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8.2 立方根（七大类型提分练）
类型一、求一个数的立方根
1．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）64的立方根为（ ）
A．4 B．±4 C．√3 4 D．±√3 4
【答案】A
【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，根据立方根的定义求解即可．
【详解】解：64的立方根为4．
故选：A．
2．（22-23七年级下·山东青岛·期中）6的平方根是 ，−8的立方根是 ，❑√16的算术平方根是
．
【答案】 ±❑√6 −2 2
【分析】本题考查了平方根、算术平方根，立方根的性质，熟练掌握平方根、立方根性质是关键．
根据平方根、算术平方根，立方根性质解答即可．
【详解】解：6的平方根是±❑√6，
−8的立方根是√3−8=−2，
∵❑√16=4，
∴❑√16算术平方根，即4的算术平方根为❑√4=2．
故答案为：±❑√6；−2；2．
27
3．（23-24七年级下·吉林·期末）− 的立方根是 ．
1000
3
【答案】− /−0.3
10
【分析】本题考查立方根，熟练掌握其定义是解题的关键．
根据立方根的定义即可求得答案．
27 √ 27 3
【详解】解：− 的立方根是3− =− ．
1000 1000 10
3
故答案为：− ．
10
1 8
4．（21-22八年级上·全国·课后作业）求下列各数的立方根：0.001，−1，− ，8000， ，−512．
216 27
1 2
【答案】0.1，−1，− ，20， ，−8．
6 3
【分析】根据立方根的概念进行计算即可．【详解】解：√3 0.001=0.1，
√3−1=−1，
√ 1 1
3− =− ，
216 6
√38000=20，
√ 8 2
3 = ，
27 3
√3−512=√3 (−8) 3=−8．
【点睛】本题主要考查了立方根的计算，如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a（x3=a），那么
这个数x就叫做a的立方根，注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．
5．（21-22八年级上·全国·课后作业）求下列各式的值：√30.125，√3−64，√3 53,(√316) 3 ．
【答案】0.5，−4，5，16
【分析】根据立方根的概念进行计算求值．
【详解】解：√30.125=√3 0.53=0.5，
√3−64=√3 (−4) 3=−4，
√3 53=5，
(√316) 3 =16．
【点睛】本题考查立方根，理解立方根的概念，掌握立方与开立方是互逆运算是解题的关键．
类型二、已知一个数的立方根求这个数
6．（23-24七年级下·河南驻马店·期中）立方根是−2的数是（ ）
A．4 B．−8 C．−4 D．8
【答案】B
【分析】此题考查了求一个数的立方根，熟练掌握立方根的定义：一个数x的立方等于a，则x叫a的立方
根是解题的关键．
利用立方根的定义计算即可得到结果．
【详解】解：∵(−2) 3=−8，
∴立方根是−2的数是−8，
故选：B．
7．（23-24七年级下·广西河池·期中）已知x−2的立方根是−2，则x+31的算术平方根是（ ）.
A．8 B．6 C．7 D．5
【答案】D
【分析】本题考查了立方根、算术平方根，根据立方根的定义可得x−2=−8，得到x=−6，进而得到
x+31=25，再根据算术平方根的定义即可求解，掌握立方根和算术平方根的定义是解题的关键．
【详解】解：∵x−2的立方根是−2，∴x−2=−8，
∴x=−6，
∴x+31=−6+31=25，
∴x+31的算术平方根是5，
故选：D．
8．（23-24七年级下·辽宁大连·阶段练习）若5x+19的立方根是4，则2x+7的平方根是（ ）
A．±25 B．−5 C．5 D．±5
【答案】D
【分析】本题考查了立方根的定义，平方根的定义．由已知根据立方根的定义可得到5x+19=43，继而可
求得x的值，进而可以求2x+7的平方根．
【详解】解：∵5x+19的立方根是4，
∴5x+19=43，即5x+19=64，
解得x=9，
∴2x+7=25，
∴2x+7的平方根是±❑√25=±5．
故选：D．
√1
9．（23-24七年级下·全国·单元测试）若3 是数a的立方根， −❑√2是数b的一个平方根，则(ab) 2019的值
2
为（ ）
A．2 B．−2 C．1 D．−1
【答案】C
【分析】此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．
