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专题 02 勾股定理的应用（十一大题型）
【题型1：求梯子滑落高度】
【题型2：求旗杆高度】
【题型3：求小鸟飞行距离】
【题型4：求大树折断前的高度】
【题型5：解决水杯中筷子问题】
【题型6：解决航海问题】
【题型7：求台阶上地毯长度】
【题型8：判断汽车是否超速】
【题型9：判断是否受台风影响】
【题型10：选址使到两地距离相等】
【题型11：求最短路径】
【题型1：求梯子滑落高度】
1．（24-25七年级上·山东泰安·期中）某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜
靠在左墙DE时，梯子底端A到左墙的距离AE为0.7m，梯子顶端D到地面的距离DE
为2.4m，若梯子底端A保持不动，将梯子斜靠在右墙BC上，梯子顶端C到地面的距离
CB为2m，则这两面直立墙壁之间的安全通道的宽BE为（ ）
A．2.2m B．2m C．1.5m D．2.5m
【答案】A
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，领会数形结合思想的应用．先根据勾股定理求出AD的长，同理可得出AB的长，进而
可得出结论．
【详解】解：在Rt△ADE中，∠AED=90°，AE=0.7m，DE=2.4m，
∴AD=❑√AE2+DE2=2.5，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=2m，AC=AD=2.5，
∴AB=❑√AC2−BC2=❑√6.25−4=1.5，
∴BE=AE+AB=0.7+1.5=2.2m，
故选：A．
2．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在一宽度EC为2米的电梯井里，一架2.5米长的
梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，顶端A被固定在墙上，这时B到墙底端C的距离为0.7
米．程师傅为了方便修理，将梯子的底端举到对面D的位置，问此时梯子底端离地高
度DE长为（ ）
A．0.7米 B．0.9米 C．1.2米 D．1.5米
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
过D作DH⊥AC于H，根据平行线的性质得到DH=CE=2米，DE=CH，根据勾股
定理即可得到结论．
【详解】解：过D作DH⊥AC于H，
由题意得DE∥AC，AC⊥EC∴DH=CE=2米，
同理可得：DE=CH，
在Rt△ABC中，AC=❑√AB2−BC2=❑√2.52−0.72=2.4（米)，
在Rt△ADH中，AH=❑√AD2−DH2=❑√2.52−22=1.5（米)，
∴DE=CH=AC−AH=0.9（米)，
答：梯子底端离地高度DE长为0.9米，
故选：B．
3．（24-25七年级上·山东淄博·期中）在某市“非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮
相．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了验证某些数学问题，他设计了如下
的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离BD为15m；根据手中余线长度，计算出AC
的长度为17m；牵线放风筝的手到地面的距离AB为1.5m．已知点A,B,C,D在同一
平面内．
(1)求风筝离地面的垂直高度CD；
(2)在余线仅剩7.5m的情况下，若想要风筝沿射线DC方向再上升12m，请问能否成功？
请说明理由．
【答案】(1)9.5m
(2)不能成功，理由见解析
【分析】本题主要考查勾股定理的运用，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三
角形解决问题．
（1）过点A作AE⊥CD于点E，在Rt△AEC中，根据勾股定理即可求解；
（2）假设能上升12m，作图Rt△AEF，根据勾股定理可得AF=25m，再根据题意，
17+7.5=24.5<25即可求解．
【详解】（1）解：如图1所示，过点A作AE⊥CD于点E，则AE=BD=15m，AB=DE=1.5m，∠AEC=90°，
在Rt△AEC中，由勾股定理得CE=❑√AC2−AE2=❑√172−152=8(m)，
∴CD=CE+CD=8+1.5=9.5(m)．
（2）解：不能成功，理由如下：
假设能上升12m，如图所示，延长DC至点F，连接AF，
则CF=12m，
∴EF=CE+CF=8+12=20(m)．
在Rt△AEF中，由勾股定理得AF=❑√AE2+EF2=❑√152+202=25(m)．
∵AC=17m，余线仅剩7.5m，
∴17+7.5=24.5<25，
∴不能上升12m，即不能成功．
4．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）小丽在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其
做了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用根细绳悬挂一个小球A，小球A可以
自由摆动，如图，OA表示小球静止时的位置．当小丽用发声物体靠近小球时，小球
从OA摆到OB位置，此时过点B作BC⊥OA于点C，（图中的A、B、O、C在同一
平面上），测得AC=2cm，BC=8cm．求OB的长．【答案】17cm
【分析】本题考查勾股定理的应用，根据题意，结合勾股定理建立方程是正确解决本
题的关键．
设OB的长为xcm，由OB2=BC2+OC2建立方程即可求解．
【详解】解∶设OB的长为xcm，则OA=xcm，
∵AC=2cm，
∴OC=x−2，
∵BC⊥OA，BC=8cm，
