文档内容
专题02 第6章实数高频考点分类训练（解析版）
类型一 开方运算
【典例1】（2023春•涵江区期中）如果一个正数m的两个平方根分别是2a﹣3和a﹣9，n是﹣1的立方根．
（1）求m和n的值．
（2）求m﹣11n的算术平方根．
【思路引领】（1）一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，如果一个数的立方等于 b，那
么这个数叫做b的立方根，由此即可求解；
（2）如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为❑√a，由此即
可得到答案．
【解答】解：（1）∵一个正数m的两个平方根分别是2a﹣3和a﹣9，
∴2a﹣3+a﹣9＝0，
∴a＝4，
∴a﹣9
＝4﹣9
＝﹣5，
∴m＝（﹣5）2＝25，
∵n3＝﹣1，
∴n＝﹣1；
（2）m﹣11n
＝25﹣11×（﹣1）
＝36，
∴m﹣11n的算术平方根是❑√36=6．
【总结提升】本题考查平方根，算术平方根，关键是掌握平方根，算术平方根的定义．
【针对训练】
1．（2023春•长丰县期末）❑√9的平方根是（ ）
A．3 B．❑√3 C．±❑√3 D．±3
【思路引领】如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为❑√a，
如果一个数的平方等于b，这个数就叫做b的平方根，由此即可得到答案．
【解答】解：∵❑√9=3，
∴❑√9的平方根是±❑√3．故选：C．
【总结提升】本题考查平方根、算术平方根，关键是掌握平方根、算术平方根的定义．
2．（2022秋•宣化区期末）❑√64的立方根是（ ）
A．2 B．±2 C．8 D．﹣8
【思路引领】先求出❑√64=8，再根据立方根的定义计算即可．
【解答】解：❑√64=8，
√38=2，
∴❑√64的立方根是2．
故选：A．
【总结提升】本题主要考查了算术平方根以及立方根，熟记相关定义是解答本题的关键．
3．（2023秋•丹徒区期末）下列说法正确的是（ ）
A．﹣27的立方根是3 B．❑√(−5) 2=−5
C．1的平方根是1 D．4的算术平方根是2
【思路引领】由题意根据立方根，算术平方根，平方根的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、﹣27的立方根是•3，故本选项错误；
B、y16＝4，故本选项错误；
C、1的平方根是±1，故本选项错误；
D、4的算术平方根是2，故本选项正确．
故选：D．
【总结提升】本题考查立方根（如果一个数的立方等于a，那么这个数叫a的立方根），平方根（如果
一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫 做a的平方根），算术平方根（如果一个非负数x的平方等
于a，那么这个非负数x叫做a的算术平方根）的定义，是基础题，熟记 相关概念是解题的关键．
4．（2021春•思明区期中）一个立方体的棱长是4cm，如果把它的体积扩大为原来的8倍，则扩大后的立
方体的棱长是 8 cm．
【思路引领】先求出立方体的棱长是4cm的体积，再求出新的体积，进而求出扩大后的立方体的棱长．
【解答】解：∵立方体的棱长是4cm，
∴它的体积：64（cm3）；
∴它的体积扩大为原来的8倍：512（cm3）；
∴扩大后的立方体的棱长是：8（cm），
故答案为：8．【总结提升】本题主要考查了立方根的概念的运用，掌握立方根的应用，根据题意求出数值是解题关键．
5．（2022秋•平昌县期末）已知实数a+9的一个平方根是﹣5，2b﹣a的立方根是﹣2，求2a+b的算术平方
根．
【思路引领】根据平方根、立方根以及算术平方根的定义解决此题．
【解答】解：由题意得，a+9＝25，2b﹣a＝﹣8．
∴b＝4，a＝16．
∴2a+b＝32+4＝36．
∴2a+b的算术平方根是❑√36=6．
【总结提升】本题主要考查平方根、立方根、算术平方根，熟练掌握平方根、立方根以及算术平方根的
定义是解决本题的关键．
6．（2023春•开封期末）已知实数x，y满足|x−5|+❑√y+3=0．
（1）求x，y的值；
（2）求x﹣2y的平方根．
【思路引领】非负数之和等于0时，各项都等于0，由此即可求出x、y的值，由平方根的定义即可求出
x﹣2y的平方根．
【解答】解：（1）∵|x﹣5|+❑√y+3=0，
∴x﹣5＝0，y+3＝0，
∴x＝5，y＝﹣3，
（2）x﹣2y
＝5﹣2×（﹣3）
