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专题02 二次根式的性质及应用
（题型突破·举一反三）
▌题型01 用数轴表示无理数
【典例1】
【答案】C
【分析】先计算出𝑂𝐴的长，再运用数轴知识求解出此题结果．
【详解】解：由题意可得，𝑂𝐴= √22+12=√5，
∴数轴上的点A 所表示的数为−√5，
故选：C．
【变式1-1】
【答案】B
【分析】本题考查的是勾股定理．熟练掌握勾股定理解直角三角形，数轴上两点之间的距离，实数的运算，
是解题的关键．
先根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，得到数轴上表示圆弧的半径，再根据两点间的距离公式即可求出
A 点表示的数．
【详解】∵图中的直角三角形的两直角边为1 和2，
∴斜边长为：√12 + 22 = √5，
∴点A 所表示的数为：√5 −1．
故选：B．
【变式1-2】
【答案】A
【分析】利用勾股定理求得数轴上表示−1的点与点𝐴的距离，再利用实数与数轴的关系即可求得答案．
【详解】解：由题意可得数轴上表示−1的点与点𝐴的距离为√22 + 12 = √5，
那么点𝐴表示的数为−1 −√5，
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故选：A．
【变式1-3】
【答案】B
【分析】根据勾股定理，可判定𝑂𝐵= √25 + 𝐴𝐵2 > √21．
【详解】解：由图知，𝑂𝐴= 5, 𝑂𝐴2 = 25,
∴𝑂𝐵= √𝑂𝐴2 + 𝐴𝐵2 = √25 + 𝐴𝐵2 > √21．
∴𝑂𝐶= 𝑂𝐵> √21；
∵7，29 均是有理数
∴点C 表示的无理数只可能是√29．
故选：B
【变式1-4】
【答案】B
【分析】首先计算出圆的周长，然后可得答案．
【详解】解：∵圆的直径为1，
∴圆的周长为：𝜋，
∵点A 与表示1 的点重合，
∴圆沿着数轴正方向滚动一周，此时点A 表示的数是1 + 𝜋，故B 正确．
故选：B．
▌题型02 无理数的整数部分和小数部分
【典例2】
【答案】(1)√19 −4
(2)1
(3)√3 −23
【分析】本题考查了无理数的估算，相反数，掌握“逐步逼近”的方法是解题的关键．
（1）根据“逐步逼近”的方法，结合算术平方根的意义可得答案；
（2）根据2 < √5 < 3，可求得a 值，根据3 < √15 < 4，可求得b 值，代入即可求解；
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（3）根据1 < √3 < 2，𝑥+ 𝑦= 10 + √3,其中x 是整数，且0 < 𝑦< 1,可求得𝑥= 11，𝑦= √3 −1，代入
−(2𝑥−𝑦)，即可求解．
【详解】（1）解：∵16 < 19 < 25，即4 < √19 < 5，
∴√19的小数部分为√19 −4．
（2）解：∵4 < 5 < 9，即2 < √5 < 3，
∴√5的小数部分为√5 −2，即𝑎= √5 −2；
∵9 < 15 < 16，即3 < √15 < 4，
∴√15的整数部分为3，即𝑏= 3；
∴𝑎+ 𝑏−√5 = √5 −2 + 3 −√5 = 1．
（3）解：∵1 < 3 < 4
∴1 < √3 < 2
∵𝑥+ 𝑦= 10 + √3,其中x 是整数，且0 < 𝑦< 1,
∴𝑥= 11，𝑦= 10 + √3 −11 = √3 −1，
∴2𝑥−𝑦的相反数= −(2𝑥−𝑦) = −2𝑥+ 𝑦= −2 × 11 + √3 −1 = √3 −23．
【变式2-1】
【答案】(1)3，3 −√5；(2)6 −√5
【分析】此题考查了估算无理数的大小， 解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题 ．
（1） 估算出2 < √5 < 3，可得−3 < −√5 < −2，依此即可确定出𝑎，𝑏的值；
（2） 根据题意确定出𝑚与𝑛的值， 代入求出|𝑚−𝑛|即可 ．
