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专题01 第6章实数重点及难点问题突破（解析版）
类型一 平方根与立方根的综合运用
【典例1】（2022春•源汇区期末）（1）一个正数的两个平方根分别是m+1和m﹣9，求这个正数．
（2）已知2a﹣1的算术平方根是3，b﹣a的立方根是﹣2，c的平方根是它本身，求a+b﹣c的平方根．
【思路引领】（1）由平方根的性质知a+3+5﹣3a＝0，解之可得a＝4，据此知这个数为（a+3）2，再代
入计算可得；
（2）直接利用算术平方根及立方根的定义分别化简得出答案．
【解答】解：（1）根据题意知：m+1+m﹣9＝0，
解得：m＝4，
所以这个正数为（m+1）2＝52＝25；
（2）∵2a﹣1的算术平方根为3，
∴2a﹣1＝9，
解得a＝5，
∵b﹣a的立方根是﹣2，
∴b﹣a＝﹣8，
∴b＝﹣3，
∵c的平方根是它本身，
∴c＝0，
∴a+b﹣c＝5﹣3﹣0＝2，
∴a+b﹣c的平方根是±❑√2．
【总结提升】本题主要考查立方根、平方根，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义．
【针对训练】
1．（2023秋•滨湖区期中）已知某正数的两个平方根分别是﹣2m+1和m﹣4，2n﹣1的算术平方根为1．
求2m﹣3n+1的立方根．
【思路引领】根据平方根的定义、算术平方根的定义以及立方根的定义即可求出答案．
【解答】解：∵﹣2m+1+m﹣4＝0，2n﹣1＝1，
∴m＝﹣3，n＝1，
∴2m﹣3n+1＝﹣6﹣3+1＝﹣8，
∴﹣8的立方根是﹣2．【总结提升】本题考查平方根的定义、算术平方根的定义以及立方根的定义，本题属于基础题型．
2．（2023春•南康区期中）已知a+1的算术平方根是3，﹣27的立方根是b﹣12，c﹣3的平方根是±2．
求：（1）a，b，c的值；
（2）a+4b﹣4c的平方根．
【思路引领】（1）根据平方根和立方根的概念分别计算出a、b、c即可；
（2）利用（1）的结论直接求值即可．
【解答】解：（1）∵a+1的算术平方根是3，
∴a+1＝9，
∴a＝8；
∵﹣27的立方根是b﹣12，
∴b﹣12＝﹣3，
∴b＝9；
∵c﹣3的平方根是±2，
∴c﹣3＝4，
∴c＝7；
即a，b，c的值分别为8，9，7；
（2）由（1）知，a+4b﹣4c＝8+4×9﹣4×7＝16，
∴a+4b﹣4c的平方根是±4．
【总结提升】本题主要考查平方根和立方根的知识，熟练掌握平方根和立方根的知识是解题的关键．
类型二 无理数整数部分小数部分及其求值
【典例2】（2023秋•港南区期末）阅读下面的文字，解答问题：
我们知道❑√3是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将❑√3的小数部分全部写出来，于是小慧用
❑√3−1来表示❑√3的小数部分，你明白小慧的表示方法吗？
事实上，因为❑√3的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分．
例如：∵❑√4＜❑√7＜❑√9，即2＜❑√7＜3，
∴❑√7的整数部分为2，小数部分为 (❑√7−2)．
请解答：（1）❑√5的整数部分是 2 ，小数部分是 ❑√5−2 ；
（2）已知x是8+❑√11的整数部分，y是8+❑√11的小数部分，求x﹣y的值
【思路引领】（1）仿照题中给出的方法即可求出❑√5的整数部分和小数部分；
（2）先求出❑√11的取值范围即可求出8+❑√11的取值范围，从而得出其整数部分和小数部分，即可计算
x﹣y的值．【解答】解：（1）∵❑√4＜❑√5＜❑√9，
即2＜❑√5＜3，
∴❑√5的整数部分为2，小数部分为❑√5−2，
故答案为：2，❑√5−2；
（2）∵❑√9＜❑√11＜❑√16，
