文档内容
第 02 讲 勾股定理的应用
【题型1：求梯子滑落高度】
【题型2：求旗杆高度】
【题型3：求小鸟飞行距离】
【题型4：求大树折断前的高度】
【题型5：解决水杯中筷子问题】
【题型6：解决航海问题】
【题型7：求台阶上地毯长度】
【题型8：判断汽车是否超速】
【题型9：判断是否受台风影响】
【题型10：选址使到两地距离相等】
【题型11：求最短路径】
知识点1：勾股定理应用
勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形
是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方
进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误
的结论．
【题型1：求梯子滑落高度】
【典例1】（24-25八年级上·福建宁德·阶段练习）【综合实践】
【问题情境】消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到
达高层救援现场，如图，已知一架云梯AB长25cm斜靠在一面墙上，这时云梯底端距
墙角的距离OB=20cm，∠AOB=90°．【独立思考】（1）求这架云梯顶部距离地面OA的长度．
【深入探究】（2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶部A下滑到A′位置上（云梯长
度不改变），则底部B沿水平方向向前滑动到B′位置上，若A A′=8m，求BB′的长度．
【答案】（1）15m；（2）BB′的长度为4m
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．
（1）根据勾股定理即可求出；
（2）先求出OA′，根据勾股定理求出OB′，进一步即可求出BB′；
【详解】解：（1）在Rt△OAB中，OA=❑√AB2−OB2=❑√252−202=15m，
答：OA长为15m；
（2）∵OA=15m,A A′=8m，
∴OA'=OA−A A'=15−8=7m，
在Rt△A'OB'中，OB′=❑√A′B′−OA′=❑√252−72=24m，
∴BB′=OB′−OB=24−20=4m，
答：BB′的长度为4m．
【变式1-1】（24-25八年级上·四川乐山·期末）如图，一根长5米的竹竿AB斜靠在竖直的
墙上，这时AO为4米，若竹竿的顶端A沿墙下滑2米至C处，则竹竿底端B外移的距离
BD（ ）
A．小于2米 B．等于2米 C．大于2米 D．无法判断【答案】A
【分析】先根据勾股定理分别求出OD和OB的长度，进而表示出BD长度，利用无理数
的估算方法即可估算出BD大小.
【详解】解：∵ AB斜靠在竖直的墙上，AB=5，AO=4，
∴在Rt△AOB中，OB=❑√AB2−AO2=❑√52−42=3.
∵竹竿的顶端A沿墙下滑2米至C处，
∴ OC=AO−AC=4−2=2，CD=AB=5，
∴在Rt△OCD中，OD=❑√CD2−OC2=❑√52−22=❑√21.
∴ BD=OD−OB=❑√21−3.
∵ 4<❑√21<5，
∴ 1<❑√21−3<2.
∴ 126× ，
4
∴能达到．
【变式1-3】（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）一架云梯AB长25m，按如图所示的方式斜
靠在一面墙上，云梯底端离墙的距离BC为7m．
(1)求此架云梯的顶端到地面的距离AC；
(2)如果云梯的顶端A下滑了4m到达E处，求它的底部B在水平方向移动的距离BF的
长．
【答案】(1)24m
(2)8m
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 掌握勾股定理是解题的关键．
（1）利用勾股定理直接求解即可．
（2）如果云梯的顶端A下滑了4m到达E处，则EC=AC−AE=24−4=20m，再利
用勾股定理求出CF，再根据BF=CF−BC求解即可．【详解】（1）解：AC=❑√AB2−BC2=❑√252−72=24m，
则此架云梯的顶端到地面的距离AC为24m.
（2）解：如果云梯的顶端A下滑了4m到达E处，
则EC=AC−AE=24−4=20m，
则CF=❑√EF2−CE2=❑√252−202=15m，
BF=CF−BC=15−7=8m
∴
【题型2：求旗杆高度】
【典例2】（24-25九年级上·湖北·期末）为测量学校旗杆AB的高度，学校“华罗庚”数学
兴趣小组的同学经过讨论，设计了以下两种方案：
方案一 方案二
测 含45°角的教学用直角三角板、足够长的皮 升旗用的绳子、足够长的皮尺．
量 尺．
工
具
测
量
方
案
示
意
图
实 在阳光的照射下，旗杆AB落在围墙上的影子为 升旗用的绳子从旗杆顶端垂落地面
施 DC，测得CD为1.2米，旗杆底部B处与围墙 后还多出1m，将绳子斜拉直后，
方 的距离BC为10.8米．利用直角三角板得到此时 使得绳子底端C刚好接触地面，此
案 太阳光与水平地面的夹角恰好是45°． 时测得BC=5m．
及
测
量
数
据
备 ①图上所有点均在同一平面内； ①实施过程中，旗杆顶端绳子保持
注 ②旗杆半径忽略不计． 不动．
请从以上两种方案中任选一种，计算旗杆AB的高度．
【答案】方案一：12米；方案二：．
【分析】方案一过点D作DE⊥AB于点E，则四边形DCBE是矩形，利用等腰直角
三角形的性质，解答即可；方案二，设旗杆的高，AB=xm，根据题意，AC=(x+1)m，BC=5m，利用勾股定理解答即可．
【详解】解：方案一
过点D作DE⊥AB于点E，则四边形DCBE是矩形，
∴DC=BE,BC=DE，
∵DC=1.2m,BC=10.8m，
∴DC=BE=1.2m,DE=BC=10.8m，
根据题意，得
∴∠ADE=∠MPN=45°，
∴AE=DE=BC=10.8m，
∴AB=AE+BE=12m．
解：方案二 设旗杆的高，AB=xm，
根据题意，AC=(x+1)m，BC=5m，
∵AC2=BC2+AB2，
∴(x+1) 2=x2+52，
解得x=12(m)，
故AB的长度为12米．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，
一元一次方程的应用，熟练掌握勾股定理，解方程是解题的关键．
【变式2-1】（24-25八年级上·陕西西安·期中）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸莺”．
又到了放风筝的最佳时节．如图，小亮的风筝在点C处，点A表示线轴所在的位置，
已知引线AC的长度为10米，A，B两处的水平距离为8米（风筝本身的长、宽忽略不计）．现要使风筝沿竖直方向上升9米至M处，若A，B位置不变，引线AC的长
度应加长多少米？
【答案】7米
【分析】本题考查勾股定理的应用，由勾股定理求出线段BC长，再求出AM的长度即
可解答，关键是读懂题意，作出图形，数形结合．
【详解】解：在Rt△ABC中，AB=8米，AC=10米，
则BC=❑√AC2−AB2=6（米）．
在Rt△ABM中，AB=8米，BM=BC+CM=6+9=15米，
则AM=❑√BM2+AB2=17（米）．
则引线AC的长度应加长AM−AC=7米．
【变式2-2】（24-25八年级上·全国·假期作业）长度为3米，小明同学将绳子拉直，绳子末
端落在点C处，到旗杆底部B的距离为9米．
(1)求旗杆AB的高度；
(2)小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好
拉直，绳子末端落在点E处，问小明需要后退几米（即CD的长）？（❑√5≈2.24，结
果保留1位小数）
【答案】(1)12米
(2)小明需要后退约2.2米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直
角三角形是解此题的关键．
（1）设旗杆AB的高度为xm，则AC=(x+3)m，再由勾股定理计算即可得解；（2）过E作EM⊥AB于点M，则四边形BDEM为长方形，得出MB=ED=2m，
BD=ME，由勾股定理得ME=5❑√5m，即可得解．
【详解】（1）解：设旗杆AB的高度为xm，则AC=(x+3)m，
在Rt△ABC中，∠B=90°，由勾股定理得：AB2+BC2=AC2，
∴x2+92=(x+3) 2，
解得：x=12，
答：旗杆AB的高度为12m．
（2）解：过E作EM⊥AB于点M，
则∠BME=∠MBD=∠EDB=90°，
∴四边形BDEM为长方形，
∴MB=ED=2m，BD=ME，
∵AB=12m，
∴AM=12−2=10m，AE=12+3=15m，
在Rt△AME中，∠AME=90°，
由勾股定理得：ME=❑√AE2−AM2=❑√152−102=5❑√5(m)，
∴CD=(5❑√5−9)≈2.2m，
