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专题02 第6章实数高频考点分类训练（原卷版）
类型一 开方运算
【典例1】（2023春•涵江区期中）如果一个正数m的两个平方根分别是2a﹣3和a﹣9，n是﹣1的立方根．
（1）求m和n的值．
（2）求m﹣11n的算术平方根．
【针对训练】
1．（2023春•长丰县期末）❑√9的平方根是（ ）
A．3 B．❑√3 C．±❑√3 D．±3
2．（2022秋•宣化区期末）❑√64的立方根是（ ）
A．2 B．±2 C．8 D．﹣8
3．（2023秋•丹徒区期末）下列说法正确的是（ ）
A．﹣27的立方根是3 B． 5
❑√(−5) 2=−
C．1的平方根是1 D．4的算术平方根是2
4．（2021春•思明区期中）一个立方体的棱长是4cm，如果把它的体积扩大为原来的8倍，则扩大后的立
方体的棱长是 cm．
5．（2022秋•平昌县期末）已知实数a+9的一个平方根是﹣5，2b﹣a的立方根是﹣2，求2a+b的算术平方
根．
6．（2023春•开封期末）已知实数x，y满足|x−5|+❑√y+3=0．
（1）求x，y的值；
（2）求x﹣2y的平方根．
7．（2023•二七区开学）已知√3 x−1和√33−2x互为相反数，且y+4的平方根是它本身，求xy的立方根．类型二 实数的有关概念
【典例2】（2023秋•东台市期中）把下列各数分别填入相应的集合里．
2 22
﹣4，−1 ，0， ， ，﹣3.14，2022，﹣0. ⋅，1.080080008…．
3
3 7
π
（1）负数集合：{ …}；
（2）整数集合：{ …}；
（3）分数集合：{ …}；
（4）无理数集合：{ …}．
【针对训练】
1．（2023•德阳）下列各数中，是无理数的是（ ）
1
A．﹣2023 B．❑√2023 C．0 D．
2023
2．（2023秋•肥城市期末）在0， ❑√8 ，﹣4.3， √364 ，1.
2
⋅⋅
3
，3.141592…中，无理数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11
3．（2023 秋•东坡区期中）在实数 ，0，﹣0.3，3.1415926，4，﹣2022， 中，有理数的个数为
3
π
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2023•炎陵县开学）在0、1、﹣1、❑√2这四个数中，最大的数是（ ）
A．0 B．❑√2 C．﹣1 D．1
类型三 实数的估算
【典例3】 （2024•渝中区开学）已知实数a、b互为倒数，c是❑√13的整数部分，d是❑√5的小数部分，则
√3 ab+c−d的值为 ．
【针对训练】
1．（2023秋•郁南县期中）估算❑√57的值应在（ ）
A．6～7之间 B．7～8之间 C．8～9之间 D．不能确定
2．（2024•沙坪坝区开学）整数a满足❑√18＜a＜❑√28，则a的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2023秋•惠州期末）无理数6−❑√13的大小在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
4．（2023秋•邗江区期末）正整数a、b分别满足√354＜a＜√3 96，❑√3＜b＜❑√7，则ba＝（ ）A．16 B．9 C．8 D．4
5．（2023秋•莱西市期末）如图，数轴上A点表示一个无理数，这个无理数可能是（ ）
2
A．−❑√12 B．−❑√7 C．−2 D．❑√6
3
6．（2023秋•沙坪坝区期末）设m=❑√7−❑√63，则实数m的值应在（ ）
A．﹣7和﹣6之间 B．﹣6和﹣5之间
C．﹣5和﹣4之间 D．﹣4和﹣3之间
7．（2023秋•岳阳楼区期末）大家知道❑√2的小数部分我们不可能全部地写出来，于是可以用❑√2−1来表
示❑√2的小数部分（因为❑√2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分）．
（1）如果❑√7的小数部分为a，❑√11的整数部分为b，求a+b−❑√7的值 ．
（2）已知：21+❑√10=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数 ．
8*．（2023秋•莲池区期末）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数 T：m＜T＜n，（其
中m、n为连续的整数），则称无理数的“美好区间”为（m，n），如1＜❑√2＜2，所以❑√2的“美好
区间”为（1，2）．
（1）无理数−❑√13的“美好区间”是 ；
{ x=m )
