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第六章 实数考点整合与数学思想渗透及2022中考真题训练（解析版）
第一部分 考点典例精析
考点一 算术平方根、平方根与立方根
1．（2020春•古丈县期末）下列语句正确的是（ ）
A．√4的平方根是√2 B．±3是9的平方根
C．﹣2是﹣8的负立方根 D．（﹣2）2的平方根是﹣2
思路引领：依据立方根、平方根定义和性质回答即可．
解：A、√4=2，2的平方根是±√2，故A错误；
B、±3是9的平方根，故B正确；
C、﹣2是﹣8的立方根，故C错误；
D、（﹣2 ）2的平方根是±2，故D错误．
故选：B．
总结提升：本题主要考查的是立方根、平方根的定义，熟练掌握立方根和平方根的定义是解题的关键
2．（2021秋•鲤城区校级月考）已知(2x+ y) 2+√x−4=0，则√x+√3 y的值为 ．
思路引领：直接利用偶次方以及算术平方根的性质化简得出x，y的值，进而得出答案．
解：∵（2x+y）2+√x−4=0，
∴2x+y＝0，x﹣4＝0，
解得：x＝4，y＝﹣8，
∴√x+√3−8=2+（﹣2）＝0．
故答案为：0．
总结提升：此题主要考查了非负数的性质，正确得出x，y的值是解题的关键．
3．（2021春•陇县期末）已知某正数的两个平方根分别是a+3和2a﹣15，b的立方根是﹣2．求﹣b﹣a的
算术平方根．
思路引领：根据两个平方根互为相反数进行解答即可．
解：∵某正数的两个平方根分别是a+3和2a﹣15，
可得：a+3+2a﹣15＝0，
解得：a＝4，
∵b的立方根是﹣2，
可得：b＝﹣8，把a＝4，b＝﹣8代入﹣b﹣a＝8﹣4＝4，
所以﹣b﹣a的算术平方根是2．
总结提升：此题考查平方根问题，关键是根据两个平方根互为相反数得出a的值．
4．（2021春•饶平县校级期末）已知：√2020≈44.9444…，√202≈14.21267…，则√20.2（精确到0.01）
≈ ．
思路引领：根据给出的数据和算术平方根的定义即可求解．
解：∵√2020≈44.9444…，
∴√20.2≈4.49；
故答案为：4.49．
总结提升：此题考查了算术平方根和近似数，熟练掌握算术平方根的定义和近似数是解题的关键．
考点二 实数的相关概念
5 ． （ 2009 秋 • 巴 东 县 期 末 ） 在 实 数
1 π
− ，√8，√3−8，−0.518， ，0.6732323232⋯，|√3−7|，√2的相反数中，无理数的个数是
3 3
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
思路引领：无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是
整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
1 π
解：− 、√38、﹣0.518、0.6732323232…是有理数，√8、 、|√3−7|、√2无理数，
3 3
故选：D．
总结提升：此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有： ，2 等；开方开不尽的
数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． π π
6．下列各组数中，互为相反数的是（ ）
1
A．3与−√3 B．（﹣3）与− C．﹣3与−√3 D．﹣3与√(−3) 2
3
思路引领：直接利用相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，分别判断得出答案．
解：A．3与−√3不是互为相反数，故此选项不合题意；
1
B．（﹣3）与− 不是互为相反数，故此选项不合题意；
3
C．﹣3与−√3不是互为相反数，故此选项不合题意；D．﹣3与 3，是互为相反数，故此选项符合题意．
√(−3) 2=
故选：D．
总结提升：此题主要考查了相反数，正确掌握相关定义是解题关键．
考点三 实数的运算
√ 25 5 √ 8 √ 8 2
7．（2019秋•广饶县期末）下列运算中：① =± ；②√(−7) 2=±7；③ 3− =−3 =− ；
121 11 125 125 5
④（√3 9）3＝9；错误的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
思路引领：直接利用立方根的性质以及二次根式的性质分别化简得出答案．
√ 25 5
解：① = ，故①错误；
121 11
② 7，故②错误；
√(−7) 2=
√ 8 √ 8 2
3− =−3 =− ，故③正确；
125 125 5