∴Rt△OBC中，OB2=BC2+OC2，即x2=82+(x−2) 2，
解得x=17，
答∶ OB的长为17cm．
5．（23-24八年级下·山西朔州·期末）《国务院关于印发全民健身计划（2021−2025年）
的通知》文件提出，加大全民健身场地设施供给，进一步增加全民健身的热情．我市
某健身广场为方便群众夜间健身活动，在广场部分位置加装照明灯，向阳兴趣小组利
用课余时间测量照明灯灯板MN的长，因不方便直接测量，设计方案如下：
课
测量照明灯灯板MN的长
题
工具 竹竿、米尺
方案
及图
方 示
案
及
说
明
相关 竹竿长度为10m，灯板MN垂直地面AB于点O，线段AM，BN表示同一根
数据 竹竿．第一次将竹竿的一个端点与点M重合，另一个端点落在地面的点A
及说明 处，第二次将竹竿的一个端点与点N重合，另一个端点落在地面的点B处已
知AO=6m，BO=8m
计算 ……
过程
请根据上述方案中的内容，计算MN的长．
【答案】MN=2m
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理，在Rt△OAM中，
根据勾股定理求出OM，在Rt△OBN中，根据勾股定理求出ON，即可求解．
【详解】解：由题意可知，∠NOB=90°，
在Rt△OAM中，AM=10m，OA=6m，
则OM=❑√AM2−OA2=8m，
在Rt△OBN中，BN=10m，OB=8m，
则ON=❑√BN2−OB2=6m．
∴MN=OM−ON=2m．
【题型2：求旗杆高度】
6．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB在静止
位置时，下端B离地面0.6m，荡秋千到AB的位置时，下端B距静止位置的水平距离
EB等于2.4m，距地面1.4m，则秋千AB的长为 m．
【答案】4
【分析】本题考查了勾股定理的应用，涉及到解一元一次方程，解题关键是理解题意，
正确得到其中的三边关系并准确计算，本题根据在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB2，
得到关于AB的方程，求解即可．
【详解】解：∵秋千AB在静止位置时，下端B离地面0.6m，荡秋千到AB的位置时，
距地面1.4m，∴B'E=1.4−0.6=0.8，
∴AE=AB−0.8，
在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB2，
∴(AB−0.8) 2+2.42=AB2，
∴AB=4，
故答案为：4 ．
7．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）2024年11月4日，神舟十八号载人飞船返回舱在东
风着陆场成功着陆，神舟十八号载人飞行任务取得圆满成功！为此，某校组织了一次
以“指尖上的航模•蓝天下的梦想”为主题的航模飞行表演．如图，小烨控制的无人机
在距离地面18米高的点D处（CD=18米），空中点A处有一只风筝，无人机上的测
距仪测得AD=17米，点A与点D之间的水平距离AE=15米，已知AE⊥CD于点
E，AB=CE，请你求出风筝离地面的高度AB．
【答案】10米
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，利用勾股定理求出DE的长，进而求
出CE的长即可得到答案．
【详解】解：∵AE⊥CD，
∴∠AED=90°，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：DE=❑√AD2−AE2=8米，
∴CE=CD−DE=10米，
∴AB=CE=10米，
∴风筝离地面的高度AB为10米．
8．（24-25八年级上·河南周口·期末）某校八年级数学兴趣小组开展了测量学校旗杆高度的
实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．测量结果如下表．
项
如图1，某校八年级数学兴趣小组自主开展测
目
测量实物图： 量学校旗杆高度的项目研究．他们制订了测
背
量方案，并进行实地测量．
景测量示意图： 测量过程：
步骤一：如图2，线段MN表示旗杆高度，
MN垂直地面于点N．将系在旗杆顶端的绳
项
子垂直到地面，并多出了一段NE，用皮尺测
目
出NE的长度．
方
案 步骤二：如图3，小丽同学将绳子末端放置子
头顶，向正东方向水平移动，直到绳子拉直
为止，此时小丽同学直立于地面点B处．用皮
尺测出点A与点B之间的距离．
测量项目 数据
绳子垂到地面多出的部分 0.5m
各
项
数 小丽直立位置距旗杆底端的水平距 7m
据 离
小丽身高 1.5m
请根据表格所给信息，完成下列问题．
(1)直接写出线段MN与AM之间的数量关系：_____________________________．
(2)根据该数学兴趣小组的测量方案和数据，求出学校旗杆MN的高．
【答案】(1)MN=AM−0.5
51
(2) m
4
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意，弄清数量关系是解题关键．
（1）根据AM=MN+NE，结合题意即可获得答案；
（2）结合题题确定NC=AB=1.5m，AC=NB=7m，AC⊥MN，设AM=xm，则
MC=(x−2)m，在Rt△ACM中，利用勾股定理解得x的值，然后求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，可知NE=0.5m，AB=1.5m，BN=7m，
则MN=AM−NE=AM−0.5．
故答案为：MN=AM−0.5；
（2）如下图，根据题意，可知NC=AB=1.5m，AC=NB=7m，AC⊥MN，
设AM=xm，则MC=MN−NC=AM−0.5−1.5=(x−2)m，
在Rt△ACM中，可有 AC2+MC2=AM2，
53
即72+(x−2) 2=x2，解得x= m，
4
53
所以 AM= m，
4
51
所以 MN=AM−0.5= m，
4
51
