文档内容
七年级下册数学《第六章 实数》
6.2 立 方 根
立方根、开立方的定义
知识点一
◆1、立方根的定义： 一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做 a 的立方根或三次方根.
这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根.
3
√a
◆2、立方根的表示方法：一个数a的立方根，用符号“ ”表示，读作“三次根号a”，其中a 是被开
方数，3是根指数.
◆3、开立方： 求一个数的立方根的运算，叫做开立方.正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立
方也互为逆运算.
◆4、立方根与开立方的区别：立方根是一个数，是开立方的结果，而开立方就是求一个数的立方根
的运算，即一种开方运算.
立方根的性质
知识点二
◆1、立方根的性质：
正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0.
【注意】任何数（正数、负数、0）都有立方根，并且只有一个.
◆2、立方根的两个重要性质：
①互为相反数的两个数的立方根互为相反数，即 ，利用它可以把一个负数的立方根转化为求
一个正数的立方根的相反数.
② .◆3、平方根与立方根的区别和联系：
内 容 平方根 立方根
性 正数 两个，互为相反数 一个，为正数
区
0 0 0
质
负数 没有平方根 一个，为负数
√a √3 a
别 表示方法
被开方数的范围 非负数 可以为任何数
联 运算关系 都与相应的乘方运算互为逆运算
系
0 的方根 0 的立方根和平方根都是0
用计算器求一个数的立方根的方法
知识点三
一般计算器设有键，用它可以求出一个数的立方根(或其近似值)．按键顺序为先按键，再输入被开方数，
最后按键．有些计算器需要用到第二功能键求一个数的立方根．按键顺序为先按键，再按键，再输入被开
方数，最后按键．题型一 立方根的概念和性质
【例题1】（2022春•合肥期末）下列说法错误的是（ ）
A．3的平方根是√3
B．﹣1的立方根是﹣1
C．0.1是0.01的一个平方根
D．算术平方根是本身的数只有0和1
解题技巧提炼
1、一般地，如果一个数的立方等于a， 那么这个数就叫做a的立方根或三次方根.
这就是说，如果x3=a， 那么x叫做a的立方根
.
2、立方根的性质：
正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0.
【变式1-1】填空：
（1）64的立方根是 ；1
（2）− 的立方根是 ；
125
（3）26的立方根是 ；
【变式1-2】求下列各数的立方根．
3
（1）125； （2）0.027； （3）3
8
【变式1-3】（2021春•阳信县月考） 的立方根是（ ）
√3 (−8) 3
A．8 B．﹣8 C．2 D．﹣2
10
【变式1-4】（2022春•仓山区校级月考）−2 的立方根是（ ）
27
8 4 4 8
A．− B．− C．± D．±
3 3 3 3
【变式1-5】（2022春•临高县期末）若a2＝16，√3 b=−2，则a+b＝（ ）
A．﹣4 B．﹣12 C．﹣4或﹣12 D．±4或±12
【变式1-6】求下列各式的值：
（1） ； （2） ；
√3 33 √30.008
√ 343
（3）（√3−9）3； （4）3− ．
125
【变式1-7】（1）求 ， ， ， ， 的值．对于任意数a， 等于多少？
√3 23 √3 (−2) 3 √3 (−3) 3 √3 43 √3 03 √3 a3
（2）求（√3 8）3，（√3−8）3，（√327）3，（√3−27）3，（√30）3的值．对于任意数a，（√3 a）3等于多少？【变式1-8】（2021秋•滕州市校级月考）我们知道a+b＝0时，a3+b3＝0也成立，若将a看成a3的立方
根，b看成b3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为
相反数．
（1）试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立；
（2）若√31−4x与√32x+3互为相反数，求√2x−1的值．
题型二 开立方的运算
【例题2】求下列各式的值：
（1）√3−216= ；
（2）√31−0.973= ；
√ 10
（3）−35− = ；
27
（4）√364−√81= ．解题技巧提炼
（1）开立方时，被开方数可以是正数、负数或零；
（2）当求一个带分数的立方根时，首先要把带分数化为假分数，然后再求它的
立方根.
【变式2-1】（2022春•息县期末）下列算式中错误的是（ ）
√ 9 3 √ 27 3
A．−√0.64=−0.8 B．±√1.96=±1.4 C． =± D．3− =−
25 5 8 2
【变式2-2】求下列各式的值：
√27 √343
（1）√3216；（2）−3 ；（3）−3 ．
8 512
【变式2-3】求下列各式的值：
√ 19
（1）31− ；
27
√37
（2）3 −1；
64
（3） （ 4） ．
√3−1− √38+ ÷√(−6) 2题型三 开立方运算中的小数点移动规律
【例题3】（2022春•曲阜市期中）探索与应用．先填写下表，通过观察后再回答问题：
a … 0.0001 0.01 1 100 10000 …
√a … 0.01 x 1 y 100 …
（1）表格中x＝ ；y＝ ；
（2）从表格中探究a与√a数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知√10≈3.16，则√1000≈ ；
②已知√3.24=1.8，若√a=180，则a＝ ；
（2）拓展：已知√312≈2.289，若√3 z=0.2289，则z＝ ．
（3）
解题技巧提炼
利用计算器探究发现，被开方数的小数点向左（右）移动三位，其立方根的小数
点相应向左（右）移动一位.