＝11，
∴x﹣2y的平方根是±❑√11．
【总结提升】本题考查非负数的性质：算术平方根、绝对值，平方根，关键是掌握非负数之和等于0时
各项都等于0，平方根的定义．
7．（2023•二七区开学）已知√3 x−1和√33−2x互为相反数，且y+4的平方根是它本身，求xy的立方根．
【思路引领】根据相反数的性质列出方程，解方程求出x，根据0的平方根是它本身得到y+4＝0，求出
y值，再把x、y值代入代数式xy计算出xy值，然后根据立方根的概念解答即可．
【解答】解：∵√3 x−1和√33−2x互为相反数，
∴x﹣1+3﹣2x＝0，
解得：x＝2．
∵y+4的平方根是它本身，∴y+4＝0，
∴y＝﹣4，
∴xy＝2×（﹣4）＝﹣8，
∵﹣8的立方根是﹣2，
∴xy的立方根是﹣2．
【总结提升】本题考查的是立方根、平方根、相反数，掌握相反数的概念、平方根的概念是解题的关键．
类型二 实数的有关概念
【典例2】（2023秋•东台市期中）把下列各数分别填入相应的集合里．
2 22
⋅
﹣4，−1 ，0， ， ，﹣3.14，2022，﹣0.3 ，1.080080008…．
3 7
π
2
⋅
（1）负数集合：{ ﹣ 4 ， −1 ，﹣ 3.1 4 ，﹣ 0 .3 …}；
3
（2）整数集合：{ ﹣ 4 ， 0 ， 202 2 …}；
2 22
⋅
（3）分数集合：{ −1 ， ，﹣ 3.1 4 ， 0 .3 …}；
3 7
（4）无理数集合：{ ， 1.08008000 8 … …}．
【思路引领】根据负数的π定义，整数的定义，分数的定义，无理数的定义进行归类便可．
2
⋅
【解答】解：（1）负数集合：{﹣4，−1
3
，﹣3.14，﹣0.3⋯ }．
2
⋅
故答案为：﹣4，−1 ，﹣3.14，﹣0.3 ；
3
（2）整数集合：{﹣4，0，2022…}．
故答案为：﹣4，0，2022；
2 22
⋅
（3）分数集合：{−1
3
，
7
，﹣3.14，﹣0.3⋯ }．
2 22
⋅
故答案为：−1 ， ，﹣3.14，﹣0.3 ；
3 7
（4）无理数集合：{ ，1.080080008……}．
故答案为： ，1.0800π80008…．
【总结提升π】本题主要考查了实数的分类，关键是熟记负数的定义，整数的定义，分数的定义，无理数
的定义．
【针对训练】
1．（2023•德阳）下列各数中，是无理数的是（ ）1
A．﹣2023 B．❑√2023 C．0 D．
2023
【思路引领】整数和分数统称为有理数，无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
【解答】解：A．﹣2023是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B．❑√2023是无理数，故本选项符合题意；
C．0是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
1
D． 是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
2023
故选：B．
【总结提升】本题考查无理数的识别和算术平方根，熟练掌握相关概念是解题的关键．
2．（2023秋•肥城市期末）在0，❑√8，﹣4.3，√364，1.2 ⋅⋅
3
，3.141592…中，无理数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路引领】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
【解答】解：❑√8，3.141592…是无限不循环小数，他们均为无理数，共2个，
故选：B．
【总结提升】本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
11
3．（2023 秋•东坡区期中）在实数 ，0，﹣0.3，3.1415926，4，﹣2022， 中，有理数的个数为
3
π
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【思路引领】整数和分数统称为有理数，据此即可求得答案．
11
【解答】解： ，﹣0.3，3.1415926是分数，0，4，﹣2022是整数，它们均为有理数，
3
则有理数的个数为6个，
故选：D．
【总结提升】本题考查有理数的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