答：学校旗杆MN的高为 m．
4
【题型3：求小鸟飞行距离】
9．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，一段斜坡上有两棵树，两棵树之间的水平距离
为12m，竖直距离为5m，树的高度都是2m．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的
顶端，至少要飞（ ）
A．12m B．13m C．14m D．15m
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的应用．如图，根据题意得：
∠ABC=90°,AB=12m,BC=5m，利用勾股定理即可求出结果．
【详解】解：如图，根据题意得：∠ABC=90°,AB=12m,BC=5m，
∴AC=❑√AB2+BC2=13m，
∴一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞13m，
故选：B．
10．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，一条路的两边有两棵树，一棵树高AB为11米，
另一棵树高CD为6米，两树的距离BD为12米．若一只小鸟从一棵树的树梢A飞到另
一棵树的树梢C，则小鸟至少要飞行 米．
【答案】13
【分析】本题考查了勾股定理，过C作CE平行地面，连接AC，由题意得CE=12米，
AE=11−6米，由勾股定理可得AC的长，即小鸟至少要飞行的距离．
【详解】解：过C作CE平行地面，连接AC，
由题意得，AB=11米，AE=11−6=5米，CE=BD=12米，
由勾股定理得，AC=❑√AE2+CE2=❑√52+122=13米，
故答案为：13．11．（23-24八年级上·全国·单元测试）飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个站着
不动的女孩头顶正上方4000m处，过了20秒，飞机距离这个女孩头顶5000m，则飞机
每秒飞行了 m．
【答案】15
【分析】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关
键．解题时注意运用数形结合的思想方法使问题直观化．先画出图形，构造出直角三
角形，利用勾股定理解答即可．
【详解】解：设B点为女孩头顶，A为正上方时飞机的位置，C为20秒后飞机的位置，
如图所示，AB=4000m，BC=5000m，
则AC=❑√50002−40002=3000m
∴AC=3000米，
∴3000÷20=15米/秒
故答案为：15．
12．（2024八年级下·全国·专题练习）有一只喜鹊在一棵3m高的小树上觅食，它的巢筑在
距离该树24m的一棵大树上，大树高11m，且巢离树顶部1m．当它听到巢中幼鸟的叫
声，立即赶过去，如果它飞行的速度为5m/s，那它至少需要时间 s才能赶回巢中．
【答案】5
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，过A作AE⊥CD于E．则
CE=10−3=7m，AE=24m，利用勾股定理求出AC的长即可得到答案．
【详解】解：如图，由题意知AB=3m，CD=11−1=10m，BD=24m．
过A作AE⊥CD于E．则CE=10−3=7m，AE=24m，在Rt△AEC中，由勾股定理得AC=❑√AE2+CE2=25m，
∴25÷5=5s，
∴它至少需要5s才能赶回巢中．
故答案为：5．
13．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高
度AB=20米，A点到地面C点（B，C两点处于同一水平面）的距离AC=25米．
(1)求出BC的长度；
(2)若小鸟竖直下降到达D点（D点在线段AB上），此时小鸟到地面C点的距离与下
降的距离相同，求小鸟下降的距离．
【答案】(1)15米；
125
(2) 米
8
【分析】本题主要考查了勾股定理得实际应用，熟练地掌握勾股定理是解题的关键．
（1）在直角三角形中运用勾股定理即可解答；
（2）在Rt△BDC中，根据勾股定理即可解答．
【详解】（1）由题意知∠B=90°，
∵AB=20米，AC=25米．
在Rt△ABC中
AB2+BC2=AC2
∴ BC=❑√252−202=15米，
（2）设AD=x，∵到达D点（D点在线段AB上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同，
AB=20
∴则CD=AD=x，BD=20−x，
在Rt△BDC中，
DC2=BD2+BC2，
∴x2=(20−x) 2+152，
125
解得x= ，
8
125
∴小鸟下降的距离为 米．
8
【题型4：求大树折断前的高度】
14．（23-24八年级下·广东中山·期中）《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有
竹高十丈，末折抵地，去根九尺，问折者高几何？”题意是：如图，一根竹子原高十丈
（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根9尺．若设折断处离地面的高
度为x尺，则可以列出关于x的方程为（ ）
A．x2+92=(10−x) 2 B．x2+(10−x) 2=92
C．x2+92=(100−x) 2 D．x2+(100−x) 2=92
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设折断处离地面的高度为x尺，根据勾
股定理列出方程即可．
【详解】解：设折断处离地面的高度为x尺，
由题意得，x2+92=(100−x) 2，
故选：C．
15．（24-25八年级上·全国·期中）如图，台风过后，一旗杆在B处断裂，旗杆顶部A点落在离旗杆底部C点10m处，已知旗杆原长20m，则旗杆在离底部 米的位置断裂．
【答案】7.5
【分析】本题考查勾股定理实际应用．根据题意设BC=x，则AB=20−x，利用勾股
