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北师大版《数学》（八年级上册）知识点总结 形，且最长边所对的角是直角；若不相等，则此三角形不是直角三角形．
3、勾股数：满足 的三个正整数a，b，c，称为勾股数。
第一章 勾股定理
1、勾股定理 常见的勾股数有：（3,4,5） （5,12,13） （6,8,10） （7,24,25） （8,15,17）
（1）直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即
（9,12,15）（9,40,41）（12,16,20）……
（2）勾股定理的验证：测量、数格子、拼图法、面积法，如青朱出入图、五巧板、 规律：（1），短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两
玄图、总统证法……（通过面积的不同表示方法得到验证，也叫等面积法或等积 边之和是短直角边的平方。即当a为奇数且a＜b时，如果b+c=a2那么a,b,c就是
法） 一组勾股数.如（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）……
（3）勾股定理的适用范围：仅限于直角三角形 （2）大于2的任意偶数，2n(n＞1)都可构成一组勾股数分别是：2n,n2-1,n2+1
例题：在Rt△ACB中，∠A=90°，AC=6，AB=8，求BC的长。 如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）……
解：在Rt△ABC 中，BC2=AC2+AB2=62+82=100 4、求几何体两点间的最短路线长的方法：
∴ BC=10 先将几何体的侧面展开，确定两点的位置，两点连接的线段即为最短路线，再在直
利用勾股定理求直角三角形边长的方法： 角三角形中，利用勾股定理求其长度即可．
一般都要经过“一分二代三化简”这“三步曲”： 但要注意：长方体的表面展成平面图形，展开时一般要考虑各种可能的情况．在各
一分：分清哪条边是斜边、哪些边是直角边； 种可能的情况中，分别确定两点的位置并连接成线段，再利用勾股定理分别求其长
二代：代入a2＋b2＝c2；三化简． 度，长度最短的路线为最短路线．
2、勾股定理的逆定理 5、常见题型应用：
如果三角形的三边长a，b，c有关系 ，那么这个三角形是直角三角形。
（1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线/周长/面积……
例题：在∆ACB中， AC=6，AB=8，BC=10，∆ACB是什么三角形？ （2）已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系，求各边的长度//斜边上
解：在△ABC 中， AC2+AB2=62+82=100=BC2 的高线/周长/面积……
∴∆ACB是直角三角形，∠A=90° （3）判定三角形形状： a2 +b2＞c2锐角~，a2 +b2=c2直角~，a2 +b2＜c2钝角~
利用边的关系判定直角三角形的步骤： 判定直角三角形a..找最长边；b.比较长边的平方与另外两条较短边的平方
(1)比较三边长a，b，c的大小，找出最长边． 和之间的大小关系；c.确定形状
(2)计算两短边的平方和，看它是否与最长边的平方相等；若相等，则是直角三角 （4）构建直角三角形解题例1. 已知直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边为10。求直角三角形的两直角 BC=36m，求这块地的面积。
边。
解：设两直角边为3x，4x，由题意知：
思维入门指导：求面积时一般要把不规则图形分割成规则图形，若连结 BD ，似乎不
∴x=2，则3x=6，4x=8，故两直角边为6，8。
中考突破 解：连结AC，在Rt△ADC中，
（1）中考典题
例. 如图（1）所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子
下端B 与墙角C 距离为1.5 米，梯子滑动后停在DE 位置上，如图（2）所示，测
得得BD=0.5米，求梯子顶端A下落了多少米？
在△ABC中，AB2=1521
思维入门指导：梯子顶端A 下落的距离为AE，即求AE 的长。已知AB 和
BC，根据勾股定理可求AC，只要求出EC即可。
解：在Rt△ACB中，AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=4，
∴AC=2 答：这块地的面积是216平方米。
∵BD=0.5，∴CD=2 点拨：此题综合地应用了勾股定理和直角三角形判定条件。
∴EC=1.5
答：梯子顶端下滑了0.5米。
点拨：要考虑梯子的长度不变。
例 5. 如图所示的一块地，AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，第二章 实数 有理数 零 有限小数和无限循环小数
实数 负有理数
正无理数
无理数 无限不循环小数
负无理数
2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：
（1）开方开不尽的数，如 等；
（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如π/3+8等；
（3）有一定规律，但并不循环的数，如0.1010010001…等；
（4）某些三角函数值，如sin60o等
二、实数的倒数、相反数和绝对值
1、相反数
实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的
相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果
a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。
2、绝对值
在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。
零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则 a≥0；若|a|= -a，则
一、实数的概念及分类 a≤0。
3、倒数
1、实数的分类 如果 a 与 b 互为倒数，则有 ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是 1
和-1。零没有倒数。
正有理数4、数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规
定的三要素缺一不可）。 点拨：利用算术平方根，绝对值非负性解题
。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能 三、平方根、算数平方根和立方根
灵活运用。 1、算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x
5、估算 就叫做a的算术平方根。特别地，0的算术平方根是0。
表示方法：记作“ ”，读作根号a。
