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专题02 二次函数图象和性质与系数的问题
常考题型·精准突破
题型1 二次函数中含参数的图象和性质（难）
题型2 一次函数与二次函数图像综合判断问题（高频）
题型3 二次函数与几何图形中的动点问题（高频）
题型4 二次函数图像与各项系数符号问题（高频）
题型5 二次函数中含参数的综合问题（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 二次函数中含参数的图象和性质
1．C
2．D
3．C
◆题型2 一次函数与二次函数图像综合判断问题
4．A
5．D
6．C
◆题型3 二次函数与几何图形中的动点问题
7．C
8．C
9．C
◆题型4 二次函数图像与各项系数符号问题
10．①③⑤
11．①②④
12．①②⑤
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◆题型5 二次函数中含参数的综合问题
13．
【答案】(1)
2
2
3
y
x
x
=
−
−
(2)
1
n = −或
6
n =
【详解】（1）解：∵二次函数
2
3
y
ax
bx
=
+
−的图象经过点
(
)
1,0
A −
，(
)
3,0
B
，
∴
3
0
9
3
3
0
a
b
a
b
−−
=
+
−
=
，解得{ 𝑎= 1
𝑏= −2，
∴
2
2
3
y
x
x
=
−
−．
（2）解：
2
2
2
3
(
1)
4
y
x
x
x
=
−
−=
−
−
，
∴二次函数开口向上，对称轴为直线
1
x = ，
①当
1
n 时，
1
n
x
n
−
在对称轴左侧，y 随x 增大而减小，最大值在
1
x
n
=
−处取得 ，
∴
2
2
(
1 1)
4
4
3
2
y
n
n
n
n
=
−−
−
=
−
= −
，
解得
3
n = 或
1
n = −，
∵
1
n ，
∴
1
n = −符合条件；
②当
1 1
n−，即
2
n
时，
1
n
x
n
−
在对称轴右侧，y 随x 增大而增大，最大值在x
n
=
处取得，
∴
2
2
(
1)
4
2
3
3
2
y
n
n
n
n
=
−
−
=
−
−= −
，
解得
6
n =
或
6
n = −
，
∵
2
n
，
∴
6
n =
符合条件；
③当
1 1
n
n
−
时，即1
2
n
，则最值在
1
x
n
=
−或x
n
=
处取得，
由①②可知，求得的n 的值均不在1
2
n
内，均舍去；
综上，n 的值为1
−或6 .
14．
【答案】(1)
12
x =
(2)3
4
t
【详解】（1）解：将点(
)
4,10 代入抛物线解析式
(
)
2
1
2
3
2
y
x
k
x
k
= −
+
+
−
：
(
)
2
1
10
4
2
4 3
2
k
k
= −
+
+
−
，
解得
10
k =
，
所以抛物线解析式为：
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2
1
12
30
2
y
x
x
= −
+
−
，
其中
1
2
a = −
，
12
b =
，
对称轴公式为：
12
12
1
2
2
2
b
x
a
= −
= −
=
−
，
所以抛物线的对称轴为直线
12
x =
．
（2）解：由点
(
)
2,
M t
c
−
、(
)
2,
P t
c
+
在抛物线上且纵坐标相同，得抛物线对称轴为：
(
) (
)
2
2
2
2
1
2
2
2
2
t
t
b
k
x
t
k
a
−
+
+
+
=
= = −
= −
=
+
−
，故
2
t
k
=
+
，
抛物线
(
)
2
1
2
3
2
y
x
k
x
k
= −
+
+
−
中
1
0
2
a = −
，开口向下，函数值大小与点到对称轴的距离关系为：点到对
称轴的距离越小，函数值越大；
点M 、P 到对称轴x
t
= 的距离为：(
)
2
2
t
t
+
−
=
，
点
(
)
2,
N
d 到对称轴x
t
= 的距离为2
t
−
，
因为c
d
，所以点N 到对称轴的距离小于2，即：
2
2
t
−
，
解此不等式：
2
2
2
t
−
−
，
解得0
4
t
，
又
1
k ，
则
2
3
t
k
=
+
，
综上，3
4
t
．
15．
【答案】(1)(
)
2,2
(2)①
1
2
t =
；②1
−
【详解】（1）解：抛物线经过点(
)
1,3
1 2
3
3
a
a
−
+
=
，解得
2
a =
(
)
2
2
4
6
2
2
y
x
x
x
=
−
+
=
−
+
顶点坐标为(
)
2,2
（2）解：①
2
2
2
t
x
t
−
+
，
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2
2
t
t
−
+
，
0
t
，
∵
(
)
2
2
4
6
2
2
y
x
x
x−
=
−
+
=
+
，
∴抛物线的对称轴是直线
2
x =
，
而2
2
2
2
t
t
−
+
，
当
2
x =
时，函数取得最小值
2
m =
．
2
2
2
2
2
t
t
+
−
−−
∣
∣∣
∣，
又
1
0
a =
，
当
2
2
x
t
=
+