定理列式计算即可得到本题答案．
【详解】解：∵旗杆顶部A点落在离旗杆底部C点10m处，
∴AC=10m，
∵旗杆原长20m，
∴AB+BC=20m，
∴设BC=x，则AB=20−x，
∴x2+102=(20−x) 2，解得：x=7.5，
∴旗杆在离底部7.5m的位置断裂，
故答案为：7.5．
16．（23-24八年级·全国·假期作业）如图所示，一棵大树在离地面9米处断裂，断裂后树
的顶部落在离底部12米处．这棵大树在折断之前是 米．
【答案】24
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出斜边长，最后相加得出
答案即可．
【详解】解：如图所示：根据题意可知AC=9米，BC=12米，
根据勾股定理得AB=❑√AC2+BC2=❑√92+122=15．
所以树折断前有9+15=24（米）．
故答案为：24．17．（24-25八年级上·吉林长春·期末）请解决我国古代数学著作《九章算术》中的一个问
题：一根竹子原来高9尺，从A处折断，折断后竹子顶端B点落在离竹子底端O点3尺
处，求折断处离地面（即AO）的高度是多少尺？
【答案】4
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，
先设AO=x，可得AB=9−x，再根据勾股定理得x2+32=(9−x) 2，求出解即可．
【详解】解：根据题意可知BO=3，
设AO=x，则AB=9−x，根据勾股定理得
x2+32=(9−x) 2，
解得x=4．
所以折断处离地面的高度是4尺．
【题型5：解决水杯中筷子问题】
18．（2024·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适
与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即AC=5，
DC=1，BD=BA，则BC=（ ）A．8 B．10 C．12 D．13
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理的实际应用．设BC=x，则BD=BA=(x+1)，由勾股定理
列出方程进行求解即可．
【详解】解：设BC=x，则BD=BA=(x+1)，
由题意，得：(x+1) 2=52+x2，
解得：x=12，即BC=12，
故选：C．
19．（23-24八年级下·云南昆明·期末）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的
问题，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、
葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有
一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达
池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设水深为x尺，根据题意，可列
方程为（ ）
A．x2+52=(x+1) 2 B．x2+102=(x+1) 2
C．(x−1) 2+52=x2 D．(x−1) 2+102=x2
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理的应用，根据题意，这根芦苇的长度为(x+1)尺，利用勾股定理列方程即可．
【详解】解：设水深为x尺，则这根芦苇的长度为(x+1)尺，
根据题意，得x2+52=(x+1) 2，
故答案为：A．
20．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，圆柱形笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高
为12cm．将一根长18cm的铅笔放置于笔筒中（铅笔的直径忽略不计），铅笔露在笔
筒外的长度为acm，则a的取值范围是（ ）
A．970(km/h)；
∴这辆小汽车超速行驶．
答：这辆小汽车超速了．
31．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小
汽车在高速道路上行驶速度不得超过120km/h．高速路边也会安装车速检测仪对过
往车辆进行限速检测，如图所示，A点装有一车速检测仪，它到公路边的距离
AN=90米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达N点时开始计时，离开M点时停止
计时，依此计算车速，已知AM=150米．
(1)若一辆汽车以108km/h时速匀速通过监控区域，共用时几秒？
(2)若另一辆车通过监控区域共用时3秒，该车是否超速？请说明理由．
【答案】(1)4s
(2)超速，理由见解析
【分析】本题考查勾股定理的应用：
（1）勾股定理求出MN的长，利用时间等于路程除以速度进行求解即可；（2）利用速度等于路程除以时间求出车速，进行判断即可．
【详解】（1）解：依题意可得，AN⊥MN，
∴∠ANM=90°，△AMN为直角三角形，
∵AM=150米，AN=90米，
∴MN=120米，
∵108km/h=30m/s，
∴t=120÷30=4s；
答：共用时4秒；
（2）超速，理由如下：
120÷3=40m/s=144km/h，
∵144km/h>120km/h，
∴超速．
32．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）超速行驶是引发交通事故的原因之一．上周末，小
聪等三位同学在某路段尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离
为100m的点P处．这时，一辆轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处