4．（2023•炎陵县开学）在0、1、﹣1、❑√2这四个数中，最大的数是（ ）
A．0 B．❑√2 C．﹣1 D．1
【思路引领】正数大于负数，零大于一切负数，零小于一切正数；两个正数比较大小，绝对值大的数就
大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．
【解答】解：∵❑√2＞1＞0＞−1，
∴0、1、﹣1、❑√2这四个数中，最大的数是：❑√2．故选：B．
【总结提升】本题考查实数比较大小，正数大于0，负数小于0，负数的绝对值越大，这个数越小，掌
握实数比较大小的方法是解题的关键．
类型三 实数的估算
【典例3】 （2024•渝中区开学）已知实数a、b互为倒数，c是❑√13的整数部分，d是❑√5的小数部分，则
√3 ab+c−d的值为 6−❑√5 ．
【思路引领】根据倒数的定义可得ab＝1，再利用无理数的估算求得c，d的值后代入√3 ab+c﹣d中计算
即可．
【解答】解：∵实数a、b互为倒数，
∴ab＝1，
∵9＜13＜16，4＜5＜9，
∴3＜❑√13＜4，2＜❑√5＜3，
∴c＝3，d=❑√5−2，
∴√3 ab+c﹣d
＝1+3﹣（❑√5−2）
＝4−❑√5+2
＝6−❑√5，
故答案为：6−❑√5．
【总结提升】本题考查实数的运算及估算无理数的大小，结合已知条件求得 ab，c，d的值是解题的关
键．
【针对训练】
1．（2023秋•郁南县期中）估算❑√57的值应在（ ）
A．6～7之间 B．7～8之间 C．8～9之间 D．不能确定
【思路引领】利用无理数的估算即可求得答案．
【解答】解：∵49＜57＜64，
∴7＜❑√57＜8，
即❑√57的值在7～8之间，
故选：B．
【总结提升】本题考查无理数的估算，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．
2．（2024•沙坪坝区开学）整数a满足❑√18＜a＜❑√28，则a的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6【思路引领】根据无理数的估算即可求得答案．
【解答】解：∵18＜25＜28，
∴❑√18＜5＜❑√28，
∴a＝5，
故选：C．
【总结提升】本题考查无理数的估算，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．
3．（2023秋•惠州期末）无理数6−❑√13的大小在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【思路引领】先用夹逼法估算❑√13的取值范围，进一步得出−❑√13的取值范围，再估算6−❑√13的取值
范围即可．
【解答】解：∵❑√9＜❑√13＜❑√16，
即3＜❑√13＜4，
∴−4＜−❑√13＜−3，
∴6−4＜6−❑√13＜6−3，
即2＜6−❑√13＜3，
故选：B．
【总结提升】本题考查了无理数的估算，熟练掌握利用夹逼法估算无理数的大小是解题的关键．
4．（2023秋•邗江区期末）正整数a、b分别满足√354＜a＜√3 96，❑√3＜b＜❑√7，则ba＝（ ）
A．16 B．9 C．8 D．4
【思路引领】利用无理数的估算求得a，b的值后代入ba中计算即可．
【解答】解：∵54＜64＜96，3＜4＜7，
∴√354＜4＜√3 96，❑√3＜2＜❑√7，
∴a＝4，b＝2，
∴ba＝24＝16，
故选：A．
【总结提升】本题考查无理数的估算，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．
5．（2023秋•莱西市期末）如图，数轴上A点表示一个无理数，这个无理数可能是（ ）
2
A．−❑√12 B．−❑√7 C．−2 D．❑√6
3【思路引领】先对各个选项中的无理数进行估算，然后根据已知条件进行判断即可．
【解答】解：观察数轴可知：点A表示的数是小于﹣2且大于﹣3的无理数，
A．∵❑√9＜❑√12＜❑√16，即3＜❑√12＜4，∴−4＜−❑√12＜−3，即点A表示的数不会是−❑√12，
故此象限不符合题意；
B．∵❑√4＜❑√7＜❑√9，即2＜❑√7＜3，∴−3＜−❑√7＜−2，即点A表示的数可能是−❑√7，故此选
项符合题意；
2 2 2
C．∵−3＜−2 ＜−2，−2 是有理数，∴点A表示的数不可能是−2 ，故此选项不符合题意；
3 3 3
