 100
10
−
=
；
（2）解：第1 个等式：
2
3
2 2 1
1
1
1
4
2
2
−
−
=
−
=
；
第2 个等式：
2
5
2 3 1
2
1
1
9
3
3
−
−
=
−
=
；
第3 个等式：
2
7
2 4 1
3
1
1
16
4
4
−
−
=
−
=
；
第4 个等式：
2
9
2 5 1
4
1
1
25
5
5
−
−
=
−
=
；
……，
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第n 个等式：
(
)
(
)
2
2
1
1
1
1
1
n
n
n
n
+
−
−
=
+
+
；
（3）解：
3
5
7
9
29
1
1
1
1
1
4
9
16
25
225
−
−
−
−
−
1
2
3
4
14
2
3
4
5
15
=
1
15
=
；
（4）解：∵
2
4049
1
x
n
−
=
，
∴
2
2
4049
2
1
1
1
1
n
n
n
n
n
−
−
−
=
−
=
，
即2
1
4049
n−=
，
解得
2025
n =
，
∴
2025 1
2024
2025
2025
x
−
=
=
．
14．
【答案】（1）解：①
19
9
1 100
10
−
=
；
②第1 个式子为：
2
3
1
1
1
4
2
2 1 1
2
+
−
=
−
=
，
第2 个式子为：
2
5
2 2 1
2
1
1
9
3
3
+
−
=
−
=
，
第3 个式子为：
2
7
3
1
1
16
4
2 3 1
4
+
−
=
−
=
，
第4 个式子为：
2
9
4
1
1
25
5
2 4 1
5
+
−
=
−
=
，
…
∴第n 个式子是
(
)
2
2
1
1
1
1
n
n
n
n
+
−
=
+
+
；
（2）解：
3
5
7
89
1
1
1
1
4
9
16
2025
−
−
−
−
1
2
3
4
43
44
2
3
4
5
44
45
=
1
45
=
．
15．
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【答案】（1）解：
5
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
5
6
5
6
30
S =
+
+
= +
−
=
，
（2）解：
1
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
1
2
S =
+
+
= +
−
=
；
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
6
2
3
S =
+
+
= +
−
=
；
3
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
3
4
12
3
4
S =
+
+
= +
−
=
；
4
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
4
5
20
4
5
S =
+
+
= +
−
=
．
……
(
)
(
)
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
m
S
m
m
m
m m
m
=
+
+
= +
−
= +
+
+
+
；
（3）解：
65
1
64
81
+
1
1
1
64
81
=
+
+
2
2
1
1
1
8
9
=
+
+
1
1
8 9
= +
1
172
=
．
（4）解：
1
2
3
2026
S
S
S
S
+
+
+
+
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
3
3
4
2026
2027
= + −
+ +
−
+ +
−
+
+ +
−
= 1 + 1 + ⋯+ 1
⏟
2026 个
+ 1 −
1
2027 + (−1
2 + 1
2) + (−1
3 + 1
3) + ⋯+ (−
1
2026 +
1
2026)
2026
2026 2027
=
．
◆题型6 与立方根有关的规律探索题
16．
【答案】（1）解：由题意得，若
2.5
a =
，那么100
25
a =
；
若3
1.2
b = −
，那么3 1000000
120
b = −
；
（2）解：①∵3
8
4
x
y
+
−
=
，
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∴
3
8
4
64
x
y
+
−
=
=
，
∴
72
x
y
+
=
，
∴(
)
2
144
x
y
+
=
，
∴该长方形的周长C 为144；
②由（2）①得
14400
C=
，
∵
144
12
C =
=
，
∴
14400
120
C =
=
．
17．
【答案】（1）解：
0.01
0.1
x =
=
；
100
10
y =
=
．
（2）解：①根据表格观察发现，被开方数左/右移动两位，算术平方根左/右移动一位．
被开方数从10到1000，小数点向右移动两位，算术平方根向右移动一位．
10
3.16
，
1000
31.6
≈
．
②算术平方根左/右移动一位，被开方数左/右移动两位．
算术平方根从1.8变成180．小数点向右移动两位，被开方数小数点向右移动四位．
3.24
1.8
=
，
32400
a
=
．
（3）解：被开方数左/右移动三位，立方根左/右移动一位．
3 2.14
1.289
，
∵被开方数从2.14 变为2140，小数点向右移动三位，
立方根小数点向右移动一位，
∴3 2140
12.89
．
18．
【答案】（1）解：
3
10
1000
=
，
3
100
1000000
=
，1000
