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《第2章 实数》
一、选择题
1．25的平方根是（ ）
A．5B．﹣5 C．± D．±5
2．下列说法错误的是（ ）
A．无理数的相反数还是无理数B．无限小数都是无理数
C．整数、分数统称有理数 D．实数与数轴上的点一一对应
3．下列各组数中互为相反数的是（ ）
A．﹣2与 B．﹣2与 C．2与（﹣ ）2 D．|﹣ |与
4．在下列各数中无理数有（ ）
﹣0.333…， ， ，﹣π，3π，3.1415，2.010101…（相邻两个1之间有1个0），76.0123456…（小数部分由相
继的正整数组成）．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
5．下列说法错误的是（ ）
A．1的平方根是1 B．﹣1的立方根是﹣1
C． 是2的平方根 D． 是 的平方根
6．下列各式中已化为最简式的是（ ）
A． B． C． D．
7．下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．一个长方形的长与宽分别是6、3，它的对角线的长可能是（ ）
A．整数B．分数 C．有理数 D．无理数
第1页（共15页）9．要使二次根式 有意义，字母x必须满足的条件是（ ）
A．x≥1 B．x＞﹣1 C．x≥﹣1D．x＞1
10．（ ）2的平方根是x，64的立方根是y，则x+y的值为（ ）
A．3B．7C．3或7 D．1或7
11．若 与 都有意义，则a的值是（ ）
A．a＞0 B．a≤0 C．a=0 D．a≠0
12．当 的值为最小值时，a的取值为（ ）
A．﹣1 B．0C． D．1
二、填空题：
13．36的平方根是______； 的算术平方根是______．
14．8的立方根是______； =______．
15． 的相反数是______，绝对值等于 的数是______．
16．比较大小： ______2；若a＞2 ，则|2 ﹣a|=______．
17．一个正数n的两个平方根为m+1和m﹣3，则m=______，n=______．
18． 的立方根与﹣27的立方根的差是______；已知 + =0，则（a﹣b）2=______．
三、解答题
19．化简：
（1） + ﹣ ；
（2）
第2页（共15页）（3）3 ﹣ ﹣ ；
（4） +（1﹣ ）0；
（5）（ ﹣ ）（ + ）+2
（6）（ + ﹣ab）• （a≥0，b≥0）．
20．求x的值：
（1）2x2=8
（2）（2x﹣1）3=﹣8．
21．一个长方形的长与宽之比为5：3，它的对角线长为 cm，求这个长方形的长与宽（结果保留2个有效
数字）．
22．大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不能全部地写出来，于是
小平用 ﹣1来表示 的小数部分，你同意小平的表示方法吗？事实上小平的表示方法是有道理的，因为
的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
请解答：已知：5+ 的小数部分是a，5﹣ 的整数部分是b，求a+b的值．
第3页（共15页）《第 2 章 实数》
参考答案与试题解析
一、选择题
1．25的平方根是（ ）
A．5B．﹣5 C．± D．±5
【考点】平方根．
【分析】根据平方根的定义和性质即可得出答案．
【解答】解：∵（±5）2=25，
∴25的平方根是±5．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键．
2．下列说法错误的是（ ）
A．无理数的相反数还是无理数B．无限小数都是无理数
C．整数、分数统称有理数 D．实数与数轴上的点一一对应
【考点】实数与数轴；实数．
【分析】A、根据相反数和无理数的定义进行分析、判断；
B、根据无理数的定义解答；
C、由有理数的分类进行分析、判断；
D、由实数与数轴的关系进行分析．
【解答】解：A、无理数a与它的相反数﹣a只是符号不同，但都还是无理数，故本选项正确；
B、无限不循环小数叫做无理数；故本选项错误；
C、有理数包括整数和分数；故本选项正确；
D、实数与数轴上的点是一一对应关系；故本选项正确；
故选B．
【点评】本题考查了实数与数轴、实数的有关知识点．注意，无理数的定义是指“无限不循环小数”而不是
“无限小数”或者“小数”．
3．下列各组数中互为相反数的是（ ）
第4页（共15页）A．﹣2与 B．﹣2与 C．2与（﹣ ）2 D．|﹣ |与
【考点】实数的性质．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
【解答】解：A、只有符号不同的两个数互为相反数，故A正确；
B、是同一个数，故B错误；
C、是同一个数，故C错误；
D、是同一个数，故D错误；
故选：A．
【点评】本题考查了实数的性质，利用了只有符号不同的两个数互为相反数．
4．在下列各数中无理数有（ ）
﹣0.333…， ， ，﹣π，3π，3.1415，2.010101…（相邻两个1之间有1个0），76.0123456…（小数部分由相
继的正整数组成）．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【考点】无理数．
【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合所给数据进行
判断即可．
【解答】解： =2，
所给数据中，无理数有： ，﹣π，3π，76.0123456…，共4个．
故选B．
【点评】本题考查了无理数的定义，属于基础题，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式．
