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专题02 利用勾股定理求最短路径问题
（题型突破·举一反三）
题型01 几何体表面的最短路径问题
题型02 几何体的多次缠绕问题
题型03 立体图形中的将军饮马问题
题型04 几何体中的空间距离问题
▌题型01 几何体表面的最短路径问题
1.几何背景：七年级学习过立体图形的平面展开图，常见的有圆柱体、长方体、正方体，其侧面展开图都为
长方形，由此，可以利用勾股定理求得对角线的长度。
2.如下图，对于正方体，从A 到B 的路线，虽然有不同的走法，但是距离相同。而对于长方体，则有3 种距
离不同的走法，解题时需要注意分类讨论。
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小技巧：设长方体的长、宽、高分别为a、b、c（a>b>c），则从A 到B'的最短距离为√𝑎2 + (𝑏+ 𝑐)2
【典例1】编织一个底面周长为50cm、高为120cm的圆柱形花柱架，需沿圆柱侧面绕织一周的竹条若干根，
如图，则每一根这样的竹条的长度最少是多少厘米？
【答案】每一根这样的竹条的长度最少是130cm
【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理，将立体图形转化在平面图形中求解是解题的关键．将
圆柱侧面展开，再根据勾股定理求出𝐴𝐵的长即可求解．
【详解】解：将圆柱侧面展开，如图所示，
∵圆柱底面周长为50cm，高为120cm，
∴𝐴𝐵= √502 + 1202 = 130(cm)，
即每一根这样的竹条的长度最少是130cm．
【变式1-1】如图，已知圆柱底面的周长为12cm，圆柱高为8cm，在圆柱的侧面上，过点A 和点C 嵌有一
圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（ ）
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A．10cm
B．20cm
C．√208cm
D．100cm
【答案】B
【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根
据勾股定理计算即可．
【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC 的长度．
∵圆柱底面的周长为12 cm，圆柱高为8cm，
∴AB=8dm，BC=BC′=6cm，
∴AC2=62+82=100，
∴AC=10，
∴这圈金属丝的周长最小为2AC=20（cm），
故选：B．
【变式1-2】如图，圆柱形容器的高17cm，底面周长是24cm，在外侧底面S 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱
形容器的上口外侧距开口处1cm点𝐹处有一苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是（ ）
A．20cm
B．8√3cm
C．√433cm
D．24cm
【答案】A
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【分析】把圆柱的侧面展开，根据勾股定理求出𝑆𝐹的长即可．
【详解】解：如图所示，
𝑆𝐹= √122 + 162 = 20(cm)．
故选：A．
【变式1-3】（25-26 八年级上·重庆·期中）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U 型池，该U 型池可以看
作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m 的半圆，其边缘AB=CD=20m，
点E 在CD 上，CE=2m，一滑行爱好者从A 点到E 点，则他滑行的最短距离是多少？（边缘部分的厚度可
以忽略不计，结果取整数）
【答案】约22 米
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用. 滑行的距离最短，即是沿着AE 的线段滑行，我们可将半圆展开
为矩形来研究，展开后，A、D、E 三点构成直角三角形，AE 为斜边，AD 和DE 为直角边，写出AD 和DE
的长，根据题意，写出勾股定理等式，代入数据即可得出AE 的距离．
【详解】解：将半圆面展开如图所示，
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AD＝4π 米，DE＝DC﹣CE＝AB﹣CE＝18 米，
在Rt△ADE 中，
AE＝√182 + (4𝜋)2 ≈22 米．
即滑行的最短距离约为22 米．
【变式1-4】（25-26 八年级上·河南周口·期中）如图，正方体的棱长为4cm，A 是正方体的一个顶点，B 是
侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A 爬到点B 的最短路径是（ ）
A．2√10
B．4√2
C．2√5
D．6
【答案】A
【分析】过B 作𝐵𝐶⊥𝐸𝐹于C，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：如图，过B 作BC⊥EF 于C，
在Rt△ABC 中，BC=2cm，AC=4+2=6cm，
∴𝐴𝐵= √𝐵𝐶2 + 𝐴𝐶2 = √22 + 62 = 2√10（cm），
∴从点A 爬到点B 的最短路径是2√10cm，
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故选：A．
【变式1-5】如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长
方体的表面从点A 爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ）
A．5√21
B．25
C．10√5
D．35
【答案】B
【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线
段最短解答．
【详解】解：将长方体展开，连接AB，
根据两点之间线段最短，
如图，
𝐵𝐷= 10 + 5 = 15, 𝐴𝐷= 20，
由勾股定理得：𝐴𝐵= √𝐴𝐷2 + 𝐵𝐷2 = √152 + 202 = √625 = 25．
（2）如图，
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𝐵𝐶= 5, 𝐴𝐶= 20 + 10 = 30，
由勾股定理得，𝐴𝐵= √𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = √52 + 302 = √925 = 5√37．
（3）只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图：
∵长方体的宽为10，高为20，点B 离点C 的距离是5，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷+ 𝐵𝐶= 20 + 5 = 25, 𝐴𝐷= 10，
在直角三角形𝐴𝐵𝐷中，根据勾股定理得：
∴𝐴𝐵= √𝐵𝐷2 + 𝐴𝐷2 = √102 + 252 = 5√29；
∵25 < 5√29 < 5√37，
故选：B．
【变式1-6】如图，已知长方体的长为4dm、宽为2dm、高为8dm．一只壁虎如果沿长方体的表面从A 点爬
到𝐵′点，那么最短的路程是多少？
【答案】最短路程是10dm
【分析】此题考查平面展开-最短路径问题，解题关键在于画出展开图利用勾股定理进行计算，要求长方体
中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】解：如图，
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根据题意，如图所示，路径有以下三种情况：
（1）沿𝐴𝐴′，𝐴′𝐶，𝐶′𝐵′，𝐵′𝐵，𝐵𝐶，𝐶𝐴剪开，得图1，𝐴𝐵′2 = 𝐴𝐵2 + 𝐵𝐵′2 = (4 + 2)2 + 82 = 100；
（2）沿𝐴𝐶，𝐶𝐶′，𝐶′𝐵，𝐵′𝐷，𝐷′𝐴′，𝐴′𝐴剪开，得图2，𝐴𝐵′2 = 𝐴𝐶2 + 𝐵′𝐶= 42 + (8 + 2)2 = 16 + 100 = 116；
（3）沿𝐴𝐷，𝐷𝐷′，𝐷′𝐵′，𝐵′𝐶′，𝐶′𝐴′，𝐴′𝐴剪开，得图3，𝐴𝐵′2 = 𝐴𝐷2 + 𝐵′𝐷2 = 22 + (4 + 8)2 = 4 + 144 = 148.