即3＜❑√11＜4，
∴11＜8+❑√11＜12，
∴8+❑√11的整数部分为11，小数部分为8+❑√11−11=❑√11−3，
即x＝11，y=❑√11−3，
∴x−y=11−(❑√11−3)=11−❑√11+3=14−❑√11．
【总结提升】本题考查了无理数的估算，理解题意，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．
【针对训练】
1．（2023秋•岳阳楼区期末）大家知道❑√2的小数部分我们不可能全部地写出来，于是可以用❑√2−1来表
示❑√2的小数部分（因为❑√2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分）．
（1）如果❑√7的小数部分为a，❑√11的整数部分为b，求a+b−❑√7的值 1 ．
（2）已知：21+❑√10=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数 ❑√10−27 ．
【思路引领】（1）先估算❑√7和❑√11的大小，分别求出它们整数和小数部分，从而求出a，b，把a，b
代入a+b−❑√7进行计算即可；
（2）先估算❑√10的大小，从而估算21+❑√10的大小，求出x，y，再把x，y代入x﹣y进行计算，从而
求出x﹣y的相反数即可．
【解答】解：（1）∵❑√4＜❑√7＜❑√9，即2＜❑√7＜3，
∴❑√7的整数部分为2，小数部分为❑√7−2，
∴a=❑√7−2，
∵❑√9＜❑√11＜❑√16，即3＜❑√11＜4，
∴❑√11的整数部分为3，小数部分为❑√11−3，
∴b＝3，
∴a+b−❑√7
=❑√7−2+3−❑√7
=3−2+❑√7−❑√7
＝1，
故答案为：1；（2）∵❑√9＜❑√10＜❑√16，即3＜❑√10＜4，
∴3+21＜21+❑√10＜4+21，即24＜21+❑√10＜25，
∵21+❑√10=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，
∴x＝24，y=21+❑√10−24=❑√10−3，
∴x﹣y
=24−(❑√10−3)
=24−❑√10+3
=24+3−❑√10
=27−❑√10，
∴x﹣y的相反数为：❑√10−27，
故答案为：❑√10−27．
【总结提升】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是熟练掌握求无理数的整数部分和小数部分．
2．（2023秋•商水县期末）材料：∵4＜6＜9，∴❑√4＜❑√6＜❑√9，即2＜❑√6＜3，∴❑√6的整数部分是
2，小数部分为❑√6−2．
问题：已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是❑√15的整数部分．
（1）求❑√15的小数部分；
（2）求3a﹣b+c的平方根．
【思路引领】（1）估算出❑√15的范围，即可得到❑√15的小数部分；
（2）根据5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是❑√15的整数部分求出a，b，c的值，然
后求出3a﹣b+c的值，再求它的平方根．
【解答】解：（1）∵9＜15＜16，
∴3＜❑√15＜4，
∴❑√15的整数部分是3，小数部分是❑√15−3；
（2）∵5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是❑√15的整数部分，
∴5a+2＝33＝27，3a+b﹣1＝42＝16，c＝3，
∴a＝5，b＝2，c＝3，
∴3a﹣b+c＝15﹣2+3＝16，
∴3a﹣b+c的平方根是±4．
【总结提升】本题考查了无理数的估算，立方根，平方根的定义，注意一个正数的平方根有两个，不要