由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相
同．先根据立方根、平方根的定义求出a，b的值，再代入所求代数式中计算即可求解．
√1
【详解】解：因为3 是数a的立方根， −❑√2是数b的一个平方根，
2
1
由题意得，a= ，b=(−❑√2) 2=2，
2
所以(ab) 2019= (1 ×2 ) 2019 =12019=1
2
故选：C
类型三、立方根的概念的理解
10．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法正确的是（ ）
A．负数没有立方根 B．正数有且只有一个立方根
C．1的立方根是±1 D．立方根是它本身的只有0【答案】B
【分析】本题考查了立方根，掌握立方根的定义是解题的关键．
根据立方根的定义解题即可．
【详解】解：A：负数有立方根，故此选项不合题意；
B：正数有且只有一个立方根，故此选项符合题意；
C：1的立方根是1，故此选项不合题意；
D：立方根是它本身的有0和1和−1，故此选项不合题意．
故选：B ．
11．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法正确的有（ ）
①一个数的立方根的相反数等于这个数的相反数的立方根；②64的平方根是±8，立方根是±4；③❑√a表
示a的平方根，√3 a表示a的立方根；④−√3 a不一定是负数．
A．①③ B．②④ C．①④ D．①③④
【答案】C
【分析】考查了平方根、立方根的定义及其表示方法， ①根据一对相反数的立方根仍是一对相反数即可
判定；②分别求出64的立方根与平方根，然后即可判定；③理清非负数平方根的表示方法；实数立方根的
表示方法即可判定；④考虑数0即可判定．
【详解】解：①一个数的立方根的相反数等于这个数的相反数的立方根，故说法①正确；
②64的立方根是4，故说法②错误；
③❑√a(a≥0)表示a的算术平方根，故说法③错误；
④−√30=0，则−√3 a不一定是负数，故说法④正确；
故选：C．
12．（20-21七年级下·全国·课后作业）在实数范围内，下列判断正确的是 （ ）
A．若|a)=|b)，则a=b B．若a2>b2，则a>b
C．若(❑√a) 2=|b)，则a=b D．若√3 a=√3 b，则a=b
【答案】D
【分析】本题考查了绝对值、平方根和立方根的性质，根据绝对值、平方根和立方根的性质逐项判断即可
得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：A、若|a)=|b)，则a=±b，故该选项不符合题意；
B、若a2>b2，则a>b或a9，
∴小明搭的积木高．
25．（24-25七年级下·全国·单元测试）小林想测量一个铅球的半径，先将铅球放在一个圆柱形小水桶中，
然后装满水，拿出铅球后，小水桶中水面下降了2cm，量得小水桶的底面直径为24cm，求铅球的半径．
( 球的体积公式为V = 4 πr3，r为球的半径 )
3
【答案】6cm
【分析】本题考查了立方根的应用，根据球的体积公式，可得答案．
【详解】解：设铅球的半径为rcm，
(24) 2
∵铅球的体积=π× ×2=288π（cm3），
2
4
∴
πr3=288π，
3
解得r=6，
∴铅球的半径为6cm．
26．（24-25七年级下·全国·单元测试）这几年，垃圾变废为宝的推进力度在持续加强．某废铁加工厂决定
将回收的如图①所示的一个长为12cm，宽为9cm，高为2cm的废弃长方体铁坯，加工成如图②所示的正方
体铁块（假设加工过程中无损失），求加工后正方体铁块的棱长．
【答案】6cm
【分析】本题考查的是立方根的应用，设加工后正方体铁块的棱长为xcm，根据题意列方程并解方程即可
解决．
【详解】解：设加工后正方体铁块的棱长为xcm，∵长方体铁坯的长为12cm，宽为9cm，高为2cm，
∴x3=12×9×2，
∴x=√3216，
解得x=6，
∴加工后正方体铁块的棱长为6cm．
一．选择题（共6小题）
1．（2024秋•秀英区校级期中）下列说法正确的是（ ）
A．﹣8的立方根是±2
B．3的平方根是❑√3
C．平方根是本身的数只有0
D．❑√16的平方根为±4
【答案】C
【分析】根据立方根与平方根的计算判断即可．
【解答】解：A．﹣8的立方根是﹣2，故选项A说法错误；
B.3的平方根是±❑√3，故选项B说法错误；
C．平方根是本身的数只有0，故选项C说法正确；
D.❑√16=4，4的平方根为±2，故选项D说法错误；
故选：C．
2．（2024秋•雁塔区校级期中）下列说法正确的是（ ）
A．√3 a中的a≥0 B．❑√a2=a
C．❑√64的立方根是±2 D．3是❑√81的算术平方根
【答案】D
【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的概念及计算逐项判断即可．