3375 1000000
，
3 3375
是两位数，
35
125
=
，
3 3375
的个位数字应是5，
将3375的小数点向前移动3后约为3，
31
1
=
，
3
2
8
=
，
3 3375
的十位数字应为1，
3 3375
15
=
，
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依据“负数的立方根是负数”得到：3
3375
15
−
= −
；
（2）解：
3
3
5
4
10
x
x
−
= −
+
，
(
)
5
4
10
x
x
−
= −
+
，
解得：
5
x = ；
（3）解：
3
2
2
x
x
−
+
=
，
3
2
2
x
x
−
=
−
，
(
)
3
2
2
x
x
−
=
−，
2
0
x
−
=
或1或1
−，
2
x
=
或3或1，
当
1
x = 时，可得：
3
3 1 2
1
1
x
−
=
−= −，
3 3
1
y −
与3 1 2x
−
互为相反数，
3 3
1
1
y
−
= ，
解得：
2
3
y =
，
即
1
2
3
x
y
=
=
；
当
2
x =
时，可得：3
3
3
1 2
3
3
x
−
=
−= −
，
3 3
1
y −
与3 1 2x
−
互为相反数，
3
3 3
1
3
y
−=
，
即3
1
3
y −=
，
解得：
4
3
y =
，
即
2
4
3
x
y
=
=
；
当
3
x = 时，可得：3
3
3
1 2
5
5
x
−
=
−= −
，
3 3
1
y −
与3 1 2x
−
互为相反数，
3
3 3
1
5
y
−=
，
即3
1
5
y −=
，
解得：
2
y =
．
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综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．A
2．C
3．D
4．A
5．C
二、填空题
6．2
7． 4
5 /0.8
1
3
−
8．1
9．121
10．0.508
三、解答题
11．
【答案】（1）解：∵
2
a+
的立方根是2 ，
∴
3
2
2
8
a +
=
=
，
解得：
6
a =
，
∵3
1
a
b
+
−的算术平方根是4，
∴
2
18
1
4
16
b
+
−=
=
，
解得：
1
b = −，
∴
6
a =
，
1
b = −；
（2）解：
(
)
3
6
3 6
1
6
25
a
b
−
+
= −−
+
=
，
∴3
6
a
b
−+ 的平方根是5
．
12．
【答案】(1)
解：依题意，3
3
64
64
4
( 4)
0
+
−
=
+ −
= （答案不唯一）
（2）解：由等式①②③④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数a，b，
若
0
a
b
+
=
，则3
3
0
a
b
+
=
反之也成立；
故答案为：a
b
+
，
（3）解：∵3 6
2x
−
与3
1
x + 的值互为相反数，
∴(6
2 )
(
1)
0
x
x
−
+
+
= ，
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解得
7
x =
，
∴x 的立方根是3 7 ．
13．
【答案】（1）解：根据规律可知9 25
9
25
15
=
=
；100 121
100
121
110
=
=
；
（2）解：根据下列各式的计算结果：
①
4 9
6
=
，
4
9
6
=
；
②16 25
20
=
，16
25
20
=
；
③36 49
42
=
，36
49
42
=
；
发现，当
0
a
，
0
b
时，
·
ab
a
b
=
；
（3）解：8
4 2
4
2
2 2
=
=
=
；18
9 2
9
2
3 2
=
=
=
．
14．
【答案】（1）解：由上表发现的结论：被开方数的小数点向左或向右每移动2 位，它的算术平方根的小数
点就相应的向左或向右移动1 位；
故答案为：2，算术平方根，1
（2）解：①∵5.217
2.284
521.7
22.84
，
．
∴0.05217
0.2284
，
52170
228.4
−
−
；
故答案为：0.2284 ；228.4
−
②∵
0.02284
x
，
∴
0.0005217
x
；
故答案为：0.0005217
（3）解：被开方数的小数点向左或向右每移动3 位，它的立方根的小数点就相应的向左或向右移动1 位；
故答案为：3；1
①∵3 0.000456
0.07697
，
∴
3 456
7.697
−
−
；
故答案为：7.697
−
②∵3
3
3
1.442
30
3.107
，
，
∴3 3000
14.42
．
故答案为：14.42
15．
【答案】（1）解：根据题意，
2
2
1
1
1
1
183
1
1
13
14
13
14
182
+
+
= +
−
=
；
（2）解：
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
3
3
4
99
100
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
9 / 9
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1
1
1
1
1
1
1
1 1
1
1
1
2
2
3
3
4
99
100
=
+ −
+
+
−
+
+
−
+
+
+
−
1
1
1
1
1
1
1
1 1 99
2
2
3
3
4
99
100
= +
+ −
+
−
+
−
+
+
−
1
100
100
=
−
99
99100
=
．