④（√3 9）3＝9，故④正确．
故选：B．
总结提升：本题考查了算术平方根，立方根，熟练应用算术平方根，立方根的定义是关键．
8．（2021春•梁子湖区校级期末）计算．
1 1
（1） √0.09+ √0.16−√30.001+|−√3 0.125|﹣2√3+3√3；
3 8
（2）﹣2√7−|√7−3|+|2−√7|；
思路引领：（1）原式利用平方根、立方根定义计算即可求出值；
（2）原式利用绝对值的代数意义计算即可求出值；
（3）原式整理后，利用平方根定义开方即可求出解．
1 1
解：（1）原式= ×0.3+ ×0.4﹣0.1+0.5﹣2√3+3√3
3 8
＝0.1+0.05﹣0.1+0.5+√3
＝0.55+√3；
（2）原式＝﹣2√7−3+√7+√7−2
＝﹣5；
总结提升：此题考查了实数的运算，立方根，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．9．（2020春•新市区校级期末）计算：
√ 1 √1
（1）3− + +√0.09−√3−8；
8 4
（2）| |﹣| 2|+| 1|．
√3−√2 √3− √(−2) 2−
思路引领：（1）直接利用立方根的性质、二次根式的性质分别化简，进而合并得出答案；
（2）直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质化简，再合并得出答案．
1 1
解：（1）原式=− + +0.3+2
2 2
＝2.3；
（2）原式=√3−√2−（2−√3）+|2﹣1|
=√3−√2−2+√3+1
＝2√3−√2−1．
总结提升：此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
考点四 实数与数轴的综合
10．（2020•西城区一模）在数轴上，点A，B表示的数互为相反数，若点A在点B的左侧，且AB＝2√2，
则点A，点B表示的数分别是（ ）
A．−√2，√2 B．√2，−√2 C．0，2√2 D．﹣2√2，2√2
思路引领：根据相反数的定义即可求解．
解：由A、B表示的数互为相反数，且AB＝2√2，点A在点B的左边，得
点A、B表示的数是−√2，√2．
故选：A．
总结提升：本题考查了相反数的知识，属于基础题，注意熟练掌握相反数的概念是关键．
11．（2018秋•上城区期末）数轴上 A，B，C，D，E五个点的位置如图所示，表示实数√0.4的点在（
）
A．点A与点B之间 B．点B与点C之间
C．点C与点D之间 D．点D与点E之间
思路引领：找到能开得尽方的两个数，满足一个比0.4小，一个比0.4大，从而确定表示实数√0.4的点
所在的范围．解：因为0.36＜0.4＜0.49，
即√0.36＜√0.4＜√0.49，
所以0.6＜√0.4＜0.7，
即表示实数√0.4的点在点C与点D之间．
故选：C．
总结提升：本题主要考查了无理数的估算，找到接近0.4且能开得尽方的两个数是解决本题的关键．
12．（2021•泰山区模拟）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a＞b B．﹣a＜b C．a＞﹣b D．|a|＞|b|
思路引领：根据a、b在数轴上的位置和它们与原点的距离可得答案．
解：由数轴可得a＜0＜b，|a|＞|b|，﹣a＞b，a＜﹣b．
故选：D．
总结提升：本题考查实数与数轴，掌握实数的大小比较方法是解题关键．
第二部分 数学思想感悟
一、整体思想
13．（2015秋•张家港市校级月考）求下列各式中的x的值
（1）9（x﹣1）2﹣4＝0；
（2）8（x+1）3﹣27＝0．
思路引领：（1）移项，两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
（2）移项，两边开立方，即可得出一个一元一次方程，求出方程的解即可．
解：（1）9（x﹣1）2﹣4＝0，
9（x﹣1）2＝4，
开方得：3（x﹣1）＝±2，
5 1
解得：x = ，x = ．
1 2
3 3
（2）8（x+1）3﹣27＝0，
8（x+1）3＝27，两边开立方得：2（x+1）＝3，
1
解得：x= ．
2
总结提升：本题考查了平方根和立方根的应用，关键是能根据平方根和立方根定义得出一元一次方程．
二、数形结合思想
14．（2021•莘县二模）实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简 |a+b| 的结
√a2− +√3 (−b) 3
果是（ ）
A．2a B．2b C．2a+2b D．0
思路引领：直接利用数轴结合绝对值以及立方根的性质分别化简得出答案．
解：由数轴可得：a＜0，a+b＜0，﹣b＜0，