综上所述，最短路径应为图1 所示，所以𝐴𝐵′2 = 100，即𝐴𝐵′ = 10dm，因此最短路程是10dm．
【变式1-7】如图，在一张长方形纸板𝐴𝐵𝐶𝐷上放着一根长方体木块．已知𝐴𝐷= 12，𝐴𝐵= 8，该木块的长与
𝐴𝐷平行，横截面是边长为1的正方形，求一只蚂蚁从点A 爬过木块到达点C 需要走的最短路程的平方．
【答案】244
【分析】本题主要考查勾股定理的实际应用，两点之间线段最短，解答此题要将木块展开，然后根据两点之
间线段最短解答．
【详解】解：由题意可知，将木块展开，相当于是𝐴𝐵+ 2个正方形的宽，
∴长为8 + 2 × 1 = 10；宽为12．
于是最短路径的平方为：102 + 122 = 244．
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【变式1-8】如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于7cm、6cm、2cm，A 和B 是这两
个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A 出发经过台阶爬到点B 的最短路线有多长？
【答案】25cm
【分析】展开后得到直角三角形ACB，根据题意求出AC、BC，根据勾股定理求出AB 即可．
【详解】解：如图，将台阶展开，
由题意得；AC＝6×3+2×3＝24，BC＝7，．
所以由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2＝625，
即AB＝25（cm），
答：蚂蚁爬行的最短线路为25cm．
【变式1-9】如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18 分米、4 分米．
(1)如果给台阶表面8 个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432 平方分米，那么每一级台阶的
高为多少分米？
(2)A 和C 是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A 处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C 处去吃美味的食
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物，则蚂蚁沿着台阶面从点A 爬行到点C 的最短路程为多少分米？
【答案】(1)每一级台阶的高为2 分米．
(2)蚂蚁沿着台阶面从点A 爬行到点C 的最短路程为30 分米．
【分析】（1）设每一级台阶的高为x 分米，根据题意列方程即可得到结论；
（2）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】（1）解：设每一级台阶的高为x 分米，
根据题意得，18×（4＋x）×4＝432，
解得x＝2，
答：每一级台阶的高为2 分米；
（2）四级台阶平面展开图为长方形，长为18 分米，宽为（2＋4）×4＝24 分米，
则蚂蚁沿台阶面从点A 爬行到C 点最短路程是此长方形的对角线长．
由勾股定理得：AC＝√182 + 242 = 30（分米），
答：蚂蚁沿着台阶面从点A 爬行到点C 的最短路程为30 分米．
【变式1-10】包装纸箱是我们生活中常见的物品．如图1，创意DIY 小组的同学将一个10cm × 30cm × 40cm
的长方体纸箱裁去一部分（虚线为裁剪线），得到图2 所示的简易书架．若一只蜘蛛从该书架的顶点𝐴出发，
沿书架内壁爬行到顶点𝐵处，则它爬行的最短距离为 cm．
【答案】50
【分析】本题考查了勾股定理的应用，平面展开一最短路径问题，把书架侧面展开，A，B 点如图所示，连
接A，B，则爬行最短距离为𝐴𝐵的长，再根据勾股定理求出𝐴𝐵的长即可，将立体图形展开在平面图形中求解
是解题的关键．
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【详解】解：如图，把书架侧面展开，A，B 点如图所示，连接A，B，则爬行最短距离为𝐴𝐵的长，
由图可知：𝑂𝐴= 30 + 10 = 40(cm)，
𝑂𝐵= 40 −10 = 30(cm)，
在Rt △𝐴𝑂𝐵中，
𝐴𝐵= √𝑂𝐴2 + 𝑂𝐵2 = √402 + 302 = 50(cm)，
则它爬行的最短距离为50cm，
故答案为：50．
【变式1-11】如图，长方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′中，𝐴𝐵= 𝐵𝐵′ = 2，𝐴𝐷= 3，一只蚂蚁从𝐴点出发，沿长方体表
面爬到𝐶′点．
(1)请你在所给的网格中，画出蚂蚁爬行的所有不同的直线路径；
(2)分别求出这几种路径的距离；
(3)求蚂蚁爬行的最短路程是多少？
【答案】(1)见解析