漏解．
3．（2023秋•道县期末）已知a的平方根是±2，b是27的立方根，c是❑√12的整数部分．（1）求a+b+c的值；
（2）若x是❑√12的小数部分，求x−❑√12+21的平方根．
【思路引领】（1）根据平方根、立方根、无理数的估算分别求出a、b、c的值即可；
（2）由（1）可知❑√12的整数部分是3，从而求出其小数部分，再根据算术平方根计算，最后求出平方
根即可．
【解答】解：（1）∵a的平方根是±2，
∴a＝（±2）2＝4，
∵b是27的立方根，
∴b＝3，
∵❑√9＜❑√12＜❑√16，
即3＜❑√12＜4，
∴❑√12的整数部分是3，
∵c是❑√12的整数部分，
∴c＝3，
∴a+b+c＝4+3+3＝10；
（2）由（1）可知❑√12的整数部分是3，
∵x是 ❑√12 的小数部分，
∴x=❑√12−3，
∴x−❑√12+21=❑√12−3−❑√12+21=18，
∴x−❑√12+12 的平方根是±3❑√2．
【总结提升】本题考查了无理数的估算，算术平方根，平方根，立方根，熟练掌握无理数的估算方法是
解题的关键．
4．（2023春•曾都区期中）我们知道，❑√2是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．即
❑√2的整数部分是1，小数部分是❑√2−1，请回答以下问题：
（1）❑√10的小数部分是 ❑√10− 3 ，5−❑√13的小数部分是 4−❑√13 ．
（2）若a是❑√90的整数部分，b是❑√3的小数部分．求a+b−❑√3+1的平方根．
（3）若7+❑√5=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y+❑√5的值．
【思路引领】（1）根据算术平方根的定义，估算无理数❑√10，5−❑√13的大小，进而确定它们的整数部
分、小数部分即可；
（2）根据算术平方根的定义，估算无理数❑√90，❑√3的大小，进而确定它们的整数部分、小数部分，即
确定a、b的值，再代入计算出a+b−❑√3+1的值，最后求其平方根即可；（3）估算无理数7+❑√5的值，确定x、y的值，代入计算x﹣y+❑√5的值即可．
【解答】解：（1）∵3＜❑√10＜4，
∴❑√10的整数部分是3，小数部分为❑√10−3，
∵3＜❑√13＜4，
∴﹣4＜−❑√13＜−3，
∴1＜5−❑√13＜2，
∴5−❑√13的整数部分是1，小数部分为5−❑√13−1＝4−❑√13，
故答案为：❑√10−3，4−❑√13；
（2）∵❑√81＜❑√90＜❑√100，即9＜❑√90＜10，
∴❑√90的整数部分a＝9，
又∵1＜❑√3＜2，
∴❑√3的整数部分为1，❑√3的小数部分b=❑√3−1，
∴a+b−❑√3+1＝9+❑√3−1−❑√3+1＝9，
∴a+b−❑√3+1的平方根为±❑√9=±3；
（3）∵2＜❑√5＜3，
∴9＜7+❑√5＜10，
又∵7+❑√5=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，
∴x＝9，y＝7+❑√5−9=❑√5−2，
∴x﹣y+❑√5=9−❑√5+2+❑√5
＝11，
答：x﹣y+❑√5的值为11．
【总结提升】本题考查平方根、算术平方根以及估算无理数的大小，理解算术平方根、平方根的定义是
正确解答的前提，确定a、b、x、y的值是得出正确答案的关键．
5．（1）如图是一个无理数筛选器的工作流程图．
①当x为16时，y值为 ❑√2 ；
②是否存在输入有意义的x值后，却始终输不出y值？如果存在，写出所有满足要求的x值；如果不存
在，请说明理由；
③如果输入x值后，筛选器的屏幕显示“该操作无法运行”，请你分析输入的x值可能是什么情况；
（2）．阅读下面的文字，解答问题．
大家知道❑√2是无理数，而无理数是无限不循环小数．因此，❑√2的小数部分不可能全部地写出来，但可