答：小明需后退2.2m．
【变式2-3】（24-25八年级上·全国·期末）某校八年级（1）班的小明和小亮同学学习了
“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度CE，
他们进行了如下操作：
①测得BD的长为15米（注BD⊥CE）；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明身高1.7米．
(1)求风筝的高度CE．
(2)过点D作DH⊥BC，垂足为H，求DH的长度．
【答案】(1)21.7米
(2)12米
【分析】本题主要考查了勾股定理、三角形面积公式等知识点，熟练掌握勾股定理是
解题的关键．
（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；
（2）根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：在Rt△CDB中，由勾股定理，得：
CD=❑√CB2−BD2=❑√252−152=20（米)，
所以CE=CD+DE=20+1.7=21.7（米)．
答：风筝的高度CE为21.7米．
1 1
（2）解：由等积法知： BD×DC= BC×DH，
2 2
15×20
解得：DH= =12（米)．
25
答：DH的长度为12米．
【题型3：求小鸟飞行距离】
【典例3】（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，小明操纵无人机从树尖A飞向旗杆顶
端C，已知树高5m，旗杆高21m，树与旗杆之间的水平距离为12m，则无人机飞行的
最短距离为多少？【答案】20m
【分析】本题考查了勾股定理的应用，作AE⊥CD于E，连接AC，由题意得：
DE=AB=5m，AE=BD=12m，∠AEC=90°，求出CE=16m，最后由勾股定理计
算即可，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键．
【详解】解：如图，作AE⊥CD于E，连接AC，
，
由题意得：DE=AB=5m，AE=BD=12m，∠AEC=90°，
∴CE=CD−DE=21−5=16m，
∴AC=❑√AE2+CE2=❑√122+162=20m．
即：无人机飞行的最短距离为20m．
【变式3-1】（24-25八年级上·河南郑州·期末）轩轩同学在校园里散步时看到鸟儿飞来
飞去的场景，提出了一个有趣的数学问题：有两棵树，一棵高6m，另一棵高2m，两树
相距6m，一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞多远？下列结果
最接近的是（ ）
A．5m B．6m C．7m D．8m【答案】C
【分析】本题主要考查勾股定理及无理数的估算，熟练掌握勾股定理是解题的关键；如
图，AD=6m,CE=BD=2m,BC=DE=6m，∠ABC=90°，然后根据勾股定理及无
理数的估算可进行求解．
【详解】解：如图，
由题意得：AD=6m,CE=BD=2m,BC=DE=6m，∠ABC=90°，
∴AB=AD−BD=4m，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=❑√AB2+BC2=2❑√13m，
∵3.6<❑√13<3.7，
∴7.2<2❑√13<7.4，
故选C．
【变式3-2】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，两树的高分别为10米和4米，相距8
米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则这只鸟至少飞行 米．
【答案】10
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿
着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离
求出，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键．
【详解】如图，过C点作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是矩形，连接AC，设大树高为AB=10m，小树高为CD=4m，
∴EB=4m，EC=8m，AE=AB−EB=10−4=6(m)，
在Rt△AEC中AC=❑√AE2+EC2=10(m)，
答：小鸟至少飞行10米，
故答案为：10
【变式3-3】（23-24八年级下·山东济宁·期中）如图，某自动感应门的正上方处A装着一
个感应器，离地AB=2.6米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打
开．一个身高1.7米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC=1.2米），
感应门自动打开，则AD= 米．
3
【答案】1.5/
2
【分析】本题考查了勾股定理的应用；过点D作DE⊥AB于点E，构造Rt△ADE，
利用勾股定理求得AD的长度即可．
【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB=2.6米，BE=CD=1.7米，ED=BC=1.2米，
∴AE=AB−BE=2.6−1.7=0.9（米）．
在Rt△ADE中，
由勾股定理得到AD=❑√AE2+DE2=❑√0.92+1.22=1.5（米），故答案为：1.5．
【题型4：求大树折断前的高度】
【典例4】（24-25八年级上·河南平顶山·期中）如图，一棵垂直于地面且高度为12m的大
树被大风吹折，折断处A与地面的距离AC=4.5m，树尖B恰好碰到地面．在大树倒下
的方向上的点D处停着一辆小轿车，CD=6.5m，树枝落地时是否会砸着小轿车并说
明理由．
【答案】树枝砸不到小车
【分析】本题考查勾股定理．大树折断后，剩余部分的树干、折断的树干部分和地面
之间构成了一个直角三角形，利用勾股定理计算出落地后树尖与树干的距离为
BC=6m，比较BC和CD的大小，可知大树砸不到小车．
【详解】如下图所示，
∵∠C=90°
，
∴△ABC为直角三角形，
在Rt△ABC中，AC=4.5m，AB=12−4.5=7.5m，
∴BC=❑√AB2−AC2=❑√7.52−4.52=6m，∵CD=6.5m，CD>BC，
∴树枝砸不到小车．
【变式4-1】（22-23八年级下·河南漯河·期中）《九章算术》是我国古代最重要的数学著
作之一，书中有“折竹抵地”问题，今有竹高一丈，末折抵地，去本六尺，折高者几何？
意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），一阵风将竹子折断、竹梢恰好抵地，抵
地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，
可列方程为（ ）
A．x2+62=102 B．102+62=x2 C．x2+(10−x) 2=62 D．x2+62=(10−x) 2
【答案】D
【分析】本题考查列方程解决古代问题，涉及勾股定理，读懂题意，熟记勾股定理是解
决问题的关键．
设折断处离地而高x尺，由勾股定理列方程即可得到答案．
【详解】解：设折断处离地而高x尺，则AB=10−x,BC=6，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即x2+62=(10−x) 2，
故选：D．
【变式4-2】（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）如图，一根垂直于地面的旗杆高6.4m，
因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部的距离AB=3.2m．
(1)求旗杆折断处点C距离地面的高度AC；
(2)工人在修复的过程中，发现在折断处C的下方1.4m的点D处，有一明显裂痕，若下
次大风将修复好的旗杆从点D处吹断，旗杆的顶部落在水平地面上的B 处，形成一个
1
Rt△ADB ，请求出AB 的长．
1 1【答案】(1)AC=2.4米
8
(2) ❑√11米
5
【分析】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方
程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，
画出准确的示意图．
（1）由题意可知AC+BC=6.4米，根据勾股定理可得：AB2+AC2=BC2，又因为
AB=3.2米，所以可求得AC的长；
（2）先求出D点距地AD=2.4−1.4=1米，B D=6.4−1=5.4米，再根据勾股定理
