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专题01 第6章实数重点及难点问题突破（原卷版）
类型一 平方根与立方根的综合运用
【典例1】（2022春•源汇区期末）（1）一个正数的两个平方根分别是m+1和m﹣9，求这个正数．
（2）已知2a﹣1的算术平方根是3，b﹣a的立方根是﹣2，c的平方根是它本身，求a+b﹣c的平方根．
【针对训练】
1．（2023秋•滨湖区期中）已知某正数的两个平方根分别是﹣2m+1和m﹣4，2n﹣1的算术平方根为1．
求2m﹣3n+1的立方根．
2．（2023春•南康区期中）已知a+1的算术平方根是3，﹣27的立方根是b﹣12，c﹣3的平方根是±2．
求：（1）a，b，c的值；
（2）a+4b﹣4c的平方根．
类型二 无理数整数部分小数部分及其求值
【典例2】（2023秋•港南区期末）阅读下面的文字，解答问题：
我们知道❑√3是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将❑√3的小数部分全部写出来，于是小慧用
❑√3−1来表示❑√3的小数部分，你明白小慧的表示方法吗？
事实上，因为❑√3的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分．
例如：∵❑√4＜❑√7＜❑√9，即2＜❑√7＜3，
∴❑√7的整数部分为2，小数部分为 (❑√7−2)．
请解答：（1）❑√5的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）已知x是8+❑√11的整数部分，y是8+❑√11的小数部分，求x﹣y的值【针对训练】
1．（2023秋•岳阳楼区期末）大家知道❑√2的小数部分我们不可能全部地写出来，于是可以用❑√2−1来表
示❑√2的小数部分（因为❑√2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分）．
（1）如果❑√7的小数部分为a，❑√11的整数部分为b，求a+b−❑√7的值 ．
（2）已知：21+❑√10=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数 ．
2．（2023秋•商水县期末）材料：∵4＜6＜9，∴❑√4＜❑√6＜❑√9，即2＜❑√6＜3，∴❑√6的整数部分是
2，小数部分为❑√6−2．
问题：已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是❑√15的整数部分．
（1）求❑√15的小数部分；
（2）求3a﹣b+c的平方根．
3．（2023秋•道县期末）已知a的平方根是±2，b是27的立方根，c是❑√12的整数部分．
（1）求a+b+c的值；
（2）若x是❑√12的小数部分，求x−❑√12+21的平方根．
4．（2023春•曾都区期中）我们知道，❑√2是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．即
❑√2的整数部分是1，小数部分是❑√2−1，请回答以下问题：
（1）❑√10的小数部分是 ，5−❑√13的小数部分是 ．
（2）若a是❑√90的整数部分，b是❑√3的小数部分．求a+b−❑√3+1的平方根．
（3）若7+❑√5=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y+❑√5的值．5．（1）如图是一个无理数筛选器的工作流程图．
①当x为16时，y值为 ；
②是否存在输入有意义的x值后，却始终输不出y值？如果存在，写出所有满足要求的x值；如果不存
在，请说明理由；
③如果输入x值后，筛选器的屏幕显示“该操作无法运行”，请你分析输入的x值可能是什么情况；
（2）．阅读下面的文字，解答问题．
大家知道❑√2是无理数，而无理数是无限不循环小数．因此，❑√2的小数部分不可能全部地写出来，但可
以用❑√2−1来表示❑√2的小数部分．理由：因为❑√2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是
小数部分．请解答：
已知：2+❑√6的小数部分为a，5−❑√6的小数部分为b，计算a+b的值
类型四 圆在数轴上的滚动
【典例4】（2022春•武昌区期中）如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一
点由原点到达O′点．
（1）那么O′点对应的数是 ；
（2）从上述的事实不难看出：当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的，