时，函数取得最大值
2
4
2
M
t
=
+
1
M
m
−
=
，
2
4
2
2
1
t
+
−
= ，解得
1
2
t =
0
t
，
1
2
t
=
．
②记当
1
x
x
=
时抛物线上的点为A，当
2
x
x
=
时抛物线上的点为B，
当点A 与点B 关于对称轴对称时的最大值为
0
M ，最小值为
2
m =
显然，当点A 向左移动到点A时，最大值在该点处取得，且大于
0
M ，由图象可得，当点A 向左移动时，满
足
0
2
M
m
M
−
−
同理，当点A 向右移动到点A时，
0
2
M
m
M
−
−
因此，当点A 与点B 关于对称轴对称时，M
m
−
取得最小值．
当
2
x =
时，
2
m =
当
2
2
s
x =
+
时，
2
2
4
s
M =
+
2
4
s
d
M
m
=
−
=
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(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
1
1
1
4
4
4
4
2
1
1
4
4
4
4
s
d
s
s
s
s
s
s
s
−
−
−
−
=
=
−
=
−
+
−
=
−
d
s
−的最小值是1
−．
综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．A
2．D
3．C
4．D
二、填空题
5．
1
2
y
y
/
2
1
y
y
6．5
7．①②③
8． (
)
3,0
3
m
或
6
m
三、解答题
9．
【答案】(1)1
(2)平移的距离为2 或4
【详解】（1）解：由题意：将点(
)
4,3 代入
2
4
2
1
y
x
mx
m
=
−
+
+ ，
得：
2
3
4
16
2
1
m
m
=
−
+
+ ，
解得：
1
m = ；
（2）解：由（1）得：二次函数为
(
)
2
2
4
3
2
1
y
x
x
x
=
−
+
=
−
−，
∴设平移后得到的新函数为
(
)
2
2
1
y
x
a
=
−
−
−，其中a 为平移量（
0
a
表示向右平移；
0
a
表示向左平移），
∴新抛物线的对称轴是直线
2
x
a
=
+
，
①当0
2
6
a
+
时，即2
4
a
−
，
若当
0
x =
时，
(
)
2
0
2
1
35
y
a
=
−
−
−=
，则
4
a =
或
8
a = −（不合题意，舍去）；
若当
6
x =
时，
(
)
2
6
2
1
35
y
a
=
−
−
−=
，则
10
a =
（不合题意，舍去）或
2
a
−
=
，
∴
4
a =
或
2
a
−
=
；
②当2
6
a
+
时，即
4
a
，
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∵当
2
x
a
+
时，y 随x 的增大而减小，
∴当
0
x =
时，
(
)
2
0
2
1
35
y
a
=
−
−
−=
，则
4
a =
或
8
a = −，均不合题意，舍去；
③当2
0
a
+
时，即
2
a −，
∵当
2
x
a
+
时，y 随x 的增大而增大，
∴当
6
x =
时，
(
)
2
6
2
1
35
y
a
=
−
−
−=
，则
10
a =
或
2
a
−
=
，均不合题意，舍去；
综上，
4
a =
或
2
a
−
=
，
∴向右平移4 个单位或向左平移2 个单位时，新函数在0
6
x
的最大值是35，即平移的距离为2 或4．
10．
【答案】(1)
1
x = −
(2)
2 7
2
3
−+
或
2 7
3
−
【详解】（1）解：∵
2
a =
，
∴
2
2
4
y
x
x
=
+
−
，
∴二次函数图象的对称轴为直线
2
1
2 1
x
−
−
=
=
；
（2）解：抛物线的对称轴为直线
2
a
x
−
=
，
①若对称轴在区间左侧时，如图，则
2
a
a
−
，即
0
a
，
此时，当x
a
=
时，y 有最小值为
2
2
4
n
a
=
−
，
当
3
x
a
=
+ 时，y 有最大值为
(
)
(
)
2
2
3
3
4
2
9
5
m
a
a a
a
a
=
+
+
+
−
=
+
+ ，
7
m
n
−
=
，
(
) (
)
2
2
2
9
5
2
4
7
a
a
a
+
+
−
−
=
，
2
9
a
= −
（舍去）；
②若对称轴在区间右侧时，如图，则
3
2
a
a
−
+
，即
2
a
−
，
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此时，当x
a
=
时，y 有最大值为
2
2
4
m
a
=
−
，
当
3
x
a
=
+ 时，y 有最小值为
2
2
9
5
n
a
a
=
+
+
，
7
m
n
−
=
，
(
) (
)
2
2
2
4
2
9
5
7
a
a
a
−
−
+
+
=
，
16
9
a
= −
（舍去）；
③若对称轴在区间内且靠近区间左端点时，如图，
则
3
2
2
2
a
a
a
a
a
+
+
−
−
，即1
0
a
−
，
此时，当
3
x
a
=
+ 时，y 有最大值为
2
2
9
5
m
a
a
=
+
+ ，
当
2
a
x
−
=
时，y 有最小值为