1
可以求得AB 的长．
1
【详解】（1）解：由题意可知：AC+BC=6.4米，
∵∠A=90°，
∴AB2+AC2=BC2，
又∵AB=3.2米，
∴3.22+AC2=(6.4−AC) 2，
∴AC=2.4米；
（2）解：∵D点距地面AD=2.4−1.4=1米，
∴B D=6.4−1=5.4米，
1
8
∴ AB =❑√B D2−AD2=❑√5.42−12= ❑√11（米)．
1 1 5
【变式4-3】（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，AB为一棵大树，在树上距地面10米
的D处有两只猴子，他们同时发现C处有一筐水果，一只猴子从D处往上爬到树顶A
处，又沿滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D滑到B，再由B跑到C处，已知两只猴子
所经路程都为15米，求树高AB．
【答案】树高AB为12米．【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用．在Rt△ABC中，∠B=90°，则
满足AB2+BC2=AC2，BC=a米，AC=b米，AD=x米，根据两只猴子经过的路程
一样可得10+a=x+b=15解方程组可以求x的值，即可计算树高=10+x．
【详解】解：Rt△ABC中，∠B=90°，
设BC=a（米)，AC=b米，AD=x米，
则10+a=x+b=15米．
∴a=5（米)，b=15−x米，
又在Rt△ABC中，由勾股定理得：(10+x) 2+a2=b2，
∴(10+x) 2+52=(15−x) 2，
解得，x=2，即AD=2（米)
∴AB=AD+DB=2+10=12（米)
答：树高AB为12米．
【题型5：解决水杯中筷子问题】
【典例5】（23-24八年级下·山东济宁·阶段练习）我国古代数学著作《九章算术》中有这
样一道问题，大意是：如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正
中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到
达岸边的水面，请求出这根芦苇的长度．
【答案】芦苇长13尺
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理
与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模
型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
首先设水池的深度为x尺，则这根芦苇的长度为(x+1)尺，根据勾股定理可得方程，再解即可．
x2+52=(x+1) 2
【详解】解：设水池的深度为x尺，
由题意得：x2+
(10) 2
=(x+1) 2,
2
解得：x=12，
则x+1=13，
答：芦苇长13尺．
【变式5-1】（24-25八年级上·四川内江·期末）《九章算术》勾股章中有一“引葭赴
岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．向水深、
葭长各几何”．其大意为：有一个水池，其水面是边长为1丈的正方形（即AB=1丈
=10尺），在水池正中央有一根芦苇GE，它高出水面AB的部分为1尺（即EF=1尺）．
如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达池边水面点A处，则芦苇GE的长是
（ ）
A．10尺 B．12尺 C．13尺 D．15尺
【答案】C
【分析】本题考查正确勾股定理的应用．找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据
勾股定理解答．
【详解】解：设水深为GF=x尺，则芦苇长为¿=AG=(x+1)尺，
根据勾股定理得：GF2+AF2=AG2，即x2+
(10) 2
=(x+1) 2 ，
2
解得：x=12，
芦苇的长度=x+1=12+1=13（尺），
答：芦苇长13尺．故选：C．
【变式5-2】（23-24八年级下·甘肃武威·阶段练习）如图，有一个水池，水面是一个边长
为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水
池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度是 尺．
【答案】12
【分析】本题考查了勾股定理的应用，设水池里水的深度为x尺，根据题意，可得方
程x2+
(10) 2
=(x+1) 2 ，解方程即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键．
2
【详解】解：设水池里水的深度为x尺，则芦苇的长度为(x+1)尺，
由题意可得，x2+
(10) 2
=(x+1) 2 ，
2
解得x=12，
∴水池里水的深度为12尺，
故答案为：12．
【变式5-3】（23-24七年级下·全国·假期作业）《九章算术》是古代数学著作，书中记载：
“今有开门去阃（读kǔn，门槛）一尺，不合二寸，问：门广几何？”题目大意是如
图①、图②（图②为图①的俯视示意图），今推开双门，门框上点C和点D到门槛AB
的距离DE为1尺（1尺=10寸），双门间的缝隙CD为2寸，则门宽AB的长是
寸．
【答案】101
【解析】略【题型6：解决航海问题】
【典例6】（24-25八年级上·四川达州·期末）如图，在海平面上有A，B，C三个标记点，
其中A在C的北偏西52°方向上，与C的距漓是40海里，B在C的南偏西38°方向上，
与C的距离是30海里．
(1)求点A与点B之间的距离；
(2)若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为25海里，此时在点B处有一艘轮
船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向A处的过
程中，有多少小时可以接收到信号？
【答案】(1)点A与点B之间的距离为50海里
(2)有0.7小时可以接收到信号
【分析】本题考查了勾股定理的应用−航海问题，方向角的应用，路程、速度、时间
的关系，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．
（1）由题意易得∠ACB是直角，由勾股定理即可求得点A与点B之间的距离；
（2）过点C作CH⊥AB交AB于点H，在AB上取点M，N，使得CN=CM=25海里，
分别求得NH、MH的长，可求得此时轮船过MN时的时间，从而可求得最多能收到
的信号次数．
【详解】（1）解：由题意，得：∠NCA=52°，∠SCB=38°；
∴∠ACB=90°；
∵AC=40海里，BC=30海里；
∴AB=❑√AC2+BC2=❑√402+302=50（海里），
即：点A与点B之间的距离为50海里；
（2）解：过点C作CH⊥AB交AB于点H，在AB上取点M，N，使得CN=CM=25
海里．∵CH⊥AB
；
∴∠CHB=90°；
1 1
∵ S = AC⋅BC= AB⋅CH；
△ABC 2 2
∴CH=24海里；
∵CN=CM=25海里；
∴ NH=MH=❑√CM2−CH2=7海里；
行驶时间为7×2÷20=0.7（小时）．
答：有0.7小时可以接收到信号．
【变式6-1】（24-25八年级上·重庆丰都·阶段练习）上午8时，一条渔船从港口A出发，以
每小时15海里的速度向正北方向AN航行，上午10时到达海岛B处．从A，B望海
岛C，测得∠NAC=30°,∠NBC=60°（如图所示）．
(1)求海岛B到海岛C的距离；
(2)这条船继续向正北航行，问什么时间小船与灯塔C的距离最短？
(3)渔船从海岛B按原来的方向继续航行30海里（记为点D处）出现了故障，它向海
岛B和海岛C都发出了求救信号．接到求救信号后，海岛B派出的救援队立即以每小
时20海里的速度前往，海岛C派出的救援队晚出发10分钟，速度为每小时25海里，
通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？
【答案】(1)海岛B到海岛C的距离为30海里(2)上午11时，小船与灯塔C的距离最短
(3)C救援队先到
【分析】本题考查三角形的外角，等腰三角形和等边三角形的判定：
（1）根据三角形的外角的性质求出∠ACB=30°=∠BAC，进而得到BC=AC即可；
（2）过C作CH⊥AN于H，先求出∠BCH=30°，根据含30°的直角三角形的性质
求出BH，进而即可解答；
（3）证明△BCD为等边三角形，进而得到CD的长，根据时间等于路程除以速度，进
行求解即可得出结论．
【详解】（1）解：由题意，得：AB=15×2=30海里；
∵∠NAC=30°,∠NBC=60°，