5．下列说法错误的是（ ）
A．1的平方根是1 B．﹣1的立方根是﹣1
C． 是2的平方根 D． 是 的平方根
【考点】平方根；立方根．
【专题】计算题．
【分析】利用平方根及立方根定义判断即可得到结果．
【解答】解：A、1的平方根为±1，错误；
第5页（共15页）B、﹣1的立方根是﹣1，正确；
C、 是2的平方根，正确；
D、﹣ 是 的平方根，正确；
故选A
【点评】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．
6．下列各式中已化为最简式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】最简二次根式．
【分析】先根据二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的定义判断即可．
【解答】解：A、 = ，不是最简二次根式；
B、 =2 ，不是最简二次根式；
C、是最简二次根式；
D、 =11，不是最简二次根式．
故选C．
【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
7．下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】算术平方根．
【分析】根据平方，算术平方根分别进行计算，即可解答．
第6页（共15页）【解答】解：A．因为 ，故本选项正确；
B．因为 =3，故本选项错误；
C．因为 ，故本选项错误；
D．因为 ，故本选项错误；
故选A．
【点评】本题考查算术平方根，解决本题的关键是注意平方的计算以及符号问题．
8．一个长方形的长与宽分别是6、3，它的对角线的长可能是（ ）
A．整数B．分数 C．有理数 D．无理数
【考点】勾股定理．
【专题】计算题．
【分析】长方形的长、宽和对角线，构成一个直角三角形，可用勾股定理，求得对角线的长，再进行选择即可．
【解答】解：∵ = =3 ，
∴对角线长是无理数．
故选D．
【点评】本题考查了长方形性质及勾股定理的应用，考查了利用勾股定理解直角三角形的能力以及实数的分
类．
9．要使二次根式 有意义，字母x必须满足的条件是（ ）
A．x≥1 B．x＞﹣1 C．x≥﹣1D．x＞1
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数作答．
【解答】解：根据二次根式的意义，被开方数x+1≥0，解得x≥﹣1．
故选：C．
【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
第7页（共15页）（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
10．（ ）2的平方根是x，64的立方根是y，则x+y的值为（ ）
A．3B．7C．3或7 D．1或7
【考点】立方根；平方根．
【分析】分别求出x、y的值，再代入求出即可．
【解答】解：∵（﹣ ）2=9，
∴（ ）2的平方根是±3，
即x=±3，
∵64的立方根是y，
∴y=4，
当x=3时，x+y=7，
当x=﹣3时，x+y=1．
故选D．
【点评】本题考查了平方根和立方根的应用，关键是求出x y的值．
11．若 与 都有意义，则a的值是（ ）
A．a＞0 B．a≤0 C．a=0 D．a≠0
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：若 与 都有意义，则 ，由此可求a
的值．
【解答】解：若 与 都有意义，
则 ，故a=0．故选C．
【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 （a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数
必须是非负数，否则二次根式无意义．
第8页（共15页）12．当 的值为最小值时，a的取值为（ ）
A．﹣1 B．0C． D．1
【考点】算术平方根．
【分析】由于 ≥0，由此得到4a+1=0取最小值，这样即可得出a的值．
【解答】解： 取最小值，
即4a+1=0．
得a= ，
故选C．
【点评】本题考查的是知识点有：算术平方根恒大于等于0，且只有最小值，为0；没有最大值．
二、填空题：
13．36的平方根是 ± 6 ； 的算术平方根是 2 ．
【考点】算术平方根；平方根．
【分析】根据平方根和算术平方根的定义求出即可．
【解答】解：36的平方根是± =±6，
∵ =4，
∴ 的算术平方根是2，
故答案为：±6，2．
【点评】本题考查了对平方根和算术平方根的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．
14．8的立方根是 2 ； = ﹣ 3 ．
【考点】立方根．
【分析】根据立方根的定义解答即可．
第9页（共15页）【解答】解：∵23=8，
∴8的立方根是2；
=﹣3．
故答案为：2；﹣3．
【点评】本题考查了立方根的定义，熟记概念是解题的关键．
15． 的相反数是 ﹣ ，绝对值等于 的数是 ．
【考点】实数的性质．
【分析】由题意根据相反数的定义及绝对值的性质进行求解．
【解答】解： 的相反数是：﹣ ，
设x为绝对值等于 ，
∴|x|= ，
∴x=± ，
故答案为：﹣ ， ．
【点评】此题主要考查相反数的定义及绝对值的性质，比较简单．
16．比较大小： ＞ 2；若a＞2 ，则|2 ﹣a|= a﹣ 2 ．
【考点】实数大小比较；实数的性质．
【专题】推理填空题．
【分析】首先应用放缩法，利用 ，判断出 ＞2；然后根据a＞2 ，判断出2 ﹣a的正负，即可