【详解】（1）解：∵−√5 = 𝑎+ 𝑏，其中𝑎是整数， 且0 < 𝑏< 1，
2 < √5 < 3，
−3 < −√5 < −2，
∴𝑎= −3，𝑏= 3 −√5，
则𝑎+ 𝑏= 2 + 3 = 5；
（2）解：∵2 + √5 = 𝑚+ 𝑛，其中𝑚是整数， 且0 < 𝑛< 1，
∴𝑚= 4，𝑛= √5 −2，
则|𝑚−𝑛| = |4 −√5 + 2| = 6 −√5．
【变式2-2】
【答案】𝑎+ √5𝑏=3√5 −2
【分析】先估算√5的范围，再估算5+√5，5-√5，即可求出a，b 的值，代入即可解答；
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【详解】∵2 < √5 < 3，
∴7 < 5 + √5 < 8，小数部分𝑎= √5 −2，
2 < 5 −√5 < 3，
∴整数部分是𝑏= 2（小数部分是3 −√5），
∴𝑎+ √5𝑏= (√5 −2) + 2√5 = 3√5 −2；
【变式2-3】
【答案】代数式ab 的值为5√5﹣11．
【分析】先由4＜5＜9，则2＜√5＜3 把√5的整数部分找到，再计算出7+√5和7﹣√5的小数部分，最后代入
求值.
【详解】∵4＜5＜9，
∴2＜√5＜3．
∴a＝7+√5﹣9＝√5﹣2．b＝7﹣√5﹣4＝3﹣√5．
∴ab＝（√5﹣2）（3﹣√5）
＝3√5﹣5﹣6+2√5
＝5√5﹣11，
即代数式ab 的值为5√5﹣11．
【变式2-4】
【答案】(1)2；3；(2)√7 −2；3；(3)2
【分析】本题考查无理数的估算及立方根的定义，结合已知条件求得对应字母的值是解题的关键．
（1）估算出√7在哪两个连续整数之间即可；
（2）结合（1）中所求，估算出√7 + 2，√7 + 1分别在哪两个连续整数之间即可求得𝑥，𝑦的值；
（3）将𝑥，𝑦的值代入(√7 −𝑥)𝑦中计算后，根据立方根的定义即可求得答案．
【详解】（1）∵4 < 7 < 9，
∴2 < √7 < 3，
∵ √7介于连续的两个整数𝑎和𝑏之间，且𝑎< 𝑏，
∴𝑎= 2，𝑏= 3，
故答案为：2；3；
（2）∵2 < √7 < 3，
∴4 < √7 + 2 < 5，3 < √7 + 1 < 4，
则𝑥= √7 + 2 −4 = √7 −2，𝑦= 3，
故答案为：√7 −2；3；
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（3）结合（2）可得(√7 −√7 + 2)3 = 23 = 8，
故(√7 −𝑥)𝑦的立方根为：2．
【变式2-5】
【答案】（1）2.24；（2）①5，②3 −√5
【分析】（1）仿照使用夹逼法求√2近似值的方法解答即可；
（2）①先使用夹逼法确定√10的范围，然后即可确定√10 + 2的范围，再根据规定解答即可；
②先确定√3的整数部分a 与√5的小数部分𝑏的值，再代入所求式子化简计算即可．
【详解】解：（1）因为22 = 4, 32 = 9，
所以2 < √5 < 3,
因为2.22 = 4.84,2.32 = 5.29，
所以2.2 < √5 < 2.3，
因为2.232 = 4.9729, 2.242 = 5.0176，
所以2.23 < √5 < 2.24,
因为2.2362 = 4.999696,2.2372 = 5.004169，
所以2.236 < √5 < 2.237，
因此√5 ≈2.24．
（2）①因为3.12=9.61，3.22=10.24，
所以3.1 < √10 < 3.2，
所以5.1 < √10 + 2 < 5.2，
所以[√10 + 2] =5；
故答案为：5；
②因为1 < √3 < 2,2 < √5 < 3，
所以𝑎= 1, 𝑏= √5 −2，
所以原式= |1| −|√5 −2|
= 1 −(√5 −2)
= 1 −√5 + 2
= 3 −√5．
【变式2-6】
【答案】(1)3，√11 −3；(2)4；(3)√5 −3