∴∠ACB=∠NBC−∠NAC=30°，
∴∠ACB=∠BAC
∴BC=AB=30海里；
答：海岛B到海岛C的距离为30海里；
（2）解：过C作CH⊥AN于点H，
又∠NBC=60°，
∴∠BCH=90°−∠NBC=30°，
1
∴BH= BC=15（海里），
2
∴从B处到H处需要15÷15=1小时，
∴答：小船与灯塔C的距离最短时，此时为上午10+1=11时；
（3）解∶ 由题意：BD=30海里，
由（1）知：BC=30海里，∴BD=BC，
∵∠NBC=60°，
∴△BCD为等边三角形，
∴CD=30海里，
∴B救援队所用时间为30÷20=1.5（小时），
10 41
C救援队所用时间为30÷25+ = ≈1.4（小时），
60 30
∵1.4<1.5，
∴C救援队先到．
【变式6-2】（24-25八年级上·河北保定·期中）现有一艘快艇即将靠岸，当快艇到达点B的
位置后，关闭发动机，在离水面高度AC为5m的岸上，工作人员用绳子牵引靠岸，开
始时绳子BC的长为13m．（假设绳子一直处于绷直状态，结果保留根号）
(1)若工作人员以0.7m/s的速度收绳，10s后快艇移动到点D的位置，问此时快艇距
离岸边还有多少m？
(2)若快艇关闭发动机后，保持2m/s的速度匀速靠岸，5s后快艇由点B移动到点E的
位置，工作人员手中的绳子被收上来多少m？
【答案】(1)❑√11m
(2)(13−❑√29)m
【分析】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键；
（1）由题意易得CD=6m，然后根据勾股定理可进行求解；
（2）由题意易得AB=12m，则有AE=2m，然后根据勾股定理可进行求解．
【详解】（1）解：因为工作人员以0.7m/s的速度收绳，10s后船移动到点D的位置，
所以CD=13−0.7×10=6(m)，
在Rt△ACD中，AD=❑√CD2−AC2=❑√36−25=❑√11(m)，
所以快艇距离岸边还有❑√11m；
（2）解：因为在Rt△ABC中，∠CAB=90°,BC=13m,AC=5m，
所以AB=❑√132−52=12(m)，所以AE=AB−BE=12−2×5=2(m)，
CE=❑√AC2+AE2=❑√25+4=❑√29(m)，
所以绳子被收上来(13−❑√29)m．
【变式6-3】（2024·贵州贵阳·一模）如图，一艘船由A岛沿北偏东30°方向航行20km至B
岛，然后再沿北偏西60°方向航行20km至C岛．
(1)求A，C两岛之间的距离；
(2)确定C岛在A岛的什么方向？
【答案】(1)20❑√2km
(2)北偏西15°
【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是对方向角的熟练掌握．
（1）根据AN∥BH，∠ABH=∠NAB，推出∠CBA=180°−30°−60°=90°，在
Rt△ABC中，利用勾股定理即可求出距离；
（2）证明∠CAB=∠ACB=45°，根据∠NAC=∠CAB−∠BAN即可求解．
【详解】（1）如图，由题意可知：∠NAB=30°,∠CBM=60°，
∵AN∥BH，
∴∠ABH=∠NAB=30°，∴∠CBA=180°−30°−60°=90°，
在Rt△ABC中，AC=❑√202+202=20❑√2(km)，
答：A，C两岛之间的距离是20❑√2km；
（2）又∵AB=20km,BC=20km，∠CBA=90°，
∴∠CAB=∠ACB=45°，
∵∠BAN=30°，
∴∠NAC=∠CAB−∠BAN=45°−30°=15°，
∴C岛在A岛北偏西15°的方向上．
【题型7：求台阶上地毯长度】
【典例7】（24-25八年级上·广东佛山·期中）如图所示，是一段楼梯，高BC是3米，斜边
长AB是5米，如果在楼梯上铺地毯，那么地毯至少需要 米．
【答案】7
【分析】本题考查的是勾股定理的应用．利用平移的性质知，当地毯铺满楼梯时其长
度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得AC，然后求得地
毯的长度即可．
【详解】解：∵△ABC是直角三角形，BC=3米，AB=5米，
∴AC=❑√AB2−BC2=❑√52−32=4米，
∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AC+BC=7米．
故答案为：7．
【变式7-1】（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，在一个高为6m、长为10m、宽为
2.5m的楼梯表面铺设地毯．若每平方米地毯40元，则铺设地毯至少需要花费
元．【答案】1400
【解析】略
【变式7-2】（2023八年级上·全国·专题练习）如图，要将楼梯铺上地毯，则需要
米的地毯．
【答案】7
【分析】本题考查了勾股定理的应用：先分析，得地毯的长度等于两个直角边之和，
故根据勾股定理求出另一直角边为3，即可作答．
【详解】解：根据勾股定理，另一直角边=❑√52−42=3（米），
∴3+4=7（米），
则需要7米的地毯
故答案为：7
【变式7-3】（23-24七年级上·重庆·期末）如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为
8dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点
B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为 dm．
【答案】17
【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm，宽为(2+3)×3dm，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，
由勾股定理得：x2=82+[(2+3)×3] 2=172，
解得x=17．
故答案为：17．
【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题
意判断出长方形的长和宽即可解答．
【题型8：判断汽车是否超速】
【典例8】（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，AB是一段笔直的公路，由于某些原因
限制，公路上的AC段行人可直接到达，BC段行人无法直接到达，王莹想测量这段公
路的总长度，于是她在公路一侧的地面上取点D，经测量得知，DC⊥AB于点C，
AC=30米，CD=50米，BD=130米，请你求出这段公路的总长度AB．
【答案】150米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，在Rt△BCD中，利用勾股定理求出BC，即可
求解．
【详解】解：∵DC⊥AB，CD=50米，BD=130米，
∴BC=❑√BD2−CD2=❑√1302−502=120米，
又AC=30米，
∴AB=AC+BC=120+30=150米，
∴这段公路的总长度AB为150米．
【变式8-1】（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，一辆小汽车在一条道路上沿直
线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方12米的C处，过了1.5
秒，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为20米．(1)求BC的长；
(2)这辆小汽车在BC段的速度约是多少米/秒?（结果精确到0.1）
【答案】(1)BC的长为16米
(2)这辆小汽车在BC段的速度约是10.7米/秒
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题关键是理解题意，正确计算．
（1）直接利用勾股定理计算BC的长即可；
（2）利用路程除以时间即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知，AC=12米，AB=20米，AC⊥BC，
∴BC=❑√AB2−AC2=16（米），
答：BC的长为16米．
32
（2）解：16÷1.5= ≈10.7（米/秒），
3
答：这辆小汽车在BC段的速度约是10.7米/秒．
【变式8-2】（23-24七年级下·山东济南·期末）如下图，实验中学位于一条南北向公路l的
一侧A处，门前有两条长度均为100米的小路AB、AC通往公路l，与公路l交于B，
C两点，且B，C两点相距120米．
(1)为方便学生出入，现在打算修一条从实验中学到公路l的新路AD（点D在l上），
使得学生从学校走到公路路程最短，应该如何修路（请在图中画出AD）?并计算新路