(2)从正面和上面：5；从左面和上面：√29；从正面和右面：√29
(3)5
【分析】本题主要考查的是勾股定理的应用，
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（1）按照从正面和上面；左面和上面；右面和上面，画出图形即可；
（2）根据勾股定理即可解答；
（3）将（2）中求得的距离进行比较，即可，本题的重点在于准确进行展开，将立体图形转化为平面图形进
行计算，进行分类讨论．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：从正面和上面：𝐴𝐶′ = √𝐴𝐷2 + 𝐶′𝐷2 = √32 + 42 = 5；
从左面和上面：𝐴𝐶′ = √𝐴𝐵2 + 𝐶′𝐵2 = √22 + 52 = √29；
从正面和右面：𝐴𝐶′ = √𝐴𝐴′2 + 𝐶′𝐴′2 = √22 + 52 = √29；
（3）解：根据（2）中可得，最短路径为5．
▌题型02 几何体的多次缠绕问题
与上一个题型类似，在多次缠绕问题中，也需要将几何体的侧面进行展开，对于多次缠绕的问题，可以用两
种方法进行解决。
方法一：将多次缠绕化为一次缠绕，求出长度后再乘缠绕倍数，如图1
方法二：将底面周长放大缠绕倍数，直接利用勾股定理求解，如图2
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图1
图2
【典例2】我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，
五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱
的高为20 尺，底面周长为3 尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤
的最短长度是（ ）尺
A．15
B．20
C．25
D．30
【答案】C
【分析】将圆柱体展开，利用两点之间线段最短和勾股定理进行计算即可．
【详解】解：把圆柱的侧面展开五次，如图：
𝐴𝐵表示葛藤的最短长度，𝐴𝐶= 5 × 3 = 15 (尺)，𝐵𝐶= 20尺，
∴𝐴𝐵= √𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = √152 + 202 = 25，
即葛藤的最短长度是25 尺；
故选C．
【变式2-1】如图，长方体的底面是边长为1m的正方形，高为6cm．如果从点𝐴开始经过4 个侧面缠绕2 圈
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到达点𝐵，则所用细线最短要 ．
【答案】10𝑐𝑚
【分析】如果从点𝐴开始经过4 个侧面缠绕2 圈到达点𝐵，相当于直角三角形的两条直角边分别是4和3，再
根据勾股定理求出斜边长即可．
【详解】解：将长方体的侧面沿𝐴𝐵展开，取𝐴′𝐵′的中点𝐶，取𝐴𝐵的中点𝐶′，连接𝐵′𝐶′，𝐴𝐶，则𝐴𝐶+ 𝐵′𝐶′为
所求的最短细线长，
∵𝐴𝐶2 = 𝐴𝐴′2 + 𝐴′𝐶2，𝐴𝐶= 5𝑐𝑚，
∴𝐵′𝐶′2 = 𝐵𝐵′2 + 𝐶′𝐵2 = 25，
∴𝐵′𝐶′ = 5𝑐𝑚，
∴𝐴𝐶+ 𝐵′𝐶′ = 10𝑐𝑚，
∴所用细线最短长度是10𝑐𝑚．
故答案为：10𝑐𝑚．
【变式2-2】有一根底面周长为30cm，高2 米的圆柱形枯木，一条长藤自根部缠绕向上，缠了五周刚好到达
顶部，这条长藤最短有多长？
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【答案】2.5m
【分析】要求长藤的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借
助于勾股定理．
【详解】解：将圆柱表面切开展开呈长方形，则螺旋线长为五个长方形并排后的长方形的对角线长，
∵圆柱高2 米，底面周长0.3 米，
𝑥2 = (0.3 × 5)2 + 22 = 6.25
解得𝑥= 2.5(𝑚)，
∴长藤长至少是2.5m．
答：长藤长至少是2.5m．
【变式2-3】如图，圆柱底面半径为4
𝜋cm，高为18cm，点A，B 分别是圆柱两底面圆周上的点．且A、B 在
同一母线上，用一棉线从A 顺着圆柱侧面绕3 圈到B，则棉线最短为 cm．
【答案】30
【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最
短解答．
【详解】解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A 顺着圆柱侧面绕3 圈到B 的运动最短路线是：
𝐴𝐶→𝐶𝐷→𝐷𝐵；
即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3 个小长方形，A 沿着3 个长方形的对角线运动到B 的路
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线最短；