【解答】解：A、√3 a中的被开方数a为一切实数，故此选项不符合题意；
B、等式成立的条件是a≥0，故此选项不符合题意；
C、❑√64=8，8的立方根是2，故此选项不符合题意；
D、3是❑√81的算术平方根，故此选项符合题意；
故选：D．
3．（2024秋•滨江区校级期中）下列各组数中，互为相反数的是（ ）1
A．﹣2与 B．❑√(−2) 2与√3−8
2
C．|−❑√2|与❑√2 D．−√38与√3−8
【答案】B
【分析】根据算术平方根，立方根的定义，以及相反数的定义，逐一进行判断即可．
【解答】解：A、两者不是相反数，不符合题意；
B、❑√(−2) 2=2，√3−8=−2，两数互为相反数，符合题意；
C、两数相等，不符合题意；
D、两数相等，不符合题意；
故选：B．
4．（2024秋•榆次区期中）小华制作了一个棱长为a的正方体，小夏也准备制作一个正方体，其体积是小
华制作的正方体体积的8倍，则小夏制作的正方体的棱长为（ ）
A．8a B．4a C．2a D．❑√2a
【答案】C
【分析】根据正方体的体积公式计算出这个正方体的体积，再根据立方根的定义解答．
【解答】解：根据题意可知小夏制作的正方体体积是8a3，
∴小夏制作的正方体的棱长为√3 8a3=2a，
故选：C．
5．（2024秋•新城区校级期中）下列说法正确的是（ ）
A．√3 a中的a≥0 B．❑√a2=a
C．❑√64的立方根是±2 D．3是❑√81的算术平方根
【答案】D
【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的概念及计算逐项判断即可．
【解答】解：A、√3 a中的a为一切实数，选项说法错误，不符合题意；
B、
❑√a2=|a|= { a(a≥0) )
，此选项说法错误，不符合题意；
−a(a≤0)
C、❑√64的立方根是2，故此选项说法错误，不符合题意；
D、3是❑√81的算术平方根，故此选项说法正确，符合题意；
故选：D．
6．（2024秋•赫章县校级期中）数轴上表示√327+√3−8的点一定在（ ）
A．第①段 B．第②段 C．第③段 D．第④段
【答案】C
【分析】首先根据立方根的性质可得√327+√3−8=1，易得0.8＜1＜1.8，即可获得答案．【解答】解：根据题意可知：√327+√3−8=3+(−2)=1，
∵1.8＞1＞0.8，
∴表示√327+√3−8的点在第③段．
故选：C．
二．填空题（共6小题）
7．（2024秋•南岸区期末）|﹣3|+√3−8= 1 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】原式利用绝对值的代数意义，以及立方根定义计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝3﹣2＝1，
故答案为：1
8．（2024秋•龙华区期末）已知一个正方体的体积为8cm3，则这个正方体的棱长为 2 cm．
【答案】2．
【分析】根据正方体体积公式及立方根定义解答．
【解答】解：设这个正方体的棱长为a cm，根据题意得，
a3＝8，
∴a＝2，
故答案为：2．
9．（2024春•南昌期末）若（x﹣1）3+27＝0，则x＝ ﹣ 2 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】方程移项后，利用立方根定义开立方即可求出解．
【解答】解：（x﹣1）3+27＝0，
方程变形得：（x﹣1）3＝﹣27，
开立方得：x﹣1＝﹣3，
解得：x＝﹣2．
故答案为：﹣2．
10．（2024秋•荣成市校级期中）已知2a﹣1和a﹣2分别是一个正数的两个平方根，3a+2b﹣1的立方根为
2，则b的平方根为 ±❑√3 ．
【答案】±❑√3．
【分析】由平方根的性质可得2a﹣1+（a﹣2）＝0，即得a＝1，由立方根的定义可得3a+2b﹣1＝8，即
得b＝3，最后根据平方根的定义即可求解．
【解答】解：由条件可知2a﹣1+（a﹣2）＝0，
∴a＝1，
∵3a+2b﹣1的立方根为2，
∴3a+2b﹣1＝8，
∴3+2b﹣1＝8，
∴b＝3，∴b的平方根为±❑√3，
故答案为：±❑√3．
11
11．（2024•温州自主招生）已知a是64的立方根，2b﹣3是a的平方根，则 a﹣4b的算术平方根为 1
4
或 3 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据题意求出a的值，再确定b的所有可能值，代入代数式计算出代数式的值，最后求算术
平方根．
【解答】解：∵a是64的立方根，2b﹣3是a的平方根，
∴a＝4，
∴2b﹣3＝±2，
5 1
∴b= 或b= ，
2 2
11
∴ a﹣4b
4
11 5
= ×4﹣4×
4 2