AD的长度．(2)为保证学生的安全，在公路l上的点E和点C处设置了一组区间测速装置，点E在
点B的北侧，且距实验中学A处170米．一辆汽车经过EC区间共用时21秒，若此段
公路限速为40km/h（约11.1m/s），请判断该车是否超速，并说明理由．
【答案】(1)见解析，新路AD长度是80米
(2)该车没有超速，见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌
握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么
a2+b2=c2．
（1）根据垂线段最短，过点A作AD⊥l，交l于点D，则AD即为所求；根据等腰三
角形和勾股定理求出AD=80m即可；
（2）根据勾股定理求出DE=150m，得出EC=DE+DC=210m，求出该车的速度
210
为 =10m/s，然后再进行比较即可．
21
【详解】（1）解：过点A作AD⊥l，交l于点D，则AD即为所求，如图所示：
∵AB=AC，AD⊥l，BC=120m，
1 1
∴∠ADB=90°，BD=DC= BC= ×120=60(m)，
2 2
∴在Rt△ABD中，∠ADB=90°，
由勾股定理得AD2+BD2=AB2，
∵AB=100m，BD=60m，
∴AD=80m，
∴新路AD长度是80米．
（2）解：该车没有超速．
理由：在Rt△ADE中，∠ADE=90°，由勾股定理得AD2+DE2=AE2，
∴AE=170m，AD=80m，
∴DE=150m，
∴EC=DE+DC=210m，
该车经过EC区间用时21s，
210
∴该车的速度为 =10(m/s)，
21
∵10m/s<11.1m/s．
∴该车没有超速．
【变式8-3】（2024八年级下·全国·专题练习）超速行驶是引发交通事故的主要原因，上周
末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测
点设在到公路l的距离为100米的P处．这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测
得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得∠APO=60°，∠BPO=45°，
试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？
【答案】此车超过每小时80千米的限制速度．
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，含30度角的直角三角形的性质，等腰
直角三角形的性质与判定等等，首先，根据在直角三角形BPO中，可得到
BO=PO=100米，，再根据在直角三角形APO中，可得到AO=100❑√3米，根据
AB=AO−BO可求得ABAB的长；再结合速度的计算方法，求出车的速度，然后将
车的速度与80千米/时进行比较，即可得到结论．
【详解】解：由题意知：PO=100米，∠APO=60°，∠BPO=45°，
在Rt△BPO中，∵∠BPO=45°，∠POB=90°，
∴BO=PO=100米，
在Rt△APO中，∵∠APO=60°，
∴∠OAP=30°，
∴AP=2OP=200米；在Rt△APO中，由勾股定理得AO=❑√AP2−OP2=❑√2002−1002=100❑√3米，
∴AB=AO−BO=100❑√3−100≈73.2(米)，
∵从A处行驶到B处所用的时间为3秒，
∴速度为73.2÷3=24.4m/s =87.84km/h >80km/h，
∴此车超过80km/h的限制速度．
【题型9：判断是否受台风影响】
【典例9】（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市
正南方向340km的B处有一台风中心，沿BC方向以10km/h的速度移动，已知城市A
到BC的距离AD为160km．
(1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？
(2)如果在距台风中心B的200km的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台
风影响的时间持续多少小时？
【答案】(1)台风中心经过30h从B点移到D点；
(2)A市受到台风影响的时间持续24h．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解题的关
键．
（1）先利用勾股定理求出BD，即可求解；
（2）在射线BC上取点E、F，使得AE=AF=200km，利用勾股定理求出ED，进
而求出EF的长，即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知，AD⊥BC，AB=340km，AD=160km，
在Rt△ABD中，BD=❑√AB2−AD2=❑√3402−1602=300km，
∴t=300÷10=30，
答：台风中心经过30h从B点移到D点；
（2）解：如图，在射线BC上取点E、F，使得AE=AF=200km，∵AD⊥BC，
∴DE=DF，
在Rt△AED中，ED=❑√AE2−AD2=❑√2002−1602=120km，
∴EF=2ED=240km，
∴t=240÷10=24，
答：A市受到台风影响的时间持续24h．
【变式9-1】（2024八年级上·全国·专题练习）我国大部分东部地区属于亚热带季风气候，
夏季炎热多雨．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每
小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台
风影响的区域．
(1)A城是否受到这次台风的影响？为什么？
(2)若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？
【答案】(1)受影响，理由见解析
(2)6小时
【分析】本题考查勾股定理的应用、含30度直角三角形的性质、等腰三角形的判定与
性质等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形是解题的关键．
（1）如图：过A作AC⊥BF，垂足为C，若AC>200，则A城不受影响，否则受影
响；
（2）点A到直线BF的长为200千米的点有两点，分别设为D、G，则△ADG是等腰三角形，由于AC⊥BF，则C是DG的中点，在Rt△ADC中，解出CD的长，则可
求DG长，在DG长的范围内都是受台风影响，最后根据速度与距离的关系则可求时间
即可．
【详解】（1）解：A城会受到这次台风的影响，理由如下：
如图：过A作AC⊥BF，垂足为C，则∠ABC=30°，
在Rt△ABC中，AB=320km，
1
∴AC= AB=160km，
2
∵160<200，
∴A城会受台风影响．
（2）解：设BF上点D,G，使AD=AG=200千米，
∴△ADG是等腰三角形，
∵AC⊥BF，
∴AC是DG的垂直平分线，
∴CD=GC，
在Rt△ADC中，DA=200千米，AC=160千米，
∴CD=❑√AD2−AC2=❑√2002−1602=120（千米），
∴DG=2DC=240千米，
∴遭受台风影响的时间是：t=240÷40=6（小时）．
【变式9-2】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，经过A村和B村（将A，B村看成直
线l上的点）的笔直公路1旁有一块山地正在开发，现需要在C处进行爆破．已知C
处与A村的距离为900米，C处与B村的距离为1200米，且AC⊥BC．(1)求A，B两村之间的距离；
(2)为了安全起见，爆破点C周围半径750米范围内不得进入，在进行爆破时，公路AB
段是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请
说明理由．
【答案】(1)1500米；
(2)AB段公路需要封锁，需要封锁的路段长度为420米．
【分析】此题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的判定和性质等知识．
（1）由勾股定理即可求解；
（2）过C作CD⊥AB于D.先用等积法求出CD，比较得到结论：AB段公路需要封锁．
以点C为圆心，750米为半径画弧，交AB于点E，F，连接CE，CF，利用勾股定理
和等腰三角形的性质即可求出需要封锁的路段长度．
【详解】（1）解：在Rt△ABC中，AC=900米，BC=1200米，
∴AB=❑√AC2+BC2=❑√9002+12002=1500（米）.
答：A，B两村之间的距离为1500米；
（2）公路AB有危险而需要封锁.
理由如下：如图，过C作CD⊥AB于D.