∵圆柱底面半径为
cm，
∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长：2𝜋×
4
𝜋= 8（cm）；
又∵圆柱高为18cm，
∴小长方形的一条边长是8 ÷ 3 = 6（cm）；
根据勾股定理求得𝐴𝐶= 𝐶𝐷= 𝐷𝐵= √62 + 82 = 10（cm）；
∴𝐴𝐶+ 𝐶𝐷+ 𝐷𝐵= 30cm；
故答案为：30．
【变式2-4】（25-26 八年级上·山东滨州·期中）如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A 点绕到正上
方B 点共四圈，已知易拉罐底面周长是12cm，高是20cm，那么所需彩带最短的是 ．
【答案】52cm
【分析】要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借
助于勾股定理．
【详解】
由图可知，彩带从易拉罐底端的A 处绕易拉罐4 圈后到达顶端的B 处，将易拉罐表面切开展开呈长方形，
则螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长，设彩带最短长度为𝑥，则易拉罐底面周长是12，高是
20
∴х2 = (12 × 4)2 + 202
解得：𝑥= 52
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∴彩带最短是52cm
故答案为：52cm．
▌题型03 立体图形中的将军饮马问题
1.将军饮马问题的背景：如图，在直线l 同侧有点A、B，在直线l 上求一点M，使MA+MB 最小。
做法：（1）作点B 关于直线l 的对称点B'，（2）连接AB'，交直线l 与点M，则点M 为所求的点。
2.将军饮马问题在立体图形中的应用
由于部分场景中，涉及到几何体的内壁与外壁，因此，就对应了上图的A、B 两点，将几何体展开，找到对
称点，化为将军饮马模型即可解决。
【典例3】如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，在容器内壁离容器底部1.5cm的
点𝐵处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿1.5cm的点𝐴处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行
的最短路径为15cm，则该圆柱底面周长为（ ）
A．9cm
B．12cm
C．18cm
D．24cm
【答案】C
【分析】将容器侧面展开，建立𝐴关于上边沿的对称点𝐴′，根据两点之间线段最短可知𝐴′𝐵的长度为最短路
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径15cm，构造直角三角形，依据勾股定理可以求出底面周长的一半，乘以2 即为所求．
【详解】解：如下图，
将容器侧面展开，作𝐴关于EF 的对称点𝐴′，连接𝐴′𝐵，则𝐴′𝐵即为最短距离，
根据题意，可知𝐴′𝐵= 15cm，𝐵𝐷= 12 −1.5 + 𝐴𝐸= 12cm，
∴𝐴′𝐷= √𝐴′𝐵2 −𝐵𝐷2 = √152 −122 = 9．
所以底面圆的周长为9 × 2 = 18cm．
故选：C．
【变式3-1】如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点𝐵处有一滴蜂蜜，
此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点𝐴处，则蚂蚁从外壁𝐴处到内壁𝐵处的最短距离（杯
壁厚度不计）为（ ）
A．14cm
B．16cm
C．18cm
D．20cm
【答案】D
【分析】如图（见解析），将杯子侧面展开，作𝐴关于𝐸𝐹的对称点𝐴′，根据两点之间线段最短可知𝐴′𝐵的长
度即为所求，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：如图，将杯子侧面展开，作𝐴关于𝐸𝐹的对称点𝐴′，连接𝐴′𝐵，作𝐴′𝐷⊥𝐵𝐸，交𝐵𝐸延长线于点𝐷，
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则𝐴𝐹+ 𝐵𝐹= 𝐴′𝐹+ 𝐵𝐹，
由两点之间线段最短可知，当点𝐴′、F、B 在同一条直线上时，𝐴′𝐹+ 𝐵𝐹取得最小值，最小值为𝐴′𝐵的长度，
由题意可知，𝐴′𝐷= 32 ÷ 2 = 16(cm)，𝐵𝐷= 14 −5 + 3 = 12(cm)，
则𝐴′𝐵= √𝐴′𝐷2 + 𝐵𝐷2 = 20(cm)，
即蚂蚁从外壁A 处到内壁B 处的最短距离为20cm，
故选：D．
【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，将立体图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解