以用❑√2−1来表示❑√2的小数部分．理由：因为❑√2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答：
已知：2+❑√6的小数部分为a，5−❑√6的小数部分为b，计算a+b的值
【思路引领】（1）①将x＝16代入图中按流程求解即可；
②一个数的算术平方根始终不为无理数的只有0和1，即可求解；
③图中要计算输入的数的算术平方根，而负数没有算术平方根，即可求解；
（2）利用有理数去逼近无理数，判断出2+❑√6和5−❑√6的范围，减去整数部分从而得到小数部分，相
加即可．
【解答】解：（1）①当输入的x＝16时，取16的算术平方根，
即❑√16=4，
∵4不是无理数，
∴继续输入，再输入4，取4的算术平方根，
即❑√4=2，
∵2不是无理数，
∴继续输入，再输入2，取2的算术平方根❑√2，
∵❑√2是无理数，
∴输出❑√2，
即y=❑√2，
故答案为：❑√2；
②当输入的x＝0和1时，
取它们的算术平方根，是0和1，
再输入0和1，
取它们的算术平方根，仍是0和1，一直输入，取算术平方根，
结果仍是0和1，是有理数，
∴输入的x＝0和1时，始终输不出y值；
③∵负数没有算术平方根，
∴当x＜0时，开平方无法计算，
∴输入x＜0时，筛选器的屏幕显示“该操作无法运行”；
（2）∵❑√4＜❑√6＜❑√9，
∴2＜❑√6＜3，﹣2＞−❑√6＞−3，
∴2+2＜2+❑√6＜2+3，5﹣2＞5−❑√6＞5﹣3，
∴4＜2+❑√6＜5，3＞5−❑√6＞2，
∴2+❑√6的整数部分为4，5−❑√6的整数部分为2，
∴2+❑√6的小数部分a为2+❑√6−4=❑√6−2，5−❑√6的小数部分b为5−❑√6−2＝3−❑√6，
∴a+b=❑√6−2+3−❑√6=1．
【总结提升】本题考查估算无理数的大小，解题的关键是根据❑√6的范围求出a，b．
类型四 圆在数轴上的滚动
【典例4】（2022春•武昌区期中）如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一
点由原点到达O′点．
（1）那么O′点对应的数是 ；
（2）从上述的事实不难看出：当π数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的，
有理数中的相关概念，运算法则，运算律同样适合于实数，解决下列问题：
❑√5−1 1
① ＞ （用“＞或＜填空”）；
2 2
1
②计算❑√3（❑√3− ）+|2−❑√5|÷（❑√16−√327）；
❑√3
③若（x﹣2）2＝9，则x的值为 x ＝ 5 或 x ＝﹣ 1 ．
1 2
【思路引领】（1）根据圆的周长公式计算；
（2）①2＜❑√5＜3，得❑√5−1＞1，从而比较大小；
②去括号，化简绝对值，最后加减；③开平方后，解一元一次方程．
【解答】解：（1）∵直径为1个单位长度的圆，
∴周长： ，
∵从原点π沿数轴向右滚动一周，
∴O′点对应的数是 ，
故答案为： ； π
（2）①2＜π❑√5＜3，
∴❑√5−1＞1，
❑√5−1 1
∴ ＞ ，
2 2
故答案为：＞；
②原式＝3﹣1+（❑√5−2）÷（4﹣3）
＝3﹣1+（❑√5−2）÷1
=❑√5；
③（x﹣2）2＝9，
∴x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，
∴x ＝5或x ＝﹣1．
1 2
故答案为：x ＝5或x ＝﹣1．
1 2
【总结提升】本题主要考查了立方根、平方根、实数与数轴、实数运算，熟练掌握这些知识点的综合应
用是解题关键．
【针对训练】
1．（2023秋•长安区期中）如图，半径为1个单位长度的圆片上有一点Q与数轴上的原点重合．（所有结
果均保留 ）．
π
（1）若该圆片从原点沿数轴向左滚动一周，圆片上与原点重合的点Q到达点Q′，设点Q′表示的数