【分析】本题考查了估算无理数的大小和求代数式的值，能估算出无理数的大小是解此题的关键．
（1）先估算出√11的范围，再求出即可；
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（2）先估算出√5和√41的范围，再求出𝑎、𝑏的值，最后求出代数式的值即可；
（3）先求出3 −√5的范围，再求出𝑥、𝑦的值，最后代入求出即可．
【详解】（1）解：∵ √9 < √11 < √16，
∴3 < √11 < 4，
∴ √11的整数部分是3，小数部分是√11 −3，
故答案为：3，√11 −3；
（2）解：∵ √4 < √5 < √9，√36 < √41 < √49，
∴2 < √5 < 3，6 < √41 < 7，
∴𝑎= √5 −2，𝑏= 6，
∴𝑎+ 𝑏−√5 = √5 −2 + 6 −√5 = 4；
（3）解：∵2 < √5 < 3，
∴−2 > −√5 > −3，
∴1 > 3 −√5 > 0，
∴𝑥= 0，𝑦= 3 −√5，
∴𝑥−𝑦= 0 −(3 −√5) = √5 −3．
▌题型03 分母有理化
【典例3】
【答案】(1)√7 + √2；(2)−1；(3)22
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，代数式求值，对于（1），分子和分母都乘以√7+√2，再计算化
简即可；
对于（2），先化简求出a，进而得出𝑎+ 3，然后平方化简得𝑎2＋6𝑎＝1，最后整体代入求值即可；（3）根
据分母有理化可进行求解．
【详解】（1）
5
√7−√2 ＝
5(√7＋√2)
(√7−√2)(√7＋√2) ＝√7＋√2；
（2）因为𝑎＝
1
√10＋3 ＝
√10−3
(√10＋3)(√10−3) ＝√10 −3，所以𝑎＋3＝√10，
所以(𝑎＋3)2＝10，即𝑎2＋6𝑎＋9＝10，所以𝑎2＋6𝑎＝1，
所以2𝑎2 + 12𝑎−3 = 2(𝑎2 + 6𝑎) −3 = 2 × 1 −3 = −1．
（3）解：
1
√3+1 +
1
√5+√3 +
1
√7+√5 + ⋯+
1
√2025+√2023
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=
√3 −1
(√3 + 1)(√3 −1)
+
√5 −√3
(√5 + √3)(√5 −√3)
+⋅⋅⋅+
√2025 −√2023
(√2025 + √2023)(√2025 −√2023)
= √3 −1
2
+ √5 −√3
2
+⋅⋅⋅+ √2025 −√2023
2
= √2025 −1
2
= 45 −1
2
= 22．
【变式3-1】
【答案】10
【分析】本题考查二次根式的化简求值，正确化简二次根式是解题关键．
先利用分母有理化进行化简，然后再求出𝑥+ 𝑦和𝑥𝑦的值，从而利用完全平方公式进行计算，即可解答．
【详解】解：∵𝑥=
1
√3+√2 =
√3−√2
(√3+√2)(√3−√2) = √3 −√2，
𝑦=
1
√3−√2 =
√3+√2
(√3−√2)(√3+√2) = √3 + √2，
∴𝑥+ 𝑦= √3 −√2 + √3 + √2 = 2√3，𝑥𝑦= (√3 −√2)(√3 + √2) = 1，
∴𝑥2 + 𝑦2
= (𝑥+ 𝑦)2 −2𝑥𝑦
= (2√3)
2 −2 × 1
= 12 −2
= 10．
【变式3-2】
【答案】(1)√𝑛+ 1 −√𝑛
(2)√2022 −1
【分析】本题主要考查了分母有理化，实数运算有关的规律，正确理解题意得到规律是解题的关键．
（1）仿照题意进行分母有理化即可；
（2）根据（1）得到规律
1
√𝑛+1+√𝑛= √𝑛+ 1 −√𝑛，据此求解即可．
【详解】（1）解：
1
√𝑛+1+√𝑛=
√𝑛+1−√𝑛
(√𝑛+1+√𝑛)(√𝑛+1−√𝑛) = √𝑛+1−√𝑛
𝑛+1−𝑛= √𝑛+ 1 −√𝑛，
故答案为：√𝑛+ 1 −√𝑛；