所用的时间为3秒，并测得∠APO=60°，∠BPO=45°．
(1)求AB的距离，（❑√3取1.73）
(2)试判断此车是否超过了80km/h的限制速度？
【答案】(1)73m
(2)此车超过80km/h的限制速度．
【分析】本题主要考查了勾股定理、含30度角直角三角形的性质、等腰直角三角形的
判定与性质等知识点，熟练掌握勾股定理，含30度角直角三角形的性质是解题的关键．
（1）先说明∠PAO=30°，然后根据含30度角直角三角形的性质可得AP=200m，
再运用勾股定理可求得AO的长，然后再根据等腰直角三角形的性质可得BO=100m，
最后根据线段的和差即可解答；
（2）先求出从A处行驶到B处的速度，然后再比较即可解答．
【详解】（1）解：在Rt△APO中，∠APO=60°，∴∠PAO=30°，
∴AP=2PO=200m，
∴AO=❑√AP2−PO2=❑√2002−1002=100❑√3,
∵∠BPO=45°，
∴∠PBO=45°，
∴BO=PO=100,
∴AB=100❑√3−100≈73m．
（2）解：小车的速度为：73÷3≈24.33m/s≈87.59km/h>80km/h
∴此车超过80km/h的限制速度．
33．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建
成通车，在某路段MN上限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设
立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒，已知
∠CBN=60°，BC=200米，AC=100❑√6米．
(1)请求出观测点C到公路MN的距离；
(2)此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：❑√2≈1．41，❑√3≈1．73）
【答案】(1)观测点C到公路MN的距离为100❑√3米
(2)此车没有超速，理由见解析
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．
（1）过点C作CH⊥MN于H，先求出BH的长，再用勾股定理求解即可；
（2）先求出AH的长，再求出AB的长，进而求出汽车的速度，即可得出答案．
【详解】（1）过点C作CH⊥MN于H，
在Rt△BCH中，
∵∠CBN=60°，
∴∠BCH=30°．∵BC=200米
1
∴BH= BC=100米
2
∴CH=❑√BC2−BH2=100❑√3米
即观测点C到公路MN的距离为100❑√3米．
（2）∵AC=100❑√6米，∠CHA=90°
∴AH=❑√C A2−CH2=100❑√3米
∴AB=AH−BH=100❑√3−100≈73米
73
∴车速为73÷5= 米/秒
5
50 73 50
∵60千米/小时= 米秒， <
3 5 3
∴此车没有超速．
【题型9：判断是否受台风影响】
34．（23-24八年级下·重庆大足·期末）如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两
地，相距1000米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为
600米，与B地的距离为800米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破
点C 周围半径520米范围内不得进入．
(1)山地C距离公路的垂直距离为多少米?
(2)在进行爆破时，A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁?若需要封锁，请求
出需要封锁的公路长．
【答案】(1)山地C距离公路的垂直距离为480米(2)需要封锁的公路长为400米
【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质以及三
角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）由勾股定理的逆定理得△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，过点C作
CD⊥AB于点D，再由三角形面积求出CD的长即可；
（2）过C作CD⊥AB于点D，以点C为圆心，520米为半径画弧，交AB于点E、
F，连接CE，CF，根据480米<520米可以判断有危险，再根据勾股定理求出DE的
长，进而得出EF的长即可．
【详解】（1）解：由题意可知，AC=600米，BC=800米，AB=1000米，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
如图1，过点C作CD⊥AB于点D，
1 1
∴S = AB⋅CD= AC⋅BC
△ABC 2 2
AC⋅BC 600×800
∴CD= = =480（米）
AB 1000
答：山地C距离公路的垂直距离为480米．
（2）公路AB有危险需要暂时封锁，理由如下：
如图2，过C作CD⊥AB于点D，以点C为圆心，520米为半径画弧，交AB于点E、
F，连接CE，CF，
则EC=FC=520米，DE=DF，
由（1）可知，CD=480米，
∵480米<520米，∴有危险需要暂时封锁，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：
DE=❑√CE2−CD2=200（米）
∴EF=2DE=400（米），
即需要封锁的公路长为400米．
35．（23-24八年级下·重庆开州·期中）如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向
300km的B处，以80km/h的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心250km范
围内是受台风影响的区域．
(1)请通过计算说明A市是否会受到台风的影响?