为a．
①求a的值；
②求−(a−❑√16)−π的算术平方根．（2）若圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，向左滚动的周数记为负数，依次滚动的情况记录如下：
+2，﹣1，+3，﹣4，﹣3．
①第几次滚动后，点Q距离原点最近？第几次滚动后，点Q距离原点最远？
②当圆片结束运动时，点Q运动的路程共有多少？此时点Q所表示的数是多少？
【思路引领】（1）①利用圆的半径以及滚动周数即可得出滚动距离，从而得到答案；
②先将①中的a值代入，再求化简后的算术平方根；
（2）①利用滚动的方向以及滚动的周数即可得出Q点移动距离变化；
②利用绝对值得性质以及有理数的加减运算得出移动距离和Q表示的数即可．
【解答】解：（1）①∵ d＝ ×2＝2 ，
∴点Q′表示的数a是﹣2π ，π π
②﹣（a−❑√16)−π− ＝π﹣（﹣2 ﹣4）﹣ ＝2 +4﹣ ＝4+ ，
4+ 的算术平方根是❑√ππ+4． π π π π π
（2π）①第一次距离原点|+2|＝2周，
第二次：+2+（﹣1）＝1，距离原点1周，
第三次：1+3＝4，距离原点4周，
第四次：4+（﹣4）＝0，在原点处，
第五次：0+（﹣3）＝﹣3，|﹣3|＝3，距离原点3周，
∴第四次滚动距离原点最近，第三次滚动距离原点最远．
②|+2|+|﹣1|+|+3|+|﹣4|+|﹣3|＝13，
∴13× ×2＝26 ，
∴当圆π片结束运π动时，Q点运动的路程共有26 ，
∵+2+（﹣1）+（+3）+（﹣4）+（﹣3）＝﹣3π，
∴﹣3× ×2＝﹣6 ，
∴此时点π Q所表示π 的数是﹣6 ．
【总结提升】此题主要考查了π数轴的应用以及绝对值得性质和圆的周长公式应用，利用数轴得出对应数
是解题关键．
2．（2023秋•惠山区期中）如图，数轴上从左到右依次有A、B、C、D四个点，A、B之间的距离为a+b，
B、C之间的距离为2a﹣b，B、D之间的距离为5a+2b，将直径为1的圆形纸片按如图所示的方式放置
在点A处，并沿数轴水平方向向右滚动．nπ
（1）若圆形纸片从点A处滚到点C处，恰好滚动了n（n为正整数）圈，则a＝ （用含n的代数
3
式表示），a是 无理数 （填“有理数”或“无理数”）；
（2）若圆形纸片从点A处滚动1圈后，恰好到达点B处，求C、D之间的距离（结果保留 ）；
（3）若点A表示的数为 ，圆形纸片从点A处滚动到点B、C、D处的圈数均为整数，其中π圆形纸片从
点A处滚动3圈后，恰好π到达点C处，求点D表示的数．
【思路引领】（1）表示圆的周长，再根据滚动的圈数得出滚动的距离即可得出答案；
（2）圆形纸片从点A处滚动1圈到达点B处，可得a+b＝ ，再得出CD＝3a+3b，整体代入即可；
（3）根据“圆形纸片从点A处滚动到点B、C、D处的圈π数均为整数，且从点A处滚动到点C滚动3
圈”，因此分两种情况进行解答，即AB为1圈，BC为2圈，或AB为2圈，BC为1圈．
【解答】解：（1）圆形纸片的直径为1，因此周长为 ，滚动n圈的距离为n ，
而AC＝（a+b）+（2a﹣b）＝3a， π π
所以3a＝n ，
nπ πnπ
即a= ， 是无理数，
3 3
nπ
故答案为： ，无理数；
3
（2）圆形纸片从点A处滚动1圈到达点B处，所以有a+b＝ ，
所以CD＝（5a+2b）﹣（2a﹣b）＝3a+3b＝3（a+b）＝3 ，π
答：C、D之间的距离为3 ； π
（3）由（2）得，CD＝3AπB，
由于圆形纸片从点A处滚动到点B、C、D处的圈数均为整数，且从点A处滚动到点C滚动3圈，
因此有①当A、B的距离为 时，则B、C的距离为2 ，C、D之间的距离为3 ，
所以A、D之间的距离为 +2π +3 ＝6 ， π π
又因为点A表示的数为 ，π π π π
所以点D所表示的数为π+6 ＝7 ，