求出|2 ﹣a|的值是多少．
【解答】解：∵ ，
第10页（共15页）∴ ＞ =2；
∵a＞2 ，
∴2 ﹣a＜0，
∴|2 ﹣a|=a﹣2 ．
故答案为：＞、a﹣2 ．
【点评】（1）此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，注意放缩法的应用．
（2）此题还考查了绝对值的含义和求法，要熟练掌握，注意判断出2 ﹣a的正负．
17．一个正数n的两个平方根为m+1和m﹣3，则m= 1 ，n= 4 ．
【考点】平方根．
【专题】计算题．
【分析】根据正数的平方根有2个，且互为相反数列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值，进而
求出n的值．
【解答】解：根据题意得：m+1+m﹣3=0，
解得：m=1，即两个平方根为2和﹣2，
则n=4．
故答案为：1；4
【点评】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．
18． 的立方根与﹣27的立方根的差是 5 ；已知 + =0，则（a﹣b）2= 2 5 ．
【考点】实数的运算；非负数的性质：算术平方根．
【分析】首先把 化简，然后再计算出8和﹣27的立方根，再求差即可；
根据算术平方根具有非负性可得a﹣2=0，b+3=0，计算出a、b的值，进而可得答案．
【解答】解： =8，
8的立方根是2，
第11页（共15页）﹣27的立方根是﹣3，
2﹣（﹣3）=5．
故答案为：5；
∵ + =0，
∴a﹣2=0，b+3=0，
解得：a=2，b=﹣3，
（a﹣b）2=25．
故答案为：25．
【点评】此题主要考查了实数的运算，关键是掌握平方根、立方根、算术平方根的定义．
三、解答题
19．化简：
（1） + ﹣ ；
（2）
（3）3 ﹣ ﹣ ；
（4） +（1﹣ ）0；
（5）（ ﹣ ）（ + ）+2
（6）（ + ﹣ab）• （a≥0，b≥0）．
【考点】二次根式的混合运算；零指数幂．
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先把根号内的数利用平方差公式变形，然后根据二次根式的乘法法则运算；
（3）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（4）先根据零指数幂的意义运算，再把各二次根式化为最简二次根式，然后合并后进行二次根式的除法运算；
（5）利用平方差公式计算；
（6）先把各二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘法运算．
第12页（共15页）【解答】解：（1）原式=2 +4 ﹣ =5 ；
（2）原式= = × =13×11=143；
（3）原式=6 ﹣3 ﹣ = ；
（4）原式= +1=5+1=6；
（5）原式=5﹣7+2=0；
（6）原式=（a +b ﹣ab）
=a2b+ab2﹣ab ．
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然
后合并同类二次根式．也考查了零指数幂．
20．求x的值：
（1）2x2=8
（2）（2x﹣1）3=﹣8．
【考点】立方根；平方根．
【分析】（1）利用解方程的步骤求解，注意解的最后一步利用平方根来求解；
（2）利用立方根的定义可得出x的一元一次方程，再求解即可．
【解答】解：
（1）系数化为1可得：x2=4，两边开方得：x=±2；
（2）由立方根的定义可得：2x﹣1=﹣2，解得x=﹣ ．
【点评】本题主要考查平方根和立方根的定义及求法，正确掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．
21．一个长方形的长与宽之比为5：3，它的对角线长为 cm，求这个长方形的长与宽（结果保留2个有效
数字）．
【考点】一元二次方程的应用；实数的运算；勾股定理．
第13页（共15页）【专题】几何图形问题．
【分析】一个长方形的长与宽之比为5：3，设长为5xcm，则宽为3xcm，根据对角线长，用勾股定理即可列出
方程，求出长方形的长和宽，再进行估算．
【解答】解：设长为5xcm，则宽为3xcm，用勾股定理得（5x）2+（3x）2=（ ）2，
∴25x2+9x2=68，
∴34x2=68，
∴x2=2，即x= 或x=﹣ （舍去），
∴长为5× ≈7.1（cm），宽为3× ≈4.2（cm），
答：长方形的长为7.1cm，宽为4.2cm．
【点评】这类根据长形的对角线与直角边构成直角三角形，利用勾股定理化为求一元二次方程的解的问题，
求解舍去不符合条件的解即可．
22．大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不能全部地写出来，于是
小平用 ﹣1来表示 的小数部分，你同意小平的表示方法吗？事实上小平的表示方法是有道理的，因为
的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
请解答：已知：5+ 的小数部分是a，5﹣ 的整数部分是b，求a+b的值．
【考点】估算无理数的大小．
【分析】根据题目中的方法，估计 的大小，求出a、b的值，再把a，b的值相加即可得出答案．
【解答】解：∵4＜5＜9，
∴2＜ ＜3，
∴7＜5+ ＜8，
∴a= ﹣2．
又∵﹣2＞﹣ ＞﹣3，
第14页（共15页）∴5﹣2＞5﹣ ＞5﹣3，
∴2＜5﹣ ＜3，
∴b=2，
∴a+b= ﹣2+2= ．
【点评】此题考查了估算无理数的大小，常见的方法是夹逼法，解题关键是估算无理数的整数部分和小数部
分．
第15页（共15页）