(2)如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长?
【答案】(1)会受到台风的影响
(2)5小时
【分析】（1）根据题意得出AC的长，进而得出答案；
（2）首先求出CD的长，进而得出DE的长，进而求出A市受这次台风影响的时间．
此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确构造直角三角形是解题关键．
【详解】（1）解： A市会受到台风的影响．
理由：过点A作AC⊥BF于C
∵Rt△ABC ∠ABC=90°−60°=30°
中， ，
1
∴AC= AB=150km<250km，
2
∴A市会受到台风的影响；
（2）解：以A为圆心，250km为半径画弧交BF于点D、E在Rt△ACD中，CD=❑√AD2−AC2=❑√2502−1502=200(km)，
∴DE=2CD=400(km)
∵以80km/h的速度向北偏西60°的BF方向移动，
400
∴ =5（小时）．
80
∴A市受这次台风影响的时间为5小时．
36．（23-24八年级下·湖北荆州·期中）如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方
向340km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度移动，已知城市A到BC
的距离AD为160km．
(1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？
(2)如果在距台风中心200km的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影
响的时间持续多少小时？
【答案】(1)台风中心经过15h从B点移到D点
(2)A市受到台风影响的时间持续12h
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握此知识点，正确理解题意是解题的关
键．
（1）先对Rt△ABD运用勾股定理求出BD，即可求出时间；
（2）在射线BC上取点E、F，使得AE=AF=200km，对Rt△AED运用勾股定理求
得ED=120km，则即可求出EF，那么时间即可求解．
【详解】（1）解：由题意可知，AD⊥BC，AB=340km，AD=160km，
在Rt△ABD中，BD=❑√AB2−AD2=300km，
∵300÷20=15，
∴台风中心经过15h从B点移到D点；
（2）解：如图，在射线BC上取点E、F，使得AE=AF=200km，由AD⊥BC得DE=DF，
在Rt△AED中，ED=❑√AE2−AD2=120km，
∴EF=2ED=240km，
∴t=240÷20=12，
∴A市受到台风影响的时间持续12h．
【题型10：选址使到两地距离相等】
37．（22-23八年级上·辽宁朝阳·期末）如图，铁路上A、D两点相距25千米，B，C为两
村庄，AB⊥AD于A，CD⊥AD于D，已知AB=15km，CD=10km，现在要在铁路
AD上建一个土特产品收购站P，使得B、C两村到P站的距离相等，则P站应建在距点A
千米．
【答案】10
【分析】根据使得B，C两村到P站的距离相等，需要证明BP=PC，再根据勾股定
理解答即可．
【详解】解：设AP=x千米，则DP=(25−x)千米，
∵B、C两村到P站的距离相等，
∴BP=PC．
在Rt△APB中，由勾股定理得BP2=AB2+AP2，
在Rt△DPC中，由勾股定理得PC2=CD2+PD2，
∴AB2+AP2=CD2+PD2，
又∵AB=15km，CD=10km，∴152+x2=102+(25−x) 2，
∴x=10，
故答案为10．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理解答是解决问题的关键．
38．（22-23八年级下·山西朔州·期末）根据山西省教育厅“2023年度基础教育领域重点工
作推进会”要求，扎实推进建设100所公办幼儿园任务落实，某地计划要在如图所示
的直线AB上，新建一所幼儿园，该区域有两个小区所在的位置在点C和点D处，
CA⊥AB于A，DB⊥AB于B．已知AB=2.5km，CA=1.5km，DB=1.0km求该幼
儿园E应该建在距点A为多少km处，可以使两个小区到幼儿园的距离相等．
【答案】1km
【分析】设AE=xkm，则EB=(2.5−x)km．再根据勾股定理列出关于x的等式，解
出x的值，即得解．
【详解】解：由题意，设AE=xkm，则EB=(2.5−x)km．
∵在Rt△AEC中，∠CAE=90°，
∴AC2+AE2=EC2．
∵在Rt△EBD中，∠EBD=90°，
∴BE2+DB2=ED2．
∵EC=DE，
∴AC2+AE2=BE2+DB2，即1.52+x2=(2.5−x) 2+12，
解得：x=1．
答：该幼儿园E应该建在距点A为1km处，可以使两个小区到幼儿园的距离相等．
【点睛】本题考查勾股定理的实际应用．根据勾股定理正确列出方程是解题关键．
39．（2024八年级上·全国·专题练习）小渝和小川是一对好朋友，如下图，小渝家住A处，
小川家住B处．两家相距10km，小渝家A在一条笔直的公路AC边上，小川家到这条
公路的距离BC为6km．两人相约在公路D处见面，且两家到见面地点D的距离相等．求小渝家A到见面地点D的距离．
【答案】小渝家A到见面地点D的距离为6.25km
【详解】解：由题意，得AC=❑√AB2−BC2=❑√102−62=8(km)．
设AD的长为xkm，则BD=xkm,CD=(8−x)km，
∴x2=(8−x) 2+62，解得x=6.25，
即小渝家A到见面地点D的距离为6.25km．
40．（2024八年级上·江苏·专题练习）为了加快我市经济社会发展，实现十九大报告提出