＝11﹣10
＝1，
11
a﹣4b
4
11 1
= ×4−4×
4 2
＝11﹣2
＝9，
11
∴ a−4b的算术平方根为1或3．
4
故答案为：1或3．
12．（2024春•和平区校级期末）把两个半径分别为1cm和√37cm的铅球熔化后做成一个更大的铅球，则这
4
个大铅球的半径是 2 cm（球的体积公式V= πr3 ，其中r是球的半径）．
3
【答案】2．
【分析】求出半径分别为1cm和√37cm的铅球的体积之和，再根据立方根的定义计算出结果，进一步保
留一位小数即可．
4 4 32
【解答】解： π×13+ π×(√37) 3= π（cm3），
3 3 3
√32 3
大铅球的半径为：3 π× ÷π=2（cm）．
3 4故答案为：2．
三．解答题（共6小题）
13．（2024秋•淮安期中）求x的值：
（1）(2x−1) 2=❑√16；
（2）8（x3+1）+56＝0．
3 1
【答案】（1） 或− ；
2 2
（2）﹣2．
【分析】（1）先计算❑√16=4，方程两边再开方，得两个一元一次方程，最后解一元一次方程，可得解；
（2）方程移项后除以8，得x3+1＝7，再移项后开立方即可得到方程的解．
【解答】解：（1）(2x−1) 2=❑√16，
（2x﹣1）2＝4，
2x﹣1＝±2，
2x﹣1＝2，2x﹣1＝﹣2，
3 1
解得：x= 或x=− ；
2 2
（2）8（x3+1）+56＝0，
8（x3+1）＝﹣56，
x3+1＝﹣7，
x3＝﹣7﹣1，
x3＝﹣8，
解得：x＝﹣2．
14．（2024秋•重庆期中）已知正数x的两个不同的平方根是2a+3和1﹣3a，y的立方根是﹣3，求x+y的
算术平方根．
【答案】❑√94．
【分析】根据平方根和立方根求原数，一个正数的两个平方根互为相反数，据此建立方程求出a的值，
进而求出x的值，再根据立方根的定义求出y的值，进一步求出x+y的值，最后根据算术平方根的定义
即可得到答案．
【解答】解：由条件可知2a+3+1﹣3a＝0，y＝（﹣3）3＝﹣27，
∴a＝4，
∴x＝（2a+3）2＝（2×4+3）2＝121，
∴x+y＝121+（﹣27）＝94，
∴x+y的算术平方根为❑√94．
15．（2024秋•仁寿县期中）已知第一个正方体纸盒的棱长为2cm，第二个正方体纸盒的体积比第一个正
方体纸盒的体积大19cm3，求第二个正方体纸盒的棱长．【答案】3cm．
【分析】根据立方根的定义求出正方体的棱长即可．
【解答】解：第一个正方体纸盒的体积为23＝8（cm3），
∴第二个正方体纸盒的体积为8+19＝27（cm3），
∴第二个正方体纸盒的棱长为√327=3(cm)．
16．（2024秋•淮安期中）已知x﹣4的平方根为±2，x+y+6的立方根是3．
（1）求x，y的值．
（2）求y﹣x﹣1的平方根．
【答案】（1）x＝8，y＝13；
（2）±2．
【分析】（1）根据平方根，立方根的运算即可求解；
（2）代入求值，再根据求一个数的平方根的运算即可求解．
【解答】解：（1）∵x﹣4的平方根是±2，
∴x﹣4＝（±2）2＝4，
解得：x＝8，
∵x+y+6的立方根是3，
∴x+y+6＝33＝27，
∵x＝8，
∴8+y+6＝27，
解得：y＝13，
∴x＝8，y＝13；
（2）由（1）可知，x＝8，y＝13，
∴y﹣x﹣1＝13﹣8﹣1＝4，
∴4的平方根为±❑√4=±2，
∴y﹣x﹣1的平方根为±2．
17．（2024秋•锡山区期末）已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4．
（1）求a，b的值；
（2）求2a+3b的平方根．
【答案】（1）a的值为5，b的值为2；
（2）2a+3b的平方根是±4．
【分析】（1）根据立方根，算术平方根的定义即可解决问题．
（2）先求出2a+3b的值，再结合平方根的定义即可解决问题．
【解答】解：（1）因为5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，
所以5a+2＝33，3a+b﹣1＝42，
解得a＝5，b＝2，
故a的值为5，b的值为2．（2）由题知，
2a+3b＝2×5+3×2＝16，
因为（±4）2＝16，
所以2a+3b的平方根是±4．
18．（2024秋•未央区校级期中）已知正数a的两个平方根分别是2x﹣3和1﹣x，且√33+4b=3，求a+2b
的算术平方根．
【答案】❑√13．
【分析】由正数的两个平方根互为相反数，得2x﹣3+1﹣x＝0，由√33+4b=3，求得b，即可求解．
【解答】解：由条件可知2x﹣3+（1﹣x）＝0，解得x＝2，
∴a＝（1﹣x）2＝（1﹣2）2＝1．
∵√33+4b=3，√327=3，
∴3+4b＝27，解得b＝6，
∴a+2b＝1+2×6＝13，
∴a+2b的算术平方根是❑√13．