1 1
∵S = AB⋅CD= BC⋅AC
△ABC 2 2
，
AC⋅BC 900×1200
∴CD= = =720（米）．
AB 1500
由于720米<750米，故有危险，
因此AB段公路需要封锁．
以点C为圆心，750米为半径画弧，交AB于点E，F，连接CE，CF，
∴EC=FC=750米，∴ED=❑√7502−7202=210（米），△CEF是等腰三角形，
1
∴DE=DF= EF
2
∴EF=2DE=420（米），
则需要封锁的路段长度为420米．
【变式9-3】（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）如图，在点B正北方120❑√2cm的A处
有一信号接收器，点C在点B的北偏东45°的方向，一电子狗P从点B向点C的方向以
4cm/s的速度运动并持续向四周发射信号，信号接收器接收信号的有效范围为150cm．
(1)求出点A到线段BC的最小距离；
(2)请判断点A处是否能接收到信号，并说明理由．若能接收信号，求出可接收信号的
时间．
【答案】(1)点A到线段BC的最小距离为120cm；
(2)能，可接收信号的时间45s．
【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，
学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
（1）作AH⊥BC于H．求出AH即可解决问题；
（2）当AP=150cm时，PH=❑√1502−1202=90(cm)，同理H P′=90cm，根据
PP′=180cm，求出运动时间即可解决问题；
【详解】（1）解：作AH⊥BC于H．
在Rt△ABH中，∵AB=120❑√2cm，∠B=45°，则△ABH是等腰直角三角形，
∴AH=BH，AH2+BH2=(120❑√2) 2
∴AH=BH=120cm，
答：点A到线段BC的最小距离为120cm；
（2）解：∵AH=120cm<150cm，
∴点A处能接收到信号．
当AP=150cm时，PH=❑√1502−1202=90(cm)，
当AP′=150cm时，H P′=90cm，
∴PP′=180cm，
180
∴可接收信号的时间= =45s．
4
答：可接收信号的时间45s．
【题型10：选址使到两地距离相等】
【典例10】（22-23八年级上·宁夏银川·期末）如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D
为两村庄，AD⊥AB于点A，BC⊥AB于点B，已知AD=15km,BC=10km，现在要在
铁路AB旁建一个货运站E，使得C，D两村到E站距离相等，问E站应建在离A地多远的
地方？
【答案】E站应建在离A地10km的地方
【分析】本题考查勾股定理，根据设AE=xkm，则BE=(25−x)km，利用勾股定理结
合C，D两村到E站距离相等，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设AE=xkm，则BE=(25−x)km，
∵AD⊥AB，BC⊥AB，
∴DE2=AD2+AE2，CE2=BE2+BC2，
∵DE=CE，∴AD2+AE2=BE2+BC2，即：152+x2=(25−x) 2+102，
解得：x=10，
答：E站应建在离A地10km的地方．
【变式10-1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在一条笔直的马路EF同侧有A，
B两个小区，A小区到马路的垂直距离AC为10千米，B小区到马路的垂直距离BD为2
千米，CD的长度为15千米．
(1)求A，B小区之间的距离；
(2)现要在线段CD上修建一个车站E，使得车站E到A，B两小区的距离相等，此时车
站E应修建在离点C多远处？
【答案】(1)17千米
(2)4.3千米
【分析】（1）过点B作BH⊥AC于H，可得四边形CDBH是长方形，得到
BH=CD=15千米，HC=BD=2千米，即得AH=AC−HC=8千米，再利用勾股定
理即可求解；
（2）设CE=x千米，则DE=(15−x)千米，由AE=BE利用勾股定理解答即可求解；
本题考查了勾股定理的应用，长方形，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，过点B作BH⊥AC于H，则∠AHB=∠BHC=90°，
∵∠HCD=∠CDB=90°，
∴四边形CDBH是长方形，
∴BH=CD=15千米，HC=BD=2千米，
∴AH=AC−HC=10−2=8千米，
∴AB=❑√AH2+BH2=❑√82+152=17千米，
答：A，B小区之间的距离为17千米；（2）解：如图，设CE=x千米，则DE=(15−x)千米，
由题意得，AE=BE，
∴由勾股定理得，102+x2=22+(15−x) 2，
整理得，30x=129，
解得x=4.3，
答：车站E应修建在离点C 4.3千米处．
怕【变式10-2】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图所示，铁路上有A、B两点（看作
直线上两点）相距40千米，C、D为两村庄（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，
垂足分别为A、B，AD=24千米，BC=16千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使
得C、D两村到煤栈的距离相等，问煤栈应建在距A点多少千米处？
【答案】煤栈应建在距A点16千米处．
【分析】本题考查了勾股定理的应用：利用勾股定理表示有关线段，然后建立等量关
系，再解方程得到答案．
设煤栈的位置为点E，AE=x千米，则BE=AB−AE=40−x（千米），分别在
Rt△ADE和Rt△BEC中，利用勾股定理表示出CE和DE，然后通过CE=DE建立方
程，解方程即可．
【详解】解：设煤栈的位置为点E，如图，连接DE，CE设AE=x千米，则BE=AB−AE=(40−x)（千米），
∵AD⊥AB，BC⊥AB，
∴在Rt△ADE中，DE2=AE2+AD2=x2+242，
在Rt△BEC中，CE2=BE2+BC2=(40−x) 2+162，
∵CE=DE，
∴x2+242=(40−x) 2+162，
解得x=16，
即AE=16千米，
∴煤栈应建在距A点16千米处．
【题型11：求最短路径】
【典例11】（24-25八年级上·广东梅州·期中）如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高
为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝．
(1)现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是______．
A． B． C． D．(2)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？
(3)现有一个长、宽、高分别为5dm、4dm、3dm的无盖长方体木箱（如图3，
AB=5dm,BC=4dm,AE=3dm）．现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有
一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的
路程捕捉到小虫．（木板的厚度忽略不计）
【答案】(1)A
(2)8❑√37
(3)最短为❑√117dm，方案见解析
【分析】题目主要考查勾股定理及最短距离问题，理解题意，作出相应图形是解题关
键．
（1）结合图形即可得出结果；
（2）根据题意得所需金属丝最短长度是以底面周长4倍及高为直角三角形的斜边长，
即可求解；
（3）分三种情况，作出相应图形，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得：将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图只有
选项A符合题意，
故选：A；
（2）若将金属丝从点B绕四圈到达点A，
则所需金属丝最短长度是以底面周长4倍及高为直角三角形的斜边长为：
❑√82+(4×12) 2=8❑√37，
∴最短长度是8❑√37；
（3）①把ADEH展开，如图此时总路程为❑√(3+3+5) 2+42=❑√137dm，②把ABEF展开，如图
此时的总路程为❑√(3+3+4) 2+52=5❑√5dm；
③如图所示，把BCFG展开，
此时的总路程为❑√(3+3) 2+(5+4) 2=❑√117dm，
由于❑√117<❑√125<❑√137，所以第三种方案路程更短，最短路程为❑√117dm．
【变式11-1】（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）如图，长方体的长BE=15cm，宽
AB=10cm，高AD=20cm，点M在CH上．且CM=5cm．一只蚂蚁如果要沿着长方
体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少?