的到2020年全面建成小康社会的目标，我市准备在铁路AB上修建一个火车站E，以
方便铁路AB同旁的C、D两城的居民出行，如图，C城到铁路AB的距离AC=20km，
D城到铁路AB的距离DB=60km，AB=100km，经市政府与铁路部门协商最后确定
在与C、D两城距离相等的E处修建火车站．求AE、BE各是多少．
【答案】AE=66km，BE=34km．
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，利用勾股定理列方程是解题的关键．
设AE=xkm，则BE=(100−x)km，根据CE=DE，由勾股定理即可列出方程．
【详解】解：设AE=xkm，则BE=(100−x)km，
根据题意得CE=DE，
∴AC2+AE2=BE2+BD2
202+x2=(100−x) 2+602，
解得x=66
∴AE=66km，BE=34km．41．（22-23八年级下·河南南阳·期中）为加快新农村建设，提高人居环境，计划要在道路
m上修建一个天然气站E，同时向D，C两个居民区提供优质天然气，供居民取暖，做
饭．已知如图：D到道路m的距离DA=2km，C到道路m的距离CB=1km，A，B两
地距离AB=5km．气站E应建在道路m的什么位置，使得C，D两居民区到气站E的
距离相等？
(1)请你设计出气站E的位置（在图中用尺规作图作出符合条件的点E，不写作法，保
留作图痕迹）；
(2)计算出气站E到A处的距离．
【答案】(1)见解析；
(2)气站E距离A处2.2km．
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键是掌握垂直平分线的
性质．
（1）由DE=CE，可知点E在线段CD的垂直平分线上，即可得答案；
（2）设AE=xkm，BE=(5−x)km，得DE2=22+x2，CE2=(5−x) 2+12，再利用
DE2=CE2解答即可．
【详解】（1）解：如图所示，点E即为所求．
（2）解：设AE=xkm，BE=(5−x)km
∵DE2=22+x2，CE2=(5−x) 2+12
又∵DE2=CE2
∴22+x2=(5−x) 2+12
解得x=2.2∴气站E距离A处2.2km．
【题型11：求最短路径】
42．（24-25八年级上·重庆大渡口·期末）如图，有一个圆柱形玻璃杯，高为10cm，底面周
长为12cm，在圆柱的下底面的内壁A处有一只蚂蚁，它想吃到在杯内离杯上沿2cm的
点E处的一滴蜂蜜，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（ ）
A．2❑√61cm B．12cm C．4❑√13cm D．10cm
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的应用−最短距离，将杯子侧面展开，连接AE，则AE的
长为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，利用勾股定理求出AE即可求解，找出蚂蚁到达蜂蜜的
最短路径是解题的关键．
【详解】解：如图，将杯子侧面展开，连接AE，则AE的长为蚂蚁到达蜂蜜的最短距
离，
由题意得，AB=12÷2=6cm，BE=10−2=8cm，∠ABE=90°，
∴AE=❑√AB2+BE2=❑√62+82=10cm，
∴蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为10cm，
故选：D．
43．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）如图：长方体的长、宽、高分别是12，8，30，在AB中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从E处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程
是（ ）
A．15 B．25 C．35 D．45
【答案】B
【分析】本题考查了平面展开-最短路线问题和勾股定理，关键是知道求那一条线段的
长．
根据题意画出图形，根据勾股定理求出EC的长即可．
【详解】解：如图展开，连接EC，则线段EC的长就是小虫爬的最短路线，
1
在Rt△EBC中，BE=12+8=20，BC= AB=15，
2
由勾股定理得：EC=❑√152+202=25．
故选：B．
44．（24-25八年级上·云南昭通·期末）足球是世界上最受欢迎的运动项目之一，如图，球
员A 向边线CD传球，传球落点在边线CD上任何位置都能被边线球员接住球，而边
线球员不运球直接传给球员B，图中四边形ABCD为直角梯形，AD=5，
AB=BC=10，∠B=60°， 则两次传球中皮球飞过的最短路径为（ ）A．15 B．10❑√3 C．20 D．20❑√3
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作A关于
CD的对称点E，连接BE交CD于O，连接AP，过A作AF⊥BE于F，根据轴对称的
性质可判断两次传球中皮球飞过的最短路径长等于BE，根据轴对称的性质可得出
AE=AB=10，根据等边对等角和平行线的性质可求出∠ABE=30°，根据含30°角
的直角三角形的性质和勾股定理可求出BF，然后根据三线合一求出BE即可．
【详解】解：作A关于CD的对称点E，连接BE交CD于O，连接AP，过A作
AF⊥BE于F，
∴DE=AD=5，AO=EO，
∴AE=AD+DE=10=AB，AO+BO=EO+BO=BE，
∴∠E=∠ABE，两次传球中皮球飞过的最短路径长等于BE，
依题意得AD∥BC，
∴∠E=∠CBE，
∴∠E=∠CBE=∠ABE，
∵∠ABC=∠ABE+∠CBE=60°，