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（2）解：
1
√2+1 = √2 −1，
1
√3+√2 = √3 −√2，
1
√4+√3 = √4 −√3，
…
∴可以得到规律
1
√𝑛+1+√𝑛= √𝑛+ 1 −√𝑛，
∴
1
1+√2 +
1
√2+√3 +
1
√3+√4 + ⋯. . +
1
√2020+√2021 +
1
√2021+√2022
= √2 −1 + √3 −√2 + √4 −√3 + ⋯+ √2022 −√2021
= √2022 −1．
【变式3-3】
【答案】(1)
1
√𝑛(𝑛+1)2+√𝑛2(𝑛+1) = √𝑛
𝑛−√𝑛+1
𝑛+1
(2)1 −√10
10
【分析】本题考查二次根式中的规律探究：
（1）根据已知等式，得到规律即可；
（2）根据规律，裂项相加即可．
【详解】（1）解：由题意，得：
1
√𝑛(𝑛+1)2+√𝑛2(𝑛+1) = √𝑛
𝑛−√𝑛+1
𝑛+1
（2）原式= 1 −√2
2 + √2
2 −√3
3 + ⋯−√9
9 + √9
9 −√10
10 = 1 −√10
10 ．
【变式3-4】
【答案】(1)3 −√5；
(2)5√3 −6√2 −2；
(3)点𝑃到𝐵𝐶边的距离为2√6 −4；
(4)
96√97
97 ．
【分析】（1）直接利用材料中的定义求解即可；
（2）先对分母进行有理化，再求解即可；
（3）先作出𝑃点到各边的垂线段，再表示出△𝐴𝐵𝐶的面积，求出𝑃点到各边的距离即可；
（4）先对分母进行有理化，然后合并同类二次根式即可；
本题考查了二次根式的有理化运算，角平分线的性质，解题关键是读懂题意，理解有理化因式的概念并能正
确运用它解决实际问题．
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【详解】（1）解：∵(3 + √5)(3 −√5) = 32 −(√5)
2 = 9 −5 = 4，
∴3 + √5的有理化因式为3 −√5，
故答案为：3 −√5；
（2）解：
6
√3+√2 −
1
2−√3
=
6(√3−√2)
(√3+√2)(√3−√2) −
1×(2+√3)
(2−√3)(2+√3)，
=
6√3−6√2
(√3)
2−(√2)
2 −
2+√3
22−(√3)
2，
= 6√3 −6√2 −2 −√3，
= 5√3 −6√2 −2；
（3）如图，过𝑃分别作𝑃𝐸⊥𝐴𝐶，𝑃𝐹⊥𝐴𝐵，𝑃𝐷⊥𝐵𝐶，连接𝐴𝑃，
∵∠𝐴𝐵𝐶与∠𝐴𝐶𝐵的角平分线相交于点𝑃，
∴𝑃𝐸= 𝑃𝐹= 𝑃𝐷，
设点𝑃到𝐵𝐶边的距离为ℎ，
𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐴𝑃𝐶+ 𝑆△𝐴𝑃𝐵+ 𝑆△𝐵𝑃𝐶，
𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐴𝐶× 𝑃𝐸+
1
2 𝐴𝐵× 𝑃𝐹+
1
2 𝐵𝐶× 𝑃𝐷，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 (𝐴𝐶+ 𝐴𝐵+ 𝐵𝐶)ℎ，
∵△𝐴𝐵𝐶的周长为2√6 + 4，面积为4，
∴4 =
1
2 (2√6 + 4)ℎ，
则ℎ= 2√6 −4；
（4）解：
2
3+√3 +
2
5√3+3√5 +
2
7√5+5√7 +⋅⋅⋅+
2
97√95+95√97
=
2(3 −√3)
(3 + √3)(3 −√3)
+
2(5√3 −3√5)
(5√3 + 3√5)(5√3 −3√5)
+
2(7√5 −5√7)
(7√5 + 5√7)(7√5 −5√7)
+⋅⋅
⋅+
2(97√95 −95√97)
(97√95 + 95√97)(97√95 −95√97)
= 1 −√3
3 + √3
3 −√5
5 + √5
5 −√7
7 +⋅⋅⋅+ √95
95 −√97
97 ，
= 1 −√97
97 ，
=
96√97
97 ．