2
2
2
1
4
4
2
2
4
a
a
n
a
=
−
−
= −
−
，
7
m
n
−
=
，
(
)
2
2
1
2
9
5
4
7
4
a
a
a
+
+
−−
−
=
，
解得：
1
2
2 7
2 7
2
,
2
3
3
a
a
= −+
= −−
（舍去）；
④若对称轴在区间内且靠近区间右端点时，如图，
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则
3
2
2
3
2
a
a
a
a
a
+
+
−
−
+
，即2
1
a
−
−，
此时，当x
a
=
时，y 有最大值为
2
2
4
m
a
=
−
，
当
2
a
x
−
=
时，y 有最小值为
2
1
4
4
n
a
= −
−
，
7
m
n
−
=
，
2
2
1
2
4
4
7
4
a
a
−
−−
−
=
，
解得
3
4
2 7
2 7
,
3
3
a
a
= −
=
（舍去）；
综上所述，a 的值为
2 7
2
3
−+
或
2 7
3
−
．
11．
【答案】(1)
2
2
4
6
y
x
x
=
+
−
，(
)
1, 8
−−
(2)①
2
2
a
x
a
+
= −
；②0
2
a
(3)(
)
1,0 ，(
)
2, 6
−
−
【详解】（1）将(
)
2,10 代入
(
)
2
2
y
ax
a
x
c
=
+
+
+ 得，
(
)
4
2
2
10
a
a
c
+
+
+
=
，
整理得6
6
a
c
+
=
，
联立6
6
a
c
+
=
和2
2
a
c
+
= −得，
6
6
2
2
a
c
a
c
+
=
+
= −
，
解得
2
6
a
c
=
= −
，
∴
2
2
4
6
y
x
x
=
+
−
，
顶点横坐标为：
4
1
2
2 2
b
x
a
= −
= −
= −
，
当
1
x = −时：
(
)
(
)
2
2
1
4
1
6
8
y
−
=
−
+ −
−
=
，
∴顶点坐标为(
)
1, 8
−−
；
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（2）①二次函数
(
)
2
2
y
ax
a
x
c
=
+
+
+ 的对称轴为直线：
2
2
2
b
a
x
a
a
+
= −
= −
；
②∵当
1
x
−
时，y 随x 的增大而增大，
∴
2
1
2
a
a
+
−
−且
0
a
，
解得0
2
a
；
（3）∵2
2
a
c
+
= −，
∴
2
2
c
a
= −−
，
将上面式子代入解析式得，
(
)
2
2
2
2
y
ax
a
x
a
−
=
+
+
−
，
整理得，
(
)
(
)
1
2
2
y
x
a x
−
=
+
+
，
当
1
x = 时，
0
y =
，对于任意的(
)
0
a a
，二次函数图象都必过点(
)
1,0 ；
当
2
x = −时，
6
y = −，对于任意的(
)
0
a a
，二次函数图象都必过点(
)
2, 6
−
−
；
综上所述，对于任意的(
)
0
a a
，二次函数图象都必过点(
)
1,0 和(
)
2, 6
−
−
．
12．
【答案】(1)(2,9)
(2)
2
m = −或
3
m =
(3)
1
m 或
5
m
【详解】（1）解：当
2
m =
时，
2
4
5
y
x
x
= −
+
+ ，
2
(
4 )
5
y
x
x
= −
−
+ ，
2
(
2)
4
5
y
x
= −
−
+
+ ，
2
(
2)
9
y
x
= −
−
+
，
顶点坐标为(2,9)．
（2）解：
2
2
5
y
x
mx
= −
+
+ ，对称轴为直线x
m
=
，
1
0
a
−
=
，
抛物线开口向下，
①当
1
m
−
时，函数在1
2
x
−
时增大而减小，
当
1
x = −时，y 取得最大值，
2
( 1)
2
( 1)
5
4
2
max
y
m
m
= −−
+
−
+
=
−
，
令4
2
8
m
−
= ，解得
2
m = −，
2
1
−−
，
2
m
−
=
符合题意，
②当1
2
m
−
时，函数在x
m
=
处取得最大值，
2
2
2
5
5
max
y
m
m m
m
= −
+
+
=
+
，
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令
2
5
8
m +
=
，解得
3
m =
，
3
1
−
−
，
3
m = −
∴
舍去，
1
3
2
−
，
3
m
=
符合题意，
③当
2
m
时，函数在在1
2
x
−
时增大而增大，
当
2
x =
时，y 取得最大值，
2
2
2
2
5
4
1
max
y
m
m
= −
+
+
=
+ ，
令4
1
8
m+ = ，解得
7
4
m =
，
7
2
4 <
，
7
4
m
=
舍去，
综上所述，
2
m = −或
3
m =
．
（3）解：
(
2, )
A m
a
−
，
(
2, )
C m
a
+
纵坐标相同，
点A、C 关于对称轴x
m
=
对称，
点A、C 到对称轴的距离均为2 ，
a
b
，且抛物线开口向下，
点
(3, )
B
b 到对称轴的距离大于2 ，
即| 3
| 2
m
−
，
3
2
m
−
或3
2
m
−
−，
解得
1
m 或
5
m
．