∴∠ABE=30°，又AF⊥BE，
1
∴AF= AB=5，
2
∴BF=❑√AB2−AF2=5❑√3，
又AE=AB，
∴BE=2BF=10❑√3，
即两次传球中皮球飞过的最短路径为10❑√3，
故选：B．
45．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)
的高15cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容
器外壁，位于离容器上沿3cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为21cm，
则该圆柱底面周长为 cm．
【答案】2❑√185
【分析】本题主要考查了平面展开-最短路径问题、轴对称的性质、勾股定理等知识点，
将图形展开、利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
将容器的侧面展开，作点A关于CE的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的
长度即为所求．
【详解】解：将圆柱的侧面展开， CE为上底面圆周长的一半，作点A关于CE的对称
点A′，连接A′B交CE于点F，
则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF，即AF+BF=AF′+BF=A′B=21
m，
延长BC，过A′作A′D⊥BC于点D，
∵AE=A′E=DC=3cm，
∴BD=15−4+3=16cm，
在Rt△A′BD中，由勾股定理可得A′D=❑√A′B2−BD2=❑√212−162=❑√185cm，
所以该圆柱底面周长为2❑√185cm．故答案为：2❑√185．
46．（24-25八年级上·江西吉安·期末）如图，圆柱形容器的高为120cm，底面周长为
100cm，在容器内壁离容器底部40cm的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外
壁，离容器上沿40cm与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 ．
【答案】130cm/130厘米
【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股
定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
将容器侧面展开，建立A关于EC的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长
度即为所求．
【详解】解：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点A′，连接A′B交EC于
F，则A′B即为最短距离．
∵高为120cm，底面周长为100cm，在容器内壁离容器底部40cm的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿40cm与蚊子相对的点A处，
∴AD=50cm,BD=120cm，
∴在直角△A′DB中，A′B=❑√A′D2+BD2=❑√502+1202=130(cm)．
故壁虎捕捉蚊子的最短距离为130cm．
47．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图所示，地面上铺了一块长方形地毯ABCD，因
8
使用时间长而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为 m，已知
π
AE+BF=20m，BC=10m，一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则
它至少要走 m的路程．
【答案】26
【分析】本题主要考查平面展开，最短路径问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
将中间半圆柱的凸起展平，使原来的长方形长增加而宽不变，再利用勾股定理求出新
矩形的对角线长即可．
【详解】解：如图，将中间半圆柱的凸起展平，图形长度增加半圆周长，
8 1
原图长度增加 ×π× =4，
π 2
则AB=20+4=24，
连接AC，
∴AC=❑√AB2+BC2=❑√242+102=26，
故答案为：26．
48．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，长方体的长、宽、高分别为6，4，4，点A
是长方体的顶点，点B是棱CD的中点，一只蚂蚁由A处沿长方体表面爬到B处，最
短路程为 ．【答案】6❑√2
【分析】根据展开图的不同类型，利用勾股定理计算比较即可．
本题考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理，此题的关键是明确两点之间线段最短
这一知识点，然后把立体的长方体放到一个平面内，求出最短的线段．
【详解】解：如图所示，根据题意，长方体的长EF=AG=6cm，宽AH=4cm，高
1
AE=4cm，BC= CD=2cm，
2
根据展开图，得到解法如下：
第一种展开图， 根据题意，得
AB=❑√AG2+(GC+BC) 2
=❑√62+(4+2) 2
=6❑√2cm；
第二种展开图中，根据题意，得
AB=❑√BC2+(AH+HC) 2=❑√22+(4+6) 2
=❑√104cm；
第三种展开图中，根据题意，得AB=❑√AG2+(GF+DF+BD) 2
=❑√62+(4+4+2) 2
=❑√136cm=2❑√34cm；
故爬行的最短路程为6❑√2cm，
故答案为：6❑√2．