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【变式3-5】
【答案】(1)①√2
3 ；②√7+√5
2
(2)2024
(3)𝑎> 𝑏> 𝑐；理由见解析
【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算．熟练掌握分母有理化，平方差公式，
二次根式的混合运算法则是解题的关键．
（1）①根据
2
3√2 =
2⋅√2
3√2⋅√2，计算求解即可；②根据
1
√7−√5 =
√7+√5
(√7−√5)(√7+√5)，计算求解即可；
（2）先将括号中的每一项分母有理化，进一步计算求解即可；
（3）由题意得
1
𝑎=
1
√2023−√2022 =
√2023+√2022
(√2023+√2022)(√2023−√2022) = √2023 + √2022，同理：
1
𝑏= √2024 + √2023，
1
𝑐= √2025 + √2024，则
1
𝑎<
1
𝑏<
1
𝑐，进而可得𝑎> 𝑏> 𝑐．
【详解】（1）①解：
2
3√2 =
2⋅√2
3√2⋅√2 = √2
3 ，
故答案为：√2
3 ；
②解：
1
√7−√5 =
√7+√5
(√7−√5)(√7+√5) = √7+√5
2
，
故答案为：√7+√5
2
；
（2）解：(
1
√2+1 +
1
√3+√2 +
1
√4+√3 + ⋯+
1
√2025+√2024) (√2025 + 1)
= [
√2 −1
(√2 + 1)(√2 −1)
+
√3 −√2
(√3 + √2)(√3 −√2)
+
√4 −√3
(√4 + √3)(√4 −√3)
+ ⋯
+
√2025 −√2024
(√2025 + √2024)(√2025 −√2024)
] (√2025 + 1)
= (√2 −1 + √3 −√2 + √4 −√3 + ⋯+ √2025 −√2024)(√2025 + 1)
= (√2025 −1)(√2025 + 1)
= 2025 −1
= 2024．
（3）解：𝑎> 𝑏> 𝑐；理由如下；
∵𝑎= √2023 −√2022 > 0, 𝑏= √2024 −√2023 > 0, 𝑐= √2025 −√2024 > 0，
∴
1
𝑎=
1
√2023−√2022 =
√2023+√2022
(√2023+√2022)(√2023−√2022) = √2023 + √2022，
同理：
1
𝑏=
1
√2024−√2023 = √2024 + √2023，
1
𝑐=
1
√2025−√2024 = √2025 + √2024，
∴
1
𝑎<
1
𝑏<
1
𝑐，
∴𝑎> 𝑏> 𝑐
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▌题型04 复合二次根式的化简
【典例4】
【答案】√5 + √2/√2 + √5
【分析】本题考查了复合二次根式的化简，完全平方公式的应用；按照题中提供的方法进行化简即可．
【详解】解：√7 + 2√10 = √5 + 2 + 2√10
= √(√5)2 + (√2)2 + 2 × √5 × √2
= √(√5 + √2)2
= √5 + √2；
故答案为：√5 + √2．
【变式4-1】
【答案】C
【分析】本题考查了完全平方公式和二次根式的化简，将原式化简为√32 + 2 × 3√5 + (√5)
2 −
√32 −2 × 3√5 + (√5)
2即可求解．
【详解】解：原式= √32 + 2 × 3√5 + (√5)
2 −√32 −2 × 3√5 + (√5)
2
= √(3 + √5)
2 −√(3 −√5)
2
= |3 + √5| −|3 −√5|
= 3 + √5 −(3 −√5)
= 2√5
故选：C
【变式4-2】
【答案】√5 −√3/−√3 + √5
【分析】将两个根式分别用完全平方公式进行化简，再代入
1
𝑎−
1
𝑏，即可求解，本题考查了完全平方公式，根