题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
【变式3-2】如图甲，笔直的公路上𝐴，𝐵两点相距20km，𝐶，𝐷为两村庄，𝐷𝐴⊥𝐴𝐵于点𝐴，𝐶𝐵⊥𝐴𝐵于点𝐵，
已知𝐷𝐴= 10 km，𝐶𝐵= 5 km，现在计划在公路的𝐴𝐵段上建一个土特产品收购站𝐸．
(1)若规划𝐶，𝐷两村到收购站𝐸的距离相等，则收购站𝐸应建在离𝐴点多远处？
(2)若规划𝐶，𝐷两村到收购站𝐸的距离的和最短，请在图乙中通过作图画出收购站𝐸的位置，计算得到距离的
和最短值为 km．
【答案】(1)
65
8 km；(2)图见解析，25
【分析】本题考查了作图—应用设计作图、勾股定理、轴对称—最短路线问题，熟练掌握勾股定理的应用是
解题的关键．
（1）设𝐴𝐸= 𝑥 km，则𝐵𝐸= (20 −𝑥) km，在Rt △𝐴𝐷𝐸与Rt △𝐵𝐶𝐸中，由勾股定理结合𝐷𝐸= 𝐶𝐸得出方程，
求出𝑥的值即可求解；
（2）作点𝐶关于𝐴𝐵的对称点𝐶′，连接𝐷𝐶′交𝐴𝐵于点𝐸，则点𝐸即为所求，𝐷𝐶′长即为距离的和最短值，过点𝐶′
作𝐶′𝐹⊥𝐷𝐴交𝐷𝐴的延长线于点𝐹，在Rt △𝐷𝐹𝐶′中由勾股定理求出𝐷𝐶′的长即可．
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【详解】（1）解：（1）设𝐴𝐸= 𝑥 km，则𝐵𝐸= (20 −𝑥) km，
在Rt △𝐴𝐷𝐸与Rt △𝐵𝐶𝐸中，由勾股定理得，
𝐴𝐷2 + 𝐴𝐸2 = 𝐷𝐸2，𝐵𝐸2 + 𝐵𝐶2 = 𝐶𝐸2，
∵𝐷𝐸= 𝐶𝐸，
∴𝐴𝐷2 + 𝐴𝐸2 = 𝐵𝐸2 + 𝐵𝐶2，
∴102 + 𝑥2 = (20 −𝑥)2 + 52，
解得𝑥=
65
8 ，
即收购站𝐸应建在离𝐴点
65
8 km处；
（2）如图，作点𝐶关于𝐴𝐵的对称点𝐶′，连接𝐷𝐶′交𝐴𝐵于点𝐸，则点𝐸即为所求，𝐷𝐶′长即为距离的和最短值，
过点𝐶′作𝐶′𝐹⊥𝐷𝐴交𝐷𝐴的延长线于点𝐹，
则𝐷𝐶′ = √𝐷𝐹2 + 𝐹𝐶′2 = √(10 + 5)2 + 202 = 25 km．
故答案为：25．
【变式3-3】如图，河𝐶𝐷的同侧有𝐴、𝐵两个村，且𝐴𝐵= 2√13km，𝐴、𝐵两村到河的距离分别为𝐴𝐶= 2km，
𝐵𝐷= 6km．现要在河边𝐶𝐷上建一水厂分别向𝐴、𝐵两村输送自来水，铺设水管的工程费每千米需2000 元．请
你在河岸𝐶𝐷上选择水厂位置𝑂，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用𝑤（元）．
【答案】20000 元
【分析】作𝐴点关于𝐶𝐷的对称点为𝐴′，连接𝐴′𝐵交𝐶𝐷于点𝑂，过点𝐴作𝐴𝐹⊥𝐵𝐷于点𝐹，过点𝐴′作𝐴′𝐸⊥𝐵𝐷交
𝐵𝐷的延长线于点𝐸，分别利用勾股定理求出𝐴𝐹和𝐴′𝐵的长即可．
【详解】解：如图，作点𝐴关于𝐶𝐷的对称点𝐴′，连接𝐵𝐴′交𝐶𝐷于𝑂，点𝑂即为水厂的位置．
分过点𝐴′作𝐴′𝐸∥𝐶𝐷交𝐵𝐷的延长线于点𝐸，过点𝐴作𝐴𝐹⊥𝐵𝐷于点𝐹，
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则𝐴𝐹= 𝐴′𝐸，𝐷𝐹= 𝐴𝐶= 2km，𝐷𝐸= 𝐴′𝐶= 2km．
∴𝐵𝐹= 𝐵𝐷−𝐹𝐷= 6 −2 = 4(km)．
在Rt △𝐴𝐵𝐹中，𝐴𝐹2 = 𝐴𝐵2 −𝐵𝐹2 = (2√13)
2 −42 = 36，
∴𝐴𝐹= 6km，
∴𝐴′𝐸= 6km．
在Rt △𝐴′𝐵𝐸中，𝐵𝐸= 𝐵𝐷+ 𝐷𝐸= 8km，
由勾股定理得𝐴′𝐵= √𝐴′𝐸2 + 𝐵𝐸2 = √62 + 82 = 10(km)．
∴𝑤= 2000 × 10 = 20000（元）．
故铺设水管的总费用为20000 元．
【变式3-4】如图，长方形BCFG 是一块草地，折线ABCDE 是一条人行道，BC＝12 米，CD＝5 米．为了避
免行人穿过草地（走虚线BD，践踏绿草，管理部门分别在B、D 处各挂了一块牌子，牌子上写着“少走 米，
踏之何忍”．
【答案】4
【分析】根据勾股定理求得𝐵𝐷的长，用𝐵𝐶+ 𝐶𝐷−𝐵𝐷即可求解
【详解】解：在𝑅𝑡△𝐵𝐶𝐷中，𝐵𝐶= 12, 𝐶𝐷= 5
∴𝐵𝐷= √𝐵𝐶2 + 𝐶𝐷2 = 13
则𝐵𝐶+ 𝐶𝐷−𝐵𝐷 = 12 + 5 −13 = 4（米）
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故答案为：4
【变式3-5】（25-26 八年级上·湖南永州·期中）如图，在长方体透明容器（无盖）内的点B 处有一滴糖浆，
容器外A 点处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆，已知容器长为5cm，宽为3cm，高为4cm，点A 距底部
1cm，请问蚂蚁需爬行的最短距离是（容器壁厚度不计）（ ）
A．3√17cm
B．√65cm
C．5√5cm
D．√113cm
【答案】D
【分析】将点𝐴沿着它所在的棱向上翻折至点𝐴′处，分如图（见解析）所示的三种情况讨论，分别利用化曲