故原式＝﹣a+a+b﹣b
＝0．
故选：D．
总结提升：此题主要考查了实数与数轴，正确化简各式是解题关键．
15．（2020•潍坊一模）数轴上的点A表示的数是a，当点A在数轴上向左平移了√7个单位长度后得到点
B，若点A和点B表示的数恰好互为相反数，则数a的大小在（ ）
A．0与1之间 B．1与2之间 C．2与3之间 D．3与4之间
思路引领：根据题意得出a−√7=b，由点A和点B表示的数恰好互为相反数得：a+b＝0，求出即可．
解：设B点表示的数是b，
根据题意得：a−√7=b，a+b＝0，
√7
解得：a= ，
2
∵2＜√7＜3，
√7
∴1＜ ＜2，即1＜a＜2；
2
故选：B．
总结提升：本题考查了数轴，相反数的应用，无理数的估算，关键是能根据题意得出方程a−√7=b．
三、分类讨论思想
17．（2022秋•简阳市期中）已知|x|＝3，y2＝9，且|x﹣y|＝y﹣x，求x+y的值．思路引领：由题意确定出x与y的值，代入原式计算即可得到结果．
解：∵|x|＝3，y2＝9，且|x﹣y|＝y﹣x，
∴x＝3，y＝3，此时x+y＝6；
x＝﹣3，y＝3，此时x+y＝0．
x＝﹣3，y＝﹣3，此时x+y＝﹣6．
总结提升：此题考查了有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
四、估值法
18．（2014春•三水区校级期中）若 x是√17−2的整数部分，y﹣1是9的平方根，且|x﹣y|＝y﹣x，求
x+y的值．
思路引领：由16＜17＜25得到4＜√17＜5，则2＜√17−2＜3，所以x＝2；再根据平方根的定义得y
﹣1＝±3，得出y＝4或﹣2，再由|x﹣y|＝y﹣x，解得y＝4，然后计算x+y．
解：∵16＜17＜25
∴4＜√17＜5
∴2＜√17−2＜3
∴x＝2；
∵y﹣1是9的平方根
∴y﹣1＝±3
∴y＝4或﹣2
∵|x﹣y|＝y﹣x
∴y＝4
∴x+y＝2+4＝6．
总结提升：此题考查无理数的估算，平方根的意义，绝对值的意义等知识点，逐一按一定的次序解答．
16．（2020春•海淀区校级期末）如图，计划围一个面积为50m2的长方形场地，一边靠旧墙（墙长为
10m），另外三边用篱笆围成，并且它的长与宽之比为5：2．讨论方案时，小英说：“我们不可能围成
满足要求的长方形场地．”小军说：“面积和长宽比例是确定的，肯定可以围得出来．”请你判断谁的
说法正确，为什么？
思路引领：根据矩形的面积公式求出矩形的长和宽，最后进行判断即可得出结论．
解：设长方形场地的长为5xm，宽为2xm，依题意，得，
5x•2x＝50，∴x=√5，
长为5√5，宽为2√5．
∵4＜5＜9，
∴2＜√5＜3．
由上可知2√5＜6，且5√5＞10
若长与墙平行，墙长只有10 m，故不能围成满足条件的长方形场地；
若宽与墙平行，则能围成满足条件的长方形场地．
∴他们的说法都不正确．
总结提升：此题主要考查了列一元二次方程的应用和解简单的一元二次方程，是一道基础题目，解本题
的关键是根据矩形的面积公式建立方程求解．
第三部分 2022 中考真题精炼
一．选择题（共14小题）
1．（2022•德州）下列实数为无理数的是（ ）
1
A． B．0.2 C．﹣5 D．√3
2
思路引领：根据无理数的定义解答即可．
1
解：A． 是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
2
B．0.2是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
C．﹣5是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
D．√3是无理数，故本选项符合题意；
故选：D．
总结提升：此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无
理数．
2．（2022•资阳）如图，M、N、P、Q是数轴上的点，那么√3在数轴上对应的点可能是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
思路引领：由1＜√3＜2，再结合数轴即可求解．
解：∵1＜√3＜2，
∴观察数轴，点P符合要求，
故选：C．总结提升：本题考查了实数与数轴，确定√3的范围是解题的关键．
3．（2022•兰州）计算：√4=（ ）
A．±2 B．2 C．±√2 D．√2
思路引领：利用算术平方根的性质求解．
解：∵ 2．
√4=√22=
故选：B．
总结提升：本题考查了算术平方根的性质，掌握性质特征是解题的关键．
4．（2022•铜仁市）在实数√2，√3，√4，√5中，有理数是（ ）