【答案】蚂蚁爬行的最短距离是25cm
【分析】本题考查了勾股定理的应用；计算出三种情况下线段AM的长度，比较即可得到蚂蚁爬行的最短距离；
【详解】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方
形，如第1个图；
∵长方体的宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离是5cm，
∴AM=❑√202+(10+5) 2=25(cm) ；
要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：
∴AM=❑√(20+5) 2+102=5❑√29(cm)；
只要把长方体的上表面剪开与左面所在的平面形成一个长方形，如第3个图
∴AM=❑√(20+10) 2+52=5❑√37(cm)；
∵25<5❑√29<5❑√37 ，
∴蚂蚁爬行的最短距离是25cm．
【变式11-2】（2024九年级上·全国·专题练习）葛藤是一种“刁钻”的植物，它自己腰杆
不硬，为争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升
的路径总是沿最短路线螺旋上升.难道植物也懂数学？
(1)想一想怎样找出最短路径；
(2)如图，若树干周长为3m，葛藤绕一圈升高4m，则它爬行一周的路程是多少米？
【答案】(1)见解析
(2)5m【分析】（1）以AB为切口把树干侧面展开为矩形A A′B′B，则对角线AB′的长为最
短路径；
（2）由勾股定理即可求解；
本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，
以AB为切口把树干侧面展开为矩形A A′B′B，则对角线AB′的长为最短路径；
（2）解：根据题意，得A A′=3m，A′B′=4m，
∴AB′=❑√A A′2+A′B′2=❑√32+42=5(m)
答：它爬行一周的路程是5m．
【变式11-3】（24-25八年级上·山西晋中·期中）用一张半径为4cm的半圆形纸片，围成一
个圆锥（连接处无缝隙也无重合），一只蚂蚁沿着圆锥表面爬行，从点A爬行到点B
的最短路线长为 cm．
【答案】2❑√5
【分析】本题考查的是勾股定理的应用．画出图形，根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】解：如图，线段AB的长为所求的最短路线长，
由勾股定理得：AB=❑√AP2+BP2=❑√42+22=2❑√5(cm)，
故答案为：2❑√5．1．（2024八年级下·全国·专题练习）山西地形较为复杂，境内有山地、丘陵、高原、盆地、
台地等多种地貌类型，整个地貌是被黄土广泛覆盖的山地型高原．如图，在A村与B村
之间有一座大山，原来从A村到B村，需沿道路A→C→B（∠C=90°）绕过村庄间的
大山，打通A，B间的隧道后，就可直接从A村到B村．已知AC=9km，BC=12km，
那么打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为（ ）
A．7km B．6km C．5km D．2km
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理，由勾股定理求出AB=❑√AC2+BC2=15km，因此
AC+BC−AB=6km，即可得到答案．
【详解】解：∵∠C=90°，AC=9km，BC=12km，
∴AB=❑√AC2+BC2=15km，
∴AC+BC−AB=9+12−15=6km，
∴从A村到B村比原来减少的路程为6km．
故选：B．
2．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有
趣的问题．大意是：有一个水池，纵截面是一边长为10尺（即AB=10）的长方形．在
水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇径直拉向岸边，它的
顶端恰好到达岸边的水面，如图．设芦苇长为x尺，那么可以列出方程为（ ）A．x2+52=(x+1) 2 B．x2+102=(x+1) 2
C．(x−1) 2+102=x2 D．(x−1) 2+52=x2
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．设芦苇长为x尺，则水深为(x−1)尺，根据
勾股定理列出方程即可．
【详解】解：设芦苇长为x尺，则水深为(x−1)尺，
由题意得：(x−1) 2+52=x2，
故选：D．
3．（24-25八年级上·陕西西安·期中）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践
探究活动．如图，当张角为∠BAF时，顶部边缘B处离桌面的高度BC为5cm，此时底
部边缘A处与C处间的距离AC为12cm，小组成员调整张角的大小继续探究，发现当张
角为∠DAF时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离DE为2❑√30cm，则底
部边缘A处与E之间的距离AE为（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的应用，先根据勾股定理解Rt△ABC得AB=13cm，再
根据勾股定理解Rt△ADE，即可得出答案，掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：依题意知，AC=12cm，BC=5cm，
在Rt△ABC中，AB=❑√AC2+BC2=❑√122+52=13(cm)，
∵AB=AD=13(cm)，DE=2❑√30cm，
在Rt△ADE中，AE=❑√AD2−DE2=❑√132−(2❑√30) 2=7(cm)，
故选：B．
4．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图是一块长方形草坪，AB是一条被踩踏的小路，
已知AC=12米，BC=9米．为了避免行人继续踩踏草坪（走线段AB），小梅分别在A，B处各挂了一块下面的牌子，则牌子上“？”处是（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出AB的长是解题的关键．根据勾
股定理求出AB的长，进而可得出结论．
【详解】解：∵AC=12米，BC=9米，
∴AB=❑√AC2+BC2=❑√122+92=❑√225=15（米），
∴AC+BC−AB=12+9−15=6（米），
故选：D．
5．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳
OA与地面垂直，摆绳长2m，向前荡起到最高点B处时距地面高度1.3m，摆动水平距
离BD为1.6m，然后向后摆到最高点C处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且OB与
OC成90°角，则小丽在C处时距离地面的高度是（ ）
A．0.9cm B．1.3cm C．1.6cm D．2cm
【答案】A
【分析】过点C作CE⊥OA于点E，由题意可知，
OA=OB=OC=2m，BD=1.6m，DF=1.3m，BD⊥OA，再由勾股定理得
OD=1.2m，则OF=OD+DF=2.5m，然后证明△OBD≌△COE（AAS），得
OE=BD=1.6m，则EF=OF−OE=0.9m，即可得出结论．本题主要考查了勾股定理
的应用以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】解：如图，过点C作CE⊥OA于点E，则∠OEC=90°，
∵∠BOC=90°，
∴∠BOD+∠COE=90°，
由题意可知，OA=OB=OC=2m，BD=1.6m，DF=1.3m，BD⊥OA，
∴∠BDO=90°，
∴OD=❑√OB2−BD2=1.2m
∴OF=OD+DF=1.2+1.3=2.5（m），
∵∠BDO=∠OEC=90°，
∴∠BOD+∠OBD=90°，
∴∠COE=∠OBD，
在△OBD和△COE中，
{∠BDO=∠OEC
)
∠OBD=∠COE ，
OB=CO
∴△OBD≌△COE（AAS），
∴OE=BD=1.6m，
∴EF=OF−OE=2.5−1.6=0.9（m），
即小丽在C处时距离地面的高度是0.9m，
故选：A．
6．（24-25八年级上·广东揭阳·期中）如图所示，梯子AB靠在墙上，梯子的顶端A到墙根
O的距离为24m，梯子的底端B到墙根O的距离为7m，一不小心梯子顶端A下滑了4
米到C，底端B滑动到D，那么BD的长是 m．【答案】8
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键；
先利用勾股定理求出AB，梯子移动过程中长短不变，所以AB=CD，又由题意可知
利用勾股定理求出OD，进而得出答案．
【详解】解：在直角三角形AOB中，
∵ AO=24m，BO=7m，
∴ AB=❑√AO2+BO2=25(m)，