D．∵❑√4＜❑√6＜❑√9，即2＜❑√6＜3，∴点A表示的数不可能是❑√6，故此选项不符合题意；
故选：B．
【总结提升】本题主要考查了实数与数轴和无理数的估算，解题关键是熟练掌握正确估算无理数．
6．（2023秋•沙坪坝区期末）设m=❑√7−❑√63，则实数m的值应在（ ）
A．﹣7和﹣6之间 B．﹣6和﹣5之间
C．﹣5和﹣4之间 D．﹣4和﹣3之间
【思路引领】先利用二次根式的减法进行计算，可得m＝﹣2❑√7，然后再进行估算，即可解答．
【解答】解：m=❑√7−❑√63
=❑√7−3❑√7
＝﹣2❑√7，
∵25＜28＜36，
∴5＜❑√28＜6，
∴﹣6＜﹣2❑√7＜−5，
∴实数m的值应在﹣6和﹣5之间，
故选：B．
【总结提升】本题考查了估算无理数的大小，准确熟练地进行计算是解题的关键．
7．（2023秋•岳阳楼区期末）大家知道❑√2的小数部分我们不可能全部地写出来，于是可以用❑√2−1来表
示❑√2的小数部分（因为❑√2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分）．
（1）如果❑√7的小数部分为a，❑√11的整数部分为b，求a+b−❑√7的值 1 ．
（2）已知：21+❑√10=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数 ❑√10−27 ．
【思路引领】（1）先估算❑√7和❑√11的大小，分别求出它们整数和小数部分，从而求出a，b，把a，b
代入a+b−❑√7进行计算即可；
（2）先估算❑√10的大小，从而估算21+❑√10的大小，求出x，y，再把x，y代入x﹣y进行计算，从而求出x﹣y的相反数即可．
【解答】解：（1）∵❑√4＜❑√7＜❑√9，即2＜❑√7＜3，
∴❑√7的整数部分为2，小数部分为❑√7−2，
∴a=❑√7−2，
∵❑√9＜❑√11＜❑√16，即3＜❑√11＜4，
∴❑√11的整数部分为3，小数部分为❑√11−3，
∴b＝3，
∴a+b−❑√7
=❑√7−2+3−❑√7
=3−2+❑√7−❑√7
＝1，
故答案为：1；
（2）∵❑√9＜❑√10＜❑√16，即3＜❑√10＜4，
∴3+21＜21+❑√10＜4+21，即24＜21+❑√10＜25，
∵21+❑√10=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，
∴x＝24，y=21+❑√10−24=❑√10−3，
∴x﹣y
=24−(❑√10−3)
=24−❑√10+3
=24+3−❑√10
=27−❑√10，
∴x﹣y的相反数为：❑√10−27，
故答案为：❑√10−27．
【总结提升】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是熟练掌握求无理数的整数部分和小数部分．
8*．（2023秋•莲池区期末）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数 T：m＜T＜n，（其
中m、n为连续的整数），则称无理数的“美好区间”为（m，n），如1＜❑√2＜2，所以❑√2的“美好
区间”为（1，2）．
（1）无理数−❑√13的“美好区间”是 （﹣ 4 ，﹣ 3 ） ；
{ x=m )
（2）若一个无理数的“美好区间”为（m，n），且满足10＜m+❑√n＜20，其中 是关于x，
y=❑√n
y的二元一次方程mx﹣ny＝C的一组正整数解，求C的值．（3）实数x，y，m满足如下关系式：（2x+3y+m）2+（3x+2y﹣3m）2=❑√x+ y−2024+❑√2024−x−y
，求m的算术平方根的“美好区间”．
【思路引领】（1）先估算❑√13的大小，然后再估算−❑√13的大小，然后根据无理数的“美好区间”进
行解答即可；
（2）先根据已知条件，求出满足题意的m，n的值，从而求出x，y，然后根据二元一次方程解的定义，
把m、n、x和y的值分别代入mx﹣ny＝C，求出C即可；
（3）先根据二次根式的非负性，求出x+y﹣2024＝2024﹣x﹣y＝0，从而得到（2x+3y+m）2+（3x+2y﹣
3m）2＝0，再根据偶次方的非负性，列出关于x，y的两个含有字母参数m的二元一次方程，从而求出
m的值，然后估算m的算术平方根的大小，求出m的“美好区间”即可．
【解答】解：（1）∵❑√9＜❑√13＜❑√16，
∴3＜❑√13＜4，
∴−4＜−❑√13＜−3，
∴无理数−❑√13的“美好区间”是（﹣4，﹣3），
故答案为：（﹣4，﹣3）；