从两边确定范围，再一点点加强限制，使其所处的范围越来越小，从而达到
要精确的程度． 性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
例题：估算 的近似值．（精确到0.01） 2、平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a
解：∵ 12＝1，22＝4 的平方根（或二次方根）。
∴ 1＜ ＜2 表示方法：正数a的平方根记做“ ”，读作“正、负根号a”。
∵ 1.72＝2.89，1.82＝3.24 性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平
∴ 1.7＜ ＜1.8
方根。
∵ 1.732＝2.992 9，1.742＝3.027 6 开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。
∴ 1.73＜ ＜1.74 注意 的双重非负性：被开方数与结果均为非负数。即a≥0，
∵ 1.7322＝2.999 824，1.7332＝3.003 289 3、立方根
∴ 1.732＜ ＜1.733 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a那么这个数x就叫做a 的立方根
∴ ≈1.73
（或三次方根）。
表示方法：记作
利用非负数解题的常见类型
例1. 性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方
解： 根是零。
注意： ，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
四、实数大小的比较（3） （ ）
1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的
两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。 （4） （ ）
2、实数大小比较的几种常用方法
3、一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根
（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
式，叫做最简二次根式．
（2）求差比较：设a、b是实数，
4、分母有理化
(1)定义：化去分母中根号的变形叫做分母有理化；
(2)方法：将分子和分母都乘分母的有理化因式．
二次根式的化简技巧：
（3）求商比较法：设a、b是两正实数，
(1)当被开方数是整数时，应先将它分解因数；
(2)当被开方数是小数或带分数时，应先将小数化成分数或带分数化成假分数的形
（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则 。
式；
（5）平方法：设a、b是两负实数，则 。
(3)当被开方数是整数或分数的和差时，应先将这个和差的结果求出．
（6）倒数法：设a、b是同正,如果1/a＞1/b，则a＜b;同负，如果1/a＞1/b， 六、实数的运算
则a＞b （1）六种运算：加、减、乘、除、乘方 、开方
五、算术平方根有关计算（二次根式） 二次根式的加减法则：二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再
将被开方数相同的二次根式进行合并． 被开方数相同的最简二次根式， 称为
1、 形如 (a≥0)的式子叫做二次根式。其中a 为整式或分式，a 叫做被开方
式。 “同类二次根式” 。
即含有二次根号“ ”，被开方数a必须是非负数。 （2）实数的运算顺序
先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。
2、性质：
（3）运算律
（1）
加法交换律
（2）
加法结合律
乘法交换律乘法结合律
3、点的坐标的概念
乘法对加法的分配律
对于平面内任意一点P,过点P分别x轴、y轴向作垂线，垂足在上x轴、y轴
例. 计算： 对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点P的坐
标。
点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”
分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当 时，
（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。
通过以上计算，观察规律，写出用 n（n 为正整数）表示上面规律的等式 平面内点的与有序实数对是一一对应的。
___________。 4、不同位置的点的坐标的特征
（1）、各象限内点的坐标的特征
解：
点P(x,y)在第一象限
规律：
点P(x,y)在第二象限
点P(x,y)在第三象限
第三章 位置与坐标
点P(x,y)在第四象限
一、 在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据。
二、平面直角坐标系及有关概念 （2）、坐标轴上的点的特征
1、平面直角坐标系
点P(x,y)在x轴上 ，x为任意实数
在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。其中， 点P(x,y)在y轴上 ，y为任意实数
水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向 点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上 x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）即
上为正方向；x轴和y轴统称坐标轴。它们的公共原点O称为直角坐标系的原点； 原点
建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。 （3）、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
2、为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的 点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线（直线y=x）上 x与y相等：x=y
四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上 x与y互为相反数：x= - y
注意：x轴和y轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限。（4）、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 一、函数：