②当A、B的距离为2 π时，π则Bπ、C的距离为 ，C、D之间的距离为2 ×3＝6 ，
所以A、D之间的距离π为2 + +6 ＝9 ， π π π
又因为点A表示的数为 ，π π π π
π所以点D所表示的数为 +9 ＝10 ，
答：点D表示的数为7 π或1π0 ．π
【总结提升】本题考查π数轴表π示数，无理数的意义，掌握数轴上两点距离的计算方法是解决问题的前提．
3．（2022秋•大田县期中）【操作感知】如图①，长方形透明纸上有一条数轴，AB是周长为4的圆的直
径，点A与数轴原点重合，将圆从原点出发沿数轴正方向滚动1周，点A落在数轴上的点A'处；将圆从
原点出发沿数轴负方向滚动半周，点B落在数轴上的点B′处，折叠长方形透明纸，使数轴上的点A′
与点B′重合，此时折痕与数轴交点表示的数为 1 ．
【建立模型】折叠长方形透明纸，使得数轴上表示数a的点M与表示数b的点N重合，则折痕与数轴交
a+b
点表示的数为 （用含a，b的代数式表示）．
2
【问题解决】
（1）若C，D，E为数轴上不同的三点，点C表示的数为4，点D表示的数为﹣2，如果C，D，E三点
中的一点到其余两点的距离相等，求点E表示的数；
（2）如图②，若AB是周长为l的圆的直径，点A与数轴原点重合，将圆从原点出发沿数轴正方向滚
动2周，点A落在数轴上的点Q处；将圆从原点出发沿数轴负方向滚动1周，点A落在数轴上的点P处．
将此长方形透明纸沿P，Q剪开，将点P，Q之间一段透明纸对折，使其左、右两端重合，这样连续对
折 n 次 后 ， 再 将 其 展 开 ， 求 最 右 端 折 痕 与 数 轴 交 点 表 示 的 数 ．
【思路引领】【操作感知】由已知得出A'、B'表示的数，再求出A'B'中点即可得答案；
【建立模型】求出MN的中点表示的数即可得到答案；
【问题解决】（1）分三种情况分别列出方程，即可得答案；
3l
（2）先求出PQ的长度，再根据每两条相邻折痕间的距离为 ，即可得最右端的折痕与数轴的交点表
2n
示的数．
【解答】解：【操作感知】由已知得A'表示的数是4，B'表示的数是﹣2，∵折叠长方形透明纸，使数轴上的点A′与点B′重合，
∴A′与点B′关于折痕对称，即A'B'中点为折痕与数轴的交点，
−2+4
而A'B'中点表示的数为 =1，
2
故答案为：1；
【建立模型】∵MN关于折痕对称，
∴MN的中点即是折痕与数轴交点，
a+b
而MN的中点表示的数是 ，
2
a+b
∴折痕与数轴交点表示的数为 ，
2
a+b
故答案为： ；
2
【问题解决】（1）设点E表示的数是x，
−4+2
当E到C、D距离相等，即E是CD中点时，x= =−1，
2
2+x
当C到E、D距离相等，即C是ED中点时，﹣4= ，解得x＝﹣10，
2
−4+x
当D是C、E距离相等，即D是CE中点时，2= ，解得x＝8，
2
综上所述，点E表示的数为﹣1或﹣10或8；
（2）由已知得Q表示的数是2l，P表示的是﹣l，
∴PQ＝3l，
3l
而对折n次后，每两条相邻折痕间的距离相等，这个距离是 ，
2n
3l
∴最右端的折痕与数轴的交点表示的数为2l− ．
2n
【总结提升】本题考查数轴上点表示的数；熟练掌握中点坐标公式，根据图形对称的性质解决问题是解
题的关键．
类型五 正方形在数轴上的翻滚
【典例5】（2023秋•浙江期中）如图，在4×4的小正方形组成的图形中有一个阴影部分（阴影部分也是正
方形）．若每个小正方形的边长为1，点A表示的数为1．
（1）图中正方形ABCD的面积为多少？它的边长为多少？这个值在哪两个连续整数之间？（2）若阴影正方形的边长的值的整数部分为x，小数部分为y，求 的值，
(y−❑√10) x
（3）若正方形ABCD从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点 B滚到与数轴上的点P重合时，记为第