{ x=m )
（2）∵m、n为连续的整数， 是关于x，y的二元一次方程mx﹣ny＝C的一组正整数解，
y=❑√n
∴❑√n是正整数，m＞0，
∵10＜m+❑√n＜20，
{m=8) {m=15)
∴满足题意的m，n的值为： 或 ，
n=9 n=16
{x=8) {x=15)
∴ 或 ，
y=3 y=4
{x=8)
当 时，C＝8×8﹣9×3＝64﹣27＝37；
y=3
{x=15)
当或 时，C＝15×15﹣16×4＝225﹣64＝161，
y=4
综上可知：C的值为：37或161；
（3）∵（2x+3y+m）2+（3x+2y﹣3m）2=❑√x+ y−2024+❑√2024−x−y，x+y﹣2024≥0，2024﹣x﹣
y≥0，
∴x+y﹣2024＝2024﹣x﹣y＝0，
∴x+y＝2024，
∵（2x+3y+m）2+（3x+2y﹣3m）2=❑√x+ y−2024+❑√2024−x−y，∴（2x+3y+m）2+（3x+2y﹣3m）2＝0，
∵（2x+3y+m）2≥0，（3x+2y﹣3m）2≥0，
∴2x+3y+m＝0①，3x+2y﹣3m＝0②，
①+②得：5x+5y﹣2m＝0，
5（x+y）﹣2m＝0，
5×2024﹣2m＝0，
解得：m＝5060，
∴❑√5041＜❑√5060＜❑√5184，
即71＜❑√5060＜72，
∴m的算术平方根的“美好区间”为（71，72）．
【总结提升】本题主要考查了无理数的估算和新定义，解题关键是熟练掌握正确估算无理数的大小和理
解新定义的含义．
类型四 实数与数轴的综合
【典例4】（2021春•仙游县月考）如图所示，数轴上表示1和❑√2的对应点分别为A、B，点B关于点A的
对称点是C，O为原点．
（1）分别求出线段AB、AC、OC长度；
（2）设C点表示的数为x，试求|x−❑√2|+x的值．
【思路引领】（1）用表示点B的数减去表示点A的数即可；根据对称性，AC＝AB；先表示点C的数，
然后用表示点C的数减去表示点0的数即可；
（2）先比较大小可得x＜❑√2，然后根据绝对轴的性质进行计算即可得解．
【解答】解：（1）由数轴可得，AB=❑√2−1，
∵点B关于点A的对称点是C，
∴AC＝AB=❑√2−1，
∴OC＝1﹣（❑√2−1）＝2−❑√2；
答：AB=❑√2−1，AC=❑√2−1，OC＝2−❑√2；
（2）由（1）得，x=2−❑√2＜❑√2，
∴原式=❑√2−x+x=❑√2．
【总结提升】本题考查了实数与数轴，绝对值以及两点间的距离的求解，求数轴上两点间的距离，用右
边的数减去左边的数即可．【针对训练】
1．（2022春•南城县月考）如图，数轴上表示1、❑√5的对应点分别为点A、点B，若点A是BC的中点，
则点C所表示的数为（ ）
A．❑√5 B．1−❑√5 C．❑√5−2 D．2−❑√5
【思路引领】根据A是BC的中点，可得AB＝CA，用A点表示的数减去AB的距离，可得C点表示的数．
【解答】解：∵点A是BC的中点，
∴AB＝CA=❑√5−1，
∴点C表示的数是：1﹣（❑√5−1）＝2−❑√5，
故选：D．
【总结提升】本题考查了实数与数轴，以及两点之间的距离公式，理解数轴上的点与实数一一对应，明
确AB＝CA是解题关键．
2．（2023秋•巴中期末）如图，数轴上有M，N，P，Q四点，则这四点中所表示的数最接近−❑√10的是（
）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
【思路引领】利用“夹逼法”求得−❑√10的取值范围，可得答案．
【解答】解：因为9＜10＜16，
所以3＜❑√10＜4．
所以﹣4＜−❑√10＜−3．
所以，这四点中所表示的数最接近−❑√10的是点N．
故选：B．
【总结提升】本题主要考查了实数与数轴，解题时，利用了“夹逼法”求得无理数的取值范围．
3 ． （ 2023 秋 • 筠 连 县 月 考 ） a 、 b 、 c 为 实 数 ， 在 数 轴 上 的 位 置 如 图 所 示 ， 则 ﹣ |a+c|
+❑√(b−c) 2−√3 −b3+❑√(a+b) 2的值是 2 c + b ．
【思路引领】根据数轴上点的位置判断a+c，b﹣c，a+b的正负，原式利用二次根式性质及绝对值的代数意义化简，去括号合并同类项即可得到结果．
【解答】解：根据数轴上点的位置得：a＜b＜0＜c，|a|＜|c|，
∴a+c＜0，b﹣c＜0，a+b＜0，
则原式＝﹣|a+c|+|b﹣c|﹣（﹣b）+|a+b|
＝a+c﹣b+c+b﹣a﹣b
＝2c+b．
故答案为：2c+b．