有理数中的相关概念，运算法则，运算律同样适合于实数，解决下列问题：
❑√5−1 1 1
① （用“＞或＜填空”）；②计算❑√3（❑√3− ）+|2−❑√5|÷（❑√16−√327）；
2 2 ❑√3
③若（x﹣2）2＝9，则x的值为 ．【针对训练】
1．（2023秋•长安区期中）如图，半径为1个单位长度的圆片上有一点Q与数轴上的原点重合．（所有结
果均保留 ）．
（1）若该π圆片从原点沿数轴向左滚动一周，圆片上与原点重合的点Q到达点Q′，设点Q′表示的数
为a．
①求a的值；
②求−(a−❑√16)−π的算术平方根．
（2）若圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，向左滚动的周数记为负数，依次滚动的情况记录如下：
+2，﹣1，+3，﹣4，﹣3．
①第几次滚动后，点Q距离原点最近？第几次滚动后，点Q距离原点最远？
②当圆片结束运动时，点Q运动的路程共有多少？此时点Q所表示的数是多少？
2．（2023秋•惠山区期中）如图，数轴上从左到右依次有A、B、C、D四个点，A、B之间的距离为a+b，
B、C之间的距离为2a﹣b，B、D之间的距离为5a+2b，将直径为1的圆形纸片按如图所示的方式放置
在点A处，并沿数轴水平方向向右滚动．
（1）若圆形纸片从点A处滚到点C处，恰好滚动了n（n为正整数）圈，则a＝ （用含n的代数式
表示），a是 （填“有理数”或“无理数”）；
（2）若圆形纸片从点A处滚动1圈后，恰好到达点B处，求C、D之间的距离（结果保留 ）；
（3）若点A表示的数为 ，圆形纸片从点A处滚动到点B、C、D处的圈数均为整数，其中π圆形纸片从
点A处滚动3圈后，恰好π到达点C处，求点D表示的数．3．（2022秋•大田县期中）【操作感知】如图①，长方形透明纸上有一条数轴，AB是周长为4的圆的直
径，点A与数轴原点重合，将圆从原点出发沿数轴正方向滚动1周，点A落在数轴上的点A'处；将圆从
原点出发沿数轴负方向滚动半周，点B落在数轴上的点B′处，折叠长方形透明纸，使数轴上的点A′
与点B′重合，此时折痕与数轴交点表示的数为 ．
【建立模型】折叠长方形透明纸，使得数轴上表示数a的点M与表示数b的点N重合，则折痕与数轴交
点表示的数为 （用含a，b的代数式表示）．
【问题解决】
（1）若C，D，E为数轴上不同的三点，点C表示的数为4，点D表示的数为﹣2，如果C，D，E三点
中的一点到其余两点的距离相等，求点E表示的数；
（2）如图②，若AB是周长为l的圆的直径，点A与数轴原点重合，将圆从原点出发沿数轴正方向滚
动2周，点A落在数轴上的点Q处；将圆从原点出发沿数轴负方向滚动1周，点A落在数轴上的点P处．
将此长方形透明纸沿P，Q剪开，将点P，Q之间一段透明纸对折，使其左、右两端重合，这样连续对
折n次后，再将其展开，求最右端折痕与数轴交点表示的数．类型五 正方形在数轴上的翻滚
【典例5】（2023秋•浙江期中）如图，在4×4的小正方形组成的图形中有一个阴影部分（阴影部分也是正
方形）．若每个小正方形的边长为1，点A表示的数为1．
（1）图中正方形ABCD的面积为多少？它的边长为多少？这个值在哪两个连续整数之间？
（2）若阴影正方形的边长的值的整数部分为x，小数部分为y，求 的值，
(y−❑√10) x
（3）若正方形ABCD从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点B滚到与数轴上的点P重合时，记为第
一次翻滚，如图所示，C翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，以此类推，请直接回答：
①点P表示的数为多少？
②是否存在正整数n，使得该正方形n次翻滚后，其顶点A，B，C，D中的某个点与2023重合？
【针对训练】
1．（2023秋•丹徒区期中）如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，在数轴上的位置如图所示，点A表
示的数为0，点D表示的数为﹣1．
（1）将正方形ABCD从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段AD再次落在数轴上），
则点A表示的数是 ；
（2）将正方形ABCD从如图所示位置沿数轴向右滚动，则数2023表示的点与点 重合；
（3）将正方形ABCD从如图所示的位置沿数轴滚动，向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为
负数，依次运动情况记录如下：+2，﹣1，+3，﹣4，﹣2．
①第 次滚动后，点A离原点最远；
②当正方形ABCD结束滚动时，点D表示的数是什么？