∵ AB=CD，AC=4m，
∴ OC=24−4=20(m)，
在Rt△COD中
OD=❑√DC2+CO2=15(m)，
∴BD=DO−BO=15−7=8(m)
故答案为：8．
7．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，一支长为15cm的铅笔放在长方体笔筒中，已
知笔筒的三边长度依次为3cm，4cm，12cm，那么这根铅笔露在笔筒外的部分长度x
的范围是 ．【答案】2cm≤x≤3cm/3cm≥x≥2cm
【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意知，当铅笔垂直于笔筒底部放置时，铅
笔露在笔筒外的部分长度x最大，最大值为15−12=3 cm，由勾股定理得，长方体的
对角线长为❑√32+42+122=13，当铅笔沿着长方体的对角线放置时，铅笔露在笔筒外
的部分长度x最小，最小值为15−13=2 cm，然后作答即可．
【详解】解：由题意知，当铅笔垂直于笔筒底部放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度
x最大，最大值为15−12=3 cm，
由勾股定理得，长方体的对角线长为❑√42+32+122=13，
当铅笔沿着长方体的对角线放置时，铅笔露在笔筒外的部分长度x最小，最小值为
15−13=2 cm，
∴这根铅笔露在笔筒外的部分长度x的范围是2cm≤x≤3cm，
故答案为：2cm≤x≤3cm．
8．（24-25八年级上·江苏常州·期中）为保护河流旁的村落，做好防汛工作，某水利部门准
备在河流旁设置防汛监控器．如左图所示，监控布设线l距离河流300m，最大旋转角
度90°；村落位于河流南侧，与河流邻接长度5000m；任意两个监控器布设点之间的
距离相等．小张设计了如右图所示的方案，AB为监控器M 监测范围，BC为监控器
1
M 监测范围，AM ⊥BM ，BM ⊥CM ，此时BM =CM =375 m；若按此方
2 1 1 2 2 1 2
案进行布设，该水利部门至少需要布设 个监控器．
【答案】8
【分析】本题考查了勾股定理，等量代换，熟练掌握勾股定理是解题的关键．过点M
1
5000
作M N⊥AB于点N，根据题意，求得AB=625 m，后计算 =8即可．
1 625
【详解】解：过点M 作M N⊥AB于点N，根据题意，得M N=300 m，
1 1 1
又BM =CM =375 m，
1 2故BN=❑√BM 2−M N2=225，
1 1
设AB=xm，
∴AM 2=M N2+AN2=AB2−BM2 ❑ ，
1 1 1
∴3002+(x−225) 2=x2−3752，
∴AB=x=625 m，
5000
故 =8，
625
故答案为：8．
9．（2024八年级上·全国·专题练习）在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放
着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且大于AD，木块的正视图是边长为
0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是 米．
（精确到0.01米）
【答案】2.60
【分析】本题考查两点间最短距离，需要想象着将木块展开再进行计算，对空间想象
能力要求较高，有一定难度．
将木块展开，根据两点之间线段最短及勾股定理即可求出答案．
【详解】解：如图，将木块展开，可知蚂蚁从A点到达C点时，在横向上移动的距离为：2+0.2×2=2.4（米），
在纵向上移动的距离为：BC=1（米），
由两点之间线段最短可知，从点A处到达C处需要走的最短路程为：❑√2.42+12=2.60
（米）．
故答案为：2.60．
10．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止
时，它离底座的垂直高度DE=6cm，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度
BF=8cm，此时摆锤与静止位置时的水平距离BC=10cm时，钟摆AD的长度是
cm．
【答案】26
【分析】此题考查了勾股定理的应用，设AB=AD=xcm，表示出AC的长，然后利
用勾股定理列方程求解即可．
【详解】设AB=AD=xcm，由题意得， AE⊥EF，BF⊥EF，BC⊥AE，
∴四边形CBFE是长方形，
∴CE=BF=8cm，即∠ACB=90°，
∴CD=CE−DE=8−6=2(cm)，
∴AC=AD−CD=(x−2)cm，
∵在Rt△ACB中，AC2+BC2=AB2，BC=10cm，
∴(x−2) 2+102=x2，∴x=26，
∴AD=26cm，
故答案为：26．
11．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，一条东西向的公路l旁有一所中学M，在中
学M的大门前有两条长度均为200米的通道MA、MB通往公路l旁的两个公交站点
A、B，且A、B两站点相距320米．
(1)现要在学校到公路l修一条新路，把A、B两个站点合为一个站点D（在公路l旁），
使得学生从学校走到公路l的距离最短，求新路MD的距离；
(2)为了行车安全，在公路l旁的点B和点C设置区间测速装置，其中点C在点B的东
侧，且与中学M相距312米，公路l限速30千米/小时（约8.33米/秒）．一辆汽车经
过BC区间用时16秒，试判断该车是否超速，并说明理由．
【答案】(1)新路MD长度是120米
(2)该车没有超速
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理的应用，勾股定理表示了直角三角
形三边长之间的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．当题目中
出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解．
（1）根据垂线段最短可画出图形，根据三线合一可求出AD=160m，然后利用勾股
定理可求出新路MD长度；
（2）先根据勾股定理求出DC的长，再求出BC的长，然后计算出速度判断即可．
【详解】（1）解：过点M作MD⊥l，交l点D．MD即是新路．
∵MA=MB=200m,MD⊥l,AB=320m
，
1 1
∴AD= AB= ×320=160m,∠ADM=90°，
2 2
在Rt△ADM中，∠ADM=90°，由勾股定理得AD2+M D2=AM2，
∵AM=200m,AD=160m，
∴MD=120m，
∴新路MD长度是120米．
（2）解：该车没有超速．
在Rt△CMD中，∠CDM=90°，
由勾股定理得M D2+DC2=CM2，
∵CM=312m,MD=120m，
∴CD=❑√3122−1202=288m，
∴BC=DC−BC=288−160=128m，
∵该车经过BC区间用时16秒，
128
∴该车的速度为 =8m/s，
16
∵8m/s<8.33m/s，
∴该车没有超速．
12．（24-25八年级上·广东深圳·期末）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验.同学们
将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块
B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始
状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是6dm，物体C
到定滑轮A的垂直距离是8dm．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑
块和物体的大小忽略不计）
(1)求绳子的总长度；
(2)如图2，若物体C升高7dm，求滑块B向左滑动的距离．
【答案】(1)绳子的总长度为18dm；
(2)滑块B向左滑动的距离为9dm．【分析】本题主要考查了勾股定理．解决本题的关键是利用勾股定理求出直角三角形
的未知边的长度．
(1)根据直角三角形△ABC中直角边AC的长度是8dm，BC的长度是6dm，利用勾股定
理求出斜边AB的长度，绳子的长度就是斜边AB与直角边AC的长度之和；
(2)物体C升高7dm，则斜边AB的长度增加7dm，斜边AB的长度增加为17dm，利用
勾股定理求出BD的长度，用BD的长度减去ED的长度，就是滑块B向左滑动的距离．
【详解】（1）解：根据题意得AC=8dm，BC=6dm，∠ACB=90°，
∴AB=❑√AC2+BC2=10dm，
∴AB+AC=10+8=18dm，
答：绳子的总长度为18dm；
（2）解：如下图所示，
：
根据题意得∠ADB=90°，AD=8dm，CD=7dm，AB=(10+7)dm，
∴BD=❑√AB2−AD2=❑√172−82=15dm，
∴BE=BD−DE=15−6=9dm，
答：滑块B向左滑动的距离为9dm．