【总结提升】此题考查了实数的运算，立方根，以及实数与数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．（2023秋•连江县期末）在数轴上，点A表示的数❑√5，点A，点B关于原点对称，把点A向右移动2个
单位得到点C，设点B表示的数为m，点C所表示的数为n．
（1）数m的值是 −❑√5 ；数n的值是 ❑√5+2 ；
（2）求|2+m|+（n﹣2）2的值．
【思路引领】（1）根据关于原点对称的两个数的特征和数轴上两点间的距离公式，进行解答即可；
（2）把（1）中所求m，n的值代入所求代数式，进行计算即可．
【解答】解：（1）∵点A表示的数❑√5，点A，点B关于原点对称，
∴点B表示的数是−❑√5，
∴m=−❑√5，
∵把点A向右移动2个单位得到点C，
∴点C表示的数n=❑√5+2，
故答案为：−❑√5，❑√5+2；
（2）∵由（1）可知m=−❑√5，n=❑√5+2，
∴|2+m|+（n﹣2）2
=|2−❑√5|+(❑√5+2−2) 2
=❑√5−2+(❑√5) 2
=❑√5−2+5
=3+❑√5．
【总结提升】本题主要考查了实数和数轴，解题关键是熟练掌握关于原点对称的两个数的特征和两点间
的距离公式．
5．（2023秋•唐山期末）如图，数轴上有A、B、C三点，表示1和❑√2的对应点分别为A、B，点B到点A
的 距 离 与 点 C 到 原 点 O 的 距 离 相 等 ， 设 A 、 B 、 C 三 点 表 示 的 三 个 数 之 和 为 p.（1）求AB的长；
（2）求p；
（3）点D在点O的左侧，且DO＝10，若以点D为原点，直接写出点C表示的数．
【思路引领】（1）根据已知条件，利用两点间的距离公式求出AB即可；
（2）先根据条件求出OC，再利用两点间的距离公式求出点C表示的数，从而求出p即可；
（3）先根据已知条件，利用两点间的距离公式求出点D表示的数，从而求出点C表示的数即可．
【解答】解：（1）∵表示1和 ❑√2 的对应点分别为A、B，
∴AB=❑√2−1；
（2）∵点B到点A的距离与点C到原点O的距离相等，
∴OC=AB=❑√2−1，
∵点C在原点左侧，
∴点C所表示的数为：0−(❑√2−1)=1−❑√2，
⋅p=1−❑√2+1+❑√2=2；
（3）∵点D在点O的左侧，且DO＝10，
∴点D表示的数为：﹣10，
∴以点D为原点，点C表示的数为：1−❑√2−(−10)=1−❑√2+10=11−❑√2．
【总结提升】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握应用两点间的距离公式．
6．（2021秋•德惠市月考）操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）．
（1）折叠纸面，使表示点1与﹣1重合，则﹣2表示的点与 2 表示的点重合；
（2）折叠纸面，使﹣1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：
①❑√3表示的点与数 （ 2−❑√3） 表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，此时点A表示的数
7 11
是 − ，点B表示的数是 ．
2 2
（3）已知在数轴上点A表示的数是a，点A移动4个单位，此时点A表示的数和a互为相反数，求a的
值．
【思路引领】（1）根据“折叠纸面，1表示的点与﹣1表示的点重合”得出“折合点”所表示的数为0，找出﹣2的相反数即可；
−1+3
（2）①根据“折叠纸面，﹣1表示的点与3表示的点重合”可得“折合点”所表示的数为 =1，
2
即相对应的两个数所表示的点到1所表示的点距离相等，设未知数，列方程求解即可；
②折叠的性质可得A、B两点表示的数；
（3）分两种情况进行解答，即向右移动或向左移动4个单位长度，列方程求解即可．
【解答】解：（1）由题意点1与﹣1重合，得到1与﹣1关于原点对称，
−1+1
∴折叠对应的数为 =0，
2
设﹣2表示的点所对应点表示的数为x，
−2+x
则 =0，
2
解得：x＝2，
∴﹣2表示的点与2表示的点重合，
故答案为：2；
（2）∵折叠纸面，使表示的点﹣1与3重合，
−1+3
∴折叠对应的数为 =1，
2
①设❑√3表示的点所对应点表示的数为m，
❑√3+m
则 =1，
2
解得：m＝2−❑√3，
故答案为：2−❑√3；
②设点A所表示的数为a，点B表示的数为b，
a+b