为直的思想和勾股定理求解即可得．
【详解】解：如图，将点𝐴沿着它所在的棱向上翻折至点𝐴′处，则新长方体的长、宽、高分别为5cm, 3cm, 7cm，
将这个新长方体展开为以下三种情况，如图所示：
𝐴′
1𝐵= √(4 + 3)2 + (5 + 3)2 = √113cm，
𝐴′
2𝐵= √(5 + 4 + 3)2 + 32 = √153=3√17cm，
𝐴′
3𝐵= √(3 + 4 + 3)2 + 52 = √125=5√5cm，
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∵√113 < √125 < √153，
∴蚂蚁需爬行的最短距离是√113cm，
故选：D．
【变式3-6】如图是一个长8m、宽6m、高5m的仓库，在其内壁的点A（长的四等分点）处有一只壁虎、点B
（宽的三等分点）处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短距离为多少𝑚？
【答案】√85m
【分析】本题主要考查了勾股定理，先将点A 和点B 所在的面展开，得到最符合条件的三种情况，连接𝐴𝐵，
利用勾股定理分别求解，即可得到答案，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．
【详解】解：由题意可知，仓库的长为8m、宽为6m、高为5m，点A 是长的四等分点，点B 是宽的三等分点
如图1，此时𝐴𝐶= 6m，𝐶𝐷= 5m，𝐵𝐷= 2m，
∴𝐵𝐶= 𝐵𝐷+ 𝐶𝐷= 7m，
∴𝐴𝐵= √𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = √85m；
如图2，此时𝐴𝐹= 6m，𝐵𝐺= 𝐸𝐹= 5m，𝐹𝐺= 𝐵𝐸= 2m，
∴𝐴𝐺= 𝐴𝐹+ 𝐹𝐺= 8m，
∴𝐴𝐵= √𝐴𝐺2 + 𝐵𝐺2 = √89m；
如图3，此时𝐴𝑁= 6m，𝑀𝑁= 5m，𝐵𝑀= 2m，
∴𝐴𝑀= 𝐴𝑁+ 𝑀𝑁= 11m，
∴𝐴𝐵= √𝐴𝑀2 + 𝐵𝑀2 = √125m，
∵√85 < √89 < √125，
∴壁虎爬到蚊子处的最短距离为多少√85𝑚．
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【变式3-7】如图，小区A 与公路l 的距离AC＝200 米，小区B 与公路l 的距离BD＝400 米，已知CD＝800
米，
(1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q 到A、B 两小区的路程相等，求CQ 的长；
(2)现要在公路旁建造一利民超市P，使P 到A、B 两小区的路程之和最短，求PA+PB 的最小值，并求CP 的
长度．
【答案】(1)475 米
(2)1000 米，800
3 米
【分析】（1）根据勾股定理列出方程2002 + 𝑥2 = 4002 + (800 −𝑥)2，解方程即可；
（2）如图，作点A 关于直线l 的对称点𝐴′，连接𝐴′𝐵，交直线l 于点P．则AP＝𝐴′P，AP+BP＝𝐴′P+BP，PA+PB
的最小值为𝐴′B．
【详解】（1）解：如图1，
此时AQ＝BQ．
设CQ＝x，则DQ＝800﹣x，
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∴2002 + 𝑥2 = 4002 + (800 −𝑥)2，
解得x＝475，
即CQ 的长为475 米；
（2）解：如图2，
作点A 关于直线l 的对称点𝐴′，连接𝐴′𝐵，交直线l 于点P．
则AP＝𝐴′P，
AP+BP＝𝐴′P+BP，
PA+PB 的最小值为√8002 + (400 + 200)2=1000 米．
∵𝐴𝐴′ ∥𝐵𝐷，
∴𝐶𝑃
𝑃𝐷= 𝐴′𝐶
𝐵𝐷= 200
400 = 1
2，
∴𝐶𝑃
𝐶𝐷= 1
3，
∴CP＝1
3 𝐶𝐷＝1
3 × 800＝800
3 （米），
即CP 的长度为800
3 米．
【变式3-8】某课题组在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：
直线𝑙同旁有两个定点𝐴、𝐵，在直线𝑙上存在点𝑃，使得𝑃𝐴+ 𝑃𝐵的值最小．解法：作点𝐴关于直线𝑙的对称点𝐴′，
连接𝐴′𝐵，则𝐴′𝐵与直线𝑙的交点即为𝑃，且𝑃𝐴+ 𝑃𝐵的最小值为𝐴′𝐵．
请利用上述模型解决下列问题：
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（1）几何应用：如图1，等腰直角三角形𝐴𝐵𝐶的直角边长为2，𝐸是斜边𝐴𝐵的中点，𝑃是𝐴𝐶边上的一动点，
则𝑃𝐵+ 𝑃𝐸的最小值为 ；
（2）几何拓展：如图2，△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 2，∠𝐵𝐴𝐶= 30°，若在𝐴𝐶、𝐴𝐵上各取一点𝑀、𝑁使𝐵𝑀+ 𝑀𝑁的值
最小，求这个最小值 ；