A．√2 B．√3 C．√4 D．√5
思路引领：根据有理数的定义进行求解即可．
解：在实数√2，√3，√4=2，√5中，有理数为√4，其他都是无理数，
故选：C．
总结提升：本题主要考查了实数的分类，掌握有理数和无理数的定义是解题的关键．
5．（2022•福建）如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（ ）
A．−√2 B．√2 C．√5 D．
思路引领：应用估算无理数大小的方法进行判定即可得出答案． π
解：根据题意，设点P表示的数为p，
则1＜p＜2，
∵1＜√2＜2，
∴这个无理数是√2．
故选：B．
总结提升：本题主要考查了无理数，熟练掌握估算无理数大小的方法进行求解是解决本题的关键．
6．（2022•安徽）下列为负数的是（ ）
A．|﹣2| B．√3 C．0 D．﹣5
思路引领：根据实数的定义判断即可．
解：A．|﹣2|＝2，是正数，故本选项不合题意；
B．√3是正数，故本选项不合题意；
C．0既不是正数，也不是负数，故本选项不合题意；
D．﹣5是负数，故本选项符合题意．故选：D．
总结提升：本题考查了有理数，绝对值以及算术平方根，掌握负数的定义是解答本题的关键．
7．（2022•攀枝花）实数a、b在数轴上的对应点位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．b＞﹣2 B．|b|＞a C．a+b＞0 D．a﹣b＜0
思路引领：利用数轴可知a，b的大小和绝对值，然后判断即可．
解：由数轴知，1＜a＜2，﹣3＜b＜﹣2，
∴A错误，
|b|＞a，即B正确，
a+b＜0，即C错误，
a﹣b＞0，即D错误．
故选：B．
总结提升：本题考查了数轴，绝对值，实数加减法，实数的大小比较，解题的关键是综合应用以上知识
解题．
a b
8．（2022•宁夏）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则 + 的值是（ ）
|a| |b|
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
思路引领：根据图形得到a＜0，b＞0，原式利用绝对值的意义化简即可得到结果．
解：∵a＜0，b＞0，
∴原式＝﹣1+1＝0．
故选：C．
总结提升：此题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．
9．（2022•营口）在√2，0，﹣1，2这四个实数中，最大的数是（ ）
A．0 B．﹣1 C．2 D．√2
思路引领：根据实数的大小比较法则即可得出答案．
解：∵﹣1＜0＜√2＜2，
∴最大的数是2；
故选：C．总结提升：此题考查了实数的大小比较，熟练掌握正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数．
10．（2022•临沂）满足m＞|√10−1|的整数m的值可能是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
思路引领：用夹逼法估算无理数的大小，根据正数的绝对值等于它本身得到2＜|√10−1|＜3，从而得出
答案．
解：∵9＜10＜16，
∴3＜√10＜4，
∴2＜√10−1＜3，
∴2＜|√10−1|＜3，
∴m可能是3，
故选：A．
总结提升：本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关
键．
33
11．（2022•常德）在 ，√3，−√38， ，2022这五个数中无理数的个数为（ ）
17
π
A．2 B．3 C．4 D．5
思路引领：先化简−√38=−2，根据无理数的定义即可得出答案．
解：−√38=−2，
无理数有：√3， 共2个，
故选：A． π
总结提升：本题考查了无理数，算术平方根，立方根，掌握无理数常见的三种类型：（1）开不尽的方
根，√2，√33等；（2）特定结构的无限不循环小数，如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多
一个0）；（3）含有 的绝大部分数，如2 是解题的关键．
12．（2022•台湾）√202π2的值介于下列哪两个π数之间？（ ）
A．25，30 B．30，35 C．35，40 D．40，45
思路引领：估算2022介于哪两个平方数之间便可．
解：∵442＝1936，452＝2025，1936＜2022＜2025，
∴44＜√2022＜45，
故选：D．
总结提升：本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的意义是得出正确答案的前提．