由题意得： =1且b﹣a＝9，
2
7 11
解得：a=− ，b= ，
2 2
7 11
故答案为：− ， ；
2 2
（3）分两种情况：
①当点A向左移4个单位时，
则，（a﹣4）+a＝0，解得a＝2；②当点A向右移4个单位时，有（a+4）+a＝0，
解得a＝﹣2，
故a的值为2或﹣2．
【总结提升】本题主要考查了数轴，解题的关键是正确理解题意，确定折叠的位置．
类型5 实数的运算
【典例5】（2023秋•沂源县期末）计算：
（1）（﹣1）2023+❑√9−|﹣5|−√3−27；
√ 1 √ 1
（2）3− −（√30.125）3+❑6 −1．
8 4
【思路引领】（1）利用有理数的乘方，算术平方根，绝对值的性质，立方根的定义进行计算即可；
（2）利用算术平方根的定义，算术平方根的定义进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣1+3﹣5﹣（﹣3）
＝﹣1+3﹣5+3
＝0；
1
（2）原式=− −0.125+❑√6.25−1
2
＝﹣0.5﹣0.125+2.5﹣1
＝0.875．
【总结提升】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
【针对训练】
1．（2024•渝中区开学）计算：
1
（1）−42−16÷(−2)× −(−1) 2023 ；
2
√25 2 4
（2）❑ +(− ) 2÷(− )．
9 3 3
【思路引领】（1）首先计算乘方，然后计算除法、乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可；
（2）首先计算乘方和开平方，然后计算除法，最后计算加法，求出算式的值即可．
1
【解答】解：（1）−42−16÷(−2)× −(−1) 2023
2
1
＝﹣16+8× −（﹣1）
2
＝﹣16+4+1
＝﹣11．√25 2 4
（2）❑ +(− ) 2÷(− )
9 3 3
5 4 3
= + ×（− ）
3 9 4
5 1
= +（− ）
3 3
4
= ．
3
【总结提升】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运
算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，
同级运算要按照从左到右的顺序进行．
2．（2023秋•衡阳期末）计算：❑√16−√327+|❑√2−1|．
【思路引领】根据定义计算即可．
【解答】解：❑√16−√327+|❑√2−1|
=4−3+❑√2−1
=❑√2．
【总结提升】本题考查了实数的运算，关键是算术平方根，立方根，绝对值的化简．
❑√18
3．（2023秋•子洲县期末）计算： +|❑√2−2|+(−1) 2．
3
【思路引领】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
❑√18
【解答】解： +|❑√2−2|+(−1) 2
3
3❑√2
= +2−❑√2+1
3
=❑√2+2−❑√2+1
＝3．
【总结提升】本题考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
a2−b2
4．（2023春•龙江县期中）（1）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，求 −❑√cd的值；
a2+b2
（2）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：|a−b|−❑√a2．a2−b2 (a+b)(a−b)
【思路引领】（1）先求解a+b＝0，cd＝1，再把原式化为 −❑√cd= −❑√cd，再整
a2+b2 a2+b2
体代入求值即可；
（2）先判断b＜0＜a，可得a﹣b＞0，再化简|a−b|−❑√a2即可．
【解答】解：（1）∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，
∴a+b＝0，cd＝1，
a2−b2 (a+b)(a−b)
∴ −❑√cd= −❑√cd=0−1=−1；
a2+b2 a2+b2
（2）∵b＜0＜a，
∴a﹣b＞0，
∴|a−b|−❑√a2
＝a﹣b﹣a
＝﹣b．
【总结提升】本题考查的是相反数，倒数的含义，利用平方差公式分解因式，化简绝对值，求解算术平
方根，熟练的利用整体代入的方法求解代数式的值是解本题的关键．