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式的化简，分母有理化。解题的关键是：熟练掌握配方法，化简根式．
【详解】√6 −2√5 = √(√5)
2 −2√5 + 1 2
= √(√5 −1)
2 = √5 −1，
∵2 < √5 < 3，
∴1 < √5 −1 < 2，整数部分为1，
∴𝑎= √5 −1 −1 = √5 −2，
√7 −4√3 = √22 −4√3 + (√3)
2 = √(2 −√3)
2 = 2 −√3，
∵1 < √3 < 2，
∴0 < 2 −√3 < 1，整数部分为0，
∴𝑏= 2 −√3 −0 = 2 −√3，
∴
1
𝑎−
1
𝑏=
1
√5−2 −
1
2−√3 =
√5+2
(√5−2)(√5+2) −
2+√3
(2−√3)(2+√3) = √5 −√3，
故答案为：√5 −√3．
【变式4-3】
【答案】(1)√6 −√2；(2)(−√2, −√2)
【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的化简，绝对值的意义，正确转化完全平方式是解题关键．
（1）仿照材料，将√8 −4√3变形为√(√6 −√2)
2，即可化简；
（2）先根据不等式的性质，得出−1 ≤√𝑎−1 −1 < 0，1 ≤√𝑎−1 + 1 < 2，再利用完全平方式将𝑚化简求
值即可．
【详解】（1）解：√8 −4√3
= √8 −2√12
= √(√6)
2 −2√12 + (√2)
2
= √(√6 −√2)
2
= |√6 −√2|
= √6 −√2；
（2）解：∵1 ≤𝑎< 2，
∴0 ≤𝑎−1 < 1，
∴0 ≤√𝑎−1 < 1，
∴−1 ≤√𝑎−1 −1 < 0，1 ≤√𝑎−1 + 1 < 2，
∴𝑚= 1
√2
(√𝑎+ 2√𝑎−1 + √𝑎−2√𝑎−1)
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= √2
2 (√(√𝑎−1)
2 + 2√𝑎−1 × 1 + 1 + √(√𝑎−1)
2 −2√𝑎−1 × 1 + 1)
= √2
2 (√(√𝑎−1 + 1)
2 + √(√𝑎−1 −1)
2)
= √2
2 (|√𝑎−1 + 1| + |√𝑎−1 −1|)
= √2
2 (√𝑎−1 + 1 + 1 −√𝑎−1)
= √2
2 × 2
= √2，
∴𝑚= √2。
【变式4-4】
【答案】A
【分析】将已知式子两侧平方后，根据x、y、z 的对称性，列出对应等式，进而求出x、y、z 的值即可求解．
【详解】解：√3 + √2 + √3 + √6 = √𝑥+ √𝑦+ √𝑧两侧同时平方，得到
∴3 + √2 + √3 + √6 = 𝑥+ 𝑦+ 𝑧+ 2√𝑥𝑦+ 2√𝑦𝑧+ 2√𝑥𝑧
∴x+y+z=3，2√𝑥𝑦= √2,2√yz = √3, 2√xz = √6,
∴
{
x+y+z=3
𝑥𝑦= 1
2
yz= 3
4
xz= 3
2
∴(xyz)2 =
9
16 , 𝑥≥0, 𝑦≥0, 𝑧≥0，
∴xyz＝
3
4，
故选择：A．
▌题型05 实数大小比较
【典例5】
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【答案】 < < >
【分析】本题考查了实数的大小比较，根据算术平方根与立方根进行计算，无理数的大小比较，即可求解．
【详解】解：√16 = 4 < 5，
∵25 < 27
∴√25
3
< 3，
∵2 < √5 < 3
∴1 < √5 −1 < 2
∵1 < √3 < 2
∴
1
2 < √3
2 < 1
∴√5 −1 > √3
2
故答案为：<，<，>．
【变式5-1】
【答案】D
【分析】本题主要考查了实数的大小比较，能熟练化简二次根式和三次根式是解题的关键，当二次根式和三
次根式无法再化简时，可把整数化成二次根式或者三次根式的形式再做比较.先把3 化成二次根式和三次根
式的形式，再把3 和√10, √26
3
做比较即可得到答案.