（2）若一个无理数的“美好区间”为（m，n），且满足10＜m+❑√n＜20，其中 是关于x，
y=❑√n
y的二元一次方程mx﹣ny＝C的一组正整数解，求C的值．
（3）实数x，y，m满足如下关系式：（2x+3y+m）2+（3x+2y﹣3m）2=❑√x+ y−2024+❑√2024−x−y
，求m的算术平方根的“美好区间”．类型四 实数与数轴的综合
【典例4】（2021春•仙游县月考）如图所示，数轴上表示1和❑√2的对应点分别为A、B，点B关于点A的
对称点是C，O为原点．
（1）分别求出线段AB、AC、OC长度；
（2）设C点表示的数为x，试求|x−❑√2|+x的值．
【针对训练】
1．（2022春•南城县月考）如图，数轴上表示 1、❑√5的对应点分别为点A、点B，若点A是BC的中点，
则点C所表示的数为（ ）
A．❑√5 B．1−❑√5 C．❑√5−2 D．2−❑√5
2．（2023秋•巴中期末）如图，数轴上有M，N，P，Q四点，则这四点中所表示的数最接近−❑√10的是（
）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
3 ． （ 2023 秋 • 筠 连 县 月 考 ） a 、 b 、 c 为 实 数 ， 在 数 轴 上 的 位 置 如 图 所 示 ， 则 ﹣ |a+c|
的值是 ．
+❑√(b−c) 2−√3 −b3+❑√(a+b) 2
4．（2023秋•连江县期末）在数轴上，点A表示的数❑√5，点A，点B关于原点对称，把点A向右移动2个
单位得到点C，设点B表示的数为m，点C所表示的数为n．
（1）数m的值是 ；数n的值是 ；
（2）求|2+m|+（n﹣2）2的值．5．（2023秋•唐山期末）如图，数轴上有A、B、C三点，表示1和❑√2的对应点分别为A、B，点B到点A
的距离与点C到原点O的距离相等，设A、B、C三点表示的三个数之和为p.
（1）求AB的长；
（2）求p；
（3）点D在点O的左侧，且DO＝10，若以点D为原点，直接写出点C表示的数．
6．（2021秋•德惠市月考）操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）．
（1）折叠纸面，使表示点1与﹣1重合，则﹣2表示的点与 2 表示的点重合；
（2）折叠纸面，使﹣1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：
①❑√3表示的点与数 表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，此时点A表示的数
是 ，点B表示的数是 ．
（3）已知在数轴上点A表示的数是a，点A移动4个单位，此时点A表示的数和a互为相反数，求a的
值．
类型5 实数的运算
【典例5】（2023秋•沂源县期末）计算：
（1）（﹣1）2023+❑√9−|﹣5|−√3−27；
√ 1 √ 1
（2）3− −（√30.125）3+❑6 −1．
8 4【针对训练】
1．（2024•渝中区开学）计算：
1
（1）−42−16÷(−2)× −(−1) 2023；
2
√25 2 4
（2）❑ +(− ) 2÷(− )．
9 3 3
2．（2023秋•衡阳期末）计算：❑√16−√327+|❑√2−1|．
❑√18
3．（2023秋•子洲县期末）计算： +|❑√2−2|+(−1) 2．
3
4．（2023春•龙江县期中）（1）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，求a2−b2 的值；
−❑√cd
a2+b2
（2）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简： ．
|a−b|−❑√a2
类型六 求x的值（解方程）
【典例6】（2023秋•沂源县期末）求下列各式中实数x的值
（1）（x﹣1）3＝8；
（2）25（x+1）2﹣36＝0．【针对训练】
1．（2022秋•东港区期末）计算：
（1）3x2﹣27＝0； （2）4（x﹣1）2＝9．
2．（2023秋•南京期末）求下列各式中的x：
（1）2x2﹣18＝0； （2）（1﹣x）3＝﹣8．
3．（2023秋•丹阳市期末）解方程：
（1）4x2﹣64＝0 （2）（2x﹣1）3＝﹣8．
4．（2023秋•河口区期末）（1）计算：√3−8−❑√2+（❑√3）2+|1−❑√2|；
（2）已知（x﹣1）2＝4，求x的值；（3）已知27x3﹣8＝0，求x的值．
5．（2023秋•怀化期末）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“◎”如下：
❑√a+b ❑√3+2
a◎b= ，如3◎2= =❑√5．
❑√a−b ❑√3−2
（1）填空：5◎4＝ 3 ．
（2）若12◎4（x﹣1），求x的值．