类型六 求x的值（解方程）
【典例6】（2023秋•沂源县期末）求下列各式中实数x的值
（1）（x﹣1）3＝8；
（2）25（x+1）2﹣36＝0．
【思路引领】（1）直接开立方可求解；
（2）直接开平方可求解．
【解答】解：（1）（x﹣1）3＝8，
x﹣1＝2，
x＝3；
（2）25（x+1）2﹣36＝0，
36
（x+1）2= ，
25
6
∴x+1＝± ，
511 1
∴x =− ，x = ．
1 5 2 5
【总结提升】本题考查了实数的性质，正确掌握立方根和平方根的定义是解题关键．
【针对训练】
1．（2022秋•东港区期末）计算：
（1）3x2﹣27＝0；
（2）4（x﹣1）2＝9．
【思路引领】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）利用直接开平方法求解即可．
【解答】解：（1）3x2﹣27＝0，
3x2＝＝27，
x2＝9，
x＝±3；
（2）4（x﹣1）2＝9，
9
（x﹣1）2= ，
4
3
x﹣1=± ，
2
5 1
x= 或− ．
2 2
【总结提升】本题考查平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
2．（2023秋•南京期末）求下列各式中的x：
（1）2x2﹣18＝0；
（2）（1﹣x）3＝﹣8．
【思路引领】（1）利用平方根解方程即可；
（2）利用立方根解方程即可．
【解答】解：（1）2x2﹣18＝0，
2x2＝18；
x2＝9，
x＝±3；
（2）（1﹣x）3＝﹣8，
1﹣x＝﹣2，x＝3．
【总结提升】本题考查了平方根、立方根，熟练掌握利用平方根、立方根解方程是解题的关键．
3．（2023秋•丹阳市期末）解方程：
（1）4x2﹣64＝0
（2）（2x﹣1）3＝﹣8．
【思路引领】（1）先移项，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）根据立方根定义开方，即可得出一个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）移项得：4x2＝64，
2x＝±8，
x＝±4，
即x ＝4，x ＝﹣4；
1 2
（2）（2x﹣1）3＝﹣8，
2x﹣1＝﹣2，
1
x=− ．
2
【总结提升】本题考查了立方根和平方根的应用，解此题的关键是能根据立方根和平方根的定义得出一
元一次方程，难度适中．
4．（2023秋•河口区期末）（1）计算：√3−8−❑√2+（❑√3）2+|1−❑√2|；
（2）已知（x﹣1）2＝4，求x的值；
（3）已知27x3﹣8＝0，求x的值．
【思路引领】（1）首先计算乘方、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可；
（2）根据平方根的含义和求法，求出x﹣1的值，进而求出x的值即可；
（3）首先求出x3的值，然后根据立方根的含义和求法，求出x的值即可．
【解答】解：（1）√3−8−❑√2+（❑√3）2+|1−❑√2|
＝﹣2−❑√2+3+❑√2−1
＝0．
（2）∵（x﹣1）2＝4，
∴x﹣1＝﹣2或x﹣1＝2，
解得：x＝﹣1或x＝3．
（3）∵27x3﹣8＝0，8
∴x3= ，
27
2
解得：x= ．
3
【总结提升】此题主要考查了平方根、立方根的含义和求法，以及实数的运算，解答此题的关键是要明
确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算
加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
5．（2023秋•怀化期末）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“◎”如下：
❑√a+b ❑√3+2
a◎b= ，如3◎2= =❑√5．
❑√a−b ❑√3−2
（1）填空：5◎4＝ 3 ．
（2）若12◎4=❑√3（x﹣1），求x的值．
【思路引领】（1）直接利用运算公式计算得出答案；
（2）直接利用运算规律结合二次根式的性质计算得出答案．
❑√5+4
【解答】解：（1）5◎4= =3；
❑√5−4
故答案为：3；
❑√12+4 4
（2）∵12◎4= = =❑√2，
❑√12−4 2❑√2
∴❑√2=❑√3(x−1)，
3+❑√6
解得：x= ．
3
【总结提升】此题主要考查了实数的运算，正确运用运算规律代入是解题关键．