【详解】解：∵3 = √9 = √27
3
∴3 = √9 < √10，
3 = √27
3
> √26
3
，
故√26
3
< 3 < √10，
故答案为：D.
【变式5-2】
【答案】(1)<
(2)𝑚> 𝑛，证明见解析
【分析】本题考查二次根式比较大小，二次根式的性质和运算，完全平方公式，掌握平方法比较大小，是解
题的关键：
（1）利用平方法比较大小即可；
（2）利用平方法进行比较即可．
【详解】（1）解：∵𝑐= 3√6，𝑑= 4√5，
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∴𝑐2 = 54，𝑑2 = 80，
∵𝑐2 < 𝑑2，
∴𝑐< 𝑑；
故答案为：<；
（2）解：猜想𝑚> 𝑛，理由如下：
∵𝑚= 2√5 + √13，𝑛= 2√7 + √5，
∴𝑚2 = (2√5 + √13)
2 = 20 + 4√65 + 13 = 33 + 4√65，𝑛2 = (2√7 + √5)
2 = 28 + 5 + 4√35 = 33 + 4√35，
∵√65 > √35，
∴𝑚2 > 𝑛2，
∴𝑚> 𝑛．
【变式5-3】
【答案】(1)2 −√23 > −3；(2)√100 + √98 < 2√99．
【分析】（1）根据“比差法”比较两个数大小即可；（2）根据“比差法”比较得√100 + √98 −2√99 =
(√100 −√99) −(√99 −√98)再得到
(√100−√99)(√100+√99)
(√100+√99)
−
(√99−√98)(√99+√98)
(√99+√98)
，根据(𝑎+ 𝑏)(𝑎−𝑏) = 𝑎2 −𝑏2，
化简比较即可求解．
【详解】（1）解：2 −√23 −(−3) = 5 −√23 = √25 −√23 > 0，
∴2 −√23 > −3；
（2）解：√100 + √98 −2√99 = (√100 −√99) −(√99 −√98)
= (√100 −√99)(√100 + √99)
(√100 + √99)
−(√99 −√98)(√99 + √98)
(√99 + √98)
=
1
(√100 + √99)
−
1
(√99 + √98)
∵√100 + √99 > √99 + √98，
∴
1
(√100+√99) −
1
(√99+√98) < 0，
∴√100 + √98 < 2√99．
【变式5-4】
【答案】(1)3 −2√2，√91 −3√10
(2)>
【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式比较大小：
（1）仿照题意求解即可；
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（2）根据分母有理化的方法得到
1
√13+√12 = √13 −√12，
1
√14+√13 = √14 −√13，根据√14 + √13 > √13 +
√12 > 0，得到
1
√14+√13 <
1
√13+√12，(√13 −√12) > (√14 −√13)．
【详解】（1）解：
1
√9+√8
=
√9 −√8
(√9 + √8)(√9 −√8)
= √9 −√8
9 −8
= 3 −2√2；
1
√91 + √90
=
√91 −√90
(√91 + √90)(√91 −√90)
= √91 −√90
91 −90
= √91 −3√10，
故答案为：3 −2√2，√91 −3√10；
（2）解：
1
√13+√12 =
√13−√12
(√13+√12)(√13−√12) = √13 −√12，
1
√14+√13 =
√14−√13
(√14+√13)(√14−√13) = √14 −√13，
∵√14 + √13 > √13 + √12 > 0，
∴
1
√14+√13 <
1
√13+√12，
∴(√13 −√12) > (√14 −√13)，
故答案为：>．
【变式5-5】
【答案】√2023 −√2022 < √2022 −√2021
【分析】利用倒数法，即可比较出大小．
【详解】解：
1
√2023−√2022 =
√2023+√2022
(√2023−√2022)(√2023+√2022) = √2023 + √2022，
1
√2022−√2021 =
√2022+√2021
(√2022−√2021)(√2022+√2021) = √2022 + √2021，
∵√2023 + √2022 > √2022 + √2021，
∴
1
√2023−√2022 >
1
√2022−√2021，
∴√2023 −√2022 < √2022 −√2021．
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