一次翻滚，如图所示，C翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，以此类推，请直接回答：
①点P表示的数为多少？
②是否存在正整数n，使得该正方形n次翻滚后，其顶点A，B，C，D中的某个点与2023重合？
【思路引领】（1）根据阴影部分的面积等于正方形的面积减去四周四个小直角三角形的面积列式计算，
再利用算术平方根的定义求出边长，最后利用无理数的估算方法即可得到答案；
（2）利用无理数估算的方法即可求得x和y；将x和y代入计算即可；
（3）①根据点A表示的数和正方形的边长即可得到点P表示的数，②判断2023﹣1是否是正方形边长
的整数倍，即可得出结论．
1
【解答】解：（1）正方形ABCD的面积为16−4× ×1×3=10；
2
∴正方形ABCD的边长为❑√10；
∵❑√9＜❑√10＜❑√16，
∴3＜❑√10＜4，
∴这个值在3与4之间；
（2）由（1）可知，x=3，y=❑√10−3，
∴ ；
(y−❑√10) x=(❑√10−3−❑√10) 3=(−3) 3=−27
（3）①∵点A表示的数为1，正方形ABCD的边长为❑√10，
∴点P表示的数为：1+❑√10；
②不存在．
理由：假设存在正整数n，则n×❑√10+1=2023，
❑√10n=2022，2022
❑√10= ，
n
∵n为正整数，
2022
∴ 为有理数，而❑√10为无理数，
n
∴上式等号不成立．即不存在正整数n．
【总结提升】本题考查实数与数轴，算术平方根，正方形的面积，无理数的估算．掌握等面积法是解决
（1）的关键，（2）中需注意小数部分＝原数﹣整数部分．
【针对训练】
1．（2023秋•丹徒区期中）如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，在数轴上的位置如图所示，点A表
示的数为0，点D表示的数为﹣1．
（1）将正方形ABCD从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段AD再次落在数轴上），
则点A表示的数是 ﹣ 4 ；
（2）将正方形ABCD从如图所示位置沿数轴向右滚动，则数2023表示的点与点 D 重合；
（3）将正方形ABCD从如图所示的位置沿数轴滚动，向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为
负数，依次运动情况记录如下：+2，﹣1，+3，﹣4，﹣2．
①第 3 次滚动后，点A离原点最远；
②当正方形ABCD结束滚动时，点D表示的数是什么？
【思路引领】（1）根据正方形ABCD滚动1周后点A的位置得出点A对应的数；
（2）根据正方形ABCD滚动的规律，得到经过数轴上的数2023的点；
（3）①先判断每次滚动后点A的位置，再根据所得结果判断A点距离原点最近和A点距离原点最远的
出现的次数；
②根据正方形ABCD结束运动时，点C的位置得出其所表示的数即可．
【解答】解：（1）由题可得，正方形ABCD向左滚动一周，正方形ABCD的顶点A向左移动4个单位，
所以正方形ABCD向左滚动一周后，点A对应的数为：0﹣4＝﹣4，
故答案为：﹣4；
（2）因为2023÷4＝503…3，
所以在滚动过程中，D点经过数轴上的数2023；故答案为：D；
（3）①因为5次运动后，点A依次对应的数为：
0+4×2＝8；
8﹣4×1＝4；
4+4×3＝16；
16﹣4×4＝0；
0﹣4×2＝﹣8；
所以第3次滚动后，A点距离原点最远；
②由①可得：当正方形ABCD结束运动时，此时点A所表示的数是﹣8，
所以，点D表示的数是﹣9．
故答案为：﹣9．
【总结提升】本题主要考查了数轴，解决问题的关键是掌握数轴的概念，解题时注意：正方形ABCD滚
动一周，正方形ABCD的顶点移动4个单位．