（3）代数应用：求代数式√𝑥2 + 1 + √(4 −𝑥)2 + 4(0 ≤𝑥≤4)的最小值 ．
【答案】 √10 √3 5
【分析】（1）作点B 关于AC 的对称点𝐵′，连接𝐵′𝐸，交AC 于点P，连接𝐴𝐵′，根据轴对称的性质可得
AB=𝐴𝐵′=√𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 2√2，PB=𝑃𝐵′，∠ABC=∠𝐴𝐵′𝐶=45°，最后根据𝑃𝐵+ 𝑃𝐸=𝑃𝐵′+PE=𝐸𝐵′即可求解；
（2）作点B 关于AC 的对称点𝐵′，过点𝐵′作𝐵′𝑁⊥AB 于点N，交AC 于点M，连接𝐵𝐵′交AC 于点O，根据
BM=𝐵′𝑀可知𝐵𝑀+ 𝑀𝑁=𝐵′𝑀+MN=𝐵′𝑁，根据轴对称的性质和含30°角的直角三角想30°角所对的边等于斜边
的一半，分别求出𝐵𝐵′和BN 的长度即可；
（3）根据题意，构造两个直角三角形，斜边分别等于√𝑥2 + 1和√(4 −𝑥)2 + 4，用勾股定理进行即可进行证
明．
【详解】（1）解：如图，作点B 关于AC 的对称点𝐵′，连接𝐵′𝐸，交AC 于点P，连接𝐴𝐵′
∵点B 和点𝐵′关于AC 对称，
∴AB=𝐴𝐵′=√𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 = 2√2，PB=𝑃𝐵′，∠ABC=∠𝐴𝐵′𝐶=45°，
∴在△𝐴𝐵𝐵′中，∠𝐵𝐴𝐵′=90°，
∵点E 为AB 中点，
∴AE=1
2 𝐴𝐵= √2，
∴𝐸𝐵′ = √𝐴𝐸2 + (𝐴𝐵′)2 = √10，
∵PB=𝑃𝐵′，
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∴𝑃𝐵+ 𝑃𝐸=𝑃𝐵′+PE=𝐸𝐵′ = √10，
故答案为：√10．
（2）作点B 关于AC 的对称点𝐵′，过点𝐵′作𝐵′𝑁⊥AB 于点N，交AC 于点M，连接𝐵𝐵′交AC 于点O，
根据轴对称的性质可知，𝐵𝐵′⊥AC，
∵𝐴𝐵= 2，∠𝐵𝐴𝐶= 30°，∠AOB=90°，
∴BO=1
2 𝐴𝐵= 1，∠𝑁𝐵𝐵′=60°，
∴𝐵𝐵′=2 BO=2，
在Rt△𝑁𝐵𝐵′中，∠𝑁𝐵𝐵′=60°，
∴∠𝐵′=30°，
∴NB=1
2 𝐵𝐵′ = 1，
∴𝐵′𝑁= √(𝐵𝐵′)
2 −𝐵𝑁2 = √3，
∵BM=𝐵′𝑀，
∴𝐵𝑀+ 𝑀𝑁=𝐵′𝑀+MN=√3，
故答案为：√3．
（3）如图，构造图形，点P 是AB 边上一点，其中AB=4，AP=x，AC=1，BD=2，
作点C 关于AB 的对称点𝐶′，连接𝐶′𝐷交AB 于点P，延长DB，过点𝐶′作𝐶′𝑂⊥BD，垂足为O，
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根据轴对称的性质可知，AC=𝐴𝐶′=1，CP=𝐶′𝑃，
∵AB=4，𝐴𝐶′=1，
∴𝐶′𝑂=4，BO=𝐴𝐶′=1，
∴DO=3，
在Rt△𝐶′𝑂𝐷中，𝐶′𝐷= √𝐶′𝑂2 + 𝐷𝑂2 = 5，
∵AB=4，AP=x，AC=1，BD=2，
∴𝐶′𝑃= √𝐴𝐶2 + 𝐴𝑃2 = √𝑥2 + 1，𝐷𝑃= √𝐵𝐷2 + 𝐵𝑃2 = √(4 −𝑥)2 + 4，
∵CP+DP =𝐶′𝑃+DP=𝐶′𝐷=5，
∴√𝑥2 + 1 + √(4 −𝑥)2 + 4的最小值为5．
故答案为：5．
▌题型04 几何体中的空间距离问题
问题背景：在几何体中，除了求表面的最短距离，有时还会涉及到两点之间的直线距离，这个问题也可以通
过构造直角三角形，借助勾股定理进行解决。
如下图，要求A、B 两点的直线距离，都可以构造Rt△ABC，通过求出AC、BC 的长度，进而利用勾股定理
进行求解。
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【典例4】将一根长为24cm 的筷子，置于底面直径为5cm,高为12cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外
边的长度为h cm,则h 的取值范围为_______cm.
【答案】11cm≤h≤12cm
【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可.
【详解】当筷子与杯底垂直时h 最大，h 最大=24-12=12(cm).
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h 最小，
如图所示：此时，AB²=AC²+BC²=169，则AB=13(cm),
故h=24-13=11(cm).
故h 的取值范围是11cm≤h≤12cm.
故答案为11cm≤h≤12cm.
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【变式4-1】如图，将一根15cm 长的细木棒放入长宽高分别为4cm,3cm 和12cm 的长方体无盖盒子中，则
细木棒露在外面的最短长度是______cm.