13．（2022•泸州）与2+√15最接近的整数是（ ）A．4 B．5 C．6 D．7
思路引领：估算无理数√15的大小，再确定√15更接近的整数，进而得出答案．
解：∵3＜√15＜4，而15﹣9＞16﹣15，
∴√15更接近4，
∴2+√15更接近6，
故选：C．
总结提升：本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义以及数的大小关系是正确解答的前提．
14．（2022•绵阳）正整数a、b分别满足√353＜a＜√3 98、√2＜b＜√7，则ba＝（ ）
A．4 B．8 C．9 D．16
思路引领：根据a、b的取值范围，先确定a、b，再计算ba．
解：∵√353＜√364＜√3 98，√2＜√4＜√7，
∴a＝4，b＝2．
∴24＝16．
故选：D．
总结提升：本题考查了无理数的估值，掌握立方根、平方根的意义，并能根据a、b的取值范围确定a、
b的值是解决本题的关键．
二．填空题（共8小题）
15．（2022•连云港）写出一个在1到3之间的无理数： ．
思路引领：由于12＝1，32＝9，所以只需写出被开方数在1和9之间的，且不是完全平方数的数即可求
解．
解：1到3之间的无理数如√2，√3，√5．答案不唯一．
总结提升：本题主要考查常见无理数的定义和性质，解题关键是估算无理数的整数部分和小数部分．
16．（2022•黔东南州）若（2x+y﹣5）2+√x+2y+4=0，则x﹣y的值是 ．
{2x+ y−5=0
思路引领：根据非负数的性质可得 ，应用整体思想①﹣②即可得出答案．
x+2y+4=0
解：根据题意可得，
{2x+ y−5=0①
，
x+2y+4=0②
由①﹣②得，
x﹣y＝9．
故答案为：9．
总结提升：本题主要考查了非负数的性质及解二元一次方程组，熟练掌握非负数的性质及解二元一次方程组的方法进行求解是解决本题的关键．
17．（2022•宿迁）满足√11≥k的最大整数k是 ．
思路引领：根据无理数的估算分析解题．
解：∵3＜√11＜4，且k≤√11，
∴最大整数k是3．
故答案为：3．
总结提升：本题考查无理数的估算，理解算术平方根的概念是解题关键．
18．（2022•济南）写出一个比√2大且比√17小的整数 ．
思路引领：先对√2和√17进行估算，再根据题意即可得出答案．
解：∵√2＜2＜3＜4＜√17，
∴写出一个比√2大且比√17小的整数如3（答案不唯一）；
故答案为：3（答案不唯一）．
总结提升：此题考查了估算无理数的大小，估算出√2＜2＜3＜4＜√17是解题的关键．
19．（2022•广安）比较大小：√7 3．（选填“＞”、“＜”或“＝”）
思路引领：利用平方法比较大小即可．
解：∵（√7）2＝7，32＝9，
7＜9，
∴√7＜3．
故答案为：＜．
总结提升：本题考查了实数大小比较，算术平方根，利用平方法比较大小是解题的关键．
20．（2022•恩施州）9的算术平方根是 ．
思路引领：9的平方根为±3，算术平方根为非负，从而得出结论．
解：∵（±3）2＝9，
∴9的算术平方根是3．
故答案为：3．
总结提升：本题考查了数的算术平方根，解题的关键是牢记算术平方根为非负．
1
21．（2022•黑龙江）若两个连续的整数a、b满足a＜√13＜b，则 的值为 ．
ab
1
思路引领：√9＜√13＜√16，由此可确定a和b的值，进而可得出 的值．
ab
解：∵3=√9＜√13＜√16=4，
∴a＝3，b＝4，1 1
即 = ．
ab 12
1
故答案为： ．
12
总结提升：本题考查无理数的估算，注意夹逼法的运用．
22．（2022•南充）若√8−x为整数，x为正整数，则x的值是 ．
思路引领：利用二次根式的性质求得x的取值范围，利用算术平方根的意义解答即可．
解：∵8﹣x≥0，x为正整数，
∴1≤x≤8且x为正整数，
∵√8−x为整数，
∴√8−x=0或1或2，
当√8−x=0时，x＝8，
当√8−x=1时，x＝7，
当√8−x=2时，x＝4，
综上，x的值是4或7或8，
故答案为：4或7或8．
总结提升：本题主要考查了算术平方根的意义，二次根式的性质，利用二次根式的性质求得 x的取值范
围是解题的关键．
三．解答题（共2小题）
23．（2022•台州）计算：√9+|﹣5|﹣22．
思路引领：先化简各式，然后再进行计算即可解答．
解：√9+|﹣5|﹣22
＝3+5﹣4
＝8﹣4
＝4．
总结提升：本题考查了实数的运算，准确熟练地化简各式是解题的关键．
24．（2022•湖州）计算：（√6）2+2×（﹣3）．
思路引领：根据（√a）2＝a（a≥0），有理数的乘法和加法即可得出答案．
解：原式＝6+（﹣6）
＝0．
总结提升：本题考查了实数的运算，掌握（√a）2＝a（a≥0）是解题的关键．