【变式3-1】已知√31.51=1.147，√315.1=2.472，√30.151=0.5325，则√31510的值是（ ）
A．24.72 B．53.25 C．11.47 D．114.7
【变式3-2】（2022春•开州区期中）已知√30.342≈0.6993，√33.42≈1.507，则√30.000342≈ ．
【变式3-3】（2022春•雨花区期末）已知√31.12≈1.038，则√31120≈ ．
【变式 3-4】（2021春•梁子湖区期中）已知√32.019≈1.2639，√320.19≈2.7629，则√3−0.002019≈
．
【变式3-5】如果√368.8=4.098，√3 a=40.98，则a＝ ．
【变式3-6】（2022秋•南岗区校级期中）若x=√3135，y=√30.135，则x与y的关系是 ．【变式3-7】（2022春•汝南县月考）观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：
（1）√2≈1.414，√200≈14.14，√20000≈141.4…
√0.03≈0.1732，√3≈1.732，√300≈17.32…
由此可见，被开方数的小数点每向右移动 位，其算术平方根的小数点向 移动
位；
（2）已知√5≈2.236，√50≈7.071，则√0.5≈ ，√500≈ ；
（3）√31=1，√31000=10，√31000000=100…
小数点变化的规律是： ；
（4）已知√310=2.154，√3100=4.642，则√310000= ，−√30.1= ．
题型四 利用开立方解方程
【例题4】求下列各式中的x的值．
1
（1）x3﹣216＝0； （2）（x+5）3＝64； （3）（ x+1）3＝8．
2解题技巧提炼
先将方程化为ax3=b的形式，再利用立方根的定义求未知数的值.
3
【变式4-1】（2022秋•沈阳月考）解方程：x3﹣3= ．
8
【变式4-2】（2021春•海城市月考）解方程：3（x﹣1）3＝24．
1
【变式4-3】（2022春•西城区校级期中）解方程： (x−1) 3=4．
2
1
【变式4-4】（2021春•汉滨区期中）求式子中x的值： （x﹣1）3＝﹣9．
3【变式4-5】解方程：64（x+1）3﹣125＝0．
【变式4-6】解方程：（5x﹣2）3+125＝0．
【变式4-7】（2022秋•锡山区期中）解方程：3+（x+1）3＝﹣5．
题型五 平方根与立方根的综合
1
【例题5】（2022春•盐池县期末）已知x2＝9，y3=− ，且xy＜0，求2x+4y的算术平方根．
8解题技巧提炼
先由平方根和立方根的定义求出已知未知字母的值，再求出这个由已知中未知字
母组成的新数的立方根或平方根.
【变式5-1】（2022秋•菏泽月考）若|x﹣1|+（y﹣2）2+√z−3=0，则x+y+z的立方根是 ．
【变式5-2】（2022秋•峄城区校级月考）若√a−3+（b﹣5）2＝0，则a+b的立方根为 ．
【变式5-3】（2021秋•雁塔区期末）已知1+3a的平方根是±7，2a﹣b+2的立方根是3，求a﹣b的值．
【变式5-4】（2022秋•平昌县期末）已知实数a+9的一个平方根是﹣5，2b﹣a的立方根是﹣2，求2a+b
的算术平方根．
1
【变式5-5】（2022春•鹿邑县月考）已知2a﹣1的平方根是±5，3a+b﹣1的算术平方根是6，求﹣2a+
2
b的立方根．【变式5-6】（2022春•金乡县期中）已知2a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣9的立方根是2，c是√17的
整数部分，求a+2b+c的值．
题型六 立方根的应用
【例题6】（2021秋•张家川县期末）将一块体积为64cm3的正方体锯成8块同样大小的小正方体木块，
则每个小正方体木块的棱长为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
解题技巧提炼
给出一个与开立方有关的实际问题，根据立方根的定义求解列出的式子，此时要
先根据题意列出算式，再结合立方根的定义求出式子中未知字母的值.
【变式6-1】老师布置每名同学做一个正方体盒子，做好后，小明对小强说：“我做的盒子表面积是
96cm2，
你的呢？”小强低头想了一下说：“先不告诉你，我做的盒子比你的盒子体积大 665cm3，你能算出它的
表面
积吗？”小明思考了一会儿，顺利地得出了答案，你知道是多少吗？【变式6-2】（2022春•韩城市期末）一个正方体木块的体积是125cm3，现将它锯成8块同样大小的小正
方体木块，其中一个小正方体木块的棱长是多少？
【变式6-3】（2022春•庐阳区校级期中）某金属冶炼厂将27个大小相同的立方体钢铁在炉火中熔化，
铸成一个长方体钢铁，此长方体的长、宽、高分别为160cm，80cm和40cm，求原来每个立方体钢铁的
棱长．
【变式6-4】（2022春•满洲里市校级期末）小军做了两个正方体纸盒，已知第一个正方体纸盒棱长为3
厘米，第二个正方体纸盒比第一个纸盒体积大189立方厘米，试求第二个正方体纸盒的棱长．
【变式6-5】（2022春•汝南县月考）如图，有一个长方体的水池长、宽、高之比为2：2：4，其体积为
16 000cm3．
（1）求长方体的水池长、宽、高为多少？
1
（2）当有一个半径为r的球放入注满水的水池中，溢出水池外的水的体积为水池体积的 ，求该小球的
60
半径为多少（π取3，结果精确到0.01cm）？