【答案】2 cm
【分析】当木棒放在斜对角的位置时，露出部分最短，根据题意画出图形，利用勾股定理进行计算即可
【详解】由题意知：盒子底面对角线长为√32 + 42 = 5 𝑐𝑚，盒子的对角线长为√52 + 122 = 13 𝑐𝑚，盒子里面
最长为13 cm，则露在外面的最短长度为15-13=2 cm，故答案为：2 cm
【变式4-2】如图将一根长15cm 的筷子置于地面直径为3cm,高为4cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外
面的长为hcm,则h 的取值范围是________________
【答案】4≤h≤5
【分析】先求出在杯子内部的最长和最短距离，用筷子长度减去即可求出h 的范围
【详解】∵将一根长9cm 的筷子，置于底面直径为3cm,高为4cm 的圆柱形水杯中，
∴在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度，
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∴当杯子中筷子最短时等于杯子的高，h=9-4=5(cm),
当杯子中筷子最长时等于杯子斜边长度，h=9-5=4(cm),
∴h 的取值范围是：4≤h≤5.故答案为：4≤h≤5.
【变式4-3】如图所示这是某种牛奶的长方体包装盒，长、宽、高分别为5cm、4cm、12cm,插吸管处的出口
到相邻两边的距离都是1cm,为了设计配套的直吸管，要求插入碰到底面后，外露的吸管长度要在3cm 至5cm
间(包括3cm 与5cm,不计吸管粗细及出口的大小),则设计的吸管总长度L 的范围是( ).
A.16cm≤L≤18cm
B.16cm≤L≤17cm
C.15cm≤L≤18cm
D.15cm≤L≤17cm
【答案】B
【分析】以吸管孔为长方体的一个顶点，利用勾股定理两次计算，可得内部最长距离，然后结合外露部分的
长度，可以求得吸管总长度的范围
【详解】解：露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，底面距吸管孔最远距离为5cm,高为
12cm,由勾股定理可得杯里面管长为√5² + 12²=13cm,因此，吸管在内部最短为12cm，最长为13cm，因为外
露的吸管长度要在3cm 至5cm 间，所以设计的吸管总长度L 的范围是16cm≤L≤17cm.故答案为：B.
【变式4-4】如果箱子的长、宽、高分别是4 米、3 米、12 米，那么,能放入箱子内的竹竿的最大长度大约是
多少米?
小学
初中
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【答案】13 米
【分析】先找到竹竿在内部最长的摆放位置，然后两次利用勾股定理进行求解
【详解】如图所示，能放入的最大长度的竿子即为A1C 的长度
在Rt△A1D1C1 中，A1C=5，
在RT△CA1C1 中，A1C=13
即能放入最长的竿子长为13 米
【变式4-5】如图，已知正方体纸盒的表面积为12cm²,剪去盖子后，插入一根长为5cm 的细木棒，则细木棒
露在外面的最短长度是多少?
【答案】（5-√6） cm
【分析】先找到木棒在内部最长的摆放位置，然后两次利用勾股定理求出内部最长距离，即可求出露在外面
的最短长度
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【详解】设正方体的棱长为x cm,则6x2=12,得x=2，所以细木棒在纸盒内部的最长距离为：√22 + 22 + 22 =
√6，露在外面的最短长度为（5-√6）cm。
【变式4-6】（25-26 八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别是12cm，
8cm，30cm．
(1)在AB 的中点C 处有一滴蜜糖，一只小虫从D 处爬到C 处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？
(2)若此长方体盒子有盖，则能放入木棒的最大长度是多少？
【答案】(1)25cm；(2)2√277cm
【分析】(1)把盒子展开，通过两点之间线段最短，画出草图，根据勾股定理可求得，根据盒子展开的方式
不同，分类讨论；
(2)连接DP、PD，放入木棒的最大长度即为长方体的顶角的连线的最长长度，此时计算出DB 或AP 的长度
即为可能放入木棒的最大长度．
（1）长方体的各边长度如图所示，
第一种展开方式，如图，
展开：
由图可知：
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此时的最短路径为CD，在Rt△ACD 中，𝐷𝐶2 = 𝐴𝐷2 + 𝐴𝐶2，
C 为AB 中点，即AC=15，
即𝐶𝐷= √(12 + 8)2 + 152 = 25，
此时最短路径为CD=25cm，
第二种展开方式，如图，
展开：
由图可知：
此时的最短路径为CD，在Rt△ACD 中，𝐷𝐶2 = 𝐴𝐷2 + 𝐴𝐶2，
C 为AB 中点，即AC=15，
即𝐶𝐷= √(12 + 8)2 + 152 = 25，
此时最短路径为CD=25cm；
第三种展开方式，如图，
展开：
由图可知：
此时的最短路径为CD，在Rt△ACD 中，𝐷𝐶2 = 𝐷𝐹2 + 𝐹𝐶2，
C 为AB 中点，即AC=15，
即𝐶𝐷= √(15 + 8)2 + 122 = √673，
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此时最短路径为CD=√673cm，
∵√673＞25，
∴最短路径的长度为25cm；
答：最短路径为25cm．
（2）连接DB、PD，如图：
则有𝑃𝐵2 = 122 + 82 = 208，
𝐷𝐵= √𝑃𝐵2 + 𝐷𝑃2 = √208 + 302 = √1108 = 2√277（cm），
故放入木棒的最大长度是2√277cm．