位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。 一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。 确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
（5）、关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征 二、自变量取值范围
点P与点p’关于x轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数，即点P（x，y） 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。一般从整式
关于x轴的对称点为P’（x，-y） （取全体实数），分式（分母不为0）、二次根式（被开方数为非负数）、实际意
点P与点p’关于y轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数，即点P（x，y） 义几方面考虑。
关于y轴的对称点为P’（-x，y） 自变量取值范围的确定方法：
点P与点p’关于原点对称 横、纵坐标均互为相反数，即点P（x，y）关于原 (1)当关系式是整式时，自变量为全体实数；
点的对称点为P’（-x，-y） (2)当关系式是分母含字母的式子时，自变量的取值需保证分母不为0；
(6)、点到坐标轴及原点的距离 (3)当关系式是二次根式时，自变量的取值需使被开方数为非负实数；
点P(x,y)到坐标轴及原点的距离： (4)当关系式有零指数幂(或负整数指数幂)时，自变量的取值需使相应的底数不为
（1）点P(x,y)到x轴的距离等于 0；
（2）点P(x,y)到y轴的距离等于
（3）点P(x,y)到原点的距离等于 (5)当关系式是实际问题的关系式时，自变量的取值需使实际问题有意义；
三、坐标变化与图形变化的规律：
(6)当关系式是复合形式时，自变量的取值需使所有式子同时有意义
坐标（ x ， y ）的变化 图形的变化
x × a或 y × a 被横向或纵向拉长（压缩）为原来的 a倍
三、函数的三种表示法及其优缺点
x × a， y × a 放大（缩小）为原来的 a倍
x ×（ -1）或 y ×（ -1） 关于 y 轴或 x 轴对称
（1）关系式（解析）法
x ×（ -1）， y ×（ -1） 关于原点成中心对称
两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的
x +a或 y+ a 沿 x 轴或 y 轴平移 a个单位
x +a， y+ a 沿 x 轴平移 a个单位，再沿 y 轴平移 a个单位 等式表示，这种表示法叫做关系式（解析）法。
（2）列表法
第四章 一次函数
把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。
（3）图象法
图像经过一、二、三象限，
b>0
用图象表示函数关系的方法叫做图象法。
y随x的增大而增大。
四、由函数关系式画其图像的一般步骤
k>0
（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值
（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点 图像经过一、三、四象限，
b<0
y随x的增大而增大。
（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。
五、正比例函数和一次函数
1、正比例函数和一次函数的概念
图像经过一、二、四象限，
一般地，若两个变量x，y 间的关系可以表示成 （k，b 为常数，k b>0
y随x的增大而减小
0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。
特别地，当一次函数 中的b=0时（即 ）（k为常数，k 0），称
k<0
y是x的正比例函数。
图像经过二、三、四象限，
2、一次函数的图像: 所有一次函数的图像都是一条直线。特别地，正比例函数 b<0
y随x的增大而减小。
图象是经过原点的一条直线。
直线y=kx+b与坐标轴的交点坐标：
注：当b=0 时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数
（1）与y轴的交点为(0，b)；
的特例。
4、正比例函数的性质
（2）与x轴的交点为 .
一般地，正比例函数 有下列性质：
3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：
（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；
一次函数 的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数 的图像
（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。
是经过原点（0，0）的直线。
5、一次函数的性质
一般地，一次函数 有下列性质：
k的 B的
函数图像 图像特征
符号 符号（1）当k>0时，y随x的增大而增大 (2)代：将所给数据代入函数关系式；
（2）当k<0时，y随x的增大而减小 (3)求：求出k的值；
6、系数相等的一次函数的位置关系 (4)还原：写出一次函数关系式.
平移法：直线y＝kx＋b可以看作由直线y＝kx平移得到： 8、一次函数与一元一次方程的关系：
①当b＞0时，把直线y＝kx向上平移b个单位得到直线y＝kx＋b； 任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．
②当b＜0时，把直线y＝kx向下平移|b|个单位得到直线y＝kx＋b. 而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，k≠0）．当函数值为0时，
用一句话来表述就是：“上加下减”；上、下是“形”的平移，加、减是 即kx+b=0就与一元一次方程完全相同．
“数”的变化。 结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形
式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值．
从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．
利用一次函数图象解一元一次方程的步骤：
(1)转化：将一元一次方程转化为一次函数；
(2)画图象：画出一次函数的图象；
(3)找交点：找出一次函数图象与x 轴的交点，得到其横坐标，即为一元一次方
．
两条直线平行的规律： 程的解．
两条直线平行 → k值相等
7、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式 （k 0）中的常数
k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式 （k 0）中的常数k 和
b。
求一次函数关系式的步骤为：
设→代→求→还原，即：
(1)设：设出一次函数关系式y=kx+b；
